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2011-06-非线性回归分析_598703625

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《非线性回归分析》课件

《非线性回归分析》课件
• 常用的过滤方法包括皮 尔逊相关系数、方差分 析和卡方检验等。
封装式
• 基于模型的错误率和复 杂性进行特征选择。
• 常用的封装方法包括递 归特征消除法和遗传算 法等。
嵌入式
• 特征选择和模型训练同 时进行。
• 与算法结合在一起的特 征选择方法，例如正则 化（Lasso、Ridge）。
数据处理方法：缺失值填充、异常值 处理等
1
网格搜索
通过预定义的参数空间中的方格进行搜
随机搜索
2
索。
在预定义的参数空间中进行随机搜索。
3
贝叶斯调参
使用贝叶斯优化方法对超参数进行优化。
集成学习在非线性回归中的应用
集成学习是一种将若干个基学习器集成在一起以获得更好分类效果的方法，也可以用于非线性回归建模中。
1 堆叠
使用多层模型来组成一个 超级学习器，每个模型继 承前一模型的输出做为自 己的输入。
不可避免地存在数据缺失、异常值等问题，需要使用相应的方法对其进行处理。这是非线性回归 分析中至关重要的一环。
1 缺失值填充
常见的方法包括插值法、代入法和主成分分析等。
2 异常值处理
常见的方法包括删除、截尾、平滑等。
3 特征缩放和标准化
为了提高模型的计算速度和准确性，需要对特征进行缩放和标准化。
偏差-方差平衡与模型复杂度
一种广泛用于图像识别和计算机 视觉领域的神经网络。
循环神经网络
一种用于处理序列数据的神经网 络，如自然语言处理。
sklearn库在非线性回归中的应用
scikit-learn是Python中最受欢迎的机器学习库之一，可以用于非线性回归的建模、评估和调参。
1 模型建立
scikit-learn提供各种非线 性回归算法的实现，如 KNN回归、决策树回归和 支持向量机回归等。

回归分析非线性回归

回归分析非线性回归

回归分析非线性回归回归分析是用于探究自变量和因变量之间关系的一种统计方法，在实际应用中，所研究的问题往往并不是简单地呈线性关系。

为了更准确地描述变量之间的复杂关系，我们需要使用非线性回归模型。

非线性回归指的是自变量与因变量之间的关系不是简单的线性关系，而是可以用其他非线性函数更好地拟合的情况。

这样的非线性函数可以是多项式函数、指数函数、对数函数等等。

非线性回归可以更好地反映实际问题的实际情况，并且通常能够提供更准确的预测结果。

在非线性回归分析中，我们需要确定非线性函数的形式以及确定函数中的参数。

对于确定非线性函数的形式，一般来说，可以通过观察数据的散点图、经验和理论分析来选择。

根据选择的非线性函数形式，我们可以使用最小二乘法等方法来确定函数中的参数。

以一个简单的例子来说明非线性回归的具体步骤。

假设我们想要研究一个人的年龄和体重之间的关系，我们可以选择一个二次多项式模型来描述这个关系。

我们的非线性回归模型可以写作：体重=β₀+β₁×年龄+β₂×年龄²+ε其中，体重是因变量，年龄是自变量，ε是误差项。

我们的目标是确定模型中的参数β₀、β₁和β₂的值，使得模型最好地拟合观察到的数据。

为了实现这个目标，我们可以使用最小二乘法来估计参数的值。

最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过最小化观测值与模型预测值之间的离差平方和来确定参数的值。

通过最小二乘法估计出的参数值，可以用于建立非线性回归模型，从而对未来的数据进行预测。

除了使用最小二乘法估计参数值之外，我们还可以使用其他的优化算法如牛顿法或梯度下降法来估计参数的值。

这些方法的选择通常取决于模型形式的复杂程度、参数数量以及数据量等因素。

需要注意的是，非线性回归模型的参数估计和预测结果都受到初始值的选择和模型形式的选择的影响。

因此，在进行非线性回归分析时，我们需要注意选择合适的初始值和合适的模型形式，以获得更准确的结果。

在实际应用中，非线性回归可以用于多个领域，比如医学、经济学、工程学等。

回归分析非线性回归

回归分析非线性回归

回归分析非线性回归回归分析是一种用于研究自变量与因变量之间关系的统计分析方法。

在回归分析中，我们使用自变量来解释因变量的变化，并建立一个数学模型来描述这种关系。

通常情况下，我们假设自变量与因变量之间是线性关系。

因此，在大多数回归分析应用中，我们使用线性回归模型。

然而，有时候我们可能会发现实际数据不符合线性关系的假设。

这时，我们就需要使用非线性回归模型来更好地解释数据。

非线性回归分析是一种通过建立非线性模型来描述自变量和因变量之间关系的方法。

在这种情况下，模型可以是各种形式的非线性函数，如指数函数、对数函数、多项式函数等。

非线性回归模型的形式取决于实际数据。

非线性回归模型的建立通常包括以下几个步骤：1.数据收集：首先需要收集与自变量和因变量相关的数据。

这些数据应该能够反映出二者之间的关系。

2.模型选择：根据实际情况选择合适的非线性模型。

常见的非线性模型有指数模型、对数模型、幂函数等。

3.参数估计：使用最小二乘法或其他拟合方法来估计模型中的参数。

这些参数描述了自变量和因变量之间的关系。

4.模型检验：对估计得到的模型进行检验，评估模型的拟合程度。

常见的检验方法有残差分析、F检验、t检验等。

5.模型解释与预测：解释模型的参数和拟合程度，根据模型进行预测和分析。

非线性回归分析的主要优点是可以更准确地描述自变量和因变量之间的关系。

与线性回归不同，非线性回归可以拟合一些复杂的实际情况，并提供更准确的预测。

此外，非线性回归还可以帮助发现自变量和因变量之间的非线性效应。

然而，非线性回归模型的建立和分析相对复杂。

首先，选择适当的非线性模型需要一定的经验和专业知识。

其次，参数估计和模型检验也可能更加困难。

因此，在进行非线性回归分析时，需要谨慎选择合适的模型和方法。

最后，非线性回归分析还需要考虑共线性、异方差性、多重共线性等统计问题。

这些问题可能影响到模型的稳定性和可靠性，需要在分析过程中加以注意。

总之，非线性回归分析是一种用于解释自变量和因变量之间非线性关系的方法。

非线性回归课件

非线性回归课件

§8.1 可化为线性回归的曲线回归
C o effi ci en ts
St andardi zed
U ns tandardize Cdoef f icie C oef f icients nts
Model
B Std. ErrorBeta
t
1
(C ons t8a.n1t9) 0 .043
190. 106
《非线性回归》PPT课件
§8.2 多项式回归
称回归模型
yi=β0+β1xi1+β2xi2+β11
x
2 i1
+β22
x
2 i2
+β12xi1xi2+εi
为二元二阶多项式回归模型。
它的回归系数中分别含有两个自变量的线性项系数β1 和β2， 二次项系数β11 和β22，并含有交叉乘积项系数β12。 交叉乘积项表示 x1与 x2的交互作用。
线性回归 y=b0+b1t
Regression Residuals
Analysis of Variance:
DF Sum of Squares
1
9454779005.1
16
1588574273.6
Mean Square 9454779005.1
99285892.1
F
Signif F
95.22782 .0000
Adjus t ed Rof t he
Model R R SquareSquareEs t imD atuerbin-W at s on
1
. 996a . 992
.89.971601E-02
. 616
a.Predic t ors : (C onst ant ), T

[VIP专享]第十二章 非线性回归分析

[VIP专享]第十二章 非线性回归分析

第十二章非线性回归分析第一节可化为直线回归的非线性回归•有些形式的曲线可以采用适当的数据转换方法转化为直线，从而用直线回归的方法来分析。

一、指数曲线•当α>0时其曲线形状见图12.1。

•对公式(12.1)取导数•可知随着x的增加，β>0的曲线的绝对生长速度越来越快，而β<0的曲线的衰减速度越来越慢。

•再对公式（12.1）取二阶导数•因此β是生长或衰减的加速度，又称相对生长率或相对衰减率，是固定不变的。

•指数曲线的回归分析模型为：•要求ε相互独立且服从同一对数正态分布。

令•并用直线回归分析的方法解得α和β的估计值•从而建立指数曲线回归方程•〔例12.1〕棉花红铃虫的产卵数（y，粒/头）与温度（x，℃）有关，调查结果见表12.1，试作回归分析。

表12.1 棉花红铃虫温度x(℃)与产卵数y(粒/头)的调查结果•解：首先作调查数据的散点图（图12.2）•将y做对数转换，•根据表12.1中的x与y’可求得•图12.2 棉花红铃虫温度x与产卵数y的散点图•据此建立指数曲线回归方程•回归方程的显著性检验，选用相关系数检验法。

•查r0.01(5)=0.874，|r|＝0.9926>0.874，因此指数曲线回归关系在0.01水平上显著（实际P＝9.01×10－6）。

带常数的指数函数•当β<0时其曲线见图12.3。

其中，α<0的曲线经常用来描述孵化过程，又称孵化曲线。

•由于是3参数曲线，所以要先求K值。

选3个等距的x值所对应的y值，有•然后作数据转换y’=ln(y-K), a’=ln a•y’=ln(y-K), a’=ln a (12.8)即可将其线性化并估计a和b值了•其图形见图12.4。

•幂函数曲线常用于描述体积、重量等倍数性资料的变化规律。

采用与指数曲线回归模型类似的方法，令y’=ln y, x’=ln x, a’=ln a，ε’=lnε(12.10)即可将幂函数曲线回归模型线性化从而建立幂函数曲线回归方程〔例12.2〕玉米杂交种四单19的果穗直径(x，cm)与穗粒重(y，g)间的关系如表12.2，试作回归分析。

第三章非线性回归分析-PPT文档资料

第三章非线性回归分析-PPT文档资料

图 3.9
y t = b 0 + b 1 x t + b 2 x t2 + b 3 x t3 + u t
图 3.10
y t = b 0 + b 1 x t + b 2 x t2 + b 3 x t3 + u t
另一种多项式方程的表达形式是 y t = b 0 + b 1 x t + b 2 x t2 + u t (3.14) 其中 b1>0, b2>0 和 b1<0, b2<0 情形的图形分别见图 3.11 和 3.12。令 xt 1 = xt， x t 2 = xt 2，上 式线性化为， y t = b 0 + b 1 x t1 + b 2 x t2 + u t (3.15) 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与图 3.11 相似。
t t
k Lnb 估参数。曲线有拐点，坐标为（ a 2 ,
） ，曲线的上下两部分对称于拐点。
be
图 3 .1 3 y t = k / (1 +
at u t
)
图 3 .1 4
b >0 情 形 的 图 形 见 图 3.7 。 x t 和 y t 的 关 系 是 非 线 性 的 。 令 y t* = 1/ y t, x t* = 1/ x t， 得
图 3.7
y t = 1/ ( a + b / x t ),
( b > 0)
图 3.8
y t = a + b /x t ,
(xt b 图 3 .6
e ut
yt = a xt b
⑷ 双曲线函数模型 1/ y t = a + b / x t + u t 也可写成， y t = 1/ ( a + b / x t + u t) y t* = a + b x t* + u t 已 变 换 为 线 性 回 归 模 型 。 其 中 ut 表 示 随 机 误 差 项 。 (3.9) (3.10)

非线性回归分析

非线性回归分析随着数据科学和机器学习的发展，回归分析成为了数据分析领域中一种常用的统计分析方法。

线性回归和非线性回归是回归分析的两种主要方法，本文将重点探讨非线性回归分析的原理、应用以及实现方法。

一、非线性回归分析原理非线性回归是指因变量和自变量之间的关系不能用线性方程来描述的情况。

在非线性回归分析中，自变量可以是任意类型的变量，包括数值型变量和分类变量。

而因变量的关系通常通过非线性函数来建模，例如指数函数、对数函数、幂函数等。

非线性回归模型的一般形式如下：Y = f(X, β) + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β表示回归系数，f表示非线性函数，ε表示误差。

二、非线性回归分析的应用非线性回归分析在实际应用中非常广泛，以下是几个常见的应用领域：1. 生物科学领域：非线性回归可用于研究生物学中的生长过程、药物剂量与效应之间的关系等。

2. 经济学领域：非线性回归可用于经济学中的生产函数、消费函数等的建模与分析。

3. 医学领域：非线性回归可用于医学中的病理学研究、药物研发等方面。

4. 金融领域：非线性回归可用于金融学中的股票价格预测、风险控制等问题。

三、非线性回归分析的实现方法非线性回归分析的实现通常涉及到模型选择、参数估计和模型诊断等步骤。

1. 模型选择：在进行非线性回归分析前，首先需选择适合的非线性模型来拟合数据。

可以根据领域知识或者采用试错法进行模型选择。

2. 参数估计：参数估计是非线性回归分析的核心步骤。

常用的参数估计方法有最小二乘法、最大似然估计法等。

3. 模型诊断：模型诊断主要用于评估拟合模型的质量。

通过分析残差、偏差、方差等指标来评估模型的拟合程度，进而判断模型是否适合。

四、总结非线性回归分析是一种常用的统计分析方法，可应用于各个领域的数据分析任务中。

通过选择适合的非线性模型，进行参数估计和模型诊断，可以有效地拟合和分析非线性关系。

在实际应用中，需要根据具体领域和问题的特点来选择合适的非线性回归方法，以提高分析结果的准确性和可解释性。

非线性回归分析的方法研究

非线性回归分析的方法研究随着数据分析技术的不断发展，非线性回归分析作为一种重要的统计分析方法，在实际应用中逐渐受到重视。

非线性回归分析主要用于探究变量之间的非线性关系，以及用于预测未来趋势。

下面我们来具体了解一下非线性回归分析的方法研究。

一、非线性回归分析的基本概念非线性回归分析是统计学中的一种基本方法，它是一种可以用来对非线性数据进行建模的方法。

其基本思路是将变量之间的关系通过一个非线性函数进行拟合，使得预测值与实际值之间的误差达到最小。

非线性回归模型包括参数估计和模型诊断两个步骤。

二、非线性回归模型选择方法在进行非线性回归分析时，模型的选择对结果的影响非常大。

目前，常见的模型选择方法有经验法则、交叉验证、信息准则等。

经验法则通常是根据经验确定模型中的非线性函数形式；交叉验证则是将数据集划分为训练集和测试集，在训练集上建立模型，在测试集上测试模型的预测精度；信息准则则是在模型的复杂度和拟合效果之间寻找平衡点，在信息准则最小的模型中选择最佳模型。

三、非线性回归模型参数估计方法非线性回归模型的参数估计是指求解模型参数的过程，主要有最小二乘法、最大似然估计和贝叶斯估计三种方法。

最小二乘法是最常用的非线性回归参数估计方法，其基本思路是使实际值和预测值的残差平方和最小化；最大似然估计则是通过设定一个目标函数来估计参数，该目标函数是实际值出现的概率密度函数的最大值；贝叶斯估计则是基于贝叶斯定理，将先验知识和观测数据结合起来计算后验概率分布，进而估计模型参数。

四、非线性回归模型的模型诊断方法非线性回归模型的诊断方法主要是用于评价模型拟合效果的好坏，常用的诊断方法包括残差分析、离群值检测、共线性和自相关等。

残差分析是最常用的诊断方法，其主要原理是对模型的残差进行检验，判断残差是否符合正态分布和独立同分布的假设；离群值检测则是用于识别数据中是否存在异常值；共线性和自相关则是用于检验模型中是否存在多重共线性或者变量之间存在自相关关系。

非线性回归分析（常见曲线及方程）

非线性回归分析（常见曲线及方程）预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。

此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。

通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1.双曲线1bay x =+2.二次曲线3.三次曲线4.幂函数曲线5.指数函数曲线(Gompertz)6.倒指数曲线y=a/e b x其中a>0，7.S型曲线(Logistic)1e x ya b-=+8.对数曲线y=a+b log x,x>09.指数曲线y=a e bx其中参数a>01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）2．预测和预测误差估计：[Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J）求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA.例2 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s2解：1. 对将要拟合的非线性模型y=a/e b x，建立M文件volum.m如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76];beta0=[8 2]';3．求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)；beta即得回归模型为：1.064111.6036e x y-=4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)；plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化。

非线性回归分析


2．向前选择法（Forward Selection）
（1）算出因变量和每个自变量的相关系数，选择具有最大 相关系数的自变量进入回归模型；
（2）对回归系数进行检验，如果检验结果是回归系数为零 ，则放弃回归方程，否则进入下一步；
（3）在上一步的方程中选入的自变量作为控制变量，分别 计算因变量与其他自变量的偏相关系数，将具有偏相关系数 绝对值最大的自变量选入回归方程，并对相应回归系数进行 检验，如果检验结果是回归系数为零，则停止进一步选择， 有效方程为前一步所建的方程，否则进行下一步的选择；
（1）拟合优度检验 回归方程的拟合优度检验就是要检验样本数据 聚集在样本回归直线周围的密集程度，从而判断回 归方程对样本数据的代表程度。
回归方程的拟合优度检验一般用判定系数 R2
实现。该指标是建立在对总离差平方和进行分解的 基础之上。
（2）回归方程的显著性检验（F检验） 回归方程的显著性检验是对因变量与所有自变 量之间的线性关系是否显著的一种假设检验。一般 采用F检验，利用方差分析的方法进行。
回归参数显著性检验的基本步骤： ① 提出假设； ② 计算回归系数的t统计量值； ③ 根据给定的显著水平α 确定临界值，或者计算
t值所对应的p值； ④ 作出判断（t对应的显著性水平小于0.05或0.1，
认为其对应的系数不会显著为0）。
例一：已知10户居民家庭的月可支配收入和消费支出数据，试
采用一元线性回归分析方法，根据可支配收入的变化来分析
多元线性回归就是研究某一个因变量和多 个自变量之间的相互关系的理论与方法。
p
y b x a i

j ji
i
j 1
i 1, 2,.....n
多元线性回归方程中变量的选取
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２．带虚拟变量的回归模型
常见的带虚拟变量的回归模型有以下二种形式：
25
虚拟变量回归预测
(１) 反映政府政策变化或某种因素发生重大变异的跳跃、间断式 模型。其模型的形式为 y i 1 2 x 2 i 3 Di i 式中 y i 为因变量，x2i 为自变量，Di 为虚拟变量，设 i 0 为观测值出 现重大变异的年份，则 Di 的取值为：
7
本例中，散点图呈现呈现一个明显的向上且上 凸的趋势，可能选择的函数关系有很多，比如， 我们可以给出如下四个曲线函数： 1) 1/y=a+b/x 2) y=a+blnx 3) y a b x 4)
y 100 a e x / b (b 0)
在初步选出可能的函数关系(即方程)后，我们必 须解决两个问题：如何估计所选方程中的参数？ 如何评价所选不同方程的优劣？
3 4 5 6 7
4 5 7 8 10
109.58 109.50 110.00 109.93 110.49
10 11 12 13
15 16 18 19
110.90 110.76 111.00 111.20
下面我们分三步进行。
5
确定可能的函数形式
为对数据进行分析，首先描出数 据的散点图，判断两个变量之间 可能的函数关系，图是本例的散 点图。 观测这13个点构成的散点图，我 们可以看到它们并不接近一条直 线，用曲线拟合这些点应该是更 恰当的，这里就涉及如何选择曲 线函数形式的问题。
13
在观测数据给定后，不同的曲线选择不会影响
( yi y ) 2 的取值。 的取值，但会影响到残差平方和
i 1 n
因此，对选择的曲线而言，决定系数和剩余标准差 都取决于残差平方和 ( yi yi )2，从而，两种选择准 则是一致的，只是从两个不同侧面作出评价。 ( yi yi )2

3
D D
1i 4 2i
i
式中：
y
i
为个人医疗保健费年支出额；
D1i
D2i
x
2i
为年收入额； D1i 和 D2i
为虚拟变量， D1i 和 D2i 取值分别为
1 0
1 0
文化程度为大专 其他
文化程度为本科及本科以上 其他
估计参数，并进行各种检验。
方法如前所述。
luv 0.00017717
ˆ b luv / luu 0.00082917
ˆ ˆ a v ub 0.00896663
y x 0.00082917 0.00896663x
10
用类似的方法可以得出其它三个曲 线回归方程，它们分别是：
y 106.3147 3.9466ln
21
例子
（5）预测
将 1991 年该商店零售额 36.33 元代入模型，得 1991 年流通费 用率为

y 2.5611 42.8726
1 3.74 36.33
故 1991 年 该 商 店 商 品 流 通 费 用 总 额 预 测 值 为 ：
36.33 3.74% 1.3587 万元。
i i 2 2

i
xi ( xi)
1.9378
n y ( i
y i)
2
＝
0.045199 10 268 .58 (51 .0) 2
1.9378 0.9898 1.9578
由于商品零售额增加，流通费用率呈下降趋势，二者之间为负 相关关系，故相关系数取负值为：－0.9898。说明两者高度相关， 用双曲线回归模型配合进行预测是可靠的。
i 1
n

i 1
n

14
表给出第一个曲线回归方程的残差平方和的 计算过程， 由于n=13， (y y ) 0.5743 ， 故其 决定系数及剩余标准差分别为：
13 2 i 1 i
R2 1
0.5743 0.9729, 21.2105
s
0.5743 0.2285 13 2
0, Di 1, i i0 i i0
Yi
0
i 0 为发生转折点的年份， x2i 为 i 0 年份 x 2 的观测值。
其中的趋势变化如右图所示
Xi02 X2
27
虚拟变量回归预测
建立含有多个虚拟变量的回归模型
以个人医疗保健费年支出额为例，其模型为
y x
i 1 2
2i
28
虚拟变量的回归模型应用举例
例 某省农业生产资料购买力和农民货币收入统计数据， 根据上述统计数据，试建立一元线性回归模型和带虚拟变量 的回归模型，并将两模型对比分析 i1979 年 0, Di 表 5.5.3 单位：十亿元 i 1979 年 1,
年份 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 农资购买力 y 1.3 1.3 1.4 1.5 1.8 2.1 2.3 2.6 2.7 5.0 5.2 农民货币收入 x 4.7 5.4 5.5 6.9 9.0 10.0 11.3 15.4 15.2 19.3 27.8
9
参数估计计算表
u
u
i
2.05088194
n 13
v
i
0.11826672
u 0.15776015
2 i
v 0.00909744
0.53721798
u v
i i
0.01883495
nu 2 0.32354744
luu 0.21367054
nuv 0.01865778
y 106.3013 1.1947
y 100 11.7506 e1.1256/
x
x
x
11
曲线回归方程的比较
我们上面得到了四个曲线回归方程，通常可采用如 下二个指标进行选择。 （1）决定系数R ：类似于一元线性回归方程中相关系 数，决定系数定义为：
R2 1
2 2
( yi yi ) 2 ( yi y ) 2
29
虚拟变量回归模型的应用举例
解： （１）一元线性回归模型。计算结果如下：
ˆ y 1.0161 0.09357 x
R 2 0.8821
S 0.2531
F 67.3266
从上述计算结果看，模型的估计标准误差Ｓ较大，可决系 数
R
2
也不太理想，说明该模型对实际数据的拟合度较一般。
30
2
R 越大，说明残差越小，回归曲线拟合越好， R 从 总体上给出一个拟合好坏程度的度量。
12
（2）剩余标准差s：类似于一元线性回归中标准差的估计 公式，此剩余标准差可用残差平方和来获得，即
s ( yi yi ) 2 n2
ˆ s为诸观测点yi与由曲线给出的拟合值 yi 间的平均偏离程 度的度量，s越小，方程越好。
8
对上述非线性函数，参数估计最常用的方法 是“线性化”方法。 以1/y=a+b/x为例，为了能采用一元线性回归 分析方法，我们作如下变换u=1/x,v=1/y 则曲线函数就化为如下的直线v=bu 这是理论回归函数。对数据而言，回归方程为 vi=a+ bui + i 于是可用一元线性回归的方法估计出a,b。
3
一次非线性回归
炼钢厂出钢水时用的钢包，在使用过程中由于钢水 及炉渣对耐火材料的浸蚀，其容积不断增大。现在钢 包的容积用盛满钢水时的重量y (kg)表示，相应的试 验次数用x表示。数据见表，要找出y 与x的定量关系 表达式。
4
钢包的重量y与试验次数x数据
序号 1 2 x 2 3 y 106.42 108.20 序号 8 9 x 11 14 y 110.59 110.60
虚拟变量回归模型的应用举例
（２）带虚拟变量的线性回归模型 从上述统计数据可以看出，由于 1979 年党的农村经济政策的影响，农村 经济形势发生了巨大的变化，农民货币收入和农业生产资料购买力发生了重 大变异，因此，需引入虚拟变量 Di 来反映经济政策的影响。设 Di 的取值为：
＝
1.9378 ＝ 42.8726 0.045199
i



1
y
n


x
i

i
n

51 .0 0.5922 42 .8726 2.5611 10 10
得回归模型为：
y 2.5611 42.8726
1 x
20
例子
（4）相关系数
R n n xi
2

y x y
17
例子
解： （１）绘制散点图。从图中可以清楚的看到：随着商品零售 额的增加，流通费用率有不断下降的趋势，呈双曲线形状。
8 7 6 5 4 3
5 10 15 20 25 30
y (%)
x (万元)
35
图 6.5.1 商品零售额与商品流通费用率的散点图
18
例子
（２）建立双曲线模型
y
i

1



一元非线性回归分析
袁克虹 办公电话：26032453 办公地点:L楼305B 邮件：yuankh@ 2011.04.29
回顾-一元一次线性回归
步骤： 1.观察散点图 2.判断是什么关系; 3. 回归参数计算； 4. 判断系数； 5.显著性检验（注意H0） 6.失拟合检验（注意需要的条件） 相关系数，判断系数
22
本章小节
回归分析和相关分析目的不同
在回归分析中，寻找的是变量之间的关 系，代表这种关系的方程可能就是所期望 的结果，也可能是所期望预测的均值。