压轴海量各区一二模

最新压轴题汇总2023年上海各区中考数学二模试卷汇总本文档旨在为2023年上海各区中考的数学二模试卷提供最新的压轴题汇总。

以下是对各区试卷的简要总结和提供的压轴题目。

区一数学二模试卷压轴题目1题目描述：在平面坐标系中，已知点A(2, 3)和B(-1, 4)，求线段AB的中点的坐标。

解析：根据平面几何知识，线段AB的中点的坐标可以通过将两个端点的坐标相加再除以2来计算。

所以中点的坐标为((2 - 1)/2, (3 + 4)/2)，即(0.5, 3.5)。

压轴题目2题目描述：已知直线L1的方程为3x - 4y = 12，求直线L2与L1的交点坐标。

解析：要求两条直线的交点坐标，可以将两条直线的方程联立求解。

首先，将直线L1的方程转化为一般式，得到3x - 4y - 12 = 0。

然后，代入直线L2的方程，求解方程组3x - 4y - 12 = 02x + 5y = 6求得交点坐标为(x, y) = (6, -2)。

区二数学二模试卷压轴题目1题目描述：在一个圆的内接正方形中，以正方形的一个顶点为圆心，作一个与正方形相切的圆，求内接圆的直径。

解析：在一个内接正方形中，对角线的长度等于内接圆的直径。

设正方形的边长为a，则对角线的长度为sqrt(2)a。

因此，内接圆的直径等于sqrt(2)a。

压轴题目2题目描述：已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(x)的最小值和对应的x值。

解析：函数的最小值对应于顶点的纵坐标。

通过求导数可得f'(x) = 4x - 3。

令f'(x) = 0，解得x = 3/4。

将x = 3/4代入原函数，可得最小值f(3/4) = -1/8。

以上是对2023年上海各区中考数学二模试卷压轴题目的简要汇总。

希望本文档对您的备考有所帮助。

祝您取得好成绩！。

1、K 和a 对图像的影响：房山一摸、海淀二模2、水平交点：西城一模、顺义一模、朝阳一模、大兴一模、平谷二模、房山二模3、竖直交点：平谷一模、东城一模、4、斜线段交点：门头沟一模、延庆一模、东城二模、西城二模、朝阳二模、丰台二模5、整点问题：燕山一模、丰台一模、门头沟二模6、恒成立问题：石景山一模、顺义二模7、对称性线段长度：通州一模、海淀一模、怀柔一模8、特殊三角形：石景山二模、昌平二模、密云一模1、K 和a 对图像的影响（房山）26．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x mx n =++的图象经过点A (−1，a )，B (3，a )，且顶点的纵坐标为-4．（1）求m ，n 和a 的值；（2）记二次函数图象在点A ，B 间的部分为G (含点A 和点B )，若直线2y kx =+与图象G 有公共点，结合函数图象，求k 的取值范围．（海淀）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y =ax 2-2ax +3与直线l ：y =kx +b 交于A ，B 两点，且点A在y 轴上，点B 在x 轴的正半轴上．（1）求点A 的坐标；（2）若a =-1，求直线l 的解析式；（3）若-3＜k ＜-1，求a 的取值范围．2、水平交点（顺义）26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(3)3y mx m x =+--（0m >）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ,4=AB ，点D 为抛物线的顶点.（1）求点A 和顶点D 的坐标；（2）将点D 向左平移4个单位长度，得到点E ,求直线BE 的表达式；（3）若抛物线26=-y ax 与线段DE 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.（大兴）26.在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线2-41y ax ax =+（1）求抛物线的对称轴；（2）若抛物线过点A （-1，6），求二次函数的表达式；（3）将点A （-1，6）沿x 轴向右平移7个单位得到点B ，若抛物线与线段AB 始终有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围.（西城）26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx n =-+．（1）当2m =时，①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标；②若点1(2,)A y -，22(,)B x y 都在抛物线上，且21y y >，则2x 的取值范围是_______；（2）已知点P (－1,2)，将点P 向右平移4个单位长度，得到点Q ．当n ＝3时，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求m 的取值范围．右平移4个单位长度，得到点B .（1）求点B 的坐标；（2）将抛物线在直线y =a 上方的部分沿直线y =a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M ，若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围.（平谷）26．已知：二次函数C 1：()21210y ax ax a a =++-≠．（1）把二次函数C 1的表达式化成()()20y a x h b a =-+≠的形式，并写出顶点坐标；（2）已知二次函数C 1的图象经过点A （－3,1）．①求a 的值；②点B 在二次函数C 1的图象上，点A ，B 关于对称轴对称，连接AB ．二次函数C 2：()220y kx kx k =+≠的图象，与线段AB 只有一个交点，求k 的取值范围．（房山）26.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (0,2),B (2,2),抛物线F ：y =x 2-2mx +m 2-2.(1)求抛物线F 的顶点坐标(用含m 的式子表示)；(2)当抛物线F 与线段AB 有公共点时,直接写出m 的取值范围.3、竖直交点（平谷）26．平面直角坐标系xOy 中，抛物线3222-+-=m mx x y 与y 轴交于点A ，过A 作AB ∥x 轴与直线x =4交于B 点．（1）抛物线的对称轴为x =（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线经过点A ，B 时，求此时抛物线的表达式；（3）记抛物线在线段AB 下方的部分图象为G （包含A ，B 两点），点P （m ,0）是x 轴上一动点，过P 作PD ⊥x 轴于P ，交图象G 于点D ，交AB 于点C ，若CD ≤1，求m 的取值范围．（东城）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2691(0)y mx mx m m =-++≠（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点分别为A 和B （点A 在点B 的左侧），且AB =4，求m 的值；（3）已知四个点C （2,2），D （2,0），E （5,-2），F （5,6），若抛物线与线段CD 和线段EF 都没有公共点，请直接写出m 的取值范围．4、斜线段交点（延庆）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2432y ax ax a =-+-（0a ≠）的对称轴与x轴交于点A ，将点A 向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B ．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标；（2）若抛物线与线段AB 有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．（门头沟）26．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y x =+的图象与x 轴交于点A ，与过点（0，5）平行于x 轴的直线l 交于点B ，点A 关于直线l 的对称点为点C ．（1）求点B 和点C 坐标；（2）已知某抛物线的表达式为222y x mx m m =-+-．①如果该抛物线顶点在直线4y x =+上，求m 的值；②如果该抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．（东城）26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2-2mx +m 2-1与y 轴交于点C ．（1）试用含m 的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y =x 2-2mx +m 2-1沿直线1y =-翻折，得到的新抛物线与y 轴交于点D ．若m ＞0，CD =8，求m 的值；（3）已知A (2k ，0)，B (0，k )，在（2）的条件下，当线段AB 与抛物线y =x 2-2mx +m 2-1只有一个公共点时，直接写出k 的取值范围．（西城）26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =ax 2+bx +a -2的对称轴是直线x =1.(1)用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标；(2)已知点A (0，-4)，B (2，-3)，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；(3)若抛物线与x 轴的一个交点为C (3，0)，且当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是m ≤y ≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值.（朝阳）26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-2a 2x (a ≠0)的对称轴与x 轴交于点P .(1)求点P 的坐标(用含a 的代数式表示)；(2)记函数y =3944x -+(-1≤x ≤3)的图象为图形M ，若抛物线与图形M 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围.（丰台）26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1:y =ax 2-2ax -3a (a ≠0)和点A (0，-3)，将点A 向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B .(1)求点B 的坐标；(2)求抛物线C 1的对称轴；(3)把抛物线C 1沿x 轴翻折，得到一条新抛物线C 2，抛物线C 2与抛物线C 1组成的图象记为G ，若图象G 与线段AB 恰有一个交点时，结合图象，求a 的取值范围.5、整点问题（燕山）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =--≠的顶点为D ，与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)．(1)当1a =时，求点A ，B ，D 的坐标；(2)横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内(不含边界)恰有7个整点，结合函数图象，求a 的取值范围．（丰台）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2过原点和点A （-2，0）.（1）求抛物线的对称轴；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点B （0），记抛物线与直线AB 围成的封闭区域（不含边界）为W ．①当=1a 时，求出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．（门头沟）26.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =ax 2-2ax -3a (a ≠0)顶点为P ,且该抛物线与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧).我们规定:抛物线与x 轴围成的封闭区域称为“G 区域”(不包含边界):横、纵坐标都是整数的点称为整点.(1)求抛物线y =ax 2-2ax -3a 顶点P 的坐标(用含a 的代数式表示)；(2)如果抛物线y =ax 2-2ax -3a 经过(1,3).①求a 的值;②在①的条件下,直接写出“G 区域”内整点的个数.(3)如果抛物线y =ax 2-2ax -3a 在“G 区域”内有4个整点,直接写出a 的取值范围.6、恒成立问题（石景山）26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y kx =+(0)k ≠经过点(2,3)A ，与y 轴交于点B ，与抛物线2y ax bx a =++的对称轴交于点(,2)C m .（1）求m 的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）11(,)N x y 是线段AB 上一动点，过点N 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点22(,)P x y ,33(,)Q x y （点P 在点Q 的左侧）．若213x x x <<恒成立，结合函数的图象，求a 的取值范围．（顺义）26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =mx 2+2mx -3(m >0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，该抛物线的顶点D 的纵坐标是-4.(1)求点A 、B 的坐标；(2)设直线l 与直线AC 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的表达式；(3)平行于x 轴的直线b 与抛物线交于点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，与直线l 交于点P (x 3，y 3)若x 1＜x 3＜x 2，结合函数图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围.7、对称性线段长度（通州）26.已知二次函数2y x ax b =-+在0x =和4x =时的函数值相等．（1）求二次函数2y x ax b =-+的对称轴；（2）过P （0，1）作x 轴的平行线与二次函数2y x ax b =-+的图象交于不同的两点M 、N .①当2MN =时，求b 的值；②当=4PM PN +时，请结合函数图象，直接写出b 的取值范围．（海淀）26．在平面直角坐标系x O y 中，抛物线2y ax bx c =++(0)a >经过点(03)A ，-和(30)B ，．（1）求c 的值及a b ，满足的关系式；（2）若抛物线在A ，B 两点间，从左到右上升，求a 的取值范围；（3）结合函数图象判断：抛物线能否同时经过点(1)(4)M m n N m n ，，，-+-？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n 的值；若不能，请说明理由．（怀柔）26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222++-=a ax x y 2的顶点C ，过点B （0，t ）作与y 轴垂直的直线l ，分别交抛物线于E ，F 两点，设点E （x 1，y 1），点F （x 2，y 2）（x 1＜x 2）．（1）求抛物线顶点C 的坐标；（2）当点C 到直线l 的距离为2时，求线段EF 的长；（3）若存在实数m ，使得x 1≥m -1且x 2≤m +5成立，直接写出t 的取值范围．8、特殊三角形（石景山）26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =x 2-2mx +m 2-1.(1)求抛物线的对称轴(用含m 的式子去表示)；(2)若点(m -2，y 1)，(m ，y 2)，(m +3，y 3)都在抛物线y =x 2-2mx +m 2-1上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为；(3)直线y =-x +b 与x 轴交于点A (3，0)，与y 轴交于点B ，过点B 作垂直于y 轴的直线l 与抛物线y =x 2-2mx +m 2-1有两个交点，在抛物线对称轴右侧的点记为P ，当△OAP 为钝角三角形时，求m 的取值范围.x 轴上.（1）点A 的坐标为________.（2）①用等式表示a 与b 之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；②当AB ≤a 的取值范围.（密云）26．已知抛物线2224y x mx m =-+-，抛物线的顶点为P .（1）求点P 的纵坐标．（2）设抛物线x 轴交于A 、B 两点，1122(,),(,)A x y B x y ，21x x >.①判断AB 长是否为定值，并证明．②已知点M （0，-4），且MA ≥5，求21-x x m +的取值范围．。

2024年北京各区二模压轴1.(2024顺义二模)已知点集M n =x 1,y 1 ,x 2,y 2 ,⋯,x n ,y n n ≥3 满足0≤x i ,y i ,x i +y i ≤2i =1,2,⋯,n . 对于任意点集M n ,若其非空子集A ,B 满足A ∩B =⌀,A ∪B =M n ,则称集合对A ,B 为M n 的一个优划分. 对任意点集M n 及其优划分A ,B , 记A 中所有点的横坐标之和为X A ,B 中所有点的纵坐标之和为Y B .(1)写出M 3=1,1 ,2,0 ,0,2 的一个优划分A ,B ,使其满足X A +Y B =3;(2)对于任意点集M 3,求证:存在M 3的一个优划分A ,B ,满足X A +Y B ≤3;(3)对于任意点集M n ,求证:存在M n 的一个优划分A ,B ,满足X A ≤n +12且Y B ≤n +12.2.(2024通州二模)从数列a n 中选取第i 1项,第i 2项,第i m 项1≤i 1<i 2<⋯<i m ,若数列a i 1,a i 2,⋯,a i m是递增数列或递减数列(规定m =1时,该数列既是递增数列,也是递减数列),称a i 0, a i 0,⋯,a i m 为数列a n 的长度为m 的单调子列. 已知有穷数列A :a 1,a 2,⋯,a n (n ≥3),任意两项均不相同,现以A 的每一项a i 为首项选取长度最大的递增的单调子列,设其共有b i 项,则b 1,b 2,⋯ , b n 构成一个新数列B .(1)当数列A 分别为以下数列时,直接写出相应的数列B ;(i )1,3,5,7;(ii )4,1,2,6,3 .(2)若数列A 为等差数列,求证:数列B 为等差数列;(3)若数列A 共有t 2+1t ∈N * 项,求证:A 必存在一个长度为t +1的单调子列.3.(2024昌平二模)已知Q :a 1,a 2,⋯,a N 为有穷正整数数列, a 1≤a 2≤⋯≤a N ,且s =a 1+a 2+⋯+a N . 从Q 中选取第i 1项,第i 2项, ⋯,第i m 项i 1<i 2<⋯<i m ,称数列a i 1,a i 2,⋯,a i m 为Q 的长度为m 的子列. 规定:数列Q 的任意一项都是Q 的长度为1的子列. 若对于任意的正整数t ≤s , 数列Q 存在长度为m 的子列a i 1,a i 2,⋯,a i m ,使得a i 1+a i 2+⋯+a i m=t ,则称数列Q 为全覆盖数列.(1)判断数列1,1,1,5和数列1,2,4,8是否为全覆盖数列;(2)在数列Q 中,若s ≤2N -1,求证:当2≤n ≤N 时, a n ≤n ≤1+a 1+a 2+⋯+a n -1;(3)若数列Q 满足:a 1=1,且当2≤n ≤N 时, a n ≤n ≤1+a 1+a 2+⋯+a n -1,求证:数列Q 为全覆盖数列.4.(2024丰台二模)将正整数数列N 0：1,2,3,4,⋯中项数为平方数的项依次选出构成数列A 1：1,4,9,16,⋯,此时数列N 0中剩下的项构成数列N 1：2,3,5,6,⋯;再将数列N 1中项数为平方数的项依次选出构成数列A 2:2,6,12,20,⋯,剩下的项构成数列N 2;⋯,如此操作下去,将数列N k -1k ∈N * 中项数为平方数的项依次选出构成数列A k ,剩下的项构成数列N k .(1)分别写出数列A 3,A 4的前2项;(2)记数列A m 的第n 项为f m ,n . 求证:当n ≥2时, f m ,n -f m ,n -1 =2n +m -2;(3)若f m ,n =108,求m ,n 的值.5.(2024朝阳二模)设n 为正整数,集合A n =α∣α=a 1,a 2,⋯,a n ,a i ∈{0,1},i =1,2,⋯,n .对于α=a 1,a 2,⋯,a n ∈A n ,设集合P α =t ∈N ∣0≤t ≤n -1,a i +t =a i ,i =1,2,⋯,n -t .(1)若α=0,1,0,0,1,0 ,β=0,1,0,0,1,0,1,0 ,写出集合P α ,P β ;(2)若α=a 1,a 2,⋯,a n ∈A n ,且s ,t ∈P α 满足s <t ,令α =a 1,a 2,⋯,a n -s ∈A n -s ,求证:t -s ∈P α ;(3)若α=a 1,a 2,⋯,a n ∈A n ,且P α =s 1,s 2,⋯,s m s 1<s 2<⋯<s m ,m ≥3 ,求证：2s k +1≥s k +s k +2k =1,2,⋯,m -2 .6.(2024东城二模)已知A n :a 1,a 2,⋯,a n n ≥3 为有穷整数数列,若A n 满足:a i +1-a i ∈{p ,q }i =1,2,⋯,n -1 ,其中p ,q 是两个给定的不同非零整数,且a 1=a n =0,则称A n 具有性质T .(1)若p =-1,q =2,那么是否存在具有性质T 的A 3?若存在,写出一个这样的A 5;若不存在,请说明理由;(2)若p =-1,q =2,且A 10具有性质T ,求证:a 1,a 2,⋯,a 9中必有两项相同;(3)若p +q =1,求证:存在正整数k ,使得对任意具有性质T 的A k ,都有a 1,a 2,⋯,a k -1中任意两项均不相同.7.(2024西城二模)数列A ：a 1,a 2,⋯,a n 从A 中选取第i 1项、第i 2项、⋯、第i k 项i 1<i 2<⋯<i k 构成数列B ：a i 1,a i 2,⋯,a i k,B l 称为A 的k 项子列.记数列B 的所有项的和为T B .当k ≥2时,若B 满足:对任意s ∈{1,2,⋯,k -1},i s +1-i s =1,则称B 具有性质P .规定:A 的任意一项都是A 的1项子列,且具有性质P .(1)当n =4时,比较A 的具有性质P 的子列个数与不具有性质P 的子列个数的大小,并说明理由;(2)已知数列A ：1,2,3,⋯,n n ≥2 .(i )给定正整数k ≤n 2,对A 的k 项子列B ,求所有T B 的算术平均值;(ii )若A 有m 个不同的具有性质P 的子列B 1,B 2,⋯,B m ，满足:∀1≤i <j ≤m ,B i 与B j 都有公共项,且公共项构成A 的具有性质P 的子列,求m 的最大值.8.(2024海淀二模)设正整数n ≥2,a i ∈N *,d i ∈N *，A i =x ∣x =a i +k -1 d i ,k =1,2,⋯ ，i =1,2,⋯,n . 若A 1∪A 2∪⋯∪A n =N *,A i ∩A j =⌀1≤i <j ≤n ,则称A 1,A 2,⋯,A n 具有性质P .(1)当n =3时,若A 1,A 2,A 3具有性质p ,且a 1=1,a 2=2,a 3=3,令m =d 1d 2d 3,写出m 的所有可能值;(2)若A 1,A 2,⋯,A n 具有性质P ,(i )求证:a i ≤d i i =1,2,⋯,n ；(ii )求n i =1a i d i 的值.。

2021年上海市各区中考数学模拟压轴题图文解析目录第24、25题图文解析例2021年上海市宝山区中考第24、25题/ 2例2021年上海市崇明县中考第24、25题/ 6例2021年上海市奉贤区中考第24、25题/ 10例2021年上海市虹口区中考第24、25题/ 14例2021年上海市黄浦区中考第24、25题/ 19例2021年上海市嘉定区中考第24、25题/ 22例2021年上海市金山区中考第24、25题/25例2021年上海市静安区中考第24、25题/28例2021年上海市闵行区中考第24、25题/ 33例2021年上海市浦东新区中考第24、25题/ 36例2021年上海市普陀区中考第24、25题/ 40例2021年上海市青浦区中考第24、25题/ 44例2021年上海市松江区中考第24、25题/ 48例2021年上海市徐汇区中考第24、25题/ 51例2021年上海市杨浦区中考第24、25题/ 55例2021年上海市长宁区中考第24、25题/60第18题图文解析例2021年上海市宝山区中考第18题/ 64例2021年上海市崇明县中考第18题/ 65例2021年上海市奉贤区中考第18题/ 66例2021年上海市虹口区中考第18题/ 67例2021年上海市黄浦区中考第18题/ 68例2021年上海市嘉定区中考第18题/ 69例2021年上海市金山区中考第18题/70例2021年上海市静安区中考第18题/ 71例2021年上海市闵行区中考第18题/ 72例2021年上海市浦东新区中考第17题/ 73例2021年上海市浦东新区中考第18题/ 74例2021年上海市普陀区中考第18题/ 75例2021年上海市青浦区中考第18题/ 76例2021年上海市松江区中考第18题/ 77例2021年上海市徐汇区中考第18题/ 78例2021年上海市杨浦区中考第18题/ 79例2021年上海市长宁区中考第18题/80例 2021年上海市宝山区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1（a ≠0）经过点A (－2, 0)、B (1, 0)和D (－3, n )，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）将抛物线平移，使点C 落在点B 处，点D 落在点E 处，求△ODE 的面积；（3）如果点P 在y 轴上，△PCD 与△ABC 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“21宝山24”，可以体验到，△ODE 与△OMN 是同高三角形．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点P 在运动，可以体验到，△PCD 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．第（1）题先写出抛物线的交点式，再根据常数项相等列关于a 的方程．2．第（2）题求△ODE 的面积可以用割补法，也可以先求直线DE 与坐标轴围成的三角形的面积，再根据同高三角形的面积比等于底边的比来解．3．第（3）题关键的一步是寻找一组等角，然后根据夹角的两条边对应成比例，分两种情况列方程求CP 的长．图文解析（1）抛物线的交点式为y ＝a (x ＋2)(x －1)，对照y ＝ax 2＋bx －1，根据常数项相等， 得－2a ＝－1．解得12a =． 所以2111(2)(1)1222y x x x x =+-=+-． 当x ＝－3时，11(2)(1)(1)(4)222y x x =+-=⨯-⨯-=．所以D (－3, 2)． （2）如图2，点C (0,－1)先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点B (1, 0)． 所以点D (－3, 2)按C →B 的方向平移，得到点E (－2, 3)．由D (－3, 2)、E (－2, 3)，得直线DE 的解析式为y ＝x ＋5．直线DE 与y 轴交于点M (0, 5)，与x 轴交于点N (－5, 0)，所以S △OMN ＝252． 因为15DE MN =，所以S △ODE ＝15S △OMN ＝52．（3）如图2，由A (－2, 0)、B (1, 0)、C (0,－1)，可知∠ABC ＝45°，BA ＝3，BC ．如图3，由D (－3, 2) 、C (0,－1)，可知∠DCO ＝45°，CD ＝当点P 在y 轴上点C 上方时，∠DCP ＝∠ABC ＝45°，分两种情况讨论相似： ①当CP BACD BC ==．解得CP ＝9．此时P (0, 8)（图3中的点P ′）．②当CPBCCD BA ==．解得CP ＝2．此时P (0, 1) （图3中的点P ）．图2 图3考点伸展第（2）题求△ODE 的面积的方法多样，例如S △ODE ＝S △OMN ―S △OME ―S △OND ．例 2021年上海市宝山区中考模拟第25题如图1，已知AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B 、C ，AC 与BD 交于点P ．（1）如果AB ＝3，CD ＝5，以点P 为圆心作圆，⊙P 与直线BC 相切．①求圆P 的半径长；②若BC ＝8，以BC 为直径作⊙O ，试判断⊙O 与⊙P 的位置关系，并说明理由．（2）如果分别以AB 、CD 为直径的两圆外切，求证：△ABC 与△BCD 相似．图1动感体验请打开几何画板文件名“21宝山25”，拖动点C 运动，改变BC 的长度，可以体验到，PH 的长度始终保持不变．观察度量值，可以体验到，当BC ＝8时，⊙O 与⊙P 内切．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，拖动点A 或点C 改变两圆的半径，可以体验到，当两圆相切时，△ABC 与△BCD 始终保持相似．思路点拨1．第（1）题用字母表示线段的长，设BH ＝m ，CH ＝n ，计算起来比较方便．2．判断两圆的位置关系，需要罗列三要素，即两圆半径和圆心距．3．第（2）题中蕴含了两个经典，一是外切两圆的圆心以及外公切线的两个切点，围成了一个直角梯形，一般策略是把这个直角梯形分割为一个矩形和一个直角三角形．另一个经典是代数计算，用到了两个完全平方公式的差．图文解析（1）①如图2，设⊙P 与直线BC 相切于点H ，那么PH ⊥BC ．设BH ＝m ，CH ＝n ．由PH //AB //DC ，得PH CH n AB BC m n ==+，PH BH m DC BC m n ==+． 两式相加，得1PH PH AB DC +=． 所以135PH PH +=． 解得r P ＝PH ＝158．图2 图3②如图3，因为BC ＝8，那么rO ＝OB ＝4． 由=PH BH DC BC ，得15858=BH ．解得BH ＝3． 在Rt △POH 中，PH ＝158，OH ＝OB －BH ＝4－3＝1，由勾股定理，得PO ＝178． 因为r O －r P ＝1548-＝178，所以d ＝PO ＝r O －r P ． 图4 所以⊙O 与⊙P 内切（如图4所示）．（2）如图5，设AB ＝2a ，DC ＝2b ，那么AB ·DC ＝4ab ．取AB 的中点M ，DC 的中点N ，联结MN ．那么r M ＝a ，r N ＝b ．作MG ⊥DC 于G ，得矩形BCGM ．在Rt △MNG 中，MN ＝b ＋a ，NG ＝b －a ，所以MG 2＝(b ＋a )2－(b －a )2＝4ab ．所以AB ·DC ＝MG 2．又因为MG ＝BC ，所以=AB BC BC DC． 又因为∠ABC ＝∠BCD ＝90°，所以△ABC ∽△BCD （如图6所示）．图5 图6考点伸展我们把第（1）题一般化．如图7，AC 与BD 交于点P ，AB //PH //DC ，如果AB ＝3，DC ＝5，那么PH ＝158．求解过程完全相同，与BC 的长无关，与AB 的斜率无关．图7例 2021年上海市崇明区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x －3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A 和B ，且其顶点为D ．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠BAD 的正切值；（3）设点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，点E 为抛物线的对称轴与直线y ＝x －3的交点，点P 是直线y ＝x －3上的动点，如果△P AC 与△AED 是相似三角形，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“21崇明24”，拖动点P 在BA 的延长线上运动，可以体验到，△P AC 与△AED 相似存在两种情况．思路点拨1．第（2）题由A 、B 、D 三点的坐标，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形．2．第（3）题关键的一步，是寻求一组相等的角，然后根据夹角的两边对应成比例分两种情况列方程求AP 的长，进而求点P 的坐标．图文解析（1）由y ＝x －3，得A (3, 0)，B (0,－3)．因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、C 两点，设y ＝(x －3)(x －x C )．代入点B (0,－3)，得－3＝－3(－x C )．解得x C ＝－1．所以y ＝(x －3)(x ＋1)＝x 2－2x －3，顶点为D (1,－4)．（2）如图2，由A (3, 0)、B (0,－3)、D (1,－4)，得AB 2＝18，BD 2＝2，AD 2＝20． 所以AB 2＋BD 2＝AD 2．所以△ABD 是直角三角形，∠ABD ＝90°．所以tan ∠BAD ＝BD AB ＝13．图2（3）如图3，由A (3, 0)，B (0,－3)，得OA ＝OB ，∠OAB ＝45°．抛物线的顶点为D (1,－4)，当x ＝1时，y ＝x －3＝－2．所以E (1,－2)．所以ED ＝2，EA ＝当点P 在BA 的延长线上时，∠CAP ＝∠AED ＝135°，分两种情况讨论△P AC 与△AED 相似．①当AP EA AC ED =时，4AP =AP ＝ 作PH ⊥x 轴于H ，那么PH ＝AH ＝4．此时P (7, 4)（如图3所示）．②当AP EDAC EA =时，4AP =AP ＝ 此时PH ＝AH ＝2，P (5, 2) （如图4所示）．图3 图4考点伸展第（2）题也可以用几何计算的方法．如图2，作DF ⊥y 轴于F ．由△OAB 和△DFB 都是等腰直角三角形，得到∠ABD ＝90°．直角三角形ABD 两条直角边的比，就是两个等腰直角三角形斜边的比，等于相似比1∶3．例 2021年上海市崇明区中考模拟第25题如图1，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，点F在边AD上，EF⊥BD，垂足为点G．（1）如图2，当矩形ABCD为正方形时，求DGGB的值；（2）如果15=DGGB，AF＝x，AB＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）如果AB＝4cm，以点A为圆心，3cm长为半径的⊙A与以点B为圆心的⊙B外切，以点F为圆心的⊙F与⊙A、⊙B都内切，求DGGB的值．图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21崇明25”，拖动点D运动，可以体验到，⊙F与⊙A内切的切点是确定的，⊙F与⊙B内切时，Rt△ABF就确定了．思路点拨1．这三个小题都和DG∶GB相关，因此添加辅助线的方法是一致的，延长FE交BC 的延长线于点M，这样就利用了中点E．2．第（3）题中，⊙A、⊙B、⊙F的半径分别为3、1、r，当⊙F与⊙A、⊙B都内切时，用r表示圆心距AF、BF，再利用勾股定理解Rt△ABF，就得到了AF的长．图文解析（1）设正方形ABCD的边长为2a．如图3，延长FE交BC的延长线于点M．因为AD//BM，E是DC的中点，所以DF＝CM．因为△DEG是等腰直角三角形，所以△DEF也是等腰直角三角形．所以DF＝DE＝CE＝CM＝a．再由AD//BM，得1===33 DG DF aGB BM a．（2）如图4，延长FE交BC延长线于点M．设DF＝m．因为AD//BM，E是DC的中点，所以DF＝CM＝m．再由AD//BM，得15DF DGBM BG==．所以BM＝5DF＝5m．所以BC＝5m－m＝4m．所以AF＝4m－m＝3m＝x．所以m＝13x．如图5，根据等角的余角相等，得∠1＝∠2．由tan ∠1＝tan ∠2，得CB CE CD CM=．所以142=y m y m ．所以228=y m ．因为x ＞0，y ＞0，所以3==y x ．定义域是x ＞0．图3 图4 图5（3）如图6，因为⊙A 与⊙B 外切，所以圆心距AB ＝r A ＋r B ．所以3＋r B ＝4．解得r B ＝1．设⊙F 的半径为r ．因为⊙F 与⊙A 、⊙B 都内切，所以圆心距AF ＝r F －r A ＝r －3，圆心距BF ＝r F －r B ＝r －1．在Rt △ABF 中，根据勾股定理，得AB 2＋AF 2＝BF 2．所以42＋(r －3)2＝(r －1)2． 解得r ＝6．所以AF ＝r －3＝3．如图7，设DF ＝CM ＝m ，那么BC ＝m ＋3．由△DCB ∽△ECM ，得=CD CM CB CE ．所以432=+m m ．整理，得m 2＋3m －8＝0．解得m ．如图8，由AD //BM ，得23==+DG FD m GB BM m ．代入=m DG GB ．图6 图7 图8考点伸展第（3）题中的⊙F 不存在其他情况，从解题过程可以看到，圆心距AF 不论表示为r －3还是3－r ，圆心距BF 不论表示为r －1还是1－r ，由勾股定理得42＋(r －3)2＝(r －1)2，这个方程是一元一次方程，解是唯一的．例 2021年上海市奉贤区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知B (0, 2)、C 3(1,)2-，点A 在x 轴正半轴上，且OA ＝2OB ，抛物线y ＝ax 2＋bx （a ≠0）经过点A 、C ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线先向右平移m 个单位，再向上平移1个单位，此时点C 恰好落在直线AB 上的点C ′处，求m的值；（3）设点B 关于原抛物线对称轴的对称点为B ′，联结AC ，如果点F 在直线AB ′上，∠ACF ＝∠BAO ，求点F的坐标． 图1 动感体验请打开几何画板文件名“21奉贤24”，可以体验到，∠CAO ＝∠BAO ，按照点F 与直线AC 的位置关系，∠ACF ＝∠BAO 存在两种情况．思路点拨1．抛物线的平移，归根到底是对应点的平移．第（2）题其实是点C 平移以后落在直线AB 上，抛物线的平移是假象．2．第（3）题中∠ACF ＝∠BAO ，按照点F 与直线AC 的位置关系，分两种情况． 图文解析（1）由B (0, 2)、OA ＝2OB ，得OA ＝4，A (4, 0)．因为抛物线与x 轴交于O 、A 两点，设y ＝ax (x －4)．代入点C 3(1,)2-，得31(3)2a -=⨯⨯-．解得12a =． 所以211(4)222y x x x x =-=-． （2）由A (4, 0)、B (0, 2)，得直线AB 的解析式为122y x =-+． 如图2，点C 3(1,)2-先向右平移m 个单位，再向上平移1个单位得点C ′1(1,)2m +-． 将点C ′1(1,)2m +-代入直线AB 的解析式122y x =-+，得11(1)222m -=-++． 解得m ＝4．图2（3）由A (4, 0)、B (0, 2)、C 3(1,)2-，可得tan ∠BAO ＝24＝12，tan ∠CAO ＝332÷＝12． 所以∠BAO ＝∠CAO （如图3所示）．如图3，点B 与点B ′关于OA 的垂直平分线对称，所以直线AB ′是x ＝4．如果∠ACF ＝∠BAO ，分两种情况：①点F 在直线AC 的下方．过点C 作x 轴的平行线交直线AB ′于点F ．此时F 3(4,)2-． ②点F ′在直线AC 的上方．设F ′C 与x 轴交于点G ，那么GA ＝GC ．设G (m , 0)，由GA 2＝GC 2，得2223(1)()(4)2m m -+=-．解得178m =．所以G 17(,0)8． 由174'58'38F A GA F F CF -===，得'53F A AF =．所以5535'3322F A AF ==⨯=．此时F ′5(4,)2．图3 图4考点伸展第（3）题求点F ′的坐标，也可以先求tan2α的值．如图4，已知A (4, 0)、B (0, 2)，作AB 的垂直平分线交y 轴于点P ，垂足为Q ，那么 ∠APB ＝2∠BAO ＝2α．设P (0, n )．由P A 2＝PB 2，可得42＋n 2＝(2－n )2．解得n ＝－3．所以tan2α＝tan ∠APO ＝OA OP ＝43． 第（3）题求点F ′的坐标，还可以先说理再计算．如果把△CAF 与△CAF ′看作同高三角形，面积比等于AF ∶AF ′．又因为CA 平分∠FCF ′，所以点A 到CF 、CF ′的距离相等，因此△CAF 与△CAF ′又可以看作等高三角形，面积比等于CF ∶CF ′． 所以''CF AF CF AF =．设F ′(4, y )3322y y==． 整理，得4y 2－4y －15＝0．解得52y =，或32y =-（与点F 重合，舍去）．例 2021年上海市奉贤区中考模拟第25题如图1，已知扇形AOB 的半径OA ＝4，∠AOB ＝90°，点C 、D 分别在半径OA 、OB 上（点C 不与点A 重合），联结CD ．点P 是弧AB 上一点，PC ＝PD ．（1）当cot ∠ODC ＝34，以CD 为半径的圆D 与圆O 相切时，求CD 的长； （2）当点D 与点B 重合，点P 为弧AB 的中点时，求∠OCD 的度数；（3）如果OC ＝2，且四边形ODPC 是梯形，求PCD OCDS S △△的值．图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21奉贤25”，拖动点D 在OB 上运动，可以体验到，⊙O 与 ⊙D 可以内切于点B ．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，可以体验到，△OAP 、△OBP 和△P AC 都是顶角为45°的等腰三角形．点击按钮“第（3）题”，可以体验到，梯形ODPC 存在两种情况．思路点拨1．相切两圆的连心线必过切点，⊙O 与⊙D 可以内切于点B ．2．第（2）题把图形中的等腰三角形都标记出来，标记出内角的度数．事实上，PC 与PD 垂直且相等．3．第（3）题根据梯形的一组对边平行，可以先画出准确的示意图，再进行计算．两个三角形的面积比等于底边的比．图文解析（1）如图2，在Rt △OCD 中，cot ∠ODC ＝34，设OD ＝3m ，OC ＝4m ，那么CD ＝5m ． 因为相切两圆的连心线必过切点，所以连心线OD 过切点B ．所以⊙O 与⊙D 内切于点B ．所以r O －r D ＝d ＝OD ．所以4－5m ＝3m ．解得m ＝12．所以CD ＝5m ＝52．图2 图3 图4（2）如图3，因为点P为弧AB的中点，所以P A＝PD，∠POA＝∠POD＝45°．又因为OA＝OP，所以∠OAP＝∠OP A＝67.5°．同理可得∠OPD＝∠ODP＝67.5°．所以∠APD＝135°．如图4，因为P A＝PD，PC＝PD，得P A＝PC．所以在△ACP中，∠P AC＝∠PCA＝67.5°，∠APC＝45°．在△PCD中，∠CPD＝∠APD－∠APC＝90°，所以∠PCD＝45°．所以∠OCD＝180°－∠ACP－∠PCD＝180°－67.5－45°＝67.5°．（3）如果四边形ODPC是梯形，按照对边平行，分两种情况．①如图5，当CP//OD时，△PCD与△OCD是等高三角形，面积比等于PC∶OD．作PH⊥OB于H，得矩形OCPH．联结OP．在Rt△OCP中，OC＝2，OP＝4，所以PC＝．在Rt△DPH中，PH＝OC＝2，PD＝PC＝，所以DH＝所以OD＝OH－DH＝所以3PCDOCDS PCS OD==+△△图5 图6 图7②如图6，当DP//CO时，△PCD与△OCD是等高三角形，面积比等于PD∶OC．作PG⊥AO于G，得矩形PGOD．联结OP．设PC＝PD＝m．在Rt△PDO和Rt△PGC中，由OD2＝PG2，得22216(2)m m m-=--．整理，得m2＋4m－20＝0．解得m＝2±（舍去负值）．所以1PCDOCDS PDS OC===△△．考点伸展第（2）题当点P是弧AB的中点时，这个图形是一个典型图，如图7，PC与PD垂直且相等．例 2021年上海市虹口区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，直线l：34y x b=+与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：kyx=交于点P9(2,)2，直线x＝m分别与直线l和双曲线H交于点E、D．（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；（3）点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“21虹口24”，拖动点E运动，可以体验到，菱形BCDE存在两种情况，点E分别在点B的左侧和右侧．思路点拨1．第（2）题用m表示E、D两点的坐标，再用m表示ED的长．2．第（3）题根据ED2＝EB2列方程，就可以不遗不漏地得到所有可能的菱形．图文解析（1）将点P9(2,)2代入kyx=，得k＝xy＝9．将点P9(2,)2代入34y x b=+，得93224b=⨯+．解得b＝3．所以BO＝3．（2）如图2，由E3(,3)4m m+，D9(,)mm，得ED＝39(3)4mm+-．如果ED＝BO＝3，那么39(3)34mm+-=．整理，得34mm=．解得m＝（舍去），或m＝-（3）如图3，由E3(,3)4m m+、B(0, 3)，得EB2＝22235()()44m m m+=．由（2）知，ED＝39 (3)4mm+-．如果四边形BCDE是菱形，那么EB＝ED．由EB2＝ED2，得22539 ()(3)44m mm⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦．①方程539(3)44m mm=+-整理，得m2－6m＋18＝0．此方程无实数根．②方程539(3)44m mm-=+-整理，得2m2＋3m－9＝0．解得m＝－3，或32m=．当m ＝－3时，EB 2＝25()4m ＝154．所以BC ＝154． 此时将点B 向下平移个154单位得到点C 3(0,)4-（如图3所示）． 当32m =时，EB 2＝25()4m ＝158．所以BC ＝158． 此时将点B 向上平移个158单位得到点C 39(0,)8（如图4所示）．图2 图3 图4考点伸展第（3）题还可以这样构图：如图5，设四边形BCDE 是菱形，边长为5n ．作EM ⊥y 轴于M ，作DN ⊥y 轴于N ，那么EM ＝DN ＝4n ，BM ＝CN ＝3n ．将点B (0, 3)向下平移5n 个单位得点C (0, 3－5n )，点C (0, 3－5n )向下平移3n 个单位，再向左平移4n 个单位，得点D (－4n , 3－8n )．将点D (－4n , 3－8n )代入9y x=，得－4n (3－8n )＝9． 整理，得32n 2－12n －9＝0．解得n ＝34，或n ＝38-． 当n ＝34时，3－5n ＝34-．此时C 3(0,)4-．当n ＝38-时，3－5n ＝398．此时C 39(0,)8．图5例 2021年上海市虹口区中考模拟第25题在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan A＝34，AC＝5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．（1）如图1，当MC＝AC时，求CD的长；（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM＝x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21虹口25”，拖动点M在AB的延长线上运动，可以体验到，四边形CBMD的面积等于△CBM与△CDM的面积之和．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点M在射线AB上运动，可以体验到，△ECD与△EMC相似存在两种情况．思路点拨1．第（1）题为第（2）题提供了方法依据，第（2）题求不规则四边形的面积，先要用x表示CD的长．2．第（3）题点M的位置在变，点D的位置随之改变，根据点M和点D的位置画出示意图，分三种情况讨论，其中两种情况下，根据相似三角形的对应角相等和等边对等角，等量代换以后都能得到角平分线，从而得到HM＝BM．图文解析（1）在Rt△ABC中，由tan A＝34，AC＝5，可得AB＝4，CB＝3．如图2，作MH⊥CD于H，那么CD＝2CH．因为MC＝AC，CB⊥AM，所以AB＝BM＝4．所以AM＝8．在Rt△AMH中，cos A＝45，所以AH＝AM∙cos A＝485⨯＝325．所以CH＝AH－AC＝3255-＝75．所以CD＝2CH＝145．图2 图3 图4（2）如图3，在Rt △AMH 中，cos A ＝45，AM ＝4＋x ，所以AH ＝AM ∙cos A ＝4(4)5+x ， MH ＝3(4)5+x ．所以CH ＝AH －AC ＝4(4)55+-x ＝495-x ． 所以CD ＝2CH ＝2(49)5-x ． 如图4，S 四边形CBMD ＝S △CBM ＋S △CDM ＝1122⋅+⋅BM CB CD MH ． 所以y ＝312(49)3(4)2255-+⋅⋅+x x x ． 整理，得y ＝22411721650+-x x ．定义域是x ＞94． 当x ＝94时，⊙M 与直线AC 相切于点C ． （3）以点M 和点D 的位置为分类标准，分三种情况讨论．①如图5，点M 在线段AB 上，点D 在线段CA 的延长线上．由△ECD ∽△EMC ，得∠ECM ＝∠EDC ．又因为MC ＝MD ，所以∠MCD ＝∠EDC ．等量代换，得∠ECM ＝∠MCD ．所以CM 是∠BCH 的平分线，HM ＝BM ＝x ．如图6，在Rt △AMH 中，由sin A ＝HM AM ＝35，得3(4)5=-x x ． 解得x ＝BM ＝32．图5 图6②如图7，当点M 在线段AB 的延长线上，点D 在线段AC 上时，△ECD 是锐角三角形，△EMC 是钝角三角形，这两个三角形不可能相似．④如图8，点M 在线段AB 的延长线上，点D 在线段AC 的延长线上．由△ECD ∽△EMC ，得∠EDC ＝∠ECM ．根据等角的补角相等，得∠MDC ＝∠BCM ．图7 图8 图9如图9，因为MC＝MD，所以∠MCD＝∠MDC．等量代换，得∠BCM＝∠MCD．所以CM是∠BCD的角平分线，HM＝BM＝x．在Rt△AMH中，由sin A＝HMAM＝35，得3(4)5x x=+．解得x＝BM＝6．考点伸展第（2）题求四边形CBMD的面积，也可以用△ADM的面积减去△ACB的面积．计算CD和MH的方法相同．如果抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c与抛物线C2：y＝－ax2＋dx＋e的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线．（1）求抛物线y＝x2－4x＋7的“对顶”抛物线的表达式；（2）将y＝x2－4x＋7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线y ＝x2－4x＋7形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN 是正方形时，求正方形AMBN的面积；（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．动感体验请打开几何画板文件名“21 黄浦24”，拖动x轴正半轴上表示实数a的点可以改变a 的值，拖动点A可以平移抛物线，拖动点B可以上下平移抛物线C2，可以体验到，四边形AMBN可以成为正方形．思路点拨1．把一般式化为顶点式，就可以写出“对顶”抛物线的顶点式．2．正方形的对角线互相垂直平分且相等，将点A向上平移m个单位，再向右平移m个单位，就可以表示出点N的坐标．然后将点N代入C1就可以求得平移距离m的值．3．第（3）题直接写出两条抛物线的顶点式，再化为一般式进行比较．图文解析（1）由y＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3，得顶点为(2, 3)．所以它的“对顶”抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋3＝－x2＋4x－1．（2）如图1，已知A(2, 3)，设AB＝2m，那么B(2, 3＋2m)．如果四边形AMBN是正方形，那么N(2＋m, 3＋m)．将点N(2＋m, 3＋m)代入y＝(x－2)2＋3，得3＋m＝m2＋3．解得m＝1，或m＝0（舍去）．所以AB＝2．所以正方形AMBN的面积＝2．（3）如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，设顶点为(n, 0)．所以C1为y＝a(x－n)2＝ax2－2anx＋an2，C2为y＝－a(x－n)2＝－ax2＋2anx－an2．所以b＝－2an，d＝2an，c＝an2，e＝－an2．所以b＝－d，c＝－e．也就是说，b与d互为相反数，c与e互为相反数．图1 图2考点伸展第（2）题可以一般化，如图所示2，当1（a＞0）时，四边形AMBN是正方形．ma如图1，AD 是△ABC 的角平分线，过点C 作AD 的垂线交边AB 于点E ，垂足为点O ，联结DE ．（1）求证：DE ＝DC ；（2）当∠ACB ＝90°，且△BDE 与△ABC 的面积比为1∶3时，求CE ∶AD 的值；（3）是否存在△ABC 能使CE 为△ABC 边AB 上的中线，且CE ＝AD ？如果能，请用∠CAB 的某个三角比的值来表示它此时的大小；若不能，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21黄浦25”，拖动点C 落在半圆上，可以体验到，DE ⊥AB ．当点E 与圆心重合时，可以体验到，△ADC 、△ADE 和△BDE 全等．点击按钮“CE ＝AD ，E 是AB 的中点”，观察度量值，可以体验到，这样的△ABC 是存在的．思路点拨1．第（1）题由等腰三角形的“三线合一”可知AD 垂直平分CE ．2．第（2）题可以转化为三个直角三角形全等，得到30°角的Rt △ABC ．3．第（3）题就是求等腰三角形ACE 的顶角的三角比，如果知道腰和底的比，或者底边与高的比，这个三角形的形状就确定了．图文解析（1）因为∠1＝∠2，CE ⊥AD ，AO ＝AO ，所以△ACO ≌△AEO ．所以AC ＝AE ． 根据等腰三角形的“三线合一”，可得AD 垂直平分CE ．所以DE ＝DC ．（2）因为S △BDE ∶S △ABC ＝1∶3，所以S △BDE ∶S 四边形ACDE ＝1∶2．又因为△ACD ≌△AED ，所以△ADC 、△ADE 和△BDE 面积相等．所以E 是AB 的中点．如果∠ACB ＝90°，那么DE ⊥AB ．所以DE 垂直平分AB ．所以DA ＝DB ．所以∠2＝∠3．又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠2＝∠3＝30°．所以△ACE 是等边三角形．于是cos 2cos302CE AE AD AD ==∠=︒=．图2 图3（3）如图4，作BF //CE 交AD 的延长线于点F ．如果CE 是△ABC 的中线，那么E 是AB 的中点．所以O 是AF 的中点．所以OE 是△ABF 的中位线．所以BF ＝2OE ＝2OC ． 所以2DF BF OD CO==． 设DO ＝n ，DF ＝2n ，那么OF ＝3n ．所以AO ＝OF ＝3n ．所以AD ＝4n ．如果CE ＝AD ，那么CE ＝4n ．如图5，作CG ⊥AE 于G ．在Rt △AEO 中，AO ＝3n ，EO ＝12CE ＝2n ，所以AE ．由S △ACE ＝1122⋅=⋅AE CG CE AO 1432⋅=⋅CG n n ．解得CG ．在Rt △ACG 中，AC ＝AE ，CG ，所以sin ∠CAG ＝CG AC ＝1213．图4 图5考点伸展在本题情景下，如果△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，如图6所示，这个图形就是我们熟悉的一个典型图，AB ＝AC ＋CD ．图6 图7第（3）题情景下，把这个图形看作△CEB 被一条直线所截，与三边或延长线分别交于点D 、O 、A ，如图7所示，理论上过C 、E 、B 、D 、O 、A 等六个点的每一个点，都有两种添加平行线的方法，例如图8、图9、图10．图8 图9 图10在平面直角坐标系中，二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋a －1（其中a 是常数，且a ≠0）的图像是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P 的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f (x )＝ax 2－2ax ＋a －1与y 轴的交点记为A ，如果线段OA 上的“整点”的个数小于4，试求a 的取值范围；（3）如果f (－1)、f (0)、f (3)、f (4)这四个函数值中有且只有一个大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图像，求a 的取值范围．动感体验请打开几何画板文件名“21嘉定24”，拖动点A 在y 轴上运动，可以体验到，f (－1)和f (3)的函数值相等，f (0)对应点A ，只有f (4)这个函数值大于0．思路点拨1．按照点A 在x 轴下方和上方两种情况分类考虑，再综合考虑．2．抛物线的对称轴为x ＝1，所以f (－1)和f (3)的函数值相等．抛物线开口向上，所以f (0)＜f (3)，只有f (4)＞0．3．第（3）题先探究a 的取值范围，再写出一种具体情况．临界点是f (3)＝0和f (4)＝0． 图文解析（1）由f (x )＝ax 2－2ax ＋a －1＝a (x －1)2－1，得抛物线的顶点P 的坐标为(1,－1)．（2）由f (x )＝ax 2－2ax ＋a －1，得A (0, a －1)．①因为抛物线的顶点为P (1,－1)，当点A 在x 轴下方时，－1＜a －1≤0．解得0＜a ≤1．②当点A 在x 轴上方时，0＜a －1＜3．解得1＜a ＜4．③当点A 与点O 重合时，线段OA 不存在．因此a －1≠0．解得a ≠1．综上所述，a 的取值范围是0＜a ＜4且a ≠1．（3）如图1，因为抛物线的对称轴为直线x ＝1，所以f (－1)和f (3)的函数值相等． 如果f (－1)、f (0)、f (3)、f (4)这四个函数值中有且只有一个大于0，因为抛物线的开口向上，所以只有f (4)的值大于0．由(3)0,(4)0,f f ⎧⎨⎩≤＞ 得不等式组410,910.a a -⎧⎨-⎩≤＞ 解得a 的取值范围是1194a ＜≤． 例如：当18a =时，符合题意的一个函数解析式是21(1)18y x =--． 图1 考点伸展第（3）题如果没有抛物线开口向上的条件，当开口向下时，f (0)＞0．已知：⊙O 的半径长是5，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦．分别过点A 、B 向直线CD 作垂线，垂足分别为E 、F ．（1）如图1，当点A 、B 位于直线CD 同侧，求证：CF ＝DE ；（2）如图2，当点A 、B 位于直线CD 两侧，∠BAE ＝30°，且AE ＝2BF 时，求弦CD 的长；（3）设弦CD 的长为l ，线段AE 的长为m ，线段BF 的长为n ，探究l 与m 、n 之间的数量关系，并用含m 、n 的代数式表示l ．图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21嘉定25”，拖动点A 运动，可以体验到，OH 是△ABK 的中位线，当A 、B 两点在弦CD 的同侧时，OH 等于AE ＋BE 的一半；点A 、B 两点在弦CD 的两侧时，OH 等于AE －BF 的一半．思路点拨1．作弦心距OH ，求CD 的长先求DH 的长．2．由O 、H 是两个中点，不由得想到中位线．图文解析（1）如图3，作OH ⊥CD 于H ．由垂径定理，得CH ＝DH ．因为BF //OH //AE ，OA ＝OB ，所以FH ＝EH ．所以FH －CH ＝EH －DH ，即CF ＝DE ．（2）如图4，设AB 与CD 交于点G ．由AE //BF ，得2AG AE BG BF ==．所以23AG AB =．所以AG ＝23AB ＝203．图3 图4 图5如图5，在Rt △OGH 中，OG ＝AG －OA ＝2053-＝53，∠GOH ＝∠A ＝30°，所以OH ＝OG ·cos30°＝53．在Rt △OCH 中，OC ＝5，OH ，由勾股定理，得CH所以CD ＝2OD （3）如图3，点A 、B 位于直线CD 同侧．因为OH 是梯形ABFE 的中位线，所以OH ＝1()2+BF AE ＝1()2+m n ． 如图5，在Rt △OCH 中，OC ＝5，OH ＝1()2+m n ，由勾股定理，得CH ．所以l ＝CD ＝2CH ．如图6，点A 、B 位于直线CD 两侧．延长BH 交AE 于点K ．因为BF //AE ，H 是FE 的中点，所以KE ＝BF ＝n ．因为OH 是△ABK 的中位线，所以OH ＝12AK ＝1()2AE BF -＝1()2m n -． 如图5，在Rt △OCH 中，OC ＝5，OH ＝1()2-m n ，由勾股定理，得CH所以l ＝CD ＝2CH ．考点伸展如图6、如图7是对立统一的两个图，OH 是△ABK 的中位线．如图6，当A 、B 在CD两侧时，OH ＝12AK ＝2AE BF -．如图7，当A 、B 在CD 同侧时，OH ＝12AK ＝2AE BF +．图6 图7如图1，已知直线y＝kx＋b经过A(－2, 0)、B(1, 3)两点，抛物线y＝ax2－4ax＋b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．（1）求直线y＝kx＋b的表达式；（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB上方，求抛物线y＝ax2－4ax＋b的表达式．动感体验请打开几何画板文件名“21金山24”，拖动点P在第四象限的对称轴上运动，可以体验到，抛物线与y轴的交点D是确定的．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，可以体验到，△PDF是60°角的直角三角形．思路点拨1．注意到两个解析式的常数项相同，抛物线与直线左侧的交点D是确定的．2．第（3）题构造60°角的直角三角形，先求顶点P的坐标．图文解析（1）将A(－2, 0)、B(1, 3)两点分别代入y＝kx＋b，得20,3.k bk b-+=⎧⎨+=⎩解得k＝1，b＝2．所以直线的表达式为y＝x＋2．（2）由y＝ax2－4ax＋2＝a(x－2)2＋2－4a，可知抛物线的顶点为P(2, 2－4a)．如图1所示，如果顶点不在第一象限，那么2－4a＜0．解得12 a>．（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，设对称轴与直线AB交于点E，那么E(2, 4)．抛物线与直线的左侧的交点D的坐标为(0, 2)．如图2，过点D向对称轴作垂线，垂足为F，那么△DEF是腰长为2的等腰直角三角形．当点P在直线AB上方，∠PDE＝15°时，在Rt△PDF中，∠PDF＝60°．所以PF＝．所以顶点P(2,2+．所以224a+-．解得a=．所以抛物线的表达式为y＝ax2－4ax＋2＝22++．图1 图2考点伸展第（2）题可以数形结合，抛物线开口向上，a＞0，由∆＝(－4a)2－8＞0，解得12 a>．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC＝，∠BAC ＝120°，△ADE 的顶点D 在边BC 上，AE 交BC 边于点F （点F 在点D 的右侧），∠DAE ＝30°．（1）求证：△ABF ∽△DCA ；（2）若AD ＝ED ．①联结EC ，当点F 是BC 的黄金分割点（FC ＞BF ）时，求ABF FECS S △△． ②联结BE ，当DF ＝1时，求BE 的长．图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21金山25”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，△ABF 、△DCA 与△DAF 两两相似．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题①”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，CE 与BC 的夹角始终保持30°不变，△ABF 与△ECF 始终保持相似．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题②”，观察DF 的度量值，可以体验到，DF ＝1存在两种情况，分别是AD ⊥BC 和AF ⊥BC 的时刻．思路点拨1．第（1）题也是“三等角”问题，有三个三角形两两相似．2．第（2）题中的四边形AEDC 被对角线分成四个三角形，相对的两个三角形相似．3．第（2）题中AB 与CE 保持平行关系，△ABF 与△ECF 保持相似．图文解析（1）如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，所以∠B ＝∠C ＝30°． 设∠BAD ＝α，那么∠ADC ＝α＋30°．又因为∠BAF ＝α＋30°，所以∠ADC ＝∠BAF ．所以△ABF ∽△DCA ．（2）①因为点F 是BC 的黄金分割点（FC ＞BF ），所以=BF FC ． 如图3，由AD ＝ED ，得∠AED ＝∠DAE ＝30°．等量代换，得∠AED ＝∠C ．又因为∠DFE ＝∠AFC ，所以△DFE ∽△AFC ．所以FD FA FE FC =． 又因为∠DF A ＝∠EFC ，所以△DF A ∽△EFC ．所以∠FCE ＝∠F AD ＝30°．如图4，因为∠B ＝∠FCE ，所以AB //CE ．所以△ABF ∽△ECF ．所以22=()==ABF FEC S BF S FC △△．。

上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：压轴题专题宝山区、嘉定区25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在圆O 中，AO 、BO 是圆O 的半径，点C 在劣弧AB 上，10=OA ，12=AC ，AC ∥OB ，联结AB .（1）如图8，求证：AB 平分OAC ∠；（2）点M 在弦AC的延长线上，联结BM ，如果△AMB 是直角三角形，请你在如图9中画出点M 的位置并求CM 的长；（3）如图10，点D 在弦AC 上，与点A 不重合，联结OD 与弦AB 交于点E ，设点D 与点C 的距离为x ，△OEB 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.25.（1）证明：∵AO 、BO 是圆O 的半径 ∴BO AO =…………1分 ∴B OAB ∠=∠…………1分 ∵AC ∥OB图8图10图8∴B BAC ∠=∠…………1分 ∴BAC OAB ∠=∠∴AB 平分OAC ∠…………1分 (2)解：由题意可知BAM ∠不是直角，所以△AMB 是直角三角形只有以下两种情况:︒=∠90AMB 和︒=∠90ABM① 当︒=∠90AMB ，点M 的位置如图9-1……………1分 过点O 作AC OH ⊥,垂足为点H∵OH 经过圆心 ∴AC HC AH 21==∵12=AC ∴6==HC AH 在Rt △AHO 中，222OA HO AH =+ ∵10=OA ∴8=OH∵AC ∥OB ∴︒=∠+∠180OBM AMB ∵︒=∠90AMB ∴︒=∠90OBM ∴四边形OBMH 是矩形 ∴10==HM OB∴4=-=HC HM CM ……………2分 ②当︒=∠90ABM ，点M 的位置如图9-2由①可知58=AB ，552cos =∠CAB 在Rt △ABM 中，552cos ==∠AM AB CAB∴20=AM8=-=AC AM CM ……………2分综上所述，CM 的长为4或8.说明：只要画出一种情况点M 的位置就给1分，两个点都画正确也给1分. （3）过点O 作AB OG ⊥,垂足为点G 由（1）、（2）可知，CAB OAG ∠=∠sin sin 由（2）可得：55sin =∠CAB图10∵10=OA ∴52=OG ……………1分 ∵AC ∥OB ∴ADOBAE BE =……………1分 又BE AE -=58,x AD -=12,10=OB∴xBEBE -=-121058 ∴x BE -=22580 ……………1分∴52225802121⨯-⨯=⨯⨯=xOG BE y ∴xy -=22400……………1分自变量x 的取值范围为120<≤x ……………1分长宁区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8，∴OD ⊥AB ， （2分） 在Rt △AOC 中，，AO =5，∴ （1分） ， （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3 ∵AC =x ，∴在Rt △HOC 中，，AO =5， ∴， （1分） ∴（） （3分） （3）①当OB （3分） ②当OA ABC △8AB =10BC =12AC =2AB AD AC =⋅AEF C ∠=∠ABC ∠BE x =CF y =y xGEF △8AB =12AC=2AB AD AC =g 163AD =16201233CD =-=2AB AD AC =g AD AB AB AC =BAC ∠ADB ABC △∽△ABD C =∠∠BD AD BC AB =203BD =BD CD =DBC C =∠∠ABD DBC =∠∠BD ABC ∠A AH BC ∥BD H AH BC∥16432053AD DH AH DC BD BC ====203BD CD ==8AH =163AD DH ==12BH =AH BC∥AH HGBE BG =812BG x BG-=128xBG x =+BEF C EFC=+∠∠∠BEA AEF C EFC +=+∠∠∠∠AEF C =∠∠BEA EFC=∠∠DBC C=∠∠（第25题图） A B C D G EF（备用图）AB C DBEG CFE△∽△BE BGCF EC=12810x x x y x+=-228012x x y -++=GEF GE GF=23GE BE EF CF ==23x y =4BE =EG EF =BE CF =x y =5BE =-FG FE =32GE BE EF CF ==32x y =3BE =-+BC BO BE ⋅=2知AD =1，AB =2. （1）设BC =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠B =70°时，求∠AEC 的度数； （3）当△ACE 为直角三角形时，求边BC 的长.25. 解：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，————————————————————（1分） 由∠D =∠BCD =90°，得四边形ADCH 为矩形.在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，所以22221y x =+-，——————————————————————（1分） 则()03y x =<<.———————————————（2分）（2）取CD 中点T ，联结TE ，————————————————————（1分） 则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD .∴∠AET =∠B =70°. ———————————————————————（1分） 又AD =AE =1，∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°. ——————————————————（1分） 由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，————————————（1分） 所以∠AEC =70°＋35°=105°. ——————————————————（1分）（3）当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，图9AB C D O E备用图ABO 备用图 AB得BH=1，于是BC=2. ——————————————————————（2分）当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，又AC=则AD CAxAC CB=⇒=⇒=2分）易知∠ACE<90°.所以边BC的长为2或12+.——————————————————（1分）金山区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分）如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，3sin5B=，P是线段BC上一点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD相交于点E，设BP=x．（1）求证△ABP∽△ECP；（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．25．解：（1）在⊙P中，PA=PQ，∴∠PAQ ＝∠PQA，……………………………（1分）AB CD图9备用图∵AD ∥BC ，∴∠PAQ ＝∠APB ，∠PQA ＝∠QPC ，∴∠APB ＝∠EPC ，……（1分） ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∴∠B ＝∠C ，…………………………（1分） ∴△APB ∽△ECP ．…………………………………………………………（1分） （2）作AM ⊥BC ，PN ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∴AM ∥PN ，∴四边形AMPN 是平行四边形，∴AM =PN ，AN =MP ．………………………………………………………（1分） 在Rt △AMB 中，∠AMB =90°，AB =5，sinB =35， ∴AM =3，BM =4，∴PN =3，PM =AN =x -4，……………………………………（1分） ∵PN ⊥AQ ，∴AN =NQ ，∴AQ = 2x -8，……………………………………（1分）∴()1128322y AQ PN x =⋅⋅=⋅-⋅，即312y x =-，………………………（1分）定义域是1342x <<．………………………………………………………（1分）（3）解法一：由△QED 与△QAP 相似，∠AQP ＝∠EQD ，①如果∠PAQ ＝∠DEQ ，∵△APB ∽△ECP ，∴∠PAB ＝∠DEQ ，又∵∠PAQ ＝∠APB ，∴∠PAB ＝∠APB ，∴BP =BA =5．………………………（2分） ②如果∠PAQ ＝∠EDQ ，∵∠PAQ ＝∠APB ，∠EDQ ＝∠C ，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝∠APB ，∴ AB =AP ，∵AM ⊥BC ，∴ BM =MP =4，∴ BP =8．………（2分） 综上所述BP 的长为5或者8．………………………………………………（1分） 解法二：由△QAP 与△QED 相似，∠AQP ＝∠EQD ，在Rt △APN 中，AP PQ ===∵QD ∥PC ，∴EQ EPQD PC=， ∵△APB ∽△ECP ，∴AP EPPB PC=，∴AP EQ PB QD =，①如果AQ EQQP QD =，∴AQ AP QP PB =x=，解得5x =………………………………………………………………………（2分） ②如果AQ DQQP QE =，∴AQ PBQP AP ==解得8x =………………………………………………………………………（2分） 综上所述BP 的长为5或者8．…………………………………………………（1分）静安区25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，平行四边形ABCD 中，已知AB =6，BC =9，31cos =∠ABC ．对角线AC 、BD 交于点O ．动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ,交线段PA 于点E ．设BP = x ．（1） 求AC 的长；（2） 设⊙O 的半径为y ，当⊙P 与⊙O 外切时， 求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3） 如果AC 是⊙O 的直径，⊙O 经过点E ， 求⊙O 与⊙P 的圆心距OP 的长．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 解：（1）作AH ⊥BC 于H ，且，AB =6， 那么…………（2分）BC =9，HC =9-2=7，， ……………………（1分） ﹒ ………（1分）（2）作OI ⊥AB 于I ，联结PO , AC =BC =9，AO = ∴∠OAB =∠ABC , ∴Rt △AIO 中，∴AI =，IO = ……………………（1分） ∴PI =AB -BP -AI ==， ……………………（1分） ∴Rt △PIO 中，A第25题图B P OC DE·第25题备用图ABOCDDA ·第25题图BP OCHE第25题图……（1分）∵⊙P 与⊙O 外切，∴ ……………………（1分） ∴= …………………………（1分）∵动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ,交线段PA 于点E ．∴定义域：0<x ≤3…………（1分） （3）由题意得：∵点E 在线段AP 上，⊙O 经过点E ，∴⊙O 与⊙P 相交 ∵AO 是⊙O 半径，且AO ＞OI ，∴交点E 存在两种不同的位置，OE =OA = ① 当E 与点A 不重合时，AE 是⊙O 的弦，OI 是弦心距，∵AI =，AE =3， ∴点E 是AB 中点，,,, IO =……………………（2分）② 当E 与点A 重合时，点P 是AB 中点，点O 是AC 中点, ……（2分） ∴或．闵行区25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB = 90o，AC =6，BC = 8，点F 在线段AB 上，以点B 为圆心，BF 为半径的圆交BC 于点E ，射线AE 交圆B 于点D （点D 、E 不重合）． （1）如果设BF = x ，EF = y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出它的定义域； （2）如果»»2EDEF ，求ED 的长； （3）联结CD 、BD ，请判断四边形ABDC 是否为直角梯形说明理由．25．解：（1）在Rt △ABC 中，，，∴．……………………………………………………………（1分）（备用图）CBA （第25题图）CBEF DA过E作EH⊥AB，垂足是H，易得：，，．…………………………（1分）在Rt△EHF中，，∴．………………………………………（1分+1分）（2）取的中点P，联结BP交ED于点G∵，P是的中点，∴．∴∠FBE =∠EBP =∠PBD．∵，BP过圆心，∴BG⊥ED，ED =2EG =2DG．…………（1分）又∵∠CEA =∠DEB，∴∠CAE=∠EBP=∠ABC．……………………………………………（1分）又∵BE是公共边，∴．∴．在Rt△CEA中，∵AC = 6，，，∴．……………………………（1分）∴．……………………………………………（1分）∴．……………………………………（1分）（3）四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………………（1分）①当CD∥AB时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ABD =∠CDB = 90o．在Rt△CBD中，∵，∴，．∴，；∴．∴CD不平行于AB，与CD∥AB矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………（2分）②当AC∥BD时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ACD =∠CDB = 90o．∵AC∥BD，∠ACB = 90o，∴∠ACB =∠CBD = 90o．∴∠ABD =∠ACB +∠BCD > 90o．与∠ACD =∠CDB = 90o矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………（2分）普陀区25．（本题满分14分）已知P 是O ⊙的直径BA 延长线上的一个动点，P ∠的另一边交O ⊙于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP m ＝，1sin 3P ＝，如图11所示．另一个半径为6的1O ⊙经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝． （1）当6m ＝时，求线段的长；（2）设圆心1O 在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；（3）△1POO 在点P 的运动过程中，是否能成为以1OO 为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由． 25．解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，联结OC ．在Rt △POH 中，∵1sin 3P ＝，6PO =，∴2OH =． ········· （1分） ∵AB ＝6，∴3OC ＝． ······················ （1分） 由勾股定理得CH = ····················· （1分）∵OH ⊥DC，∴2CD CH == ··············· （1分） （2）在Rt △POH 中，∵1sin 3P ＝， PO m ＝，∴3m OH ＝． ········ （1分） 在Rt △OCH 中，2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝． ················ （1分）在Rt △1O CH 中，22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝． ·············· （1分）可得 2236933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得23812n m n -＝． ········· （2分）OAB备用图PDOABC图11（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况：● 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时①1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n-＝解得9n ＝． ········· （1分）即圆心距等于O ⊙、1O ⊙的半径的和，就有O ⊙、1O ⊙外切不合题意舍去．（1分） ②11O P OO ＝n ＝， 解得23m n ＝，即23n 23812n n-＝，解得n ········· （1分） ● 当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时,同理可得 28132n m n-＝．∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132n n n-＝，解得n ． ·· （2分）综上所述，n．青浦区25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图9-1，已知扇形MON，∠MON =90o ，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC =BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA = x ，∠COM 的正切值为y ．（1）如图9-2，当AB ⊥OM 时，求证：AM =AC ； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.图9-1图9-2备用图25．解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°． ·········· （1分）∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ． ········· （1分） ∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△ABM ， ······················ （1分） ∴AC =AM ． ························· （1分）（2）过点D 作DE=MD MEDMAE)12x2==OA OC DM OE OD OD 2=DM OA ODOE =y0<≤x 111222===DM BM OCx ==OD =DMyOD1=x=x =x α90α︒-α90α︒-α45︒290α∠=>︒BOA 90∠≤︒BOA （1）求CE 的长；（2）P 是 CE 延长线上一点，直线AP 、CD 交于点Q.① 如果△ACQ ∽△CPQ ，求CP 的长；② 如果以点A 为圆心，AQ 为半径的圆与⊙C 相切，求CP 的长.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分） 解：（1）∵AE ∥CD∴…………………………………1分 ∵BC=DC∴BE=AE …………………………………1分(第25题图)CBA DE(备用图)CBADE(第25题图)CBA DE设CE =x 则AE =BE =x +2 ∵ ∠ACB =90°， ∴即………………………1分 ∴即…………………………………1分 （2）①∵△ACQ ∽△CPQ ，∠QAC>∠P∴∠ACQ=∠P …………………………………1分 又∵AE ∥CD ∴∠ACQ=∠CAE∴∠CAE=∠P ………………………………1分 ∴△ACE ∽△PCA ，…………………………1分 ∴…………………………1分 即∴ ……………………………1分 ②设CP =t ，则 ∵∠ACB =90°， ∴ ∵AE ∥CD∴……………………………1分 即∴……………………………1分 若两圆外切，那么此时方程无实数解……………………………1分 若两圆内切切，那么 ∴21540160t t -+=CBA DEPQ解之得2015t ±=………………………1分又∵∴2015t +=………………………1分徐汇区25. 已知四边形ABCD 是边长为10的菱形，对角线AC 、BD 相交于点E ，过点C 作CF ∥DB 交AB 延长线于点F ，联结EF 交BC 于点H . （1）如图1，当EF BC ⊥时，求AE 的长；（2）如图2，以EF 为直径作⊙O ，⊙O 经过点C 交边CD 于点G （点C 、G 不重合），设AE 的长为x ，EH 的长为y ；① 求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；③ 联结EG ，当DEG ∆是以DG 为腰的等腰三角形时，求AE 的长.杨浦区25、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）（1） 如图9，在梯形ABCD 中，AD 当圆P 过点A 时，求圆P 的半径；（2） 分别联结EH 和EA ，当△ABE △CEH 时，以点B 为圆心，r 为半径的圆B 与圆P 相交，试求圆B 的半径r 的取值范围；（3） 将劣弧沿直线EH 翻折交BC 于点F ，试通过计算说明线段EH 和EF 的比值为定值，并求出此定值。

2021上海各区二模压强压轴计算1、（虹口）如图7所示，足够高的薄壁轻质柱形容器甲置于水平地面，容器底面积为2×10-2米2。

其内部放置物体乙的重力为19.6牛，体积为1×10-3米3。

现将体积为3×10-3米3的水倒入容器中，将乙浸没。

①求倒入水的质量m 水。

②求容器对地面的压强p 地。

③求容器中水对容器底的压力F 水。

2、（静安）水平地面上置有一个质量为1千克、底面积为1×10-2米2的薄壁圆柱形容器，容器内盛有质量为5千克的水。

求：① 容器中水的体积V 水；② 容器对地面的压强p 容；③ 水对容器底部的压强p 水。

3、（崇明）如图9所示，物体甲的质量为3千克，体积为5×10-3米3，放入一个盛有水深为0.5米、底面积为2×10-2米2的柱形容器乙中（水不溢出）。

（1）求该物体的甲密度。

（2）求水对容器乙底部的压强（未放入物体甲时）。

（3）放入物体甲后，求水对容器乙底部压强增加量P ∆。

图9图74、（奉贤）如图9所示，足够高的薄壁轻质圆柱形容器甲置于水平地面上，底面积为2.5×10-2米2，并装有深为0.1米的水。

另有质量为3千克高为0.2米的圆柱体乙，其底面积为1×10-2米2。

求：①水对容器甲底部的压强p水。

②圆柱体乙的密度ρ乙。

③现将圆柱体乙放入容器甲中，并向容器甲内继续加入体积为2×10-3米3的水，求容器对水平地面的压强的变化量Δp容和水对容器底部的压强的变化量Δp水的比值。

5、（青浦）如图10所示，薄壁圆柱形容器甲置于水平地面，容器底面积为3×10-2米2。

其内部中央放置一个圆柱形物体乙，圆柱体底面积为1×10-2米3，水深0.2米。

①求水对容器底部的压强p水。

②现从容器中抽出水，每次抽出水的体积均为1.2×10-3米2，每次抽出水后水对容器底部的压强p大小如下表所示。

2022年6月上海中考物理二模电学压轴计算题各区分类汇编（学生版）专题03 电学压轴计算题1.（2022宝山二模）在图11 电路中，电源电压为12 伏且保持不变，电阻R1 的阻值为10Ω，滑动变阻器R2 上标有“50Ω 1A”字样。

闭合开关S，滑动变阻器滑片Р 位于某处时，电压表V1 的示数为4 伏。

①求通过电阻R1 的电流I1。

② 求此时滑动变阻器R2 的功率P2。

③ 移动变阻器滑片P，在电路安全工作的前提下，求电压表V1 示数与电压表V2 示数比值的范围。

2.（2022崇明二模）在图8所示的电路中，电源电压保持不变，滑动变阻器R2上标有“50Ω2A”字样.闭合电键S,移动滑片P到某位置时，电压表V1的示数为2伏，电压表V的示数为6伏，电流表A的示数为0.2安.试求：(1)电阻R1的阻值；(2)通电10秒，电流通过电阻R1所做的功W1;(3)是否存在某种可能，改变滑片P的位置，使两电压表指针偏离零刻度线的角度恰好相同？若有可能，求出R2的值；若没有可能，说明理由。

3.（2022奉贤二模）如图9（a）所示，电源电压为16伏且保持不变，电阻R1的阻值为10欧，滑动变阻器R2上标有“30Ω 2Α”字样，所用电压表的表盘如图9（b）所示。

闭合开关S后，电路中的电流为0.4安。

求：①电压表V1的示数U1。

②通电10秒，电流通过电阻R1所做的功W1。

③在各电路元件均安全工作的条件下，移动变阻器的滑片，使电路中通过的电流的变化量为最大时R1消耗的实际电功率的最大变化量ΔP1最大。

4.（2022虹口二模）在图9所示的电路中，电源电压为12伏且保持不变，电阻R1的阻值为10欧，滑动变阻器R2上标有“1安”字样。

闭合开关S，电压表示数为6伏。

①求通过电阻R1的电流I1和变阻器连入电路的阻值R2。

②移动变阻器滑片P 过程中，电压表最大示数和最小示数的差值为6伏，求电流表最小示数Imin 。

5.（2022黄埔二模）．在图12（a ）所示的电路中，电源电压保持不变，滑动变阻器上标有“50欧 2安”字样。

第1页共5页如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝5，点D 在边BC 上，且△ABD 是“倍角互余三角形”，那么BD 的长等于▲.如图，已知在两个直角顶点重合的Rt ABC △和Rt CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒，30CAB CDE ∠=∠=︒，3BC =，2CE =，将CDE △绕着点C 顺时针旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，联结BE ，那么BE =▲．如图5，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、AB 上，EF ⊥CE ．将△CDE 沿直线CE 翻折，如果点D 的对应点恰好落在线段CF 上，那么∠EFC 的正切值是▲．图5AC BD 18．如图6，在矩形ABCD 中，AB =3，点E 在边AB 上，AE =2，联结DE ，将△ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点为P ，联结EP 、DP ，分别交边BC 于点F 、G ，如果BF=14BC ，那么CG 的长是▲．页我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．如果△OAB 与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形EFGH中，∠EFG=90°，EF∥GH，EF=1，FG=3，如果该四边形的“等形点”在边FG上，那么四边形EFGH的周长是▲．如图5，在Rt△ABC中，︒=∠90C，4=AC，2=BC，点ED、分别是边BABC、的中点，联结DE．将△BDE绕点B顺时针方向旋转，点D、E的对应点分别是点1D、1E．如果点1E落在线段AC上，那么线段=1CD▲．已知ABC∆中，︒=∠90BAC，3=AB，43tan=C，点D是线段BC上的动点，点E在线段AC上，如果点E关于直线AD对称的点F恰好落在线段BC上，那么CE的最大值为▲．第2页共5页在平面直角坐标系xOy中，我们定义点A（x，y）的“关联点”为B（x y+，x y-）．如果已知点A在直线3y x=+上，点B在⊙O的内部，⊙O的半径长为（如图所示），那么点A的横坐标x的取值范围是▲．第18题图11O xy阅读理解：如果一个三角形中有两个内角α、β满足290+=︒αβ那么我们称这个三角形为特征三角形．问题解决：如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=25，4tan3A=，如果△ABC是特征三角形，那么线段AC的长为▲．我们规定：两个正多边形的中心之间的距离叫做中心距．在同一个平面内有边长都为6的正三角形和正方形，当它们的一边重合时，中心距为▲．在△ABC中，90BAC∠=︒，6AB=，4AC=，D为AB中点（如图6），E为射线CA上一点，将△ADE沿着DE翻折得到△A DE'，点A的对应点为第3页共5A'，如果90EA C'∠=︒，那么AE=▲．图6ADCB如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10，点D是边AB的中点，点M在边AC上，将△ADM沿DM所在的直线翻折，点A落在点E处，如果EC//AB，那么CE=▲．我们定义：二次项系数之和为1，图像都经过原点且对称轴相同的两个二次函数称作互为友好函数．那么2=24yxx+的友好函数是▲．如图，在直角坐标系中，已知点A()8,0、点()0,6B，A的半径为5，点C是A上的动点，点P是线段BC的中点，那么OP长的取值范围是_________．第4页共5页第5页共5页如图，已知在扇形AOB 中，∠AOB=60°，半径OA=8，点P 在弧AB 上，过点P 作PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，那么线段CD 的长为▲．第18题图D PABO 18．如图，将平行四边形ABCD 沿着对角线AC 翻折，点B 的对应点为M ，CM 交AD 于点N ，如果︒=∠76B ，︒+∠=∠10DCM ACM ，且m NC =，那么平行四边形ABCD 的周长为▲．（参考数据：476tan ,24.076cos ≈︒≈︒）黄浦二模：8或6+徐汇二模：2.57.5OP ≤≤静安二模：-3＜x ＜0杨浦二模：闵行二模：325宝山二模：59或541441-嘉定二模：553浦东二模：金山二模：1.6松江二模：22y x x=--崇明二模：2。

专题2020年二模分类汇编-23题专题一相似三角形证明【知识梳理】【历年真题】1．（2020•普陀区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形知OA＝OC，结合EA＝EC知EO⊥AC，从而得证；（2）先由∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四边形ABCD为菱形得∠CDF＝∠DAC+∠DCA ＝∠AEF，据此可证△FCD∽△F AE得＝，结合CD＝AD，AE＝CE可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，又∵EA＝EC，∴EO⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四边形ABCD为菱形，∴∠AEB＝∠CEB＝∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA，∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，∴△FCD∽△F AE，∴＝，∵CD＝AD，AE＝CE，∴＝，即EC•CF＝AF•AD．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质、菱形的判定、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质等知识点．2．（2020•长宁区二模）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连接BD，交EF于点Q，求证：DQ•BC＝CE•DF．【考点】正方形的判定与性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）作EM⊥BC于点M，可证EM∥AB，可得∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，由角的数量关系可得∠CEM＝45°＝∠BAC，可证AB＝BC，可得结论；（2）通过证明△BCE∽△FDQ，可得，可得结论．【解答】证明：（1）如图，作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形；（2）如图，∵∠BEF+∠BCF+∠EFC+∠EBC＝360°，∴∠EBC+∠EFC＝180°，且∠EFC+∠QFD＝180°，∴∠DFQ＝∠EBC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BDC＝45°，∴△BCE∽△FDQ，∴，∴BC•DQ＝CE•DF．【点评】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．3．（2020•奉贤区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE•CA．（1）求证：AD＝DE；（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE•AF．【考点】相似三角形的判定与性质；直角梯形．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠CBE＝∠CAB，根据等角的余角相等得到∠BEC＝∠DAE，根据等腰三角形的判定定理证明；（2）根据平行线分线段成比例定理得到，，得到，整理得到CE2＝AE•EF，根据等腰三角形的三线合一得到AF＝EF，证明结论．【解答】证明：（1）∵BC2＝CE•CA，∴，又∠ECB＝∠BCA，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE＝∠CAB，∵AC⊥BC，∠DAB＝90°，∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°，∴∠BEC＝∠DAE，∵∠BEC＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE；（2）∵DF⊥AC，AC⊥BC，∴∠DFE＝∠BCA＝90°，∴DF∥BC，∴，∵DC∥AB，∴，∴，∴CE2＝AE•EF，∵AD＝DE，DF⊥AC，∴AF＝EF，∴CE2＝AE•AF．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4．（2020•静安区二模）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使得AE＝AB，联结DE、AC．点F在线段DE上，联结BF，分别交AC、AD于点G、H．（1）求证：BG＝GF；（2）如果AC＝2AB，点F是DE的中点，求证：AH2＝GH•BH．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD＝AE，AB∥CD，可证四边形ACDE是平行四边形，可得，可得结论；（2）由“SAS”可证△BEF≌△DEA，可得∠EBF＝∠EDA，通过证明△AHG∽△BHA，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AB＝AE，∴AE＝CD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AC∥DE，∴，∴BG＝GF；（2）∵AB＝AE，∴BE＝2AE，∵AC＝2AB，∴BE＝AC，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AC＝DE，∴DE＝BE，∵点F是DE的中点，∴DE＝2EF，∴AE＝EF，∵DE＝BE，∠E＝∠E，AE＝EF，∴△BEF≌△DEA（SAS），∴∠EBF＝∠EDA，∵AC∥DE，∴∠GAH＝∠EDA．∴∠EBF＝∠GAH．∵∠AHG＝∠BHA，∴△AHG∽△BHA，∴．∴AH2＝GH•BH．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．5．（2020•浦东新区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点E作AC的垂线交边BC于点F，与AB的延长线交于点M，且AB•AM＝AE•AC．求证：（1）四边形ABCD是矩形；（2）DE2＝EF•EM．【考点】相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据相似三角形的性质与判定可知∠AME＝∠ACB，从而可得∠ACB+∠BAC ＝90°，所以▱ABCD是矩形．（2）由（1）可知：DE＝EC，AE＝EC，易证∠CME＝∠AME＝∠ECB，所以△CEF∽△MEC，所以，从而得证．【解答】解：（1）∵AB•AM＝AE•AC，∴＝，∵∠CAB＝∠CAB，∴△ACB∽△AME，∴∠AME＝∠ACB，由于∠AME+∠BAC＝90°，则∠ACB+∠BAC＝90°，∴▱ABCD是矩形．（2）由（1）可知：DE＝EC，AE＝EC，∵ME⊥AC，∴ME平分∠AMC，∴∠CME＝∠AME＝∠ECB，∵∠MEC＝∠FEC＝90°，∴△CEF∽△MEC，∴，∴EC2＝EF•EM，即DE2＝EF•EM．【点评】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，以及矩形的性质与判定，本题综合程度较高．6．（2020•松江区二模）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N 分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．（1）求证：AB＝AC；（2）联结OM、ON、MN，求证：＝．【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．【专题】证明题；数形结合；图形的全等；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．【分析】（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则根据垂径定理可得答案；（2）联结OB，OM，ON，MN，先判定△BOM≌△AON（SAS），再证明△NOM∽△BOA，然后根据相似三角形的性质可得答案．【解答】证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：∵AO平分∠BAC．∴OD＝OE，∴AB＝AC；（2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示，∵AM＝CN，AB＝AC∴BM＝AN，∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO，∵∠BAO＝∠OAN，∴∠B＝∠OAN，∴△BOM≌△AON（SAS），∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，∴∠AOB＝∠MON，∴△NOM∽△BOA，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及圆的有关性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．7．（2020•崇明区二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH ⊥AB，垂足为点H，交AC于E，联结HO并延长交CD于点G，（1）求证：∠DHO＝∠BCD；（2）求证：HG•AE＝2DE•CG．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）先判断出OB＝OD，进而判断出OH＝OD，得出∠DHO＝∠BDH，再用等角的余角相等判断出∠DHO＝∠BAO，即可得出结论；（2）先判断出∠ADH＝∠COG，进而判断出△ADE∽△COG，得出AE•OG＝DE•CG，再判断出△AOH≌△COG，得出OG＝HG，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠BCD＝∠BAD＝2∠BAO，∵点O是菱形ABCD的两条对角线的交点，∴OB＝OD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝OD，∴∠DHO＝∠BDH，在Rt△BHD中，∠BDH+∠ABO＝90°，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠BDH＝∠BAO，∴∠DHO＝∠BAO，∴∠BCD＝2∠DHO，∴∠DHO＝∠BCD；（2）由（1）知，∠DHO＝∠BAO，∵AC是菱形ABCD的对角线，∴OA＝OC，∠DAO＝∠BAO，∴∠DHO＝∠DAO，∵∠AED＝∠HEO，∴∠AOH＝∠ADE，∵∠AOH＝∠COG，∴∠ADH＝∠COG，∵∠DAE＝∠OCG，∴△ADE∽△COG，∴，∴AE•OG＝DE•CG，在△AOH和△COG中，，∴△AOH≌△COG（SAS），∴OH＝OG，∴OG＝HG，∴AE•HG＝DE•CG，∴HG•AE＝2DE•CG．【点评】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，同角的余角相等，判断出∠DHO＝∠BAO是解本题的关键．8．（2020•闵行区二模）如图，已知在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝AB，点F为CE的中点，点G在线段CD上，联结DF，交AG于点M，交EG于点N，且∠DFC＝∠EGC．（1）求证：CG＝DG；（2）求证：CG2＝GM•AG．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；梯形．【专题】三角形；梯形；推理能力；应用意识．【分析】（1）根据已知，找到∠AEB＝∠EFC．∠EDC＝∠DEC．即可利用AAS证明全等．（2）根据AB2＝BG•BD结合∠ABG＝∠DBA．即可得到：△ABD∽△GBA．利用对应角相等，即可证明△AEB∽△BDC．再利用对应边成比例，即可求证．【解答】证明：方法一：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．∴∠B＝∠C．∠ADE＝∠DEC．∵DE平分∠ADC．∴∠ADE＝∠EDC．∴∠EDC＝∠DEC．∴EC＝CD．∴AB＝EC．∵AE⊥BC、EF⊥CD．∴∠AEB＝∠EFC．在ABE与△ECF中，．∴△ABE≌△ECF（AAS）．方法二：∵DE平分∠ADC．AE⊥BC、EF⊥CD．∴AE＝EF．∵AE⊥BC、EF⊥CD．∴∠AEB＝∠EFC．∵AD∥BC，AB＝CD．∴∠B＝∠C．在ABE与△ECF中，．∴△ABE≌△ECF（AAS）．（2）联接BD，BD与AE交于点G，如图：∵AB2＝BG•BD．∴．∵∠ABG＝∠DBA．∴△ABD∽△GBA．∴∠ADB＝∠GAB．∵AD∥BC．∴∠ADB＝∠DBC．∴∠BAG＝∠DBC．∴△AEB∽△BDC．∴．∴AB•DC＝BC•EB．∴EC2＝BE•BC．【点评】本题考查三角形全等判断和性质，三角形相似判断和性质．关键在于掌握三角形的判定定理在本题中的应用．属于拔高题．9．（2020•嘉定区二模）已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上（点E不与点A、B重合），点F在边AC上，联结DE、DF．（1）如图1，当∠EDF＝90°时，求证：BE＝AF；（2）如图2，当∠EDF＝45°时，求证：．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）连接AD，证△BDE≌△ADF（ASA），即可得出结论；（2）证明△BDE∽△CFD．得出，得出，由BD＝CD，即可得出结论．【解答】证明：（1）连接AD，如图1所示：在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵点D是边BC的中点，∴AD＝BC＝BD，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠B＝∠CAD，∵∠EDF＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；（2）∵∠BDF＝∠BDE+∠EDF，∠BDF＝∠C+∠CFD，∴∠BDE+∠EDF＝∠C+∠CFD．又∵∠C＝∠EDF＝45°，∴∠BDE＝∠CFD，∴△BDE∽△CFD．∴，∴，又∵BD＝CD，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．专题二四边形的证明【历年真题】1．（2020•杨浦区二模）如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M 在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．（1）如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形；（2）如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC•AC．【考点】菱形的判定与性质；正方形的性质；平行线分线段成比例．【专题】矩形菱形正方形；应用意识．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，推出，所以MN∥CD，再根据EN∥BD，推出四边形DMNE是平行四边形，再证明△AOM≌△DON，推出∠OMA＝∠OND，由∠OAM+∠OMA＝90°，∠OAM+∠OND＝90°得出∠AHN＝90°，即DN⊥ME，所以四边形DMNE是菱形；（2）由MN∥CD，推出，由四边形ABCD是正方形，推出AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，即AD⊥DC，根据EN⊥DC，得出EN∥AD，所以，根据AB∥DC，推出，所以，最后得出结论．【解答】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∵ON＝OM，∴，∴MN∥CD，又∵EN∥BD，∴四边形DMNE是平行四边形，在△AOM和△DON中，∵∠AOM＝∠DON＝90°，OA＝OD，OM＝ON，∴△AOM≌△DON（SAS），∴∠OMA＝∠OND，∵∠OAM+∠OMA＝90°，∴∠OAM+∠OND＝90°∴∠AHN＝90°．∴DN⊥ME，∴平行四边形DMNE是菱形；（2）如图2，∵MN∥CD，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，∴AD⊥DC，又∵EN⊥DC，∴EN∥AD，∴，∵AB∥DC，∴，∴，∴AN2＝NC•AC．【点评】本题考查了正方形与菱形，熟练运用正方形和菱形的性质是解题的关键．2．（2020•虹口区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，联结AD，以AD 为一边作△ADE，满足AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，联结EC．（1）求证：CA平分∠DCE；（2）如果AB2＝BD•BC，求证：四边形ABDE是平行四边形．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据角平分线的定义证明结论；（2）根据相似三角形的判定定理得到△ABD∽△CBA，得到∠BAD＝∠ACB，分别证明AE ∥BD，AB∥DE，根据平行四边形的判定定理证明．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∴∠ACB＝∠ACE，∴CA平分∠DCE；（2）证明：∵AB2＝BD•BC，∴＝，又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA，∴∠BAD＝∠ACB，∵△ABD≌△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE∥BD，∵AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，∴∠ACB＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AB∥DE，∵AE∥BD，AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．（2020•徐汇区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，BE＝DG，BF＝DH．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当AB＝BC，且BE＝BF时，求证：四边形EFGH是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【分析】（1）利用全等三角形的性质可得EF＝HG，EH＝FG，可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得∠BEF＝∠BFE＝，∠AEH＝∠AHE＝，可求∠FEH＝90°，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，∵BE＝DG，BF＝DH，且∠B＝∠D，∴△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝HG，同理可得EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）∵AB＝BC，BE＝BF∴AB＝BC＝CD＝AD，BE＝BF＝DH＝DG，∴AE＝AH，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵BE＝BF，AE＝AH，∴∠BEF＝∠BFE＝，∠AEH＝∠AHE＝，∴∠AEH+∠BEF＝90°，∴∠FEH＝90°，∴平行四边形EFGH是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．专题三边与角的证明【历年真题】1．（2020•金山区二模）如图，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和正方形CBGF，点F在CD上，联结AF、BD，BD与FG交于点M，点N是边AC上的一点，联结EN交AF与点H．（1）求证：AF＝BD；（2）如果＝，求证：AF⊥EN．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）依题意易证△AFC≌△DBC，从而求出AF＝BD；（2）由△AFC≌△DBC可得∠CAF＝∠CDB，从而证得△BGM∽△ACF，根据相似三角形的性质和已知＝，求得AN＝CF，即可证得△AEN≌△CAF，得到∠ENA＝∠AFC，从而证得∠F AC+∠ENA＝90°，即∠AHN＝90°，即可证得结论．【解答】解：（1）∵四边形ACDE和四边形BCFG都为正方形，∴AC＝DC，∠ACD＝∠BCD＝90°，BC＝CF，在△AFC和△DBC中，，∴△AFC≌△DBC（SAS）．∴AF＝BD．（2）∵△AFC≌△DBC，∴∠CAF＝∠CDB，∵CD∥BG，∴∠CDB＝∠MBG，∴∠CAF＝∠MBG，∵∠ACF＝∠BGM＝90°，∴△BGM∽△ACF，∴，∵BG＝GF＝FC，∴＝，∵＝，∴AN＝FC，在△AEN和△CAF中，∴△AEN≌△CAF（SAS），∴∠ENA＝∠AFC，∵∠F AC+∠AFC＝90°，∴∠F AC+∠ENA＝90°，∴∠AHN＝90°，∴AF⊥EN．【点评】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．2．（2020•宝山区二模）如图，E、F分别是正方形ABCD的边DC、CB的中点，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，联结AQ、DF．（1）求证：AE⊥DF；（2）设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，求证：S1+S2＝S3．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】图形的全等；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，再由SAS即可证出△ADE≌△DCF，然后根据全等三角形的性质和垂直的定义即可得到结论；（2）先证明△AEQ∽△ECQ，得出△AEQ∽△ECQ∽△ADE，得出面积比等于相似比的平方，再由勾股定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠EAD＝∠CDF，∵∠AED+∠CDF＝90°，∴∠AED+∠EAD＝90°，∴AE⊥DF；（2）证明：∵E是CD的中点，∴CE＝DE＝DC＝AD，∵四边形AEHG是正方形，∴∠AEH＝90°，∴∠AED+∠CEQ＝90°，∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠CEQ，∵∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△ECQ，∴＝，∵DE＝CE，∴＝，∵∠C＝∠AEQ＝90°，∴△AEQ∽△ECQ，∴△AEQ∽△ECQ∽△ADE，∴＝（）2，＝（）2，∴+＝（）2+（）2＝，∵EQ2+AE2＝AQ2，∴+＝1，∴S1+S2＝S3．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，需要多次证明三角形相似才能得出结论．3．（2020•黄浦区二模）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质．【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．【解答】解：（1）连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，在△OAB和△OAC中，，∴△OAB≌△OAC（AAS），∴AB＝AC即△ABC是等腰三角形；（2）延长AO交BC于点H，∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，∴，解得，，∴BC＝2a＝3．【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，第（1）关键在证明三角形全等；第（2）题关键由勾股定理列出方程组．4．（2020•青浦区二模）如图，在平行四边形ABCD中，BE、DF分别是平行四边形的两个外角的平分线，∠EAF＝∠BAD，边AE、AF分别交两条角平分线于点E、F．（1）求证：△ABE∽△FDA；（2）连接BD、EF，如果DF2＝AD•AB，求证：BD＝EF．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠HDF＝∠HDC．根据平行四边形的性质得到AB ∥CD．求得∠BAD＝∠CDH．等量代换得到∠BAE＝∠F，同理∠DAF＝∠E，于是得到结论；（2）作AP平分∠DAB交CD于点P，由角平分线的定义得到∠DAP＝∠BAD，求得∠HDF＝∠DAP，推出DF∥AP，同理BE∥AP，根据相似三角形的性质得到BE＝DF，根据平行四边形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD，∵DF平分∠HDC，∴∠HDF＝∠HDC，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAD＝∠CDH，∴∠HDF＝∠EAF，∴∠HDF＝∠DAF+∠BAE，又∵∠HDF＝∠DAF+∠F，∴∠BAE＝∠F，同理：∠DAF＝∠E，∴△ABE∽△FDA；（2）作AP平分∠DAB交CD于点P，∴∠DAP ＝∠BAD，∵∠HDF ＝∠CDH，且∠BAD＝∠CDH∴∠HDF＝∠DAP，∴DF∥AP，同理：BE∥AP，∴DF∥BE，∵△ABE∽△FDA ，∴，即BE•DF＝AD•AB，又∵DF2＝AD•AB，∴BE＝DF，∴四边形DFEB是平行四边形，∴BD＝EF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键。