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中原名校2019-2020学年下学期质量考评高三数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}2|1x B x e -=≤，则A B ⋃=（ ） A ．(,4)-∞ B ．(1,4)C ．(1,2)D ．(1,2]3．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L ，下列结论正确的是（ ）A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为84．已知向量(,1)a m =r ，(3,2)b m =-r ，则3m =是a b r r∥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件5．已知角a 的终边经过点(4,3)(0)P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是（ ） A ．1或1- B ．25或25- C ．1或25- D ．1-或25- 6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A ．甲被录用B ．乙被录用C ．丙被录用D ．无法确定被录用7．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,300i =⋯），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是（ ） A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1C ．对所有的解释变量ˆˆ(1,2,,300),i i x i bx a =+L 的值一定与i y 有误差D ．若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则变量x 与y 正相关 8．已知x ，y 满足条件0,020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ） A ．16- B ．6- C ．274-D ．2749．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π10．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．422+．811．已知,a b 为任意实数，且22(2)(3)1a b ++-=，则对任意正实数x ，22()(ln )x a x b -+-的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321-D ．1962-12．已知函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．21,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,02e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．210,e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若22nx ⎫-⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是__________．14．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，若b =1c =，则ABC △的面积为___________．15．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为_________．16．已知点(0,1)A -是抛物线22(0)x py p =>的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且||||PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a =，121n n a S +=+，数列{}n b 满足11a b =，点()1,n n P b b +在20x y -+=上，*n N ∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．如图1，在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 为CD 的中点，G 在线段BC 上，且3BG CG =．将ADE △沿DE 折起，使点A 到1A 的位置（如图2所示），且1A F CD ⊥．（1）证明：BE ∥平面1A FG ；（2）求平面1A FG 与平面1A BE 所成锐二面角的余弦值．19．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：组别 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 频数5304050452010（1）若此次问卷调查得分X 整体服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求μ，σ的值（μ，0的值四舍五入取整数），并计算(5193)P X <<；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于μ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于μ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概率为23，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为13．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额． （参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈； (33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈．）20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率为2，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），12AF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，问y 轴上是否存在点M ，使得ABM △是以M 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知函数()(1)ln ()f x a x x ex a R =-+∈，其中e 是自然对数的底数． （1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若不等式()0xf x e -≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．[选做题）请考生在第22～23两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，点P的极坐标是23π⎫⎪⎝⎭． （1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求PMN △的面积． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|||1|f x x a x =++-．（1）当2a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）若关于x 的不等式()|5|f x x ≤-的解集包含[0,2]，求实数a 的取值范围．中原名校2019-2020学年下期质量考评一高三数学（理）参考答案一、选择题1．【解析】因为1(1)(12)33112(12)(12)555i i i i z i i i i ++--====-++-，所对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限．故选D ．2．【解析】{}4|0log 1{|14}A x x x x =<<=<<，{}2|1{|2}x B x e x x -=≤=≤，则(,4)A B ⋃=-∞．故选A ．3．【解析】样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，所以样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L 的平均数为21020⨯=，方差为2228⨯=．故选D ．4．【解析】当a b r r∥时，(2)130m m --⨯=，即2230m m --=，解得：1m =-或3m =，∴3m =是a b r r∥的充分不必要条件．故选A ．5．【解析】由题意得点P 与原点间的距离5||r m ==． ①当0m >时，5r m =，∴33sin 55m a m ==，44cos 55m a m -==-， ∴3422sin cos 2555a a +=⨯-=． ②当0m <时，5r m =-，∴33sin 55m a m ==--，44cos 55m a m -==-， ∴3422sin cos 2555a a ⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭． 综上，2sin cos a a +的值是25或25-．故选B ． 6．【解析】若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，但两人的说法相矛盾，据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了．故选A ．7．【解析】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误；若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则ˆˆbx a +的值与i y 相等，故C 错误；相关系数r 与ˆb 符号相同，若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确．故选D ．8．【解析】画出x ，y 满足的0,020x y y x x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖„„（k 为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y =+的最大值为9，可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ，使目标函数3z x y =+取得最大值，将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k =-． 故选B ．9．【解析】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ，可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =．矩形ABCD 的外接圆直径225AC AB BC =+=，且2PB =．所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为22229R PB AC =+=，因此，该三棱锥的外接球的表面积为224(2)29R R πππ=⨯=．故选C ．10．【解析】由题意得：1122PF F F c ==，设椭圆方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线方程为()2222222210,0x y a b a b -=>>，又∵1212PF PF a +=，2122PF PF a -=．∴2122PF c a +=，2222PF c a -=，∴122a a c -=，则()22222112212222923393633333c a a c e c a a a c a c e a c ca ca c a ++++=+===++2236683a c c a =++≥=，当且仅当2233a cc a =，即23e =时等号成立．则2133e e +的最小值为8． 11．【解析】由题意得所求为曲线ln y x =上的点与以(2,3)C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心(2,3)C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(,ln )(0)M m m m >，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1k m '=，从而有1CM k k '⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+，整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件，其到圆心(2,3)C -的距离为d ==21)19=-D ．12．【解析】由题意，函数1,0()ln ,0x xf x x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点．当0x >时，令()()0F x f x kx =-=，可得2ln xk x=，要使()0F x =有两个实数解，即y k =和2ln ()x g x x =有两个交点，又由312ln ()xg x x-'=，令12ln 0x -=，可得x =x ∈时，()0g x '>，则()g x单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调速减，且()0g x >，所以当x =时，max 1()2g x e=，若直线y k =和2ln ()x g x x =有两个交点，则10,2k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．当0x <时，y kx =和1()g x x =有一个交点，则0k >．综上，实数k 的取值范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选C ． 二、填空题13．1 14．2 15．3π16113．【解析】22nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴展开式中共有11项，10n =．令1x =，则展开式中各项系数和为10(12)1-=．14．【解析】A ，B ，C 成等差数列，∴2A C B +=，又180A B C ++=︒， ∴3180B =︒，即60B =︒． 由正弦定理sin sin c b C B =，所以1sin 2C =，因为c b <，所以6C π=，故2A π=，所以122ABC S bc ==△．故答案为：2． 15．【解析】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为2126ππ=，所以，半径为1的圆的内接正十二边形的面积为21121sin 326π⨯⨯⨯=，因此，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为3π．16．【解析】由于A 在抛物线准线上，故2p =，故抛物线方程为24x y =，焦点坐标为(0,1)． 当直线PA 和抛物线相切时m 取得最小值，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入抛物线方程得2440x kx -+=，判别式216160k -=，解得1k =±，不妨设1k =，由2440x x -+=，解得2x =，即(2,1)P ．设双曲线方程为22221y x a b -=，将P 点坐标代入得22141a b -=，即222240b a a b --=，而双曲线1c =，故22221,1a b b a =+=-，所以()22221410a a a a ----=，解得1a =，故离心率为1c a ==+． 三、解答题 17．【解析】（1）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得12n n n a a a +-=，13(2)n n a a n +=≥． 又21213a S =+=，所以213a a =．故数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n n a -=．因为点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=． 则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列． 所以1(1)221n b n n =+-⋅=- （2）因为1213n n n n b n c a --==， 所以0121135213333n n n T --=+++⋯+． 则123111352321333333n n nn n T ---=+++⋯++ 两式相碱得：21222221133333n n nn T --=+++⋯+- 整理得：21112113323233n n n n n n T ----+=--=-⋅⋅ 18．【解析】（1）证明：取BC 的中点M ，连接DM ．∵3BG CG =，∴G 为CM 的中点，又F 为CD 的中点，∴FG DM ∥．依题意可知DE BM =∥，则四边形DMBE 为平行四边形，∴BE DM ∥，从而BE FG ∥．又FG ⊂平面1A FG ，BE ⊄平面1A FG ，∴BE ∥平面1A FG （2）∵1DE A D ⊥，DE DC ⊥，且1A D DC D ⋂=， ∴DE ⊥平面1A DC ，又∵1A F ⊂平面1A DC ，∴1DE A F ⊥， ∵1A F DC ⊥，且DE DC D ⋂=，∴1A F ⊥平面BCDE ，如图，以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -，不妨设2CD =．则(0,0,0)F ，13)A ，(1,4,0)B ，(1,2,0)E -，(1,1,0)G ，13)FA =u u u r ，(1,1,0)FG =u u u r ，1(1,2,3)A E =--u u u r ，(2,2,0)EB =u u u r ．设平面1A FG 的法向量为()111,,n x y z =r ，则100n FA n FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，即111300z x y =+=⎪⎩，令11x =，得(1,1,0)n =-r ． 设平面1A BE 的法向量为()222,,m x y z =u r ，则100m A E m EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即22222230220x y z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得(1,1,3)m =-u r ． 从而10cos ,525m n <>==⨯u r r ， 故平面1A FG 与平面1A BE 10 19．【解析】（1）由已知频数表得：5304050452010()3545556575859565200200200200200200200E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 22222()(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(6565)0.25(7565)0.225D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(8565)0.1(9565)0.05210+-⨯+-⨯=，由2196225σ<<，则1415σ<<，而214.5210.5210=>，所以14σ≈，则X 服从正态分布(65,14)N ，所以(22)()(5193)(2)2P X P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+<<=-<<+=0.95450.68270.81862+==． （2）显然，()()0.5P X P X μμ<=≥=，所以所有Y 的取值为15，30，45，60，121(15)233P Y ==⨯=，111227(30)2323318P Y ==⨯+⨯⨯=， 1211122(45)2332339P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，1111(60)23318P Y ==⨯⨯=， 所以Y 的分布列为：Y 15 30 45 60P13 718 29 118所以1721()1530456030318918E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=， 需要的总金额为：200306000⨯=20．【解析】（1）12AF F △，则：bc =，又2c e a ==，222a b c =+，解得：24a =，21b =． ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=． （2）假设y 轴上存在点(0,)M t ，使得ABM △是以M 为直角顶点的等腰直角三角形， 设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,N x y ， 由2214x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得：2258440x mx m ++-=，()()2226420441650m m m ∆=--=->，解得：25m <， ∴1285m x x +=-，212445m x x -=， ∴120425x x m x +==-，005m y x m =+=，∴4,55m m N ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 依题意有AM BM ⊥，MN l ⊥．由MN l ⊥可得：5114015mt m -⨯=-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭，可得：35m t =-， 由AM BM ⊥可得：12121y t y t x x --⋅=-， ∵11y x m =+，22y x m =+，代入上式化简可得：()212122()()0x x m t x x m t +-++-=， 则：()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1m =±． 当1m =时，点30,5M ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足题意；当1m =-时，点30,5M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意． 故y 轴上存在点30,5M ⎛⎫± ⎪⎝⎭，使得ABM △是以M 为直角顶点的等腰直角三角形．21．【解析】（1）因为()(1)ln ,0f x a x x ex x =-+> 所以1()ln x f x a x e x -⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭， 因为(1)f e '=，且(1)f e =，所以切线方程为(1)y e e x -=-，即y ex =（2）设()()(1)ln (1)x x g x f x e a x x ex e x =-=-+-≥， 则1()ln 1x g x a x e e x ⎛⎫'=+-+- ⎪⎝⎭， ①若0a ≤，则()g x '在[1,)+∞上单调递减，又(1)0g '=，∴()0g x '≤恒成立， ∴()g x 在[1,)+∞上单调递减，又(1)0g =，∴()0g x ≤恒成立．②若0a >，令1()()ln 1x h x g x a x e e x ⎛⎫'==+-+- ⎪⎝⎭， ∴211()x h x a e x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，易知()h x '在[1,)+∞上单调递减，且(1)2h a e '=-，（ⅰ）当20a e -≤即02e a <≤时，()0h x '≤在[1,)+∞上恒成立， ∴()h x 在[1,)+∞上单调递减，即()g x '在[1,)+∞上单调递减， 又(1)0g '=，∴()0g x '≤恒成立，∴()g x 在[1,)+∞上单调递减， 又(1)0g =，∴()0g x ≤恒成立（ⅱ）当20a e ->即2e a >时，0(1,)x ∃∈+∞使()0h x '=，∴()h x 在()01,x 递增，此时()(1)0h x h >=，∴()0g x '>，∴()g x 在()01,x 递增，∴()(1)0g x g >=，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是2e a ≤22．【解析】 （1）由122x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t，得到y =，则sin cos ρθθ=， ∴3πθ=，所以直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ．点2,33P π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线l的距离为2sin 33332d ππ⎛⎫=⨯-=⨯= ⎪⎝⎭ （2）由22cos 203ρρθπθ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，得220ρρ--=， 所以121ρρ+=，122ρρ=-， 所以12||3MN ρρ=-==，则PMN △的面积为11||322PMN S MN d =⨯=⨯=△23．【解析】 （1）当2a =时，()|2||1|8f x x x x =++-≥+等价于1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或2138x x -≤<⎧⎨≥+⎩或2218x x x <-⎧⎨--≥+⎩， 解得7x ≥或x ∈∅或3x ≤-．所以不等式的解集为：(,3][7,)x ∈-∞-⋃+∞（2）依题意即()|||1||5|f x x a x x =++-≤-在[0,2]x ∈时恒成立， 当[0,1]x ∈时，||15x a x x ++-≤-，即||4x a +≤，所以44a x a --≤≤-对[0,1]x ∈恒成立，∴4014a a --≤⎧⎨≤-⎩，得43a -≤≤； 当(1,2]x ∈时，||15x a x x ++-≤-，即||62x a x +≤-，2662x x a x -≤+≤- 所以636a x x a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩对任意(1,2]x ∈恒成立， ∴62326a a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩，得04a a ≤⎧⎨≥-⎩，∴40a -≤≤． 综上，40a -≤≤（其它解法酌情给分）。
2020届中原名校高三下学期质量考评一数学理科试题一、单选题(★) 1 . 若为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★) 2 . 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 3 . 若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（）A．平均数为20，方差为4B．平均数为11，方差为4C．平均数为21，方差为8D．平均数为20，方差为8(★) 4 . 已知向量，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件(★) 5 . 已知角的终边经过点，则的值是（）A．1或B．或C．1或D．或(★★) 6 . 甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了(★★) 7 . 根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是( )A．至少有一个样本点落在回归直线上B．若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1C．对所有的解释变量（），的值一定与有误差D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关(★★) 8 . 已知，满足条件（为常数），若目标函数的最大值为9，则（）A．B．C．D．(★★) 9 . 某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．(★★) 10 . 已知是椭圆与双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且| PF2 |>| PF1 |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则的最小值为（）A．4B．6C．D．8(★★) 11 . 已知，为任意实数，且，则对任意正实数，的最小值为（）A．B．18C．D．(★★) 12 . 已知函数，若有3个零点，则的取值范围为( ) A．(，0)B．(，0)C．(0，)D．(0，)二、填空题(★) 13 . 若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是________．(★★)14 . 中，角的对边分别为，且成等差数列，若，，则的面积为__________．(★) 15 . 割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________．(★★) 16 . 已知点是抛物线的准线上一点， F为抛物线的焦点， P为抛物线上的点，且，若双曲线 C中心在原点， F是它的一个焦点，且过 P点，当 m取最小值时，双曲线 C的离心率为 ______ .三、解答题(★★) 17 . 设数列的前项和为，且，数列满足，点在上，（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和．(★★) 18 . 如图1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。
绝密★启用前中原金科大联考2020届高三毕业班下学期联合质量检测数学(理)试题(解析版)2020年4月一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =--≤，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =( )A. {}1,0,1-B. 1,0,1,2C. {}0,1,2D. {}0,1,2,3【答案】B【解析】【分析】 先求得集合{}|12A x x =-≤≤,再结合集合的交集运算,即可求解.【详解】由题意,集合{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤,{}1,0,1,2,3B =-,所以A B =1,0,1,2.故选：B . 【点睛】本题主要考查了交集的运算,其中解答中正确求解集合A ,结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.2.复数z 满足()1|1|z i i +=-,则复数z 在复平面内的对应点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则,化简22z =-,再结合复数的几何表示方法,即可求解. 【详解】由题意,复数z 满足()1|1|z i i +=-,可得)()()1|1|11122i i z i i i --===-++-,则复数z 在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了复数的几何表示方法,以及复数的除法运算,其中解答中熟记复数的运算法则,准确化简复数为代数形式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.3.“ln ln a b >”是“22a b >的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质,结合充分条件、必要条件的判定方法,即可求解.【详解】由ln ln a b >,可得0a b >>,又由函数()2x f x =为单调递增函数,可得22a b >成立,即充分性是成立的；反之：由22a b >,可得a b >,例如：2,1a b ==-,此时ln ln a b >不成立,即必要性是不成立的,所以“ln ln a b >”是“22a b >的充分而不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查了指数函数与对数的性质,以及充分条件、必要条件的判定,其中解答中熟记指数函数与对数的性质,结合充分条件、必要条件的判定方法求解是解答的关键,着重考查了推理与论证能力.。
2019-2020学年河南省中原名校上学期期末联考高一数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知：直线与直线平行，则的值为（）A. 1B. -1C. 0D. -1或13. 函数，则（）A. B. 4 C. D. 84. 设是两个不同的平面，是直线且，，若使成立，则需增加条件（）A. 是直线且，B. 是异面直线，C. 是相交直线且，D. 是平行直线且，5. 已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.6. 已知矩形，，，沿矩形的对角线将平面折起，若四点都在同一球面上，则该球面的面积为（）A. B. C. D.7. 设是定义在实数集上的函数，且，若当时，，则有（）A. B.C. D.8. 已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（）A. 0B.C.D. 19. 某四面体的三视图如图，则该四面体的体积是（）A. 1B.C.D. 210. 已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（）A. -9，1B. -10，1C. -9，2D. -10，211. 已知函数，若对一切，都成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.12. 已知为圆的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形面积的最大值为（）A. 10B. 13C. 15D. 20二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的单调递增区间为__________．14. 已知集合，，则集合中子集个数是__________．15. 如图，已知圆柱的轴截面是矩形，，是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为__________．16. 已知函数，则函数的零点个数为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知全集，集合，集合. （1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围.18. 已知直线及点.（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程.19. 设是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）解不等式.20. 已知圆经过点，和直线相切.（1）求圆的方程；（2）若直线经过点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.21. 如图，四面体中，平面，，，，.（1）求四面体的四个面的面积中，最大的面积是多少？（2）证明：在线段上存在点，使得，并求的值.22. 已知函数，.（1）当时，求函数的值域；（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数的最大值为0，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.2019-2020学年河南省中原名校上学期期末联考高一数学试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4个．故选D.2. 已知：直线与直线平行，则的值为（）A. 1B. -1C. 0D. -1或1【答案】A【解析】由于直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋＝0平行所以，即－1或1，经检验成立.故选A.3. 函数，则（）A. B. 4 C. D. 8【答案】D【解析】∵，∴.故选D4. 设是两个不同的平面，是直线且，，若使成立，则需增加条件（）A. 是直线且，B. 是异面直线，C. 是相交直线且，D. 是平行直线且，【答案】C【解析】要使成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行，是相交直线且，，，，由直线和平面平行的判定定理可得.故选C.5. 已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知，函数在[a，＋∞)上是单调增函数，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上是单调增函数，，只需a ≤1，从而a∈(－∞，1]．故选B.6. 已知矩形，，，沿矩形的对角线将平面折起，若四点都在同一球面上，则该球面的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的对角线AC=10为该球的直径，所以该球面的面积为.故选C.7. 设是定义在实数集上的函数，且，若当时，，则有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以，，又当x≥1时，f(x)＝ln x单调递增，所以，故选B.8. 已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（）A. 0B.C.D. 1【答案】C【解析】∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴，所以.故选C.9. 某四面体的三视图如图，则该四面体的体积是（）A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】在正方体ABCDA1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1BCB1，如图所示，该四面体的体积为.故选B．点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．10. 已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（）A. -9，1B. -10，1C. -9，2D. -10，2【答案】A【解析】即为y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，故选A.11. 已知函数，若对一切，都成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，对一切，f(x)>0都成立，即，而，则实数a的取值范围为.故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .12. 已知为圆的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形面积的最大值为（）A. 10B. 13C. 15D. 20【答案】B【解析】如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝5，∴|AC|2＋|BD|2＝4(9－|OP|2)＋4(9－|OQ|2)＝52．则|AC|·|BD|=，当时，|AC|·|BD|有最大值26，此时S四边形ABCD＝|AC|·|BD|=×26＝13，∴四边形ABCD面积的最大值为13．故选B．点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的单调递增区间为__________．【答案】(－∞，－1)【解析】试题分析：因为，所以当时，而，所以函数的单调递增区间为.考点：复合函数单调性14. 已知集合，，则集合中子集个数是__________．【答案】4【解析】由题意知中的元素为圆与直线交点，因为圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离，所以直线与圆相交．集合有两个元素.故集合中子集个数为4.故答案为：4.15. 如图，已知圆柱的轴截面是矩形，，是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为__________．【答案】【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是矩形， AA1=2AB所以C 1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2．故答案为：2.点睛：求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.16. 已知函数，则函数的零点个数为__________．【答案】3【解析】由，得，作出y＝f(x)，的图象，由图象可知共有3个交点，故函数的零点个数为3．故答案为：3三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知全集，集合，集合.（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1)A∪B＝{x|－2<x<3}，；(2)(－∞，－2]．【解析】试题分析：（1）求解集合A,B根据集合交并补的定义求解即可；（2）由A∩B＝A，得A⊆B，从而得，解不等式求解即可.试题解析：（1）由题得集合A＝{x|0＜＜1}={x|1＜＜3}当m＝－1时，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B＝{x|－2<x<3}．（2）由A∩B＝A，得A⊆B..解得m≤－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2]．18. 已知直线及点.（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程.【答案】(1)证明见解析，定点坐标为；(2)15x＋24y＋2＝0.【解析】试题分析：（1）直线l的方程可化为 a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，即可解得定点；（2）由（1）知直线l恒过定点A，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大，利用点斜式求直线方程即可.试题解析：（1）证明：直线l的方程可化为 a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，得，所以直线l恒过定点．（2）由（1）知直线l恒过定点A，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．又直线PA的斜率，所以直线l的斜率k l＝－．故直线l的方程为，即15x＋24y＋2＝0．19. 设是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）解不等式.【答案】(1)；(2)(－∞，－2)∪(0,2)．【解析】试题分析：（1）奇函数有f(0)＝0，再由x<0时，f(x)＝－f(－x)即可求解；（2）由（1）分段求解不等式，最后取并集即可.试题解析：（1）因为f(x)是定义在上的奇函数，所以当x=0时，f(x)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)，－x>0，又因为当x>0时，f(x)＝，.所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝..综上所述：此函数的解析式.（2）f(x)<－，当x=0时，f(x)<－不成立；当x>0时，即<－，所以<－，所以>，所以3x－1<8，解得x<2，当x<0时，即<－，所以>－，所以3－x>32，所以x<－2，综上所述解集是(－∞，－2)∪(0,2)．20. 已知圆经过点，和直线相切.（1）求圆的方程；（2）若直线经过点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.【答案】(1)(x－1)2＋(y＋2)2＝2；(2)x＝2或3x－4y－6＝0．【解析】试题分析：（1）先求线段AB的垂直平分线方程为，设圆心的坐标为C(a，－a－1)，由圆心到点的距离和到切线的距离相等求解即可；（2）由题知圆心C到直线l的距离，进而讨论直线斜率存在不存在两种情况求解即可.试题解析：（1）由题知，线段AB的中点M(1,－2)，,线段AB的垂直平分线方程为，即，设圆心的坐标为C(a，－a－1)，则，化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝＝．∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．（解二：可设原方程用待定系数法求解）（2）由题知圆心C到直线l的距离，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由题意得，解得k＝，∴直线l的方程为y＝（x－2）．综上所述，直线l的方程为x＝2或3x－4y－6＝0．点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．21. 如图，四面体中，平面，，，，.（1）求四面体的四个面的面积中，最大的面积是多少？（2）证明：在线段上存在点，使得，并求的值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）易得，,,均为直角三角形，且的面积最大，进而求解即可；（2）在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM，可证得AC⊥平面MBN，从而使得AC⊥BM，利用相似和平行求解即可.试题解析：（1）由题设AB＝1，AC＝2，BC＝，可得,所以,由PA⊥平面ABC，BC、AB⊂平面ABC,所以，,所以,又由于PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以,所以，,,均为直角三角形，且的面积最大，．（2）证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM．由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC．由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN．又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．因为与相似，，从而NC＝AC－AN＝．由MN∥PA，得＝＝．22. 已知函数，.（1）当时，求函数的值域；（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数的最大值为0，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【答案】(1)[0,2]；(2)(－∞，)；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由h(x)＝－2(log3x－1)2＋2，根据log3x∈[0,2]，即可得值域；（3）由，假设最大值为0，因为,则有，求解即可.试题解析：（1）h(x)＝(4－2log3x)·log3x＝－2(log3x－1)2＋2，因为x∈[1,9]，所以log3x∈[0,2]，故函数h(x)的值域为[0,2]．（2）由，得(3－4log3x)(3－log3x)>k，令t＝log3x，因为x∈[1,9]，所以t＝log3x∈[0,2]，所以(3－4t)(3－t)>k对一切t∈[0,2]恒成立，令，其对称轴为，所以当时，的最小值为，综上，实数k的取值范围为(－∞，)．.（3）假设存在实数，使得函数的最大值为0，由.因为,则有，解得，所以不存在实数，使得函数的最大值为0.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .。
高二第二学期数学(理)期末试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合U R =，集合{}2|40M x x =-≤，则U C M = A. {}|22x x -<< B. {}|22x x -≤≤ C. {}|22x x x <->或 D.{}|22x x x ≤-≥或 2.设复数z 满足()()225z i i --=，则z =A. 23i +B. 23i -C. 32i +D.32i -3.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>3A. 2y x =±B. 2y x =C. 12y x =± D.22y x =± 4.设x R ∈，向量()()1,,2,6a x b ==-r r，且//a b r r ，则a b ⋅=r rA. -4B. 10255.下列四个结论：①若“p q ∧”是真命题，则p ⌝可能是真命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∃∈--≥”；③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件；④当0a <时，幂函数ay x =在区间()0,+∞上单调递减.其中正确的结论个数是A.0个B.1个C. 2个D. 3个 6.在单调递减等差数列{}n a 中，若32431,4a a a ==，则1a = A. 1 B. 2 C.32D. 3 7.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的3人中女生人数不少于1人的概率是 A.45 B. 35 C. 25 D.158.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A-BCD 的正视图与俯视图如图所示，则其几何体的表面积为A. 222 +B.232+C. 12+ D. 13+9.函数22sin33,00,1441xy xxππ⎛⎫⎡⎫⎛⎤=∈-⎪⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⎝⎭+U的图象大致是10.如果函数()f x在区间D上是增函数，且()f xx在区间上是减函数，则称函数()f x在区间D上是缓增函数，区间D叫做缓增区间.若函数()21322f x x x=-+在区间D上是缓增函数，则缓增区间D是A.[)1,+∞ B. 3⎡⎣ C.[]0,1 D.3⎡⎣11.若函数()3211232bf x x x bx⎛⎫=-++⎪⎝⎭在区间[]3,5上不是单调函数，则函数3⎡⎣在R上的极大值为 A. 232136b b- B.3223b- C. 0 D.423b-12.已知函数()22lnxef x k xx x⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若2x=是函数()f x的唯一极值点，则实数k的取值范围是A. (],e-∞ B. []0,e C. (),e-∞ D.[)0,e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()cos5sinaax x x-+=⎰ .14.曲线()lnf x x x=在点()()1,1f处的切线方程为 .15.若将函数sin3y x x=+的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数sin3y x x=的图象，则ϕ的最小值为 .16.已知函数()312xxf x x x ee=-+-，其中e是自然对数的底数，若()()2120f a f a-+≤，则实数a的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知命题P:函数()()2log 1m f x x =+是增函数，命题Q:2,10.x R x mx ∀∈++≥（1）写出命题Q 的否命题Q ⌝，并求出实数m 的取值范围，使得命题Q ⌝为真命题； （2）如果P Q ∨是真命题，P Q ∧是假命题，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AB AA E ==为BC 的中点. （1）求证：11C D D E ⊥;（2）若二面角1B AE D --的大小为90o ，求AD 的长.19.（本题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，A 是椭圆的上顶点，直线2AF 交椭圆于另一点B. （1）若190F AB ∠=o，求椭圆的离心率；（2）若22132,2AF F B AF AB =⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u r ，求椭圆的方程.20.（本题满分12分）设等差数列{}n a 的公差0d >，且10a >，记12231111.n n n T a a a a a a +=+++L （1）用1,a d 分别表示123,,T T T ，并猜想n T ； （2）用数学归纳法证明你的猜想.21.（本题满分12分）已知()()2ln , 3.f x x x g x x ax ==-+-（1）求函数()f x 在区间[](),20t t t +>上的最小值；（2）对一切实数()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：对一切()0,x ∈+∞，12ln x x e ex>-恒成立.22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2x t y kt =+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mmy k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l ，2l 的交点为P,当变化时，P 的轨迹为曲线.（1）写出曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()24,1 1.f x x ax g x x x =-++=++-（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含，求实数a 的取值范围.高二数学(理)答案一、选择题1．C 2．A 3．D 4．D 5．B6．B7．A 8．B 9．A 10．D 11．D12．A1．C 【解析】因为{}240M x x =-≤{}22x x =-≤≤，全集U R =，所以U C M ={}22x x x <->或，故选C.2．A 【解析】利用方程思想求解复数并化简.由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i＝2i ＋5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.3．D 【解析】由条件e ＝3，即c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝3，所以ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ．故选D4．D 【解析】∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－6)且a ∥b ，∴－6－2x ＝0，x ＝－3，∴a ＝(1，－3)，a ·b ＝20，故选D ．5．B 【解析】①若p q ∧是真命题，则p 和q 同时为真命题，p ⌝必定是假命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”； ③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充分不必要条件；④a y x =1'a y a x -⇒=⋅，当0a <时，'0y <，所以在区间()0+∞，上单调递减. 选B ．6．B 【解析】由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递减，∴a 4＝12，a 2＝32．∴公差d ＝a 4－a 22＝－12．∴a 1＝a 2－d ＝2．7．A 【解析】设所选女生人数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝3，则P (X 1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝212436C C C ＋C 12C 24C 36＝45.所以选A 。
河南省中原名校2020届高三上学期第二次质量考评数学（理）试题(考试时间：120分钟 试卷满分:150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A= {*∈-N x x x ,0<72},则B={A y N yy ∈*∈,6|}的子集个数是 A.4 个 B.8 个 C.16 个 D.32 个2.某食品的广告词为:“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果却大着呢，原来这句话的等价命题是 A.不拥有的人们不一定幸福B.不拥有的人们可能幸福C.拥有的人们不一定幸福D.不拥有的人们不幸福3.下列函数中，既是偶函数,又在区间（0, +)上单调递减的函数是 A. 2x y = B. ||1lnx y = C. ||2x y = D. x y cos =4.若函数⎩⎨⎧≤=0>,ln 0,2)(x x x x f x ，则))1((e f f (其中e 为自然对数的底数）=A.e 1 B. 21C. -2D. eln2 5.把函数xy 2=的图象向右平移t 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为32x y =,则t 的值为A.21B. log 23C. log 32D. 3 6.“函数)2<<2(cos ln ππx x y -=的图象是7.若26cos cos ,22sin sin =+=+y x y x ，则)sin(y x +等于 A.23 B. 22 C. 26D.1 8.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，1)41(=f ，当0<x 时，m x x f +-=)(log )(2，则实数m = A. -1 B. OC.lD.29.已知16log ,17log ,171716171===c b a ,则a ，b ，c 的大小关系为 A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>b>a10.定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)('x f ,若对任意实数x ，有)(x f >)('x f ，且2019)(+x f 为奇函数，则不等式0<2019)(xe xf =的解集为 A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(e1,∞-)D. ),1(+∞e11.已知函数)32sin()(π-=x x f ，若方程31)(=x f 在（0, π）的解为 )<(,2121x x x x ，则=)-sin(21x xA. 332-B. 23- C. 21-D. 31- 12.已知R b a ∈,，函数⎪⎩⎪⎨⎧≥++-=0,)1(21310<,)(23x ax x a x x x x f ，若函数b ax x f y --=)(恰有三个零点，则A. a < -l ，b<0B. a< -1,b>0C. a> -1,b<0D. a>-l ，b>0二、填空题（本大翠共4小题,每小题5分，共20分） 13.若函数)3)(()(+-=x a x x f 为偶函数,则=)2(f . 14.=-⎰dx x x π)cos (sin .15已知函数)1(2lg2+--=a x xa y 的定义域为集合A ，若A ∈4,则实数a 的取值集合是 16.己知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-∈+-∈+-∈+=),)(232,22[),2sin(),)(22,22[),2sin(z k k k x x z k k k x x y ππππππππππ的图象与直线)0>)(2(m x m y +=恰有四个公共),(),,(),,(),,(44132111y x D y x C y x B y x A ，其中4321<,<<x x x x ，则=+44tan )2(x x .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分10分）已知函数)44)(23c x x x x f ++-=有三个不同零点，求c 的取值范围. 18.(本题满分12分）设函数R x x x f ∈=,sin )(.(1)已知]2,0[πθ∈,函数)(θ+x f 是偶函数，求θ的值;(2)求函数22)]4([)]12([ππ+++=x f x f y 的值域. 19.(本题满分12分）已知:p m <a +1 <m 2+2； q:函数a x x f -=2log )(在区间（41,4)上有零点. (1)若m= 1，求使q p ∧⌝)(为真命题时实数a 的取值范围；(2)若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 20.(本题满分12分〉设函数)44)(23c x x x x f ++-=，且函数)(x f 的图象关于直线1=x 对称. (1)求函数)(x f 在区间[0,4]上的最小值；(2)设xx f x h )()(=，不等式02)2(≥⋅-xx k h 在∈x [-l,l]上恒成立，求实数的取值范围. 21.(本题满分12分）—片森林原来面积为计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的41，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (2)今后最多还能砍伐多少年？ 22.(本题满分12分）已知函数)1(ln )(+-=x a x x f ,(其中R a ∈)在点（)1(,1f )处的切线与x 轴平行. (1)求)(x f 的单调区间；(2)若存在1 >0x ，当),1(0x x ∈时，恒有)1(>2122)(2-++-x k x x x f ，求k 的取值范围.。
2020届中原名校高三下学期质量考评（一）数学（理）试题一、单选题1．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】根据复数的运算，化简得到3155z i =-，再结合复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算，可得()()()()1121331121212555i i i i z i i i i +-+-====-++-， 所对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限. 故选D . 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 2．已知集合{}40log 1A x x =<<，{}21x B x e -=≤，则A B =U （ ）A ．(),4-∞B ．()1,4C ．()1,2D ．(]1,2【答案】A【解析】分别化简集合,A B ,再求并集即可 【详解】{}{}40log 1=14A x x x x =<<<<{}{}21=2x B x e x x -=≤≤，则A B =U (),4-∞故选：A 【点睛】本题考查指数不等式及对数不等式求解，考查集合的并集运算，是基础题 3．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L ，下列结论正确的是（ ）A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8【答案】D【解析】由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案. 【详解】样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，所以样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L 的平均数为21020⨯=,方差为2228⨯=.故选:D. 【点睛】样本123,,,,n x x x x L 的平均数是x ，方差为2s ，则123,,,,n ax b ax b ax b ax b ++++L 的平均数为ax b +,方差为22a s .4．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-r r，则3m =是//a b r r 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【解析】向量1a m =r （，），32b m =-r（，），//a b r r ，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出即可．【详解】解：向量1a m =r （，），32b m =-（,）r ， //a b r r，则32m m =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 5．已知角a 的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是( ) A ．1或1-B ．25或25- C ．1或25-D ．1-或25【解析】根据三角函数的定义求得sin ,cos a a 后可得结论． 【详解】由题意得点P 与原点间的距离5r m ==．①当0m >时，5r m =，∴3344sin ,cos 5555m m a a m m -====-， ∴3422sin cos 2555a a +=⨯-=．②当0m <时，5r m =-， ∴3344sin ,cos 5555m m a a m m -==-==--， ∴3422sin cos 2555a a ⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭．综上可得2sin cos a a +的值是25或25-． 故选B ． 【点睛】利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ，然后再根据三角函数的定义求解即可．6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C【解析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C.本题考查了逻辑推理能力，属基础题.7．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =L ），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是( ) A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆy bx a =+上B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量同的相关系数为1C ．对所有的解释变量i x （1,2,,300i =L ），ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差 D ．若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则变量x 与y 正相关 【答案】D【解析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误； 若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则ˆˆbx a +的值与y i 相等，故C 错误； 相关系数r 与ˆb 符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确． 故选D ． 【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ） A ．16- B ．6-C ．274-D ．274【答案】B【解析】由目标函数3z x y =+的最大值为9，我们可以画出满足条件 件0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖„„为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k 的方程组，消参后即可得到k 的取值． 【详解】画出x ，y 满足的0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖„„为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y =+的最大值为9， 可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ， 使目标函数3z x y =+取得最大值， 将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k =-．故选：B ． 【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．9．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C【解析】作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式222R PB AC =+可计算出外接球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【详解】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ， 可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.矩形ABCD 的外接圆直径225AC AB +BC ，且2PB =. 所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为22229R PB AC =+=因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 10．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A．6+ B．6+C ．8D ．6【答案】C【解析】由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133e e +，结合基本不等式即可求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1ce a=，2c e a ='，设2PF m =由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122mPF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭68≥+= 当且仅当73a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.11．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A．B ．18C．1-D．19-【答案】D【解析】该题可以看做是圆上的动点到曲线ln y x =上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线ln y x =上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果. 【详解】由题意可得，其结果应为曲线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(),ln M m m ，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1'k m =，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+，整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件，其到圆心()2,3C -的距离为d ==()2119=-故选D. 【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.12．已知函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1(0,)eB ．1(0,)2eC ．1(,)2e-∞ D ．11(,)2e e【答案】B【解析】根据分段函数，分当0x <，0x >，将问题转化为()f x k x=的零点问题，用数形结合的方法研究. 【详解】 当0x <时，()21f x k xx==，令()()2312g ,'0x g x x x ==->，()g x 在()0x ∈-∞，是增函数，0k >时，()f x k x =有一个零点， 当0x >时，()2ln f x xk xx==，令()()23ln 12ln h ,x x x h x x x -'== 当x ∈时，h ()0x '＞，∴()h x 在上单调递增，当(,)x e ∈+∞时，h ()0x '＜，∴()h x 在(,)e +∞上单调递减， 所以当x e =时，()h x 取得最大值12e， 因为()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 所以当0x >时，()f x k x=有2个零点， 如图所示：所以实数k 的取值范围为1(0,)2e综上可得实数k 的取值范围为1(0,)2e， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.二、填空题13．若22nx x ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是________． 【答案】1【解析】由题意得出展开式中共有11项，10n =；再令1x =求得展开式中各项的系数和． 【详解】由22nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大， 所以展开式中共有11项，所以10n =； 令1x =，可求得展开式中各项的系数和是：10121-=（）．故答案为：1． 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查二项式展开式各项系数和的求法，属于基础题.14．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列，若b =1c =，则ABC ∆的面积为__________．【解析】由A ，B ，C 成等差数列得出B ＝60°，利用正弦定理得C 进而得2A π=代入三角形的面积公式即可得出． 【详解】∵A ，B ，C 成等差数列，∴A +C ＝2B ， 又A +B +C ＝180°，∴3B ＝180°，B ＝60°． 故由正弦定理1sin sin sin 26c b C c b C C B π=∴=<∴=Q ，故2A π=所以S △ABC 122bc ==，故答案为：2【点睛】本题考查了等差数列的性质，三角形的面积公式，考查正弦定理的应用，属于基础题． 15．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________． 【答案】3π【解析】求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可．【详解】半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为6π，腰为1的等腰三角形， ∴该正十二边形的面积为121n 312i 61s S π=⨯⨯⨯⨯=， 根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为2331ππ=⨯， 故答案为：3π．【点睛】本小题主要考查面积型几何概型的计算，属于基础题.16．已知点()0,1A -是抛物线22x py =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为______. 21【解析】由点A 坐标可确定抛物线方程，由此得到F 坐标和准线方程；过P 作准线的垂线，垂足为N ，根据抛物线定义可得PN m PA=，可知当直线PA 与抛物线相切时，m取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得P 点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率. 【详解】()0,1A Q 是抛物线22x py =准线上的一点 2p ∴=∴抛物线方程为24x y = ()0,1F ∴，准线方程为1y =-过P 作准线的垂线，垂足为N ，则PN PF =PF m PA =Q PF PN m PAPA∴==设直线PA 的倾斜角为α，则sin m α=当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切 设直线PA 的方程为1y kx =-，代入24x y =得：2440x kx -+=216160k ∴∆=-=，解得：1k =± ()2,1P ∴或()2,1-∴双曲线的实轴长为()221PA PF -=-，焦距为2AF =∴双曲线的离心率()21221e ==+-故答案为：21+ 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当m 取得最小值时，直线PA 与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得P 点坐标.三、解答题 17．设数列的前项和为，且，数列满足，点在上，（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1），（2）.【解析】（1）利用与的递推关系可以的通项公式；点代入直线方程得，可知数列是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.【详解】 由可得， 两式相减得，．又，所以．故是首项为1，公比为3的等比数列．所以．由点在直线上，所以．则数列是首项为1，公差为2的等差数列．则因为，所以．则，两式相减得：．所以．【点睛】 用递推关系求通项公式时注意的取值范围，所求结果要注意检验的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.18．如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 为CD 的中点，G 在线段BC 上，且3BG CG =。
中原名校—学年期末检测高二数学(理)试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合U R =，集合{}2|40M x x =-≤，则U C M = A. {}|22x x -<< B. {}|22x x -≤≤ C. {}|22x x x <->或 D.{}|22x x x ≤-≥或 2.设复数z 满足()()225z i i --=，则z =A. 23i +B. 23i -C. 32i +D.32i -3.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>A. 2y x =±B. y =C. 12y x =±D.2y x =± 4.设x R ∈，向量()()1,,2,6a x b ==-，且//a b ，则a b ⋅=A. -4B.C.5.下列四个结论：①若“p q ∧”是真命题，则p ⌝可能是真命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∃∈--≥”；③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件；④当0a <时，幂函数ay x =在区间()0,+∞上单调递减.其中正确的结论个数是A.0个B.1个C. 2个D. 3个 6.在单调递减等差数列{}n a 中，若32431,4a a a ==，则1a = A. 1 B. 2 C.32D. 3 7.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的3人中女生人数不少于1人的概率是 A.45 B. 35 C. 25 D.158.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A-BCD 的正视图与俯视图如图所示，则其几何体的表面积为A.22B. 22C. 1+1+9.函数22sin 33,00,1441x y x xππ⎛⎫⎡⎫⎛⎤=∈-⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⎝⎭+的图象大致是10.如果函数()f x 在区间D 上是增函数，且()f x x在区间上是减函数，则称函数()f x 在区间D 上是缓增函数，区间D 叫做缓增区间.若函数()21322f x x x =-+在区间D 上是缓增函数，则缓增区间D 是A.[)1,+∞B. ⎡⎣C. []0,1D.⎡⎣11.若函数()3211232b f x x x bx ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在区间[]3,5上不是单调函数，则函数⎡⎣在R 上的极大值为A. 232136b b -B. 3223b -C. 0D. 423b - 12.已知函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是A. (],e -∞B. []0,eC. (),e -∞D.[)0,e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()cos 5sin aax x x -+=⎰ .14.曲线()ln f x x x =在点()()1,1f 处的切线方程为 .15.若将函数sin y x x =+的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数sin y x x =-的图象，则ϕ的最小值为 .16.已知函数()312x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2120f a f a -+≤，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知命题P:函数()()2log 1m f x x =+是增函数，命题Q:2,10.x R x mx ∀∈++≥（1）写出命题Q 的否命题Q ⌝，并求出实数m 的取值范围，使得命题Q ⌝为真命题；（2）如果P Q ∨是真命题，P Q ∧是假命题，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AB AA E ==为BC 的中点. （1）求证：11C D D E ⊥;（2）若二面角1B AE D --的大小为90，求AD 的长.19.（本题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，A 是椭圆的上顶点，直线2AF 交椭圆于另一点B.（1）若190F AB ∠=，求椭圆的离心率； （2）若22132,2AF F B AF AB =⋅=，求椭圆的方程.20.（本题满分12分）设等差数列{}n a 的公差0d >，且10a >，记12231111.n n n T a a a a a a +=+++（1）用1,a d 分别表示123,,T T T ，并猜想n T ； （2）用数学归纳法证明你的猜想.21.（本题满分12分）已知()()2ln , 3.f x x x g x x ax ==-+-（1）求函数()f x 在区间[](),20t t t +>上的最小值；（2）对一切实数()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：对一切()0,x ∈+∞，12ln x x e ex>-恒成立.22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt=+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l ，2l 的交点为P,当变化时，P 的轨迹为曲线.（1）写出曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()24,1 1.f x x ax g x x x =-++=++-（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含，求实数a 的取值范围.中原名校—学年期末检测高二数学(理)答案一、选择题 1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．B7．A 8．B 9．A 10．D 11．D 12．A1．C 【解析】因为{}240M x x =-≤{}22x x =-≤≤，全集U R =，所以U C M ={}22x x x <->或，故选C.2．A 【解析】利用方程思想求解复数并化简.由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i＝2i ＋5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.3．D 【解析】由条件e ＝3，即c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝3，所以ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ．故选D4．D 【解析】∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－6)且a ∥b ，∴－6－2x ＝0，x ＝－3，∴a ＝(1，－3)，a ·b ＝20，故选D ．5．B 【解析】①若p q ∧是真命题，则p 和q 同时为真命题，p ⌝必定是假命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”； ③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充分不必要条件； ④a y x =1'a y a x -⇒=⋅，当0a <时，'0y <，所以在区间()0+∞，上单调递减. 选B ．6．B 【解析】由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递减，∴a 4＝12，a 2＝32．∴公差d ＝a 4－a 22＝－12．∴a 1＝a 2－d ＝2．7．A 【解析】设所选女生人数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝3，则P (X 1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝212436C C C ＋C 12C 24C 36＝45.所以选A 。
