定积分知识点汇总

定积分

一．定积分的几何意义

①

()0f x >时，()b

a

f x dx S =⎰

()0f x <时，

()b

a

f x dx S =-⎰

()f x 有正有负时，

1(),

b

a

f x dx S =⎰2(),

c

b

f x dx S =-⎰

3()d

c

f x dx S =⎰

面积和123()()()b

c

d

a

b

c

S S S f x dx f x dx f x dx ++=-+⎰

⎰⎰

[()()]b

a

f x

g x dx S -=⎰

二．定积分基本性质 ①当a b =时，()0b

a

f x dx =⎰

.

②()()b

b a

a

kf x dx k f x dx =⎰

⎰

③1212[()()()]()()()b

b b b

n n a

a

a

a

f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx

±±⋅⋅⋅±=±±÷⋅⋅±⎰

⎰⎰⎰

④

12

1

()()()()n

b

c c b

a

a

c c f x dx f x dx f x dx f x dx =++⋅⋅⋅+⎰

⎰⎰⎰

⑤若奇函数()y f x =在[,]a a -上连续不断，则()0a

a f x dx -=⎰

⑥若偶函数()y f x =在[,]a a -上连续不断，则0()2()a

a

a

f x dx f x dx -=⎰

⎰

123()()()().d b

c d a a

b

c

f x dx f x dx f x dx f x dx S S S =++=-+⎰

⎰

⎰⎰

微分基本定理：如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，且'()()F x f x =，则 ()()

()()b

b a

a

f x dx F x F b F a ==-⎰

（牛顿—莱布尼兹公式）

1.直线0,,0x x y π===与曲线sin y x =所围成图形的面积用定积分表示为

2.用定积分表示抛物线2

23y x x =-+与直线3y x =+所围成图形的面积为

3.曲线2

1,2,0,0y x x x y =-===围成的阴影部分的面积用定积分表示为

4.由曲线24,4,0,0y x x x y =-===和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）

4

2

.(4)A x dx -⎰ 4

20

.|(4)|B x dx -⎰

420

.|4|C x dx -⎰ 24

2202

.(4)(4)D x dx x dx -+-⎰⎰

5.计算下列定积分 （1）3

23

9x dx --⎰

（2）1

21

44x dx --⎰

（3）2

1

1

(1)

dx x x +⎰

（4）10(2)x x e dx +⎰

（5）2

cos 2

x

dx π

⎰

（6）91(1)x x dx +⎰

6.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2

y x

=上，如图，若将一质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是

7.已知函数2

y x =与y kx =的图象所围成的阴影部分的面积是4

,3

则k =

8.求曲线2

4y x =与直线24y x =-围成的图形面积

9.已知函数3

2

()f x x ax bx =++的图象如图所示，它与直线0y =在原点处相切，此切线与函数图象所围区域的面积是27

,4

求a .