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中考数学复习考点题型专题讲解中考数学复习考点题型专题讲解（重难点培优30题）专题25 坐标与新定义问题大题提升训练坐标与新定义问题大题提升训练（小题））解答题（（共30小题一．解答题1．（2023秋•埇桥区期中）已知当m、n都是实数，且满足2m＝6+n，则称点ܣ(݉−1，݊2)为“智慧点”．（1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由．（2）若点M（a，1﹣2a）是“智慧点”．请判断点M在第几象限？并说明理由．【分析】（1）根据P点坐标，代入(݉−1，݊2)中，求出m和n的值，然后代入2m，6+n 检验等号是否成立即可；（2）直接利用“智慧点”的定义得出a的值进而得出答案．【解答】解（1）点P不是“智慧点”，由题意得݉−1=4，݊2=10，∴m＝5，n＝20，∴2m＝2×5＝10，6+n＝6+20＝26，∴2m≠6+n，∴点P（4，10）不是“智慧点”；（2）点M在第四象限，理由∵点M（a，1﹣2a）是“智慧点”，∴݉−1=ܽ，݊2=1−2ܽ，∴m＝a+1，n＝2﹣4a，∵2n＝6+n，∴2（a+1）＝6+2﹣4a，解得a＝1，∴点M（1，﹣1），∴点M在第四象限．2．（2023春•镇巴县期末）已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇点”．（1）判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由；（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．【分析】（1）直接利用“新奇点”的定义得出a，b的值，进而得出答案；（2）直接利用“新奇点”的定义得出m的值，进而得出答案．【解答】解（1）当A（3，2）时，3×3＝9，2×2+5＝4+5＝9，所以3×3＝2×2+5，所以A（3，2）是“新奇点”；（2）点M在第三象限，理由如下∵点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5，解得m＝﹣4，∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，∴点M在第三象限．3．（2023秋•漳州期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）求点A（﹣5，2）的“长距”；（2）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）即可“长距”的定义解答即可；（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；（2）由题意可知，|k+3|＝4或4k﹣3＝±（k+3），解得k＝1或k＝﹣7（不合题意，舍去）或k＝2或k＝0（不合题意，舍去），∴k＝1或k＝2．4．（2023秋•渠县校级期中）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay）（其中a为常数），则称点Q是点P的“a级关联点”、例如，点P（1，4）的“3级关联点”为点Q（3×1+4，1+3×4），即点Q（7，13）．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，求点B的坐标；在平面直角坐标系中，已知点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N，且点N位于x 轴上，求点N的坐标．【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；（2）根据关联点的定义和点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N位于x轴上，即可求出N的坐标．【解答】解（1）∵点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，故点B的坐标为（2×（﹣2）+6，﹣2+2×6）∴B的坐标（2，10）；（2）∵点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”为N（3m+2m﹣1，m+3（2m﹣1）），当N位于x轴上时，m+3（2m﹣1）＝0，解得m=37，∴3m+2m﹣1=87，∴点N的坐标为（଼，0）．5．（2023秋•天长市月考）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义若点P 到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点Q（﹣5，﹣1）就是等距点．（1）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标；（2）若点D（3，4+k）与点E（2k﹣5，6）是“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“等距点”的定义解答即可；（2）根据“等距点”的定义分情况讨论即可．【解答】解（1）由题意，可分两种情况①|m﹣1|＝|﹣4|，解得m＝﹣3或5（不合题意，舍去）；②|m|＝|﹣4|，解得m＝﹣4（不合题意，舍去）或m＝4，综上所述，点C的坐标为（﹣4，﹣3）或（3，4）；（2）由题意，可分两种情况①当|2k﹣5|≥6时，|4+k|＝|2k﹣5|，∴4+k＝2k﹣5或4+k＝﹣（2k﹣5），解得k＝9或k=13（不合题意，舍去）；②当|2k﹣5|＜6时，|4+k|＝6，∴4+k＝6或4+k＝﹣6，解得k＝2或k＝﹣10（不合题意，舍去）；综上所述，k＝2或k＝9．6．（2023秋•蚌山区月考）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为（2，14） ；（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标；（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标．【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．（2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．（3）根据关联点的定义和点P （m ﹣1，2m ）的“﹣3级开心点”P ′位于坐标轴上，即可求出P ′的坐标．【解答】解 （1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，∴若点P 的坐标为（﹣1，5），则它的“3级开心点”的坐标为（2，14）． 故答案为 （2，14）；（2）设点P 的坐标为（x ，y ）的“2级开心点”是点Q （4，8）， ∴൜2ݔ+ݕ=4ݔ+2ݕ=8 解得൜ݔ=0ݕ=4，∴点P 的坐标为（0，4）；（3）∵点P （m ﹣1，2m ）的“﹣3级开心点”为P ′（﹣3（m ﹣1）+2m ，m ﹣1+（﹣3）×2m ），①P ′位于x 轴上， ∴m ﹣1+（﹣3）×2m ＝0， 解得 m =−15，∴﹣3（m ﹣1）+2m =165， ∴P ′（ଵହ，0）．②P ′位于y 轴上， ∴﹣3（m ﹣1）+2m ＝0， 解得 m ＝3∴m ﹣1+（﹣3）×2m ＝﹣16， ∴P ′（0，﹣16）．综上所述，点P ′的坐标为（ଵହ，0）或（0，﹣16）．7．（2023春•芜湖期中）在平面直角坐标系中，对于点A （x ，y ），若点B 的坐标为（x +ay ，ax+y），则称点B是点A的a级亲密点．例如点A（﹣2，6）的ଵଶ级亲密点为B(−2+12×6，12×(−2)+6)，即点B的坐标为（1，5）．（1）已知点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，则点D的坐标为（14，2） ．（2）已知点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点M1位于y轴上，求点M1的坐标．（3）若点E在x轴上，点E不与原点重合，点E的a级亲密点为点F，且EF的长度为OE长度的√3倍，求a的值．【分析】（1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案；（2）根据新定义进行计算可得点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点是点M1[m﹣1+（﹣3）×2m，﹣1×（m﹣1）+2m]，根据y轴上点的坐标特征进行求解即可得出答案；（3）设E（x，0），则点E的a级亲密点为点F（x，ax），根据平面直角坐标系中距离的计算方法可得，OE＝|x|，EF＝|ax|，则|ax|=√3|x|，计算即可得出答案．【解答】解（1）根据题意可得，点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D（﹣1+3×5，﹣1×3+5），即点D的坐标为（14，2）；故答案为（14，2）；（2）根据题意可得，点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点是点M1[m﹣1+（﹣3）×2m，﹣3×（m﹣1）+2m]，即点M1的坐标为（﹣5m﹣1，﹣m+3），∵M1位于y轴上，∴﹣5m﹣1＝0，∴m=−15，∴M1（0，ଵହ）；（3）设E（x，0），则点E的a级亲密点为点F（x，ax），根据题意可得，OE＝|x|，EF＝|ax|，则|ax |=√3|x |， 即|a |=√3， 解得 a =±√3．8．（2023秋•舒城县校级月考）点P 坐标为（x ，2x ﹣4），点P 到x 轴、y 轴的距离分别为d 1，d 2．（1）当点P 在坐标轴上时，求d 1+d 2的值； （2）当d 1+d 2＝3时，求点P 的坐标； （3）点P 不可能在哪个象限内？【分析】（1）分点P 在x 轴和y 轴两种情况讨论即可；（2）将d 1+d 2用含x 的式子表示出来，根据x 的范围化简即可； （3）根据x 和2x ﹣4的范围即可得出答案．【解答】解 （1）若点P 在x 轴上，则x ＝0，2x ﹣4＝﹣4， ∴点P 的坐标为（0，﹣4），此时d 1+d 2＝4， 若点P 在y 轴上，则2x ﹣4＝0，得x ＝2， ∴点P 的坐标为（2，0），此时d 1+d 2＝2． （2）若x ≤0，则d 1+d 2＝﹣x ﹣2x +4＝3， 解得x =13（舍）， 若0＜x ＜2，则d 1+d 2＝x ﹣2x +4＝3，解得x ＝1， ∴P （1，﹣2），若x ≥2，则d 1+d 2＝x +2x ﹣4＝3， 解得x =73， ∴P （ଷ，ଶଷ）；（3）∵当x ＜0时，2x ﹣4＜0，∴点P不可能在第二象限．9．（2023春•新余期末）已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，就称点P（m﹣1，ାଶଶ）为“爱心点”．（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．【分析】（1）直接利用“爱心点”的定义得出m，n的值，进而得出答案；（2）直接利用“爱心点”的定义得出a的值进而得出答案．【解答】解（1）当A（5，3）时，m﹣1＝5，ାଶଶ=3，解得m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，所以A（5，3）是“爱心点”；当B（4，8）时，m﹣1＝4，ାଶଶ=8，解得m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，所以B点不是“爱心点”；（2）点M在第三象限，理由如下∵点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，∴m﹣1＝a，ାଶଶ=2a﹣1，∴m＝a+1，n＝4a﹣4，代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，∴a＝﹣1 2a﹣1＝﹣3，∴M（﹣1，﹣3）故点M在第三象限．10．（2023春•商南县校级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义点A到x轴、y 轴距离中的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）点A（2，3）的“长距”等于3，点B（﹣7，5）的“长距”等于7．（2）若C（﹣1，2k+3），D（6，k﹣2）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解（1）点A（2，3）的“长距”为|3|＝3；点B（﹣7，5）的“长距”为|﹣7|＝7；故答案为3，7．（2）由题意可知，|2k+3|＝6或2k+3＝±（k﹣2），解得k=32或k＝﹣4.5（不合题意，舍去）或k＝﹣5或k=−13（不合题意，舍去），∴k=32或k＝﹣5．11．（2023春•思明区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义点A到x轴、y 轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）点A（﹣5，2）的“长距”为5；（2）点B（﹣2，﹣2m+1）的“长距”为3，求m的值；（3）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；（2）根据“长距”的定义解答即可；（3）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；故答案为5．（2）由题意可知|﹣2m+1|＝3，解得m ＝﹣1或2．（3）由题意可知，|k +3|＝4或4k ﹣3＝±（k +3），解得k ＝1或k ＝﹣7（不合题意，舍去）或k ＝2或k ＝0（不合题意，舍去）， ∴k ＝1或k ＝2．12．（2023•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），若点Q 的坐标为（ax +y ，x +ay ），其中a 为常数，则称点Q 是点P 的“a 级关联点”例如，点P （1，4）的“3级关联点”为Q （3×1+4，1+3×4），即Q （7，13）．（1）已知点A （2，﹣6）的“ଵଶ级关联点”是点B ，求点B 的坐标； （2）已知点P 的5级关联点为（9，﹣3），求点P 坐标；（3）已知点M （m ﹣1，2m ）的“﹣4级关联点”N 位于坐标轴上，求点N 的坐标． 【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；（2）设点P 的坐标为（a ，b ），根据关联点的定义，结合点的坐标列方程组即可得出结论；（3）根据关联点的定义和点M （m ﹣1，2m ）的“﹣4级关联点”N 位于坐标轴上，即可求出N 的坐标．【解答】解（1）∵点A （2，﹣6）的“ଵଶ级关联点”是点B ，故点B 的坐标为（ଵଶ×2−6，2−12×6） ∴B 的坐标（﹣5，﹣1）；（2）设点P 的坐标为（a ，b ）， ∵点P 的5级关联点为（9，﹣3）， ∴ቄ5ܽ+ܾ=9ܽ+5ܾ=−3， 解得ቄܽ=2ܾ=−1，∵P （2，﹣1）；（3）∵点M （m ﹣1，2m ）的“﹣4级关联点”为M ′（﹣4（m ﹣1）+2m ，m ﹣1+（﹣4）×2m ），当N位于y轴上时，﹣4（m﹣1）+2m＝0，解得m＝2，∴m﹣1+（﹣4）×2m）＝﹣15，∴N（0，﹣15）；当N位于x轴上时，m﹣1+（﹣4）×2m＝0，解得m=−17，∴﹣4（m﹣1）+2m=307，∴N（ଷ，0）；综上所述，点N的坐标为（0，﹣15）或（ଷ，0）．13．（2023春•上杭县期中）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义若点P到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于点Q到x轴、y轴的距离之差的绝对值，则称P，Q两点互为“等差点”．例如，点P（1，2）与点Q（﹣2，3）到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于1，它们互为“等差点”．（1）已知点A的坐标为（3，﹣6），在点B（﹣4，1）．C（﹣3，7）．D（2，﹣5）中，与点A互为等差点的是B与D．（2）若点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，求点N的坐标．【分析】（1）利用“等差点”的定义，找出到x轴、y轴的距离之差（2）利用“等差点”的定义列方程解答即可．【解答】解（1）∵点A（3，﹣6）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，点B（﹣4，1）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，点C（﹣3，7）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于4，点D（2，﹣5）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，∴与点A互为等差点的是B与D；故答案为B与D；（2）∵点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，∴n +1﹣1＝|4|﹣|﹣2|或4解得n ＝2或n ＝﹣4，∴点N 的坐标为（1，3）感14．（2023秋•海淀区校级期中b ），P 2（c ，b ），P 3（c 的“完美间距″．例如 如图是1．（1）点Q 1（4，1），Q 2（2）已知点O （0，0①若点O ，A ，B 的“完美间②点O ，A ，B 的“完美间距③已知点C （0，4），D （m ，0），P （m ，n ）的“【分析】（1）分别计算出（2）①分别计算出OA 以“最佳间距”为OA 即可求解y 的值；②由①可得，“最佳间距”﹣|﹣2|＝﹣n ﹣1﹣1， ）或（1，﹣3）．本号资料全部来源于微 信公众号级期中）给出如下定义 在平面直角坐标系xOy 中，，d ），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点如图，点P 1（﹣1，2），P 2（1，2），P 3（1，3）（5，1），Q 3（5，5）的“完美间距”是 1 ），A （4，0），B （4，y ）．完美间距”是2，则y 的值为 ±2 ； 美间距”的最大值为 4 ；（﹣4，0），点P （m ，n ）为线段CD 上一动点，“完美间距”取最大值时，求此时点P 的坐标．算出Q 1Q 2，Q 2Q 3，Q 1Q 3的长度，比较得出最小值即可，AB 的长度，由于斜边大于直角边，故OB ＞或者AB 的长度，由于“最佳间距”为1，而”为OA 或AB 的长度，当OA ≤AB 时，“最佳间距公众号 数学第 六，已知点P 1（a ，称为点P 1，P 2，P 3）的“完美间距”； ，当O （0，0），E ．值即可； OA ，OB ＞AB ，所OA ＝4，故OB ＝2，佳间距”为OA ＝4，当OA ＞AB 时，“最佳间距③同①，当点O （0，0先求出直线CD 的解析式≥PE 和OE ＜PE 时，求出各的最大值，进一步求解出【解答】解 （1）如图，∵Q 1（4，1），Q 2（5，∴Q 1Q 2＝1，Q 2Q 3＝4，在Rt △Q 1Q 2Q 3中，Q 1Q ∵1＜4＜√17， “最佳距离”为1； 故答案为 1； （2）①如图∵O （0，0），A （4，0∴OA ＝4，AB ＝|y |，间距”为AB ＜4，比较两个“最大间距”，即可解决），E （m ，0），P （m ，n ）的“最佳间距”为OE 析式，用m 表示出线段OE 和线段PE 的长度，分两类求出各自条件下的“最佳间距”，比较m 的范围，解出P 点坐标．，在给出图形中标出点Q 1，Q 2，Q 3，1），Q 3（5，5），3=√17，），B （4，y ），解决；或者PE 的长度，分两类讨论，当OE 确定“最佳间距”在直角△ABO 中，OB ＞又∵点O ，A ，B 的“最佳间且4＞2， ∴|y |＝2， ∴y ＝±2， 故答案为 ±2；②由①可得，OB ＞OA ∴“最佳间距”的值为∵OA ＝4，AB ＝|y |，当AB ≥OA 时，“最佳间距当AB ＜OA 时，“最佳间距∴点O ，A ，B 的“最佳间距故答案为 4；③设直线CD 为y ＝kx +4，﹣4k +4＝0， ∴k ＝1，∴直线CD 的解析式为 ∵E （m ，0），P （m ，n ，∴PE ∥y 轴，∴OE ＝﹣m ，PE ＝n ＝m Ⅰ、当﹣m ≥m +4时，即OA ，OB ＞AB ， 最佳间距”是2， ，OB ＞AB ，OA 或者是AB 的长， 间距”为4， 间距”为|y |＜4， 佳间距”的最大值为4， ，代入点D 得，如图，y ＝x +4，），且P 是线段CD 上的一个动点， +4，即OE ≥PE 时，m ≤﹣2，“最佳间距”为m +4，此时此时m +4≤2，Ⅱ、当﹣m ＜m +4时，即∴点O （0，0），E （m ∴m ＝﹣2， ∴n ＝m +4＝2， ∴P （﹣2，2）．15．（2023春•泗水县期末）对于y ）的横坐标与纵坐标的绝对例如，点P （﹣1，2）的折（1）已知点A （﹣3，4（2）若点M 在x 轴的上方标．【分析】（1）根据题意可以（2）根据题意可知y ＞【解答】解 （1）[A ]＝|所以点A ，点B 的折线距离（2）∵点M 在x 轴的上方∴x ＝±1时，y ＝1或x ∴点M 的坐标为（﹣116．（2023春•思明区校级期中即OE ＜PE 时，﹣2＜m ＜0，“最佳间距“为﹣m ，，0），P （m ，n ）的“最佳间距”取到最大值时，对于平面直角坐标系中的点P （x ，y ）给出如下定义的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的折线距离，记作[P ]的折线距离为[P ]＝|﹣1|+|2|＝3．），B （√2，﹣2√2），求点A ，点B 的折线距离．的上方，点M 的横坐标为整数，且满足[M ]＝2，直接写意可以求得折线距离[A ]，[B ]；0，然后根据[M ]＝2，即可求得点M 的坐标． −3|+|4|＝7，[B ]＝|√2|+|﹣2√2|＝3√2； 线距离分别为7、3√2；的上方，其横坐标均为整数，且[M ]＝2， ＝0时，y ＝2，，1），（1，1），（0，2）．级期中）在平面直角坐标系中，对于点P （x ，y ），若点，此时﹣m ＜2， ，m ＝﹣2， 下定义 把点P （x ，，即[P ]＝|x |+|y |，．直接写出点M 的坐若点Q 的坐标为（ax +y ，x +ay ），其中a 为常数，则称点Q 是点P 的“a 级关联点”，例如，点P （1，4）的3级关联点”为Q （3×1+4，1+3×4）即Q （7，13），若点B 的“2级关联点”是B （3，3）．（1）求点B 的坐标；（2）已知点M （m ﹣1，2m ）的“﹣3级关联点”N 位于y 轴上，求N 的坐标． 【分析】（1）由点B 的“2级关联点”是B '（3，3）得出൜2ݔ+ݕ=3ݔ+2ݕ=3，解之求得x 、y 的值即可得；（2）由点M （m ﹣1，2m ）的“﹣3级关联点”N 的坐标为（﹣m +3，﹣5m ﹣1），且点M ′在y 轴上知﹣m +3＝0，据此求得m 的值，再进一步求解可得． 【解答】解 ∵点B 的“2级关联点”是B '（3，3）， ∴൜2ݔ+ݕ=3ݔ+2ݕ=3， 解得 ൜ݔ=1ݕ=1，则点B 的坐标为（1，1）；（2）∵点M （m ﹣1，2m ）的“﹣3级关联点”N 的坐标为（﹣m +3，﹣5m ﹣1），且点N 在y 轴上， ∴﹣m +3＝0， 解得m ＝3， 则﹣5m ﹣1＝﹣16， ∴点N 坐标为（0，﹣16）．17．（2023春•罗山县期末）阅读理解，解答下列问题在平面直角坐标系中，对于点A （x ，y ）若点B 的坐标为（kx +y ，x ﹣ky ），则称点B 为A 的“k 级牵挂点”，如点A （2，5）的“2级牵挂点”为B （2×2+5，2﹣2×5），即B （9，5）．（1）已知点P （﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P 1，求点P 1的坐标，并写出点P 1到x 轴的距离；（2）已知点Q 的“4级牵挂点”为Q 1（5，﹣3），求Q 点的坐标及所在象限． 【分析】（1）根据“k 级牵挂点”的定义判定结论；（2）设Q （x ，y ），根据点Q 的“4级牵挂点”为Q 1（5，﹣3）可得关于x 、y 的二元一次方程组，解方程组求出x 、y 的值即可．【解答】解 （1）∵点P （﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P 1， ∴﹣5×（﹣3）+1＝16，﹣5﹣（﹣3）×1＝﹣2， 即P 1（16，﹣2）， 点P 1到x 轴的距离为2；（2）∵点Q 的“4级牵挂点”为Q 1（5，﹣3）， 设Q （x ，y ）． 则有൜4ݔ+ݕ=5ݔ−4ݕ=−3，解得൜ݔ=1ݕ=1，∴Q （1，1），点Q 在第一象限．18．（2023秋•东城区校级期中）对有序数对（m ，n ）定义“f 运算” f （m ，n ）＝（ଵଶm +a ，ଵଶn +b ），其中a ，b 为常数，f 运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点A （x ，y ）规定“F 变换”；点A （x ，y ）在F 的变换下的对应点即为坐标是f （x ，y ）的点A '．（1）当a ＝0，b ＝0时，f （﹣2，4）＝ （﹣1，2） ．（2）若点P （2，﹣2）在F 变换下的对应点是它本身，求ab 的值． 【分析】（1）根据新定义运算法则解得；（2）根据新定义运算法则得到关于a 、b 的方程，通过解方程求得它们的值即可． 【解答】解 （1）依题意得 f （﹣2，4）＝（ଵଶ×（﹣2）+0，ଵଶ×4﹣0）＝（﹣1，2）． 故答案是 （﹣1，2）；（2）依题意得 f （2所以ଵଶ×2+a ＝2，ଵଶ×（﹣所以a ＝1，b ＝﹣1． ∴ab ＝﹣1．19．（2023春•海门市期末）﹣x 1＝y 2﹣y 1≠0，则称点因为2﹣（﹣1）＝6﹣3（1）若点A 的坐标是（点A 的“对角点”为点（2）若点A 的坐标是（﹣（3）若点A 的坐标是（求m ，n 的取值范围．【分析】（1）、（2）读懂新定（3）根据新定义和直角坐标【解答】解 （1）根据新定故答案为 B 2（﹣1，﹣7（2）①当点B 在x 轴上时，﹣2）＝（ଵଶ×2+a ，ଵଶ×（﹣2）﹣b ）＝（2，﹣2）．（﹣2）+b ＝﹣2， ）在平面直角坐标系xOy 中，点A （x 1，y 1），B 称点A 与点B 互为“对角点”，例如 点A （﹣1，3，≠0，所以点A 与点B 互为“对角点”．4，﹣2），则在点B 1（2，0），B 2（﹣1，﹣7），B 2（﹣1，﹣7），B 3（0，﹣6） ；（﹣2，4）的“对角点”B 在坐标轴上，求点B 的坐（3，﹣1）与点B （m ，n ）互为“对角点”，且点懂新定义，根据新定义解题即可；角坐标系中第四象限x 、y 的取值范围确定m 、n 的取据新定义可以得B 2、B 3与A 点互为“对角点”； ），B 3（0，﹣6）； 上时，）． （x 2，y 2），若x 2），点B （2，6），B 3（0，﹣6）中，的坐标； 且点B 在第四象限，的取值范围即可．设B （t ，0），由题意得t ﹣（﹣2）＝0﹣4， 解得t ＝﹣6， ∴B （﹣6，0）． ②当点B 在y 轴上时， 设B （0，b ），由题意得0﹣（﹣2）＝b ﹣4， 解得b ＝6， ∴B （0，6）．综上所述 A 的“对角点”点B 的坐标为（﹣6，0）或（0，6）． （3）由题意得m ﹣3＝n ﹣（﹣1）， ∴m ＝n +4． ∵点B 在第四象限， ∴ቊ݉＞0݊＜0， ∴ቊ݊+4＞0݊＜0，解得﹣4＜n ＜0， 此时0＜n +4＜4， ∴0＜m ＜4．由定义可知 m ≠3，n ≠﹣1，∴0＜m ＜4且m ≠3，﹣4＜n ＜0且n ≠﹣1． 故答案为 0＜m ＜4且m ≠3，﹣4＜n ＜0且n ≠﹣1．20．（2023•朝阳区校级开学）我们规定 在平面直角坐标系xOy 中，任意不重合的两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）之间的“折线距离”为d （M ，N ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．例如图1中，点M （﹣2，3）与点N （1，﹣1）之间的“折线距离”为d （M ，N ）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．根据上述知识，解决下面问（1）已知点P （3，﹣4，与点P 之间的“折线距离（2）如图2，已知点P 的值；（3）如图2，已知点P 写出t 的取值范围．【分析】（1）分别求出（2）通过d （P ，Q ）＝（3）d （P ，Q ）＝|3﹣t 【解答】解 （1）由题意得d （P ，B ）＝|3﹣（﹣1d （P ，C ）＝|3﹣（﹣2d （P ，D ）＝|3﹣0|+|﹣4故答案为 A ，B ，D ．（2）d （P ，Q ）＝|3﹣t 解得t ＝﹣1或t ＝7．（3）d （P ，Q ）＝|3﹣t 化简得d （P ，Q ）＝|3当﹣5≤t ≤3时，|3﹣t下面问题），在点A （5，2），B （﹣1，0），C （﹣2，1距离”为8的点是A ，B ，D ；（3，﹣4），若点Q 的坐标为（t ，2），且d （P （3，﹣4），若点Q 的坐标为（t ，t +1），且d （PA ，B ，C ，D 与点P 之间的“折线距离”求解．|3﹣t |+|﹣4﹣（t +1）|＝8求解．|+|﹣4﹣（t +1）|＝8，分类讨论t 的取值范围去绝对题意得d （P ，A ）＝|3﹣5|+|﹣4﹣2|＝8， ）|+|﹣4﹣0|＝8， ）|+|﹣4﹣1|＝10， ﹣1|＝8，|+|﹣4﹣2|＝10， |+|﹣4﹣（t +1）|， ﹣t |+|5+t |，|+|5+t |＝3﹣t +5+t ＝8，满足题意．），D （0，1）中，，Q ）＝10，求t ，Q ）＝8，直接． 去绝对值符号求解．当t ＜﹣5时，|3﹣t |+|5+t 当t ＞3时，|3﹣t |+|5+t |∴﹣5≤t ≤3．21．（2023春•丰台区期末）y 2），定义k |x 1﹣x 2|+（1M （1，3），N （﹣2，4）2）．（1）若点B （0，4），求点（2）若点B 在x 轴上，且点（3）若点B （a ，b ），且点【分析】（1）根据“k 阶距（2）设出点B 的坐标，点B 的坐标，注意x轴上的|＝3﹣t ﹣5﹣t ＝﹣2﹣2t ，不满足题意． ＝t ﹣3+5+t ＝2+2t ，不满足题意． ）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点M （﹣k ）|y 1﹣y 2|为点M 和点N 的“k 阶距离”，其中0）的ଵହ阶距离”为ଵହ|1െሺെ2ሻ|ସହ|3െ4|ൌହ．求点A 和点B 的“ଵସ阶距离”；且点A 和点B 的“ଵଷ阶距离”为4，求点B 的坐标且点A 和点B 的“ଵଶ阶距离”为1，直接写出a +阶距离”的定义计算点A 与点B 之间的“ଵସ阶距离，再根据“ଵଷ阶距离”的定义列出方程，求出字母的轴上的点的纵坐标为0．x 1，y 1），N （x 2，≤k ≤1．例如 点．已知点A （﹣1，的坐标；b 的取值范围． 距离”．字母的值，从而确定（3）根据“ଵଶ阶距离”的定义列出关于字母a 和b 的式子，当a 和b 在不同的取值范围内将含有a 和b 的式子中的绝对值去掉，从而求得a +b 的取值范围．【解答】解 （1）由题知，点A （﹣1，2）和点B （0，4）的“ଵସ阶距离”为ଵସ|−1−0|+（1−14）|2﹣4|=14+64=74．（2）∵点B 在x 轴上，∴设点B 的横坐标为m ，则点B 的坐标为（m ，0）， ∵点A （﹣1，2）和点B （m ，0）的“ଵଷ阶距离”为4， ∴ଵଷ|−1−݉|+(1−ଵଷ)|2−0|=4，ଵଷ|−1−݉|=଼ଷ，|﹣1﹣m |＝8，∴﹣1﹣m ＝8或﹣1﹣m ＝﹣8， ∴m ＝﹣9或7，∴点B 的坐标为（﹣9，0）或（7，0）．（3）∵点A （﹣1，2）和点B （a ，b ）的“ଵଶ阶距离”为1， ∴.ଵଶ|−1−ܽ|+(1−ଵଶ)|2−ܾ|=1，|﹣1﹣a |+|2﹣b |＝2，①当a ≤﹣1，且b ≤2时，得|﹣1﹣a |+|2﹣b |＝﹣1﹣a +2﹣b ，由此得出a +b ＝﹣1， ②当a ≤﹣1，且b ＞2时，得|﹣1﹣a |+|2﹣b |＝﹣1﹣a +b ﹣2，由此得出b ＝5+a ，则a +b ＝2a +5， ∵b ＞2， 即5+a ＞2， ∴a ＞﹣3∵a≤﹣1，∴﹣3＜a≤﹣1∴﹣1＜2a+5≤3，即﹣1＜a+b≤3，③当a＞﹣1，且b＜2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+2﹣b，由此得出a＝b﹣1，则a+b＝2b﹣1，∵a＞﹣1，即b﹣1＞﹣1，∴b＞0，∵b＜2，∴0＜b＜2，∴﹣1＜2b﹣1＜3，即﹣1＜a+b＜3，④当a＞﹣1，且b≥2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+b﹣2，由此得出a+b＝3，综上所得，﹣1≤a+b≤3．22．（2023春•福州期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义；a＝2x﹣y，b＝x+y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“关联点”．例如P（2，3）的一对“关联点”是点（1，5）与（5，1）．（1）点Q（4，3）的一对“关联点”是点（5，7） 与（7，5） ．（2）点A（x，8）的一对“关联点”重合，求x的值．（3）点B一个“关联点”的坐标是（﹣1，7），求点B的坐标．【分析】（1）根据“关联点”定义求解；（2）根据“关联点”的定义列方程求解；（3）根据“关联点”的定义列方程组求解，注意分类讨论，不要漏解．【解答】解（1）∵2×4﹣3＝5，4+3＝7，∴点Q（4，3）的一对“关联点”是点（5，7）与（7，5）．故答案为（5，7）与（7，5）．（2）由题意得 2x ﹣8＝x +8， 解得 x ＝16． （3）设B （x ，y ），∴൜2ݔ−ݕ=−1ݔ+ݕ=7或൜2ݔ−ݕ=7ݔ+ݕ=−1， ∴൜ݔ=2ݕ=5或൜ݔ=2ݕ=−3， ∴B （2，5）或B （2，﹣3）．23．（2023春•雨花区校级期中）对于平面直角坐标系中任一点（a ，b ），规定三种变换如下①f （a ，b ）＝（﹣a ，b ）．如 f （7，3）＝（﹣7，3）； ②g （a ，b ）＝（b ，a ）．如 g （7，3）＝（3，7）； ③h （a ，b ）＝（﹣a ，﹣b ）．如 h （7，3）＝（﹣7，﹣3）； 例如 f （g （2，﹣3））＝f （﹣3，2）＝（3，2） 规定坐标的部分规则与运算如下①若a ＝b ，且c ＝d ，则（a ，c ）＝（b ，d ），反之若（a ，c ）＝（b ，d ），则a ＝b ，且c ＝d ．②（a ，c ）+（b ，d ）＝（a +b ，c +d ）；（a ，c ）﹣（b ，d ）＝（a ﹣b ，c ﹣d ）．例如 f （g （2，﹣3））+h （g （2，﹣3））＝f （﹣3，2）+h （﹣3，2）＝（3，2）+（3，﹣2）＝（6，0）． 请回答下列问题（1）化简 f （h （6，﹣3））＝ （6，3） （填写坐标）；（2）化简 h （f （﹣1，﹣2））﹣g （h （﹣1，﹣2））＝ （﹣3，1） （填写坐标）； （3）若f （g （2x ，﹣kx ））﹣h （f （1+y ，﹣2））＝h （g （ky ﹣1，﹣1））+f （h （y ，x ））且k 为绝对值不超过5的整数，点P （x ，y ）在第三象限，求满足条件的k 的所有可能取值．【分析】（1）根据新定义进行化简即可． （2）根据新定义进行化简即可．（3）根据坐标的变换规则和运算规则，对式子进行化简，得到等式，根据点的坐标特点，列出不等式求解即可．【解答】解 （1）f （h （6，﹣3））＝f （﹣6，3）＝（6，3）， 故答案为 （6，3）；（2）h （f （﹣1，﹣2））﹣g （h （﹣1，﹣2））＝h （1，﹣2）﹣g （1，2）＝（﹣1，2）﹣（2，1）＝（﹣3，1）， 故答案为 （﹣3，1）；（3）f （g （2x ，﹣kx ））﹣h （f （1+y ，﹣2））＝f （﹣kx ，2x ）﹣h （﹣1﹣y ，﹣2）＝（kx ，2x ）﹣（1+y ，2）＝（kx ﹣1﹣y ，2x ﹣2），h （g （ky ﹣1，﹣1））+f （h （y ，x ））＝h （﹣1，ky ﹣1）+f （﹣y ，﹣x ）＝（1，1﹣ky ）+（y ，﹣x ）＝（y +1，1﹣ky ﹣x ），∵f （g （2x ，﹣kx ））﹣h （f （1+y ，﹣2））＝h （g （ky ﹣1，﹣1））+f （h （y ，x ））， ∴（kx ﹣1﹣y ，2x ﹣2）＝（y +1，1﹣ky ﹣x ）， ∴൜݇ݔ−1−ݕ=ݕ+12ݔ−2=1−݇ݕ−ݔ， ∴൜݇ݔ−2ݕ=23ݔ+݇ݕ=3， ∴൞ݔ=2݇+6݇2+6ݕ=3݇−6݇2+6， ∵点P （x ，y ）在第三象限， ∴ቊ2݇+6＜03݇−6＜0，∴k ＜﹣3，∵k 为绝对值不超过5的整数， ∴k 的所有可能取值为﹣4、﹣5．24．（2023春•嵩县期末）对于平面直角坐标系中的点P （x ，y ）给出如下定义 把点P （x ，y ）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的折线距离，记作[P ]，即[P ]＝|x |+|y |，例如，点P （﹣1，2）的折（1）已知点A （﹣3，4（2）若点M 在x 轴的上方标．【分析】（1）根据题意可以（2）根据题意可知y ＞【解答】解 （1）[A ]＝|（2）∵点M 在x 轴的上方∴x ＝±1时，y ＝1或x ∴点M 的坐标为（﹣125．（2023春•濠江区期末）我们称点P 为“梦之点”（1）判断点A （3，2）是否（2）若点M （m ﹣1，3【分析】（1）直接利用“（2）直接利用“梦之点”【解答】解 （1）当A 解得a ＝1，b ＝1，的折线距离为[P ]＝|﹣1|+|2|＝3．），B （√2，െ3√2），求点A ，点B 的折线距离．的上方，点M 的横坐标为整数，且满足[M ]＝2，直接写意可以求得折线距离[A ]，[B ]；0，然后根据[M ]＝2，即可求得点M 的坐标． −3|+|4|＝7，[B ]＝|√2|+|−3√2|＝4√2； 的上方，其横，纵坐标均为整数，且[M ]＝2， ＝0时，y ＝2，，1），（1，1），（0，2）．）已知a ，b 都是实数，设点P （a +2，ାଷଶ），且满”．是否为“梦之点”，并说明理由．m +2）是“梦之点”，请判断点M 在第几象限，并说“梦之点”的定义得出a ，b 的值，进而得出答案”的定义得出m 的值进而得出答案． （3，2）时，a +2＝3，ାଷଶ=2，．直接写出点M 的坐且满足3a ＝2+b ，并说明理由． 答案；则3a＝3，2+b＝3，所以3a＝2+b，所以A（3，2），是“梦之点”；（2）点M在第三象限，理由如下∵点M（m﹣1，3m+2）是“梦之点”，∴a+2＝m﹣1，ାଷଶ=3݉+2，∴a＝m﹣3，b＝6m+1，∴代入3a＝2+b有3（m﹣3）＝2+（6m+1），解得m＝﹣4，∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，∴点M在第三象限．26．（2023秋•兴化市校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）； ；（2）若点A的坐标是（5，﹣3）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；（3）若点A的坐标是（−√3，2√3）与点B（2m，﹣n）互为“对角点”，且m、n互为相反数，求B点的坐标．【分析】（1）、（2）读懂新定（3）根据新定义和直角坐标【解答】解 （1）根据新定故答案为 B 2（﹣1，﹣7（2）①当点B 在x 轴上时设B （t ，0），由题意得解得t ＝﹣8， ∴B （8，0）． ②当点B 在y 轴上时，设B （0，b ），由题意得0﹣5＝b ﹣（﹣解得b ＝﹣8， ∴B （0，﹣8）．综上所述 A 的“对角点”（3）由题意得2m +√3=∴2m ＝﹣n ﹣3√3． ∵m 、n 互为相反数， ∴m +n ＝0，懂新定义，根据新定义解题即可；角坐标系中第四象限x 、y 的取值范围确定m 、n 的取据新定义可以得B 2、B 3与A 点互为“对角点”； ），B 3（0，﹣6）； 上时，t ﹣5＝0﹣（﹣3）， （﹣3）， ”点B 的坐标为（8，0）或（0，﹣8）． =−n ﹣2√3，的取值范围即可．解得m +n +m ＝﹣3√3，∴m ＝﹣3√3，n ＝3√3∴2m ＝﹣6√3， ∴B （﹣6√3，﹣3√3）．27．（2023秋•朝阳区校级期末得到射线OY ，如果点示点P 在平面内的位置，那么点M 在平面内的位置记（1）如图3，若点N 在平面内（2）已知点A 在平面内的位①若点B 在平面内的位置记②若点B 在平面内的位置记③若点B 在平面内的位置记【分析】（1）根据新定义直（2）①先根据新定义画图画图，证明△AOB 是等边三△AOB 1是直角三角形，从而【解答】解 （1）点N 在平故答案为 6，30； （2）①如图，．期末）如图①，将射线OX 按逆时针方向旋转β角（P 为射线OY 上的一点，且OP ＝m ，那么我们规定用，并记为P （m ，β）．例如，图2中，如果OM ＝5，位置记为M （5，110°），根据图形，解答下列问题平面内的位置记为N （6，30°），则ON ＝ 6 ，∠面内的位置记为A （4，30°），位置记为B （3，210°），则A 、B 两点间的距离为位置记为B （m ，90°），且AB ＝4，则m 的值为 位置记为B （3，α），且AB ＝5，则a 的值为 定义直接得到答案；画图，证明A ，O ，B 三点共线，从而可得答案；等边三角形，从而可得答案；③先根据新定义画图从而可得答案．在平面内的位置记为N （6，30°），则ON ＝6，0°≤β＜360°），规定用（m ，β）表∠XOM ＝110°，问题XON ＝ 30 °． 离为 7 ． 4 ．120°或300° ．；②先根据新定义画图，证明△AOB ，，∠XON ＝30°．∵A（4，30°），B（3，210°），∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝3，∠BOX＝360°﹣210°＝150°，∴∠AOX+∠BOX＝180°，∴A，O，B三点共线，∴AB＝4+3＝7；故答案为7；②如图，∵A（4，30°），B（m，90°），∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝m，∠BOX＝90°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴AB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝m＝4；故答案为4；③如图，∵A （4，30°），B （3，α），∴OA ＝4，∠AOX ＝30°，OB ＝3＝OB 1，∠BOX ＝α或∠B 1OX ＝360°﹣α， ∵AB ＝5，∴OB 2+OA 2＝25＝AB 2， ∴∠AOB ＝90°＝∠AOB 1，∴α＝90°+30°＝120°或α＝120°+180°＝300°． 故答案为 120°或300°．28．（2023秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，P 不在同一直线上，对于点P 和线段AB 给出如下定义 过点P 向线段AB 所在直线作垂线，若垂足Q 在线段AB 上，则称点P 为线段AB 的内垂点，当垂足Q 满足|AQ ﹣BQ |最小时，称点P 为线段AB 的最佳内垂点．已知点S （﹣3，1），T （1，1）．（1）在点P 1（2，4），P 2（﹣4，0），P 3（﹣2，ଵଶ），P 4（1，3）中，线段ST 的内垂点为 P 3，P 4；（2）若点M 是线段ST 的最佳内垂点，则点M 的坐标可以是 （﹣1，4），（﹣1，2） （写出两个满足条件的点M 即可）； （3）已知点C （m ﹣2，3），D （m ，3），若线段CD 上的每一个点都是线段ST 的内垂点，直接写出m 的取值范围；（4）已知点E （n +2，0），F （n +4，﹣1），若线段EF 上存在线段ST 的最佳内垂点，直接写出n 的取值范围．【分析】（1）利用图象法画（2）满足条件的点在线段（3）构建不等式组解决问题（4）构建不等式组解决问题【解答】解 （1）如图故答案为 P 3，P 4；（2）如图，点M （﹣1故答案为 （﹣1，4）（3）由题意，ቄ݉−2݉1解得﹣1≤m ≤1．象法画出图形解决问题即可； 线段ST 的中垂线上； 决问题即可； 决问题即可．1中，观察图象可知，线段ST 的内垂点为P 3，，4），M ′（﹣1，2）是线段ST 的最佳内垂点，，（﹣1，2）（答案不唯一）； −3ቄ݉−3݉−21，P 4． ，故答案为 ﹣1≤m ≤1．（4）如图2中，观察图象可解得﹣5≤n ≤﹣3．29．（2023春•嘉鱼县期末）以BC 为边在x 轴的上方作（1）点A 的坐标为 （2）将正方形ABCD OMN 重叠的区域（不①当m ＝3时，区域内整点②若区域W 内恰好有3个整【分析】（1）先求出方形（2）①画出正方形A 'B '②在△OMN 中共有6个整数图象可知，m 满足ቄ݊+4െ1݊2െ1，）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B （1，0，上方作正方形ABCD ，点M （﹣5，0），N （0，5（1，4） ；点D 的坐标为 （5，4） ；向左平移m 个单位，得到正方形A 'B 'C 'D '，记含边界）为W内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为 3 ；个整点，请直接写出m 的取值范围．正方形的边长为BC ＝4，再求点的坐标即可； C 'D '，结合图形求解即可；个整数点，在平移正方形ABCD ，找到恰好有3个整），点C （5，0），）． 正方形A 'B 'C 'D '与△ 个整数解的情况即可．【解答】解 （1）∵点∴BC ＝4，∵四边形ABCD 是正方形∴A （1，4），D （5，4故答案为 （1，4），（5（2）①如图 共有3个，故答案为 3；②在△OMN 中共有6个整数2，2），（﹣3，1），∵区域W 内恰好有3个整点∴2＜m ≤3或6≤m ＜730．（2023春•李沧区期末）补法来求它们的面积．下面如图1，2所示，分别过三角间的距离d 叫做水平宽；BD 的长叫做这个三角形的l 4，l 3，l 4之间的距离h叫做B （1，0），点C （5，0）， 方形， ）， ，4）； ， 个整数点，分别是（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3（个整点， ．）对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面的新过三角形或四边形的顶点A ，C 作水平线的铅；如图1所示，过点B 作水平线的铅垂线交形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B 叫做四边形的铅垂高．），（﹣2，1），（﹣用面积公式或者用割积的新方法 垂线l 1，l 2，l 1，l 2之AC 于点D ，称线段，D 作水平线l 3，【结论提炼】容易证明“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S=12dh”【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．已知如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为4，所以△ABC面积的大小为20．【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是36；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是37.5，由此发现用“S=12dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适．（填“适合”或“不适合”）（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是36，用其它的方法进行计算得到面积的大小是36，由此发现用“S=12dh”这一方法对求图5中四边形的面积合适．（“适合”或“不适合”）（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现用“S=12dh”这一方法对求图6中四边形的面积合适．（填“适合”或“不适合”）【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到当四边形满足某些条件时，可以用“S=12dh”来求面积．那么，可以用“S=12dh”来求面积的四边。
