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第七章 空间解析几何与向量代数 为了学习多元函数微积分的需要，本章首先建立空间直角坐标系，并引进在工程技术 上有着广泛应用的向量，介绍向量的一些运算．然后以向量为工具来讨论空间的平面与直线 方程，最后介绍空间曲面与空间曲线及二次曲面.第一节 空间直角坐标系一、 空间直角坐标系众所周知，实数x 与数轴上的点是一一对应的，二元数组(x ,y )与坐标平面上的点是一一对应的，从而可以用代数的方法讨论几何问题．类似地，通过建立空间直角坐标系，把空间中的点与一个三元有序数组(x ,y ,z )建立一一对应关系，用代数的方法研究空间问题.1.空间直角坐标系的建立过空间定点O 作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点，并且通常取相同的长度单位．这三条数轴分别称为x 轴、y 轴、z 轴．各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定：以右手握住z 轴，让右手的四指从x 轴的正向以π/2的角度转向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向．这个法则叫做右手法则(图7-1)．这样就组成了空间直角坐标系．O 称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面．类似地有yOz 坐标面、zOx 坐标面．这些坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限(图7-2)．x 、y 、z 轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始，从z 轴的正向向下看，按逆时针方向，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。
图7-1 图7-22.空间中点的直角坐标设M 为空间的一点，若过点M 分别作垂直于三坐标轴的平面，与三坐标轴分别相交于P ，Q ，R 三点，且这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ，则点M 唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．反之，设给定一个有序数组(x ，y ，z )，且它们分别在x 轴、y 轴和z 轴上依次对应于P ，Q 和R 点，若过P ，Q 和R 点分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面确定了唯一的交点M ．这样，空间的点就与一个有序数组(x ，y ，z )之间建立了一一对应关系(图7-3)．有序数组(x ，y ，z )就称为点M 的坐标，记为M (x ，y ，z )，它们分别称为横坐标、纵坐标和竖坐标．显然，原点O的坐标为(0，0，0)，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0．例如，在x轴上的点，均有y＝z＝０；在xOy坐标面上的点，均有z ＝０．图7-3 图7-4二、空间两点间的距离公式设空间两点M１（x1, y1, z1)、M2 (x2, y2, z2),求它们之间的距离d=12M M．过点M 1,M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图7-4所示的长方体．易知 2222121212()d M M M Q QM M QM==+∆是直角三角形222121()M P PQ QM M PQ=++∆是直角三角形222122M P P M QM''''=++()()()222212121x x y y z z=-+-+-所以d=（7-1-1 ）特别地，点M(x，y，z)与原点O(0，0，0)的距离(图7-3)d OM==例1在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点．解因所求的点M在z轴上，故设该点坐标为M(0，0，z)，依题意MA MB=，即=解得z＝149，所求点为M ( 0，0，149)．习题7-11．在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A (1，3，2)，B (1，2，-1)，C (-1，-2，3)，D(0，-2，0)，E (-3，0，1)．2． 求点(a ,b ,c )关于(1) 各坐标面；(2) 各坐标轴；(3) 坐标原点的对称点的坐标．3． 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．4． 求点M (4，-3，5)到各坐标轴间的距离．5． 在y Ｏz 面上，求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，-2，2)和C (0，5，1)等距离的点．6． 试证明以三点A (4，1，9)，B (10，-1，6)，C (2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．第二节 向量及其运算一、 向量的概念在物理学和工程技术中经常会碰到一些既有大小又有方向的量，如力、速度等，我们把这类量称为向量(或矢量)．空间中的向量常用具有一定长度且标有方向的线段(称为有向线段)来表示。
一元函数微积分的基本概念与运算微积分是数学中十分重要的一个分支。
其中，一元函数微积分是微积分的基础，也是我们初次接触微积分时需要理解和掌握的概念和运算。
本文将为大家简单介绍一元函数微积分的基本概念与运算。
一、函数的基本概念在学习一元函数微积分之前，我们需要先了解函数的基本概念。
所谓函数，就是一种描述变化关系的数学规律。
从输入值到输出值，函数都有严格的对应关系。
而这个对应关系就是函数的核心。
函数可以用数学符号表示，常见的符号为 y=f(x)，其中 y 代表输出值，x 代表输入值，f 表示函数名称。
例如 y=x²就是一个函数的表达式，它的输出值是输入值的平方。
我们可以通过绘制函数图像的方式来更直观地理解函数的定义和特点。
以 y=x²为例，当输入值 x=0 时，输出值 y=0，对应的点为坐标系的原点；当 x 取正值时，输出值 y 会随着 x 的增加而增加，图像呈现右侧开口的 U 形曲线；当 x 取负值时，输出值 y 也会增加，但函数的图像则向下移动。
二、导数的概念及计算方法导数是微积分的重要概念之一。
它表示一个函数在某一点处的变化速率，也就是函数斜率的大小。
导数可以用公式表示为：f'(x)=lim(f(x+Δx)-f(x))/Δx (Δx->0)其中 f(x) 是函数在 x 点处的值，Δx 表示 x 增加的微小量，lim 表示取极限。
可以理解为，当Δx 足够小的时候，(f(x+Δx)-f(x))/Δx 的值就趋近于 x 点处的斜率，也就是导数。
导数有许多重要的应用，如求解函数的最值、曲线的凸凹性、速度加速度等。
因此掌握导数的计算方法是学习微积分的必要前提。
常见的导数计算方法有以下两种：1. 利用求导法则求导法则是一元函数微积分中常用的计算导数的方法。
它包括以下几条规则：（1）和差法则：(f+g)'=f'+g'，(f-g)'=f'-g'（2）积法则：(f.g)'=f.g'+g.f'（3）商法则：(f/g)'=[f'g-fg']/g²（4）反函数法则：f⁻¹(x)'=1/f'(f⁻¹(x))通过组合这些法则，我们可以对各种函数求导，例如对y=x³+2x-1 求导：y'=3x²+22. 利用几何意义导数还有一个重要的几何意义，即为函数图像在某一点处的切线斜率。
高中数学中的微分与积分的基本概念与运算技巧数学是一门抽象而又实用的学科，而微积分作为数学的重要分支，是研究变化和积累的工具。
在高中数学中，微分与积分的基本概念与运算技巧是学生们必须掌握的重要内容。
本文将从微分与积分的定义、基本性质以及运算技巧等方面进行探讨。
首先，我们来看微分的基本概念。
微分是研究函数变化的工具，它描述了函数在某一点附近的变化率。
在微分的定义中，我们引入了极限的概念。
对于函数f(x)，如果存在一个常数a，使得当自变量x趋近于a时，函数值f(x)与常数L之差的绝对值可以任意小，那么我们称函数f(x)在点a处可微，记作f'(a)。
而f'(a)即为函数f(x)在点a处的导数，它表示了函数在该点的瞬时变化率。
微分的运算技巧主要包括求导法则和求导公式。
求导法则是指一些常见函数的导数计算方法，如常数函数的导数为零、幂函数的导数等。
而求导公式则是通过对函数进行代数运算得到的导数公式，如和差法则、乘法法则、链式法则等。
掌握这些求导法则和求导公式，可以帮助我们更快速地计算函数的导数。
与微分相对应的是积分，它是对函数的积累过程进行研究的工具。
在高中数学中，我们主要学习了定积分的概念与运算技巧。
定积分是对函数在一个区间上的积累，它可以表示函数曲线与坐标轴之间的面积。
定积分的计算需要我们掌握积分的定义和性质，以及一些常见函数的积分表达式。
在定积分的计算中，常用的积分方法包括换元法、分部积分法和简单的积分公式。
换元法是通过引入新的变量，将原积分转化为更容易计算的形式。
分部积分法则是对乘积函数进行积分，通过对乘积函数进行分解，将原积分转化为更简单的形式。
而简单的积分公式则是一些常见函数的积分表达式，如幂函数、三角函数等。
微分与积分是密切相关的，它们之间存在着微积分基本定理。
微积分基本定理将微分与积分联系在一起，它表明了求函数的原函数与求函数的定积分是相互逆过程。
根据微积分基本定理，我们可以通过求导来计算函数的原函数，也可以通过积分来计算函数的导数。
(理)1.6微积分基本定理【素养目标】1．利用图形直观了解并掌握微积分基本定理的含义，培养直观想象的核心素养。
2．会利用微积分基本定理求函数的积分，培养数学运算的核心素养。
【课前·预习案】[问题导学]知识点1.微积分基本定理已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，【思考1】f(x)和F(x)有何关系？[提示]F′(x)＝f(x)．【思考2】利用定积分的几何意义求⎰20(2x＋1)d x 的值．[提示]由定积分的几何意义得⎰20(2x＋1)d x＝6. 【思考3】求F(2)－F(0)的值．[提示]F(2)－F(0)＝4＋2＝6.【思考4】你得出什么结论？[提示]⎰20f(x)d x＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)．〖梳理〗微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．知识点2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃb a f(x)d x＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃb a f(x)d x＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝S上－S下，若S上＝S下，则ʃbaf(x)d x＝0.[达标自评]1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”：(1)满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一。
（）(2)如果⎰b a f(x)d x＝⎰b a g(x)d x，那么是否一定有f(x)＝g(x)。
（）（3）⎰b a f(x)d x=⎰b a|f(x)|d x。
（）解析：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值，（1）错；当f(x)＝2x，g(x)＝3x2时，⎰102x d x＝⎰103x2d x，但f(x)≠g(x)，（2）错；⎰b a f(x)d x表示的是由x轴，函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a<b)所围图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积)，||f(x)是非负的，所以⎰b a|f(x)|d x表示在区间[a，b]上所有以||f(x)的图象为曲边的曲边梯形的面积和，（3）错；答案：（1）×（2）×（3）×2．π2π2-⎰(1＋cos x)d x等于()A．π B．2C ．π－2D ．π＋2解析：∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴π2π2-⎰(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )|π2π2-＝π2＋sin π2－⎣⎡⎦⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝π＋2. 答案：D 3．若ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2.答案：D4．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________. 解析：ʃ20(x 2－23x )d x ＝ʃ20x 2d x －ʃ2023x d x ＝x 33|20－x 23|20＝83－43＝43. 答案：435．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.解析：∵ʃ10(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )|10＝1＋k ＝2，∴k＝1. 答案：1【课堂·探究案】探究一 求简单函数的定积分【例1】计算下列定积分：(1)ʃ211x d x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x . 解：(1)因为(ln x )′＝1x ，所以ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.（2）因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x 2，所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x 2d x ＝x 2|31＋1x |31＝(9－1)＋(13－1)＝223. (3)ʃ0－π(cos x －e x)d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe xd x ＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1. 【方法总结】求简单的定积分关键注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．【跟踪训练1】若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211x d x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝73， S 2＝ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2<1， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)>73. 所以S 2<S 1<S 3.答案：B探究二 分段函数的定积分【例2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分． 【素养解读】解：图象如图．ʃ40f (x )d x ＝π20⎰sin x d x ＋π20⎰1d x ＋42⎰(x －1)d x＝(－cos x )|π20＋x |2π2＋(12x 2－x )|42 ＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.【方法总结】求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．【跟踪训练2】设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .解：ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. 探究三 定积分的应用【例3】已知x ∈(0,1]，t ∈[－1,1]，f (x )＝⎰1(1－2x＋2t )d t ，则f (x )的值域为________．解析：f (x )＝⎰1(1－2x ＋2t )d t ＝[(1－2x )t ＋t 2]|10＝2－2x∵x ∈(0,1]，∴f (x )∈[0,2)． 答案：[0,2)【方法总结】解决定积分问题时，一要确定好积分变量，二要清楚积分上、下限，三要明确积分的几何意义，注意积分与平面图形面积的区别与联系，四要会用导数方法寻找原函数，五要用好积分性质和微积分基本定理． 【互动探究】⎰1(t 2＋t )d x ＝________．解析：⎰1(t 2＋t )d x ＝(t 2＋t )x |10＝t 2＋t .答案：t 2＋t【跟踪训练3】求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．解：所求面积为 S ＝5π4π2-⎰|sin x |d x＝－0π2-⎰sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －5π4π⎰sin x d x＝1＋2＋(1－22)＝4－22.【本节小结】【基础巩固】1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( )①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n→∞∑=n1i b －ans ′(ξi )；④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃb a s ′(t )d t . A ．① B ．①② C ．①②④ D ．①②③④解析：由定积分可得①②③④都正确。
微积分的互逆运算
微积分研究中，求导和积分是重要的内容，也是最基本的概念。
求导是用来计算曲线的斜率的运算，而积分则是求导的反运算，它的作用是计算曲线下的面积。
求导和积分运算是微积分学中的重中之重，它们之间的关系可以用如下公式来表示：\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
其中，F(x)为求导函数，f(x)为原函数。
可以看到，求导和积分之间是互逆运算，即求导的反运算就是积分，而积分的反运算就是求导。
在求导和积分时，有一些重要的概念和定理，如极限定理、泰勒定理、分部积分定理等，这些定理充分说明了求导和积分的关系。
求导和积分运算是相互互逆的，也就是说，求导的结果可以作为积分的头部，积分的结果可以作为求导的头部。
例如，当我们想要求出某个函数的导数时，可以将该函数先积分，然后再求出积分的结果，从而得出该函数的导数。
有了上述求导和积分的关系，可以更好的理解微积分的概念，同时也可以更好的利用求导和积分来解决实际问题。
微积分研究中，求导和积分的互逆运算是重要的内容，是我们研究的基础，必须要掌握好。
有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式(集锦)(10) lim e x=处x _jioC六、高阶导数的运算法则1) ［u (X )±v (x )F )=u (X )±v (x y)-、lim a 0x m+a 1x m ：+川+a nXY b 0X m +b 1X mri||+b ma 。
b(系数不为0的情况)二、重要公式(1)］四沁/(2) lim (1 +x y 1=e (3) lim Va(a A 0)=1(4) lim 折=1n _^limarctan x = — y 2 (6)lim arctanx =—一J 产 2 (7) limarccotx=0X Y(8) lim arccot x =兀(9)lim e x = 0三、下列常用等价无穷小关系X T 0)sinx x tanx Xarcsixrf xarcta nx x仆赵］2ln (1 +x 卅 X e X 一1口 XaX —1 LI XI n a(1 + x f-1U e x四、导数的四则运算法则(u ±v ) =u ‘±v 'f u ) u v - uv'I —=I v 丿五、基本导数公式⑴(c ) =0⑶(sin X ) = cosx⑷(cosx ) = -sin x2⑸(tanx ) =sec x 2⑹(cot X ) = -csc X⑺(secx j =secx dan x(8) (cscx ) = - cscx cot x⑼(e x) =e xXX⑽(a ) =a ln a-1(11)(In X )=-x(12)(gx )=—X l n a， 1(13) (arcsin x ) = -j=2 山—x 2■ 1(14) (arccos x ) = - # 2丁1 —x 2, 1(15) (arctan x )= 1 +x 2I 1 (16) (arccot X ) = --- --------------- 2(")(X ) = 1(18)( J X ) =1(2)n(3) [u (ax+b)F)=a n u C X ax+b ) (4) [u( x)v(x)=送cfu J^ *x y(k)(x)k)七、基本初等函数的n阶导数公式(1)(x n)=n! (2) (e a r)(n)=a n€ax抽(3)(a X a x In n a八、sin (ax +b)nf 兀)=a sin ax +b + n ——fI 2丿[cos(ax+b)=a n cos ax+b+ n、—2J< 1 W 1j a n・ n!——=(-[)---------l ax+b 丿(ax +b )微分公式与微分运算法则⑵ d(x P 戶P x^dx⑴ d (C )=0⑷ d (cosx )= -sinxdx ⑸ d(tanx ) = sec xdx ⑺ d (secx )=secx tanxdx⑼ d (e^=e x dx1(12) d (log aX ) = ------ dxxln a1(15)d (arctanx )=-- 21 +xdx九、微分运算法则⑴ d (u ±v )=du ±dv⑶ d (uv ) = vdu +udv十、基本积分公式⑴ Jkdx =kx +c In (ax +b疔L(_1)n"气n-1)!⑶ d(sin x)=cosxdxnax + b)2(6)d(cotx)=—csc xdx⑻ d (cscx )= -cscx cot xdx⑽ d(a X ) = a X| nadx (11) d(ln xjdxx1 1(13) d (arcs in x^ .2 dx (14) d (arccos x ) = - -=== dxj1-x2j1-x21(16) d (arccot x ) = -2dx1 + x⑵ d(cu )=cduU x ⑵—+c4+1dx⑶ f一= ln|x| +c• xfe x d^e x+c (6)Jcosxdx=sinx+c1(11)f . dx = arcsin x + cftanxdx = Tn cosx +cJcotxdx = In sin x +cJsecxdx = In secx + tanx +cJ cscxdx = In cscx - cot x + c21 2d^-arcta nx+ca+x a a(7) jsin xdx = -cosx +c1 2⑼ J ———=Jcsc xdx = —cotx +csin X 1 2(8) f —— dx = [sec xdx=tanx + c 、cos x1(10) f ----- 2dx = arctanx + c '1+x 2X-a 十 X + a」dx=arcsin「cj r~2 2 7a -x ' J x2±a2dx = In x +J x±a2+c十三、分部积分法公式⑴形如fx n e ax dx，令U n=Xdv = e ax dx形如fx n sin xdx令un=Xdv =sin xdx形如Jx n cosxdx令u = x n，dv = cosxdx⑵形如fx n arctanxdx，令u= arctanx，dv =x n dx 形如fx n ln xdx，令u =1 n X，dv =x n dx⑶形如ax ■ax . ax ■fe sin xdx，fe cosxdx令u=e ,sin x,cos x均可。
实验7微积分基本运算实验7 微积分基本运算一、实验目的学会用MATLAB 软件求高等数学中函数的极值、微分、积分的方法.二、实验内容与要求1.函数的的极限格式：limit(F,x,a) %计算符号表达式F=F(x)的极限值，当x →a 时；limit(F,x,a,’right ’) %计算符号表达式F 的右极限，当x →a +时。
limit(F,x,a,’left ’) %计算符号函数F 的左极限，当x a -→时。
【例1.61】>> syms x a t h n;>> L1=limit((cos(x)-1)/x) %缺省状态下，计算当x →0时的极限值error!!!!!!!!!>> L2=limit(1/x^3,x,0,'right')>> L3=limit(1/x,x,0,'left')>> L4=limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0)>> v=[(1+a/x)^x,exp(-x)];>> L5=limit(v,x,inf,'left')>> L6=limit((1+2/n)^(3*n),n,inf)计算结果为：L1 =L2 =InfL3 =-InfL4 =1/xL5 =[ exp(a), 0]L6 =exp(6)2.求单变量函数的极值格式：fmin(F,a,b) %计算在区间a-b 上函数F 取最小值时的x 的值.说明：在5.3及5.3以上版本命令fmin 已改fminbnd,常用格式如下.X=fminbnd(F,a,b) %计算在区间a-b 上函数F 取最小值时的x 的值.[x,fval]=fminbnd(F,a,b)%计算在区间a-b 上函数F 的最小值fval 和对应的x 值。
【例1.62】 求函数f(x)=3226187x x x --+在区间（-2,4）的极小值，并作图.>> f=inline('2*x.^3-6*x.^2-18*x+7'); %建立内联函数f(x).>> [x,fval]=fminbnd(f,-2,4); %求函数f 的最小值和对应的x 的值。
>> fplot(f,[-2,4])结果为：x=3.0000Fval=-47.0000如图1.12所示.图1.12 例 1.62图形结果注意：用inline 建立的函数f,在funbnd 和fplot 命令中不用加单引号，而用M函数文件建立的函数则要加单引号.问题1.25：如何求函数f 的最大值？3.函数的微分格式：diff(S,’v ’,n) %对符号表达式S 中指定的符号变量v 计算S 的n 阶导数， 在缺省状态下，v=findsym(S),n=1.【例1.63】>>syms x y t>>1(sin(^2)*^2,2)D diff x y = %计算2222sin y x x∂∂ >>21(,)D diff D y = %计算2222sin y x y x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭>>3(^6,6)D diff t =计算结果为：1D = -4*sin(x^2)*x^2*y^2+2*cos(x^2)*y^22D =-8*sin(x^2)*x^2*y+4*cos(x^2)*y3D=720问题1.26：试一下输入diff(‘a^3*x^3-b*x’,a,2),有什么错误？为什么例1.63中的diff(1D,y),y可以不加单引号？（因为在‘syms x y t’中已经定义了符号变量y.如果A是一个矩阵，diff(A)有何意义（求每一列元素的差分）？4。
函数的积分(1)quad法数值积分格式：s=quad(fun,a,b) %近似地从a到b计算函数fun的数值积分，误差为610-s=quad(fun,a,b,tol)%用指定的绝对误差tol代替缺省误差。
s=quad8(fun,a,b,···)%用高精度进行计算，效率可能比quad更好.说明：s=quad8命令在6，x版本用quad代替.【例1.64】>> fun=inline('3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3)'); %构造一函数fun(x)=232323xx x-+>> s1=quad(fun,0,2)>> s2=quadl(fun,0,2)计算结果为：s1 =3.7224s2 =3.7224注意:用inline构造函数比用function构造函数简单；命令quadl最后是字母1,不是数字1.(2)梯形法数值积分格式:T=trapz(X,Y) %用梯形法计算Y在X点上的积分.【例1.65】>> X=-1:.1:1;>> Y=1./(1+25*X.^2); %注意这里用点运算>> T=trapz(X,Y) %计算函数Y从-1到1的积分计算结果为：T =0.5492注意：步长取短，结果较精确.(3)符号函数的积分格式：R=int(S,v) %对符号表达式S中指定的符号变量v计算不定积分.R=int(S,v,a,b) %对表达式S中指定的符号变量v计算从a到b的定积分.【例 1.66】>>syms x z t alpha>>I1 =int(-2*x/(1+x^3)^2)>>I2 =int(x/(1+z^2),z)>>I3 =int(I2,x,’a’,’b’) %这里积分区间a,b由于没定义，所以要加单引号>>I4 =int(x*log(1+x),0,1)>>I5 =int([exp(t),exp(alpha*t)])计算结果为：I1=-2/9/(x+1)+2/9*log(x+1)–1/9*log(x^2–x+1)–2/9*3^(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)*…3^(1/2))-2/9*(2*x-1)/(x^2-x+1)I2 =x*atan(z)I3 =1/2*atan(z)*(b^2-a^2)I4 =1/4I5 =[ exp(t) , 1/alpha*exp(alpha*t)]问题 1。
27：输入I6=int(‘exp(-y^2)+log(y)’,1,10),结果较复杂，怎么办？（这时常用eval命令进一步求数值解）>>I6=1/2*pi^(1/2)*erf(10)+10*log(2)+10*log(5)-9-1/2*pi^(1/2)*erf(1)>>I61=eval(16)I61=14.16535．泰勒级数展开格式：taylor(f) %求出符号函数f在x=0处的５阶麦克劳林年型泰勒展开式。
Taylor(f,n,v,a) %求出符号函数f的在v=a点的n-1阶泰勒展开式。
【例 1.67】>>syms a x>>f=a/(x-10);>>y1=taylor(f,x,3) %求f在x=0处的２阶泰勒展开式计算结果为：>>y1=-1/10*a-1/100*a*x-1/1000*a*x^2>>y2=-1/6*a-1/36*a*(x-4)-1/216*a*(x-4)^26.傅里叶级数展开ＭTALAB中没有专门用于傅里叶级数展开的命令，可编一个Ｍ函数文件实现。
Function [a0,an,bn]=mfourier(f)Syms n xa0=int(f,-pi,pi)/pi;an=int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pi;bn=int(f*sin(n*x),-pi,pi)/pi;【例 1.68】>>syms x>>f=x^2+x;>>[a0,an,bn]=mfourier(f)计算结果为：a0 =2/3*pi^2an =2*(n^2*pi^2*sin(pi*n)-a*sin(pi*n)+2*pi*n*cos(pi*n))/n^3/pibn =-2*(-sin(pi*n)+pi*n*cos(pi*n))/n^2/pi进一步化简：>>an=simple(an)%结果为2/n*pi*sin(pi*n)-4/pi/n^3*sin(pi*n)+4/n^2*cos(pi*n)>>bn=simple(bn)%结果为2/pi/n^2*sin(pi*n)-a/n*cos(pi*n)再经手工化简不难得到an=4*(-1)^n/n^2,bn=2*(-1)^(n-1)/n三、练习和思考① 求下列函数的极限。
y=(1+x)1/x 在x=0处的极限值；y=ln 2x/x 3在x 趋向于正无穷的极限值。
② 求下列函数的导数。
y=x 3 +4x 2 +8,y=ax 4+blogx,f=ma 2-na 2+mn (对a 求2阶导数)。
③ 用多种方法求下列积分，比较它们的结果。
30.50sin 6e t dt ππ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ 22x e dx ∞--∞ 22ln x x dx ⎰④ 求下列函数的泰勒展开式。
y=e -2x x=0处6阶麦克劳林型泰勒展开式。
y=x/sinx x=2处10阶泰勒展开式。
⑤ 求下列函数的傅里叶展开式y=xy=sin2x 2四、提高内容1． 积分限均为常数的二重积分格式： q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax).q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) %指定精度tol.说明：调用函数quad 在区域[xmin,xmax,ymin,ymax]上计算二元函数z=f(x,y)的二重积分，其中，内外积分限为数值。
【例 1.69】>>fun=inline(＇y./sin(x)+x.*exp(y)＇);%建立二元函数fun=y xe xy +sin >>Q=dblquad(fun,1,3,5,7) 计算结果为:Q=3.83119e+0032. 内积分限为函数的二重积分方法一:q=int(int(fun,var1,inlower,inupper),var2,outmin,outmax). 说明:在由[inlower,inupper,outmin,outmax ]指定的区域上计算二元函数z=f(var1,var2)的二重积分,其中,内积分限inlower,inupper 为变量var2的函数,fun,inlower,inupper 是字母串表达式或符号表达式.【例 1.70】 计算单位圆域上的积分:I=dxdy y x e x y x )sin(221222+⎰⎰≤+先把二重积分转化为二次积分的形式:I=dx y x e dy y y x )sin(211211222+⎰⎰---- >>syms x y>>f=exp(-x^2/2)*sin(x^2+y);>>xlower=-sqrt(1-y^2);>>xupper=sqrt(1-y^2);>>Q=int(int(f,x,xlower,xupper),y,-1,1);>>vpa(Q,6)计算结果为:Q=0.536860方法二:在6.x 版本编制如下函数文件,实现二重积分,fun 为被积函数,inlower, inup, outlow,outup 积分内外限.[dint.m]function SS=dint(fun,inlow,inup,outlow,outup)y1=outlow;y2=outup;x1=inlow;x2=inup;f_p=funSS=quad(@G_yi,y1,y2,[],[],x1,x2,f_p);[G_yi.m]function f= G_yi(y,x1,x2,f_p)y=y(:);n=length(y);if isnumerric(x1)==1;xx1=x1*ones(size(y));elsexx1=feval(x1,y);endif isnumerric(x2)==1;xx2=x2*ones(size(y));elsexx2=feval(x2,y);endfor i=1:nf(i)=quad(f_p,xx1(i),xx2(i),[],[],y(i));endf=f(:);【例 1.71】 计算I =dy dx y x y ⎰⎰+41222])([. 解:先编制别数文件[x_low.m].function f=x_low(y)f=sqrt(y);再在命令窗口运行如下命令:>>ff=inline(＇x.^2+y.^2＇,＇x ＇,＇y ＇)>>SS=dint(ff, @x_low,2,1,4)SS=9058103.积分限均为常数的三重积分格式:triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax).。
