下载文档原格式
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总微积分是高等数学中的一门重要学科，涉及到很多重要的公式和定理。
下面是一些微积分中常用的公式的汇总：1.导数公式：- 函数f(x)在点x处的导数：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h,其中h -> 0- 常见函数的导数公式：常数函数导数为0，幂函数导数为nx^(n-1)，三角函数的导数等-乘法法则：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)-商法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.积分公式：- 不定积分和定积分的基本定理：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C- 基本不定积分：∫x^n dx = (1/n+1)*x^(n+1) + C （其中n不等于-1）- 定积分的性质：∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dx，∫(a to b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a to b) f(x) dx ± ∫(a to b)g(x) dx3.微分学的基本定理：- 导数的基本定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a tob) f(x) dx = F(x)，_(a to b) = F(b) - F(a)4.极限定理：- 极限的四则运算定理：设lim (x -> a) f(x) = L，lim (x -> a) g(x) = M，则lim (x -> a) [f(x)±g(x)] = L±M，lim (x -> a)[f(x)*g(x)] = L*M，lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = L/M （其中M不等于0）- L'Hospital法则：设lim (x -> a) f(x) = 0，lim (x -> a) g(x) = 0，并且lim (x -> a) f'(x)/g'(x) 存在，则lim (x -> a) f(x)/g(x) = lim (x -> a) f'(x)/g'(x)- 夹逼定理：如果数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n <= b_n <=c_n，并且lim (n -> ∞) a_n = lim (n -> ∞) c_n = L，则lim (n -> ∞) b_n = L5.泰勒级数：-函数f(x)的泰勒级数展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...+f^n(a)*(x-a)^n/n!+...，其中f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数以上仅是微积分中涉及到的一些公式，实际上微积分的公式和定理非常丰富，还有更多的公式可以在相关的教材和文献中找到。
微积分24个基本公式微积分是数学中一个重要的分支，它的重要意义在于它关于空间、时间和速度的结构描述，它把自然界的复杂结构描述为简单的几何形状和数学结构，能够为任何一类科学研究提供客观、系统和深入的解释。
微积分的基本公式是非常重要的，它们不仅反映了微积分的基本概念和定律，而且支持了整个微积分体系的发展和实用应用，是科学研究的基石。
在实际运用中，24个基本公式是微积分中最为重要的公式之一，可以解释许多微积分的基本概念，并可用来解决各种不同的实际问题。
24个基本公式可以分为函数概念、导数概念、几何概念和无穷小概念四大块。
在函数概念中，包括函数定义、函数图像、最大最小值、函数极限等；在导数概念中，包括导数定义、导数方程、隐函数导数等；在几何概念中，包括几何变换、向量、曲线长度、曲率等；而在无穷小概念中，包括无穷小量与无穷大量的基本定律。
其中，函数概念的24个基本公式是：函数的定义：f（x）=y；函数的图像：图解函数的增减性；最大最小值：....；函数极限：极限的定义；极限的性质：极限的运算法则。
而在导数概念中包括：导数定义：导数的定义；导数方程：求导法则；隐函数导数：反函数求导公式；偏导数：多元函数的偏导数；曲率：曲率的定义。
在几何概念中，24个基本公式主要围绕几何变换、向量、曲线长度、曲率等概念构建而成，包括：几何变换：变换后图形的基本性质；向量：向量的定义及其运算；曲线长度：计算曲线长度的方法；曲率：曲率公式、曲率半径等。
最后，在无穷小概念中，24个基本公式包括：无穷小量与无穷大量的基本定律，以及无穷小量的定义和无穷大量的运算法则，几何意义上的无穷大量的定义，微积分法的求微分、积分计算等。
以上就是24个基本公式的详细内容，它们不仅涵盖了函数概念、导数概念、几何概念和无穷小概念四大块，而且介绍了一些能够解决实际问题的技巧：如图解函数的增减性、多元函数的偏导数、计算曲线长度的方法等，可以说，24个基本公式为学习微积分提供了非常重要的参考依据。
微积分的公式大全一、极限公式1.无穷小量定义：若当x→0时，Δx是x的函数之一，且满足Δx/x→0，则称Δx为x的一个无穷小量。
2.极限的基本性质：-函数f(x)的极限即为f(x)的左极限和右极限存在且相等的值。
-函数的极限与函数的值在有限点无关，只与趋向于该点的方式有关。
-函数有界，且极限存在，则函数必定有极大值和极小值。
3.基本极限：-极限的四则运算规则：设x→x0时有f(x)→A，g(x)→B，则f(x)±g(x)→A±B，f(x)g(x)→AB，f(x)/g(x)→A/B。
- 幂函数极限：若m是正整数，则lim(x→a) (x^m) = a^m。
- e 的指数函数极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。
- 自然对数函数极限：lim(x→0) (ln(1+x)/x) = 1-三角函数极限：- lim(x→0) (sinx/x) = 1- lim(x→0) (cosx-1)/x = 0。
四、导数公式1. 基本定义：函数 y=f(x) 在 x0 处可导，当且仅当函数在 x0 处存在极限lim(x→x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)，即导数 f'(x0) 存在。
2.基本导数：- 常数函数的导数为 0：d/dx(c) = 0。
- 幂函数的导数：d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
- 指数函数的导数：d/dx(e^x) = e^x。
- 对数函数的导数：d/dx(loga(x)) = 1/(xln(a))。
-三角函数的导数：- d/dx(sin(x)) = cos(x)。
- d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
- d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
-反三角函数的导数：- d/dx(arcsin(x)) = 1/√(1-x^2)。
- d/dx(arccos(x)) = -1/√(1-x^2)。
- d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x^2)。
高数微积分公式大全第一篇：高数微积分公式大全（上）微积分是数学中的重要分支，也是物理、工程、经济等领域中不可或缺的工具。
下面将介绍一些高等数学中常用的微积分公式，包括极限、导数、微分等，供读者参考。
1. 极限极限是微积分中的基本概念，它描述的是函数在某一点附近的取值趋近于某个常数的情况。
极限公式如下：（1）左极限$$\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=A$$（2）右极限$$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=A$$（3）无穷远处的极限$$\lim_{x\to \infty}f(x)=A$$（4）无穷小量$$\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$2. 导数导数是微积分中的重要概念，它描述的是函数在某一点处的变化率。
导数公式如下：（1）切线的斜率$$k=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} $$（2）函数的导数$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$3. 微分微分是微积分中的基本运算，它可以帮助我们研究函数的变化趋势。
微分公式如下：$$df=f'(x)dx$$其中，$dx$表示自变量$x$的微小变化量，$df$表示因变量$y$的微小变化量。
4. 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以帮助我们将一个函数表示为一系列多项式的和，从而简化函数的计算。
泰勒公式如下：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$其中，$f^{(n)}(x)$表示函数$f(x)$的$n$阶导数。
5. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复分析中的重要定理，它描述了复函数的导数和复共轭函数的关系。
柯西-黎曼方程如下：$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partialv}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$其中，$u(x,y)$和$v(x,y)$分别表示复函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的实部和虚部。
积分的加减乘除运算法则积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下的面积、曲线的长度以及相关物理问题等。
积分运算的加减乘除法则是基于导数的运算法则进行推导而来的。
下面我将详细介绍积分运算的加减乘除法则的相关内容。
1. 加法法则：设函数 f(x) 和 g(x) 在区间 [a, b] 上都可导，则两个函数的积分和的导数相等，即有：∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx简单来说，对于积分运算来说，两个函数的和的积分等于两个函数分别积分再相加。
2. 减法法则：设函数 f(x) 和 g(x) 在区间 [a, b] 上都可导，则两个函数的差的积分等于两个函数分别积分再相减，即有：∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx - ∫[a,b] g(x) dx3. 乘法法则：设函数 u(x) 和 v(x) 在区间 [a, b] 上都可导，则两个函数的乘积的积分等于一个函数积分再乘以另一个函数，再减去另一个函数积分再乘以一个函数，即有：∫[a,b] u(x) v'(x) dx = u(x) v(x)|[a,b] - ∫[a,b] u'(x) v(x) dx其中，u'(x) 和 v'(x) 分别表示 u(x) 和 v(x) 的导数。
4. 除法法则：设函数 u(x) 和 v(x) 在区间 [a, b] 上都可导，且v(x) ≠ 0，则一个函数除以另一个函数的积分等于一个函数积分再除以另一个函数的平方，再减去一个函数的导数积以另一个函数积分再除以另一个函数的平方，即有：∫[a,b] (u(x)/v(x)) dx =( ∫[a,b] u(x) v'(x) dx ) / (v(x))^2 - ∫[a,b] [u'(x) v(x)] / (v(x))^2 dx需要注意的是，这个除法法则在 v(x) = 0 的情况下不成立。
微积分的基本思想和运算法则微积分是数学的一个重要分支，研究的是变化与运动的规律。
它的基本思想和运算法则是我们学习微积分的起点。
本文将介绍微积分的基本思想和运算法则，并探讨其在实际问题中的应用。
一、微积分的基本思想微积分的基本思想可以概括为两个方面：极限和导数。
1. 极限极限是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。
在数学中，我们用极限来研究函数的连续性、收敛性以及函数值的变化趋势等。
对于一个函数f(x)，当x趋向于某个特定的值a时，我们可以用以下符号表示：lim(x→a) f(x)其中，lim代表极限的意思，x→a表示x趋向于a，f(x)表示函数f在x处的取值。
通过求解极限，我们可以得到函数在a点的性质和行为。
2. 导数导数是微积分的另一个核心概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于一个函数f(x)，它在某一点x处的导数可以表示为：f'(x) 或 dy/dx其中，f'(x)表示函数f在x处的导数，dy/dx表示函数y关于x的导数。
导数可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率，它告诉我们函数在该点的变化速度和方向。
二、微积分的运算法则微积分的运算法则是指在对函数进行求导和积分时所遵循的规则和方法。
下面介绍几个常用的运算法则。
1. 基本导数法则基本导数法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
这些法则可以帮助我们求解各种类型函数的导数，从而更好地理解函数的变化规律。
2. 链式法则链式法则是求解复合函数导数的一种方法。
对于复合函数f(g(x))，其导数可以通过链式法则表示为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)链式法则在求解复杂函数的导数时非常有用，可以将复杂问题简化为简单问题的组合。
3. 积分法则积分法则是求解函数积分的一种方法。
常用的积分法则包括换元法、分部积分法、定积分法则等。
这些法则可以帮助我们求解各种类型函数的积分，从而计算函数的面积、曲线长度、体积等。
微积分的公式引言微积分是数学中的一个重要分支，研究函数的变化规律和求解与变化相关的问题。
在微积分的学习中，有一些经典的公式是我们必须掌握和熟练运用的。
本文将介绍微积分中常见的几个重要公式，并通过例子进行说明。
导数的定义和运算法则定义函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim┬(Δx→0)(f(a+Δx)−f(a))/Δx导数的运算法则•常数法则d/dx (c) = 0其中c为常数。
•幂法则d/dx(x^n) = n * x^(n-1)其中n为自然数。
•乘法法则d/dx(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)常用微积分公式极限公式•极限的四则运算法则lim┬(x→a)(f(x)±g(x)) = lim┬(x→a)f(x) ± lim┬(x→a)g(x)lim┬(x→a)(f(x)g(x)) = lim┬(x→a)f(x) * lim┬(x→a)g(x)•无穷小与无穷大的关系lim┬(x→∞)(f(x)) = ∞，当且仅当lim┬(x→∞)(1/f (x)) = 0lim┬(x→∞)(f(x)) = a，当且仅当lim┬(x→∞)(1/f(x)) = 1/a求和公式•等差数列求和公式∑┬(k=1)(n)k = n(n+1)/2积分公式•基本积分公式∫(f(x) + g(x))dx = ∫(f(x))dx + ∫(g(x))dx ∫(k * f(x))dx = k * ∫(f(x))dx其中k为常数。
•微元法∫(f(x))dx = F(x) + C其中F(x)为函数f(x)的一个原函数，C为常数。
应用示例示例1：求函数的导数已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求f'(x)。
解: 根据幂法则，对于函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，我们可以先对每一项求导，再相加得到f'(x)。
微分与积分的基本性质与运算规则微分与积分是微积分学的基础概念，它们的基本性质和运算规则对于求解各种数学问题至关重要。
本文将对微分与积分的基本性质和运算规则进行详细的介绍与阐释。
一、微分的基本性质与运算规则1. 微分的定义：微分代表了函数对自变量的变化率。
设函数y=f(x)，当自变量x在某一点x₀发生微小变化Δx时，对应的函数值变化量为Δy=f(x₀+Δx)−f(x₀)。
微分dy定义为当Δx趋近于0时Δy的极限，即dy=lim(Δx→0)(Δy/Δx)，也可用更加简洁的形式表示为dy=f'(x₀)dx。
2. 运算规则：a. 常数微分法：对常数C，其微分为dC=0。
b. 基本函数微分法：对于基本函数的导数，有以下规则：- 导数和差积法则：设u(x)和v(x)是可导函数，常数k，有(d/du(u+v))=du+dv和(d/du(u−v))=du−dv；- 常数倍法则：对于y=kf(x)，有(d/dx(y))=k(df(x)/dx)；- 幂函数：对于函数y=x^n，有(d/dx(y))=nx^(n-1)；- 指数函数和对数函数：对于函数y=a^x和y=log_a(x)，有(d/dx(y))=a^x·ln(a)和(d/dx(y))= 1/(xln(a))。
3. 高阶微分：在函数的微分的基础上，还可以进行高阶微分。
如果函数f(x)的一阶导数f'(x)可导，那么f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，以此类推。
二、积分的基本性质与运算规则1. 积分的定义：积分代表了函数下方曲线与x轴之间的“面积”。
设函数y=f(x)，在区间[a, b]上的积分是由x=a到x=b之间的所有小矩形的面积之和的极限，记为∫[a, b]f(x)dx。
2. 运算规则：a. 常数积分法：对常数C，其积分为∫Cdx=Cx；b. 基本函数积分法：对于基本函数的积分，有以下规则：- 常数倍法则：∫k·f(x)dx=k∫f(x)dx；- 恒函数积分法：∫f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)是f(x)的原函数，C是常数；- 幂函数积分法：对于y=x^n，当n≠-1时，有∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1)+C；- 指数函数和对数函数积分法：对于y=e^x和y=1/x，它们的积分分别为∫e^xdx=e^x+C和∫1/x dx=ln|x|+C。
微积分的公式大全1.导数公式：- 限定义导数：f'(a) = lim[h->0] (f(a+h)-f(a))/h-幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)-指数函数的导数：(e^x)'=e^x- 对数函数的导数：(ln(x))' = 1/x-三角函数的导数：- (sin(x))' = cos(x)- (cos(x))' = -sin(x)- (tan(x))' = sec^2(x)-反三角函数的导数：- (arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)- (arccos(x))' = -1/√(1-x^2)- (arctan(x))' = 1/(1+x^2)2.积分公式：- 不定积分的基本公式：∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx - 幂函数的积分：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (其中C为常数) - 指数函数的积分：∫e^x dx = e^x + C- 对数函数的积分：∫1/x dx = ln，x， + C (其中C为常数)-三角函数的积分：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C-反三角函数的积分：- ∫1/√(1-x^2) dx = arcsin(x) + C- ∫-1/√(1-x^2) dx = arccos(x) + C- ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C3.基本定理：- 第一基本定理：∫[a, b] f'(x)dx = f(b) - f(a) (即导函数的积分等于原函数在区间上的差)- 第二基本定理：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a) (即函数的积分等于其原函数在区间上的差)4.微分方程：- 一阶线性ODE通解：y = ∫[a, x] f(t)*e^(∫[a, t] p(u)du) dt + Ce^(∫[a, x] p(t)dt)-二阶常系数齐次线性ODE通解：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)-二阶常系数非齐次线性ODE通解：- 非齐次线性ODE的特解：y = yp- 齐次线性ODE的通解：y = yp + C1e^(r1x) + C2e^(r2x)5.极限公式：- 极限定义：lim[x->a] f(x) = L (当x趋近于a时，f(x)趋近于L) -极限的四则运算法则：- lim[x->a] [f(x) + g(x)] = lim[x->a] f(x) + lim[x->a] g(x) - lim[x->a] [f(x) - g(x)] = lim[x->a] f(x) - lim[x->a] g(x) - lim[x->a] [f(x) * g(x)] = lim[x->a] f(x) * lim[x->a] g(x) - lim[x->a] [f(x) / g(x)] = lim[x->a] f(x) / lim[x->a] g(x) (其中g(a)不等于0)- 极限函数的连续性：如果lim[x->a] f(x) = f(a)和lim[x->a]g(x) = g(a)，则lim[x->a] [f(x) + g(x)] = f(a) + g(a)和lim[x->a] [f(x) * g(x)] = f(a) * g(a)。
高数常用微积分公式24个为了更好地帮助大家理解高等数学中的微积分，本文主要介绍高数常用的微积分公式24个。
首先，介绍最基本的微积分概念。
微积分是一个广义的概念，它包括微分学和积分学。
微分学是研究变动数量的变化率，变量可以表达为函数。
积分学则是将某一函数在不同区域上的积分和运算，可以表示为面积、重量或其他距离变化的概念。
其次，介绍高数常用的微积分公式。
1、微分中的基本公式：（1）函数的定义域x的导数，表示为f′(x)（2）复合函数的导数，表示为f′(g(x))（3）二阶导数的定义，表示为f″(x)2、积分中的基本公式：（1）求解定积分，表示为∫[a, b]f(x)dx（2）定积分的换折叠公式，表示为∫[a, b]f(x)dx=[a,c]f(x)dx+[c, b]f(x)dx（3）求解不定积分，表示为∫f（4）二重积分的定义，表示为∫[a, b]∫[c, d]f(x,y)dydx （5）定义域积分，表示为∫[S]f(x,y)ds3、微分与积分的关系：微分与积分有着相互联系的关系。
积分是将函数某一段区间的值累积为某一量，而微分则是积分的反过程，求出函数在有限的区间内的变化率。
这一关系也被称为微分法和积分法的反射关系。
4、偏微分的基本公式：偏微分是指关于同一变量的偏导数。
它是微分中比较复杂的一种形式，通常与多元函数相关，旨在研究函数变化率在同一点上受其他变量影响的情况。
它的基本公式为f′(x, y)=f/x, f′(x, y)=f/y。
5、常见的微分与积分公式：（1）指数函数的求导公式，表示为f′(x)=ae^(ax)（2）对数函数的求导公式，表示为f′(x)=1/x（3）三角函数的求导公式，表示为f′(x)=cos(x),f′(x)=sin(x)（4）椭圆函数的求导公式，表示为f′(x)=2a(a+bx)/(b^2-a^2)（5）反椭圆函数的求导公式，表示为f′(x)=-2a(a+bx)/(b^2-a^2)（6）求极限的求导公式，表示为limX→0f′(x)=f(0)（7）求微积分的积分公式，表示为∫[a,b]f(x)=F(b)-F(a)最后，本文介绍了高数常用的微积分公式24个，包括微分、积分、偏微分以及极限的求导公式，利用这些公式，大家就可以更好地理解微积分的概念，从而更好地学习高等数学中的微积分内容。
第4章微积分的基本运算本章学习的主要目的：1．复习高等数学中有关函数极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、级数、方程近似求解、常微分方程求解的相关知识.2．通过作图和计算加深对数学概念：极限、导数、积分的理解.3．学会用MatLab软件进行有关函数极限、导数、不定积分、级数、常微分方程求解的符号运算；4．了解数值积分理论,学会用MatLab软件进行数值积分;会用级数进行近似计算.1 有关函数极限计算的MatLab命令(1)limit(F,x,a) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的极限(2)limit(F,a) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于a的极限(3)limit(F) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于0的极限(4)limit(F,x,a,’left’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的左极限(5)limit(F,x,a,’right’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的右极限注:使用命令limit 前,要用syms 做相应符号变量说明. 例7 求下列极限 (1)4220x cos lim xex x -→-在MatLab 的命令窗口输入: syms xlimit((cos(x)-exp(-x^2/2))/x^4,x,0) 运行结果为 ans =-1/12理论上用洛必达法则或泰勒公式计算该极限: 方法1=-+-=---=---→-→-→2222220x 322x 4220x 12cos lim4)(sin limcos limx x eex x x ex x ex x x x x12112112)2(2lim 1211cos lim222220x 2222220x -=--+=--++--→--→x x x e x x x x x e e x 方法2442224420x 4220x ))(2)2()2(1()(!421limcos limx x o x x x o x x x ex x +-+---++-=-→-→121)(121lim444x -=+-=→x x o x (2)x3x )xt 21(lim +∞→ %自变量趋于无穷大,带参数t在MatLab 的命令窗口输入: syms x tlimit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) 运行结果为 ans =exp(6*t)理论上用重要极限计算:t t t xe 662x x 3x ))xt21((lim )x t 21(lim =+=+∞→∞→ (3)x 1lim0x +→ %求右极限在MatLab 的命令窗口输入: syms xlimit(1/x,x,0,’right’) 运行结果为 ans = inf2 有关函数导数计算的MatLab 命令(1)diff(F,x) 表示表达式F 对符号变量x 求一阶导数，允许表达式F 含有其他符号变量，若x 缺省，则表示对由命令syms 定义的变量求一阶导数。
(2)diff(F,x,n) 表示表达式F 对符号变量x 求n 阶导数。
例10 求下列函数的导数 （1） 已知242arcsin x x x y -+=,求)3(,'y y ；在MatLab 的命令窗口输入如下命令序列: syms xy=x*asin(x/2)+sqrt(4-x^2)diff(y,x) %执行结果ans = asin(1/2*x)与理论推导)2xa r c s i n ('＝y 完全吻合。
diff(y,x,3) %执行结果ans = 1/(4-x^2)^(3/2)*x 与理论推导2323)4(x x y -＝）（完全吻合。
（2） 已知y xz 2sin 2=,求yx z x z x z ∂∂∂∂∂∂∂222,,在MatLab 的命令窗口输入如下命令序列: syms x y z z=x^2*sin(2*y);diff(z,x) %执行结果ans =2*x*sin(2*y) diff(z,x,2) %执行结果ans =2*sin(2*y)diff(diff(z,x),y) %执行结果ans =4*x*cos(2*y) （3） 已知22zy)-x (u yx z ＋==,求yx u y u x u ∂∂∂∂∂∂∂2,, (复合函数求导偏导数)在MatLab 的命令窗口输入如下命令序列: syms x y z u z=x^2+y^2; u=(x-y)^z; diff(u,x)%执行结果＝xu ∂∂ (x-y)^(x^2+y^2)*(2*x*log(x-y)+(x^2+y^2)/(x-y)) diff(u,y,2)%执行结果＝yu∂∂(x-y)^(x^2+y^2)*(2*y*log(x-y)-(x^2+y^2)/(x-y))^2+ (x-y)^(x^2+y^2)*(2*log(x-y)-4*y/(x-y)-(x^2+y^2)/(x-y)^2) diff(diff(u,x),y)%执行结果＝yx u∂∂∂2 (x-y)^(x^2+y^2)*(2*y*log(x-y)-(x^2+y^2)/(x-y))*(2*x*log(x-y)+(x^2+y^2)/(x-y))+(x-y)^(x^2+y^2)*(-2*x/(x-y)+2*y/(x-y)+(x^2+y^2)/(x-y)^2)3 极值问题MatLab 软件提供了求一元和多元函数极值问题的命令： fmin(f,x1,x2) 求函数f(x)在x1<x<x2区间取到极小值对应的x 值。
fmins('f',[x1,x2]),求二元函数在点（x1 x2）附近的极值点。
例12 求函数71862)(23+--=x x x x f 的极值，并作图。
在MatLab 的命令窗口输入如下命令序列: syms xf=2.*x.^3-6.*x.^2-18.*x+7;xmin=fmin('2.*x.^3-6.*x.^2-18.*x+7',-5,5) x=xmin; miny3=subs(f)a31='-2.*x.^3+6.*x.^2+18.*x-7'; xmax=fmin(a31,-5,5) x=xmax; maxy3=subs(f)fplot('2.*x.^3-6.*x.^2-18.*x+7',[-5 5]) grid on 执行结果：xmin =3.0000 %在x ＝3处取极小值 miny3 =-47.0000 %极小值为－47 xmax = -1.0000 %在x ＝－1处取极大值 maxy3 =17.0000 ％极大值为17图154方程的数值求解方法fzero(‘f’，x 0) %在x ＝x0附近求f(x)=0的近似解。
例14 用MatLab 函数、编程二分法、切线法三种方法求方程04.19.01.123=-++x x x 的实根的近似值，使误差不超过310-。
解 令4.19.01.1)(23-++=x x x x f ,显然f(x)在）（+∞∞-,内连续。
-5-4-3-2-112345-350-300-250-200-150-100-50050因为09.02.23)('2>++=x x x f ，故f(x)在）（+∞∞-,内单调递增，0)(=x f 至多有一个实根。
由06.1)1(,04.1)0(>=<-=f f ，知0)(=x f 在[0,1]内有唯一的实根。
取a=0,b=1,[0,1]即是一个隔离区间。
先画出函数f(x)的图形,如图17, 在MatLab 的命令窗口输入如下命令： f= 'x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4 ' fplot(f,[0,1]) grid on图17f= 'x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4 ' fzero(f,1)运行结果为：ans =0.6707 5 有关计算函数不定积分的MatLab 命令int(f) 求函数f 关于syms 定义的符号变量的不定积分；00.51-2-1012int(f,v) 求函数f 关于变量v 的不定积分。
注：MatLab 在不定积分结果中不自行添加积分常数C 例15 用MatLab 软件，计算下列不定积分dx ex x ⎰-23在MatLab 的命令窗口输入如下命令： syms xint('x^3*exp(-x^2)',x)执行结果：ans =-1/2*x^2/exp(-x^2)-1/2/exp(-x^2) 6 有关计算函数定积分的MatLab 命令int(f,a,b) 求函数f 关于syms 定义的符号变量从a 到b 的定积分；int(f,v,a,b) 求函数f 关于变量v 从a 到b 的定积分。
例17 用MatLab 软件求下列定积分： （1）dx x⎰41lnx（2）⎰∞+＋03)1(x dx x在MatLab 的命令窗口输入如下命令序列: （1）syms x;y=log(x)*x^(-0.5);int(y,1,4)运行结果:ans = 8*log(2)-4（2）syms x;y=(x*(1+x)^3)^(-0.5);int(y,x,0,inf)8二重积分目前,MatLab还没有求二重积分的命令,我们用定积分的int命令,结合函数图形的观察,完成对二重积分的计算.例19 计算⎰⎰Ddxdyyx22,其中D为直线xyxyxy-===12,2,2围成区域.具体步骤如下: (1)划定积分区域: syms xy1=2*x;y2=x/2;y3=12-x;ezplot(y1,[-2,12]) hold onezplot(y2,[-2,12]) ezplot(y3,[-2,12])-2024681012 051015y=x/2y=2*xy=12-xABC积分区域title('积分区域')结果如图20 ,三条直线相交所围区域即为积分区域. (2) 确定交点的横坐标: xa=fzero('2*x-x/2',0)xb=fzero('2*x-12+x',4)xc=fzero('12-x-x/2',8) 图20 结果为:xa = 0 xb = 4 xc = 8 (3)化二重积分σd yx 22⎰⎰D为累次积分⎰⎰⎰⎰+84x-122x 2242x 2x 22dx dxdy yx dy y x .在MatLab 的命令窗口输入: syms x y z z=x^2/y^2;dx1=int(z,y,x/2,2*x);j1=int(dx1,0,4); dx2=int(z,y,x/2,12-x);j2=int(dx2,4,8); jf=j1+j2结果为: jf =132-144*log(2)9 MatLab级数求和命令:symsum(s) %s为待求和的级数的通项表达式,求出关于系统默认变量如k从0到k-1的级数有限项的和,如不能确定s的默认变量,则用findsym(s)来查.symsum(s,v) %v为求和变量,求出v由0到v-1的级数有限项的和.symsum(s,v,a,b) %求出v由a到b的级数有限项的和.例22 syms ksimple(symsum(k)) 1/2*k*(k-1)simple(symsum(k,0,n-1)) 1/2*n*(n-1)simple(symsum(k,0,n)) 1/2*n*(n+1)simple(symsum(k^2,0,n))1/6*n*(n+1)*(2*n+1)symsum(k^2,0,10) 385symsum(k^2,11,10) 0symsum(1/k^2,1,Inf) 1/6*pi^210 幂级数MatLab完成泰勒展开命令:下面f代表待展开的函数表达式,taylor(f) %求出函数f关于系统默认变量的麦克劳林型的6阶近似展开.taylor(f,n) %求出函数f关于系统默认变量的麦克劳林型的n 阶近似展开.taylor(f,v) %求出函数f关于变量v的麦克劳林型的6阶近似展开.taylor(f,a) %求出函数f关于系统默认变量等于a处的麦克劳林型的6阶近似展开.taylor(f,n,v,a) %求出函数f关于变量v等于a处的麦克劳林型的n阶近似展开.例23 求函数x ey 在x=1处的3阶泰勒展式.syms xtaylor(exp(x),x,4,1)执行后得到:ans =exp(1)+exp(1)*(x-1)+1/2*exp(1)*(x-1)^2+1/6*exp(1)*(x-1) ^311常微分方程在MatLab中的表达方式为:符号D表示对变量的求导,Dy表示对变量y求一阶导数, Dny表示对变量求n阶导数.dsolve (‘diff_equation’) % diff_equation 为待求解的常微分方程,自变量为t,得方程的通解dsolve (‘diff_equation’,’var’) % diff_equation 为待求解的常微分方程,自变量为vardsolve (‘diff_equation’,’cond1, cond2,…’,’var’) %带初始条件的常微分方程例27 解常微分方程x x y 2cos y ''=+ syms xdiff_equ='D2y+y=x*cos(2*x)'; y=dsolve(diff_equ, 'x') 解得结果为: y =(1/2*cos(x)+1/2*x*sin(x)+1/18*cos(3*x)+1/6*x*sin(3*x))*si n(x)+(-1/18*sin(3*x)+1/6*x*cos(3*x)+1/2*sin(x)-1/2*x*cos(x))*cos(x)+C1*sin(x)+C2*cos(x)例28 求常微分方程x ''y ''y'=-满足4)1('',7)1(',8)1(y ===y y 的特解. syms xdiff_equ='D3y –D2y=x';y=dsolve(diff_equ, 'y(1)=8', 'Dy(1)=7', 'D2y(1)=4','x') 解得结果为:y =-1/2*x^2-1/6*x^3+1/6+5/2*x+6/exp(1)*exp(x) 4.9 上机实验内容1 用描点法列出数列}2cos n1{πn 从第1项到第1000项,观察数列的极限,若001.0=ε,N 可以取多少?2作图观察当2x →时,2x y =的极限,若001.0=ε,δ取多少,使当δ<-<2x 0时,001.04<-y ?3 用MatLab软件求极限x x x cos 112ln 2lim 0x ---→,并理论上推导计算.4 用MatLab 软件求下列函数的导数： （1）已知,)1()3(254+-+=x x x y 求1'=x y（2）已知cos x e x =y ，求）（4y（3）已知yx y x z *)ln(2+=,求yx zx z x z ∂∂∂∂∂∂∂222,,5 已知函数[-2,2]x 2)-x -sin(x x y 22∈=，,按要求完成下面的任务：（1）用MatLab 软件求函数的一阶，二阶导函数（2）画出函数y 及其一阶、二阶导函数曲线，观察单调区间，凹凸区间以及极值点，拐点（3）用作图观察法找出函数的四个零点，四个极值点和四个拐点，与其相应的理论值比较。
