四年级数学 定义新运算

小学数学定义新运算一.什么是定义新运算我们已经学过了加、减、乘、除运算。

在有些情况下，常把「有多步含加、减、乘、除的运算」用某种新的符号表示，这就是定义了新的运算。

见到了这种用新的符号所定义的运算后，就按它所规定的「运算程序」进行运算，直到得出最后结果。

例如，设A、B表示自然数，如果定义符号「※」表示的运算如下：A※B＝3×A+4×B那么，根据新运算「※」的定义，就可以计算6※7如下：6※7＝3×6+4×7＝46。

如果定义符号「※」表示的运算为：A※B＝A÷B×2+3×A-2，那么，按此定义去计算4※2的话，就有：4※2＝4÷2×2+3×4-2＝2×2＋12－2＝14。

二.定义新运算需要注意的几个问题按照新定义的运算求某个算式的结果，关键是要正确理解这种新运算的意义，如上面举例中的运算符号「※」所表示的运算并不是一种固定的算法，而是因题而异，不同的题目有不同的规定，我们应当严格按不同的规定进行运算。

需要注意的是：（1）有括号时，应当先算括号里的；（2）新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用这些运算定律来解题。

（3）上面例举中所定义的运算使用了符号「※」来定义，但并不是说只有「※」才是规定运算的符号，可能用△，＃，…等符号。

符号的种类是次要的，符号所定义的运算按照怎样的程序来进行才是主要的。

三．典型例题例1设a，b表示整数(包括0)，规定「*」的运算为a*b＝a÷b×2+3×a-b，计算：169*13。

分析与解答动手算之前，先让我们弄清「*」是怎么一种运算程序，按规定，a*b的值是用a除以b，把商数乘2之后，再加上a的3倍，最后减去b，这些运算有两个特点：(1)各步运算都是大家熟悉的四则运算；(2)各步运算的先后次序要按规定的顺序办。

那么，根据「*」的规定，我们可以计算得到：169*13＝169÷13×2+3×169-13＝520。

第23周定义新运算专题简析我们学过常用的运算有加、减、乘、除等。

如6+2=8，6×2=12等。

都是2 和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。

由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。

对应法则不同就是不同的运算。

当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。

通过这个法则都有一个惟一确定的数与它们对应。

这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。

王牌例题1设a、b都表示数，规定是a△表示a的3倍减去b的2倍，a△b=a×3-b×2。

试计算：①5△6，②6△5。

疯狂操练1（1）设a、b都表示数，规定a○b=6×a-2×b。

试计算3○4。

（2）设a、b都表示数，规定a*b=3×a+2×b。

试计算①（5*6）*7，②5（6*7）（3）有两个整数是A、B、A▽B表示A与B的平均数。

已知A▽6=17，求A。

王牌例题2对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b+a+b，试计算6⊕2。

疯狂操练2（1）对于两个数a与b，a⊕b=a×b-（a+b）。

试计算3⊕5。

（2）对于两个数A与数B，规定AB=A×B÷2。

试计算6 4。

（3）对于两个数a与b规定a⊕b=a×b+a+b。

如果5⊕X=29，求X。

王牌例题3如果2△3=2+3+4，5△4=5+6+7+8，按此规律计算：3△5。

疯狂操练3（1）如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，按此规律计算：3▽4。

（2）如果2▽4=24÷（2+4），3▽6=36÷（3+6），按此规律计算：8▽4。

（3）如果2▽3=2+3+4，5▽4=5+6+7+8，且1▽X=15，求X。

王牌例题4对于两个数a与b，a□b=a+（a +1）+（a+2）+……+（a+b-1）。

定义新运算定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二 定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。

由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。

1、学过的运算：÷⨯+，，-，2、运算方式不同，对应法则也就不同。

3、一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算。

4、定义新运算：规定新的运算方法，与我们常用的÷⨯+，，-，这些运算不相同。

5、按照规定的法则带入数值。

专题1：简单定义新运算通关1、规定一种新运算a ★b =(a +b )÷(a -b )，求（3★2）★3的值。

通关2、如果6★2=6+7，4★3=4+5+6，3★4=3+4+5+6，求1★50的值。

通关3、一如果4★2=14，5★3=22，3★5=4，7★8=41，求6★9的值。

定义新运算通关4、a$b表示a的3倍减去b的一半。

计算10$6，5$（3$2）。

通关5、有一种运算符号“□”，使下式算式成立。

3□2=3×4，5□4=5×6×7×8，10□3=10×11×12，计算7□3，（10□2）□2。

专题2：根据定义，解方程通关1、如果a★b=a×b+a+b，通关如3★4=3×4+3+4=19，那么当（a★2）★1=29时，a的值是多少？通关2、设a*b表示a的3倍减去b的2倍，即a*b=3a-2b（1）计算（5*4）*3，5*（4*3）。

（2）已知x*(4*x)=11，求x。

通关3、两个不等的自然数a、b，较大的数除以较小的数，余数记为a↓b，如5↓2=1，7↓25=4。

（1）求1991↓2000，（5↓19）↓19 （2）已知11↓x=2，而x小于20，求x。

通关4、如果2▼3=2+3+4，5▼4=5+6+7+8。

（1）2▼x=20，x=? （2）x▼3=27，x=?通关5、对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1，g（b）=b×b。

（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；（3）已知f（x+1）=21，求x的值。

一、 新定义运算1. 设b a ,表示两个不同的数,规定b a b a 43+=∆，求6)78(∆∆。

答案：180。

解析：)78(∆=3×8+4×7=24+28=52652∆=3×52+4×6=156+24=1802. 定义运算⊖为a ⊖b =5×)(b a b a +-⨯，求11⊖12。

答案: 637。

解析： ×11×12-(11+12)=660-23=6373. b a ,表示两个数,记为:a ※b =2×b b a 41-⨯，求8※(4※16)。

答案：1953。

解析：4※16=2×4×16-41×16 =128-4=1248※124=2×8×124-41×124 =1984-31=19534. 设y x ,为两个不同的数,规定x □y 4)(÷+=y x ，求a □16=10中a 的值。

答案：24。

解析：因为a □16=10，即(a +16)÷4=10a +16=40a =40-16a =24。

5. 规定a ba b a b +⨯=，求2 10 10的值。

答案：731解析：从左到右依次计算。

2 10 10 =102102+⨯ 10 =321 10 =1032110321+⨯ =7316. 定义新运算x ⊕y x y 1+=，求3⊕(2⊕4)的值。

答案：316解析：3⊕(2⊕4)=3⊕412+=3⊕43=4313+ =434=3167. 有一个数学运算符号“⊗”,使下列算式成立:4⊗8=16，10⊗6=26，6⊗10=22，18⊗14=50，求7⊗3=?答案：17。

解析：因为4⊗8=4×2+8=16；10⊗6=10×2+6=26；6⊗10=6×2+10=22；18⊗14=18×2+14=50。

定义新运算导言在数学中，运算是一种数学操作，用于对数值或数值集合进行处理和计算。

常见的运算包括加法、减法、乘法和除法等。

然而，在某些场景下，常规运算无法满足需求，因此需要定义新的运算。

新运算的定义新运算是指不属于常规运算范畴的一种数学操作。

它可以对数值进行加工处理，从而获得满足特定需求的结果。

与常规运算不同的是，新运算可能具有不同的符号、规则和运算法则。

新运算的特点1.创新性：新运算是一种相对于常规运算的创新，它提供了新的数学方式和解决问题的途径。

2.特殊性：新运算通常具有特殊的性质和规则，与常规运算存在差异。

3.应用性：新运算在特定领域或问题中具有较高的应用价值，能够更好地解决特定问题。

新运算的例子例子一：矩阵运算矩阵运算是一种常见的新运算。

它对矩阵进行加、减、乘等操作，从而获得矩阵相加、相减、相乘后的结果。

矩阵运算在线性代数、计算机图形学等领域具有广泛的应用，例如图像处理、机器学习等。

例子二：向量运算向量运算是指对向量进行处理和计算的一种新运算。

它可以进行向量的加法、减法、点积、叉积等操作，从而获得向量的相加、相减、点积、叉积等结果。

向量运算在物理学、力学等领域具有重要的应用，例如力的合成、求解位置等。

新运算的运算法则新运算的运算法则是指确定新运算的规则和操作方式。

它可以保证新运算的正确性和可靠性。

不同的新运算可能有不同的运算法则，以下是一些常见的运算法则：1.封闭性：新运算中的结果仍然属于原有运算的数值集合。

2.结合律和交换律：新运算满足结合律和交换律，可以改变运算顺序或数值顺序而不影响结果。

3.幂等性：多次进行新运算的结果与一次运算的结果相同。

4.分配律：新运算与其他运算之间满足分配律，可以在不同运算之间进行组合。

结语通过定义新运算，我们可以拓展数学领域的研究和应用范围，寻找更加适用于特定问题的数学工具和方法。

新运算的引入和应用将促进数学学科的发展和创新，对于解决实际问题和推动科学进步具有重要的意义。

第 讲 定义新运算定义新运算是定义一种新的运算符号，并按新定义导出的一种运算。

解决这类问题一定要认真观察、分析新规定的条件，正确理解定义的运算符号的意义，严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为我们熟悉的加减乘除四则运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

基本思想：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

注意事项：1.正确理解定义的运算符号的意义。

2.新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

3.每个新定义的运算符号只能在本题中使用【例1】设a ，b 都表示数，规定a △b=a ×3-b ×2.（1）求4△3。

（2）求3△4.（3）求（17△6）△2 （4）求17△（6△2）【例2】设a ，b 都表示数，规定a △b 表示的b 的4倍减去a 的3倍，即a △b=b ×4-a ×3，试计算：（1）5△8。

（2）5△（8△7）。

【例3】按如下规律：1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，……试计算：5！=？【例4】如果3*2=3+33=36,2*3=2+22+222=246,1*4=1+11+111+1111=1234，那么4*5等于多少？【例5】规定运算“☆”为：若a ＞b ，则a ☆b=a+b ；若a ＜b ，则a ☆b=a ×b 。

那么，（2☆3）+（7☆5）结果是多少？【例6】对于两个数a,b ，a △b 表示a 除以b 的商与余数的和。

例如：4△3=2，2△3=2.（1）计算：1999△6 （2）计算：（188△3）△81.丹丹、妈妈、爸爸今年的年龄和是87岁，妈妈的年龄比丹丹年龄的3倍还大4岁，且比爸爸小2岁。

今年丹丹，妈妈，爸爸各多少岁。

2.元元对丹丹说：“我比你大8岁，2年后，我的年龄是你的年龄的3倍。

”那么，元元现在多少岁岁。

让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院Nice Education四年级数学思维训练定义新运算对于“加、减、乘、除”四则运算我们已经相当熟悉了。

为了扩展对运算的认识，在四则运算的基础上，还可以按需要规定新的运算。

例1设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b。

(1)求4△3，3△4。

(2)这种运算有“交换律”吗？(3)求(17△6)△2，17△(6△2)。

(4)这种运算有“结合律”吗？(5)如果已知5△b＝1，求b。

例2如果a＃b＝2×a＋3×b，a*b＝(a＋b)÷2，那么(3*5)＃7＝？例3规定：a＆b＝a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1)，其中a、b表示自然数。

(1)求1＆100的值；(2)已知x＆10＝75，求x。

让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院Nice Education 例4羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊和狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。

以上运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是狼和羊在一起就只剩下狼了。

小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号★表示：羊★羊＝羊；羊★狼＝羊；狼★羊＝羊；狼★狼＝狼。

这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走，而只剩下羊了。

对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。

运算的结果或者是羊，或者是狼。

那么求下式的结果：羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼)。

巩固练习1．设a、b都表示数，规定：a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b＝4×a－3×b。

试计算：(1)5△6；6△5。

2．a、b是自然数，规定a＊b＝a×5＋b÷3，求8＊9。

3．设a▼b＝8×a－18÷b，求7▼9＝？让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院Nice Education4．规定a☆b＝(a＋3)×(b－5)，求5☆(6☆7)的值。