集合的概念
1、集合的概念
（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.
（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.
（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
a?
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A
要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.
3、集合中元素的特性
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
4、集合分类
根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
{Φ，}0{，0等符号的含义
注：应区分Φ，}
5、常用数集及其表示方法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q
（5）实数集：全体实数的集合.记作R
注：（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*
高中数学专题-集合的概念及其基本运算 【考纲考点剖析】 考 点 考纲内容 5年统计 分析预测 1.集合间的 基本关系 1．了解集合、元素的含义及其关系。 2．理解全集、空集、子集的含义， 及集合之间的包含、相等关系。 3．掌握集合的表示法 (列举法、描述法、Venn 图)。 1.集合交、并、补的运算是考查的热点； 2.集合间的基本关系 很少涉及； 3.题型：选择题 4.备考重点： (1) 集合的交并补的混合运算； (2) 以其他知识为载体考查集合之间的关系； (3) 简单不等式的解法. 2.集合的基 本运算 1．会求简单集合的并集、交集。 2．理解补集的含义，且会求补集。 【知识清单】 1．元素与集合 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ?． (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示 数集 自然数 集 正整数 集 整数集 有理数 集 实数集 符号 N N *或 N ＋ Z Q R 2．集合间的基本关系 （1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合
A 包含于集合 B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集。记为A B ?或B A ?． （2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ?，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集。记为A B ?≠． （3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集． （4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 3．集合的运算 (1)三种基本运算的概念及表示 名称 交集 并集 补集 数学 语言 A∩B={x|x ∈A,且x ∈B} A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B} C U A={x|x ∈ U,且x ?A} 图形 语言 （2）三种运算的常见性质 A A A =I ， A ?=?I ， A B B A =I I ， A A A =U ， A A ?=U ， A B B A =U U ． (C A)A U U C =，U C U =?，U C U ?=． A B A A B =??I , A B A B A =??U , ()U U U C A B C A C B =U I , ()U U U C A B C A C B =I U ． 【重点难点突破】 考点1 集合的概念 【1-1】【全国卷II 理】已知集合，则中元素的 个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A
函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (5)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3. 相同函数的判断方法：（满足以下两个条件） ①定义域一致 (化简前) ②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； 4．值域：先考虑其定义域 （1）图像观察法（掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、
)0,(>+ =b a x b ax y 三角函数等的图像，利用函数单调性） （2）基本不等式 （3）换元法 （4）判别式法 5. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x ，y)的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C 上每一点的坐标(x ，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y)均在C 上 . (2) 画法 描点法 图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换 伸缩变换 对称变换 6．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示． 7．映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f （对应关系）：A （原象）→B （象）” 对于映射f ：A →B 来说，则应满足： (1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；
高中数学《集合》测试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）） 2．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A (A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］(2006年高考浙江理) 3．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是（ ） (A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2006辽宁理) 4．已知集合M ={x |x 2＜4}，N ={x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( ) A.{x |x ＜－2} B.{x |x ＞3} C.{x |－1＜x ＜2} D.{x |2＜x ＜3}（2004全国Ⅱ1） 5．若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012江西理） C 6．设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4） 7．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为实数集R ，则a 、b 、c 应满足的条件为-----------------------------------------------------------------------（ ） （A ） a ＞0，b 2―4ac ＞0 （B ） a ＞0，b 2 ―4ac ＜0 （C ） a ＜0，b 2―4ac ＞0 （D ） a ＜0，b 2―4ac ＜0 二、填空题 8．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{}321,,a a a A =，则满足
2019-2020学年高一数学《集合及其运算》全套讲义 知识点总结及例题讲解 一、集合的含义 1.集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 2．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A. (2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作a?A. 3.常见的数集及表示符号 【例1】 ①中国各地最美的乡村； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数； ④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． A．③④B．②③④ C．②③D．②④ B[①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.] 判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合； (2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合； (3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素． [解](1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合． (2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合． (3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素． 【例2】 ①π∈R；②2?Q；③0∈N*；④|－5|?N*. A．1B．2 C．3D．4 (2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为() A．2 B．2或4 C．4 D．0 (1)B(2)B[(1)①π是实数，所以π∈R正确； ②2是无理数，所以2?Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|?N*错误．故选B. (2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A， 所以a＝2， 或者a＝4∈A,6－a＝2∈A， 所以a＝4， 综上所述，a＝2或4.故选B.] 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤
9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题（每题3分，共18分） 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|2 0x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题（每题10分，共40分） 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式
高一数学必修一《集合》专题复习 一．集合基本概念及运算 1．集合{}1,2,3的真子集的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．已知{}{}1,2,3,2,4A B ==，定义{}|A B x x A x B -=∈?且，则A B -= A. {}1,2,3 B. {}2,4 C. {}1,3 D. {}2 3.已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=, 那么集合N M ?为 （ ） A. 3,1x y ==- B. {}(,)|31x y x y ==-或 C. (3,1)- D. {(3,1)}- 4．已知集合2{|2,}M y y x x ==-+∈R ，集合}{|2,02x N y y x ==≤≤,则 ()M N =R e（ ） A ．[]1,2 B ．(]2,4 C ．[)1,2 D ．[)2,4 5.已知{}{}222,21x A y y x x B y y ==-++==-，则A B = _________。 6、已知R x ∈ ，集合{}{}11231322+--=+-=x ,x ,x B ,x ,x ,A 如果{}3A ?B =-，求x 的值和集合A?B ． 7. 已知{}23,(5,)A x a x a B =≤≤+=+∞，若,A B =? 则实数a 的取值范围为 ▲ . 8．已知集合，，且，求实数 的取值范围。 9．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{} 2|(1)0B x x m x m =+++=； 若A B ?，求m 的值。 10.已知集合{}{}{}|28,|16,|A x x B x x C x x a =≤≤=<<=>，U R =. (I)求A B ， U C A B ；(II)若A C ≠? ,求实数a 的取值范围．
专题21 期中复习 知识梳理 一、集合与命题 1．区分集合中元素的形式： 2．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性． 3．集合的性质：① 任何一个集合P 都是它本身的子集，记为P P ?． ① 空集是任何集合P 的子集，记为P ??． ① 空集是任何非空集合P 的真子集，记为P ? ． 注意：若条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了?=A 的情况． 集合的运算：①()()C B A C B A =、()()C B A C B A =； ()( )( )U U U A B A B =、 ()( )( )U U U A B A B =． ①U U U A B A A B B A B B A A B =?=??? ? ?=?． ①对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为：n 2、12-n 、12-n 、22-n ． 4．命题是表达判断的语句．判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题． ① 命题的四种形式及其内在联系：
原命题：如果α，那么β； 逆命题：如果β，那么α； 否命题：如果α，那么β； 逆否命题：如果β，那么α； ① 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲?乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题． ① 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题． ① 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑． 5．常见结论的否定形式： 6．充要条件： 在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性： 首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果． 二、不等式
高一数学集合练习题专题训练 姓名班级学号得分 说明： １、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟。 ２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题（共__小题） 1．下列写法： （1）{0}∈{1，2，3}；（2）??{0}；（3）{0，1，2}?{1，2，0}；（4）0∈? 其中错误写法的个数为（） A．1B．2C．3D．4 2．已知集合M={a|a=+，k∈Z}，N={a|a=+，k∈Z}，则（） A．M=N B．M?N C．N?M D．M∩N=? 3．下列各式正确的是（） A．2?{x|x≤10}B．{2}?{x|x≤10}
C．?∈{x|x≤10}D．??{x|x≤10} 4．下列各式：①1∈{0，1，2}；②??{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2004}；④{0，1，2}?{0，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 5．设A、B是两个集合，对于A?B，下列说法正确的是（） A．存在x0∈A，使x0∈B B．B?A一定不成立 C．B不可能为空集D．x0∈A是x0∈B的充分条件 6．设U为全集，集合M、N?U，若M∪N=N，则（） A．?U M?（?U N）B．M?（?U N）C．（?U M）?（?U N）D．M?（?U N） 7．设集合A={（x，y）|-=1}，B={（x，y）|y=}，则A∩B的子集的个数是（）A．8B．4C．2D．1 8．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}的子集个数是（） A．5B．8C．16D．32 9．下列四个集合中，是空集的是（） A．{0}B．{x|x＞8，且x＜5} C．{x∈N|x2-1=0}D．{x|x＞4} 10．已知集合A={x|＜-1}，B={x|-1＜x＜0}，则（） A．A B B．B A C．A=B D．A∩B=? 11．已知集合A={1，2，3}，则B={x-y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（）
心智家三优教育高一特训营数学教学进度表
¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或 N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈， 2N -?. ¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2 y x =的自变量的值组成的集合. *【例4】已知集合2{| 1}2 x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．
1.1集合间的关系与基本运算 命题角度1集合的表示、集合之间的关系 高考真题体验·对方向 1.(全国Ⅰ·1)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为 () A.5 B.4 C.3 D.2 答案 D 解析由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14.所以A∩B={8,14}.故选D. 2.(全国Ⅰ·1)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1
高中数学专题讲义:如何破解集合间的关系类问题 考纲要求: 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 基础知识回顾:集合与集合之间的关系 1．集合间的基本关系 表示 关系 文字语言符号语言 集合间 的 基本关 系 相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A?B 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至 少有一个元素不是A中的元素 A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 2.集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x ∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x ∈B} ?U A＝{x|x∈U，且x?A} 3. 并集的性质:A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A． 交集的性质:A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B． 补集的性质:A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A． 应用举例: 招数一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解． 【例1】【青海省西宁市高三下学期复习检测二】已知全集，集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为（）
A. B. C. D. 【答案】A 【例2】【安徽省安庆市第一中学高三热身考试】已知全集，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:求出函数的值域可得集合，解不等式可得集合，然后可求出． 详解:由题意得， ． ∴． 图中阴影部分所表示的集合为， ∴． 故选B． 点睛:本题考查函数值域的求法、不等式的解法和集合的运算，解答的关键是正确理解图中阴影部分所表示的集合的含义． 【例3】【宁夏石嘴山市第三中学高三下学期第三次模拟考试】设全集U＝R，集合
2019年专项训练 （集合真题版本）（含答案） 一、选择题（本大题共17小题，共85分） 1.设集合A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|2x-3＞0}，则A∩B=（） A. B. C. D. 2.已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（） A. 0，1，2， B. 0，1， C. 2， D. 3.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（） A. B. C. 1，2， D. 0，1，2， 4.已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（） A. B. C. D. 5.设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则?A B=（） A. B. C. 6， D. 4，6，8， 6.设集合A={1，2，4}，B={x|x2-4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（） A. B. C. D. 7.设集合S={x|（x-2）（x-3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（） A. B. C. D. 8.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（?U P） ∪Q=（） A. B. C. 2，4， D. 2，3，4， 9.设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（） A. B. C. D. 10.设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则 A. B. C. D. 11.设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则?U（A∪B）= （） A. B. C. 3，4， D. 2，4， 12.已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（） A. B. 或 C. D. 或 13.已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪（?R Q）=（）
弹性学制数学讲义 集合（4课时） ★知识梳理 一：集合的含义与表示 1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A ，B ，C ，D ，… 集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a ，b ，c ，d ，… 2.集合中元素与集合的关系： 文字语言 符号语言 属于 ∈ 不属于 ? 即：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ， 记作 a ∈A ， a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ， 记作 a A 3.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book 中的字母构成的集合 元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 4.常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N *N 或+N Z Q R C 5、集合的分类 原则：集合中所含元素的多少 ①有限集 含有限个元素，如A={-2，3} ②无限集 含无限个元素，如自然数集N ，有理数 ③空 集 不含任何元素，如方程x 2 +1=0实数解集。专用标记：Φ
注：?与{}?不同，?∈{}? 6.集合的3 种表示方法：列举法、描述法、图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。 例:“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆} 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。 格式：{x∈A| P（x）} 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。 例:不等式12 x+<-的解集可以表示为：{|12} x R x ∈+<-或{|3,} x x x R <-∈图示法： 韦恩图(Venn图)：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。 数轴法：{x∈R|3 数学集合专题突破一集合与函数知识 集合 定义 特征 一组对象的全体形成一个集合 确定性、互异性、无序性 表示法 分类 列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P} 有限集、无限集 数集 关系 自然数集N、正整数集、整数集Z、有理数集Q、实数集R、空集φ 元素和集合的关系是如 集合与集合之间的关系是 运算 性质 交集 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；并集 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}； 补集＝{x|xA且x∈U}，U为全集 AA； φA；若AB，BC，则AC； A∩A＝A∪A＝A； A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝AA∪B＝BAB； A∩CA＝φ； A∪CA＝I；C( CA)＝A 方法 韦恩示意图数轴分析 注意：① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ4. ③ 对于任意集合，则 ；； ④ 若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非 空子集的个数是，所有非空真子集的个数是。 若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空子集的个数是，所有非空真子集的个数是。 二集合解题方法 1 取特殊值应用列举法已知则（）。 2 取特例应用特殊化法例：设均为非空集合，且满足则下列各式中错误的是（）。 3 应用有限集合子集个数公式对于有限集合中共有个元素，常有下面四个结论：的子集个数有个；的非空子集个数有个；的真子集个数有个；的非空真子集个数有个。适当应用上述四个结论，可以很容易的解有关问题。 例：已知为常实数，那么集合的子集的个数是 4 分类逐一验证法例：集合若则实数的值为 5 分类讨论例：已知。（1）若A 中只有一个元素，求的值，并求出这个元素。（2）若A 中至少有一个元素，求的取值范围。 6 应用方程的思想利用集合关系，建立一些方程关系式，通过解方程或应用方程有关性质结合集合中元素的互异性等解决某些问题，是一种重要的思想方法。 例：已知其中若，求之值。 本讲主要学习集合含义与表示，集合基本关系，集合基本运算三个方面，集合表示法一般含有_______和_______两种，通过学习要了解这两种方法的区别与联系，在此之外还学习了集合间的包含关系与相等关系，以及集合间的并集、交集、补集的含义，通过本部分的学习，同学们要了解集合的含义，能用Venn图表示集合的关系及运算。 一、重难点知识归纳 (一)元素与集合的含义 元素: 研究的对象 集合概念: 一些________组成的总体(简称集) 属于: 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作________。 (二)列举法与描述法 列举法: 把集合的元素一一列举出来，并用_______括起来表示集合的方法叫做列举法. 描述法: 用集合所含元素的_________表示集合的方法称为描述法. 在学习过程中，我们要学会如何选择表示法表示集合，列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法。一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用_________，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用_________表示。 (三)子集、真子集、空集 子集: 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的_______元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B的________，记作________,读做“A包含于B”(或“__________”). 真子集: 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的_________，记作____________ 空集:_________的集合叫做空集，记作________，并规定：空集是任何集合的___________ Venn图: 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 学习这几个概念时，应注意一下几点： ①若集合A是集合B的真子集，那么集合A必是集合B的_________，反之则不一定。 ②若集合A与集合B中的元素是一样的，则集合A与集合B________。 ③元素与集合之间是__________关系，而集合与集合之间则是___________关系，如设A={a},B={a,b}，则有a____B，A_____B ④集合中元素的特征:_________；_________；_________ 5、如果集合A中有n个元素，则A的子集个数是__________，真子集个数是___________。 (四)并集、交集、补集 第一讲 集合 知识要点一： 集合的有关概念 ⑴某些指定的对象集在一起就成为一个集合，这些研究对象叫做元素。 ⑵集合中元素的特性：?? ? ??的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素 注意：这三条性质对于研究集合有着很重要的意义， 经常会渗透到集合的各种题目中，同学们应当重视。 ⑶元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作：A a ∈ ②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：A a ? （注意：属于或不属于（?∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上） ⑷集合的分类：集合的种类通常分为：有限集（集合含有有限个元素）、无限集（集合含有无限个元素）、空集（不含任何元素的集合，用记号?表示） ⑸集合的表示： ①集合的表示方法： 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。例：{ }2,1=A 描述法：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：{} 4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。 图示法（即维恩图法）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。 ②特定集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N * ；整数集记 作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。（这些特定集合外面不用加{}） 高考要求：理解集合的概念，了解属于关系的意义，掌握相关的术语符号，会表示一些 简单集合。 例题讲解： 夯实基础 一、判断下列语句是否正确 第1讲集合 理清双基1、集合的有关概念 （1）、集合的含义与表示：研究对象的全体称为集合。对象为集合的元素。通常用大写字母A 、B 、C 、D 表示。元素与集合的关系∈与? （2）、集合元素的特征（三要素）：①确定性：②互异性：③无序性： 【例】1.设R b a ∈,，集合},, 0{},,1{b a b a b a =+，则=-a b ________.（3）、集合的分类：①有限集②无限集③空集：? （4）、集合的表示方法:①自然语言②列举法③描述法④venne 法【例】2.分析下列集合间的关系 } 1{2+==x y y A }1{2+==x y x B }1),{(2+==x y y x C } 1{2+==x t t D 3.集合}{抛物线=A }{直线=B ，则B A 的元素个数下列说法正确的是（） 一个（B ）二个 （C ）一个、二个或没有（D ）以上都不正确 变式：集合})0(),{(2 ≠++==a c bx ax y y x A })0(|),{(≠+==k b kx y y x B ，则B A 的元素个数为（ ） 说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。2.集合间的关系 （1）子集：（2）相等关系：（3）真子集： 说明：任何一个集合是它本身的子集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。【例】4.设???? ??∈+= =Z k k x x M ,412,? ?????∈+==Z k k x x N ,21 4，则M 与N 的关系正确的是（ ）A.N M = B.N M ≠ ? C.N M ≠ ? D.以上都不对 5.已知集合}.121|{},72|{-<<+=≤≤-=m x m x B x x A 。若A B ?，则实数m 的取值范围是( )A ．4 3≤≤-m B ．43<<-m C ．4 2≤ 第1页（共2页） 高中数学学科测试试卷：集合专题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共5小题，每题5分，共25分） 1．已知集合A={x|x 2-5x+6＜0}，B={x|x ＜}，若A ?B ，则实数a 的范围为（ ） A ．[6，+∞） B ．（6，+∞） C ．（-∞，-1） D ．（-1，+∞） 2．设A={（x ，y ）||x+2|+ =0}，B={-2，-1}则必有（ ） A ．A ?B B ．A ?B C ．A=B D ．A ∩B=? 3．下列各式：①1∈{0，1，2}；②??{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2004}；④{0，1，2}?{0，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．设集合P={x|x 2+x -6=0}，则集合P 的元素个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．已知集合 ，集合，则（ ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 6．已知集合A={x|x=a+b ，a ，b ∈Z}，则+1______A （填“∈”或“?”）． 7．设-5∈{x|x 2-ax -5=0}，则集合{x|x 2-4x -a=0}中所有元素之和为______． 8 ．设i 是虚数单位，M={1，2，（a 2-3a -1）+（a 2-5a -6）i}，N={1，2，3，4}，M ?N ，则实数a=______． 选择填空答题区 三．简答题（共2小题，每题10分，共20分） 9．已知集合A={0，2a-1，a2}，B={a-5，1-a，9}，分别求符合下列条件的a的值．（1）9∈（A∩B）； （2）{9}=A∩B. 10．已知集合A={y|y=-x2-2x+2，x∈[-2，1]}，B={x||x-m|≥3}， （1）若A∩B=?，求实数m的取值范围； （2）A∪B=B，求实数m的取值范围． 第2页（共2页） 高一数学集合易错题汇总及详解 1. 已知2{1,},{1,}M y y x x R P x x a a R ==-∈==-∈,则集合M 与P 的关系是( A ) A. M=P B. P R ∈ C . M ?≠P D. M ?≠P 2. （本题满分20分）已知由实数组成的集合A 满足:若x A ∈,则 11A x ∈-. (1) 设A 中含有3个元素,且2,A ∈求A; (2) A 能否是仅含一个元素的单元素集,试说明理由. 2. 解析：（1）2A ∈ 112A ∴∈-,即1A -∈,11(1)A ∴∈--, 12 A ∈即, 1{2,1,}.2 A ∴=- （2）假设A 中仅含一个元素，不妨设为a, 则1,1a A A a ∈∈-有 又A 中只有一个元素 11a a ∴=- 即210a a -+= 此方程0?<即方程无实数根. ∴不存在这样的a. 3 （本题满分20分） 设}01)1(2|{},04|{222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，若B B A =?，求a 的值 3. 解析：∵ B B A =? ∴ B ?A , 由A={0，-4}，∴B=Φ，或B={0},或B={-4}，或B={0,-4} 当B=Φ时，方程01)1(222=-+++a x a x 无实数根，则 △ =0)1(4)1(422<--+a a 整理得 01<+a 解得 1- 题型一 子集与真子集 【例1】下列四个命题：①＝Φ｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两 个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【例2】用适当的符号填空 ⑴ {1}___2{|320}x x x -+= ⑵ {1,2}___2{|320}x x x -+= ⑶ {|2,}x x k k =∈N ___{|6,}x x ττ=∈N ⑷ ?___2{R |20}x x ∈+= 【例3】用适当的符号填空： ⑴ ___{0}? ⑵ 2___{(1,2)} ⑶ 0___2{|250}x x x -+= ⑷ {3,5}____2{|8150}x x x -+= ⑸ {3,5}___N ⑹ {|21,}___{|41,}x x n n x x k k =+∈=±∈Z Z ⑺ {(2,3)}___{(3,2)} 【例4】若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ） A ．0X ? B ．{}0X ∈ C ．X ?∈ D ．{}0X ? 【例5】用适当的符号填空 ⑴{}()(){}3______|2,1,2____,|1x x x y y x =+≤ ⑵{} 25_______|23x x +≤+， ⑶{}31|,_______|0x x x x x x x ?? =∈-=???? R 典例分析 板块二.集合之间的关系 【例6】下列说法中，正确的是（ ） A ．任何一个集合必有两个子集； B ．若,A B =?I 则,A B 中至少有一个为? C ．任何集合必有一个真子集； D ．若S 为全集，且,A B S =I 则A B S == 【例7】已知集合2{,,2},{,,}A a a d a d B a aq aq =++=，其中0a ≠，且A B =，则q 等于 ___． 【例8】设{|13},{|}A x x B x x a =-<<=>，若A B ，则a 的取值范围是______ 【例9】已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?，求m 的取值范围． 【例10】设集合1 ,,}22 {|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）. 【例11】若集合2{|20}M x x x =-->，{|10}T x mx =+<，且M T ?．求实数m 的取值 范围． 【例12】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ?，求实数a 的值. 【例13】已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m 2－3m ≤0，x ∈ R ，m ∈R }，全集为R ，若A ??R B ，则实数m 的取值范围是 【例14】已知集合A ＝{} 20,,x x ax a x R a R -+<∈∈，Z ＝{}整数，全集为R ，若 }{0A Z R ??=，则实数a 的取值范围是 ． A B B A A B A B A ． B ． C ． D ．高中数学集合专题突破
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