高一数学必修一集合专题训练
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1.1集合
重点难点：
（掌握）集合中元素的特性 ①确定性 ②互异性 ③无序性；
（理解）集合的表示方法 ①自然语言法 ②例举法 ③描述法 ④图示
法；
一、对集合元素特征的理解：
（1）确定性是集合的最基本特征，没有确定性就不能成为集合。例如“课本中
的难题”“聪明的孩子”，其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊，故都不能
构成集合。
（2）互异性是判断能否构成集合的另一标准，也是三大特性中最容易被忽视的
性质。例如：构成集合{good中的字母}的元素是g，o，o，d，这句话是不对的，
因为在这个单词中，字母“o”虽然出现了两次，但如果归入集合中只能算作一
个元素，根据互异性，正确的说法应为{good中的字母}的元素有3个，分别为g，
o，d。
（3）无序性主要应用在判断两个集合是否相等方面。只要构成两个集合的元素
是一样的，就称这两个集合是相等的。
例题1、已知2是由0，m，m2-3m+2三个元素构成的集合A中的元
素，求m的值？
二、元素与集合的关系
元素与集合有“属于”和“不属于”两种关系，判断一个元素是否属于集
合，一是明确集合中所含元素的共同特征；二是看元素是否满足集合中元素的共
同特征，满足即为属于关系，不满足即为不属于关系。
例题2、
（1）设集合D是满足方程y=x2的有序实数的集合,则-1 D,(-1，1) D;
（2）
设2531x ，π23y ，集合},,2/m{QbQabamM，
则x M, y M.
（3）已知.},,2/x{ZnmnmxA
①设2321231x249x2431x）（，，，试判断x1，x2，x3与A之间
的关系？
②任取x1，x2∈A，试判断x1+x2，x1x2与A的关系？
（4）数集A满足条件：若a∈A,则）1(a1a1aA，若31∈A，求集合中的其他
元素？
（5）设实数集S是满足下面两个条件的集合：①1?S；②若a∈S，则Sa11.
1、求证：若a∈S，则Sa11；
2、若2∈S，则在S中必含有其他的两个数，试求出这两个数；
3、求证：集合S中至少有三个不同的元素.
三、集合的表示方法
方法 意义 优点 缺点
列举法 把集合的所以元素都列出来，并写在{}内表示集合的方法 方便，快捷，集合的元素可以一目了然 不易看出元素所
具有的属性，且有
些集合是不能用
列举法表示的，如
3x-2＞0的解集
描述法 用集合所含元素的共同特征来表示集合。基本的形式为{x∈A/f(x)},x是集合的代表元素，集合A是x的取值范围，f（x）是集合中元素所具有的共同特征 语言简洁、抽象，元素的规律与性质能清楚地表露出来 不易看出集合的
具体元素
图示法(Venn图用平面内一条封直观，形象 只能作为解题的
法） 闭曲线的内部表示一个集合 辅助工具
例题三：用合适的方法表示下列集合
1、平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；
2、100以内被3除余1的正整数；
3、二次函数y=x2-1图像上所有的点组成的集合；
四、在研究和学习集合问题是，要正确理解集合的含义，明确代表元
素的含义，即元素是什么，具备哪些性质，是否满足元素的三个特征。
例题四：下列四个集合：
}1x{y}1xy/yx{};1/{y}1/{2222；④），（③；②①xyxyx
（1）它们各自的含义是什么？
（2）它们是不是相同的集合？
五、分类讨论思想
运用分类讨论来解决问题是，把问题进行科学的划分十分必要，必须遵循不
重不漏和最简的原则。（关键有二：一正确分类；二将所求值回代检验，否则易
产生错解。）
例题五：
（1）已知A={a-1,2a2+5a+1，a2+1}，且-2∈A，求a的值？
（2）已知f（x）=x2-ax+b（a，b∈R），A={x/f(x)-x=0,x∈R}，B={x/f(x)-ax=0,x
∈R}.若-3∈A，1∈A，试求集合B.
（3）设A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}.
1、当A中元素个数为1时，求a和A；
2、当A中元素个数至多为1时，求a的取值范围；
3、求A中各元素之和.
六．集合的新定义问题
“新定义”问题，就是在现有的运算性质和运算规律的基础上定义一种新
的运算，并运用它解决相关的问题。“新定义”题目形式新颖，强调能力立意。
常见的新定义问题有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型。
例题六：
（1）已知有限集A={a1、a2、a3,...an}(n≥2）。如果A中元素满足
a1a2a3....an=a1+a2+a3+...+an，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合{251251，}是“复活集”；
②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；
③若a1，a2∈N+,则{a1，a2}不可能是“复活集”。
其中正确的结论有 。
（2）定义集合运算：A*B={Z/Z=xy，x∈A，y∈B}。设A={1，2},B={0，
2},则A*B的所以元素之和为 。
（3）【2015.湖北高考】已知集合A={（x，y）/x2+y2≤1，x，y
∈Z}，B={（x，y）/Zyx2y2x，，，},定义集合AB={（x1+x2，y1+y2）
/(x1,y1)∈A，（x2，y2）∈B},则AB中元素的个数为 。
