一笔画问题中偶点和奇点分别指什么

1、什么叫一笔画：从图形的某一点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复地经过图形上所有部分中的线段，这样画成的图形叫做一笔画。

2、奇数与偶数用2除商是整数而没有余数的数叫偶数。

如2、4、6、8、10……用2除不能整而有余数的数叫奇数。

如1、3、5、7、9、11……3、奇点与偶点从一点出发的线有奇数条，就称这一点为奇点。

如┷从A点出发的有3条线。

从一点出发的线有偶数条，就称这一点为偶点。

如┿从B点出发的有4条线。

4、判断一个图形能否一笔画的条件：a．图形中的交点都是偶点时，可以一笔画成这一图形。

画时可以从任意一交点出发，再回到这个点b．图形上的交点，只有两个奇点时，可以一笔画成。

画时，必须从一个奇点出发，回到另一个奇点结束，如果交点多于两个奇点的图形不能一笔画成。

第 1 页共3 页第 2 页 共 3 页1、下面那个图形能一笔写出？田 串 品 曲 日 目2、下面那个图形可以一笔画出？3、下面的图形至少用多少笔才能画出：4、小明和小强赛长跑，赛跑的路线如图，如果两人速度相同。

小明从A 点出发，小强从B 点出发，两人都要跑遍所有道路，最后到达M 点。

那么谁能最先到达M 点？5、李奶奶在街心花园的小路上散步（如下图），她能不能一次不重复地走遍所有的路？如不能，就选择怎样的路线才能使全程最短？6、图是某公园的道路平面图，要使游客不重复走遍所有的路，出入口应设在何处？ADGB7、的每条线都表示一条街道，线上的数字表示这条街道的千米数。

邮车从邮局出发，要走遍各条街道，最后回到邮局。

问：邮车就怎样走，线路才最合理？315148、18世纪，东普鲁士的哥尼斯堡是一座美丽的城市。

流经这里的一条布勒格河穿过城区，河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸联系起来（如下图）。

那里风景优美，游人众多，在这个美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能不重复地走遍七座桥，最后又回到出发点呢：同学们，你们能回答这个问题吗？河岸Array河岸第 3 页共3 页。

一笔画问题
—— 刘 涛
18世纪，瑞士著名的数学家欧拉找到了一笔画的规律：能一笔画成的图形上的点，除了起点与终点以外，每个点都应该与偶数条线相连，这种点叫偶数点。

与奇数条线相连的点叫奇数点。

能一笔画成的图形中除了起点与终点以外不应有奇数点。

数学题类型名，最著名的是七桥问题（欧拉解答）。

一笔画的概念是讨论某图形是0否可以一笔画出。

图形中任何端点根据所连接线条数被分为奇点、偶点。

只有所有点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以一笔画。

只有偶点的图形不限出发点，只有两个奇点必然从其中一点出发到另一点结束。

在任何图形中，奇点都是成对出现的，没有奇数个奇点的图形。

⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

⒊其他情况的图都不能一笔画出。

(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。

)
二．判断
一．七桥问题
三．生活应用
【题目】：下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路而又不重复，出、人口应该设在哪里？
【解析】：
要使游客走遍每一条路而又不重复，也就是一笔画出上图，公园的出入口就是一笔画的起点和终点。

观察图形，图中只有I 和E 两个奇点（每个点连接3条线），因此公园的出入口应设在这两个点上，以其中一个点为入口，以另一个点为出口。

四．小试牛刀。

第三讲一笔画和多笔画【知识要点】1、与奇数条边相连的结点叫做奇点，与偶数条边相连的点称为偶点2、一笔画指：下笔后笔尖不能离开纸，每条线都只能画一次而不能重复。

欧拉定理：①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

②凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

③其他情况的图，都不能一笔画出。

3、多笔画：不能一笔画成的图，归纳为多笔画，奇点个数是研究多笔画问题的关键对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.公式如下：奇点数÷2=笔画数，即2n÷2=n。

【例题】例1、下列图形中。

请找出每个图的奇点个数，偶点个数。

试一试哪些可以一笔画出，请填表，从中你能发现什么规律？例2、右图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？A 岛 D 岸B 岛C 岸 例3、右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？例4、著名的“哥尼斯堡七桥问题”：故事发生在18世纪的哥尼斯堡城.流经那里的一条河中有两再架一座桥，能否不重复地一次走遍这八座桥？这座桥可以架在哪里？请你在右图上试一试！例5、观察下面的图，各至少用几笔画成？例6、判断右图能否一笔画成；若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？请想出两种方法【池中戏水】1.观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.2、右图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出来吗？3、一张纸上画有如右图所示的图，你能否用剪刀一次连续剪下图中的三个正方形和两个三角形？4、右图是一个公园的平面图.要使游客走遍每条路而不重复，问出入口应设在哪里？5、下图是某少年宫的平面图，共有五个大厅，相邻两厅之间都有门相通（D与E两厅除外），并且有一个入口和一个出口.问游人能否从入口入，一次不重复地穿过所有的门？如果可以，请指明穿行路线；如果不能，请你想一想，关闭哪扇门后就可以办到？【江中畅游】1、右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度。

一笔画问题画一个图案，如果用笔既不重复也不遗漏，纸不离笔，一笔画成，那么就称这个图案是一笔画图案.现在我们来研究的问题是：（1）怎样的图案才能一笔画成？（2）如果一个图案能一笔画成，那么该从哪里起笔到哪里收笔？需提醒大家的是，这些问题与图案中的“奇点”的个数有关.何谓奇点呢？我们知道，任何图案都是由线条（直线或曲线）连成的.在图案中，由三条或三条以上的方向各不相同的线连接在一起的点叫做图案点，通过图案点的线是奇数条就称奇点（当然，通过图案点的线是偶数条就称偶点，现在只需回答前面的问题而与偶点无关）.例如，在下面各图案中的奇点个数见统计表（请读者对照图案辨认奇点）.统计表：接着就请读者朋友拿起你的笔来逐个试画以上各图案，看能否一笔画成，将结论填在统计表内.并注意体会能一笔画的图案应该怎样画.最后，请根据上表归纳出前面两个问题的答案.【规律】（1）奇点数为0或2的图案可以一笔画成.奇点数多于2的图案不能一笔画成.（2）画奇数为0的图案时，可以选择任意点起笔都能一笔画成；画奇数为2的图案时，必须选择其中的一个奇点起笔，而到另一个奇点收笔才能一笔画成.【练习】1.下面各图案，能一笔画出来吗？试一试.2.容易看出，下面的两个图案都不能一笔画成，请在每个图案上各补画一条线就能使新图案一笔画成了.会吗？3.这是大数学家欧拉曾经研究过的一个著名数学问题----七桥问题.东普士的多尼斯堡城中有一条横贯城区的河流，河上有两个岛，两岸和两岛之间共架有七座桥、如下图所示：问人们能不重复地走遍这七座桥吗?4.回龙州公园的游览点与路线示意图如下.如果要使游人游完所有的游览点而不重复行走的路线，请问入口处和出口处应该设在什么位置?如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。

显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。

同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。

叙述欧拉关于一笔画问题的结论
能一笔画成的图形上的点,除了起点与终点以外,每个点都应该与偶数条线相连,这种点叫偶数点。

与奇数条线相连的点叫奇数点。

能一笔画成的图形中除了起点与终点以外不应有奇数点。

数学题最著名的七桥问题（欧拉解答）。

一笔画的概念是讨论某图形是否可以一笔画出。

图形中任何端点根据所连接线条数被分为奇点、偶点。

只有所有点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以一笔画。

只有偶点的图形不限出发点,只有两个奇点必然从
其中一点出发到另一点结束。

在任何图形中,奇点都是成对出现的,没有奇数个奇点的图形。

根据以上欧拉解答原理，可以得出以下三个结论。

1、凡是由偶点组成的连通图,一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点,最后一定能以这个点为终点画完此图。

2、凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点）,一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点,另一个奇点终点。

3、其他情况的图都不能一笔画出。

(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。

)。

一笔画问题中偶点和奇点分别指什么?
奇点：从这一点出发的线段数为奇数条
偶点:从这一点出发的线段数为偶数条
一笔画中可以有0个奇数点(就是在一幅图中，没有奇数点,全部为偶数点，如图二)或者2个奇数点
一笔画问题就是判断奇点的个数，要是0或2，就可以一笔完成，大于2，就不能了，还可以做推广,比如奇点数为4，要2笔；为6，要3笔
而且在存在奇点的情况下，一定要从奇点出发。

如下图，圆圈所示即为偶点；方框所示,即为奇点。

左图奇点数为2，可以一笔画；图二没有奇点（就是所谓0奇点），也可以一笔画完成。

1.一笔画问题中的奇点和偶点是什么，如何判断这个是不是奇点，
是不是偶点，它们有什么特点?
解:由一点引出的线段为奇数个，则这个点为奇点
由一点引出的线段为偶数个,则这个点为偶点
一个图形判断能否被一笔画下来，关键是看奇点的个数：
当奇点为0个或者2个时（不可能为一个，奇点都是成对出现)，可以被一笔画下来,反之则不能。

3.奇点的个数是0或2的图形可以一笔画.例如“ 口”的每个点都有2条线，那么这4个点都是偶数点，奇点为0，所以可以一笔画. “一 "有2个点，每个点有一条线，所以这两个点都是奇点 ,奇点个数为2，所以可以一笔画.奇点，偶点简单说就是看这个点上连接的有几条线。

连接奇数条线的点就是奇点,连接偶数条线的就是偶点。

一笔画问题 Company number：【WTUT-WT88Y-第三节一笔画问题从图形上的某一点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复地经过图形上所有部分，这样画成的图形叫做一笔画。

奇数点：与奇数条线段相连的点。

偶数点：与偶数条线段相连的点。

一笔画图形有如下三条规律：1、凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成，画时可以从任意一个双数点为起点，最后仍回到这点，如图（1）2、凡是图形中只有两个单数点的一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一个单数点为终点，如图（2）3、凡是图形中单数点的个数多于两个时此图形不能一笔画成，如图（3）（1）（2）（3）解题方略：判断一幅图能否一笔画的关键1、一笔画的前提：必须是连通图；2、砍图中是否有奇点，有，有几个。

例题解析：例1、判断下面图形哪些能一笔画哪些不能一笔画说明判断依据。

（1）（2）（3）解析：图（1）能一笔画，因为它没有奇点，全为为偶点，画时从任意一个偶点起笔，终点又回到这一偶点。

图（1）能一笔画，因为它只有两个奇点，其它都为偶点，画时从一个奇点起笔到另一个奇点终点。

图（1）不能一笔画，因为它只有4个奇点，其它都为偶点。

例2、一笔画出下面每个图形。

D BE AB C EC例2-1 例2-2解析：例2-1图中有5个点，其中B、C成为奇点，只要以这两个点分别做一笔画起、终点，此图就能画出来。

下面是一种画法：DAE（起点）B C（终点）例2-2图中有5个点，其中B、C为奇点，只要以这两点分别做一笔画起、终点，此图就能画出来。

下面是一种画法：B→D→A→E→D→A→E→C→B→A→C例3、先数一数下列各图形中奇结点的个数。

如果有的图形不能一笔画成，那么，至少几笔才能画成解析：图（a）中只有两个奇结点，可从A点出发一笔画出到B点结束，图（b）中有四个奇结点，不能一笔画成。

图（b）与图（a）比较，多出了折线CEFD。

如果先一笔画出图（a），再添一笔画出折线CEFD，就可得到图（b）。