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教学设计§1生活中的变量关系整体设计教学分析在学生学习用集合语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系．生活中的变量关系一节，从高速公路的实例引入，“思考交流”则引导学生对类似的情境，如邮局、机场等进行思考并与同伴交流．安排了函数关系与非函数关系的对比．教学中一定要注意以人为本，要尊重学生，为了学生，调动学生参与到教学中．值得注意的是在本节的教学中，一定要给学生“留白”，即为学生留下必要的时间和空间让其自主地活动．当然，学生的数学活动必须以学生的思维为基础，可以是动手实践，也可以是平静的思考．思维，必须以学生独立的悟为前提，在独立思考的前提下，再强调必须与同伴的交流与合作；思维，必须以抓住知识的本质为目的，不能只求热闹．对教材中的“思考交流”应该组织学生进行讨论，不能一说而过．三维目标1．通过公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而使学生认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．2．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．培养学生广泛的联想能力，树立热爱数学的态度．重点难点区分生活中的变量关系是否为函数关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.现实世界中充满了变化，静止是相对的，运动是永恒的．我们的生活中存在着各种各样的变量关系，其中函数关系是描述这种变化的重要数学模型，也是数学的基本概念，函数思想是研究问题的重要数学思想之一．今天我们学习如何确定函数关系，教师引出课题．思路 2.人的体重和身高是函数关系吗？小麦的亩产量与亩施肥量是函数关系吗？正方体的体积和棱长是函数关系吗？如何判断呢？这就是本节课学习的内容，教师引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)说出初中所学函数定义？(2)如何确定两个变量之间是函数关系？讨论结果：(1)函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，y是因变量．(2)定义法：当且仅当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且，y是x的函数．应用示例思路1例1 我国自1998年开始建设高速公路，全国高速公路通车总里程，于1998年底，位居世界第八；1999年底，位居世界第四；2000年底，位居世界第三；2001年底，超过了加拿大，跃居世界第二位．(如下表)1988—2001年全国高速公路总里程单位：千米年份1988198919901991199219931994总里程147271522574652 1 145 1 603年份1995199619971998199920002001总里程 2 141 3 422 4 7718 73311 60516 31419 453图1问：(1)高速公路里程数是年度的函数吗？(2)高速公路里程数与年度的变化有什么特点？活动：学生回顾函数的定义及确定函数关系的方法，教师适当提示或点拨．解：不难看出：(1)高速公路里程数随年度的变化而变化．所以，高速公路里程数可以看成因变量，年度看成自变量，从而高速公路里程数是年度的函数．(2)从1988年到2001年，里程数是不断增加的，其中从1999年到2000年增长得最快．点评：本题主要考查函数的定义.变式训练一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，请指出哪些变量是时间的函数．解：一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，每个时刻都有唯一的行驶路程与它对应．行驶路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，故行驶路程是时间的函数．同样，汽车的速度、耗油量也是时间的函数.例2 图2是某高速公路加油站的图片，加油站常用圆柱体储油罐储存汽油．储油罐的长度d、截面半径r是常量；油面高度h、油面宽度ω、储油量v是变量．这些变量中，请指出哪两个具有依赖关系，哪两个变量具有函数关系．图2活动：学生结合生活经验思考．教师可提示，也可介绍相关知识．解：储油量v与油面高度h存在着依赖关系，储油量v与油面宽度ω也存在着依赖关系．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系．对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量v和它对应，所以，储油量v是油面高度h的函数．而对于油面宽度ω的一个值可以有两种油面高度和它对应，于是可以有两种储油量v和它对应，所以，储油量v 不是油面宽度ω的函数．点评：本题主要考查依赖关系和函数关系及其区别．由本题可见，函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系.变式训练1．进一步分析上述储油罐的问题，讨论：(1)还有哪些常量？哪些变量？(2)哪些变量之间存在依赖关系？(3)哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？解：(1)常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等，变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等；(2)依赖关系有：储油量和油的体积，储油量和圆柱底面上的弓形面积，油的体积和油面宽度；(3)储油量是油的体积的函数，油的体积也是储油量的函数，储油量是圆柱底面上的弓形面积的函数，油的体积不是油面宽度的函数．2．请列举一些与公路交通有关的函数关系．解：如修路中所花的费用和所修公路长度是函数关系等．3．请思考在其他情境下存在的函数关系，例如邮局、机场等．解：在邮局中，邮资是邮件重量的函数等．在机场，飞机票价是路程的函数等.思路2例1 在学校里你能发现哪些函数关系？活动：仔细观察，联系学校中老师、学生、师生的生活、校内物品等．解：(1)学生的学号是学生的函数；(2)教学任务是老师的函数；(3)学校的用电量是时间的函数，用水量也是时间的函数．点评：本题考查观察能力及发现问题、分析问题的能力.变式训练1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{2,4,6,8}．集合A中的元素乘2.若A中的元素为自变量，B中的元素为因变量，能形成函数吗？答案：不能．因为A中的元素5的2倍为10，并没有在集合B中．2．在矩形中，若面积值作为自变量，其中一边长为因变量，能形成函数吗？答案：不能．因为面积一定时，其中一边的长不确定．3．某人骑车的速度是20千米/时．他骑1.5小时，走的路程是多少？你能写出时间与路程的函数吗？答案：1.5小时走的路程是20×1.5＝30(千米)．设时间为t，路程为s，则s＝20t(t≥0)．4．由下列式子是否能确定y是x的函数？(1)x2＋y2＝2；(2)x－1＋y－1＝1；(3)y＝x－2＋1－x.解：(1)由x2＋y2＝2，得y＝±2－x2，因此由它不能确定y是x的函数；(2)由x－1＋y－1＝1，得y＝(1－x－1)2＋1，所以当x在{x|x≥1}中任取一值时，由它可以确定一个唯一的y与之对应，故由它可以确定y是x的函数；(3)由{x－2≥0，1－x≥0得x∈ ，故x无值可取，y不是x的函数.例2 新华网北京2006年3月24日电：中国卫生部24日通报，上海市确诊一例人感染高致病性禽流感病例，患者3月13日发病，后因病情加重，经抢救无效，于3月21日死亡．为了更好地对付禽流感病毒，某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间近似满足图3所示的曲线关系．请根据图3中给出的变化曲线，试判断每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间是否构成函数关系．图3解：时间的变化范围是数集A＝{x|x≥0}，每毫升血液中含药量y(毫克)的变化范围是数集B＝{y|4≥y≥0}，并且，对于数集A中的每一个时间x，按照图中的曲线，数集B中都有唯一确定的y与它相对应．所以每毫升血液中含药量y(毫克)是时间x(小时)的函数．点评：本题主要考查实际问题中的函数关系.变式训练从20世纪70年代开始，我国就致力于控制人口过快增长，并逐步制定和完善了严格控制人口增长的政策措施.2002年我国颁布了第一部《人口与计划生育法》，将计划生育从一项基本国策上升为国家法律．根据国家统计局普查资料显示，我国人口再生产类型已经转入低生育、低死亡、低增长的发展阶段，进入了世界低生育水平国家行列.2005年底，我国总人口为13.075 6亿人，约占世界人口的20.12%.自实行计划生育以来，全国累计少生人口近3.1个亿．图4请根据图4中给出的我国人口出生率变化曲线，试判断我国人口出生率p和时间t(年)是否构成函数关系．解：时间t 的变化范围是数集A ＝{t |t ≥1950}，我国人口出生率p 的变化范围是数集B ＝{p |p ≥0}，并且，对于数集A 中的每一个时间t ，按照图中的曲线，数集B 中都有唯一确定的p 与它相对应，所以我国人口的出生率p 是时间t (年)的函数.知能训练1．自由落体运动中，有哪几个常量，哪几个变量？这些变量之间有怎样的关系？ 答案：常量有：自由落体的质量和重力加速度；变量有：时间t 、速度v 和位移s ，其中，速度依赖时间变化，关系是v ＝gt ；位移也依赖时间变化，关系是s ＝12gt 2.2．银行的存款利息表算不算函数？ 答案：是函数关系．拓展提升思考：字母一定是变量吗？探究：一般地，在研究一个问题的变化过程中，变量通常是一个字母，也就是说，只有字母才可以取不同的值来表示不同的量，那就是变量．但能否这样说，在变化过程中，字母就一定是变量呢？答案是否定的．例如，我们所熟悉的二次函数y ＝ax 2(a ≠0)，它表示y 与x 之间存在依赖关系，这时，x 、y 都是变量，它表示的是y 关于x 的函数．虽然函数随着a 的变化而表示不同的函数，但它是二次项的系数，是一个常量．如果把y ＝ax 2看作表示y 与a 只存在依赖关系，则y ＝ax 2＝x 2a 在x ≠0时是一个y 关于a 的一次函数，这里y ，a 是变量，x 是常量．课堂小结本节课学习了：用定义法判断变量之间的函数关系．作业习题2—1 A 组1,2.设计感想本节课内容比较简单，在设计过程中，注重了与下节函数概念的联系．备课资料【例1】 下表展示了我国从1998年到2002年每年的国内生产总值．年份生产总值(亿元)答案：是函数关系．【例2】农业科学家研究玉米的生长过程，把生长过程分为32个时间段，通过实验得到了各时间段与植株高度之间的相关数据，如图5所示．图5观察上图，植株高度是时间的函数吗？答案：是函数关系．。
生活中的变量关系【教材分析】现实世界充满着变量，一些变量之间存在着依赖关系，函数是揭示变量间依赖关系的重要的数学概念，它是现代数学最基本的概念，在解决实际问题中发挥着重要作用．本节内容主要学生更好的认识到生活处处有数学，只要做个有心人，我们可以随时随地学习数学【教学目标与核心素养】一、教学目标：1．通过生活中的实际例子，引起学生积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别。
2．培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力．二、核心素养1．数学抽象：初中对函数概念的理解2．逻辑推理：借助初中所学的变量之间的关系，分析生活中变量的关系，将函数运用于实际生活中，更能体现数学知识无处不在3．数学运算：根据变量之间的关系，列出相应函数关系式，从而解决实际问题4．直观想象：通过有些函数图像的画法，了解什么是分段函数。
5．数学建模:利用函数变量的关系，对于生活中，牵扯到有关变量的实际问题，我们都可以构建数学模型，更好的解决一些问题。
【教学重点】在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系【教学难点】依赖关系和函数关系的差别【教学准备】PPT【教学过程】1.知识探究：例1：图2-1是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料．储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h，油面宽度w、储汕量V是变量．思考：V，h，w之间是否具有关系结论：储油量V与油面高度h存在着依赖关系，也与油面宽度w存在着依赖关对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量V和它对应．但是，取一个油面宽度w的值，却对应着两个储汕量V例2自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展．截至2017年年底，中国高铁运营里程突破25 000 km．图2-2表示的是中国高铁年运营里程的变化．思考：高铁运营里程与年份的关系结论：观察图2-2，不难看出：（1）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系；（2）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多同学回顾初中如何定义函数概念：有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．函数概念中需注意：凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”．同学思考：例1中，V与h是否具有函数关系；V与w是否具有函数关系例3弹簧的伸长量x与弹力y满足函数关系y kx，其中k为劲度系数．对于变量“伸长量”的每一个值，变量“弹力”都有唯一确定的值和它对应，弹力y是伸长量x的函数．例4表2-1记录了几个不同气压下水的沸点：表2-1对于变量“气压”的每一个值，变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应，沸点是气压的函数．例5绿化可以改变小环境气候．某市有甲、乙两个气温观测点，观测点甲的绿化优于观测点乙，图2-3是这两个观测点某一天的气温曲线图．为了方便比较，将两条曲线画在了同一直角坐标系中．每一条曲线都表示了一个函数关系，反映的都是对于“时间”的每一个值，都有唯一确定的“气温”值和它对应．例6国内某快递公司邮寄普通货物限重30 kg，从A城市到B城市的快递资费标准是:质量1 kg及以下收费12元，以后质量每增加1 kg收费增加8元，质量不足1 kg按1 kg计算．请写出邮件的质量6kg与邮资M元的函数解析式，并画出局部图象．解依题意知邮件的质量6 kg与邮资M元的函数解析式为形如上述的函数，一般叫作分段函数．生活中存在着许许多多的函数关系．正是函数概念中的关键词“每一个”“唯一”“对应”恰当地反映了事物特征．【课堂探讨】1．举出生活中具有函数关系的一些实例2．找出一个生活实例，说明两个变量之间存在依赖关系，但不是函数关系【教学反思】1．判断量与量之间的关系：是函数关系还是依赖关系2．函数关系理解：每一个自变量有惟一确定因变量的值。
第二章 函数2.1生活中的变量关系1.从实际生活中的例子出发，让学生认识到日常生活中各种变量之间的依赖关系，能利初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别．2.在观察事物的变量间关系过程中，培养学生发现问题、提出问题的能力，发展数学应用意识．重点：感受生活中处处有变量，加深理解初中的函数概念．难点：依赖关系和函数关系的差别． 一、新课导入 生活中变化的事物无处不在，你感受到了哪些事物的变化？请举例并加以说明？ 例如：温度随四季的变化，身高随年龄的变化，汽车行驶里程随时间的变化等． 设计意图：引导学生用数学的眼光，关注生活中的变量．二、新知探究活动1：分析生活中的变化现象，认识变量之间的关系．问题1：生活中温度的变化．我们能感受到每天温度的变化，怎么刻画这种变化呢？在一个标准大气压下定义了摄氏零度的概念，这样就可以用温度值的大小表示温度的变化，温度的变化与季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等很多客观因素都有关系．引导学生依据生活中的情境，围绕以下问题进行小组讨论交流：⑴生活情境是什么？其中的变化怎样描述？这种变化有什么需要说明的条件吗？ ⑵变化的过程中存在哪些变量？哪些常量？⑶变量之间是什么关系？这种关系是怎样描述的？答案：⑴生活情境是每天温度的变化，这种变化用温度值描述，这种变化要限制季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等客观因素．⑵变化过程中一个标准大气压下摄氏零度是常量，季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等是变量．⑶对于季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等每一个不同的值都对应一个温度． 设计意图：通过一个简单的例子，引导学生用数学的方式分析生活现象．◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程问题2：高速公路的加油站经过高速公路的加油站时，你是否想过，汽油存在哪儿？是怎么储存的？如图是某高速公路加油站的图片.加油站的油是存放在地下，常用圆柱体罐储存.储油罐的长度为d，截面半径为r，油面高度为h、油面宽度为w、储油量记作V.这些量哪些是常量，哪些是变量？量与量之间存在着怎样的关系？这些关系是同一类关系吗？有什么不同？答案：储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h、油面宽度w、储油量V是变量.当油面高度h和油面宽度w发生变化时，储油量V也随之改变即油面高度h和油面宽度w与储油量V是依赖关系．但这两种关系又不完全相同，对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量V与它对应．而对于油面宽度w取定一个值可以有两种油面高度和它对应．设计意图：在较为复杂的问题情境中，理解变量之间的依赖关系和函数关系，提升对函数概念的认识．问题3：阅读下面材料，回答问题．自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅速发展，截至2017年年底运营里程突破25 000 km.下图表示的是中国高铁年运营里程的变化．从图中可以看出：随着时间的变化，高铁运营里程与年份存在着依赖关系．依据图中的数据，你能得出哪些结论？答案：通过观察图不难看出，（1）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多．（2）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系．对于年份的每一个取值，都有唯一的运营里程与它对应．初中我们学习过函数的概念：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它相对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．判断两个变量是否有函数关系：对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它相对应．因此在问题2与问题3中，储油量V是油面高度h的函数，高铁运营里程是年份时间的函数，但是储油量V不是油面宽度w的函数．设计意图：通过以上三个问题的分析，复习初中的函数概念，即在一个变化的过程中，有两个变量x，y，对于变量x的每一个取值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数，其中x是自变量．另外，在现实生活中，要确定两个变量之间是否具有函数关系，关键是判断对于变量x的每一个取值，变量y是否都有唯一确定的值与之对应，这点非常重要，需要学生认真理解．活动2：分析事物中变量间的函数关系，叙述刻画函数关系的不同方法．阅读下面的材料，思考以下问题，学生之间交流讨论．（1）确认变量之间是否存在函数关系．（2）材料中采用什么方法描述函数关系的？材料1：表2-1记录了几个不同气压下水的沸点：条曲线画在同一平面直角坐标系中，每一条曲线表示在一个观测点的观测情况．材料3：某地电力公司为鼓励市民节约用电，采取阶梯电价，即按月用电量分段计费办法.居民每月应缴电费y（单位：元）与用电量x（单位：kW•h）的关系是y={0.4883x,0≤x≤240,0.5383x−12,240<x≤400,0.7883x−112,x>400．答案：（1）材料1，2，3中的变量之间均存在着函数关系．（2）材料1，2，3分别用列表法、图象法和解析法来表示函数．尤其是在材料3中，给定范围内，对于自变量x的取值范围不同所对应的函数关系也不同，我们称这样的函数为分段函数．设计意图：通过分析学生理解材料中隐含着函数的三种表示法：列表法、图象法和解析法．活动3：1.对于问题２中的储油罐的问题中还有很多量，如储油罐长度、油面面积等，找出这些量中的常量和变量，并指出哪些变量之间是函数关系．答案：（1）常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等；变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等；（2）储油量和油的体积、储油量和圆柱底面上弓形的面积、油的体积和油面宽度之间都存在依赖关系；（3）储油量是油体积的函数，油的体积也是储油量的函数，储油量是圆柱底面上弓形面积的函数．2.选定超市、邮局、公路或其他一个场景，观察分析其中有哪些常量和变量，哪些变量之间是函数关系？答案：略．结论很开放，由学生交流各自的结论．设计意图：鼓励学生积极思考，让学生体会到生活中的函数关系非常普遍，数学源于生活，用于生活．三、应用举例1．某电器商店以2 000元/台的价格购进了一批电视机，然后以2100元/台的价格售出，随着售出台数的变化，商店的利润是怎样变化的？利润和售出的台数之间存在函数关系吗？答案：随着售出台数的变化，商店的利润也会增加，利润和售出的台数间存在函数关系．2.坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系？答案：坐电梯时，电梯距地面的高度随时间的确定而确定．3.在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量分数与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系？答案：在一定量的水中加人燕糖，糖水的浓度随所加蔗糖的质量的确定而确定．四、课堂练习1．下列各组中两个变量间之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？（1）球的体积和它的半径；（2）速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；（3）家庭的收入与其消费支出；（4）正三角形的面积和它的边长．πr3的关系．答案：（1）中，球的体积V与半径r间存在V=43（2）中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系．（3）中，家庭收入与其消费支出间存在关系，但具有不确定性．a2的关系．（4）中，正三角形的面积s与其边长a间存在s=√34综上可知（1）（2）（3）（4）中两个变量间都存在依赖关系，其中（1）（2）（4）是函数关系．2．下图是我国某年某地降雨量的统计情况，图中横轴为月份（单位：月），纵轴为降雨量（单位：cm）.由图中曲线可判断该地该年的降雨量与时间是否具有函数关系？答案：因为对于该年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应，故可得该年的降雨量与时间具有函数关系，且自变量是时间，因变量是降雨量．五、课堂小结1.依赖关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的改变引起变量y的改变，则这两个变量是依赖关系．2.函数关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，则这两个变量是函数关系，在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”．3.依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系．六、布置作业教材第51页习题2-1A组、B组．。
2019-2020年高中数学 2.1《生活中的变量关系》精品教案北师大版必修1一、教学目标:1．通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．2．培养广泛联想的能力和热爱数学的态度．二、教学重点：在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系教学难点：培养广泛联想的能力和热爱数学的态度三、教学方法：探究交流法四、教学过程（一）、知识探索：阅读课文P25页。
实例分析：书上在高速公路情境下的问题。
在高速公路情景下，你能发现哪些函数关系？2．对问题3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗？问题小结：1．生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并非有依赖关系的两个变量都有函数关系，只有满足对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，才称它们之间有函数关系。
2．构成函数关系的两个变量，必须是对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的y值与之对应。
3．确定变量的依赖关系，需分清谁是自变量，谁是因变量，如果一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么这个变量是因变量，另一个变量是自变量。
（二）、新课探究——函数概念1．初中关于函数的定义：2．从集合的观点出发，函数定义：给定两个非空数集 A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f（x）与之对应，那么就把这种对应关系f叫做定义在A 上的函数，记作或 f：A→B，或y=f(x),x∈A. ；此时x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合 {f(x)︱x∈A}叫作函数的值域。
习惯上我们称y是x的函数。
3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则；4．函数值当x=a时，我们用f（a）表示函数y=f（x）的函数值。
（三）、知识体验（课堂练习及课外作业）1.某电器商店以xx元一台的价格进了一批电视机，然后以2100元的价格售出，随着售出台数的变化，商店获得的收入是 ,它们之间是______关系.【函数 y=100x,x∈D 】2.现实生活中,与时间存在函数关系的量_______________________ .(三个以上)【路程与时间；炮弹的射高与时间的变化关系问题；用电量与时间的关系。
普通高中课程标准实验教科书[北师版] –必修1第二章函数§2.1生活中的变量关系（教案）[教学目标]1、知识与技能(1)通过实例，了解生活中的变量关系，体会变量与变量之间的相互关系；(2)知道两变量之间有相互依赖关系不一定就有函数关系；(3)了解两变量之间有函数关系具备的条件；2、过程与方法(1)让学生从时间生活中发现变量之间存在关系的过程，感知函数的意义.(2)让学生收集归纳生活中变量之间的关系.3、情感.态度与价值观培养善于观察发现的责任心，增强学习的积极性.[教学重点]: 现实生活中的实例中的变量关系.[教学难点]：对于两变量之间的函数关系的理解.[教学教具]：实例图片[课时安排]: 1课时[学法指导]：学生提供信息材料，自主学习、思考、交流、讨论和概括.[讲授过程]【新课导入】世界是变化的,许多变量之间有着相互依赖的关系，变量与变量的依赖关系在生活中随处可见,与我们息息相关.【新课内容】函数就描述了因变量随自变量而变化的依赖关系.[互动过程1]：教师提出问题：初中我们学习过哪些函数？学生抢答你能说出函数描述了几个变量之间的关系？它们分别是什么变量？因变量y与自变量x之间什么样的依赖关系？什么是函数吗？由于函数的概念比较抽象，不好理解，教师可以提示：因变量y随自变量x的变化而变化：即一个x的取值有唯一确定的值y与之对应则称y是x的函数.【板书】函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y, 如果对于x的每一个值, y都有唯一的值与它对应, 那么就说y是x的函数.x叫做自变量.注意:并非有依赖关系的两个变量都有函数关系.[互动过程2]：下面我们在高速公路的情景下,看看你能发现哪些函数关系?1．由挂图提供下面有关的数据,请同学们根据下列数据思考表中有几个变量?这些变量之间有没有函数关系?问题:表格里有几种类型的数据?它们之间的关系是怎样的? 提示:我们还可以画出图形观察它们之间的关系.这样就更清楚的表现出变量之间的依赖关系和变化关系了.问题:里程与年份之间是否有函数关系?从这里可以看出函数可以关系可以由表格即列表法表示,也可以用图形法,另外,还有解析式法.[互动过程3]：2．高速公路上我们还会联想到行驶的汽车,自然会想到时间与路程、速度的关系,还有什 么变量关系?[互动过程4]：问题:思考储油量v是否为d的函数? 储油量v是否为截面半径r的函数呢?引导分析及解答:【课堂练习】教材P.25 练习:4．（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（A ）5．（07江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是（ ）A ．h 2＞h 1＞h 4B ．h 1＞h 2＞h 3C ．h 3＞h 2＞h 4D ．h 2＞h 4＞h 1答案：A【课后作业】:P25A 组1,2 B 组2A ．B ．C ．D ．。
生活中的变量关系-北师大版必修1教案一、设计意图本节课是北师大版必修1物理教案中的一节课，着重对生活中的变量关系进行探究。
通过学习，学生将了解到在生活中，很多现象都可以用数学语言来描述，而这些数学语言正是变量关系的表达。
通过物理实验的方式，教师可以帮助学生理解和掌握变量关系的基本概念，并将其应用于实际生活中。
二、课程目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.了解变量的基本概念，并用数学语言进行描述；2.掌握一些基本的变量关系，如时间、路程、速度的关系等；3.知道如何通过实验的方式来确定变量关系；4.利用所学的知识解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课1.1 清晰教学目标，介绍本节课将要讲解的内容。
1.2 利用生活中的实例，引导学生思考变量关系的表达方式。
2. 实验探究2.1 设计实验，明确变量及变量间的关系。
2.2 指导学生进行实验，并记录实验数据。
2.3 通过图像的方式将数据呈现出来，并引导学生进行探究。
3. 分组探讨3.1 将学生分成若干个小组，分配不同的实验图像。
3.2 指导学生根据图像及数据，探究变量之间的关系。
3.3 小组间进行交流，分享探究结果。
4. 总结归纳4.1 通过对实验数据及结果的分析，获得变量关系的表达方式。
4.2 根据实验结果，引导学生归纳总结变量关系的基本概念。
5. 巩固练习5.1 利用练习题，帮助学生巩固所学知识。
5.2 强调应用知识，解决实际问题的能力。
四、教学手段本节课教学采用以下手段：1.实验探究：通过实验帮助学生理解变量关系的基本概念，以及变量之间的关系。
2.小组探讨：通过小组合作，学生在对数据、实验图像进行分析、探究，加深了对变量关系的理解。
3.总结归纳：引导学生根据实验结果和探究成果，归纳总结出变量关系的基本概念。
4.练习巩固：通过小测验、练习题等方式，帮助学生巩固所学知识，提高应用问题解决能力。
五、教学评价本节课的教学评价主要包括以下方面：1.实验结果分析及探究的深度和广度。
生活中的变量关系★教学目标1．知识目标:通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．2．能力目标:培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力．3．情感目标:培养学生合作交流的意识及广泛联想的能力和热爱数学的态度.★教学重难点：1．重点：生活中变量之间有依赖关系,掌握变量之间的函数关系.2．难点：变量之间的依赖关系不一定都是函数关系.★授课类型：新授课★教具：多媒体、实物投影仪★教学方法:启发式、交互式教学★教学过程：一、创设情景，引入课题多媒体展示“神舟七号”发射的电脑模拟动画，提出问题：在“神七”发射升空的过程中，随着时间的变化，你能发现哪些量也在变化？从而导出课题生活中的变量关系.(板书课题生活中的变量关系)二、新课讲解1、温故知新：◇初中学习的函数定义是什么?◇下图为运行中的电梯,它离地面高度h与时间t是否存在函数关系?◇下图为行驶中的汽车,它行驶速度v与时间t是否存在函数关系?2、知识探究：阅读课文23—24页，在高速公路情境下的函数问题（1）课本高速公路情景下研究了哪些函数关系？请指出它们的自变量和因变量。
（2）对问题3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗？（3）请以高速公路为背景再研究一些函数关系，并思考自变量与因变量交换后是否为函数关系。
（4） 归纳依赖关系与函数关系的区别与联系。
探究结论 ：依赖关系与函数关系(1)、依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系。
(2)、若两个变量间存在依赖关系，且由对于其中一个变量的每一个值都有另一个变量的唯一值和它对应，则两个变量间有函数关系。
(3)、研究函数关系时，通常要指明自变量和因变量，因为两者交换位置不一定还存在函数关系。
1 生活中的变量关系-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.理解变量及其代表的数量的含义2.掌握变量之间的代数关系和应用3.锻炼数学建模的能力，运用数学方法解决学生生活中的实际问题二、教学重难点教学重点1.变量的概念及其应用2.变量之间的代数关系教学难点1.理解变量的概念及其应用2.掌握变量之间的代数关系三、教学方法1.讲授法2.示例教学法3.讨论交流法4.实践演练法四、教学过程1.导入生活中，我们会遇到各种各样的事情，有些是可以用数学方法解决的。
比如，小明拿到一张舞蹈展演的门票，他想知道这个舞蹈展演的总观众人数。
这时，我们就需要用到一些数学知识，比如变量关系。
那么，什么是变量关系呢？2.展示•案例一一只蚂蚁在直线上爬行，第一秒爬行1毫米，以后每秒钟爬行的距离是上一秒的2倍。
问蚂蚁爬行10秒钟后总共爬了多少毫米？•案例二有两个数，它们的和是18，它们的积是81，求这两个数分别是多少？这两个例子都是典型的变量关系问题，在这两个例子里都涉及到了变量，下面我们来了解什么是变量。
3.教学1.变量的概念变量是指在某范围内取任何值的元素或对象，其值可以改变，用字母表示。
2.变量的应用(1)变量表示数量在数学中，我们通常用变量表示某一种数量，比如上例中的蚂蚁爬行的距离就是一个变量。
(2)变量表示常数在求解方程时，我们通常把未知数看作是一个变量，通常情况下这个变量只能代表一个常数，比如上例中的“两个数”。
3.变量之间的代数关系变量之间的代数关系就是用变量表示的表达式，比如上例中的“第一秒爬行1毫米，以后每秒钟爬行的距离是上一秒的2倍”这个描述就是对变量之间代数关系的一个表示。
4.归纳通过上面的讲解我们了解到了变量的概念、变量的应用、变量之间的代数关系。
再来回顾上面的例子，在案例一中，我们通过列出变量和变量关系的表达式来解决问题，而在案例二中，我们同样是根据变量之间的关系列出了方程并解方程求解得到答案。
2019-2020学年高中数学第二章函数 2.1 生活中的变量关系教案
1 北师大版必修1
本节教材分析
在学生学习用集合语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系.生活中的变量关系一节，从高速公路的实例引入，“思考交流”则引导学生对类似的情景，如邮局、机场等进行思考并于同伴交流.安排了函数关系与非函数关系的对比.
三维目标：
1。
知识与技能：通过公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而使学生认识到生活中处处可以遇到变量监督依赖关系.
2.过程与方法：能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系.
3.情感态度与价值观:培养学生广泛的联想能力，树立热爱数学的态度.
教学重点：区分生活中的变量关系是否为函数关系.
教学难点：同上
教学建议：教学中一定要注意以人为本，要尊重学生，为了学生，调动学生参与到教学中；在教学中一定要给学生“留白”，即为学生留下必要的时间和空间让其自主地活动.对于教材中的“思考交流”应该组织学生进行讨论，不能一说而过.
新课导入设计
导入一:现实世界中充满了变化，静止是相对的，运动是永恒的.我们的生活中存在着各种各样的变量关系，其中函数关系是描述这种变化的重要数学模型，也是数学的基本概念，函数思想是研究问题的重要思想之一.今天我们学习如何确定函数关系，教师引出课题.
导入二：人的体重和身高是函数关系吗？小麦的亩产量余亩施肥量是函数关系吗：正方体的体积和棱长是函数关系吗？如何判断呢？这就是本节课学习的内容，教师引出课题..。
