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因式分解——十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？例1.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。
于是98a ∆=-为完全平方数，1a =例2、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例3、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a(3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y(3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x 练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a -- 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
第1讲 因式分解之十字相乘法一、知识回顾1. 因式分解的概念【思考】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．x 2+2x +3＝（x +1）2+2B ．15x 2y ＝3x •5xyC ．2（x +y ）＝2x +2yD ．x 2+6x +9＝（x +3）2【分析】判断一个式子是否是因式分解的条件是：①等式的左边是一个多项式，②等式的右边是几个整式的积，③左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．【解答】解：A 、x 2+2x +3＝（x +1）2+2，等式的右边不是几个整式的积，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；B 、15x 2y ＝3x •5xy ，等式的左边不是一个多项式，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；C 、2（x +y ）＝2x +2y 是整式乘法，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；D 、x 2+6x +9＝（x +3）2，是因式分解，故此选项符合题意；故选：D ．2. 运用提公因式法和公式法进行因式分解【思考】（1）﹣20a ﹣15ax （2）4x 2﹣16 （3） 9（x ﹣3y ）2﹣4 （4）x 3+2x 2y +xy 2【分析】（1）直接提取公因式﹣5a ，进而得出即可；（2）先提公因式4，然后使用平方差公式因式分解即可；（3）先将9（x ﹣3y ）2转化为[3（x ﹣3y ）]2，再利用平方差公式进行因式分解，最后再化简即可；（4）先提取公因式x ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】（1）﹣20a ﹣15ax ＝﹣5a （4+3x ）；（2）4x 2﹣16＝4（x 2﹣4）＝4（x +2）（x ﹣2）；（3）9（x ﹣3y ）2﹣4＝[3（x ﹣3y ）]2﹣22＝[3（x ﹣3y ）+2][3（x ﹣3y ）﹣2]＝（3x ﹣9y +2）（3x ﹣9y ﹣2）；（4）x 3+2x 2y +xy 2＝x （x 2+2xy +y 2）＝x （x +y ）2．二、课堂学习q px x ++2型的二次三项式因式分解：（其中p a b =+，q ab =）例1.因式分解：（1）x 2﹣x ﹣6 （2）x 4﹣8x 2﹣9 （3）2x 2﹣6x +4【分析】（1）利用十字相乘法分解因式；（2）原式利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解即可；（3）先提取公因式2，在利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝（x ﹣3）（x +2）；（2）原式＝（2a ）2﹣（a 2+1）2＝（2a +a 2+1）（2a ﹣a 2﹣1）＝﹣（a +1）2（a ﹣1）2；（3）2x 2﹣6x +4＝2（x 2﹣3x +2）＝2（x ﹣1）（x ﹣2）．变式训练1.因式分解：（1）m 2﹣13m +12 （2）（x 2+4x ）2﹣2（x 2+4x ）﹣15 （3）x 3﹣7x 2﹣30x【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；（2）把（x 2+4x ）看成一个整体，利用十字相乘法因式分解，注意分解要彻底；（3）先提取公因式x ，再用十字相乘法分解即可．【解答】（1）解：m 2﹣13m +12＝（m ﹣12）（m ﹣1）；（2）原式＝（x 2+4x ﹣5）（x 2+4x +3）＝（x +5）（x ﹣1）（x +3）（x +1）；（3）x 3﹣7x 2﹣30x ＝x （x 2﹣7x ﹣30）＝x （x +3）（x ﹣10）．二次三项式c bx ax ++2的分解：如果二次项系数a 分解成1a 、2a ，常数项c 分解成1c 、2c ；并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么二次三项式： ))(()(22112112212212c x a c x a c c x c a c a x a a c bx ax ++=+++=++借助于画十字交叉线排列如下：例2. 因式分解：2x 2﹣x ﹣6【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出即可．))((b x a x ++【解答】2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．变式训练2.因式分解：2x2﹣3x+1【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出即可．【解答】2x2﹣3x+1＝（x﹣1）（2x﹣1）．小结. 因式分解的一般步骤：一提二代三分组①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；②提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；③对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法；④用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
十字相乘法公式例题1. 分解因式x^2+3x + 2- 解析：对于二次三项式ax^2+bx + c（这里a = 1，b=3，c = 2），用十字相乘法。
将x^2的系数1分解为1×1，常数项2分解为1×2，十字相乘1×2+1×1 = 3（正好等于一次项系数）。
- 所以x^2+3x + 2=(x + 1)(x+2)。
2. 分解因式x^2-5x+6- 解析：a = 1，b=-5，c = 6。
将x^2的系数1分解为1×1，常数项6分解为(-2)×(-3)，十字相乘1×(-3)+1×(-2)= - 5。
- 所以x^2-5x + 6=(x - 2)(x-3)。
3. 分解因式x^2+x - 6- 解析：a = 1，b = 1，c=-6。
把x^2的系数1分解为1×1，常数项-6分解为2×(-3)，十字相乘1×(-3)+1×2=-1。
- 所以x^2+x - 6=(x + 3)(x-2)。
4. 分解因式x^2-3x - 10- 解析：a = 1，b=-3，c=-10。
x^2的系数1分解为1×1，常数项-10分解为(-5)×2，十字相乘1×2+1×(-5)=-3。
- 所以x^2-3x - 10=(x - 5)(x + 2)。
5. 分解因式2x^2+5x+3- 解析：a = 2，b = 5，c = 3。
将2x^2的系数2分解为2×1，常数项3分解为3×1，十字相乘2×1+1×3 = 5。
- 所以2x^2+5x+3=(2x + 3)(x + 1)。
6. 分解因式3x^2-7x+2- 解析：a = 3，b=-7，c = 2。
把3x^2的系数3分解为3×1，常数项2分解为(-2)×(-1)，十字相乘3×(-1)+1×(-2)=-7。
十字相乘法讲解观察下列各式由上面各式得到：等式特点：(1) 等式左边是一个关于x 的二次项系数为1的二次三项式.(2) 等式左边的常数项可分解成两个因数的乘积,且这两个数的和等于一次项系数.(3) 等式右边为两个关于x 的一次因式的乘积.例1 分解因式归纳（1）十字相乘法主要对二次三项式进行因式分解；（2）基本步骤：①对二次项系数和常数项进行竖式分解；②验证交叉相乘后，和是否等于一次项系数；③横向相加，分解因式。
=++)2)(3(x x =+-)3)(4(x x =--)7)(6(x x =-+)2)(5(x x =++))((q x p x 652++x x 122--x x 42132+-x x 1032-+x x pqqx px x +++2652++x x )2)(3(++=x x 122--x x )3)(4(+-=x x 42132+-x x )7)(6(--=x x 1032-+x x )2)(5(-+=x x ))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++1=++107.12x x =--82.22x x =-+65.32x x =+-107.42x x 2310.5x x --92721.62-+x x探索新知计算：反过来 首项系数非1的整系数二次三项式的因式分解例3 分解因式86.124++x x ()()34.32++-+b a b a 107.222+-xy y x 2223.4y xy x +-()2044.5222---+x x x x =++)1)(32(x x 3522++x x =++3522x x )1)(32(++x x =++c bx ax 2))((2211c x a c x a ++=++276.12x x =++10113.22x x =+-82315.32x x =-+36196.42x x =++-22865.5y xy x 7)(15)(2.62++++b a b a 22224954.7y y x y x --223231.8y xy x +-补充作业分解因式：（1）232++x x （2）672+-x x （3）2142--x x（4）1072++x x （5）822--x x （6）1272+-y y ；（7）1872-+x x （8）101132++x x （9）6752-+x x(10) 3722+-x x (11) 101332+-x x (12) 101332--x x ;(13) 5762--x x (14) ;86522y xy x -+ (15) 223116y xy x +-(16) ;7624-+x x (17) 12322--mn n m （18）;1032-+x x()1222.12++++k x k x ()212.222-+++-m m x m x ()2223.32+++-m x m mx课外作业（1）;2142-+a a （2）;1242-+m m （3）;1522-+x x（4）;1832--y y （5）;122--x x （6）.841522b ab a +-（7）;2762++x x （8）;101162--y y （9）;1562-+x x（10）;4832+-a a（11）;6752-+x x （12）2675m m -+（13）71522++x x ； （14）;622-+y y （15）;6732--a a（16）;61362+-x x（17）;15442-+n n （18）;10722+-xy y x（19）91024+-x x。
