排班问题数学模型

排班问题————数据模型与决策案例一、背景描述在21世纪的全球就业环境下，自由职业工作者已成为社会人力资源的不可忽略的一部分。

他们具有较灵活的工作时间和较为工作成本。

在某个行业或某个领域，雇用自由职业工作者的成本更低。

尤其是在电子商务日益流行的今天，使得很多人能够只是用一台电脑就可以在网上进行办公，省去了很多不必要的时间成本及交通成本。

尤其是在一些特殊的工作时间安排上，自由工作者工作的随意性和临时性更适应当今社会的快速发展。

二、问题描述这是一个如何高效使用人力资源的问题。

某公司新建了一个客户中心，雇用了多名线上客服人员，他们每天工作3节，每节3小时，每节开始时间为0点、3点钟、6点钟，9点、12点、15点、18点、21点，为方便上客服人员上下班，管理层安排每位上客服人员每天连续工作3节，根据调查，对于不同的时间，由于业务量不同，需要的话务员的人数也不相同，公司付的薪水也不相同，有关数据见下表。

那如何安排话务员才能保证服务人数，又使总成本最低呢？三、问题分析这个问题实际上是一个成本效益平衡问题。

公司在向客户提供满意服务水平的同时要控制成本，因此必须寻找成本与效益的平衡。

由于每节工作时间为３小时，一天被分为８班，每人连续工作３节，为建立数学模型，对应于一般成本效益平衡问题，我们首先必须明确包含的活动数目，活动一个单位是对应于分派一个话务员到该班次，效益的水平对应于时段。

收益水平就是该时段里上下班的话务员数目，各活动的单位效益贡献就是在该时间内增加的在岗位话务员数目。

成本效益平衡问题参数表如下表：决策变量ｘｉ表示分派到第ｉ班的话务员人数（ｉ＝１，２，３，４，５，６，７，８），约束条件为：０－３时间段：ｘ１＋ｘ７＋ｘ８≥８（最低可接受水平）３－６时间段：ｘ１＋ｘ２＋ｘ８≥６６－９时间段：ｘ１＋ｘ２＋ｘ３≥１５９－１２时间段：ｘ２＋ｘ３＋ｘ４≥２０１２－１５时间段：ｘ３＋ｘ４＋ｘ５≥２５１５－１８时间段：ｘ４＋ｘ５＋ｘ６≥２３１８－２１时间段：ｘ５＋ｘ６＋ｘ７≥１８２１－０时间段：ｘ６＋ｘ７＋ｘ８≥１０非负约束：ｘｉ≥０ｉ＝１，２，３，４，５，６，７，８目标函数为最小化成本：Ｚ＝８４ｘ１＋８０ｘ２＋７０ｘ３＋６２ｘ４＋６２ｘ５＋６６ｘ６＋７２ｘ７＋８０四、问题求解如下表所示，将可变单元格列留空，令总费用最小作为目标单元格，令缺少人数为可变单元格减去最低需求人数的值，约束缺少人数大于等于0.求解后系统自动将可变单元格进行填充（上表已经是填充后的结果）。

单班次人员排班问题，任选一个假设条件（可以不限于这些假设条件），建立问题模型、设计求解方法、进行实例计算。

1、保证员工每周的休息日为连休；模型建立:设xk为从星期k(k=1,2,3,4,5,6,7)开始连休的人数，工作日所需人数为N，周末所需人数为n，W为所需的最少人数。

则：min WS.t x1+x7+N<=Wx1+x2+N<=Wx2+x3+N<=Wx3+x4+N<=Wx4+x5+N<=Wx5+x6+N<=Wx6+x7+N<=Wx1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=Wx1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,W>=0通过lingo可求解得答案，然后根据xk的值排班。

如当N=13，n=15时，求解得W=19， X1=3，x2=3,x3=3,x4=3,x5=3,x6=1,x7=3所以排班如下表所示X代表休息一二三四五六日1 X X2 X X3 X X4 X X5 X X6 X X7 X X8 X X9 X X10 X X11 X X12 X X13 X X14 X X15 X X16 X X17 X X18 X X19 X X2、保证每人每周有两个休息日，而且连续两周内，每人有一周在周末休息；模型建立:设xk为星期k(k=1,2,3,4,5)休息的人数，xa为隔一周在周末休息的人，x6为两周均在周末休息的人数，工作日所需人数为N，周末所需人数为n，W为所需的最少人数。

由常识可得，如只需满足每周两个休息日，则在星期i同时休息的员工在下一次也需同时休息，约定星期一和星期四同时休息，星期二和星期五同时休息，星期六和星期天同时休息，星期三不安排休息。

则：min WS.t. x1+7<=Wx2+7<=Wx1+x2+x6+xa=Wx1+x2=xax6+xa+4<=Wx1,x2,x6,xa,w>=0通过lingo可求解得答案，然后根据xk的值排第一周的班，然后第一周在周末休息的人按照第一周不在周末休息的人在第一周的工作时间进行第二周的排班，第一周不在周末休息的人则第二周在周末休息。

关于人员时间安排问题的数学建模本题涉及公司对人员进行时间安排的问题，安排的策略既不能浪费人力资源，同时又使他们在自己的工作时间内发挥应有的效益。

目的是使最省人力、最省开支的目的，达到公司事半功倍的效果。

我们采用的是对题目进行各时间段落实，采用列出方程组，解出最优解的方案。

建立的关于人员时间安排问题的模型Ｓ＝（Ｘ＋Ｙ）×800＋（Ｚ＋Ｗ）×900，最后对各未知数之间的关系的分析、解剖，分析得出的结果：Ｓ＝38000，X=10，Y=15，Z=20，W=0。

此模型涉及到线形方程的最优解，反映了此人员时间安排及工程预算、工程测量等工作安排的实际问题，对其他各领域方面的深入研究也有一定的指导意义。

一.(1)问题的提出某公司的营业时间是上午8点到21点，服务人员中途需要1小时的吃饭和休息时间。

每人的工作时间为8小时，上午8点到17点的工作人员月工资为800元，中午12点到21点工作的人员的工资为900元。

为保证营业时间内部有人值班，公司安排四个班次，其班次休息私见安排都有所安排。

问如何安排服务人员既满足需求又使公司所付工资总数最少。

（2）模型假设1）假设各班次人员可以任意安排；2）不考虑服务人员的个人时间问题；（3）符号说明X为班次是1班的工作人员的总人数；Y为班次是2班的工作人员的总人数；Z为班次是3班的工作人员的总人数；W为班次是4班的工作人员的总人数。

（4）模型分析1）对时间区间8：00—10：00工作人员的安排，班1和班2都在值班时间内，所以班1和班2人员都可胜任，X+Y≥20。

2）对时间区间10：00—12：00工作人员的安排，班1和班2都在值班时间内，所以班1和班2人员都可胜任，X+Y≥25。

3）对时间区间12：00—14：00工作人员的安排，班1和班2、班3、班4都有部分工作时间在此区间内，班1：13：00—14：00区间上能值班，班2：12：00—13：00区间上可以值班，此区间属于班3和班4工作时间内，所以班1、班2、班3、班4都能担任此区间的值班工作。

排课问题的数学模型研究随着社会的发展和教育水平的提高，越来越多的学生进入高等学校。

学校要面对各类课程的排课问题，势必要考虑如何尽可能地满足学生的教学需求，而且要保证排课的合理性、灵活性和可行性。

因此，排课问题已经成为现代最重要的教育问题之一。

排课问题是一种典型的优化问题。

实际上，它是在自然科学和社会科学领域中的一类比较复杂的约束条件下的优化设计问题，其目标是在给定的一定条件下实现最佳的排课效果。

因此，研究排课问题的最佳数学模型就显得尤为重要。

首先，要确定排课问题的决策变量，包括课程的内容、教室的容量、上课的时间和日期、以及教师的有效期限等等。

其次，要确定排课问题的目标函数。

排课问题的目标函数可以是最小化总课程时间或最小化总优化成本，也可以是最大化总满意度，还可以是最小化总不满意度。

确定目标函数之后，下一步就是定义求解模型。

求解排课问题的数学模型有很多种，根据不同的排课目标，求解排课问题的数学模型可以分为五类：标量函数优化模型、统一考虑模型、单项满足约束模型、多项满足约束模型和模糊排课模型。

其中，最常用的是标量函数优化模型，即以满足所有限制条件下最优解为约束条件，设计一个目标函数，以最优解使得目标函数最优值最小。

随着计算机技术和软件技术的发展，求解排课问题的优化软件也得到了改进和完善。

使用计算机计算技术和软件，可以有效地求出满足所有限制条件下排课最优解，从而实现高效、准确地求解排课问题。

总的来说，求解排课问题的数学模型是一个复杂的优化设计问题，涉及到许多学科，包括数学、经济学、管理学等，而且它也是当今教育改革中很重要的问题。

所以，要有效地求解排课问题，必须对排课问题的数学模型进行全面的研究，并借助计算机技术和软件，以达到尽可能地满足学生的教学需求，提高课程安排的效率和质量。

综上所述，排课问题的数学模型研究是排课系统的基础，它不仅涉及到诸多学科，而且还可以利用计算机技术和软件达到更好的优化排课效果。

对巡检线路的排班数学模型分析作者：李波王妍婷来源：《湖北工业职业技术学院学报》2018年第03期摘要：本文根据一个巡检线路的数据，用数学统计方法对线路评估并给出优化方案。

用了最小生成树算法、整数线性规划建立了一系列数学规划模型，并用EXCEL和Mathematica、LINGO软件编程实现。

关键词：最小生成树；最短路径；巡检线路中图分类号： O242.1 文献标识码： A 文章编号： 2095-8153（2018）03-0073-040 引言人力资源管理是一个企业进行人力资源分配的重要工作，合理地安排人力资源，能够为企业带来最大的经济效益、社会效益、环境效益。

本文研究的是化工厂为满足不同条件的最优巡检人员调配方案问题，具体内容参看2017年全国大学生数学建模竞赛D题[1]。

结合本题附件中给出的具体要求及相关政策，建立模型，解决如下问题：问题一：若满足巡检人员固定上班时间，每班需要巡检人员的数量，以及巡检线路的安排，并给出巡检的时间表。

根据已有的各个点的巡检周期、巡检耗时、两点之间的连通关系及行走所需时间验证所建模型的合理性。

问题二：根据所建立的模型，分析如果巡检人员每巡检2小时左右需要休息一次，休息时间大约是5到10分钟，在中午12时和下午6时左右需要进餐一次，每次进餐时间为30分钟，仍采用每天三班倒轮班制，每班需要巡检人员的数量，巡检线路的安排，巡检人员的巡检线路和巡检的时间表。

问题三：根据问题一问题二所述，若满足巡检人员错时上班，重新验证问题一问题二，试分析错时上班是否更节省人力，是否更具有合理性。

1 模型假设模型假设（1）假设巡检人员在某一个时段一起开始上班，在某一个时段结束时一起下班。

（2）假设固定上班时间为早上8：00，每个巡检人员必须每天连续工作8小时，并且工作时间段稳定。

（3）假设不考虑上下班巡检人员交接班、中途吃饭和休息等时间。

（4）排除人员因生病、请假等不能正常工作的情况，排除天气对巡检的影响。

数模第三次培训论文论文题目：护士排班优化模型姓名1：李辉树学号： 09102105 专业：信计专业姓名1：彭记译学号： 09102107 专业：信计专业姓名1：游美玲学号： 09102203 专业：信计专业2011 年 7月 14日护士排班优化模型摘要本文将根据该题护士排班条件，以满足各班次护士量需求同时达到数量最少为目标，建立了护士排班优化模型，用Lingo 软件求解得到具体排班方案。

对于问题一：本文建立数据规划模型，固定每人该天排两个班次，且两个班次不连续，采用逐步累加法得出当天每个班次签到人数表达式，代入Lingo 软件求解得出每天该科所需的最少护士数为145人。

经排班检验可知该值为最小值。

对于问题二：本文以一星期为周期，综合分析每个班次排班要求及对应的最少护士数，制定最少人数计算公式即：x 6*7,将结果结合其它排班规定进行检验得出最少签约护士数为210人。

对于问题三：本文建立人与班次0-1矩阵，以第i 号人为横坐标，对应每天每个班次为纵坐标。

将护士排班规定转化为矩阵约束性条件，将有关数据转化为Lingo 语句代入软件求解，得到具体排班方案见附表一。

其中：条件一，两个班次不连上即：(,)(,1)1,1,2,...210,1,2,...,41z i j z i j i j ++≤==；条件二，第一天排班在小夜班的护士，第二天在时间段06:00-10:00不排班即：(,6*1)(,6*1)1,1,2,...,210,1,2,...,6z i j z i j i j -++≤==；条件三，大夜班每个星期最多只排一次，且第二天必须休息即：612*(,6*)(,6*)2,1,2,...,210,1,2,...,6k z i j z i j k i j =++≤==∑。

对于问题四：本文建立人与护师0-1矩阵，将问题三中的矩阵与之连接，对应矩阵值相乘，据题意得到不等式关系，再利用累加法，取得人与护师0-1矩阵值之和的最小值即为最少需要量。

学校排课的优化模型摘要排课是学校的一项常规工作,也是学校教育教学管理过程中不可或缺的重要环节。

在学校教务管理工作中，课程的编排是一项十分复杂、棘手的工作。

它不仅关系到学校教学工作的正常运行、教学效果、学生发展及教学资源的整合和科学高效的利用,而且关系到教师的身心健康和教育教学质量。

排课需要考虑时间、课程、教学区域、教室、班级、教师等多种因素。

本文就此类问题进行讨论，并根据题目要求深入分析后，将该问题归结为优化问题，确定了“将教师、课程、教室三个因素优化组合，并并分配到课表上的不同时间段上，形成最终课表”的解决方案。

首先建立各因素间关联关系，根据各因素间约束关系的不同，将多重约束条件为硬约束（强制要求）和软约束，写出各因素间的目标函数。

其次，为课表上四个时间段随机分配课表，以0-1规划方法分别将教师、教室分配到课表上的不同时间段上。

最终，形成了一份尽可能多的满足课程、教师、教室的要求的课表。

本文采用0-1规划法、逐级优化法，并考虑多重约束条件，形成了一个良好的排课模型。

并根据题目给出的数据，通过计算机编程，进行模型验证，求出了所需课表。

且在方案合理性分析中用计算机模拟的方法分析了教室的种类对排课结果的影响，最后给出了教师、教室、课程的配置建议。

一．问题的重述在学校的教务管理工作中，课程表的编排是一项十分复杂、棘手的工作。

排课需要考虑时间、课程、教学区域、教室、班级、教师等多种因素。

经优化的排课，可以在任意一时间段内，教师不冲突，授课不冲突，授课的班级不冲突，教室占用不冲突，且综合衡量全校课表在宏观上是合理的。

如何利用有限的师资力量和有限的教学资源，排出一个合理的课程安排结果，对稳定教学秩序、提高教学质量有着积极意义。

某高校现有37个自然班，编号为1..N；教师共有79名，编号为1..M；有教室50间，编号为1..R；有课程数54.课表编排规则：1.同一自然班不在同一时候参加不同教学班的授课；2. 同一教师不能同时参加不同教学班的授课；3. 一个教室不能同时开两门课程；4. 满足课程的教室类型需求；5. 学生人数不能超过教室容量；6. 同一门课程尽量不在同一天开课两次及以上；7. 一个自然班的课程尽量分布均匀到每天；8. 教师上课尽量集中，同时一天尽量不要超过6节，最好4节10. 晚上尽量不排课。