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第三章 单生命生存模型与生命表 第二节 生命表

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生命表函数与生命表构造

生命表函数与生命表构造

1 1 1 1 1 d t d t d t ... d 1 l0 2 t 0 t 1 t 2

1 1 1 1 1 [ d 0 (1 )d1 (2 )d 2 .... ( 1 )d 1 ] l0 2 2 2 2 (3.11)
ln
s ( x n) ln n p x s ( x)
xn x
故 n p x exp(
y dy) exp( x s ds
0 t 0
n
同样，对于t p x exp( x s ds)
• 死亡效力与生存函数的关系
s ( x) exp{ s ds}
0 x
• 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g (t )
s ( x) s ( x t ) G (t ) 1 t px s ( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt s ( x) s ( x)
• 概率函数
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k px qx k k qx
设S ( x)为( x)在死亡年所活过的不足 一年的部分，它是（ 0， 1 ）上的连续分布
T（x）=K(x)+S(x)
n t 0
p x x t dt 1
根据死亡力的定义公式 ，容易得出
n
q x t p x x t dt
0
nm
qx
nm t

第三章 生命表

第三章 生命表
k 0 k 0
由于 px t qx
t 1 2
px t qx
t 2

......... 故
k
k 0

k
q x＝1 q x 2 q x 3 q x ........ 2 q x 3 q x ........ 3 q x ........
0
o
ex (t. p
t
x
)
0
E T ( x)
t t p x x t dt
0

利用分部积分法，容易证明： d ( p ) t x t t p x x t dt tdt t p x t 0 0 dt
0

t
px 1 px 2 0.680 px 1 0.770 1 qx 1 px 1 q x 2 0.090 qx 2 0.117
qx1 qx2 0.230 0.117 0.347
例2.4

如果40岁以前死亡效力恒定为0.04，40 岁之后死亡效力提高到0.06，求25岁的 人在未来25年内的期望存活时间
1
qx1 0.090, 2 qx1 0.170, qx3 0.250.
例2.3

已知
1 2
qx 1 0.090 qx 1 0.170
qx 3 0.250

计算
qx1 qx2
解2.3
2 qx 1 px 1 px 2 qx 3 0.170 qx 3 0.025
n t 0
p x x t dt 1
根据死亡力的定义公式，容易得出

第3章 2生命表

第3章 2生命表
18
5．平均生存人年数(Lx)
把人数同时间联系起来进行研究的一个复合计 量单位的指标。是人数与时间的乘积
1个人活了4年，即4个人年数；另2个人活了5 年，即10个人年数。重要指标，如教育经费， 公共设施
从某一个确切年龄x岁到另一确切年龄x+n岁间 的生存者所具有的人年数的平均值
19
由于不同年龄层次的人口死亡水平的高低
不同，反映在生存时间的长度上各有差异， 人口不同年龄层次分布计算
0岁组
L0
1 4
l0
3 4
l1
5岁以上各组的计算 Lx 12(lx lx1)
1~4岁各年龄组的计算
1
1
Lx2(lxlx1)2(4 dx1dx)
20
6．平均生存总人年数(Tx)
表示X岁及以上各年龄组的人口今后 还能存活人年数的总和。
这是生命表中一个最重要的元素，死亡概率 计算精度如何，与生命表质量高低有着决定 性的重要关系。
14
qx
dx lx
ndx lx· nqx
dx-表上死亡人数； lx-尚存人数 由于两者是未知元素，qx的计算依据其他来推导
15
年龄别死亡率(nmx) 表示某年龄组人口在一年 或n年内的平均死亡率。
mx
Tx Lx Lx1 ......L1
1
Li ix 21
当x=0时
T0 L0 L1 ......L1
1
Li i0
22
7．平均预期寿命(ex)
它表明活到x岁的人口中，每人平 均还能活多少年。即：
ex
Tx lx
23
当x=0时
e0
T 存活的寿命
24
实际数据
0.028614＝232/8108

生命表

生命表

501 2 1 1 1 1 1 0
506 5 3 3 2 1 1 0
0.5 2.0 4.6 3.9 3.1 2.3 1.4 0.5
67424 175 50 47 44 41 38 35
5.954 1.253 0.062 0.066 0.071 0.076 0.082 3.555
5.3 动态混合生命表：同时包括了存活率lx和出生率mx
第二章、种群生态学
§1 §2 §3 §4 §5
概论 种群的基本特征 生命表的特征和应用 种群增长 种群调节 种群进化对策
第二节、生命表 Life table
1. 概念
生命表是按种群生长的年龄或发育阶段的顺序而编制
的,是种群中个体存活、死亡和新生历程的系统记述。
简言之，生命表是直接记录种群内个体死亡和存活过程的一览表. 记录了与年龄或发育阶段相联系的某个种群特定年龄或特定时间的死 亡和生存情况。 统计预测特定年龄人群的生命期望（Life expectancy)。
There are three generalized patterns of age-specific survivorship depending on whether the probability of dying is highest later in life (Type I)
constant through life (Type II) or
0.067 0.137 0.222 0.342 0.426 0.556 0.699
0 300 620 430 210 60 30 10 —
5.2 静态生命表：

是根据某一特定时间对种群作年龄结构调查的资 料而编制的生命表。
Numerical data was obtained by investing age structure of population at one time.

3.1生存模型与生命表教案资料

3.1生存模型与生命表教案资料
（1） 一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即 定价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
二、新生婴儿的生存分布
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ; 又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu) P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
u|t qx P(Tx t u,Tx u)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et 些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
与密度函数的关系： f0(t)S0(t) 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质

生命表分析

生命表分析
组都有一部分人死亡。随着年龄的提高，确切 年龄上的人数越来越少。
• 生命表正是反映在封闭人口条件下一批人从出 生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。它是 以各年龄死亡概率为依据，并以此计算出各年 龄的死亡人数，编制出相应的生命表。
• 生命表分析方法不但可用于死亡研究，还可用 于初婚、离婚、再婚、生育、迁移、子女离家 等几乎所有人口过程的研究，因此将其作为人 口统计分析的工具之一重点研究。
规模的要求
• 要注意不是任何地区都可以计算完全生命表。对 于那些人口规模比较小的地区，若按1岁一组分， 某些年龄的死亡人数比较小，甚至会出现某些年 龄死亡人口为0的情况，这样计算的死亡率不具有 一般性或代表性，而是由于随机性产生的特殊情 况。这样的死亡率是没有意义的。因此只有当人 口总量达到一定规模后才可计算完全生命表。
一、生命表的产生和涵义
• 统计学的产生来源于英国的政治算术学派， 而政治算术学派的著名创始人之一格兰特的 代表性著作《关于死亡表的自然的和政治的 观察》一书，不仅对统计学产生具有极大影 响、而且为人口统计学的创立打下了一个良 好的基础。该书首次提出了死亡表的概念， 并且根据大量的实际死亡率资料，以百名出 生婴儿为基础，编制了死亡表。
的生存人数
• ndx ：number dying between ages x and x + n，
(x,x+n)内的死亡人数
• qn x ： probability of dying from age x to age x
+ n，(x,x+n)内的死亡概率
• nLx ： person-years lived between ages x and
L 0.276l 0.724l1

保险精算第3章(3)


s(x t)
t px
1 ty px t px
1
pxt y pxt
1
p
y x
y p xt pxy
26
例：在常数死力下求： q5 75.25
l75 56799 l76 54239 l80 43180 l81 40208
p 5 75.25 p 0.75 75.25 4 p76 0.25 p80
5 p20 0.2 p25 (10.8 p25.2 2 p26 0.6 p28 )
l25 l20
(1
0.2q25 )[1
(1
0.8q25 1 0.2q25
)
l28 l26
(1
0.6q28 )
0.00248
24
二、年龄内常数死力假设(几何插值法)
还可以怎么写？
• 令： s(x t) s(x)1t s(x 1)t 0 t 1
p0.75 75
l80 l76
p 0.25 80
0.75545
q5 75.25 0.24455
27
三、调和插值法（Balducci假设）
• 令： 1 1 t t
s(x t) s(x) s(x 1)
0t 1
• 生存函数：
t
px
s(x t) s(x)
1 1t t s(x) s(x 1)
0 t 1
1.t qx
lx
lxt lx
td x lx
tqx
2.t px
lxt lx
lx tdx lx
1 tqx
3. y qxt
lxt
lxt y lxt
yd x lx tdx
yqx 1 tqx
21

生存分布与生命表


2020/5/7
19
令L(x)表示这群人在x岁还活着的人数。用j=1,2,…,l0来 记这些人，则有
2020/5/7
20
因为新生儿在x和x+n岁之间死亡的概率为s(x)-s(x+n)， 所以有
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21
2020/5/7
22
2020/5/7
23
下面讨论几个概念的关系：
2020/5/7
所以
于是
2020/5/7
15
2020/5/7
16
作业：F(x),f(x),S(x)和死力的关系
F(x)
分布函数 密度函数 生存函数 死力 x
F(x)
f(x)
S(x)
f(x)
S(x)
x
2020/5/7
17
第二节 生命表
对于具体含义为人的寿命（或未来生命时间长 度）的随机变量而言，想要找到一个简单的函 数作为其分布函数（或密度函数）几乎是不可 能的。需要利用其它描述随机变量的方法，来 描述我们所要研究的特定的随机变量X和T(x)。
F (x)描述了随机变量X的分布函数， 且假设F (0) 0。
可以用F(X)表示连续型和离散型的死亡年龄分布函数
用T(x)表示(x)从现在直到死亡之间的时间长度，显然， (x)在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T(x)不是一 个确定的数，而是一个随机变量，我们称T(x)为(x)的未 来生命时间长度随机变量。
10000
1,
x0
sX
(
x)
(100 x)2 10000
,
0
x 100
பைடு நூலகம்0,
x 100
2020/5/7

生命表理论


[x]
q[ x ]
选择表
q [ x 1]
q[ x 2]
终极表
q[ x 3] q[ x 4]
q x5
x5
64 65 66 67
.0249 .0273 .0298 .0326
.0354 .0387 .0424 .0464
.0447 .0489 .0535 .0586
.0554 .0607 .0664 .0727
解2.6
(1) e 7 0 l70 l71 l72 l73 l70 1 0 0 0 8 0 0 4 0 0＋ 1 0 0 1000 2 .3
( 2 ) l 7 1 t 8 0 0 (1 t ) 4 0 0 t L71 m 71 (3 ) a ( 7 2 ) 1 2
解2.7

8
则甲老人能活到73岁的概率为
p [ 6 5 ] (1 q [ 6 5 ] )(1 q [ 6 6 ] )(1 q [ 6 7 ] )(1 q [ 6 8 ] )(1 q [ 6 9 ] )(1 q 7 0 )(1 q 7 1 )(1 q 7 2 ) 0 .5 7 5 4 0 3

1 0
l7 1 t d t 400 600

1 0
8 0 0 (1 t ) 4 0 0 td t 6 0 0 2 3
d 71 L71

四、选择-终极生命表

选择-终极生命表构造的原因
– 需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体 检的新成员的健康状况会优于很早以前接 受体检的老成员。 – 需要构造终极生命表的原因：选择效力会 随时间而逐渐消失
例2.7

假定有两位老人今年都是65岁。甲老人 是今年刚刚体检合格购买的保险，乙老 人是10年前购买的保险，至今仍在保障 范围内。使用上面给出的选择－终极生 命表估计两位老人分别能活到73岁的概 率。

生命表基础课件


t
（7） t qx FT (x) (t) 0 s px (x s)ds ；

（8）
qx

lim
t
FT
(
x
)
(t
)

0 t px (x t)dt 1；
（9）
d dt
t
px

d dt
(1
t qx )


d dt
t qx

t
px ( x
t)；
（10） lim xn ( y)dy . n x
上式中，当 u=1 时，则可简记为 t| qx 。 注：由前面的讨论，我们有，
（1）t qx

SX (x) SX (x t) SX (x)
；
（2）t
px

SX (x t) SX (x)
（3）t|u qx t px tu
； px

SX
(x
t) SX (x SX (x)
t
u)
)


S
X '( SX
x (
t x)
)
注：关于T（x）的概率都是已知 X x 时相应的 X 的条件概率。
类似地，我们定义一个x 岁的人在 t 年后活着的概率 ST (x) (t)为： ST (x) (t)=Pr(T(x)>t)=1 FT (x) (t)
=1 SX (x) SX (x t) SX (x)
例1-4. 对于例1-1中的 X ，求 (x) 。
解：黑板演示
第二节 生命表函数
一、生命表的概念 二、 lx 函数 三、d x函数
一、生命表的概念
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原理

在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人 群的生存概率。（用频数估计频率） 新生生命组个体数：l0 年龄： x 极限年龄： l0 个新生生命能生存到年龄

常用符号

x 的期望个数：l x
4
二、生命表的构造

l0个新生生命中在年龄 x与 x n之间死亡的期望个
数： d x n
（1）生存至100岁的概率；
（2）在70岁之前死亡的概率；
（3）在90岁至100岁之间死亡的概率。
6
例2.10答案
利用旧生命表中的数据，有 （1） p l100 3911 0.003986. 80 20 l20 981140
l70 687074 （2）50 q20 1 50 p20 1 l 981140 0.29972. 20 l90 l100 99580 3911 0.097508. （3）70|10 q20 l20 981140
选择表 q[ x ] 2 q[ x ]3 q[ x ] 4 .0313 .0388 .0474 .0342 .0374 .0409 .0447 .0489 .0535 .0586 .0424 .0463 .0507 .0554 .0607 .0664 .0727 .0518 .0566 .0620 .0678 .0742 .0812 .0889

l70 766107 （2）50 q20 1 50 p20 1 1 0.22769. l20 991969 l90 l100 127363 2762 0.1256098. （3） 70|10 q20 l20 991969
9
课堂练习
1、已知
x l x 10000 (1 ) 100
7
例2.11

根据中国人寿保险业经验生命表（2000— 2003） CL1，求个体（20）
（1）生存至100岁的概率； （2）在70岁之前死亡的概率； （3）在90岁至100岁之间死亡的概率。
8
例2.11答案
利用新生命表中的数据，有 （设 l0 1000000 ） （1） p l100 2762 0.002784. 80 20 l20 991969
终极表 qx 5 x 5 .0545 75 .0596 .0652 .0714 .0781 .0855 .0936 .1024 76 77 78 79 80 81 82
17
特点

每一纵列上各单元的死亡率随选择年龄的增 大而增大。

每一横行上各单元的死亡率随延续时间的延 长而增大。
由左下至右上的对角线上各单元的选择年龄 逐渐变小，同时延续时间逐渐变大，以保持 到达年龄相同。总体效果是死亡率随延续时 间而增大。
第二节
生 命 表
1
一、生命表的起源

生命表的定义

根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编 制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表。

生命表的发展历史

1662年，Jone Graunt，根据伦敦瘟疫时期的洗礼 和死亡名单，写过《生命表的自然和政治观察》。 这是生命表的最早起源。
2
一、生命表的起源
q x j ; j 0,1,
其中方括弧中的x为选择年龄，j为选择后的 延续时间，x+j为到达年龄。
14
三、选择-终极生命表

同龄的人，由于延续时间的存在，被选择时间越
早，死亡率越大。即对于 0 k x ，有
q[ xk ]k j q x j ; j 0,1,

经过若干时间，不论曾经在哪个年龄被选择，活
到相同年龄的人的死亡率会基本相等。总体上看， 会随着时间的推移而逐渐缩小至0。 q[ xk ]k j q x j
15
三、选择-终极生命表

实务中，通常设定一个年限r，当选择经过了r年后， q[ xk ]k j q x j ; j 0,1, 我们认为这个r年就称为选择期。 由选择期内的死亡率构造的生命表就称为选择表。 在选择期结束后，死亡率只与到达年龄有关，与 选择年龄无关。以选择影响消失后的死亡率构造
1|
20
11
思考题
（1）相比较新旧两个生命表，从数据上反映了 十年间有哪些变化？ （2）试分析这些变化的原因。 （3）这些变化对保险公司开发险种，设立保险 条款，确定保险费以及准备金等将产生什么 影响？ 注：以上问题没有标准答案，就其所能尽量 发挥。
12
三、选择-终极生命表

选择-终极生命表构造的原因

18
Hale Waihona Puke 例2.12
利用上表计算 2 p724 , 1| q722 .
19
例2.12答案
2
p72 4 p72 4 p77 1 0.0566 1 0.0652 0.88189 q72 2 p72 2 q723 1 0.0374 0.0463 0.044568
计算下面各值：
（1） d30 ,20 p30 ,30 q30 ,10 q30
（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。 （3）该人群平均寿命。
10
课堂练习
2、根据中国人寿保险业经验生命表（2000—
2003） CL2，求个体（20）
（1）生存至100岁的概率；
（2）在70岁之前死亡的概率；
（3）在90岁至100岁之间死亡的概率。

的生命表称为终极表。习惯上，将终极表并列在
选择表的右边，就构成了选择-终极表。
16
选择-终极生命表实例
q[ x ] 70 .0175
71 .0191 72 .0209 73 .0228 74 75 76 77 .0249 .0273 .0298 .0326
x
q[ x ]1 .0249
.0272 .0297 .0324 .0354 .0387 .0424 .0464

1693年，Edmund Halley，《根据Breslau城出生 与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第 一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分 布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。

生命表的特点

构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖 总体分布假定（非参数方法）
3
二、生命表的构造
需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新 成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成 员。因此那些在投保时健康状况良好的被保险人 的死亡率低于没有接受健康状况检查的人。
需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间 而逐渐消失。

13
三、选择-终极生命表

选择-终极生命表的使用


把保险公司对被保险人的健康状况的核保看作是 一种选择，那么选择年龄对于死亡率就有影响作 用。 将x岁被选择的人以后各年的死亡率记为

l0个新生生命在年龄 x 至tx t 区间共存活年数 t Lx： x
t
Lx

x
l y dy

l0个新生生命中能活到年龄 x的个体的剩余寿命总
数 Tx ：
Tx
x
o Tx l y dy ex lx
5
例2.10

根据CL93M，求个体（20）