必修一函数的奇偶性

高中必修一数学教案《函数的奇偶性》教材分析函数的奇偶性是高中数学必修一人教版B版第三章第一单元第三节的内容，是函数的一条重要性质。

教材从学生熟知的函数入手，结合初中学生已经学习过的轴对称和中心对称，感受奇函数和偶函数的图象特征，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地学习函数的奇偶性。

从知识结构上而言，奇偶性既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究基本初等函数的基础，起着承上启下的作用。

学情分析从学生的认知基础来看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。

同时，学生刚刚学习了函数的单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。

从学生的思维发展来看，高一学生的思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。

教学目标1、理解函数奇偶性的概念和图像特征，能判断一些简单函数的奇偶性。

2、经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。

3、通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美；通过分组讨论，培养合作交流的精神，学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。

教学重点函数奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性。

教学难点对函数奇偶性的概念理解与认识。

教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、复习导入初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），关于原点的对称点为（-x，-y）。

例如，（-2，3）关于y轴的对称点（2，3），关于原点的对称点（2，-3）二、学习新知1、偶函数填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征。

不难发现，上述两个函数，当自变量取为相反数的两个值x和-x，对应的函数值相等。

f（-x）= （-x）2 = x2 = f（x）g（-x）= 1|−x| = 1|x|= g（x）一般地，设函数y = f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f（-x）= f（x）则称y = f（x）为偶函数。

高一数学必修一函数专题：奇偶性第一部分：常见的奇函数和偶函数常见奇函数：第一种：nx x f =)(（n 为奇数）例：x x f =)(；x x x f 1)(1==-；3)(x x f =；331)(xx x f ==-。

第二种：n x x f =)(（n 为奇数）例：331)(x x x f ==；515)(x x x f ==。

第三种：)sin()(x A x f ϖ=例：)2sin()(x x f =；)sin()(x x f --=；x x f sin 21)(=。

第四种：)tan()(x A x f ϖ=例：x x f tan )(=；)21tan(2)(x x f --=；x x f tan 3)(=。

常见偶函数：第一种：n x x f =)(（n 为偶数）例：2)(x x f =；221)(x x x f ==-；4)(x x f =；441)(x x x f ==-。

第二种：c x f =)(（c 为常数）例：2)(=x f ；21)(-=x f 。

第三种：)cos()(x A x f ϖ=例：)cos(3)(x x f -=；)2cos(21)(x x f =；)cos()(x x f -=。

第四种：|)(|)(x g x f =（)(x g 为奇函数或者偶函数）例：|)sin(2|)(x x f -=；||)(4x x f =；|tan |)(x x f =；|)21cos(|)(x x f -=。

两种特殊的奇偶函数：第一种：)()()()(x f x g x g x f ⇒-+=是偶函数例：x x e e x f -+=)(，假设：)()()()()()(x f x g x g x f e x g e x g x x ⇒-+=⇒=-⇒=-是偶函数。

第二种：)()()()(x f x g x g x f ⇒--=是奇函数例：x x x f 313)(-=，假设：)()()()(313)(3)(x f x g x g x f x g x g xx x ⇒--=⇒==-⇒=-是奇函数。

在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。

接下来小编在这里给大家分享一些关于数学必修一函数知识点，供大家学习和参考，希望对大家有所帮助。

数学必修一函数知识点篇一1. 函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2的周期函数;5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);≥f(x) 恒成立a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立a≤[f(x)]min;7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N( a>0,a≠1,N>0 );8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;9. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

函数的奇偶性 题型归纳题型一、函数奇偶性的概念➢ 函数奇偶性的定义：设函数D x x f y ∈=，)(，（D 为关于原点对称的区间）：①如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f -=，则称)(x f y =为偶函数；②如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f --=，则称)(x f y =为奇函数。

➢ 函数奇偶性的性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

②奇偶函数的图像：奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称。

③奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则必有0)0(=f 。

④偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =。

1. 若)(x f 是奇函数，则其图象关于（ ）【答案：C 】A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称2. 若函数))((R x x f y ∈=是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的是（ ）【答案：C 】A ．))(,(a f a -B ．))(,(a f a --C ．))(,(a f a ---D ．))(,(a f a -3. 下列说法错误的是（ ）【答案：D 】A.奇函数的图像关于原点对称B.偶函数的图像关于y 轴对称C.定义在R 上的奇函数()x f y =满足()00=fD.定义在R 上的偶函数()x f y =满足()00=f题型二、判断函数的奇偶性➢ 定义法：➢ 运算函数奇偶性的规律：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×÷奇=偶；奇×÷偶=奇；偶×÷偶=偶。

➢ 复合函数奇偶性判断：内偶则偶，两奇为奇。

➢ 抽象函数奇偶性：赋值法。

1、定义法：1. 下列函数中为偶函数的是（ ）【答案：C 】A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y2. 判断函数的奇偶性 ①)3,1(,)(2-∈=x x x f ②2)(x x f -=；③25)(+=x x f ； ④)1)(1()(-+=x x x f .⑤()xx x f 1-= ⑥()13224+-=x x x f 【答案：】（1）非奇非偶函数.（2）偶函数.（3）非奇非偶函数.（4）偶函数.（5）奇函数（6）偶函数.2、奇偶函数的四则运算法则：3. 下列函数为偶函数的是（ ）【答案：D 】A.()x x x f +=B.()xx x f 12+= C.()x x x f +=2 D.()2x x x f =4. 判断函数的奇偶性①53)(x x x x f ++=； ②1y 2+=x x【答案：（1）奇函数. （2）奇函数. 】5. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）。

高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)首先，画出函数y=-x^2+2|x|+3的图像，然后确定函数的单调区间。

当x≥0时，y=-x^2+2x+3=-(x-1)+4；当x<0时，y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4.因此，在区间（-∞，-1］和［1，+∞）上，函数是增函数；在［-1，1］上，函数是减函数。

需要注意的是，函数单调性是针对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，因此对于区间端点只要函数有意义，都可以带上。

接下来，考虑函数f（x）=x^2+2(a-1)x+2在区间（-∞，4］上是减函数的情况下，求实数a的取值范围。

首先，要充分运用函数的单调性，以对称轴为界线这一特征。

将f（x）=x^2+2(a-1)x+2写成［x+(a-1)］^2-(a-1)^2+2的形式，可以发现其对称轴是x=1-a。

因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x=1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3.最后，判断函数f（x）=-2的奇偶性和函数f（x）=(x-1)的奇偶性。

对于第一个函数，其定义域为R，因为f（-x）=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f（x），因此f（x）为奇函数。

对于第二个函数，其定义域为{x|-1≤x＜1}，不关于原点对称，因此f （x）既不是奇函数，也不是偶函数。

判断函数的奇偶性时，需要先求出函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称。

然后计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）=f（x）或f （-x）=-f（x）之一是否成立。

如果f（-x）与-f（x）的关系不明确，可以考查f（-x）±f（x）是否成立，从而判断函数的奇偶性。

最后，对于函数f（x）=|x|/x，需要判断其奇偶性并确定其在（-∞，+∞）上是增函数还是减函数。

由于f（x）的定义域为R，且f（-x）=f（x），因此f（x）为偶函数。

高一年级人教版必修一3.2.2函数的奇偶性教案年级：高一年级版本：人教版模块：必修一【教材分析】在“函数的奇偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系。

它既是函数概念的拓展和深化，是继函数单调性后的又一个重要性质，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等函数的必备知识。

因此本节课起着承上启下的重要作用。

奇偶性的教学无论在知识上还是在能力上对学生的教育起着非常重要的作用。

【核心素质培养目标】1.结合具体函数的图像和解析式，深刻理解奇函数、偶函数的定义。

2.通过画图，分析图像了解奇函数、偶函数图象的特征，培养直观想象核心素养。

3.通过例题学习，归纳并掌握判断（证明）函数奇偶性的方法，培养逻辑推理核心素养。

【教学重难点】教学重点：函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判定教学难点：判断函数奇偶性的方法与格式【教学方法】师生共同探究，从代数的角度来严格推证。

【教学过程】一、情景引入，提出问题对称美是大自然的一种美，对称美在数学中随处可见，今天我们学习数学中的对称美。

师：复习函数的三要素和三种表示法。

生：三要素是：定义域、值域、对应关系；三种表示方法是：解析法、图象法、列表法。

师：结合的三要素和三种表示方法想一想（1）这个函数图象有什么特征？生：答定义域关于原点对称且图像关于y轴对称。

（2）当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值什么关系？生：从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。

（3）你能尝试用函数解析式描述图象的对称特征吗？生：对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)。

师：这时我们称f(x)=x2为偶函数，设计意图：启发学生由图象获取函数性质的直观认识，从而引入新课。

二、获取新知，生成概念（板书）偶函数:一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

师：研究函数优先考虑定义域，把f(x)=x2定义域改成（0，+∞），仍然是偶函数吗？生：不是师：判断函数是偶函数的前提什么？生：函数的定义域关于原点对称。

高一数学必修一函数知识点总结归纳1.函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数;5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1); (3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);8.判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

函数的奇偶性知识集结知识元根据奇偶性求值知识讲解一、奇函数1、定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．2.点拨（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；（2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f （x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x，那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2＋（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2＋x3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．二、偶函数1.定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．2.点拨（1）运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3＋bx2＋cx＋d，那么a＋c是多少？（2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f （﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．3.命题方向与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．例题精讲根据奇偶性求值例1.设y=f（x）是定义域为R的偶函数，若当x∈（0，2）时，f（x）=|x-1|，则f（-1）=（）A．0B．1C．-1D．2例2.已知定义域为R的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0≤x≤1时，f（x）=x3，则=（）A．B．C．D．例3.下列函数，既是偶函数，又在（-∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=-（x-1）2B．C．f（x）=3|x|D．f（x）=cos x例4.已知函数f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则=（）A．2B．C．D．函数的奇偶性中的含参数问题知识讲解一、奇函数1、定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．2.点拨（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；（2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f （x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x，那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2＋（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2＋x3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．二、偶函数1.定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．2.点拨（1）运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3＋bx2＋cx＋d，那么a＋c是多少？（2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f （﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．3.命题方向与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．例题精讲函数的奇偶性中的含参数问题例1.已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x＋1）．若f（a）＝﹣2，则实数a＝．例2.若f（x）＝2x＋a•2﹣x为奇函数，则a＝．例3.设函数f（x）＝为奇函数，则实数a＝．根据函数的奇偶性求函数解析式知识讲解一、奇函数1、定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．2.点拨（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；（2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f （x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x，那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2＋（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2＋x3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．二、偶函数1.定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．2.点拨（1）运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3＋bx2＋cx＋d，那么a＋c是多少？（2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f （﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．3.命题方向与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．例题精讲根据函数的奇偶性求函数解析式例1.设f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x（1＋）＋1，则f（x）表达式为．例2.'已知函数y＝f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，，求f（x）在R上的解析式.'例3.已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，，则f（x）的解析式为．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数奇偶性的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.已知一个奇函数的定义域为{-1，2，a，b}，则a+b=（）A．-1B．1C．0D．2例2.已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2-2x，则当x<0时，f（x）的解析式是（）A．f（x）=-x（x+2）B．f（x）=x（x-2）C．f（x）=-x（x-2）D．f（x）=x（x+2）例3.若函数f（x）（f（x）≠0）为奇函数，则必有（）A．f（x）∙f（-x）>0B．f（x）∙f（-x）<0C．f（x）<f（-x）D．f（x）>f（-x）例4.y=f（x）为奇函数，当x>0时f（x）=x（1-x），则当x<0时，f（x）=______。

人教版高一数学必修一知识点梳理人教版高一数学必修一知识点梳理1函数的奇偶性(1)偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.(2).奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的'奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;○2确定f(-x)与f(x)的关系;○3作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.人教版高一数学必修一知识点梳理21、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

函数的单调性和奇偶性例1〔1〕画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间．解：函数图像如以下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-〔x-1〕2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-〔x+1〕2+4．在〔-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞〕上，函数是减函数．评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上．〔2〕已知函数f〔x〕＝x2+2〔a-1〕x+2在区间〔-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征．解：f〔x〕＝x2+2〔a-1〕x+2＝［x+〔a-1〕］２-〔a-1〕2+2，此二次函数的对称轴是x＝1-a．因为在区间〔-∞，1-a］上f〔x〕是单调递减的，假设使f〔x〕在〔-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3．评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．例2判断以下函数的奇偶性：〔1〕f〔x〕＝-〔2〕f〔x〕＝〔x-1〕．解：〔1〕f〔x〕的定义域为R．因为f〔-x〕＝｜-x+1｜-｜-x-1｜＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f〔x〕．所以f〔x〕为奇函数．〔2〕f〔x〕的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f〔x〕既不是奇函数，也不是偶函数．评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：〔1〕求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称．〔2〕计算f〔-x〕，并与f〔x〕比较，判断f〔-x〕＝f〔x〕或f〔-x〕＝-f〔x〕之一是否成立．f 〔-x〕与-f〔x〕的关系并不明确时，可考查f〔-x〕±f〔x〕＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性．例3已知函数f〔x〕＝．〔1〕判断f〔x〕的奇偶性．〔2〕确定f〔x〕在〔-∞，0〕上是增函数还是减函数?在区间〔0，+∞〕上呢?证明你的结论．解：因为f〔x〕的定义域为R，又f〔-x〕＝＝＝f〔x〕，所以f〔x〕为偶函数．〔2〕f〔x〕在〔-∞，0〕上是增函数，由于f〔x〕为偶函数，所以f〔x〕在〔0，+∞〕上为减函数．其证明：取x1＜x2＜0，f〔x1〕-f〔x2〕＝- ＝＝．因为x1＜x2＜0，所以x2-x1＞0，x1+x2＜0，x21+1＞0，x22+1＞0，得f〔x1〕-f〔x2〕＜0，即f〔x1〕＜f〔x2〕．所以f〔x〕在〔-∞，0〕上为增函数．评析奇函数在〔a,b〕上的单调性与在〔-b,-a〕上的单调性相同，偶函数在〔a,b〕与〔-b,-a〕的单调性相反．例4已知y=f〔x〕是奇函数，它在〔0，+∞〕上是增函数，且f〔x〕＜0，试问F〔x〕＝在〔-∞，0〕上是增函数还是减函数?证明你的结论．分析根据函数的增减性的定义，可以任取x1＜x2＜0，进而判定F〔x1〕-F〔x2〕＝-＝的正负．为此，需分别判定f〔x1〕、f〔x2〕与f〔x2〕的正负，而这可以从已条件中推出．解：任取x1、x2∈〔-∞，0〕且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0．∵y＝f〔x〕在〔0，+∞〕上是增函数，且f〔x〕＜0，∴f〔-x2〕＜f〔-x1〕＜0．①又∵f〔x〕是奇函数，∴f〔-x2〕＝-f〔x2〕，f〔-x1〕＝-f〔x1〕②由①、②得f〔x2〕＞f〔x1〕＞0．于是F〔x1〕-F〔x2〕＝＞0，即F〔x1〕＞F〔x2〕，所以F〔x〕＝在〔-∞，0〕上是减函数．评析此题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在〔0，+∞〕内任取x1＜x2，展开证明．这样就不能保证-x1，-x2，在〔-∞，0〕内的任意性而导致错误．防止错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动．例5讨论函数f〔x〕＝〔a≠0〕在区间〔-1，1〕内的单调性．分析根据函数的单调性定义求解．解：设-1＜x1＜x2＜１，则f〔x1〕-f〔x2〕＝-＝∵x1，x2∈〔-1，1〕，且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，〔1-x21〕〔1-x22〕＞0于是，当a＞0时，f〔x1〕＜f〔x2〕；当a＜0时，f〔x1〕＞f〔x2〕．故当a＞0时，函数在〔-1，1〕上是增函数；当a＜0时，函数在〔-1，1〕上为减函数．评析根据定义讨论〔或证明〕函数的单调性的一般步骤是：〔1〕设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1＜x2；〔2〕作差f〔x1〕-f〔x2〕，并将此差式变形；〔3〕判断f〔x1〕-f〔x2〕的正负，从而确定函数的单调性．例6求证：f〔x〕＝x+ 〔k＞0〕在区间〔0，k］上单调递减．解：设0＜x1＜x2≤k，则f〔x1〕-f〔x2〕＝x1+ -x2-＝∵0＜x1＜x2≤k，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜k2，∴f〔x1〕-f〔x2〕＞0∴f〔x1〕＞f〔x2〕，∴f〔x〕＝x+ 中〔0，k］上是减函数．评析函数f〔x〕在给定区间上的单调性反映了函数f〔x〕在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质．因此，假设要证明f〔x〕在［a,b］上是增函数〔减函数〕，就必须证明对于区间［a,b］上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，都有不等式f〔x1〕＜f〔x2〕〔f〔x1〕＞f〔x2〕〕类似可以证明：函数f〔x〕＝x+ 〔k＞0〕在区间［k，+∞］上是增函数．例7判断函数f〔x〕＝的奇偶性．分析确定函数的定义域后可脱去绝对值符号．解：由得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2｜＝2-x．∴f〔x〕＝，∴f〔-x〕＝＝＝f〔x〕．且注意到f〔x〕不恒为零，从而可知，f〔x〕＝是偶函数，不是奇函数．评析由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，假设不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断．但隐含条件〔定义域〕被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了．这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以防止错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程．函数奇偶性练习一、选择题1．已知函数f 〔x 〕＝ax 2＋bx ＋c 〔a ≠0〕是偶函数，那么g 〔x 〕＝ax 3＋bx 2＋cx 〔 〕 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 2．已知函数f 〔x 〕＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则〔 〕 A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f 〔x 〕是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f 〔x 〕＝x 2－2x ，则f 〔x 〕在R 上的表达式是〔 〕 A ．y ＝x 〔x －2〕 B ．y ＝x 〔｜x ｜－1〕 C ．y ＝｜x ｜〔x －2〕 D ．y ＝x 〔｜x ｜－2〕 4．已知f 〔x 〕＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f 〔－2〕＝10，那么f 〔2〕等于〔 〕 A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 5．函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是〔〕A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 6．假设)(x ϕ，g 〔x 〕都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在〔0，＋∞〕上有最大值5， 则f 〔x 〕在〔－∞，0〕上有〔 〕A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3 二、填空题 7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________〔填奇函数或偶函数〕 ．8．假设y ＝〔m －1〕x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________． 9．已知f 〔x 〕是偶函数，g 〔x 〕是奇函数，假设11)()(-=+x x g x f ，则f 〔x 〕的解析式为_______．10．已知函数f 〔x 〕为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f 〔x 〕＝0的所有实根之和为________． 三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f 〔x 〕在区间［0，2］上单调递减，假设f 〔1－m 〕＜f 〔m 〕，求实数m 的取值范围．12．已知函数f 〔x 〕满足f 〔x ＋y 〕＋f 〔x －y 〕＝2f 〔x 〕·f 〔y 〕〔x ∈R ，y ∈R 〕，且f 〔0〕≠0， 试证f 〔x 〕是偶函数．13.已知函数f 〔x 〕是奇函数，且当x ＞0时，f 〔x 〕＝x 3＋2x 2—1，求f 〔x 〕在R 上的表达式．14.f 〔x 〕是定义在〔－∞，－5］ ［5，＋∞〕上的奇函数，且f 〔x 〕在［5，＋∞〕上单调递减，试判断f 〔x 〕在〔－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．15.设函数y ＝f 〔x 〕〔x ∈R 且x ≠0〕对任意非零实数x 1、x 2满足f 〔x 1·x 2〕＝f 〔x 1〕＋f 〔x 2〕， 求证f 〔x 〕是偶函数．函数的奇偶性练习参考答案1． 解析：f 〔x 〕＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g 〔x 〕＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f 〔x 〕·)(x ϕ满足奇函数的条件． 答案：A2．解析：由f 〔x 〕＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ． 3．解析：由x ≥0时，f 〔x 〕＝x 2－2x ，f 〔x 〕为奇函数，∴当x ＜0时，f 〔x 〕＝－f 〔－x 〕＝－〔x 2＋2x 〕＝－x 2－2x ＝x 〔－x －2〕．∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f 〔x 〕＝x 〔|x |－2〕答案：D4．解析：f 〔x 〕＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f 〔－2〕＋8＝18，∴f 〔2〕＋8＝－18，∴f 〔2〕＝－26． 答案：A5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f 〔－x 〕＋f 〔x 〕＝0． 答案：B 6．解析：)(x ϕ、g 〔x 〕为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数． 又f 〔x 〕在〔0，＋∞〕上有最大值5， ∴f 〔x 〕－2有最大值3．∴f 〔x 〕－2在〔－∞，0〕上有最小值－3， ∴f 〔x 〕在〔－∞，0〕上有最小值－1． 答案：C7．答案：奇函数8．答案：0解析：因为函数y ＝〔m －1〕x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f 〔－x 〕＝f 〔x 〕，即〔m －1〕〔－x 〕2＋2m 〔－x 〕＋3＝〔m —1〕x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0． 9．解析：由f 〔x 〕是偶函数，g 〔x 〕是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ． 答案：11)(2-=x x f 10．答案：0 11．答案：21<m12．证明：令x ＝y ＝0，有f 〔0〕＋f 〔0〕＝2f 〔0〕·f 〔0〕，又f 〔0〕≠0，∴可证f 〔0〕＝1．令x ＝0，∴f 〔y 〕＋f 〔－y 〕＝2f 〔0〕·f 〔y 〕⇒f 〔－y 〕＝f 〔y 〕，故f 〔x 〕为偶函数． 13．解析：此题主要是培养学生理解概念的能力．f 〔x 〕＝x 3＋2x 2－1．因f 〔x 〕为奇函数，∴f 〔0〕＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f 〔－x 〕＝〔－x 〕3＋2〔－x 〕2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f 〔x 〕＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f点评：此题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．14．解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．因f〔x〕在［5，＋∞］上单调递减，所以f〔－x1〕＜f〔－x2〕⇒f〔x1〕＜－f〔x2〕⇒f〔x1〕＞f〔x2〕，即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15．解析：由x1，x2∈R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证，f〔1〕＝2f〔1〕，∴f〔1〕＝0．又令x1＝x2＝－1，∴f［－1×〔－1〕］＝2f〔1〕＝0，∴〔－1〕＝0．又令x1＝－1，x2＝x，∴f〔－x〕＝f〔－1〕＋f〔x〕＝0＋f〔x〕＝f〔x〕，即f〔x〕为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。

授课内容 函数的奇偶性教学内容知识梳理了解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法，掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题 【知识点梳理】1.函数的奇偶性的定义 ：一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。

2.奇偶函数的性质： （1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称； （3）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =（4）设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 【注意】1.判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(-x)= ±f(x) f(-x) +f(x)=0；2.讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称，要重视这一点；3.若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；4.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性5.奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。

这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；6.奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。

奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。

高中数学-必修一5.2.1函数奇偶性-知识点1、偶函数：对于定义域内任意实数x，都有f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称；奇函数：对于定义域内任意实数x，都有f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。

奇函数若在x=0时有定义，则必有f(0)=0 .2、函数奇偶性的判断：①看定义域是否关于原点对称，若不对称，则非奇非偶，若对称，则进行下一步，②验证f(x)= -f(-x) 还是= f(-x) ，③下结论。

3、f(x)=0既是奇函数，又是偶函数。

4、函数奇偶性的运算法则：（1）加/减法法则：①偶函数±偶函数=偶函数；②奇函数±奇函数=奇函数；③偶函数±奇函数=非奇非偶。

（2）乘/除法法则：①偶函数×/÷偶函数=偶函数；②奇函数×/÷奇函数=偶函数；③偶函数×/÷奇函数=奇函数。

5、常见函数的奇偶性：①一次函数y=kx+b，当b=0时是奇函数，②反比例函数y=k/x是奇函数，③二次函数y=ax2+bx+c，当b=0时是偶函数。

6、对于复合函数f[g(x)]，g(x)称为内函数，f(x)称为外函数，复合函数奇偶性的判断口诀：①内偶则偶，内奇同外；②有偶则偶，无偶则奇。

7、可以通过函数（或函数的某部分）的奇偶性，由f(a)求f(-a)的值。

典例：已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，求f(2)。

解析：令g(x)=x5+ax3+bx ，因为是奇函数，可求得g(-2)= 18，所以g(2)= -18，所以f(2)= -26。

8、根据奇偶性求函数解析式.典例：f(x)为R的奇函数，当x>0时，f(x)=-2x2+3x+1,求f(x)在x<0时的解析式。

解法：令x<0 ，则-x>0 ，f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1,因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-(-2x2-3x+1)=2x2+3x+1 .9、含参数的函数的奇偶性，需要分类讨论，既可以讨论奇偶性，也可以讨论a 的取值。

第三节 函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性2.(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，f (－x 0)＝f (x 0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．[试一试]1．(广东高考)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－121．判断函数奇偶性的两个方法(1)定义法： (2)图像法：2．周期性常用的结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0) [练一练]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝________.判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1；(2)f (x )＝3－2x ＋2x －3；(3)f (x )＝3x －3－x ；(4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.[类题通法]判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质，具体如下： (1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； (2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； (3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．[典例] (1)(山东高考)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2(2)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．[类题通法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图像和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性． [针对训练]1．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．3.(江苏)已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x>0时,f(x)=x 2-4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为 .[典例] 定义在2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )A ．335B ．338C ．1 678D ．2 012[类题通法]函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．[针对训练]1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．2．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (3)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积．[巩固练习]1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x 2 C ．y ＝cos x xD ．y ＝－x 22．(湖南)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝4．下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1x B ．y ＝log 2|x | C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－15．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34 D ．16．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于( ) A ．－12 B ．－13 C ．－14 D ．－15 选C7．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.8．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.9．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．10．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求m 的取值范围．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．选做题1．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．3．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．。