中原工学院理学院2019~2020学年第2学期高等数学A(下)期末考试试卷答题纸

2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题理本试题卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题上作答，答案无效．3．考试结束，监考教师将答题卡收回．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，将正确答案的代号涂在答题卡上．1．设，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．3．在下列结论中，正确的是（）A．“”是“”的必要不充分条件B．若为真命题，则p，q均为真命题C．命题“若，则”的否命题为“若，则”D．已知命题，都有2，则，使4．用数学归纳法证明：时，从“到”等式左边的变化结果是（）A．增乘一个因式B．增乘两个因式和C．增乘一个因式D．增乘同时除以5．若两条不重合直线和的方向向量分别为，，则和的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．不确定6．某研究机构在对线性相关的两个变量进行统计分析时，得到如下数据：x4m81012y12356由表中的数据得到y关于x的回归方程为，则样本点，，落在回归直线下方的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．07．设函数其中，，则的展开式中的系数为（）A．-60 B．60 C．-240 D．2408．在中，若，则的最大内角与最小内角的和为（）A．B．C．D．9．已知正实数x，y满足．则的最小值为（）A．4 B．C．D．10．2020年教育部决定在部分高校中开展基础学科招生考试试点（也称为强基计划），某高校计划让参加“强基计划”招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．已知在这8个试题中甲能够答对6个，则甲通过初试的概率为（）A．B．C．D．11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上且异于长轴端点，点M，N在所围区域之外，且始终满足，，则的最大值为（）A．8 B．7 C．10 D．912．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．已知函数，则的单调减区间为__________．14．平面几何中直角三角形勾股定理是我们熟知的内容，即“在中，，则”；在立体几何中类比该性质，在三棱锥中，若平面PAB，平面PAC，平面PBC 两两垂直，记，，，的面积分别是，，，，则，，，关系为__________．15．某研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用该血清的人与另外500名未使用该血清的人一年中感冒记录作比较，提出假设：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用列联表计算的，经查对临界值表知，对此有四名同学做出了如下判断：①有以上的把握认为这种血清能起到预防感冒的作用；②若某人未使用该血清，则他在一年中有的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为；④这种血清预防感冒的有效率为；则正确判断的序号为__________．16．在正方体中，E，F分别为线段，AB的中点，O为四棱锥的外接球的球心，点M，N分别是直线，EF上的动点，记直线OC与MN所成的角为，则当最小时，__________．三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知是单调递减的等比数列，，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前50项和．18．（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，为等边三角形，且平面平面ADEF，．（1）证明：平面平面ABCD；（2）若，求二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，已知点，，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足：．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设直线l交曲线C于P，Q两点，若直线AP与直线AQ 的斜率之积等于，证明：直线l过定点．20．（本小题满分12分）已知函数．（1）若，求在处的切线方程；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．21．（本小题满分12分）甲乙两厂均生产某种零件，根据长期检测结果显示，甲乙两厂生产的零件质量（单位：g ）均服从正态分布．在出厂检测处，直接将质量在之外的零件作为废品处理，不予出厂；其他的准予出厂，并称为正品．（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中随机抽取10件进行检查，求至少有1件是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：设该零件的质量为x （单位：g ），则“质量误差”为（单位：g ）．按照标准，其中“优等”，“一级”，“合格”零件的“质量误差”范围分别是，，（正品零件中没有“质量误差”大于的零件）．每件价格分别为75元，65元，50元，现分别从甲，乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体的分布，将频率视为概率）质量误差甲厂频数10 30 30 5 10 5 10乙厂频数25 30 25 5 10 5 0（i ）记甲厂该规格的2件正品零件售出的金额为X 元，求X 元的分布列及数学期望；（ii）由上表可知，乙厂生产该规格的正品零件只有“优等”，“一级”两种，求5件该规格的零件售出的金额不少于360元的概率．附：若随机变量，，，（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，在平面直角坐标系xOy中，将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再向上平移2个单位长度得到曲线．（1）求曲线、的直角坐标方程；（2）直线与曲线相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若，求直线的普通方程．23．【选修4- 5：不等式选讲】已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若两函数与的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．高二理科参考答案一、选择题：1-5 CBDCA 6-10 BDDDA 11-12 AC二、填空题13．14．15．①16．三、解答题：17．【解析】（1）设是公比为q的等比数列，因为，且，，成等差数列，故可得，又因为，所以，解得或者，，又因为是单调递减的等比数列，所以，则；（2），∴．故．（若有其他解法，参照评分标准按步给分）18．【解析】（1）证明：取AF中点G，于是，又平面平面ADEF，且平面平面，所以平面ADEF，又因为平面ADEF则，又，所以平面ABF，且平面ACBD即平面平面ABCD．（2）取AB中点O，于是平面ABCD，所以，如图：以O为坐标原点，OB为x轴、AB垂直平分线为y轴，OF为z轴建立坐标系．设OB长度为1，则：，，，因为，所以平面ADEF，又平面平面，则；所以设，所以点．那么，，由于，所以，解得．于是，，设平面ECD的法向量为，由，得，又平面ABCD的法向量为，记二面角为，所以，又因为是锐角，所以二面角的余弦值为．（若有其他解法，参照评分标准按步给分）19．【解析】（1）设，又，，则，可得，因为，所以M的轨迹C的方程为；（2）证明：设，，，又，可得，又因为即有，即，由直线l的斜率为，可得直线l的方程为，化为，又因为，可得，可得直线l恒过定点．（若有其他解法，参照评分标准按步给分）20．【解析】因为函数，∴．（1）当时，，，所以，，从而切点为，切线斜率，故所求切线方程为；（2）当时，因为，，所以当函数单调递减，从而．当时，令即，从而可知当时，函数递增，从而当时，与，恒成立矛盾，综上所述m的取值范围为．（若有其他解法，参照评分标准按步给分）21．【解析】（1）由正态分布可知，抽取的一件零件的质量在之内的概率为，则没有废品的概率为，故这10件中零件至少有一件是废品的概率为．（2）（i）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂生产得一件正品零件为“优等生”，“一级”，“合格”的概率分别为，，，则X的可能取值为150，140，130，125，115，100．，，，，，．X的分布列如下图，X150140130125115100P数学期望（元）．（ii）设乙厂生产的5件该零件规格的正品零件中有n件“优品”，则有件“一级”品，由己知得，则n取4或5．则所求概率为．（若有其他解法，参照评分标准按步给分）22．【解析】（1）由得，又，∴，∴．设是曲线上任意一点，点P的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再向上平移2个单位长度得到点为，则，又，∴，；（2）点P的直角坐标为，将代入得，因为相交于不同两点，∴.∵，∴．设方程的两个实数根为，，则，．由参数t的几何意义知，，∴，∴，∴，又，∴，所以直线的斜率，又直线过点，所以直线的普通方程为．（若有其他解法，参照评分标准按步给分）23．【解析】（1）当时，，由分段求解得不等式解集为；（2）由函数知，该函数在处取得最小值1，因为，∴在上递增，在上递减，在上递减，故在处取得最大值，所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，只需，即．2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题理本试题卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题上作答，答案无效．3．考试结束，监考教师将答题卡收回．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，将正确答案的代号涂在答题卡上．1．设，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．3．在下列结论中，正确的是（）A．“”是“”的必要不充分条件B．若为真命题，则p，q均为真命题C．命题“若，则”的否命题为“若，则”D．已知命题，都有2，则，使4．用数学归纳法证明：时，从“到”等式左边的变化结果是（）A．增乘一个因式B．增乘两个因式和C．增乘一个因式D．增乘同时除以5．若两条不重合直线和的方向向量分别为，，则和的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．不确定6．某研究机构在对线性相关的两个变量进行统计分析时，得到如下数据：x4m81012y12356由表中的数据得到y关于x的回归方程为，则样本点，，落在回归直线下方的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．07．设函数其中，，则的展开式中的系数为（）A．-60 B．60 C．-240 D．2408．在中，若，则的最大内角与最小内角的和为（）A．B．C．D．9．已知正实数x，y满足．则的最小值为（）A．4 B．C．D．10．2020年教育部决定在部分高校中开展基础学科招生考试试点（也称为强基计划），某高校计划让参加“强基计划”招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．已知在这8个试题中甲能够答对6个，则甲通过初试的概率为（）A．B．C．D．11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上且异于长轴端点，点M，N在所围区域之外，且始终满足，，则的最大值为（）A．8 B．7 C．10 D．912．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．已知函数，则的单调减区间为__________．14．平面几何中直角三角形勾股定理是我们熟知的内容，即“在中，，则”；在立体几何中类比该性质，在三棱锥中，若平面PAB，平面PAC，平面PBC两两垂直，记，，，的面积分别是，，，，则，，，关系为__________．15．某研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用该血清的人与另外500名未使用该血清的人一年中感冒记录作比较，提出假设：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用列联表计算的，经查对临界值表知，对此有四名同学做出了如下判断：①有以上的把握认为这种血清能起到预防感冒的作用；②若某人未使用该血清，则他在一年中有的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为；④这种血清预防感冒的有效率为；则正确判断的序号为__________．16．在正方体中，E，F分别为线段，AB的中点，O为四棱锥的外接球的球心，点M，N分别是直线，EF上的动点，记直线OC与MN所成的角为，则当最小时，__________．三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知是单调递减的等比数列，，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前50项和．18．（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，为等边三角形，且平面平面ADEF，．（1）证明：平面平面ABCD；（2）若，求二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，已知点，，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足：．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设直线l交曲线C于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积等于，证明：直线l过定点．20．（本小题满分12分）已知函数．（1）若，求在处的切线方程；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．21．（本小题满分12分）甲乙两厂均生产某种零件，根据长期检测结果显示，甲乙两厂生产的零件质量（单位：g）均服从正态分布．在出厂检测处，直接将质量在之外的零件作为废品处理，不予出厂；其他的准予出厂，并称为正品．（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中随机抽取10件进行检查，求至少有1件是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：设该零件的质量为x（单位：g），则“质量误差”为（单位：g）．按照标准，其中“优等”，“一级”，“合格”零件的“质量误差”范围分别是，，（正品零件中没有“质量误差”大于的零件）．每件价格分别为75元，65元，50元，现分别从甲，乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体的分布，将频率视为概率）质量误差甲厂频数103030510510乙厂频数25302551050（i）记甲厂该规格的2件正品零件售出的金额为X元，求X元的分布列及数学期望；（ii）由上表可知，乙厂生产该规格的正品零件只有“优等”，“一级”两种，求5件该规格的零件售出的金额不少于360元的概率．附：若随机变量，，，（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，在平面直角坐标系xOy中，将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再向上平移2个单位长度得到曲线．（1）求曲线、的直角坐标方程；（2）直线与曲线相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若，求直线的普通方程．23．【选修4- 5：不等式选讲】已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若两函数与的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．高二理科参考答案一、选择题：1-5 CBDCA 6-10 BDDDA 11-12 AC二、填空题13．14．15．①16．三、解答题：17．【解析】（1）设是公比为q的等比数列，因为，且，，成等差数列，故可得，又因为，所以，解得或者，，又因为是单调递减的等比数列，所以，则；（2），∴．故．（若有其他解法，参照评分标准按步给分）18．【解析】（1）证明：取AF中点G，于是，又平面平面ADEF，且平面平面，所以平面ADEF，又因为平面ADEF则，又，所以平面ABF，且平面ACBD即平面平面ABCD．（2）取AB中点O，于是平面ABCD，所以，如图：以O为坐标原点，OB为x轴、AB垂直平分线为y轴，OF为z轴建立坐标系．设OB长度为1，则：，，，因为，所以平面ADEF，又平面平面，则；所以设，所以点．那么，，由于，所以，解得．于是，，设平面ECD的法向量为，由，得，又平面ABCD的法向量为，记二面角为，所以，又因为是锐角，所以二面角的余弦值为．（若有其他解法，参照评分标准按步给分）19．【解析】（1）设，又，，则，可得，因为，所以M的轨迹C的方程为；（2）证明：设，，，又，可得，又因为即有，即，由直线l的斜率为，可得直线l的方程为，化为，又因为，可得，可得直线l恒过定点．（若有其他解法，参照评分标准按步给分）20．【解析】因为函数，∴．（1）当时，，，所以，，从而切点为，切线斜率，故所求切线方程为；（2）当时，因为，，所以当函数单调递减，从而．当时，令即，从而可知当时，函数递增，从而当时，与，恒成立矛盾，综上所述m的取值范围为．（若有其他解法，参照评分标准按步给分）21．【解析】（1）由正态分布可知，抽取的一件零件的质量在之内的概率为，则没有废品的概率为，故这10件中零件至少有一件是废品的概率为．（2）（i）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂生产得一件正品零件为“优等生”，“一级”，“合格”的概率分别为，，，则X的可能取值为150，140，130，125，115，100．，，，，，．X的分布列如下图，X150140130125115100P数学期望（元）．（ii）设乙厂生产的5件该零件规格的正品零件中有n件“优品”，则有件“一级”品，由己知得，则n取4或5．则所求概率为．（若有其他解法，参照评分标准按步给分）22．【解析】（1）由得，又，∴，∴．设是曲线上任意一点，点P的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再向上平移2个单位长度得到点为，则，又，∴，；（2）点P的直角坐标为，将代入得，因为相交于不同两点，∴.∵，∴．设方程的两个实数根为，，则，．由参数t的几何意义知，，∴，∴，∴，又，∴，所以直线的斜率，又直线过点，所以直线的普通方程为．（若有其他解法，参照评分标准按步给分）23．【解析】（1）当时，，由分段求解得不等式解集为；（2）由函数知，该函数在处取得最小值1，因为，∴在上递增，在上递减，在上递减，故在处取得最大值，所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，只需，即．。

收敛收敛收敛　=-==∞→+=121211)(D. C. 3B. 0lim A.n n n n n n nn n u uuu u{81 D. 61 C. 41 B. 21 A.)(d }20,10,10),,( 4　则，设、=≤≤≤≤≤≤=Ω⎰⎰⎰Ωv xy z y x z y xnn n n n n n n n n n n n nn n n n n x x x x x f x xx f x x )1(3)1( D. )1(3)1( C. )1(4)1( B. )1(4)1( A. )()(131)()1(11 50100100--------=-+=-=+∑∑∑∑∑∞=+∞=∞=+∞=∞=的幂级数为展开成，则已知、三、计算题 (共5题，每题8分，共40分)方程处的切平面方程与法线，，在点求曲面、)1 2 1(1123 1222P z z y x +=++,d 122222222≥≤++Ω++=⎰⎰⎰Ωz a z y x v z y x I 为上半球体其中，分利用球面坐标求三重积、的线段，，与点，，为连接点其中，求曲线积分、)3 5 2()1 2 3( d )( 3B A L s z y x I L⎰+-=装的收敛半径及收敛域求幂级数、∑∞=14 4n nn x n订的通解求微分方程、y y x '='' 5线四、综合题 (共3题，每题10分，共30分)的极值求函数、23),( 133++-=xy y x y x f取顺时针方向是圆其中，分利用格林公式求曲线积、,4d )31e (d )31e ( 22233=+++-=⎰y x C y x x y y I x C x的通解、求微分方程123-='+''x y y2019—2020学年第二学期期末考试 《高等数学(A)Ⅱ》答案及评分标准一、填空题(每题3分，共15分)11、　；收敛、 2；213、；44、；)(e 5C x y x +=、二、选择题(每题3分，共15分) D 1、；A 2、；C 3、；A 4、；B 5、 三、计算题(每题 8分，共40分)1123),,( 1222--++=z z y x z y x F 令解：、1246-='='='z F y F x F z y x ，，则 ，}1,8,6{=⇒n023860)1()2(8)1(6=-++=-+-+-z y x z y x ，即故切平面方程为118261-=-=-z y x 法线方程为⎰⎰⎰=aI 022 0 d sin d d 2ρϕρϕθππ、解：⎰⎰=222 0d sin 21d ππϕϕθa ⎰=πϕ2 02d 21a 2a π= 3、}2 3 1{，，解：　-==AB s ， 线段AB 的方程为213213-=-=--z y x ，即参数方程)10(21 323≤≤⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t t z t y t x ， 2,3,1='='-='⇒z y x t t ， 故原式⎰-=1d 14)22(t t 102)2(14t t -=14=414lim /4)1/(4lim 41=+=+=∞→+∞→n n nn n n n n ρ 、解： ，41=∴R 时当41-=x ， 收敛级数∑∞=-1)1(n n n ，时当41=x ，发散级数∑∞=11n n，)41,41[-故收敛域为 )( 5x p y ='令解：、，则原方程化为x xp p d 1d 1= ⎰⎰=⇒x xp pd 1d 1，1ln ln ln C x p +=故，x C y x C p 11='=⇒，即 故所求通解为22112d C x Cx x C y +==⎰四、综合题 (每题10分，共30分)1、解：x y f y x f y x 33 3322+-='+='，，解⎩⎨⎧=+-=+03303322x y y x 得)1 1( )0 0(-，，， 又y f f x f yy xy xx 6 3 6-=''=''=''，， ， 在点)0 0(，处，092>=-=∆AC B ，不取极值在点)1 1(-，处，060272>=<-=-=∆A AC B 且，取极小值，极小值为1)1 1(=-，f 3331e 31e 2x Q y y P x x +=-=，令解：、，则22e e x x Q y y P x x +=∂∂-=∂∂， ⎰⎰+-=⇒Dy x y x I d d )(22r r d d 232 0 ⎰⎰-=πθ⎰-=πθ2 04d π8-=0 32=+r r 特征方程为、解：，1 0 21-==⇒r r 、，x C C Y -+=e 21故齐次方程的通解为)(*b ax x y +=设特解，1222 *-=++x b a ax y 代入原方程得把⎩⎨⎧-=+=⇒1222b a a 3 1-==⇒b a 、，x x y 3*2-=⇒x x C C y x 3e 221-++=-故通解为。

2019—2020学年第二学期考试卷5高等数学(A)Ⅱ课程 工科 类别：必 闭卷（√）试卷编号： (A)卷考生注意事项：1、本试卷共 4 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

3、考试独立完成，发现雷同试卷一律按零分处理。

一、填空题（共6题，每题2分，共12分）ln 1x x yzx z y y=∂∂=则，设、)d (d d ) (d 2 1 01 02⎰⎰⎰⎰=yyxx x y x f yy y x f x，，交换积分次序、34d 1 3222π==++Ω⎰⎰⎰Ωv z y x 则围成，由球面设、 41d )1 1()0 0( 42==⎰Cx xy A O x y C 则，，到，从点为曲线设、∑∞=+-=+=012)1( )(21)( 5n n n n x x f x x x f 的幂级数为展开成函数、 044 2 6=+'-''y y y 则该方程为，的实根方程的特征方程有相同设二阶常系数线性齐次、二、计算题（58分）1、多元函数微分学应用（共2题，每题6分，共12分）切平面方程处的，，在点求曲面)2 1 1()1(32-+=y x z 的极值求函数x y xy x y x f 3),( )(222++-=23 2 y z x z y x ='='，解：Θ y x f y x f y x 2 32 +-='+-='，解： }1 3 2{ --=∴，，法向量n ρ )1 2( 02032--⎩⎨⎧=+-=+-，得解y x y x 0)2()1(3)1(2 =---++-z y x 故切平面方程为2 1 2 =''-=''=''yy xy xxf f f ，，又 0332 =++-z y x 即 02 03C 2>=<-=-A A B 且，故 3)1 2(-=--，因此所求极小值为f2、重积分（共2题，每题6分，共12分）围成和由抛物线其中，利用直角坐标求2 d d )1(x y x y D y x y xI D===⎰⎰⎰⎰=xx y y x xI 1 02d d 解： ⎰⎰=yy x y x yI 12d d⎰-=1 0343)d (32x x x x ⎰-=14)d (21y y y y556)51114(32105411=-=x x556)11252(211021125=-=y y围成、及平面由柱面其中，利用柱面坐标求1 04 d )2(2222===+Ω+=⎰⎰⎰Ωz z y x v y x I⎰⎰⎰=122 0 2 0d d d z r rI πθ解：⎰⎰=2 022 0 d d r r πθ⎰=πθ2 0d 38316π=3、曲线积分（共2题，每题6分，共12分）的一段弧，与，上点为抛物线其中，求曲线积分)2 2()0 0( 2 d )(12A O x y C s y C=⎰y x y x y ='∴= 22，解：Θ xy 21='⎰⎰+=22d 1dy y y s y C故⎰⎰+=2d 2112d x xx s y C22322 0 22)1(31)d(1121y y y y +=++=⎰ ⎰++=2 0 )2d(12121x x 2023)21(31x +=)155(31-= )155(31-=所做的功，，求此过程力，，，移动到点，，从点：一质点沿曲线} { )1 1 1()0 0 0( )2(32x y z F A O tz t y t x L -=⎪⎩⎪⎨⎧===ρ⎰+-=Lz x y y x z W d d d 解：⎰⋅+⋅-=1223d )32(t t t t t t2121d 210413===⎰t t t4、无穷级数（共2题，第(1)题4分，第(2)题6分，共10分）的敛散性判断级数∑∞=+151)1(n n n2/3511 nn n <+Θ解：收敛又∑∞=12/31n n收敛∑∞=+∴1511n n装 的收敛域求幂级数∑∞=121)2(n n x n1)1(lim /1)1/(1lim 2222=+=+=∞→∞→n n n n n n ρΘ解： 1 =∴R收敛级数时，当∑∞=--=12)1( 1n nn x 收敛级数时，当∑∞==1211n nx 订 ]1 1[，故收敛域为-5、微分方程（共2题，每题6分，共12分）的通解求微分方程xyx y y 2)1(+='xyu =令解： x x u ud 1d 21 =则原方程化为C x u +=ln 两边积分得 2)(ln lnC x x y C x xy+=+=即，所求通解为线 的通解求微分方程x y cos )2(=''' 1sin d cos C x x x y +==''⎰解：211cos d )(sin C x C x x C x y ++-=+='⎰3221212sin d )cos (C x C x C x x C x C x y +++-=++-=⎰通解、三、综合题（共2题，每题10分，共20分）的通解求微分方程、1234 1+=+'+''x y y y034 2=++r r 特征方程为解： 3 1 21-=-=⇒r r 、 x x C C Y 321e e --+=故齐次方程的通解为 b ax y +=*设特解 12343 *+=++x b a ax y 代入原方程得把⎩⎨⎧=+=⇒13423b a a 95 32-==⇒b a 、 9532*-=⇒x y9532e e 321-++=--x C C y x x 故通解为)1 1(2)0 0(d )e (d )2e ( 222，到点沿曲线，从点其中，求曲线积分、A x y x O C y y x x x I Cy y =++++=⎰y x Q x P yy+=+=e 2e ，令解：，y y xQy P e e =∂∂=∂∂，则无关故曲线积分与积分路线， yP x Q ∂∂=∂∂⇒ ⎰⎰+++=BAOB y Q x P y Q x P I d d d d 因此 ⎰⎰+++=BAOB y Q x P y Q x P I d d d d⎰⎰+++=10 1 0d )e (d )21(y y x x y⎰⎰++=110 d )2e (d x x y y102102)21e ()(y x x y+++= 102102)e (21x x y ++= 23e += 23e +=四、证明题（共2题，第1题6分，第2题4分，共10分）z yz y x z x u f x y f x z -=∂∂+∂∂= )( )(1 1证明：可导，其中，设、f xy f x x z '--=∂∂321 Θ证： ， f x y z '=∂∂21z f x f xy f x y f x y z y x z x -=-='+'--=∂∂+∂∂∴11 22发散证明级数，常数收敛，设级数、∑∑∞=∞=+≠11)( 0 2n nn n a u a u0lim 1=∴∞→∞=∑nn n n u u 收敛，证：Θ发散故，∑∞=∞→+≠=+=+⇒1)( 00)(lim n nn n a ua a a u。

2019-2020年高二下学期期末考试 数学（理） 含答案一、填空题（共14题，每题5分，共70分）1、集合{}0,2A =，{}21,B a =，若{}0,1,2,4A B ⋃=，则实数a 的值为2、命题“012,2≤+-∈x x R x 存在”的否定是3、函数22x x y -=的定义域是4、若函数1(),10()44,01xx x f x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩则=)21(f5、某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为6、设1>a ，函数x x f a log )(=在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为21，则=a _____ 7、0<a 是方程0122=++x ax 至少有一个负数根的____________条件（填必要不充分、充分不必要、必要充分、既不充分也不必要）8、在极坐标系中，点),2(πP 与点Q 关于射线32πθ=对称，则||PQ =______________ 9、6)1(xx -展开式的常数项为10、下图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定 60分以上（含60）为考试合格，则这次考试的合格 率为11、将甲、乙、丙、丁四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分配到同一个学校，则不同分法的种数为12、已知曲线C 的方程为28(8x t t y t⎧=⎨=⎩为参数），过点(2,0)F 作一条倾斜角为4π的直线交曲线C 于A 、B 两点，则AB 的长度为13、已知整数数对如下排列： )1,4(),2,3(),3,2(),4,1(),1,3(),2,2(),3,1(),1,2(),2,1(),1,1(，按此规律，则第60个数对为__________14、已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题：① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；0．0．0．0．0．o 20 40 60 80 100 分数／分 (第10题图)② 存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根； ③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为______ ______ 二、解答题（共6题，总分80分） 15．(本小题满分12分)已知集合}0)5)(1(|{≤-+=x x x A ，集合}0,11|{>+≤≤-=m m x m x B ． （1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围；（2）若集合B A 中有且只有3个整数，求实数m 的取值范围.16．(本小题满分12分)把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列。

高二第二学期数学(理)期末试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合U R =，集合{}2|40M x x =-≤，则U C M = A. {}|22x x -<< B. {}|22x x -≤≤ C. {}|22x x x <->或 D.{}|22x x x ≤-≥或 2.设复数z 满足()()225z i i --=，则z =A. 23i +B. 23i -C. 32i +D.32i -3.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>3A. 2y x =±B. 2y x =C. 12y x =± D.22y x =± 4.设x R ∈，向量()()1,,2,6a x b ==-r r，且//a b r r ，则a b ⋅=r rA. -4B. 10255.下列四个结论：①若“p q ∧”是真命题，则p ⌝可能是真命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∃∈--≥”；③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件；④当0a <时，幂函数ay x =在区间()0,+∞上单调递减.其中正确的结论个数是A.0个B.1个C. 2个D. 3个 6.在单调递减等差数列{}n a 中，若32431,4a a a ==，则1a = A. 1 B. 2 C.32D. 3 7.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的3人中女生人数不少于1人的概率是 A.45 B. 35 C. 25 D.158.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A-BCD 的正视图与俯视图如图所示，则其几何体的表面积为A. 222 +B.232+C. 12+ D. 13+9.函数22sin33,00,1441xy xxππ⎛⎫⎡⎫⎛⎤=∈-⎪⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⎝⎭+U的图象大致是10.如果函数()f x在区间D上是增函数，且()f xx在区间上是减函数，则称函数()f x在区间D上是缓增函数，区间D叫做缓增区间.若函数()21322f x x x=-+在区间D上是缓增函数，则缓增区间D是A.[)1,+∞ B. 3⎡⎣ C.[]0,1 D.3⎡⎣11.若函数()3211232bf x x x bx⎛⎫=-++⎪⎝⎭在区间[]3,5上不是单调函数，则函数3⎡⎣在R上的极大值为 A. 232136b b- B.3223b- C. 0 D.423b-12.已知函数()22lnxef x k xx x⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若2x=是函数()f x的唯一极值点，则实数k的取值范围是A. (],e-∞ B. []0,e C. (),e-∞ D.[)0,e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()cos5sinaax x x-+=⎰ .14.曲线()lnf x x x=在点()()1,1f处的切线方程为 .15.若将函数sin3y x x=+的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数sin3y x x=的图象，则ϕ的最小值为 .16.已知函数()312xxf x x x ee=-+-，其中e是自然对数的底数，若()()2120f a f a-+≤，则实数a的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知命题P:函数()()2log 1m f x x =+是增函数，命题Q:2,10.x R x mx ∀∈++≥（1）写出命题Q 的否命题Q ⌝，并求出实数m 的取值范围，使得命题Q ⌝为真命题； （2）如果P Q ∨是真命题，P Q ∧是假命题，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AB AA E ==为BC 的中点. （1）求证：11C D D E ⊥;（2）若二面角1B AE D --的大小为90o ，求AD 的长.19.（本题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，A 是椭圆的上顶点，直线2AF 交椭圆于另一点B. （1）若190F AB ∠=o，求椭圆的离心率；（2）若22132,2AF F B AF AB =⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u r ，求椭圆的方程.20.（本题满分12分）设等差数列{}n a 的公差0d >，且10a >，记12231111.n n n T a a a a a a +=+++L （1）用1,a d 分别表示123,,T T T ，并猜想n T ； （2）用数学归纳法证明你的猜想.21.（本题满分12分）已知()()2ln , 3.f x x x g x x ax ==-+-（1）求函数()f x 在区间[](),20t t t +>上的最小值；（2）对一切实数()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：对一切()0,x ∈+∞，12ln x x e ex>-恒成立.22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2x t y kt =+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mmy k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l ，2l 的交点为P,当变化时，P 的轨迹为曲线.（1）写出曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()24,1 1.f x x ax g x x x =-++=++-（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含，求实数a 的取值范围.高二数学(理)答案一、选择题1．C 2．A 3．D 4．D 5．B6．B7．A 8．B 9．A 10．D 11．D12．A1．C 【解析】因为{}240M x x =-≤{}22x x =-≤≤，全集U R =，所以U C M ={}22x x x <->或，故选C.2．A 【解析】利用方程思想求解复数并化简.由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i＝2i ＋5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.3．D 【解析】由条件e ＝3，即c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝3，所以ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ．故选D4．D 【解析】∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－6)且a ∥b ，∴－6－2x ＝0，x ＝－3，∴a ＝(1，－3)，a ·b ＝20，故选D ．5．B 【解析】①若p q ∧是真命题，则p 和q 同时为真命题，p ⌝必定是假命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”； ③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充分不必要条件；④a y x =1'a y a x -⇒=⋅，当0a <时，'0y <，所以在区间()0+∞，上单调递减. 选B ．6．B 【解析】由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递减，∴a 4＝12，a 2＝32．∴公差d ＝a 4－a 22＝－12．∴a 1＝a 2－d ＝2．7．A 【解析】设所选女生人数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝3，则P (X 1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝212436C C C ＋C 12C 24C 36＝45.所以选A 。

绝密★启用前2019-2020学年高三第二学期质量考评数学试卷（理科）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．若i为虚数单位，则复数z＝在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]3．若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是10，方差为2，则对于样本2+2x1，2+2x2，2+2x3，…，2+2x n，下列结论正确的是（）A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为84．已知向量＝（m，1），＝（3，m﹣2），则m＝3是∥的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件5．已知角α的终边经过点P（﹣4m，3m）（m≠0），则2sinα+cosα的值是（）A．1或﹣1 B．或﹣C．1或﹣D．﹣1或6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了7．根据最小二乘法由一组样本点（x i，y i）（其中i＝1，2，…，300），求得的回归方程是＝x+，则下列说法正确的是（）A．至少有一个样本点落在回归直线＝x+上B．若所有样本点都在回归直线＝x+上，则变量间的相关系数为1C．对所有的解释变量x i（i＝1，2….300）．bx i+的值一定与y i有误差D．若回归直线＝x+的斜率b＞0，则变量x与y正相关8．已知x，y满足条件（k为常数），若目标函数z＝3x+y的最大值为9，则k＝（）A．﹣16 B．﹣6 C．D．9．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．27πB．28πC．29πD．30π10．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF2|＞|PF1|，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若|PF1|＝|F1F2|，则的最小值为（）A．B．C．8 D．611．若x，a，b均为任意实数，且（a+2）2+（b﹣3）2＝1，则（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（）A．3B．18 C．3﹣1 D．19﹣612．已知函数f（x）＝，若函数F（x）＝f（x）﹣kx在R上有3个零点，则实数k 的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（﹣∞，）D．（，）二、填空题（共4小题）13．若（﹣）n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是14．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，若，c＝1，则△ABC的面积为．15．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为16．已知点A（0，﹣1）是抛物线x2＝2py的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且|PF|＝m|PA|，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为．三、解答题（共5小题，）17．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n+1＝2S n+1，数列{b n}满足a1＝b1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2＝0上，n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．18．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，F为CD的中点，G在线段BC上，且BG＝3CG．将△ADE沿DE折起，使点A到A1的位置（如图2所示），且A1F⊥CD．（1）证明：BE∥平面A1FG；（2）求平面A1FG与平面A1BE所成锐二面角的余弦值．19．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：组别[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数 5 30 40 50 45 20 10（1）若此次问卷调查得分总体服从正态分布，用样本估计总体，设μ，σ分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间的中点值作为代表），求μ，σ的值（μ，σ的值四舍五入取整数），并计算P（51＜X＜93）．（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于μ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于μ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．）20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为为椭圆上一动点（异于左右顶点），△AF1F2面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y＝x+m与椭圆C相交于点A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝a（x﹣1）lnx+ex（a∈R），其中e是自然对数的底数．（1）求函数f（x）在点x＝1处的切线方程；（2）若不等式f（x）﹣e x≤0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2＝0，点P的极坐标是（，）．（1）求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△PMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣1|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|x﹣5|的解集包含[0，2]，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．若i为虚数单位，则复数z＝在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解：∵＝＝＝所对应的点为位于第四象限．故选：D．2．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．3．若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是10，方差为2，则对于样本2+2x1，2+2x2，2+2x3，…，2+2x n，下列结论正确的是（）A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为8【分析】根据数据x1，x2，x3，…，x n的平均数是，方差是s2知，样本b+ax1，b+ax2，b+ax3，…，b+ax n的平均数是b+a，方差为a2•s2，计算即可．解：样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是10，方差为2，则数据x1，x2，x3，…，x n的平均数是9，方差是2；所以样本2+2x1，2+2x2，2+2x3，…，2+2x n的平均数是2+2×9＝20，方差为22×2＝8．故选：D．4．已知向量＝（m，1），＝（3，m﹣2），则m＝3是∥的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【分析】向量＝（m，1），＝（3，m﹣2），∥，则3＝m（m﹣2），即m2﹣2m﹣3＝0，m ＝3或者﹣1，判断出即可．解：向量＝（m，1），＝（3，m﹣2），∥，则3＝m（m﹣2），即m2﹣2m﹣3＝0，m＝3或者﹣1，所以m＝3是m＝3或者m＝﹣1的充分不必要条件条件，故选：A．5．已知角α的终边经过点P（﹣4m，3m）（m≠0），则2sinα+cosα的值是（）A．1或﹣1 B．或﹣C．1或﹣D．﹣1或【分析】求出OP的距离r，对m＞0，m＜0，分别按照题意角的三角函数的定义，求出sinα和cosα的值，然后再求2sinα+cosα的值，可得结果．解：，当m＞0时，，；当m＜0时，，．故选：B．6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了【分析】利用反证法，即可得出结论．解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立．故选：C．7．根据最小二乘法由一组样本点（x i，y i）（其中i＝1，2，…，300），求得的回归方程是＝x+，则下列说法正确的是（）A．至少有一个样本点落在回归直线＝x+上B．若所有样本点都在回归直线＝x+上，则变量间的相关系数为1C．对所有的解释变量x i（i＝1，2….300）．bx i+的值一定与y i有误差D．若回归直线＝x+的斜率b＞0，则变量x与y正相关【分析】根据样本点可能全部不在回归直线上，可得A错；根据相关系数绝对值为1，即r＝±1时，所有样本点都在＝x+上，可判断B错误；根据所有的样本点都在＝x+上时，变量之间的关系为函数关系，此时bx i+的值与y i相等，可判断C错误；根据相关系数r与b符号相同，故b＞0可得变量x与y正相关，可得D正确．解：回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故A错误；所有样本点都在＝x+上，则变量间的相关系数为±1，故B错误；若所有的样本点都在＝x+上，则bx i+的值与y i相等，故C错误；相关系数r与b符号相同，若＝x+的斜率＞0，则r＞0，样本点应分布从左到右应该是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．故选：D．8．已知x，y满足条件（k为常数），若目标函数z＝3x+y的最大值为9，则k＝（）A．﹣16 B．﹣6 C．D．【分析】由目标函数z＝3x+y的最大值为9，我们可以画出满足条件件（k为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．解：画出x，y满足的（k为常数）可行域如下图：由于目标函数z＝3x+y的最大值为9，可得直线y＝0与直线9＝3x+y的交点B（3，0），使目标函数z＝x+3y取得最大值，将x＝3，y＝0代入2x+y+k＝0得：k＝﹣6．故选：B．9．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．27πB．28πC．29πD．30π【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，ABCD为矩形，AB＝4，BC＝3，PA＝2．求出PC长度，可得四棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，P﹣BCD，ABCD为矩形，AB＝4，BC＝3，PA＝2．该几何体外接球的半径为PC＝＝．∴该几何体外接球表面积为S＝4π×＝29π．故选：C．10．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF2|＞|PF1|，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若|PF1|＝|F1F2|，则的最小值为（）A．B．C．8 D．6【分析】由题意可知：|PF1|＝|F1F2|＝2c，设椭圆的方程为+＝1（a1＞b1＞0），双曲线的方程为﹣＝1（a2＞0，b2＞0），利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式，通过基本不等式即得结论．解：由题意可知：|PF1|＝|F1F2|＝2c，设椭圆的方程为+＝1（a1＞b1＞0），双曲线的方程为﹣＝1（a2＞0，b2＞0），又∵|F1P|+|F2P|＝2a1，|PF2|﹣|F1P|＝2a2，∴|F2P|+2c＝2a1，|F2P|﹣2c＝2a2，两式相减，可得：a1﹣a2＝2c，则+＝+＝＝＝（++18）≥•（2+18）＝8．当且仅当＝，即有e2＝3时等号成立，则的最小值为8，故选：C．11．若x，a，b均为任意实数，且（a+2）2+（b﹣3）2＝1，则（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（）A．3B．18 C．3﹣1 D．19﹣6【分析】由题意可得（a，b）在（﹣2，3）为圆心，1为半径的圆上，（x﹣a）2+（lnx﹣b）2表示点（a，b）与点（x，lnx）的距离的平方，设过切点（m，lnm）的切线与过（﹣2，3）的法线垂直，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程求得切点，圆心和切点的距离d，可得距离的最小值为d﹣r，可得所求值．解：（a+2）2+（b﹣3）2＝1，可得（a，b）在（﹣2，3）为圆心，1为半径r的圆上，（x﹣a）2+（lnx﹣b）2表示点（a，b）与点（x，lnx）的距离的平方，设过切点（m，lnm）的切线与过（﹣2，3）的法线垂直，可得•＝﹣1，即有lnm+m2+2m＝3，由f（m）＝lnm+m2+2m在m＞0递增，且f（1）＝3，可得切点为（1，0），圆心与切点的距离为d＝＝3，可得（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（3﹣1）2＝19﹣6，故选：D．12．已知函数f（x）＝，若函数F（x）＝f（x）﹣kx在R上有3个零点，则实数k 的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（﹣∞，）D．（，）【分析】函数f（x）＝，若函数F（x）＝f（x）﹣kx在R上有3个零点，当x＞0时，令f（x）＝0，有两个实数解．可得k＝即直线y＝k和g（x）＝有两个交点．x ＜0时有一个交点，求出g（x）的导数和单调区间，可得最值和端点处的函数值，即可得到所求k的范围．解：函数f（x）＝，若函数F（x）＝f（x）﹣kx在R上有3个零点，当x＞0时，令f（x）＝0，有两个实数解．可得k＝即直线y＝k和g（x）＝有两个交点．由g′（x）＝，令1﹣2lnx＝0，可得x＝，可得g（x）在（0，），函数是增函数，在（，+∞）递减，即有g（x）在x＝取得最大值；直线y＝k和函数g（x）的图象有两个交点．k∈（0，），函数F（x）＝f（x）﹣kx在R上有3个零点，x＜0时y＝k和g（x）＝有一个交点，k∈（0，），显然成立．实数k的取值范围为（0，）．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若（﹣）n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是 1 【分析】由题意得出展开式中共有11项，n＝10；再令x＝1求得展开式中各项的系数和．解：由（﹣）n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以展开式中共有11项，所以n＝10；令x＝1，可求得展开式中各项的系数和是（1﹣2）10＝1．故答案为：1．14．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，若，c＝1，则△ABC的面积为．【分析】根据A，B，C成等差数列，求出角B，进而根据正弦定理求出角C，进而得到角A，即可得到三角形面积．解：依题意，A，B，C成等差数列，所以2B＝A+C，∵A+B+C＝180°，∴3B＝180°，即B＝60°，由正弦定理即，∴sinC＝，又b＞c，∴C＜B，∴C＝30°，∴A＝90°，所以△ABC的面积为＝，故答案为：．15．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为【分析】求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可．解：半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，∴该正十二边形的面积为S＝12××1×1×sin＝3，根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为＝，故答案为：．16．已知点A（0，﹣1）是抛物线x2＝2py的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且|PF|＝m|PA|，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为+1 ．【分析】由题意可得p＝2，可得抛物线的方程，焦点F和准线方程，过P作准线的垂线，垂足为N，设PA的倾斜角为α，由抛物线的定义可得当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA 与抛物线相切，设出PA的方程y＝kx﹣1，联立抛物线的方程，运用判别式为0，求得k，P的坐标，再由双曲线的定义和离心率公式，计算可得所求值．解：点A（0，﹣1）是抛物线C：x2＝2py（p＞0）准线上的一点，可得p＝2，抛物线的标准方程为x2＝4y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y＝﹣1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由地物线的定义可得|PN|＝|PF|，∵|PF|＝m|PA|，则，设PA的倾斜角为α，则sinα＝m，当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y＝kx﹣1，代入x2＝4y，可得x2＝4（kx﹣1）即x2﹣4kx+4＝0，∴△＝16k2﹣16＝0，∴k＝±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为，∴双曲线的离心率为．故答案为：+1．三、解答题（共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n+1＝2S n+1，数列{b n}满足a1＝b1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2＝0上，n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）要求数列{a n}，{b n}的通项公式，先要根据已知条件判断，数列是否为等差（比）数列，由a1＝1，a n+1＝2S n+1，不难得到数列{a n}为等比数列，而由数列{b n}满足a1＝b1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2＝0上，n∈N*，易得数列{b n}是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列{a n}，{b n}的通项公式．（2）由（1）中结论，我们易得，即数列{c n}的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列{c n}的前n项和T n．解：（1）由a n+1＝2S n+1可得a n＝2S n﹣1+1（n≥2），两式相减得a n+1﹣a n＝2a n，a n+1＝3a n（n≥2）．又a2＝2S1+1＝3，所以a2＝3a1．故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．所以a n＝3n﹣1．由点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2＝0上，所以b n+1﹣b n＝2．则数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．则b n＝1+（n﹣1）•2＝2n﹣1（2）因为，所以．则，两式相减得：．所以＝．18．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，F为CD的中点，G在线段BC上，且BG＝3CG．将△ADE沿DE折起，使点A到A1的位置（如图2所示），且A1F⊥CD．（1）证明：BE∥平面A1FG；（2）求平面A1FG与平面A1BE所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）根据题意，以F为原点，直线FC为x轴，过F平行于BC的直线为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，求出设平面A1FG，平面A1BE的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值即可．解：（1）证明：取BC的中点M，连接DM，∵BG＝3CG，∴G为CM的中点，又F为CD的中点，所以FG∥DM，由DE∥BM，DE＝BM，∴平行四边形DMBE，∴BE∥DM，所以BE∥FG，又FG⊂平面A1FG，如图，所以BE∥平面A1FG；（2）根据题意，以F为原点，直线FC为x轴，过F平行于BC的直线为y轴，直线FA1为z轴，建立如图空间直角坐标系，则F（0，0，0），A1（0，0，），B（1，4，0），E（＝1，2，0），G（1，1，0），），，，，设平面A1FG的法向量为，由，得，故，设平面A1BE的法向量，由，得，故，∴＝，故平面A1FG与平面A1BE所成锐二面角的余弦值为．19．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：组别[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数 5 30 40 50 45 20 10（1）若此次问卷调查得分总体服从正态分布，用样本估计总体，设μ，σ分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间的中点值作为代表），求μ，σ的值（μ，σ的值四舍五入取整数），并计算P（51＜X＜93）．（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于μ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于μ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．）【分析】（1）根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而X～N（65，142），根据3σ原则，计算P（51＜X＜93）即可；（2）列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额．解：（1）由已知频数表得：E（X）＝35×+45×+55×+65×+75×+85×+95×＝65，D（X）＝（35﹣65）2×0.025+（45﹣65）2×0.15+（55﹣65）2×0.2+（75﹣65）2×0.225+（85﹣65）2×0.1+（95﹣65）2×0.05＝210，由196＜σ2＜225，则14＜σ＜15，而14.52＝210.5＞210，所以σ≈14，则X～N（65，142），∴P（51＜X＜93）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ）＝＝＝0.8186；（2）显然P（X＜μ）＝P（X＞μ）＝0.5，所以有Y的取值为15，30，45，60，P（Y＝15）＝＝，P（Y＝30）＝＝，P（Y＝45）＝＝，P（Y＝60）＝＝，所以Y的分布列为：Y 15 30 45 60P所以E（Y）＝+30×+45×+60×＝30，需要的总金额为200×30＝6000．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为为椭圆上一动点（异于左右顶点），△AF1F2面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y＝x+m与椭圆C相交于点A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）bc＝，又＝，以及a2＝b2+c2，解得a2＝4，b2＝1，即可得到椭圆的方程，（2）假设y轴上存在点M（0，t），△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为N（x0，y0），根据韦达定理求出点N的坐标，再根据AM⊥BM，MN⊥l，即可求出m的值，可得点M的坐标解：（1）△AF1F2面积的最大值为，则bc＝，又＝，以及a2＝b2+c2，解得a2＝4，b2＝1，∴椭圆C的方程为+y2＝1，（2）假设y轴上存在点M（0，t），△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为N（x0，y0），由，消去y可得5x2+8mx+4m2﹣4＝0，△＝64m2﹣20（4m2﹣4）＝16（5﹣m2）＞0，解得m2＜5，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴x0＝﹣＝﹣，y0＝x0+m＝，∴N（﹣，），依题意有AM⊥BM，MN⊥l，由MN⊥l，可得×1＝﹣1，可得t＝﹣，由AM⊥BM可得•＝﹣1，∵y1＝x1+m，y2＝x2+m，代入上式化简可得2x1x2+（m﹣t）（x1+x2）+（m﹣t）2＝0，则﹣（）2+（）2＝0，解得m＝±1，当m＝1时，点M（0，﹣）满足题意，当m＝﹣1时，点M（0，）满足题意．故y轴上是存在点M（0，±），使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形．21．已知函数f（x）＝a（x﹣1）lnx+ex（a∈R），其中e是自然对数的底数．（1）求函数f（x）在点x＝1处的切线方程；（2）若不等式f（x）﹣e x≤0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，（2）先对函数进行求导，然后对a进行分类讨论，结合导数与单调性的关系可求．解：（1）∵f（x）＝a（x﹣1）lnx+ex，f′（x）＝a（lnx+1﹣）+e，所以切线斜率k＝f′（1）＝e，且f（1）＝e，故切线方程y﹣e＝e（x﹣1）即y＝ex，（2）令g（x）＝f（x）﹣e x＝a（x﹣1）lnx+ex﹣e x，（x≥1），则g′（x）＝a（lnx+1﹣）+e﹣e x，①若a≤0，则g′（x）在[1，+∞）上单调递减，且g（1）＝0，所以g（x）≤0恒成立，②若a＞0，令h（x）＝g′（x）＝a（lnx+1﹣）+e﹣e x，则h′（x）＝a（）﹣e x，易得与﹣e x在[1，+∞）上单调递减，所以则h′（x）在[1，+∞）上单调递减，h′（1）＝2a﹣e，（i）若2a﹣e≤0即0＜a时，h′（x）≤0恒成立，故h（x）在[1，+∞）上单调递减，即g′（x）在[1，+∞）上单调递减，又g′（1）＝0，所以g′（x）≤0恒成立，所以g（x）在[1，+∞）上单调递减，且g（1）＝0，所以g（x）≤0恒成立，满足题意，（ii）2a﹣e＞0即a＞时，∃x0∈（1，+∞）使得h′（x）＝0，所以h（x）在（1，x0）单调递增，此时h（x）＞h（1）＝0，所以g′（x）＞0即g（x）在（1，x0）单调递增，g（x）＞g（1）＝0，不合题意，综上可得，a的范围[﹣∞，]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2＝0，点P的极坐标是（，）．（1）求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△PMN的面积．【分析】（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离；（2）在极坐标下，利用韦达定理求出MN的长度，从而得出面积．【解答】解（1）由消去t，得到y＝，则ρsinθ＝ρcosθ，∴θ＝，所以直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．点P（，）到直线l的距离为d＝×sin（﹣）＝×＝．（2）由，得，ρ2﹣ρ﹣2＝0所以ρ1+ρ2＝1，ρ1ρ2＝﹣2所以，|MN|＝|ρ1﹣ρ2|＝＝3则△PMN的面积为．S△PMN＝|MN|×d＝×＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣1|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|x﹣5|的解集包含[0，2]，求实数a的取值范围．【分析】（1）a＝2时函数f（x）＝|x+2|+|x﹣1|，利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式的解集即可；（2）不等式的解集包含[0，2]，即不等式在x∈[0，2]上恒成立，讨论x的取值，去掉绝对值，把不等式化为关于|x+a|的不等式，再求实数a的取值范围．解：（1）当a＝2时，函数f（x）＝|x+2|+|x﹣1|＝，不等式f（x）≥x+8等价于或或；解得x≥7，或x≤﹣3；所以不等式f（x）≥x+8的解集为（﹣∞，﹣3]∪[7，+∞）；（2）不等式f（x）≤|x﹣5|的解集包含[0，2]，即|x+a|+|x﹣1|≤|x﹣5|在x∈[0，2]上恒成立，当x∈[0，1]时，不等式化为|x+a|+1﹣x≤5﹣x，即|x+a|≤4，解得﹣4≤x+a≤4，即﹣4﹣a≤x ≤4﹣a；所以，解得﹣4≤a≤3；当x∈（1，2]时，不等式化为|x+a|+x﹣1≤5﹣x，即|x+a|≤6﹣2x，解得2x﹣6≤x+a≤6﹣2x，即对任意x∈（1，2]恒成立；所以，解得﹣4≤a≤0；综上知，实数a的取值范围是﹣4≤a≤0．。

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．将函数(,)x f x y y =在(1,1)点展到泰勒公式的二次项.解：(1,1)1,f =(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)ln 0,1,x x x y f y y f xy-====2(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)2(1,1)(1,1)2(ln )0,1ln 1,(1)0,(,)1(1)(1)(1)0().xxx x x xy x yyx f y y xy y y f y f xy x f x y y y x y ρ--==⎛⎫+⋅== ⎪⎝⎭=-===+-+--+2．求下列欧拉方程的通解：2(1)0x y xy y '''+-=解：作变换e t x =，即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-=即 22d 0d yy t-=特征方程为 210r -=121,1r r =-=故 12121e e t ty c c c c x x-=+=+. 23(2)4x y xy y x '''+-=.解：设e tx =，则原方程化为3(1)4e t D D y Dy y -+-=232d 4e d ty y t-= ① 特征方程为 240r -=122,2r r =-=故①所对应齐次方程的通解为2212e e t t y c c -=+又设*3e t y A =为①的特解，代入①化简得941A A -= 15A =, *31e 5t y = 故 223223121211ee e .55tt t y c c c x c x x --=++=++3．求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x=+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 以π,1x y ==代入上式得π1c =-， 故所求特解为 1(π1cos )y x x=--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x='+-== . 解：22323d 3ln x x x x c x--=--+⎰ 22223323d 23+3ln d 3ln ee e d e d x xx x x x x xxxy x c x c -------⎰⎡⎤⎰⎡⎤∴==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2223311e .e e 22x x x x x c c ----⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以x =1,y =0代入上式，得12ec =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -⎛⎫=-⎪⎝⎭.4．计算下列对坐标的曲面积分：(1)22d d x y z x y ∑⎰⎰，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧；(2)d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧；(3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰，其中f (x , y , z )为连续函数，Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧； (4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰，其中Σ是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---⎰⎰，其中Σ为曲面z =z = h (h >0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；(6)()()22d d d d d d +++-⎰⎰y y z x z x x y y xz x z ∑，其中Σ为x =y =z =0，x =y =z =a 所围成的正方体表面，取外侧为正向；解：(1)Σ：z =Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为：x 2+y 2≤R 2．((()()()()()()22222π422002π2222222002π2200354*******d d d d d cos sin d 1sin 2d 81d d 1cos421612422π1635xyD RR R xy z x y x y x yr r rR R r r R R R R r R R R r R r ∑θθθθθθθ=-=-=-⎡⎤+--⎣⎦⎡=---⎣=-⋅-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()72220772π105RR r R ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=(2)Σ如图11-8所示，Σ在xOy 面的投影为一段弧，图11-8故d d 0z x y ∑=⎰⎰，Σ在yOz 面上的投影D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：x =(y ,z )∈D yz，故30d d d d 3yzD x y z y z z y y∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为： y =(x ,z )∈D xz，故3d d d d 3xzD y z x z x z x x∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此：d d d d d d 236π643π2z x y x y z y z x x x∑++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==⋅=⎰⎰⎰⎰(3)Σ如图11-9所示，平面x -y +z =1上侧的法向量为 n ={1,-1,1}，n 的方向余弦为cos α=，cos β=cos γ=图11-9由两类曲面积分之间的联系可得：()()()()()()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xyD f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z s f y s f z x yf x x y f y x y f z x y f x f y f z x y f x x yx y z x yx y x y ∑∑∑∑∑αβαβγγ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++++=+++++=-+++⎡⎤+⎣⎦=-+=+-⎡⎤--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 111212xyD x y==⨯⨯=⎰⎰⎰⎰(4)如图11-10所示：图11-10Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z =0，Σ2：x =0，Σ3：y =0，Σ4：x +y +z =1， 故()()12344110d d 000d d d d 11d d 124xyD xxz x yxz x yx x yx y x x y x y ∑∑∑∑∑∑-=+++=+++=--==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由积分变元的轮换对称性可知．1d d dzd 24xy y z yz x ∑∑==⎰⎰⎰⎰ 因此．d d dyd d d 113248xz x y xy z yz z x ∑++=⨯=⎰⎰(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0y z z x x yy z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑ΩΩ++---∂∂⎛⎫--∂-=++ ⎪∂∂∂⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(6)记Σ所围的立方体为Ω， P =y (x -z )，Q =x 2，R =y 2+xz ． 由高斯公式有()()()()()220200204d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2a aaaaaaay y z x z x x yy xz x z P Q R x y z x y z x y zx y x y z x y x a yx y y a x xy a a x ax a ∑ΩΩ+++-∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=+=+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5．求下列齐次方程的通解：(1)0xy y'-=;解：d d y y x x =令 d d d d y y u u u x x x x=⇒=+ 原方程变为d xx=两端积分得ln(ln ln u x c =+u cxy cx x +==即通解为：2y cx =d (2)ln d y yxy x x =; 解：d ln d y y y x x x= 令y u x =， 则d d d d y uu x x x=+原方程变为d d (ln 1)u xu u x=-积分得 ln(ln 1)ln ln u x c -=+ln 1ln 1u cxycx x-=-= 即方程通解为 1ecx y x +=22(3)()d d 0x y x xy x +-=解：2221d d y y x y x y x xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==令y u x =， 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 2d 1d u u u x x u++= 即 d 1d ,d d u x xu u x u x == 积分得211ln ln 2u x c =+ 2122ln 2ln y x c x=+故方程通解为 22221ln()()y x cx c c ==332(4)()d 3d 0x y x xy y +-=; 解： 333221d d 33y y x y x x xy y x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭令y u x =, 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 32d 1d 3u u u x x u ++= 即 233d d 12u x u u x=- 积分得 311ln(21)ln ln 2u x c --=+ 以yx代替u ，并整理得方程通解为 332y x cx -=. d (5)d y x y x x y+=-; 解：1d d 1yy x yx x +=- 令y u x =， 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 d 1d 1u uu x x u++=- 分离变量,得211d d 1u u x u x-=+ 积分得 211arctan ln(1)ln ln 2u u x c -+=+ 以y x 代替u ，并整理得方程通解为到 2arctan 22211e .()yxx y c c c +==(6)y '=解：d d y yx=即d d x x y y =令x v y =， 则d d ,d d x v x yv v y y y ==+, 原方程可变为d d vv yv y+=+即d d vyy=分离变量，得d y y= 积分得ln(ln ln v y c +=-.即y v c+=2222121y v v c y yv c c⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-= 以yv x =代入上式，得 222c y c x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即方程通解为 222y cx c =+.6．从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：220(1),5;x x y C y =-==解：当0x =时，y =5.故C =-25 故所求曲线为：2225y x -=21200(2)()e ,0, 1.x x x y C C x y y =='=+==解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有10C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e xy x =.7．利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： (1)d d d y x z y x z Γ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2= a 2，x +y +z = 0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；(2)()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向； (3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2 = 2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向； (4)22d 3d d +-⎰y x x y z z Γ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2 = 9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==． 由斯托克斯公式22d d d cos cos cos d d πy x z y x zR Q Q P P R s y z x y z x ss a a Γ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)记为Σ为平面32x y z ++=被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ（是一个边长为2的正六边形）； Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos αβγ==n ． 由斯托克斯公式()()()(((()222222d d d2222d22d3d232492x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡++----=--⎢⎣=++==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：z=0，D xy：x2+y2≤9由斯托克斯公式得：()()()222d3d dd d d d d d000032d dd dπ39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑8．设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域D如下，求指定的转动惯量：(1)D:22221x ya b+≤，求I y;(2)D由抛物线292y x=与直线x=2所围成，求I x和I y；(3)D为矩形闭区域：0≤x≤a, 0≤y≤b,求I x和I y.解：（1）令x=arcosθ ,y=br sinθ,则在此变换下D ：22221x y a b+≤变化为D '：r ≤1,即 0≤r ≤1, 0≤θ≤2π, 且(,)(,)x y abr r θ∂=∂, 所以2π12222323032π30d d cos d d cos d d 1(1cos 2)d π.84y DD I x x y a r abr r a b r ra b a b θθθθθθ'====+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 闭区域D 如图10-35所示图10-353222220005222220272d d 2d d d ;3596d d 2d d .7x Dy DI y x y x y y x x I x x y x x y x x ========⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)32220d d d d d ,3a bbx Dab I y x y x y y a y y ====⎰⎰⎰⎰⎰322200d d d d d .3abay Da bI x x y x x y bx x ====⎰⎰⎰⎰⎰9．求锥面z被柱面z 2 = 2x 所割下部分的曲面面积。

南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e ey(C )⎰⎰e e ydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。

2019—2020学年第二学期考试卷（B ）卷一、填空题(每题3分，共15分)1. __________grad )(),(=-=f y x y x f 处的梯度，在点函数1132 2. _________d }),{(=≤+≤=⎰⎰Dy x y x D σ，则设94223. _______d }),,{(=≤≤≤≤-≤≤=Ω⎰⎰⎰Ωv x z y x z y x 2101110，则，，设4. ________=-∑∞=S n nnn 的和级数1423 5. _______d )(d )()()(=++-⎰1100，，曲线积分y y x x x y二、选择题(每题 3 分，共 15 分)1. ) (),(的驻点是函数y y xy x y x f 25422++-=0)0( D. )( C. )( B. 2(1 A.，，，），2112----d )(d D. d )(d C. d )(d B. d )(d A.)(d )(}),{( .cos 0cos 2012⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+≥≤+=θπθπππθθθθσ222202122022222022r r rf r r f r r rf r r f y x f y x y x y x D D ，则且设d sin )(d d B. d )(d d A.)()d ( .02040⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++==++ΩΩ4211202222222213ππππρϕρρϕθρρρϕθf f v z y x f y x z z y x 围成，则及由曲面设d cos )(d d D. d sin )(d d C.02040⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211020ππππρϕρρϕθρϕρρϕθf fD. C. B. A.)(sin)( .敛散性不确定条件收敛绝对收敛发散 级数∑∞=-1114n n ncos D. cos C. sin B. sin A.)(sin .212121215C x C x y C x C x y C x C x y C x C x y x y ++=++-=++=++-=='' 的通解为微分方程姓名： 学号： 教学班级： 教学小班序号：4. 的折线段，与，，，是连接其中，求) () ( ) ( d )(30000142B O A C s y x I C⎰+=5. 的收敛半径及收敛域求幂级数∑∞=⋅121n nnx n6. 的通解求微分方程xy x y y x e +='装Ｏ订Ｏ线Ｏ2019—2020学年第二学期期末考试《高等数学(A)Ⅱ》答案及评分标准一、填空题(每题3分，共15分) 1. }{32，- 2. π5 3.324. 25. 1 二、选择题(每题3分，共15分)1. B2. D3. B4. C5. A 三、计算题(每题 7分，共49分)1. xy xy x e y x y e z )( 3++='Θ解：, xy xyy e y x x ez )(33++=' 1113--='∴e z x),( 5分，111--='e z y),(，dy e dx e dy z dx z dz y x 113--+='+'=故2. 234x z x y ='=',Θ解：，},,{341=∴T ρ切向量 314211-=-=-z y x 故切线方程为 ， 013241=-+-+-)()(z y x 法平面方程为分，即01234=-++z y x3. ⎰⎰⎰⋅=4020 2 2d d d r z r r r I πθ解：⎰⎰-=2022204 )d (d r r r πθ⎰=πθ201564 d 15128π=4. ⎰⎰+++=OB AO ds y x ds y x I )()( 2244解：⎰⎰+=302104dy y xdx 303102312y x +=11= 5. 2112212111=+=⋅⋅+=∞→+∞→)(lim /)/(lim n n n n n nn n ρΘ解：　，2=∴R时当2-=x ，收敛级数∑∞=-1)1(n n n ，时当2=x ，发散级数∑∞=11n n ，),[22-故收敛域为 6. x ye x y y +='原方程化为解： ，x y u =令，x x u eu d d 11=则原方程化为x xu e u d d ⎰⎰=⇒-1，C x e u +=-⇒-ln ，)ln ln( ln C x x y C x e x y ---=+=--即，故所求通解为四、综合题(每题 10分，共20分)1. 2222x x e Q y x e P yy-=+=sin cos ，令解：，则x x e xQy x e y P y y -=∂∂+=∂∂cos cos ，4，⎰⎰+=⇒Dy x y x I d d )(4y y x x xd )(d x⎰⎰+=3104⎰=1218 d x x 1036x =6=2. 0652=++r r 特征方程为解：， 3221-=-=⇒r r 、， x x C C Y y y y 3221065--+==+'+''e e 的通解为故b ax y +=*设特解，76656-=++x b a ax y *代入原方程得把 ，⎩⎨⎧-=+=⇒7656b a a 621-==⇒b a 、，2-=⇒x y *，23221-++=--x C e C y x x e 故所求通解为 五、证明题 ( 8分))!()!()!()!()!()!(n n n n n 22212222≤+++ΛΘ证：141122121211222<=++=⋅+++=∞→∞→)()(lim )!()!()]!([])!)[((lim n n n n n n n n n n n ρ又收敛级数∑∞=∴122n n n n )!()!( ，收敛故级数∑∞=+++1222221n n n )!()!()!()!(Λ。

中原名校—学年期末检测高二数学(理)试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合U R =，集合{}2|40M x x =-≤，则U C M = A. {}|22x x -<< B. {}|22x x -≤≤ C. {}|22x x x <->或 D.{}|22x x x ≤-≥或 2.设复数z 满足()()225z i i --=，则z =A. 23i +B. 23i -C. 32i +D.32i -3.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>A. 2y x =±B. y =C. 12y x =±D.2y x =± 4.设x R ∈，向量()()1,,2,6a x b ==-，且//a b ，则a b ⋅=A. -4B.C.5.下列四个结论：①若“p q ∧”是真命题，则p ⌝可能是真命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∃∈--≥”；③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件；④当0a <时，幂函数ay x =在区间()0,+∞上单调递减.其中正确的结论个数是A.0个B.1个C. 2个D. 3个 6.在单调递减等差数列{}n a 中，若32431,4a a a ==，则1a = A. 1 B. 2 C.32D. 3 7.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的3人中女生人数不少于1人的概率是 A.45 B. 35 C. 25 D.158.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A-BCD 的正视图与俯视图如图所示，则其几何体的表面积为A.22B. 22C. 1+1+9.函数22sin 33,00,1441x y x xππ⎛⎫⎡⎫⎛⎤=∈-⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⎝⎭+的图象大致是10.如果函数()f x 在区间D 上是增函数，且()f x x在区间上是减函数，则称函数()f x 在区间D 上是缓增函数，区间D 叫做缓增区间.若函数()21322f x x x =-+在区间D 上是缓增函数，则缓增区间D 是A.[)1,+∞B. ⎡⎣C. []0,1D.⎡⎣11.若函数()3211232b f x x x bx ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在区间[]3,5上不是单调函数，则函数⎡⎣在R 上的极大值为A. 232136b b -B. 3223b -C. 0D. 423b - 12.已知函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是A. (],e -∞B. []0,eC. (),e -∞D.[)0,e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()cos 5sin aax x x -+=⎰ .14.曲线()ln f x x x =在点()()1,1f 处的切线方程为 .15.若将函数sin y x x =+的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数sin y x x =-的图象，则ϕ的最小值为 .16.已知函数()312x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2120f a f a -+≤，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知命题P:函数()()2log 1m f x x =+是增函数，命题Q:2,10.x R x mx ∀∈++≥（1）写出命题Q 的否命题Q ⌝，并求出实数m 的取值范围，使得命题Q ⌝为真命题；（2）如果P Q ∨是真命题，P Q ∧是假命题，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AB AA E ==为BC 的中点. （1）求证：11C D D E ⊥;（2）若二面角1B AE D --的大小为90，求AD 的长.19.（本题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，A 是椭圆的上顶点，直线2AF 交椭圆于另一点B.（1）若190F AB ∠=，求椭圆的离心率； （2）若22132,2AF F B AF AB =⋅=，求椭圆的方程.20.（本题满分12分）设等差数列{}n a 的公差0d >，且10a >，记12231111.n n n T a a a a a a +=+++（1）用1,a d 分别表示123,,T T T ，并猜想n T ； （2）用数学归纳法证明你的猜想.21.（本题满分12分）已知()()2ln , 3.f x x x g x x ax ==-+-（1）求函数()f x 在区间[](),20t t t +>上的最小值；（2）对一切实数()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：对一切()0,x ∈+∞，12ln x x e ex>-恒成立.22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt=+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l ，2l 的交点为P,当变化时，P 的轨迹为曲线.（1）写出曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()24,1 1.f x x ax g x x x =-++=++-（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含，求实数a 的取值范围.中原名校—学年期末检测高二数学(理)答案一、选择题 1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．B7．A 8．B 9．A 10．D 11．D 12．A1．C 【解析】因为{}240M x x =-≤{}22x x =-≤≤，全集U R =，所以U C M ={}22x x x <->或，故选C.2．A 【解析】利用方程思想求解复数并化简.由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i＝2i ＋5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.3．D 【解析】由条件e ＝3，即c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝3，所以ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ．故选D4．D 【解析】∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－6)且a ∥b ，∴－6－2x ＝0，x ＝－3，∴a ＝(1，－3)，a ·b ＝20，故选D ．5．B 【解析】①若p q ∧是真命题，则p 和q 同时为真命题，p ⌝必定是假命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”； ③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充分不必要条件； ④a y x =1'a y a x -⇒=⋅，当0a <时，'0y <，所以在区间()0+∞，上单调递减. 选B ．6．B 【解析】由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递减，∴a 4＝12，a 2＝32．∴公差d ＝a 4－a 22＝－12．∴a 1＝a 2－d ＝2．7．A 【解析】设所选女生人数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝3，则P (X 1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝212436C C C ＋C 12C 24C 36＝45.所以选A 。