尺规作图
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作法：作 ，使 ， ， ，作 的中点 ，并延长 到 使 。延长 至 使 ，则 即所求者。
证明：由作法， 是 的中点，因而 是 的中线。由于 ， 是 的重心，并且 ，以 、 表 、 的中点，由于 是重心，则 ， ，所以 合于条件。
讨论：本题有无解，取决于 是否存在，存在的条件是：
， ， .
故所给三中线能构成三角形时，有一解，否则无解。
（1）任意延长已知线段。
（2）在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段。
（3）以已知射线为一边，在指定一侧作角等于已知角。
（4）已知三边，或两边及夹角，或两角及夹边作三角形。
（5）已知一直角边和斜边，作直角三角形。
（6）作已知线段的中点。
（7）作已线上或直线外一已知点，作此直线的垂线。
作法：如分析所作，见下图1。
证明：略。
讨论：
1直线AB与 交于一点且A、B在 的同侧时，有二解，如图1。
2 或A、B之一在 上时，有一解如图2和3。
3A、B在 的异侧时无解。
例10求作一直线平行于梯形的底边，且平分该面积。
分析：设图已作成，设AB交CD于O， ，则
，
由此 ，又 ，
所以 .故E点定。
作法：如图。
4．作圆内接正多边形
①正多边形的尺规作图，归结为方程 的n次本原单位根的尺规作图问题。（如果某一个n次单位根的各次幂可得出所有n次单位根，这样的n次单位根叫做本原单位根。
如三次单位根 中， ，可见 为本原单位根；同理 也是本原单位根，但 不是。）在n次单位根中， 必是n次本原单位根。
②定理：圆内接正 边形可用尺规作图 （ 的素数或者为1， ）。
2．三等分任意角问题：设 是任一角，求 ，使 .
由三倍角公式 ，令 ，则方程化为
（ 已知）
不妨取 ，这时 ，方程为 ，此方程无有理根，故不可能分解为以有理数为系数的两因式之积。不能由尺规作出。
3．化圆为方问题：求作一正方形，使面积等于已知圆的面积。
设已知圆为单位圆，正方形的边长为 ，则 ， 为超越数，故 不能作出。
讨论：本题恒有一解。（C在圆内而D在圆外，两圆相交于两点，但其中一点必在阿氏圆直径CD的另一侧，不在 上）。
解法二：由角平分线性质知，∠AMB的平分线MN必过C点，故不必作阿氏圆，只要定出C和N即可，而N为 的中点，作AB的中垂线即可。如下图所示。
例2已知△ABC的底边 ，顶角A以及余二边的平方和 ，求作这三角形。
∴ ，即 ，由 有 ，∴ ，
与上两式相加即得 ，
∴ ，即同圆的正五边形、正六边形、正十边形的边构成直角三角形，由此得正五边形更简单的作法。
作法：PQ、AS为二垂直直径，M为OQ的中点，作 ；作AN＝AB；则 .
证明： ，
，得证。
2．求作△ABC，已知 .
分析：设△ABC已作出，G为重心，由重心的性质知 ，从而 ，△BCG可作。
分析：设△ABC已作好，作 ， ，这时， 旋转为 ， 与 的交点为 ，进而可定B。
作法：作 于H，作 且 ，过 作 ， 交 于点 ，再作 ，使 与 有相同转向，B是直线AB与 的交点。
证明：只要证明AB＝AC就足以保证 是正三角形。由于 ，立刻推出 。所以两个直角三角形 和 有一直角边及一锐角对应相等，因而合同。所以AB＝AC。
注：
①圆内接正十边形长 .
②由弦与圆周角的关系 知 .
③ ，即黄金分割数，在优选法上常用，来源于黄金分割。
例12五角星的作法
法一：将圆周十等分（例11），从第一个分点起，每隔开三个分点相连即得。
法二：将圆周五等分，从第一个分点起间点相连即得。
注：
①圆内接正十边形、五边形、半径的关系
，作 于E，交AB于D，则 ，
例4已知△ABC的 ，求作该三角形。
分析：△ABC若已作成，高 ，角平分线 ，中线 .
和 都可作出，取 为基础三角形，设AT交外接圆于P，则P为 的中点，P可由AT及MH在M点的垂线相交决定。然后定圆心O，O在PM上，也在AP的中垂线上，故外接圆可作出，从而可定出B、C。
作法：作直角 ，使 ， ， .
在射线HM上作T点使 ，过M作HM的垂线与直线AT相交于P。作AP的中垂线交PM于O。以O为中心，以OA为半径作圆，设其交直线HM于B及C，则 即所求。
证明：因O在AP的中垂线上，则OP＝OA，从而P是 的中点，从而AM是 的中线，而AP是 的平分线。可见 中，有高 ，中线 ，平分角线 ，即 合于所设条件。
将图形中某些元素施行适当的合同变换，然后借助于各元素的新旧位置关系发现作图的方法。常用的有对称变换、平移变换和旋转变换。
例5求作△ABC，已知 ，两底角之差 .
分析：△ABC已作出，先作 ，由于 ，故A点的一个轨迹是BC的一条平行线XY。现为了把 表示在图形上，延长BA到E，作C关于XY的对称点D，则
分析：如图，设△ABC已作成， ，且 。任作 后，A的一个轨迹是以BC为弦而内接角等于 的圆弧。若以M表示BC的中点，则
（斯特瓦尔特定理）
即A点的另一轨迹是以M为圆心，半径为 的圆周，因而A点定。
作法：作线段 ，在BC上作内接角等于 的圆弧；作 ；圆与圆弧的交点为所求的A点。
证明：略。
讨论：显然 ，否则无意义；若A为锐角，当 时， 与圆弧 有两交点A与 ，但 ，只算作一解；否则无解。
∴ ，从而A的另一轨迹是以BD为弦内接角等于 的弓形弧。
作法证明：略。
讨论：以BD为弦内接角等于 的弓形弧的对称弧交XY于一点 ，但 中， ，不符合条件，故本题只有一解。
例6给定两平行线 及 和它们外侧各一点A、B（如下图 ），求自A至B的最短路线，使介于 、 间的部分与定直线 平行。
分析：在 、 上任取点 、 满足 ， 最短在于 最短。现 ，C为定点（实际上， ），且 .则Y定，进而X定。X、Y为所求。
定理：一个作图题中所求线段 ，可由一次齐次式 表示，则 能由尺规作出 F仅含关于已知线段 的有限次加、减、乘、除、开平方运算，并且F在定义域中能取实值。
二、几个古典几何作图题
1．倍立方问题：求作一立方体，使它的体积等于已知立方体的体积的2倍。
设已知立方体棱长为 ，求作的立方体的棱长为 ，则 ，惟一的实根为 ，不可能由 经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。不能由尺规作出。
证明：略。
讨论：恒有一解。
尺规作图可能性的判断
一、判断准则
任何能用尺规完成的图形，归结为三条作图公理的有限次组合，即由一些点作直线、作圆，再由直线和圆产生新点。在直角坐标系中，这些新点的坐标由方程 或 或 三种不同组合组成的方程组的解。而方程组的解是通过方程系数之间的加、减、乘、除、开平方运算得来的，故得尺规作图准则为：
（10）过已知直线外已知点，作此直线的平行线。
（11）已知边长作正方形。
（12）以定线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧。
（13）作已知三角形的外接圆，内切圆，旁切圆。
（14）过圆上或圆外一点作圆的切线。
（15）作两已知圆的内、外公切线。
（16）作已知圆的内接（外切）正三角形、正方形，或正六边形。
（17）作一线段，使之等于两已知线段的和或差。
②作法：利用已知作图题时，只需说明清楚，不必一一累述。
③证明：证所作图确实具有所设条件。
④讨论：作图题解的有无，多与寡，定与不定，决定于已知条件的大小、位置及相互关系。
尺规作图法举例
一、交轨法
一个作图题的解决，往往归结到某一点的确定，而一点的确定，须用两个条件 和 ，如果能求出合于条件 的轨迹 和合于条件 的轨迹 ，那么 和 的交点同时满足 和 ，这种由轨迹相交以解作图题的方法，称为交轨法。
证明：略（关键是证G为重心，连AG交BC于点F，证明N是中点）
讨论：△ABC能否作出决定于△BCG能否作出。显然， 且 ，即 且 时有一解，否则无解。
讨论：由于 或 ，所以有两解。
四、代数分析法
有的作图题，解题的关键在于一条线段的算出，这时可借助于代数计算求得该线段，此方法叫代数分析法。
例9求作一圆，使通过两定点A、B并切于已知直线 。
分析：如图 ，关键在于确定切点T的位置，如能定，过A、B、T三点的圆就为所求。
设AB与 交于 ， ，则 ，即 是线段OA、OB的比例中项，即T可确定，进而圆可定。
（18）作一线段，使之等于已知线段的n倍或n等分。
（19）内分或外分一已知线段，它们的比等于已知比。
（20）作已知三线段 的第四比例项。
（21）作已知两线段 的比例中项。
（22）已知线段 作一线段为 ，或作一线段为 。
四、解作图题的步骤
① 分析：遇到不是一目了然的作图题，常假定符合条件的图已做出，研究已知件和求作件间的关系，从而得到作图的线索。这个过程就是分析，是解题重要的一步。
作法：略。
证明：略。
讨论：本题恒有一解。
例7给定△ABC，求作一直线平行于BC，交AB、AC于D、E，使AD＝EC.
分析：如图，将 ，则 ，所以AF为 的平分线。由F定D，然后定E即可。恒有一解。
作法：由分析作法显然。
证明：略。
例8给三平行线 ，求以 上一定点A为顶点作正三角形ABC，使余二点分别落在 、 上。
（2）已知圆心和半径作圆；
（3）若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出其交点。
上面三条叫作图公法。
若一个图不能有限次根据作图公理作出图形，则叫几何作图（或尺规作图）不能问题。
三、作图成法
我们把根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图，叫做作图成法。它可以在以后的作图中直接应用。下面列举一些：
讨论：
1当 三者有两个相等时，△ABC为等腰三角形，这时若三者不都相等无解，若都相等便成不定问题，有无穷多解。
2当 互不相等时，解要存在，则△AMH存在且P存在，并且P和A落在HM的异侧（若 ，则P与A落在MH同侧），才能保证B、C存在，要保证这些事项，则必有T介于H和M之间，有解的条件是： .
证明：由作法， 是 的中点，因而 是 的中线。由于 ， 是 的重心，并且 ，以 、 表 、 的中点，由于 是重心，则 ， ，所以 合于条件。
讨论：本题有无解，取决于 是否存在，存在的条件是：
， ， .
故所给三中线能构成三角形时，有一解，否则无解。
（1）任意延长已知线段。
（2）在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段。
（3）以已知射线为一边，在指定一侧作角等于已知角。
（4）已知三边，或两边及夹角，或两角及夹边作三角形。
（5）已知一直角边和斜边，作直角三角形。
（6）作已知线段的中点。
（7）作已线上或直线外一已知点，作此直线的垂线。
作法：如分析所作，见下图1。
证明：略。
讨论：
1直线AB与 交于一点且A、B在 的同侧时，有二解，如图1。
2 或A、B之一在 上时，有一解如图2和3。
3A、B在 的异侧时无解。
例10求作一直线平行于梯形的底边，且平分该面积。
分析：设图已作成，设AB交CD于O， ，则
，
由此 ，又 ，
所以 .故E点定。
作法：如图。
4．作圆内接正多边形
①正多边形的尺规作图，归结为方程 的n次本原单位根的尺规作图问题。（如果某一个n次单位根的各次幂可得出所有n次单位根，这样的n次单位根叫做本原单位根。
如三次单位根 中， ，可见 为本原单位根；同理 也是本原单位根，但 不是。）在n次单位根中， 必是n次本原单位根。
②定理：圆内接正 边形可用尺规作图 （ 的素数或者为1， ）。
2．三等分任意角问题：设 是任一角，求 ，使 .
由三倍角公式 ，令 ，则方程化为
（ 已知）
不妨取 ，这时 ，方程为 ，此方程无有理根，故不可能分解为以有理数为系数的两因式之积。不能由尺规作出。
3．化圆为方问题：求作一正方形，使面积等于已知圆的面积。
设已知圆为单位圆，正方形的边长为 ，则 ， 为超越数，故 不能作出。
讨论：本题恒有一解。（C在圆内而D在圆外，两圆相交于两点，但其中一点必在阿氏圆直径CD的另一侧，不在 上）。
解法二：由角平分线性质知，∠AMB的平分线MN必过C点，故不必作阿氏圆，只要定出C和N即可，而N为 的中点，作AB的中垂线即可。如下图所示。
例2已知△ABC的底边 ，顶角A以及余二边的平方和 ，求作这三角形。
∴ ，即 ，由 有 ，∴ ，
与上两式相加即得 ，
∴ ，即同圆的正五边形、正六边形、正十边形的边构成直角三角形，由此得正五边形更简单的作法。
作法：PQ、AS为二垂直直径，M为OQ的中点，作 ；作AN＝AB；则 .
证明： ，
，得证。
2．求作△ABC，已知 .
分析：设△ABC已作出，G为重心，由重心的性质知 ，从而 ，△BCG可作。
分析：设△ABC已作好，作 ， ，这时， 旋转为 ， 与 的交点为 ，进而可定B。
作法：作 于H，作 且 ，过 作 ， 交 于点 ，再作 ，使 与 有相同转向，B是直线AB与 的交点。
证明：只要证明AB＝AC就足以保证 是正三角形。由于 ，立刻推出 。所以两个直角三角形 和 有一直角边及一锐角对应相等，因而合同。所以AB＝AC。
注：
①圆内接正十边形长 .
②由弦与圆周角的关系 知 .
③ ，即黄金分割数，在优选法上常用，来源于黄金分割。
例12五角星的作法
法一：将圆周十等分（例11），从第一个分点起，每隔开三个分点相连即得。
法二：将圆周五等分，从第一个分点起间点相连即得。
注：
①圆内接正十边形、五边形、半径的关系
，作 于E，交AB于D，则 ，
例4已知△ABC的 ，求作该三角形。
分析：△ABC若已作成，高 ，角平分线 ，中线 .
和 都可作出，取 为基础三角形，设AT交外接圆于P，则P为 的中点，P可由AT及MH在M点的垂线相交决定。然后定圆心O，O在PM上，也在AP的中垂线上，故外接圆可作出，从而可定出B、C。
作法：作直角 ，使 ， ， .
在射线HM上作T点使 ，过M作HM的垂线与直线AT相交于P。作AP的中垂线交PM于O。以O为中心，以OA为半径作圆，设其交直线HM于B及C，则 即所求。
证明：因O在AP的中垂线上，则OP＝OA，从而P是 的中点，从而AM是 的中线，而AP是 的平分线。可见 中，有高 ，中线 ，平分角线 ，即 合于所设条件。
将图形中某些元素施行适当的合同变换，然后借助于各元素的新旧位置关系发现作图的方法。常用的有对称变换、平移变换和旋转变换。
例5求作△ABC，已知 ，两底角之差 .
分析：△ABC已作出，先作 ，由于 ，故A点的一个轨迹是BC的一条平行线XY。现为了把 表示在图形上，延长BA到E，作C关于XY的对称点D，则
分析：如图，设△ABC已作成， ，且 。任作 后，A的一个轨迹是以BC为弦而内接角等于 的圆弧。若以M表示BC的中点，则
（斯特瓦尔特定理）
即A点的另一轨迹是以M为圆心，半径为 的圆周，因而A点定。
作法：作线段 ，在BC上作内接角等于 的圆弧；作 ；圆与圆弧的交点为所求的A点。
证明：略。
讨论：显然 ，否则无意义；若A为锐角，当 时， 与圆弧 有两交点A与 ，但 ，只算作一解；否则无解。
∴ ，从而A的另一轨迹是以BD为弦内接角等于 的弓形弧。
作法证明：略。
讨论：以BD为弦内接角等于 的弓形弧的对称弧交XY于一点 ，但 中， ，不符合条件，故本题只有一解。
例6给定两平行线 及 和它们外侧各一点A、B（如下图 ），求自A至B的最短路线，使介于 、 间的部分与定直线 平行。
分析：在 、 上任取点 、 满足 ， 最短在于 最短。现 ，C为定点（实际上， ），且 .则Y定，进而X定。X、Y为所求。
定理：一个作图题中所求线段 ，可由一次齐次式 表示，则 能由尺规作出 F仅含关于已知线段 的有限次加、减、乘、除、开平方运算，并且F在定义域中能取实值。
二、几个古典几何作图题
1．倍立方问题：求作一立方体，使它的体积等于已知立方体的体积的2倍。
设已知立方体棱长为 ，求作的立方体的棱长为 ，则 ，惟一的实根为 ，不可能由 经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。不能由尺规作出。
证明：略。
讨论：恒有一解。
尺规作图可能性的判断
一、判断准则
任何能用尺规完成的图形，归结为三条作图公理的有限次组合，即由一些点作直线、作圆，再由直线和圆产生新点。在直角坐标系中，这些新点的坐标由方程 或 或 三种不同组合组成的方程组的解。而方程组的解是通过方程系数之间的加、减、乘、除、开平方运算得来的，故得尺规作图准则为：
（10）过已知直线外已知点，作此直线的平行线。
（11）已知边长作正方形。
（12）以定线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧。
（13）作已知三角形的外接圆，内切圆，旁切圆。
（14）过圆上或圆外一点作圆的切线。
（15）作两已知圆的内、外公切线。
（16）作已知圆的内接（外切）正三角形、正方形，或正六边形。
（17）作一线段，使之等于两已知线段的和或差。
②作法：利用已知作图题时，只需说明清楚，不必一一累述。
③证明：证所作图确实具有所设条件。
④讨论：作图题解的有无，多与寡，定与不定，决定于已知条件的大小、位置及相互关系。
尺规作图法举例
一、交轨法
一个作图题的解决，往往归结到某一点的确定，而一点的确定，须用两个条件 和 ，如果能求出合于条件 的轨迹 和合于条件 的轨迹 ，那么 和 的交点同时满足 和 ，这种由轨迹相交以解作图题的方法，称为交轨法。
证明：略（关键是证G为重心，连AG交BC于点F，证明N是中点）
讨论：△ABC能否作出决定于△BCG能否作出。显然， 且 ，即 且 时有一解，否则无解。
讨论：由于 或 ，所以有两解。
四、代数分析法
有的作图题，解题的关键在于一条线段的算出，这时可借助于代数计算求得该线段，此方法叫代数分析法。
例9求作一圆，使通过两定点A、B并切于已知直线 。
分析：如图 ，关键在于确定切点T的位置，如能定，过A、B、T三点的圆就为所求。
设AB与 交于 ， ，则 ，即 是线段OA、OB的比例中项，即T可确定，进而圆可定。
（18）作一线段，使之等于已知线段的n倍或n等分。
（19）内分或外分一已知线段，它们的比等于已知比。
（20）作已知三线段 的第四比例项。
（21）作已知两线段 的比例中项。
（22）已知线段 作一线段为 ，或作一线段为 。
四、解作图题的步骤
① 分析：遇到不是一目了然的作图题，常假定符合条件的图已做出，研究已知件和求作件间的关系，从而得到作图的线索。这个过程就是分析，是解题重要的一步。
作法：略。
证明：略。
讨论：本题恒有一解。
例7给定△ABC，求作一直线平行于BC，交AB、AC于D、E，使AD＝EC.
分析：如图，将 ，则 ，所以AF为 的平分线。由F定D，然后定E即可。恒有一解。
作法：由分析作法显然。
证明：略。
例8给三平行线 ，求以 上一定点A为顶点作正三角形ABC，使余二点分别落在 、 上。
（2）已知圆心和半径作圆；
（3）若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出其交点。
上面三条叫作图公法。
若一个图不能有限次根据作图公理作出图形，则叫几何作图（或尺规作图）不能问题。
三、作图成法
我们把根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图，叫做作图成法。它可以在以后的作图中直接应用。下面列举一些：
讨论：
1当 三者有两个相等时，△ABC为等腰三角形，这时若三者不都相等无解，若都相等便成不定问题，有无穷多解。
2当 互不相等时，解要存在，则△AMH存在且P存在，并且P和A落在HM的异侧（若 ，则P与A落在MH同侧），才能保证B、C存在，要保证这些事项，则必有T介于H和M之间，有解的条件是： .
