复数的三角形式

复数的三角形式1.复数的三角形式复数的幅角指的是复数Z=a+bi所对应的向量半轴为始边，向量以x轴正方向所在的射线（起点为O）为终边的角度θ，记作ArgZ。

其中，满足0≤θ<2π的辐角θ的值称为辐角的主值，记作argZ。

需要注意的是，不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍。

复数的三角形式指的是r(cosθ+isinθ)，其中r为复数Z=a+bi的模，θ为Z的一个辐角。

任何一个复数Z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式。

2.复数的三角形式的运算设Z=r(cosθ+isinθ)，Z1=r1(cosθ1+isinθ1)，Z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则：3.应用例1：求下列复数的模和辐角主值1）1+i解：对于1+i，有a=1，b=1，点（1,1）在第一象限，所以r=sqrt(2)，tanθ=1，辐角主值为θ=π/4.2）4-3i解：对于4-3i，有a=4，b=-3，点（4，-3）在第四象限，所以r=5，tanθ=-3/4，辐角主值为θ=11π/6.想一想：如何求复数z=3-4i的辐角？解：对于3-4i，有a=3，b=-4，点（3，-4）在第四象限，所以r=5，tanθ=-4/3，辐角主值为θ=11π/6.复数的三角形式具有以下特征：形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为一个辐角。

下列各式是否为复数的三角形式：1）isinθ+cosθ2）2(cos(π/4)+isin(π/4))3）5(cos(5π/6)+isin(π/6))解：（1）不是，（2）是，（3）是。

例2：把下列复数转化为三角形式1）-1解：-1=cosπ+isinπ，所以r=1，θ=π。

2）2i解：2i=2(cosπ/2+isinπ/2)，所以r=2，θ=π/2.3）3-i解：3-i=2(cos(11π/6)+isin(π/6))，所以r=2，θ=11π/6.总结：将复数的代数形式z=a+bi转化为复数的三角形式的一般方法步骤是：①求复数的模：r=sqrt(a^2+b^2)；②由tanθ=b/a求出复数的辐角主值θ；③将复数表示为r(cosθ+isinθ)的形式。

复数的三角形式与指数形式的相互转换方法应用复数的三角式与指数式的相互转换方法及应用复数是数学中的一个重要概念，其中涉及到了复数的三角式和指数式的相互转换。

本文将针对复数的三角式和指数式的相互转换方法进行介绍，并且探讨这些转换方法在实际中的应用。

一、复数的三角式和指数式1. 复数的三角式复数的三角式是指将一般复数 $a + bi$ 表示成 $r(\cos{\theta} +i\sin{\theta})$ 的形式，其中 $r$ 为复数的模，$\theta$ 为辐角。

其中，复数的模 $r$ 的计算方法为 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$；辐角$\theta$ 的计算方法为 $\theta = \text{arctan}(\frac{b}{a})$，当 $a <0$ 时，$\theta = \text{arctan}(\frac{b}{a}) + \pi$。

2. 复数的指数式复数的指数式是指将复数表示成 $re^{i\theta}$ 的形式，其中 $r$ 为复数的模，$\theta$ 为辐角。

其中，复数的模 $r$ 的计算方法为 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$；辐角$\theta$ 的计算方法为 $\theta = \text{arctan}(\frac{b}{a})$，当 $a <0$ 时，$\theta = \text{arctan}(\frac{b}{a}) + \pi$。

二、复数的三角式和指数式的相互转换方法1. 从复数的三角式到指数式的转换将复数 $a + bi$ 的三角式 $r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})$ 中的$\cos{\theta}$ 和$\sin{\theta}$ 分别用$e^{i\theta}$ 的实部和虚部表示，即 $\cos{\theta} = \text{Re}(e^{i\theta})$，$\sin{\theta} =\text{Im}(e^{i\theta})$，则有 $a + bi = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) =r\text{e}^{i\theta}$。

复数的三角表示形式
复数是由实数和虚数组成的数，一般表示成 a+bi 的形式，其中a 为实数部分，b 为虚数部分，i 为虚数单位。

除此之外，复数还可以用三角形式表示，即：
z = r(cosθ + i sinθ)
其中，r 表示复数 z 的模，θ表示 z 的幅角。

模 r 的计算公式为：
r = |z| = √(a + b)
幅角θ的计算公式为：
θ = arg(z) = tan(b/a) + kπ (k∈Z)
在三角形式中，复数可以看作是平面直角坐标系中一个点的极坐标，其中实部和虚部分别对应该点在 x 轴和 y 轴上的投影长度。

使用三角形式表示复数有以下几个优点：
1. 易于计算复数的乘法和除法，只需按照平面向量的乘法和倒数公式进行计算。

2. 易于用欧拉公式表示复数，即 e^(iθ) = cosθ + i sinθ，可以方便地进行复杂的数学推导。

3. 易于理解复数在复平面上的几何意义，可以通过旋转和缩放的方式进行操作。

因此，三角形式是复数的重要表示形式之一，对于深入理解复数的性质和应用具有重要意义。

- 1 -。

复数的三角形式1、复数的三角形式(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．2、复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(co sθ2＋isinθ2)．则3、应用例1求下列复数的模和辐角主值 （1）i +1 （2）i -3解：（1）211122=+=+i又a b tan =θ=1，点（1,1）在第一象限。

所以41πθ=+=）（i arg（2）213322=-+=-）（）（i有31-=θtan ，点（13-，）在第四象限，所以611623πππθ=-=-=）（i arg想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角想一想：复数的三角形式有哪些特征下列各式是复数的三角形式吗（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos（3））（6655ππsin i cos+例2 把下列复数转化为三角形式 （1）-1；（2）i 2； （3）i -3解：（1）2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg，所以-1=ππsin i cos +（2）22022=+=r 辐角主值为θ=()22π=i arg ，所以i2=）（222ππsin i cos+（3）21322=-+=）（）（r ，由3331-=-=θtan 和点），（13-在第四象限，得611623πππθ=-=-=）（i arg ，所以i -3=）（6116112ππsin i cos+总结：复数的代数形式bi a z +=化为复数的三角形式一般方法步骤是：①求复数的模：22b a r +=；②由a btan =θ及点）（b ,a 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。

高中数学复数的三角形式与指数形式转换技巧复数是高中数学中一个重要的概念，它在解决实际问题以及数学推理中发挥着重要的作用。

在复数的表示形式中，三角形式和指数形式是最常用的两种形式。

本文将介绍复数的三角形式与指数形式之间的转换技巧，并通过具体的例题来说明其考点和解题方法。

一、复数的三角形式复数的三角形式是指将复数表示为一个模长和一个辐角的形式，即z = |z|·(cosθ + i·sinθ)。

其中，|z|表示复数的模长，θ表示复数的辐角。

考虑一个具体的例子：将复数z = 3 + 4i表示为三角形式。

解：首先，我们可以计算出复数z的模长和辐角。

复数的模长可以通过勾股定理计算，即|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5。

复数的辐角可以通过反三角函数计算，即θ = arctan(4/3) ≈ 53.13°。

然后，我们可以将复数z表示为三角形式：z = 5·(cos53.13° + i·sin53.13°)。

通过这个例题，我们可以看到，将复数表示为三角形式的关键是计算出复数的模长和辐角。

模长可以通过勾股定理计算，辐角可以通过反三角函数计算。

二、复数的指数形式复数的指数形式是指将复数表示为一个指数和一个虚指数单位的乘积的形式，即z = |z|·e^(iθ)。

其中，|z|表示复数的模长，θ表示复数的辐角。

考虑一个具体的例子：将复数z = -2√3 + 2i表示为指数形式。

解：首先，我们可以计算出复数z的模长和辐角。

复数的模长可以通过勾股定理计算，即|z| = √((-2√3)² + 2²) = √(12 + 4) = √16 = 4。

复数的辐角可以通过反三角函数计算，即θ = arctan(2/(-2√3)) ≈ -30°。

然后，我们可以将复数z表示为指数形式：z = 4·e^(-i30°)。

高中数学复习：复数的三角形式考点一、复数的三角形式的概念1.复数的辐角(1)定义：以x 轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi 的辐角。

(2)辐角主值[0，2)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi 的辐角主值，记作arg z，即0≤arg z<2。

非零复数与它的模和辐角主值一一对应。

(3)常用的有关辐角主值的结论当a R +时arg a=0，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。

2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。

3.复数的三角形式复数z=a+bi 可以用复数的模r 和辐角θ来表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中22b a r +=，ra =θcos ，r b=θsin 。

r(cosθ+isinθ)叫作复数z 的三角形式，而a+bi 叫作复数z 的代数形式。

考点二、复数的三角形式的乘除法1.复数的乘法与乘方把复数，分别写成三角形式(cosθ2+isin。

则。

这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n 个复数相乘：=。

因此，如果就有[。

这就是说，复数的次幂的模等于这个复数的模的n 次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n 倍。

2.复数的除法设则z ₁除以z ₂的商：)]。

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。

【题型归纳】题型一：复数的三角表示1．以下不满足复数13i 22-的三角形式的是（）．A ．ππcos isin 33⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；B ．5π5πcos isin 33⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；C ．cos isin 3π3π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；D ．11π11πcos isin 33⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．设54ππθ<<，则复数cos 2isin 2cos isin θθθθ+-的辐角主值为（）A ．23πθ-B ．32θπ-C ．3θD ．3θπ-3．复数22i z =-的三角形式是（）A ．2cos isin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．332cos isin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．772cosisin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．552cosisin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭题型二：复数的辐角4．任意复数i z a b =+（a 、b ∈R ，i 为虚数单位）都可以写成()cos s i in z r θθ=+的形式，其中()2202r a b θπ=+≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数31i 22z =+，则z 的辐角主值为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π5．复平面内，向量OP 对应复数的共轭复数为3i --，则OP对应复数的幅角主值为（）A ．76πB ．6π-C ．116πD ．56π6．欧拉公式()i e cos i sin e 2.71828θθθ=+= 是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知πi 613i 22e θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+，则θ=（）A ．()π2π3k k +∈Z B ．()π2π6k k +∈Z C ．()ππ3k k +∈Z D ．()ππ6k k +∈Z题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义7．复数都可以表示(cos sin )z z i θθ=+(02π)θ≤<，其中z 为z 的模，θ称为z 的辐角．已知复数z 满足2(1)1i i z -=+，则z 的辐角为（）A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．7π48．计算：(1)ππππ3cos isin2cos isin 6666⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)ππππ6cos isin 3cos isin 3366⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦(3)13ππi cos isin 2266⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)()ππ1i cos isin 66⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭9．（1）计算：4(cos80°＋i sin80°)÷[2(cos320°＋i sin320°)]；（2）已知复数z ＝r (cos θ＋i sin θ)，r ≠0，求1z的三角形式.【双基达标】一、单选题10．下列结论中正确的是（）．A ．复数z 的任意两个辐角之间都差2π的整数倍；B ．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；C ．实数0不能写成三角形式；D ．复数0的辐角主值是0．11．已知i 为虚数单位，()12cos 60isin 60z =︒+︒，()222sin 30i cos30z =︒-︒，则12z z ⋅等于（）A ．()4cos90isin 90︒+︒B ．()4cos90isin 90︒+︒C ．()4cos30isin 30︒-︒D ．()4cos0isin 0︒+︒12．欧拉公式i e cos isin x x x =+建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①iπe 10+=；②ππ2π2π9π9πcos isin cos isin cos isin i 101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．下列说法正确的是（）A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对13．已知复数cos67.5isin 67.5z ︒︒=+，则22zz=（）．A ．22i 22--B ．22i 22-+C ．22i 22-D ．114．复数4i z =-化成三角形式，正确的是（）A ．334cos isin 22ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．334cos isin 22ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．334cos isin 22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．334cos isin 22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭15．回答下面两题(1)求证：1cos i sin cos i sin θθθθ=-+；(2)写出下列复数z 的倒数1z的模与辐角：①ππ4cos isin 1212z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②ππcos i sin 66z =-；③()21i 2z =-．16．设复数13i 22ω=-+，求证：(1)ω，2ω，1都是1的立方根；(2)210ωω++=．【高分突破】一、单选题17．设12z z z ∈C ､､，则下列命题中的真命题为（）A ．若12z z >，则12z z z z +>+B ．若0z z +=，则z 为纯虚数C ．若120z z =，则10z =或20z =D ．若12z z z =，则12arg arg arg z z z =+18．欧拉公式i e cos i sin x x x =+（i 为虚数单位，R x ∈）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．πi 2e 的虚部为i B ．3πi 422ei 22=-C ．i ecos sin x x x=+D ．πi 3e 的共轭复数为13i22-19．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式i e cos θi sin θθ=+，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是（）A ．πi 2e i=B ．πi 4e1=C ．313i 12⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭D ．πiπi 44πe ecos 42-+=20．复数()()cos 25isin 25cos50isin 50z =++的三角形式是（）A ．()()cos 25isin 25-+-B ．sin 75i cos 75+C ．cos15isin15+D ．cos75isin 75+21．欧拉公式i e cos i sin x x x =+（i 为虚数单位，x R ∈）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，3i e 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限22．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（）A ．sin 30°＋icos 30°B ．cos 160°＋isin 160°C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160°二、多选题23．欧拉公式i e cos isin x x x =+（其中i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．复数2i e 对应的点位于第三象限B ．i 2e π为纯虚数C ．复数i e 3ix +的模等于12D ．i 6e π的共轭复数为13i22-24．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式cos sin i e i θθθ=+（i 为虚数单位，e 为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（）A ．3i e 表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限B ．i e 10π+=C ．313i 122⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭D ．i i e e cos 2-+=θθθ25．以下不是复数13i --的三角形式是（）A ．ππ2cos i sin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．7π7π2cos i sin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭26．欧拉公式i e cos i sin x x x =+（其中i 为虚数单位，x R ∈）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．复数65i e π的值为31i 22--B ．i e π为纯虚数C ．复数i e 1i x +的模长等于22D ．42i i 33e e 10ππ++=27．欧拉公式i e cos isin x x x =+（本题中e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（）A ．复数i 2e π为纯虚数B ．复数i2e 对应的点位于第二象限C ．复数i 3e π的共轭复数为31i 22-D ．复数i e ()θθ∈R 在复平面内对应的点的轨迹是圆28．已知i 为虚数单位，若()1111cos i is n z r θθ=+，()2222cos i is n z r θθ=+，…，()cos isin n n n n z r θθ=+，则()()12121212cos isin n n n n Z Z Z r r r θθθθθθ=+++++++⎡⎤⎣⎦ .特别地，如果12(cos i sin )n z z z r θθ====+ ，那么()()cos isin cos isin nn r r n n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，这就是法国数学家棣莫佛（1667—1754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误．．的是（）A ．若cosi sin66z ππ=+，则413i22z =-+B ．若cos i sin 55z ππ=+，则51iz =+C ．若1772cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，211113cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1266i z z ⋅=+D ．若123233cos i sin 1212z ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，24cos i sin 44z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12636i z z ⋅=-29．cos sin i e i θθθ=+（θ∈R ，i 是虚数单位，e 是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是（）A ．对任意的θ∈R ，i e 1θ=B ．i e 在复平面内对应的点在第一象限C ．iπe 10-=D ．()i i i e e e αβαβ+=30．任何一个复数i z a b =+（其中,a b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：(cos si )i n z r θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：*[(cos isin )](cos isin )()n n n z r r n n n N θθθθ=+=+∈，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A ．22||z z =B ．当2r =，6πθ=时，13iz =-C ．当1r =，3πθ=时，31z =-D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数31．已知复数22cos isin 33z ππ=+，则下列关于复数z 的结论中正确的是（）A ．||1z =B ．44cos i sin 33z ππ=+C ．复数z 是方程310x -=的一个根D ．复数z -的辐角主值为23π-三、填空题32．设13i 22ω=-+，则10ω=______．33．已知z 的辐角主值是π4，则它的共轭复数的辐角主值是______．34．计算：5ππ3cos isin55⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦______．35．已知复数z 满足||5,arg arctan 2z z ==．若z 是实系数一元二次方程230x bx c ++=的一个根，则b c +=______．36．任意一个复数Z 都可以表示成三角形式即i (cos isin )a b r θθ+=+.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示）()1111z cos i sin r θθ=+，()2222z cos i sin r θθ=+，则：()()12121212z z cos isin r r θθθθ⎡⎤=+++⎣⎦，”已知复数13i 22z =+，则17z z +=______.37．计算：553cos i sin 2cosi sin 3366ππππ⎛⎫⎛⎫+÷+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________．(用代数形式表示)38．将复数z ＝ππ2cos 44isin ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦化为代数形式为________．四、解答题39．设i 为虚数单位，n 为正整数，[)0,2θ∈π．(1)观察()2cos i sin cos 2i sin 2θθθθ+=+，()3cos i sin cos 3i sin 3θθθθ+=+，()4cos i sin cos 4i sin 4θθθθ+=+，…猜测：()cos i sin nθθ+（直接写出结果）；(2)若复数3i z =-，利用（1）的结论计算10z ．40．复数ω的辐角主值是34π，且22()i ωωω+-为一实数，求复数ω．41．已知()1f z z =-，且()1244i f z z -=+，若122i z =-．(1)求复数1z 的三角形式与1arg z ；(2)求1212z z z z -+．42．在复平面内，设复数z 对应向量1OZ ，它的共轭复数z 对应向量2OZ．(1)若复数z 是关于x 的方程2240x x k ++=的一个虚根，求出实数k 的取值范围，并用k 表示||z z -；(2)若i 12z =+，且P 点满足122Z P PZ =，求1POZ 的重心G 所对应的复数G z ；(3)若cos isin ,[0,2π)z θθθ=+∈，可知θ在变化时会对应到不同的复数z ，若取不同的[0,2π)i θ∈，1,2,3,4i =，使得其所对应的复数i z 满足410i i z ==∑，求证：1234,,,z z z z 所对应的点,,,A B C D 可以构成矩形．高中数学复习：复数的三角形式答案1．C【分析】逐一计算每个选项即可得答案.【详解】对于A ：13cos isin πi 2π332⎛⎫⎛⎫-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，符合；对于B ：5π5π13cos isin i 3322⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，符合；对于C ：13cos isin i 33π22π⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合；对于D ：11π11π13cos isin i 3322⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，符合2．B【分析】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．【详解】解：cos 2isin 2cos 2isin 2cos3isin 3cos isin cos()isin()θθθθθθθθθθ++==+--+-，因为54ππθ<<，所以15334θππ<<，所以7324θππ<-π<，所以该复数的辐角主值为32θπ-．3．C【分析】根据复数的三角形公式(cos i sin )z r θθ=+可求解.【详解】解：22222222i22i (2)(2)(2)(2)(2)(2)⎡⎤⎢⎥-=+-⨯-⎢⎥+-+-⎣⎦22772i 2cos i sin 2244ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．A【分析】将复数写成三角形式，可得结果.【详解】复数31i cos i sin 2266z ππ=+=+，因此，复数31i 22z =+的辐角主值为6π.5．D【分析】由已知得到向量OP 对应复数，并求出OP的模，再表示成(cos i sin )r θθ+的形式，再由辐角主值的正弦和余弦值，求出在02π～范围的辐角主值．【详解】因为复数3i --的共轭复数为3i -+，即向量OP对应的复数为3i z =-+，2OP z ∴==uu u r ，312i 22z ⎛⎫∴=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则z 的幅角主值为56π即OP 对应复数的幅角主值为56π【点睛】方法点睛：本题考查了复数的基本概念，先求共轭复数，再根据辐角主值的概念求出，是基础题．6．B【分析】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出即可.【详解】i e cos isin θθθ=+ ，i 613ecos isin i6622πθθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫∴=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ1cos 62π2π63π3sin 62k θπθθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎪∴⇒+=+⎨⎛⎫⎪+=⎪⎪⎝⎭⎩()26k k θπ∴=+∈Z π，7．C【分析】根据题意，先求出复数z ，再结合(cos sin )z z i θθ=+(02π)θ≤<，即可求出θ.【详解】由2(1i)1i z -=+，得()212111i i z i i i --===--++，故22551i 2i 2cos πisin π2244z ⎛⎫⎛⎫=--=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π4θ=.8．(1)6(2)2i (3)i (4)3131i 22-+-【分析】（1）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（2）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（3）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（4）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.(1)ππππππππ3cos isin 2cos isin 6cos isin cos +isin 66666666⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-=+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ6cos isin 66666⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)ππππ6cos isin 3cos isin 3366⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππππππ2cos isin cos isin 2cos isin 2i336262⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(3)13ππ2π2πππi cos isin cos isin cos +isin 22663366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-=+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππcos isin i 22=+=(4)()ππππππ1i cos isin 2cos sin cos isin 664466⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷+=-+-÷+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ2cos sin 4646⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2321232131312i i 2222222222⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⨯-⨯-⨯+⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.9．（1）13i -+；（2）()1cos sin i rθθ-【分析】（1）由复数三角形式的除法公式直接可求；（2）1可看作11z =，即()1,0，1z 对应的辐角为0，结合复数三角形式的除法公式即可求解.【详解】由()()11112222cos sin ,cos sin z r i z r i θθθθ=+=+，则()()()()11111121222222cos sin cos sin cos sin r i z r i z r i r θθθθθθθθ+==-+-⎡⎤⎣⎦+进行计算即可：（1）因为()()cos320cos 40,sin 320sin 40︒=-︒︒=-︒所以4(cos80°＋i sin80°)÷[2(cos320°＋i sin320°)]()()4cos 8040sin 8040132i i =︒+︒+︒+︒=-+⎡⎤⎣⎦；（2）因为()z r cos isin θθ＝＋,令11z =，即()1,0，1z 对应的辐角为0，所以()()()1111cos 0sin 0cos sin z i i z z r r θθθθ⎡⎤==-+-=-⎣⎦【点睛】本题考查复数三角形式的除法运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.10．B【分析】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0辐角判断各项的正误.【详解】A ：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为2π整数倍，错误；B ：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；C ：0(cos isin )0θθ⨯+=其中R θ∈，故实数0能写成三角形式，错误；D ：复数0的辐角主值不唯一，错误.11．D【分析】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可.【详解】222(sin 30i cos30)22(cos300isin 300)z =︒-︒=︒+︒ ，122(cos 60isin 60)22(cos300isin300)z z ︒︒+︒⋅=+⋅︒∴()()4cos 60300isin 60300=︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦()4cos360isin360=︒+︒()4cos 0isin 0=︒+︒.12．A【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断②【详解】①iπe 1cosπisinπ111=0+=++=-+②ππ2π2π9π9πcos isin cos isin cos isin 101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π2π9ππ2π9π9πi +++i i i i 10101010101029π9π=e e e e e cos isin i 22⎛⎫ ⎪⎝⎭⨯⨯⨯===+= 则①②均正确13．A 【分析】由已知，可根据题意直接表示出22z z，化简即可得到结果.【详解】由已知，复数cos67.5isin 67.5z ︒︒=+，2222222(cos 67.5sin 67.5)cos 67.5sin 67.52cos 67.5isin 67.5z z ︒︒︒︒︒︒+=-+ 1122i cos135isin1352222i 22︒︒===--+-+14．A【分析】求出复数z 的模与辐角主值，从而即可求解.【详解】解：设复数z 的模为r ，则220(4)4r =+-=，3arg 2z π=，所以复数4i z =-的三角形式为334cos isin 22z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．15．【分析】（1）证法1，按照复数三角形式的除法运算法则计算；证法2，等价转化为证明两个复数相乘；（2）将复数化成三角形式，用（1）的结论求出1z，再化为三角形式.【详解】（1）证法1：左边cos 0isin 0cos(0)isin(0)cos isin cos isin θθθθθθ+==-+-=-=+右边证法2：22(cos isin )(cos isin )cos (isin )θθθθθθ+-=- 22cos sin 1θθ=+=，1cos isin cos isin θθθθ∴=-+∴原等式成立.（2）①ππ4cos i sin 1212z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，111ππ123π23πcos isin cos isin ππ41212412124cos isin 1212z ⎛⎫⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，1z ∴的模为14，辐角为23π2π,Z 12k k +∈.②ππcos isin 66z =-时，11ππcos isin ππ66cos isin 66z ==+-.1z ∴的模为1，辐角为π2π,Z 6k k +∈.③2(1i)2z =-时，1222ππi cos i sin 1i 2244z ==+=+-，1z ∴的模为1，辐角为π2π,Z 4k k +∈.16．【分析】（1）写出复数的三角形式，利用三角形式进行计算即可证明；（2）利用复数的三角运算求出2ω，进而可得21ωω++的值.【详解】（1）132π2πi cos isin 2233ω=-+=+ 332π2π2π2π(cos isin )cos(3)isin(3)cos 2πisin2π13333ω=+=∴⨯+⨯=+=，236322()()11ωωω====，311=，所以ω，2ω，1都是1的立方根；（2）222π2π2π2π4π4π13(cosisin )cos(2)isin(2)cos isin i 33333322ω=+=⨯+⨯=+=-- ，2131311i i 02222ωω∴++=-+--=17．C【分析】根据虚数不能比较大小判断A ，取0z =可判断B ，根据复数模的性质判断C ，取特例可判断D.【详解】当z 为实数时，12z z z z +>+成立，否则不成立，故A 错误；当0z =时，满足0z z +=，但z 不为纯虚数，故B 错误；当120z z =时，2211||0||||z z z z ==，故1||0z =或2||0z =，所以10z =或20z =，故C 正确；当120,i z z ==时，120z z z ==，π002∴≠+，即12arg arg arg z z z ≠+，故D 错误.18．D【分析】对于A ，由πi 2e i =，其虚部为1，可判断A ；对于B ，3πi 422ei 22=-+，判断B ；对于C ，i 22e cos sin 1x x x =+=，判断C ；对于D,求得πi 3e ，结合共轭复数的概念即可判断.【详解】对于A ，πi 2ππe cosisin i 22=+=，其虚部为1，故A 错误；对于B ，3πi 43π3π22e cos isin i 4422=+=-+，故B 错误；对于C ，i e cos i sin x x x =+，则i 22e cos sin 1x x x =+=，故C 错误；对于D,πi 3cos is ππ13e i 33n 2i 2=+=+，故πi 3e 的共轭复数为13i 22-，D 正确，19．C【分析】根据iθe cosθi sin θ=+可判断ABD ，根据复数的乘法运算可判断C.【详解】因为iθe cosθi sin θ=+所以πi 2ππe cos +isin i 22==，故A 正确πi 4ππ22e cos +isin +i 4422==，22πi 422e +122⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确3213i 13i 13i 13i 13i 122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫------==⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误πi πi 44ππππcos isin cos isin e eπ4444cos 224-⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==，故D 正确20．D 【分析】由复数三角形式的乘法运算可直接得到结果.【详解】()()()()cos 25isin 25cos50isin 50cos 2550isin 2550z =++=+++ cos75isin 75=+ .21．B【分析】根据复数的几何意义，以及弧度制即可求解.【详解】解：3i e cos3isin 3=+，又3rad 357.3171.9≈⨯= ，为第二象限角，故cos 30,sin 30<>，故3i e 在复平面内对应的点()cos3,sin3位于第二象限.22．B【分析】根据复数乘法运算的三角表示即可得出结果.【详解】(sin10°＋icos10°)(sin10°＋icos10°)＝(cos80°＋isin80°)(cos80°＋isin80°)＝cos160°＋isin160°．23．BC【分析】根据欧拉公式写出2i e cos 2isin 2=+、i 2e cos isin 22πππ=+、6e cos isin 66i πππ=+，再判断复数所在象限、类型及求模长、共轭复数.【详解】由题知2i e cos 2isin 2=+，而cos20<，sin 20>，则复数2i e 对应的点位于第二象限，故A 错误；i 2e cos isin i 22πππ=+=，则i 2e π为纯虚数，故B 正确；ie cos isin (cos isin )(3i)3cos sin 3sin cos i 443i 3i(3i)(3i)x x xx x x x x x ++-+-===++++-，则i e 3i x +的模为2222223cos sin 3sin cos 3cos sin 3sin cos 144162x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；631e cos isin i 6622i πππ=+=+，其共轭复数为31i 22-，故D 错误．24．BCD【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．【详解】解：对于A ：3i e cos3isin 3=+，因为32ππ<<，所以sin 30>，cos 30<，所以3i e 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A 错误；对于B ：i e 1cos i sin 1110πππ+=++=-+=，故B 正确；对于C ：333i i 313i cos isin e e cos isin 12233ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+===+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ：由i cos isin e θθθ=+，i n e cos()isi ()cos isin θθθθθ-=-+-=-，所以i i 2co es e θθθ-=+，所以i i e e cos 2-+=θθθ，选项D 正确；25．AD【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．【详解】解：132213i 2i 2cos isin 2233ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以B 正确，而7π7πsin i cos 661313i 2i 222⎛⎫--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故C 正确.26．CD【分析】由复数的指数形式化为三角形式，然后计算化简，结合复数的模、复数的概念判断各选项．【详解】由于5i 65531cos i sin e i 6622πππ=+=-+，所以A 错误；i e cos isin 1πππ=+=-为实数，故B 错误；复数ie 1i x +的模长为|cos isin |12|1i |22x x +==+，故C 正确；42i i 331313e 1i i 102222e ππ⎛⎫++=--+-++= ⎪ ⎪⎝⎭，D 正确．27．ABD【分析】根据纯虚数、共轭复数的定义，及复数的几何意义，对各选项逐一分析即可求解.【详解】解：对A ：因为复数i 2e cos sin 22πππ=+=i i 为纯虚数，故选项A 正确；对B ：复数i2cos 2isin2e =+，因为cos 20,sin2>0<，所以复数i2e 对应的点为()cos 2,sin2位于第二象限，B 正确；对C ：复数i 313e is i cos in 3322πππ++==的共轭复数为13i 22-，故选项C 错误；对D ：复数i )cos i e sin (θθθθ+∈=R 在复平面内对应的点为()cos ,sin θθ，因为22cos sin 1θθ+=，所以复数i e ()θθ∈R 在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D 正确.28．BCD【分析】根据题目中的已知条件，依次判断各项正误.【详解】A.若cosi sin 66z ππ=+，则44413cos isin i 6622z ππ=+=-+，所以该选项正确；B.若cos i sin 55z ππ=+，则5cos i sin 1z ππ=+=-，所以该选项错误；C.若1772cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，211113cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12336cos isin 6i 22z z ππ⎛⎫⋅=+=- ⎪⎝⎭，所以该选项错误；D.123233cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，24cos i sin 44z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12131312cos isin 636i 66z z ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以该选项错误.29．ABD【分析】根据已知的欧拉公式，利用复数和三角函数的性质直接带入运算即可.【详解】对于A 选项，i 22e cos cos sin 1isin θθθθθ=+=+=，正确；对于B 选项，i e cos11isin =+，而cos10,sin10>>，故i e 在复平面内对应的点(cos1,sin1)在第一象限，正确；对于C 选项，iπe 1cos ππ12,isin -=+-=-错误；对于D 选项，()()i i e e cos cos isin isin αβααββ=++=2cos cos cos cos i sin sin isin isin αββααβαβ+++=()cos cos sin sin sin cos sin cos iαβαββααβ-++=()()cos isin αβαβ+++()i e αβ+=，正确.30．AC【分析】根据复数的相关定义及性质，逐项分析即可得出答案.【详解】对于复数i z a b =+有，()2222i 2iz a b a b ab =+=-+222z a b ∴=+，而222z a b =+，所以选项A 正确；根据复数的三角形式，π26r θ==，时，ππ2cos 3i 66z isin ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭此时，3i z =-，选项B 错误；π13r θ==，时，ππ13cos i 3322z isin =+=+根据棣莫弗定理，()331z r cos isin ππ=+=-，所以选项C 正确；π14r θ==，时，ππcos 44n n n z isin =+，n 为偶数时，设2,*n k k Z =∈,ππcos,*22n k k z isin k Z =+∈，所以k 为奇数时，n z 为纯虚数；k 为偶数时n z 为实数，选项D 错误.31．ABC【分析】利用复数的三角运算及得复数的几何意义，即可得到答案；【详解】 13i 22z =-+，∴13||144z =+=，故A 正确； 1344i cos isin 2233z ππ=--=+，故B 正确； 366cos sin 133z i ππ=+=，∴310z -=，故C 正确； 13i 22z -=-，∴复数z -的辐角主值为53π，故D 错误；32．13i 22-+【分析】将复数ω表示成三角形式，利用复数三角形式的乘方法则可化简10ω.【详解】因为132π2πi cos isin 2233ω=-+=+，所以，101020π20π2π2π13cos isin cos isin i 32π2πcos isin 3333322ω⎛⎫==+=+=-+ ⎪⎝⎭+.33．7π4【分析】根据复数的三角表示可得22i 22z r ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，从而可得其共轭复数227π7πi cos sin i 2244z r r ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得共轭复数的辐角主值.【详解】解：z 的辐角主值是π4，则ππ22cos isin i 4422z r r ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0r >，所以共轭复数227π7πi cos sin i 2244z r r ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则共轭复数的辐角主值是7π4.34．243-【分析】由复数三角表示的运算公式计算即可.【详解】解：()55ππππ3cos isin 3cos 5isin 5243cos πisinπ2435555⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦35．9【分析】根据题意求出12z i =+，然后根据z 是实系数一元二次方程230x bx c ++=的一个根即可求解.【详解】设i(R,R)z x y x y =+∈∈，因为arg arctan 2z =，所以2y x=，且复数z 在第一象限，又复数z 满足|z |5=，所以12z i =+，因为z 是实系数一元二次方程230x bx c ++=的一个根，则有23(12i)(12i)0b c ++++=，也即(122)i -90b b c +++=，所以122090b b c +=⎧⎨+-=⎩，则9b c +=，36．1【分析】将z 化为三角形式表示，根据题设棣莫弗定理化简17z z +，即可得结果.【详解】由13cos sin 2233ππz i i =+=+，所以1716ππ16π16π(1)(cosisin )(cos isin 1)3333z z z z +=+=+++，而16π16π4π4π135π5πcos isin 1cos isin 1i cos isin 33332233++++==+=-，所以17ππ5π5πcos i sin cos i sin cos 2πi sin 2π13333z z ⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.37．3i 2-【分析】由复数三角形式的除法运算直接求解即可.【详解】553553cos isin 2cos isin cos isin 336623636ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+÷+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦33cos isin i 2222ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦38．1－i【分析】计算出三角函数值后化简即可.【详解】z ＝ππ2cos 44isin ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ222(cos isin )2(i)1i 4422=-=-=-．39．(1)cos isin n n θθ+(2)5125123i+【分析】（1）观察规律即可得；（2）由特殊角三角函数得11π11π2cos i sin 66z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合（1）的结论及诱导公式化简求值即可.【详解】（1）由观察得()cos i sin cos i sin nn n θθθθ+=+；（2）3111π11π3i 2i 2cos i sin 2266z ⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（1）得10101011π11π2cos i sin 66z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1011π11π2cos10i sin1066⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭1055π55π2cos isin 33⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10ππ2cos 18πisin 18π33⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦10ππ2cos i sin 33⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10132i 22⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭5125123i+=40．1iω=-+【分析】根据辐角主值的定义，写出ω的表达式，并带入化简22()i ωωω+-，结合22()i ωωω+-为一实数求出参数2r =，进而得到ω的值.【详解】∵复数ω的辐角主值是34π，且3π23π2sin ,cos 4242==-，22i 22r r ω∴=-+，22i 22r r ω∴=--，22222i i 22r r r ω⎛⎫∴=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭，2222i+2(i i)2()2222i 22r r r i r r ωωω--+-+-∴=--()()2222222222+2i 22r r r r r r r r r ⎡⎤+-++-+-⎢⎥⎣⎦=，22()i ωωω+- 为实数，()2222+202r r r r ∴-+-=，整理得：()220r -=，2r ∴=，1iω∴=-+41．(1)17π7π22cos i sin 44z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，17πarg 4z =(2)41【分析】（1）求出复数1z 的模和辐角主值后，可得复数1z 的三角形式；（2）根据()1f z z =-，()1244i f z z -=+以及122i z =-求出2z ，将1z 和2z 代入1212z z z z -+可求出结果.【详解】（1）因为122i z =-，所以其模222(2)22r =+-=，设其辐角为θ，则22cos 222θ==，22sin 222θ-==-，因为复数122i z =-对应的点(2,2)-在第四象限，所以1arg z 7π4=，所以复数1z 的三角形式为17π7π22cos isin 44z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为()1f z z =-，所以()12121f z z z z -=--121z z =--44i =+，因为122i z =-，所以22i +2144i z --=+,所以232i z =--，所以232z i =-+，所以1212z z z z -+22i 32i 22i 32i -+-=--+54i 1-=-241641=+=.42．【分析】（1）复数z 是关于x 的方程2240x x k ++=的一个虚根，可得方程判别式小于0，即可求得答案；（2）设(,)P x y ，则由122Z P PZ = 求得21,3x y ==-，由三角形重心坐标公式求得1POZ 的重心G 坐标，由此可得复数G z ；21（3）求得||1z =，说明1234,,,z z z z 所对应的点,,,A B C D 在单位圆上，再410i i z ==∑取值，说明,AC BD 为单位圆的两直径，即可证明结论.【详解】（1）复数z 是关于x 的方程2240x x k ++=的一个虚根，R k ∈，则1680,2k k =-<> ，即实数k 的取值范围(2,)+∞；解方程2240x x k ++=得4816i 224i 42k k x -±--±-==，不妨令复数224i 2z k -+-=，另一根为224i 2z k ---=，故||24,(2)z z k k -=->.（2）由i 12z =+可知12i z =-，故21(1,2),(1,2)OZ OZ ==- ，设(,)P x y ，则由122Z P PZ = 得(1,2)2(1,2)x y x y --=---，即12(1)22(2)x x y y -=-⎧⎨-=--⎩，解得21,3x y ==-，故2(1,)3P -，故1POZ 的重心G 为202101243,,3339⎛⎫-++ ⎪++⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，故24i 39G z =+.（3）由于cos isin ,[0,2π)z θθθ=+∈，则22||cos sin 1z θθ=+=，则1234,,,z z z z 所对应的点,,,A B C D 都在单位圆上，又410i i z ==∑，则1234cos cos cos cos 0θθθθ+++=且1234sin sin sin sin 0θθθθ+++=，不妨取3142π+,π+θθθθ==，[0,π),1,2i i θ∈=，则,AC BD 为单位圆的两直径，则四边形ABCD 的对角线互相平分且对角线相等，则四边形ABCD 为矩形，即1234,,,z z z z 所对应的点,,,A B C D 可以构成矩形．。

高中数学复数的三角形式表示与运算技巧讲解复数是数学中一个重要的概念，它包含了实数和虚数。

在高中数学中，我们经常会遇到复数的三角形式表示与运算。

本文将详细介绍复数的三角形式表示以及相关的运算技巧。

一、复数的三角形式表示复数的三角形式表示是指将复数表示为一个模长和一个辐角的形式。

对于一个复数z=a+bi，其中a为实部，b为虚部，我们可以通过以下公式将其表示为三角形式：z = |z| * (cosθ + isinθ)其中，|z|表示复数的模长，θ表示复数的辐角。

模长的计算公式为：|z| = √(a^2 + b^2)辐角的计算公式为：θ = arctan(b/a)通过模长和辐角，我们可以将复数表示为三角形式，这种表示形式更加直观。

二、复数的运算技巧1. 复数的加法与减法对于两个复数z1=a1+bi1和z2=a2+bi2，它们的加法和减法运算可以通过实部和虚部进行分别计算。

加法：z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i减法：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i2. 复数的乘法对于两个复数z1=a1+bi1和z2=a2+bi2，它们的乘法运算可以通过模长和辐角进行计算。

乘法：z1 * z2 = |z1| * |z2| * (cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2))其中，θ1和θ2分别为z1和z2的辐角。

3. 复数的除法对于两个复数z1=a1+bi1和z2=a2+bi2，它们的除法运算可以通过模长和辐角进行计算。

除法：z1 / z2 = |z1| / |z2| * (cos(θ1 - θ2) + isin(θ1 - θ2))其中，θ1和θ2分别为z1和z2的辐角。

4. 复数的乘方对于一个复数z=a+bi，它的乘方运算可以通过模长和辐角进行计算。

乘方：z^n = |z|^n * (cos(nθ) + isin(nθ))其中，n为自然数。

通过掌握以上的运算技巧，我们可以更加灵活地进行复数的计算，解决一些复杂的数学问题。

4复数的三角形式与指数形式复数的三角形式和指数形式是描述复数的两种不同方式。

三角形式主要通过复数的模和辐角来表示，而指数形式则使用复数的指数函数形式表示。

本文将详细介绍这两种表示方法，并通过示例来说明它们的应用。

1.复数的三角形式：复数的三角形式表示为\[z = ，z，(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\]其中，$，z，$表示复数的模，$\theta$表示复数的辐角（也叫幅角或参数角），$i$为虚数单位。

复数的模表示复数的长度，或者可以认为是复数到原点的距离。

复数的辐角表示复数与正实轴之间的夹角（逆时针方向），一般用弧度来表示。

模和辐角可以由复数的实部和虚部计算得到：\[，z， = \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}\]\[\theta = \arctan(\frac{\mathrm{Im}(z)}{\mathrm{Re}(z)})\]其中，$\mathrm{Re}(z)$表示复数的实部，$\mathrm{Im}(z)$表示复数的虚部。

复数的三角形式具有以下性质：- 相等性质：如果复数$z$和$w$的模和辐角分别相等$，z，=，w，$，$\theta = \phi$，那么$z=w$。

- 乘法性质：两个复数$z_1$和$z_2$的乘积的模等于两个复数的模的乘积，辐角等于两个复数的辐角之和：$，z_1z_2，=，z_1，z_2，$，$\theta_{z_1z_2} = \theta_{z_1}+\theta_{z_2}$。

2.复数的指数形式：复数的指数形式表示为\[z = ，z，e^{i\theta}\]其中，$，z，$和$\theta$的定义与三角形式相同。

指数形式表示复数的主要特点是使用指数函数$e^x$来表示复数。

指数函数可以使用级数展开形式\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} +\frac{x^4}{4!} + ...\]将$ix$代入级数展开式可得：\[e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} +\frac{x^4}{4!} + ...\]因此，复数$，z，(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$可以写成$，z，e^{i\theta}$的形式。

高中三年数学掌握复数的三角形式与指数形式间的转换方法复数是数学中的一个重要概念，它由实部和虚部构成，一般形式为a+bi。

在高中数学中，我们需要熟练掌握复数的三角形式和指数形式间的转换方法。

一、复数的三角形式复数的三角形式包括模长和辐角，一般形式为r(cosθ+isinθ)，其中r 为模长，θ为辐角。

1. 模长的计算模长的计算公式为|r|=√(a^2+b^2)，其中a、b分别为复数的实部和虚部。

2. 辐角的计算辐角的计算公式有多种，常用的有以下两种：a. 当复数z=a+bi的实部a和虚部b均为正数时，辐角θ=arctan(b/a)。

b. 当复数z=a+bi的实部a为负数时，辐角θ=π+arctan(b/a)。

二、复数的指数形式复数的指数形式是通过欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ得到的，一般形式为re^(iθ)，其中r为模长，θ为辐角。

1. 模长的计算模长与三角形式中的模长计算方法相同。

2. 辐角的计算辐角的计算方法与三角形式中的辐角计算方法相同。

三、复数的三角形式转指数形式的方法将复数z=a+bi转换为指数形式，可以按照以下步骤进行：1. 计算模长r=√(a^2+b^2)。

2. 计算辐角θ，根据复数z的实部和虚部的符号，使用不同的辐角计算公式。

3. 将复数z表示为指数形式re^(iθ)。

四、复数的指数形式转三角形式的方法将复数z=re^(iθ)转换为三角形式，可以按照以下步骤进行：1. 计算复数的实部a=r*cosθ和虚部b=r*sinθ。

2. 得到复数的三角形式z=a+bi。

通过掌握复数的三角形式与指数形式的转换方法，我们可以更灵活地应用复数在数学中的各种问题中。

在解决三角方程、求解复数方程和研究波动等问题中，复数的三角形式与指数形式的转换是非常有用的工具。

总之，高中三年数学学习中，掌握复数的三角形式和指数形式间的转换方法对于深入理解复数的性质和应用具有重要意义。

通过不断练习和应用，我们可以提升对复数的认识和应用能力，为数学学习打下坚实基础。

复数的三角形式和指数转换公式
复数的三角形式和指数转换公式
复数是在实数范围之外的数，可以写成 a+bi（其中a和b是实数，i
是虚数单位）。

复数有常见的三种表达方式：代数形式、三角形式和
指数形式，其中三角形式和指数形式适用于分析和计算复数的幅值和
相位角。

三角形式是把复数表示为一个大小为r的向量，它与实轴的夹角为θ（0 ≤ θ ＜2π），表示为r (cos θ + i sin θ)。

其中，r 是复数的模（或幅值），即复数到原点的距离，θ 是向量与正半轴的夹角。

因此，对于任意复数，都有一个唯一的三角形式。

指数形式表示为r e^(iθ)，其中 r 和θ 同上，e 是自然对数的底数。

指数形式可以转换为三角形式，使用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + i sinθ，然后乘上r。

同样，从三角形式到指数形式，可以使用欧拉公式和三角函数的关系，即cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ))/2，sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ))/2i。

将这
些代入三角形式得到指数形式。

指数形式应用广泛，因为它简洁且易于计算。

复杂的运算可以转换为
求指数函数。

例如，假设要计算z^4，其中z=3(cosπ/4 + i sinπ/4)。

使用指数形式，先将 z 转换为指数形式，得到3e^(iπ/4)，然后计算
3^4，再乘以e^(4iπ/4)。

结果为 -27-27i。

此外，在电路分析、信号处理和量子力学等领域中，指数形式也经常用于描述和计算复数。

复数的三角形式与指数形式复数是数学中一个重要的概念，用于描述虚数。

复数可以通过两种形式表示，即三角形式和指数形式。

本文将从定义、转换以及应用等角度，详细介绍复数的三角形式与指数形式。

一、复数的定义复数是由实数与虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实数部分，b是虚数部分，i表示虚数单位。

在复平面中，实数部分与虚数部分分别表示在实轴和虚轴上的坐标。

二、复数的三角形式复数的三角形式使用极坐标系表示，通过表示复数的模和幅角来确定复数的值。

假设复数为z=a+bi，其中a和b为实数，则复数的模r和幅角θ可以通过以下公式计算：r = √(a²+b²)θ = arctan(b/a)这样，复数可以表示为r(cosθ+isinθ)的形式，其中r表示复数的模，θ表示复数的幅角。

三、复数的指数形式复数的指数形式可以利用欧拉公式来表示，欧拉公式是数学中的一个重要公式，表示为e^(iθ)=cosθ+isinθ，其中i表示虚数单位，e是自然对数的底。

对于复数z=a+bi，我们可以将其表示为re^(iθ)，其中r表示复数的模，θ表示复数的幅角。

四、从三角形式到指数形式的转换复数的三角形式和指数形式之间可以相互转换。

从三角形式到指数形式的转换可以使用欧拉公式：z=re^(iθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。

通过将三角形式的模和幅角代入公式，即可得到相应的指数形式表示。

五、从指数形式到三角形式的转换从指数形式到三角形式的转换可以利用欧拉公式的逆运算，即将指数形式的复数z=re^(iθ)化简为三角形式的表示。

通过取实部和虚部，即可得到对应的三角形式表示。

六、复数的应用复数的三角形式与指数形式在数学和工程上都有广泛的应用。

在电路分析中，复数用于描述电压和电流的相位关系；在信号处理中，复数用于频域分析和滤波等。

综上所述，复数的三角形式与指数形式是描述复数的两种常用表示形式。

三角形式通过模和幅角来确定复数的值，而指数形式则利用欧拉公式表示复数。