青岛科技大学高数A1试题

青岛科技大学2008年研究生入学考试试卷考试科目：高等代数（答案全部写在答题纸上）一、(30分)1设是三阶方阵，具有三个不同的(非零)特征值：、、，依次对应的特征向量为A 1λ2λ3λ、、，令，试证：、、线性无关。

1α2α3α123βααα=++β()A β2()A β2 设是维线性空间，是上的线性变换，是的一个重特征值， 是对n V n σn V 0λσk 0V λ0λ应的特征子空间，试证：。

（这里表示子空间的维数）0dim V k λ≤0dim V λ二、(30分)1 设，求。

001101010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭100A 2 设，一元多项式，求，102011010B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1187543()2283174f x x x x x x x =+-+++-()f B 并求。

1(())f B -三、(30分)试证：1 当、是两个阶方阵时，有 A B n n n E AB E BA λλ-=- 2 当是矩阵，是矩阵()时有： A m n ⨯B n m ⨯n m >n m n m E BA E AB λλλ--=-四、(30分)试证 矩阵方程有解当且仅当 AX B =()()r A r A B =五、(20分)设阶方阵，，，试求的特征值，的最小多项式。

n ()ij A a =1ij a =,1,2,,i j n = A A A 是否与对角阵相似？若相似求出与其相似的对角阵。

六、(10分)给定方程组(1)与向量， 123412342229242312x x x x x x x x -++=⎧⎨-++=⎩(4,2,5,1)α=-青 岛 科 技 大 学二OO 九年硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数注意事项：1．本试卷共 5 道大题（共计 10 个小题），满分150 分；2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。

要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。

拟题学院（系）： 数理学院 适用专业： 应物、信息、机电等相关专业2012-2013 学年 2 学期 高等数学A2（A ） 卷 试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、 填空题：（每小题3分，共15分）1. (5,1,3)-；2. 2ln xy x ；3.3202(cos ,sin )d f d ππθρθρθρρ-⎰⎰ ；4. 2π；5. [1,1]- .二、选择题：（每小题3分，共15分）1) B. 2) A. 3) C. 4) C. 5) D. 三、计算题（共21分）1、解：122zf f x∂''=+∂ ---------------------------------------------3分 2z x y ∂=∂∂2111222232zf f f x y∂''''''=+-∂∂ ------------------------------------- 7分 2 、解：曲线2y x =与y x =的交点为（0,0）、（1,1） -------------------------------------1分 所以2()Dx y dxdy +⎰⎰2120()xxdx x y dy =+⎰⎰， -------------------------------------------4分 2134037().2260x x x dx =+-=⎰ -------------------------------------------------7分 3、解 22,,2P xy Q yx R ===,取221:1,1z x y ∑=+≤,取上侧,记∑与1∑所围成区域为Ω,则由Gauss 公式知 ------------------------2分122222()()P Q Rxy dydz yx dzdx dxdy dv x y zx y dv∑+∑ΩΩ∂∂∂++=++∂∂∂=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ------------------------------3分原式12222()2x y dv xy dydz yx dzdx dxdy Ω∑=+-++⎰⎰⎰⎰⎰ ---------------------------------5分 22112013502112()2.6xyD d d dz dxdyd πρθρρρππρρρπ=⋅-=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ --------------------------------------------------7分拟 题 人： 赵立宽书写标准答案人： 赵立宽四、计算题（共24分）1、解 取1:0,33L x y =-≤≤,方向从点(0,3)B 到点(0,3)A -222,62P xy y Q x x y =+=++ -------------------------------------2分记L 与1L 所围成区域为D ,则由Green 公式知:12()9(2622)(22)(62)44182L L DDDx Q P d x yy y dx x x y dy x x d d σπσσπ+∂∂=-∂∂=+--=⋅++=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ -------------------------5分1233(22)(62181821)8.L xy y dx x x y dyydy πππ-++=+=+--=⎰⎰原式 ----------------------------8分2、解（1）求对应的齐次方程340y y y '''--=的通解Y ：特征方程为2340r r --=，则其特征根为121,4r r =-= ---------2分∴齐次方程的通解为412x x Y C e C e -=+（1C 与2C 为任意常数） -------------------3分（2）求原方程的特解*y ：由于1λ=不是特征根，则令*()xy ax b e =+，代入原方程得(2)3()4()x x x x ax a b e ax a b e ax b e xe ++-++-+=即66ax a b x ---=，从而有 ------5分6160a a b -=⎧⎨--=⎩，即16136a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴*11()636x y x e =-+ ------7分 ∴原方程的通解为：41211()636x x x y C e C e x e -=++-+（1C 与2C 为任意常数）-----8分3、解 ：由22(,,)2u x y z x xy y z =-++（1）(0,1,1) (0,1,1)(2,2,2)|(1,2,2)grad u x y x y =--+=- ---------3分 （2）令(1,2,2)l AB ==，则其方向余弦为122cos ,cos ,cos 333αβγ===， 从而有(0,1,1)7|cos 2cos 2cos .3u l αβγ∂=-++=∂ --------------------------6分 （3）由方向导数和梯度的关系可知：当沿梯度 (0,1,1)(1,2,2)grad u =-方向时，方向导数最大且最大值为梯度的模3. -----------------------------------8分五、计算题（共16分）1、解：3lim12n n R n →∞+==+，即幂级数的收敛半径为1 ---------2分而级数1(2)n n ∞=+∑，11(2)(1)n n n ∞-=+-∑都发散，所以幂级数的收敛域为(1,1)---------------3分设幂级数在区间(1,1)-内的和函数为()s x ，则111111()2()21()21n n nnn n n n n n s x nxxx x x x∞∞∞∞--====∞='=+=+'=+-∑∑∑∑∑ ----------------6分2232().11(1)x x x x x -'=+=--- ----------------8分 2．解: 设22(,,)24F x y z x y z =+- ---------------------1分则4,8,1F F Fx y x y z∂∂∂===-∂∂∂ --------------------4分 则曲面在点1,1,6)A （处切平面法向量为(4,8,1)n =- ------------------6分 故切平面方程为：4(1)8(1)(6)0x y z -+---=整理得 4860x y z +--= ------------------7分法线方程为116481x y z ---==- ------------------8分六、证明题（共9分）1、证明：记n u =，则lim1n n→∞=，因为11n n∞=∑发散，所以1n ∞=也发散。

2012-20132 线性代数 （A 卷）数理学院 全校相关专业（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1．设1221304012107301---=D ,则D 的代数余子式=23A ；2．设C B A ,,均为n 阶方阵，且E ABC =,则=T T CA B )( ；3．设A 为四阶方阵，且2-=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=*A ；4．n 元线性方程组b Ax =有解的充分必要条件为 ；5．设三阶方阵A 的特征值为1，-1,2，则=-1A .二、选择题（每小题3分，共15分）1．设B A ,均为n 阶方阵，则下列各式中正确的是 ；)A ()()22B A B A B A -=-+ )B ()222B A AB =)C 由BC AC =必可推出B A = )D ()()E A E A E A -+=-22．设A 为n 阶方阵，且E A =2，则 ；)A A 的行列式为1 )B A 的特征值都为1 )C A 的秩为n )D A 一定是对称矩阵3.向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 ；)A s ααα,,,21 均不为零向量)B s ααα,,,21 中任意两个向量对应分量不成比例)C s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表出 )D s ααα,,,21 中有一部分线性无关课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:4．设B A ,均为n 阶矩阵，且A 与B 相似，则下列结论中不正确的是 ；)A )()(B r A r = )B B E A E -=-λλ )C B E A E -=-λλ )D B A =5．二次型32312123222132142244),,(x x x x x x x x x x x x f +--++=λ为正定二次型，则λ的取值范围为 .)A 12λ-<< )B 22<<-λ )C 2-<λ )D 2>λ三、计算题1．（10分）计算行列式1111111111111111--+---+---=x x x x D ；2．（10分）矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=100110011A ,求满足方程X A AX 2-=的矩阵X ；3. （15分）λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=--=+-+λ43214324321312222x x x x x x x x x x x 无解？有解？有解时求其通解. 四、计算题1. （10分）求向量组:()T 00111=α，()T 01112-=α，()T01223-=α，()T 21044--=α，()T 21035-=α的秩及一个最大无关组；2．（15分）求正交变换Py x =将二次型22212312123(,,)334f x x x x x x x x =+-+化为标准形. 五、证明题（每小题5分，共10分）1．设n 阶矩阵A 满足O E A A =--422,证明：E A +可逆,且E A E A 3)(1-=+-;2．已知321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，若211ααβ+=，322ααβ+=133ααβ+=，证明：321,,βββ也是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系.参考答案一、 填空题：（每小题3分，共15分）1. 26；2. E3. -84. ),()(b A R A R =5. 21- 二、选择题：（每小题3分，共15分）1). D 2).C 3).C 4).B 5) A 三、计算题：1. 解： 1111111111111111-----+---=x x x x D ……………5分xx x xx x x-----=00000001111……………7分 xx x x x x x------=0000001111=4x ……………10分 2．解：由A X E A =+)2(……………2分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=+100100110110011011),2(A E A ……………5分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------100100210010221001~……………9分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=∴100210221X ……………10分3． 解：B= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----λ31111111022221 ……………2分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----211101*********~λ ……………5分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100001111022221~λ ……………9分 所以 1）1≠λ时，方程组无解 ……………12分1）1=λ时，方程组有解，B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000001111004001~000001111022221~得等价方程组⎩⎨⎧++=-=1443241x x x x x ，特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*0010η对应的齐次方程组的基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1014011021ξξ，通解为*++=ηξξ2211k k x ……………15分四、计算题1.11243112000111100022-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭11243000430111100022-~-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭11243011110002200001~-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭………………7分123454(,,,)R ααααα=， ………9分1245,,αααα，是一个最大无关组 ………10分2.解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100032023A ………2分λλλλ-----=-10032023E A ()()512---=λλ,得特征值121==λλ，53=λ ………6分当121==λλ时，解()0=-x E A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000000011~000022022E A即，21x x =，得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121ξξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100,0212121p p ………10分当53=λ时，解()05=-x E A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-000100011~4000220225E A得 ⎝⎛=-=0321x x x ，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ，单位化得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=021213p ………12分 所以得正交变换Py x =,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0102102121021P , ………14分化二次型为标准型2322215y y y f ++= ………15分六、证明题（2个小题，每小题5分，共10分）1.证明： 由O E A A =--422得E E A A A =--+332，即()()E E A E A A =+-+3即()()E E A E A =+-3,………4分所以E A +可逆，且()E A E A 31-=+-. ………5分2.证明：1）3,2,1,0==i A i α ()3,2,1,0==+=+=∴i A A A A k i k i i ααααβ i β∴是0=Ax 的解 ………2分2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110011101),,(),,(321321αααβββ，而021********≠=又321,,ααα是基础解系，所以线性无关，3),,(321=αααR所以3),,(),,(321321==αααβββR R ，所以321,,βββ也线性无关 ………4分 综上，321,,βββ是0=Ax 的基础解系。

2014-20152 线性代数 (A 卷)数理学院 全校相关专业一、填空题（每小题3分，共15分）1. 已知10312122D -=-，则11121322M M M ++=_______________； 2. 设A 为3阶矩阵，且2A =，则1*1(3)3A A --=___________； 3. 向量组(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)TTTt αβγ==-=线性相关，则t =____________；4. 设矩阵13333664A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征值分别为2-、2-和4，则a =___________； 5. 设二次型2221231231223(, , )322f x x x tx x x x x x x =++-+是正定二次型，则实数t 的取值范围是______________。

二、选择题（每小题3分，共15分） 1.下列等式正确的是________；)A a x b y a b x y c z d w c d z w ++=+++ )B 2123434a a a a a = )C0x y x y x y z z a z a =+- )D 22123434a a a a a = 2.设A ，B 都是n 阶矩阵，且AB O =，则下列成立的是________；)A A O B O =或= )B A ，B 都不可逆 )C A ，B 中至少有一个不可逆 )D A B O +=3.设Ax b =有无穷多组解，则0Ax = ；)A 必有唯一解 )B 必定没有解 )C 必有无穷多组解 )D A 、B 、C 都不对课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:4.A 是n 阶可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵是 ；)A 1A - )B T A )C *A )D 2A5．n 阶矩阵A 的n 个特征值互异是A 与对角阵相似的 。

)A 充分条件 )B 必要条件 )C 充分必要条件 )D 既非充分又非必要条件 三、计算题(每小题10分，共20分)1. 计算行列式100110011001a b c d---；2．已知111011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且满足2A AB E -=，其中E 为单位矩阵，求矩阵B 。

2009/20102 高等数学A （下）（ B 卷）数理学院 陈宁机自、测控、热能、应物等专业 彭翠英（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知向量)4,1,3(=a ，向量)2,0,1(-=b ，则=⋅b a . 2．设xy z =，则=)1,1(dz . 3．设积分曲线L 为422=+y x ，则曲线积分=⎰Lds 2 .4． 已知bxdy aydx +为某一函数),(y x f 的全微分，则a 与b 的关系是 . 5. 交换积分次序=⎰⎰22),(xdy y x f dx .二、选择题（每小题3分，共15分）1．方程组⎩⎨⎧==+14222z y x 在空间表示（ ）()A 圆 ()B 椭圆 ()C 椭圆柱面 ()D 两条直线2．设)(x f 为周期为π2的函数，它在区间](ππ，-上定义为⎩⎨⎧≤<≤<-=ππx x x x x f 0,20,)(，则)(x f 的傅立叶级数在π2=x 处收敛于 . ()A 0 ()B π2 ()C π3 ()D π43．极限220limyx xyy x +→→ . （A ） =0 (B) 21= (C) 不存在 (D) 以上都不对 4．将⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为极坐标系下的二次积分为 ，其中D 为直线1,3,===x x y x y 所围成的三角形区域.(A)⎰⎰θππθθθsin 1034)sin ,cos (rdr r r f d （B ）⎰⎰θππθθθsin 1034)sin ,cos (dr r r f d课程考试试题学期学年拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适 用 专 业:（C ）⎰⎰θππθθθcos 1034)sin ,cos (dr r r f d （D ）⎰⎰θππθθθcos 1034)sin ,cos (rdr r r f d5．级数 ∑∞=-111n nn）（（ ）. ()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 以上均不是三、（共21分）1、（7分）设)ln(22y x z +=，求yx zy z x z ∂∂∂∂∂∂∂2,,. 2、（7分）计算二重积分dxdy y x ⎰⎰D，其中D 是由2y x =与y x =所围成的闭区域。

高数A1试题参考答案一、填空题：1. 6e；2.2ln2112ln2xyxyydxx--； 3.221(1)2x c--+； 4.()()xf t dt xf x+⎰5.或二、选择题：1).C 2).D 3).A 4).A 5).C三、计算题：20001sin ln(1)sin ln(1)1.lim limln(1)sin1cos(1)cos11lim lim2(1)2x xx xx x x xx x xx x xxx x x→→→→-+-+==+-+-+==+原式(1)cos1lim2xx xx→+-=1cos(1)sin1lim212xx x x→-+==2.lim()xf x-→=lim()(0)xf x f a+→==，lim()xf x-→=lim1xxe-→=，00lim()lim()x xf x a bx a++→→=+=，所以 1.a=()(0)(0)limxf x ffx--→-'=-01lim1xxex-→-==，(1)1(0)limxbxf bx++→+-'==，所以1b=。

3．22133122dy t tdx t t--==-，22231()2d y d t dx dx t -==231()2d t dt dt t dx -=22223122(31)131424t t t t t t --+⨯=--。

4、原式(()()22ln 1ln 1x d x =+++⎰⎰(()231arctanln 13x C =+++235.(0)22tt t x t dx tdtee tdt=≥===⎰⎰，从而，33223t te tdt tde ==⎰⎰ 332()3t t te e dt =-=⎰3321()33t t te e C -+- 2116.1,(1)()u x f x dx f u du-=--=⎰⎰令则01()f u du -=⎰10()f u du +⎰011011x dx dxe x -=+++⎰⎰- 011011[ln(1)]1[ln(1)]ln 2ln(1)x x x x e e dx x e x e e --+-=+++=-++=+⎰7、解：函数的定义域为(),-∞+∞，52338533y x x '=- （2分）y ''= 令0y ''=得14x =，而x o =时y ''不存在。

题答要不名内姓线封密号学级班业专院学题答要不内线封密江苏科技大学08 － 09 学年（ 1）学期高等数学 A1 课程试题( A )卷题号一二三四五六七总分得分一．填空题 (每小题 4 分，共 20 分 )x ln 1 x1．limx2 _______________ ;x 0 e 112. 函数f x x x在区间 0, 上的最大值为 ____________3. 求顶点为A(1, 1,2), B(5, 6,2) 和 C(1,3, 1) 的三角形的面积为________4.反常积分1 dx ________x ln2e x5.设f ( x) 1 1 x21 1________2 f ( x)dx ,则 f ( x) dx1 x 0 0二、单项选择题 (每小题 4 分，共 20 分 )x sin x2的水平渐近线为（）．1.曲线y2xＡ． y 0; B．y 1 ；C．y 2 ；D．x 0．2. 下列极限正确的是（）。

1A limsin xB limsin x1; C lim x sin1 sin1; 1; D lim x 1x x x 0 2 x x x x 0 1x3 若 f ( x) 二阶可导，且f (x) f ( x) ，又当 x (0,) 时， f ( x) 0, f (x) 0 ，则曲线yf (x) 在 ( ,0) 内 ()(A)单调下降且凸 (B)单调下降且凹 (C) 单调上升且凸(D)单调上升且凹；4. 函数 y ex4 有界且至少有一实根的区间是 ( )(A)［0， 3］(B) ［1， 0］(C) ( ， 1) (D) ［ 2，4］5．下列函数中，在x 0 处连续的是（）1sin x, x 0（ A ） f xe x 2 , x0 （ B ） f xx0, x1, x 011（ C ） f xe x , x 0 （ D ）f x1 2 x x , x 00, xe 2 ,x 0三 .解下列各题 (3 6 分=18 分)x231. limsin 2 tdtxx 0t t sin t dt2．求曲线 sin( xy) ln( y x)x 上点 (0,1)处的切线方程x(t)te ucosudu，求d 2 2y, 其中3．设xt 2y(t)udx2e sin udu四 .解下列各题 (3 7 分=21 分)1.求不定积分x 2 ln( x 2 1)dx2.求定积分1x 3 1 x 2 dx3．求定积分2x 3 cosx sin 2xdx2 五． (本题 6 分)设 f ( x) 在［ 0， a ］上连续，在 (0， a)内可导，且 f (a) 0 ，证明存在(0, a) ，使f f ( ) 0六.(本题共 7 分)已知 : f (x)的一个原函数是ln( x 1 x2 ) ，求 xf ( x) dx, xf (x) dx七 .（本题共 8 分）（ 1）求由曲线 y ln x 与直线y 1所围成的封闭图形的面积（ 2）求上述图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体的体积 .高等数学 A1 课程试题（ A）卷参考答案及评分标准2008.12.28一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）11.1.2. e e；3. ；4. 1 ；5.252 4二、 . 单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）1 (C) 2. (C) 3 (C) 4. (A) 5 (A)三 .解下列各题（每小题 6 分，共 18 分）31. 解原式 = lim 2 x sin2 x LLLLL3分2sin xx 0 x x= lim2 x3 LL4分 L L Lx 0x sin x=lim6x 2LL5分L L Lx 01 cos x= lim 6x212LLLLL6分x 01 x 222. 解: 等式两边对x求导y xyy 11.cos xyy x将点（ 0， 1）代入上式得 y(0,1)1切线方程为 yx 13 解 :. dx e t costL L LLL1分dtLLLLL1分LLL LL4分LLLLL5分LLLLL6分dy e tsin tL L LL L 2 分dtdydy e t sin t tan t L L L L L 4 分dxdt =e tcostdxdtd 2 ytantLLLLL5 分2dtudxdt 0 e sin udu= 1LLLLL 6 分e t cos 3 t四 . 解下列各题 (3 7 分=21 分) 1. 解：原式 = ln x 21 d 1 x 331 x 3 ln x 22 x 4 2 dx3 1 1 x3= 1 3 ln x 2 1 2 x 4 1 13 x 3 1 x 2 dx= 1x 3 ln x 2 12x 2 1 dx2 1 2 dx 333 1 x= 1x 3 ln x 212 x3 2 x2arctan x C39 3 32. 解 法一: 令 x sin t t, 22原式 =2sin 3 t cos 2 tdt=2 (sin 3t sin 5 t) dt=2sin 3 tdt2sin 5 tdtLLLLL2分LLLLL4分LLLLL5分LLLLL6分LLLLL7分LLLLL2分LLLLL4分LLL LL5分2 4 2 6 分= - 5LLLLL3 3= 2LLLLL7分15解法二:令 1x 2 t, 则 x 2 1 t 2 , 2xdx 2tdt ;LLL LL2分1 t 2t t dt =1 2 dtLLLLL6分原式 =11 t2 t=1t 2 t 4 dt 01 1 2LLLLL7分3 5153解原式=2 x3 sin 2 xdx2cos xsin 2 xdxLLLLL4 分22=0+ 1 sin3x 2LLLLL6 分322LLLLL7分=3五本题6分证明 : 令 F x xf xLLLLL2分则由已知 F x 在 0,a 上连续、在 0,a 内可导、且 F 0 F a 0LLLLL4分据罗尔定理存在点 0, a , 使F 0，即 ff ( ) 0所以，原命题成立LLLLL6分六、本题 7 分 解由已知：f x dx ln x1 x 2Cf xln x 1 x 21x 2x1 fxx231 xfx dx xdf x= xf x f x dx=x ln x 1x 2C1 x 2xfx dx xdf x= xf x f x dx=x 21 Cx 231 x 21LLLLL1分LLLLL2分LLLLL3分LLL LL4分LLLLL5分LLLLL6分LLLLL7分七、（本题 8 分）1e y dy（1）面积 A= e y=e y 1 e y 10 0LLLLL1分=e e1（ 2）体积V x e1 dx e= e1e=1 ee1=ee1体积 V y e2 y dy= 1 2 y 1( e2 0 = [ 1 e22 2e1 ln2 xdxexln 2e ex 1 2 1 ln xdxe e12 e ee xln x 1 1 dxe e ee5 4e e1e 2 y dy1e 2 y 1)2011e 2 1 ]2LLLLL2分LLLLL4分LLLLL5分LLLLL7分=e2 e 22LLLLL8分。

高数B2试题参考答案一、填空题：1、 2 ； 2 、2cos 202(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰； 3、；4、 5 ；5、12(cos2sin 2)x c x c x e +二、选择题：1)、B 2)、A 3)、C 4)、D 5)、B三、计算题：1．解：1) 1yz u y x x z -∂=∂ 2)'''123'3x z F F F F z x F F ++∂=-=-∂2. 解：令cos ,sin ,02,2x r y r r θθθπππ==≤≤≤≤220sin D d r rdr πππθ=⋅⎰⎰⎰⎰222[cos |cos ]r r rdr πππππ=-+⎰ 22[30]6πππ=-+=-3. 解：令2222,.y x P Q x y x y-==++则当220x y +≠时，有 22222.()Q y x P x x y x∂-∂==∂+∂ 记L 所围成的闭区域为D 。

当（0，0）∉D 时，由格林公式得220,L xdy ydx x y -=+⎰当（0，0）D ∈时，选取适当小的0r >，作位于D 内的圆周222:l x y r +=，记L 和l 所围成的区域为1D ，则22220,L l xdy ydx xdy ydx x y x y ---=++⎰⎰其中l 的方向为逆时针方向。

于是2222L l xdy ydx xdy ydx x y x y --==++⎰⎰ 2222220cos sin 2.r r d rπθθθπ+=⎰4、 解：将∑补充成闭曲面，令2221:0,z x y R ∑=+≤上侧。

由高斯公式11333333333x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy ∑∑+∑∑++=++-++⎰⎰⎰2223()0:0x y z dxdydz z z Ω=-++-Ω==⎰⎰⎰围成22220003sin R d d r r dr ππθϕϕ=-⋅⎰⎰⎰ 42006sin Rd r dr ππϕϕ=-⎰⎰ 556655R R ππ=-⨯=- 5、解：113n na =+ 111313lim lim (13)lim 311313n n n n n n n n na R a +→∞→∞→∞++==+==++ 当3x =±时，级数11(3)13n n n ∞=±+∑的一般项为1(3)13n n ±+当n →∞时不为零，故发散。

2011-2012二 高等数学C2（下） A 卷数理系 李夕广高密校区（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、 填空题（每空3分，共30分）1.方程02)(/2/=+-x yy y x 是 阶微分方程。

2.已知1(2,2,2)M 和2(1,3,0)M ,则向量12M M u u u u u u r的模=_________________.3. 设22z x y yx =+，则2zx y∂∂∂=_________________.4. u xyz =在点（5，1，2）处的梯度为__ ___.5. 交换二次积分的次序1(,)xdx f x y dy =⎰⎰______________.6. 二重积分Dxydxdy =⎰⎰____,其中区域D 是由0,y y x ==及1x =所围成的三角形区域。

7. 级数11(1)n n n n x∞-=+∑的收敛半径R=_________.8.函数(,,)f x y z x y z =++在点(1,1,1)的方向导数____ _,其中方向角分别60度，45度,60度.9. 二阶微分方程20y y y '''+-=的通解y =_____ __. 10．函数z xxy y=+的全微分dz =______ _ 二、选择题：（每小题3分，共15分）1．对于函数),(y x f z =，下列命题正确的是：（ ）)A y z x z ∂∂∂∂,都存在，则),(y x f 连续； )B yzx z ∂∂∂∂,都连续，则),(y x f 必可微； 课程考试试题学期学年拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适 用 专 业:)C y z x z ∂∂∂∂,都存在，则),(y x f 的极限存在；)D yz x z ∂∂∂∂,都存在，则),(y x f 可微。

2．下列曲面中，母线平行于y 轴的柱面为（ ）)A 2z x =)B 2z y = )C 22z x y =+)D 1x y z ++=3．下列级数中属于条件收敛的是：（ ）)A ∑∞=+-1)1()1(n n n n ； )B ∑∞=--113)1(n n n ； )C ∑∞=-12)1(n nn ； )D ∑∞=-121sin)1(n n n . 4. 设函数(,)f x y x y =+，则(,)f x y 在点(0,0)处（ ）)A 取得极大值为0 )B 取得极小值为0 )C 连续)D 间断5. 若级数nn a∞=∑收敛且(1,2,)n n a b n ≥=L ，则级数nn b∞=∑（ ）)A 发散； )B 绝对收敛； )C 条件收敛； )D 敛散性不定三． 计算题（共55分）1 （8分）求微分方程xy y e-'+=的通解。

2016-20171 线性代数 (必修) (A)数理学院 全校相关专业（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一. 填空题（每题3分，共15分） 1. 行列式 1231231231231111a a ab b bc c cd d d 的第3列各元素的代数余子式的和等于_________; 2. 设A 为3阶矩阵，2=A ，*A 为A 的伴随矩阵，则2A*-=_________; 3. 若向量组 123(1,1,1),(,0,),(1,3,2)ααα===a b 线性相关，则,a b 满足关系式 ________; 4. 设3是矩阵A 的一个特征值，则矩阵22+A A 有一个特征值等于_________;5．二次型123121323(,,)=++f x x x x x x x x x 的秩是_________.二．单选题（每题3分，共15分）1. 设B A ,为同阶可逆矩阵，则( );)A AB BA = )B 存在可逆矩阵,P 使1P AP B -=)C 存在可逆矩阵,P 使T P AP B = )D 存在可逆矩阵P 和,Q 使PAQ B =2. 设A 为n 阶方阵，且()1,=-R A n 12,αα是线性方程组=Ax b 的两个不同的解向量，则0的通解是=Ax （ ）；)A 1αk )B 2αk )C 12()αα-k )D 12()αα+k3. 设12,,βαα线性相关，23,,βαα线性无关，则有（ ）；)A123,,ααα线性相关 )B 123,,ααα线性无关 )C 1α可用23,,βαα线性表示 )D β可用12,αα线性表示4．已知3阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则下列矩阵中不是可逆矩阵的是（ ）.)A A E + )B 2A E - )C 2E A + )D A课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:5. 若二次型2221231231223(,,)5442=+++-f x x x x x x x x tx x 是正定的，则t 满足（ ）.)A 22-<<t )B 33-<<t )C 2>-t )D 2<t三．计算题（共20分）1. 计算行列式 1111213241123161------- .（10分） 2. 设121342122⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 且=+AX A X , 求矩阵.X （10分）四．计算题（共25分）1. 向量组A ：11012α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 21210α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 32103α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 42541α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，51113α⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，求向量组A 的秩和一个最大无关组.（10分）2．当λ为何值时，方程组1232123123424λλλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩x x x x x x x x x 有唯一解、无解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.（15分）五．计算题（15分）设211121112--⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A ，求正交矩阵P ，使1P -A P 为对角矩阵.（15分）六．证明题（每小题5分，共10分）1. 设方阵A 满足24,+-=A A E O 证明A 及A E -都可逆;2. 若A 是n 阶可逆矩阵，12,,,s ααα是n 维线性无关的列向量，证明12,,,s A A A ααα线性无关.。

2009—20101 线性代数 （B ）卷数理学院 全校各专业（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一 、填空题：（每小题3分，共15分）1. -4,2.3152-⎛⎫⎪-⎝⎭3.n r -4. 2，45. 19二、单选题（每小题3分，共15分）1. B2. D 3．C 4. D 5． B .三、计算题（共32分）1. （10分）计算行列式D ＝.....................x a a ax a a a x. 解：.....................x a a a x a aax (1)...(1)...............(1)...x n a a a x n a x ax n a a x+-+-=+- ...........3分 1 (1)...[(1)]............1...a a x ax n a ax=+-...................................................5分 1...0 0[(1)] (00)...a a x ax n a x a-=+-- ………………………..8分1[(1)]().n x n a x a -=+--……………………………………….…..10分课程标准答案 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:2. （10分）已知矩阵1110A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，1102B -⎛⎫= ⎪⎝⎭, 矩阵X 满足AX B X +=，求X .解：由AX B X +=，得()A E X B -=-，21,11A E -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭……………………….…..3分由于||0,A E -≠所以A E -可逆， 从而1()X A E B -=--……………………………………………….…..5分112111()1112A E -----⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭……………………. 8分于是111112021135X ---⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭--⎛⎫= ⎪⎝⎭………….. 10分3. （12分）已知向量组(1,5,3)T ，(2,3,1)T ,(1,2,)T a 的秩为2，求a .解：12153231A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭…………. ………….3分121073053a ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭1210736007a ⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ……………. ………….7分 向量组秩为2，需607a -= 解得67a = ……………………….…….12分四、解答题（共28分）1. （13分）（13分）求齐次方程组的基础解系和通解12412341234123430204263024240x x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+-=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩ 解：11031103112101114263000124240000A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭……………………………. 5分进一步得1010011000010000⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭…………………………….7分 令31x =得基础解系(1,1,1,0)T η=- ……………………………. 11分 方程组通解为(1,1,1,0)T x k k η==-,k 为任意常数. ……………………13分2. （15分）求一个正交变换Py x =， 化二次型2221232324f x x x x x =＋3＋3＋为标准形. 解：二次型对应的矩阵为200032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………. 2分解特征方程200||032(1)(2)(5)023A E λλλλλλλ--=-=----- 得特征值1231,2, 5.λλλ===…………………………………………. 4分 解齐次方程组()0,(2)0,(5)0A E x A E x A E x -=-=-=分别求得()()()1230,1,1,1,0,0,0,1,1T T Tp p p =-== …………………. 8分由于属于不同特征值的特征向量正交，只需将它们单位化，得)())1230,1,1,1,0,0,0,1,1T T Tηηη=-==所求正交矩阵为00101101P⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭………………. 12分二次型化为标准型22212325.f y y y=++…………………. 15分五、证明题（共10分）1. λ为A的特征值，证明22Aλ是的特征值.证明：λ为A的特征值，故有0.p Ap pλ≠=使………2分22()()()A p A Ap A p Ap pλλλ====，………4分所以22Aλ是的特征值..………………. 5分2. 已知321,,aaa线性无关，112123123,,b a b a a b a a a==+=++证明：123,,b b b线性无关.证法1：由题意知123123111,,011001b b b a a a⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭（）（，，），………2分令111011,||0001K K⎛⎫⎪=≠⎪⎪⎝⎭………3分所以K可逆，12312,,b b b a a a（）与（，，）可以互相线性表示，即123123,,b b b a a aR（）=R（，，），所以123,,b b b线性无关.………5分证法2：0332211=++b x b x b x 设1分112123123123123233()()0()()0x a x a a x a a a x x x a x x a x a +++++=+++++=即也即 .……… 2分123123121,,01110311001000a a a x x x x x x ++=⎧⎪∴+=≠⎨⎪=⎩ 线性无关，分 .………4分123,,b b b ∴∴可逆，即只有零解，线性无关。

高等数学期末考试试题试卷编号：14B26 考试日期：2011.1.17一、试解下列各题： 1、（4分）极限2332(32)lim (23)x x x →∞+==+ ； 2、（4分）设函数ln(1),0(),0,10x x x f x a x x x ⎧+>⎪⎪⎪==⎨--<<⎪⎩，在0x =处连续，则必a = ； 3、（4分）0arcsin limx xx→的值等于 ；4、（4分）微分方程2(1)0xdy y dx +-=的通解是 。

二、试解下列各题： 1、（4分）若函数()y f x =有01()2f x '=，则当0x ∆→时，()f x 在点0x x =处的微分dy 是（ ）；(A) 与x ∆等价的无穷小； (B) 与x ∆同阶的无穷小，但不是等价的无穷小； (C) 比x ∆高阶的无穷小； (D) 比x ∆低阶的无穷小。

2、（4分）设()f x 连续，则()ba d f x y dy dx+⎰等于（ ）； (A)()baf x y dy '+⎰(B) ()()f x b f x a +-+(C) ()f x a + (D) ()f x b + 3、（4分）32cos xdx π⎰等于（ ）；(A) 13 (B) 14 (C) 23(D)3π 4、（4分）函数sin y C x =-，（其中C 是任意常数）是微分方程22sin d yx dx=的（ ）。

(A)通解 (B)特解 (C)是解，但既非通解也非特解 (D)不是解 三、试解下列各题： 1、（8分）求35x x e dx ⎰。

2、（8分）计算1211sin 1xdx x -++⎰。

四、试解下列各题： 1、（8分）设函数()f x 在0x 点处有00()()0f x f x '==，而()x ϕ在0x 点及其邻域有定义且有界，试证明函数()()()F x f x x ϕ=⋅ 在0x 点处可导，并求0()F x '。

2011-2012 1 高等数学（上）（A ） 卷数理学院 软件、ALPS 、中德、物联等专业 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1．极限120lim(1)xx x →-= .2. 曲线xx y 1-=在(1,0)点的切线方程为 . 3．设2()2ln(1)f x x x =+-，则(2)f ''= .4．若⎰+=,sin )(C x x dx x f 则=)(x f .5. 反常积分2211cos dx x xπ+∞=⎰ . 二、选择题（每小题3分，共15分）1．某函数在点0x 处连续是该函数在该点可导的 .)A 充分条件； )B 必要条件； )C 充要条件； )D 无关条件. 2．设()f x 可导，)2(x f y -=，则='y .)A )2(x f '； )B )2(x f -'-； )C )2(x f -'； )D )2(2x f -'-.3．设2sin xy x =，则=dy （ ）.)Acos 2xdx xy； )B 2cos 2x y dx xy -； )C 2cos 2x y dy xy -； )D 2cos x y dx xy -. 4. 已知241()1x x dt tϕ=+⎰，则()x ϕ'=（ ）. )A821x x+； )B421xx+； )C 811x+； )D821x x-+.课程考试试题学期 学年 拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适 用 专 业:5．设xex f -=)(，则='⎰dx xx f )(ln ； )A C x +-1； )B C x +ln ； )C C x +-ln ； )D C x +1. 三、计算题（每小题7分，共21分）1．求极限20sin cos limtan x x x xx x→-； 2．设函数21,0()sin 2,0x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求)(x f '；3.求由参数方程⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 所确定的函数的一阶导数及二阶导数.四、计算题（每小题7分，共21分）1.计算不定积分⎰++dx xx21arctan 41; 2．计算定积分⎰ππ-++dx x x x )cos 1sin (22；3．计算定积分21⎰.五、（8分）列表求函数1223-+-=x x x y 的单调区间、极值、凹凸区间及拐点. 六、（10分）求曲线2y x =与直线2y x =所围成的平面图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.七、证明题（每小题5分，10分）1．证明：当0(1)ln(1)arctan x x x x >++>时，；2．设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且120()0,f x dx =⎰证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使()(1)()0f f ξξξ'+-=.一、填空题：（每小题3分，共15分） 1. 12e-； 2. 2(1)y x =-； 3. 3； 4. sin cos x x x +； 5. 1 .二、选择题：（每小题3分，共15分）1.B2.D3.B4.A5.D 三、计算题：（每小题7分，共21分）1.原式30sin cos =limx x x xx→- …………………2分 20cos cos +sin lim 3x x x x xx →-= …………………4分220lim 3x x x→= …………………6分13= …………………7分 2．0()(0)(0)lim 0x f x f f x --→-'=-201lim 2x x e x -→-== …………………2分 0()(0)(0)lim 0x f x f f x ++→-'=-0sin 2lim 2x xx+→== …………………4分 所以(0)2f '= …………………5分故 22,0()2cos 2,0x e x f x x x ⎧≤'=⎨>⎩ …………………7分3.(sin sin cos )cos dxa t t t t at t dt =-++=，(cos cos sin )sin dya t t t t at t dt=-+= ………………2分sin tan cos dy at t t dx at t== …………………4分 2232(tan )sec sec cos tt d y t t dx dx at t at dt'=== …………………7分 四、计算题：（每小题7分，共21分） 1.原式1(14arctan )4x =+ ………………2分 3212(14arctan )43x C =⨯++ ………………6分321(14arctan )6x C =++ ………………7分 2. 原式202cos xdx π=⎰……………………3分0(1cos 2)x dx π=+⎰01sin 22x x π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ ……………………6分 π=……………………7分3.,t =则原式102t te dt =⎰……………………2分11100022[||]t t t tde te e ==-⎰ ……………………6分2=……………………7分五（8分）解： 函数的定义域为(),-∞+∞()21341313y x x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭， 驻点为1,13x x == . ………2分单调增区间为（-1,)3∞和(1,)+∞，减区间为1(,1)3，123()327f =-为极大值，(1)1f =-为极小值 ………5分264=6()3y x x ''=--，令0=''y ，得23x = ……………………6分当22,0,,033x y x y ''''<<>>，所以在2(,)3-∞凸，2(,)3+∞凹，点225(,)327-是拐点。