平行四边形有关的常用辅助线

平行四边形中的常用辅助线
ＰART A 知识讲解
六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴：
第一类:连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1如左下图1,在平行四边形ABCD 中,点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可)
⑴连结BF ⑵DE BF =
⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O
∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE =∴FC OC AE AO -=- 即OF OE =
∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF =
图2图1
E C
A
A
B
第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

例2如右图2,在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ,m AB =,那么m 的取值范围是( ）
Ａ111<<m B 222<<m C 1210<<m D 65<<m
解：将线段DB 沿DC 方向平移,使得CE DB =,BE DC =,则有四边形CDBE 为平行四边形,∵在ACE ∆中，12=AC ,10==BD CE ,m AB AE 22==
∴101221012+<<-m ,即2222<<m 解得111<<m 故选A 第三类:过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例3已知:如左下图3,四边形ABCD 为平行四边形
求证：2
22222DA CD BC AB BD AC +++=+
证明:过D A ,分别作BC AE ⊥于点E ，BC DF ⊥的延长线于点F
∴BC BE BC AB BE BC BE AB CE AE AC ⋅-+=-+-=+=2)(22222222 CF BC BC CD CF BC CF CD BF DF BD ⋅++=++-=+=2)()(22222222 则BE BC CF BC DA CD BC AB BD AC ⋅-⋅++++=+222
22222
∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD 且CD AB =,BC AD =
∴DCF ABC ∠=∠∵090=∠=∠DFC AEB
∴DCF ABE ∆≅∆∴CF BE =
∴222222DA CD BC AB BD AC +++=+
图4图3K
D C F B B
第四类：延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。

例4:已知:如右上图４，在正方形ABCD 中,F E ,分别是CD 、DA 的中点,BE 与CF 交于P 点，求证：AB AP =
证明：延长CF 交BA 的延长线于点K
∵四边形ABCD 为正方形
∴AB ∥CD 且CD AB =，AD CD =，090=∠=∠=∠D BCD BAD
∴K ∠=∠1 又∵090=∠=∠DAK D ,AF DF =∴CDF ∆≌KAF ∆
∴AB CD AK ==∵AD DF CD CE 21,21==
∴DF CE = ∵090=∠=∠D BCD ∴BCE ∆≌CDF ∆∴21∠=∠
∵09031=∠+∠∴09032=∠+∠∴090=∠CPB ,则0
90=∠KPB
∴AB AP =
第五类：延长一边上一点与一顶点连线,把平行四边形转化为平行线型相似三角形。

例5如左下图5，在平行四边形ABCD 中，点E 为边CD 上任一点,请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。

解：延长AE 与BC 的延长线相交于F ,则有
AED ∆∽FEC ∆，FAB ∆∽FEC ∆,AED ∆∽FAB ∆
图6图5D B B F
第六类:把对角线交点与一边中点连结,构造三角形中位线
例６已知：如右上图6，在平行四边形ABCD 中,BN AN =,BC BE 31=,NE 交BD 于F ,求BD BF :
解：连结AC 交BD 于点O ，连结ON
∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴2
,BD OD OB OC OA === ∵BN AN =∴ON ∥
BC 21且BC ON 21=∴FO
BF ON BE = ∵BC BE 31=∴3:2:=ON BE ∴3
2=FO BF ∴52=BO BF ∴5:1:=BD BF 综上所述,平行四边形中常添加辅助线是:连对角线,平移对角线,延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形(或特殊三角形)、矩形(梯形)等图形，为证明解决问题创造条件。

PART Ｂ综合演练
一、一般多边行
１、如图，四边形ＡBCD 中，E 、Ｆ、G 、Ｈ是四边形各边的中点，求证：四边形E ＦGH 是平行四边形。

2、某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产形状如图所示的风筝,点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是四边形ＡBCD 的中点,其阴影部分用的甲布料,其余部分用乙布料(裁剪两种布料时，均不计余料)，若生产这批风筝需要甲布料３0匹,那么需要乙布料多少匹?
3、提出问题：如图①所示，在四边形ABC Ｄ中，P 是AD 边上任意一点，△ＰBC 与△ABC 和△DBC 的面积之间有什么关系？
探究问题:为了解决这个问题,我们可以先从一些简单的，特殊的情形入手:
(1)当AP ＝2
1A Ｄ时（如图②）：
∵AP=21AD,△ABP 和△A ＢD 的高相等，∴ABD ABP S S ∆∆=2
1。

∵ＰD=AD-AP=21ＡD ，△CDP 和△CDA 的高相等,∴CDA CDP S S ∆∆=21。

∴CDP ABP ABCD PBC S S S S ∆∆∆--=四边形
=CDA ABD ABCD S S S ∆∆--
2
121四边形 =()()ABC ABCD DBC ABCD ABCD S S S S S ∆∆----四边形四边形四边形2
121 ＝ABC DBC S S ∆∆+2
121 (２）当ＡＰ=3
1AD 时,探求DBC ABC PBC S S S ∆∆∆与与之间的关系，写出求解过程; (3)当AP ＝61AD 时,DBC ABC PBC S S S ∆∆∆和与之间的关系式为______＿＿_＿__＿_________;
（4)一般地,当AP ＝
n 1AD （n 表示正整数)时,探求DBC ABC PBC S S S ∆∆∆和与之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当A Ｐ=n m AD ⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤≤10n m 时,DBC ABC PBC S S S ∆∆∆和与之间的关系为__＿_______＿___＿_＿＿_＿。

①②
二、多边形
1、如图，如果直线m 是多边形ＡB ＣＤＥ的对称轴，其中∠A ＝130°，∠B=110°,那么∠ＢＣD 的度数等于（ )
Ａ、4０° B 、50° C 、６０° D 、70°
2、一个零件的形状如图所示,按规定∠Ａ应等于 90，∠B 、∠C 应分别为
21和 32，检验工人量得∠ＢD Ｃ＝ 148，就断定这个零件不合格,这是为什么呢?
3、王师傅有两块板材边角料,其中一块是边长为60cm 的正方形板子,另一块是上底为3０
cm ,下底为１20cm ，高为６０cm 的直角梯形板子（如图①)，王师傅想将这两块板子裁剪成两块全等的矩形板材,他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合,两块板子的重叠部分为五边形ＡＢC ＦE 围成的区域（如图②),由于受材料纹理的限制,要求裁出的矩形要以点B 为一个顶点。

(1）求BC 的长。

(２）利用图②求出矩形顶点Ｂ所对的顶点到BC 边的距离x （cm ）为多少时,矩形的面积y
（2
cm ）最大?最大面积是多少?
(３）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。

①②
三、平行四边形 （矩形、菱形、正方形与其相同)
１、如图,已知△ＡＢC 是等边三角形,D 、E 分别在BC 、A Ｃ上,且C Ｄ＝ＣE,连结ＤE 并延长至点F,使EF=AE,连结AF 、B Ｅ和C Ｆ。

（1)请在图中找出一对全等三角形,用符号“≌”表示,并加以证明；
（2）判断四边形ＡB ＤＦ是怎样的四边形,并说明理由;
（３)若ＡB=６，ＢＤ=２ＤC,求四边形ＡＢE Ｆ的面积。

2、如图，在矩形ABCD 中,Ｅ、Ｆ分别是AD 、ＢC 的中点，点Ｇ、H 在DC 边上,且G Ｈ＝21ＤC 。

若ＡB=１０，BC=１2,则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿__＿__＿__。

3、如图,E、Ｆ分别是平行四边形AＢCＤ对角线BD所在直线上两点,DＥ=BＦ，请你以F
为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等。

（只需研究一组线段相等即可）。

（１)连结________＿；（2）猜想：＿__＿＿______＿_；(３)证明:(说明：写出证明过程的重要依据）。

4、如图,在□ABCＤ中，Ｅ、F分别为AＢ、ＣD的中点，连结DE、BF、BD。

(1）求证:△AＤE≌△ＣＢF。

(2）若AD⊥BD,则四边形ＢFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论。