高等数学D1_2数列的极限

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记作
lim
n
un
a
或
un a (n )
此时也称数列 un 收敛；否则称数列 un 发散.
例如：
lim
n
un
lim 1 n 2n
0,
收敛
lim
n
un

lim 1 n
(1)n n

1,
无极限，所以发散。
收敛
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qn 0
故 lim qn 0 n
n
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二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一. 定理2 收敛的数列一定有界.
注: (1)有界的数列不一定收敛. 例如数列 (1 )n1
(2)无界的数列一定发散 .
定理3 收敛数列具有保号性.
若
且
则
第一章
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质
山东交通学院高等数学教研室
一 、数列极限的定义
1. 引例 (1) 圆的面积问题 割圆术 ——刘徽 设有半径为 r 的圆, 用其内接正多边形的面积
逼近圆面积 S .
当 n 无限增大时, 无限逼近 S .
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例1 设 q 1 , 证明：lim qn 0 n
证明: q 0 时，结论显然成立。
寻求N使得
成立。
要使 un 0
只要
亦即 n ln .
ln q

lim q n 0.
n
就有 q n 0 ,
利用极限定义证明的思想：
0
要使 恒有 弱
xn a 成立
强
只要 n ( ) 成立， 取 N [ ( )] 当 n > N 时
找
例4 证明 lim n
证 只要
0
n n2 a
n n a
1 给定 , 10000 1 给定 , 100000 给定
只要 n 10000, 只要 n 100000,
1 有 xn 1 , 10000 1 有 xn 1 , 10000 1 有 xn 1 , 10000
1 , 只要 n 1000000, 1000000
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X2 2 ; 2 2


1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点 在数轴上依次取 x1 , x 2 ,, x n ,.
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列是整标函数 xn n xn1 (n 1, 2, ), 则称该数列为单调增加数列; 若有 xn xn1 (n 1, 2, ), 则称该数列为单调减少数列.
数列 {3n 1},{2n },{2n 1}等均为无界数列;
(3) 单调且有界的数列称为单调有界数列.
(4) 在数列{xn }中任意抽取无限多项并保持这些项在在原数列中

证: 用反证法. 假设
及
且 ab.
取
因 nl im xna, 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
从而
xn

ab 2
同理, 因 nl im xn b, 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有 从而 xn a2b
矛盾取 . 故 N b 假 2 a设m 不xn 真 N b a 1 ! , 因N a b b 2 2 2 此a a , 收则x 敛当数n列3a>a22的bNb极时x限nx,nx必n3满b唯a22a足b一的. 不等式
分析 当n无限增大时, xn无限接近于a .
当n无限增大时, |xna|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xna|可以任意小,要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意 小的正数.
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事 先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近 于常数a.
高等数学的特点
概念更复杂 理论性更强
表达形式更加抽象 推理更加严谨
高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极 限概念是高等数学的重要概念。
极限理论是高等数学的基础理论， 是高等数学的精华所在， 是高等数学的灵魂。
因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键， 也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。
例3.
设
xn0,且 lni m xna0,证明
lim
n
xn
a.
证:
0,
因为
lim
n
xn
a,
所以
当 n > N 时, 总有
从而
xn a

2.数列极限的定义
由上例可知我们需要研 究当n不断增大时， 数列xn的变化趋势.
极限的直观定义 1)： n无限增大时，如果 n ( 当 x 无限接近于某个常数 ，称a是数列x n的极限. a
记作 lim xn a 或 xn a ( n )
n
( 1)n1 1 ( 1)n 例. (1) xn 1 ; (2) xn 2n ; (3) xn . n 2
实现的.
2. 反映 xn与a的距离， 可以任意小 说明 xn与a的距离想要多小就可多 . 小
3. N反映在n无限增大的过程中 n增大到 , 什么程度就能使xn与a的距离小于 .

简单的说, lim xn a 指的是xn与a的距离想要
n
多小就可多小，只要 足够大。 n
即不管 取得多么小，当 足够大时, xn a . n
例如
2,4,8,,2 n ,;
1,1,1,, (1)
n1
{2 n }
,;
{(1)
n 1
}
数列的几何解释：
1.数列对应着数轴上一个点列 . 可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列也可看作定义在正整数集合上的函数 . 即 xn f (n), n N y x1 x3
怎样说明？
1 1 1 比如要使 xn 1 , 即 , 只要 n 10, 10 n 10 1 即数列第10项之后的所有项与 的距离小于 . 1 10 1 要使 xn 1 , 只要 n 100, 100
1 要使 x n 1 , 只要 n 1000 , 1000
一般的，对于任意给定 的正数 . 1 要使 xn 1 ， 只要 n , 这样就说明了xn与1 的距离想要多小就可多 小，