lecture1(II) 矢量与张量

矢量和张量vectors and tensors中山大学理工学院黄迺本教授(2005级,2007年3月)如果不理解它的语言,没有人能够读懂宇宙这本书,它的语言就是数学.——Galileo经典电动力学的研究对象——电磁相互作用的经典场论——狭义相对论——电动力学的相对论协变性主要数学工具微积分、线性代数、矢量与张量分析、数学物理方程、级数等.教材和参考书教材：郭硕鸿《电动力学》（第二版）高等教育出版社，1997参考书：[1]黄迺本，方奕忠《电动力学（第二版）学习辅导书》，高等教育出版社，2004[2]J.D.杰克孙《经典电动力学》人民教育出版社，1978[3]费恩曼物理学讲义，第2卷，上海科技出版社，2005[4]朗道等《场论》人民教育出版社，1959[5]蔡圣善等《电动力学》（第二版），高等教育出版社，2003[6]尹真《电动力学》（第二版），科学出版社，2005[7]Daniel R Frankl,ELECTROMAGNETIC THEORY,Prentice-Hall,Inc.,1986矢量和张量目录(contens)1.矢量和张量代数(the algebra of vectors and tensors)2.矢量和张量分析(the analysis of vectors and tensors)3.δ函数(δ function)4.球坐标系和柱坐标系1 矢量和张量代数在三维欧几里德空间中，按物理量在坐标系转动下的变换性质，可分为标量（零阶张量），矢量（一阶张量），二阶张量，及高阶张量.（见郭硕鸿，电动力学，P258）分为：0 阶张量，即标量(scalar)，在3维空间中，只有30 = 1个分量.标量是空间转动下的不变量.例如，空间中任意两点之间的距离r ，就是坐标系转动下的不变量.温度、任一时刻质点的能量、带电粒子的电荷、电场中的电势，等等,都是标量.1阶张量，即矢量(vector)，在3维空间中，由31 = 3个分量构成有序集合.例如，空间中任意一点的位置矢量r ，质点的速度v 和加速度a ,作用力F 和力矩M ,质点的动量p 和角动量L 、电流密度J ,电偶极矩p ,磁偶极矩m ,电场强度E ,磁感应强度B ,磁场矢势A ，等等都是矢量.2阶张量(tow order tensor )，在3维空间中，由32 = 9个分量构成有序集合.例如，刚体的转动惯量→→I ,电四极矩→→D ,等.3阶张量，在3维空间中，由33 = 27个分量构成有序集合.矢量表示印刷——用黑体字母，如 r , A 书写——在字母上方加一箭头，如 A r ,正交坐标系的基矢量正交坐标系(如直角坐标系,球坐标系,柱坐标系)基矢量321,e e e ,的正交性可表示为⎩⎨⎧≠===⋅ji j i ij 01δj i e e (1.1) 一般矢量A 有三个独立分量A 1，A 2，A 3，故可写成∑==++=31332211i i i A A A A ee e e A (1.2)矢量的乘积两个矢量的标积与矢积，三个矢量的混合积与矢积分别满足A B B A ⋅=⋅ (1.3)A B B A ⨯-=⨯ (1.4))()()(B A C A C B C B A ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ (1.5))()()(B A C A C B C B A ⋅⋅=⨯⨯- (1.6)并矢量与二阶张量两个矢量A 和B 并置构成并矢量j i e e e e e e e e AB j j i i B A B B B A A A ∑==++++=31,332211332211))(( (1.7)它有9个分量j i B A 和9个基j i e e ，一般地BA AB ≠.三维空间二阶张量也有9个分量ij T ，它的并矢量形式与矩阵形式分别为j i e e ∑=→→=31,j i ij T T (1.8)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211T T T T T T T T T T (1.9) 张量的迹是其主对角线全部元素(分量)之和：332211tr T T T T ++= (1.10)单位张量的并矢量形式与矩阵形式分别是332211e e e e e e ++=→→I (1.11)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I (1.12)因此(Ⅰ.1)式中的符号ij δ实际上是单位张量的分量.对称张量与反对称张量 若ij ji T T =，称之为对称张量，它有6个独立分量，若对称张量的迹为零，则它只有5个独立分量.单位张量是一个特殊的对称张量. 若ij ji T T -=，称之为反对称张量，由于0332211===T T T ，反对称张量只有3个独立分量.任何张量ij T 均可写成一个对称张量ij S 与一个反对称张量ij A 之和，即ij ij ij A S T +=，只需使)/2(ji ij ij T T S +=，)/2(ji ij ij T T A -=.二阶张量与矢量点乘，结果为矢量.由(Ⅰ.1)式，有∑∑∑∑==⋅=⋅→→ij j ij i j ki ij ji k k k ij ij k k T A e T A T A T e e e e A ji δ,, (1.13) ∑∑∑∑==⋅=⋅→→ij i ij j i ij k j i k k k k ij ij T A e T A A T T e e e e A jk j i δ,, (1.14)一般地A A ⋅≠⋅→→→→T T . 但单位张量与任何矢量点乘，均给出原矢量：A A A =⋅=⋅→→→→I I (1.15) 并矢量与并矢量、或二阶张量与二阶张量双点乘，结果为标量.运算规则是先将靠近的两个矢量点乘，再将另两个矢量点乘：))(()()(D A C B CD AB ⋅⋅=: (1.16)2 矢量和张量分析（1）算符∇和2∇物理量在空间中的分布构成“场”(field).表示“场”的物理量一般地是空间坐标的连续函数，也可能有间断点，甚至会有奇点.例如:温度T 、静电势ϕ的分布都构成标量场；电流密度J 、电场强度E 、磁感应强度B 、磁场矢势A 的分布都构成矢量场.∇是对场量作空间一阶偏导数运算的矢量算符，2∇=∇⋅∇是二阶齐次偏导数运算的标量算符，即拉普拉斯算符.在直角坐标系中z y x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e ，2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ (2.1) 三个基矢量z y x e ,e ,e 均是常矢量.（2）标量场的梯度(gradient of a scalar field)标量场ϕ在某点的梯度zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕe e e (2.2)是一个矢量，它在数值上等于ϕ沿其等值面的法向导数，方向沿ϕ增加的方向，即n dnd ϕϕ=∇ (2.3) 例如静电势ϕ的分布是一个标量场,E =-∇ϕ即变成矢量场——静电场.（3）矢量场的散度(divergence of a vector field)矢量场A 通过某曲面S 通量(flux)定义为⎰⋅=ΦSd S A (2.4) 其中n S dS d =是曲面S 某点附近的面积元矢量，方向沿曲面的法向n .对于闭合曲面(closed surface)，规定S d 的方向沿曲面的外法向.对于矢量场A 中包含任一点)(z y x ,,的小体积V ∆，其闭合曲面为S ，定义极限A S A ⋅∇=∆⋅⎰→∆Vd SV 0lim (2.5) 为矢量场A 在该点的散度，它是标量.在直角坐标系中zA y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A (2.6) 若0≠⋅=Φ⎰S d S A , 则该点散度0≠⋅∇A ，该点就是矢量场A 的一个源点； 若0=⋅=Φ⎰Sd S A ，则该点散度0=⋅∇A ，该点不是矢量场A 的源点. 若处处均有0=⋅∇A ，A 就称为无散场(或无源场)，它的场线必定是连续而闭合的曲线.磁场B 就是无散场(solenoidal field ).高斯定理(Gaussl theorem ) 对任意闭合曲面S 及其包围的体积V ，下述积分变换定理成立⎰⎰⋅∇=⋅S V A S A dV d (2.7) 由此推知，若A 是无散场，即处处有0=⋅∇A ，则A 场通过任何闭合曲面的净通量均为零.（4）矢量场的旋度(curl of a vector field)矢量场A 沿闭合路径(closed contour)L 的积分⎰⋅Ld l A 称为A 沿L 的环量(circulateon)，其中l d 是路径L 的线元矢量.若对任意闭合路径L ，均有0=⋅⎰Ld l A (2.8) 则称A 为保守场（conservative field ）.当闭合路径L 所围成的面积元S ∆是某点P 的无限小邻域，我们约定：路径积分的绕行方向即d l 的方向，与其所围成的面积元S ∆的法向n 成右手螺旋关系，并定义极限n LS S d )()(lim 0A n A l A ⨯∇=⋅⨯∇=∆⋅⎰→∆ (2.9)为矢量场A 在该点的旋度A ⨯∇在n 方向的分量.在直角坐标系中z x y y z x x y z yA x A x A z A z A y A e e e A )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇ (2.10) 它是矢量.按上述约定若()0>⨯∇n A ，则A 线在该点周围形成右手涡旋；若()0<⨯∇n A ，则A 线在该点周围形成左手涡旋；若()0=⨯∇n A ，A 线在该点不形成涡旋.如果所有点上均有0=⨯∇A ,A 就称为无旋场.例如静电场E 就是无旋场(irrotational field).斯托克斯定理(stokes theorem) 对任意的闭合路径L 所围的曲面S ，下述积分变换成立()S A l A Sd d L ⋅⨯∇=⋅⎰⎰ (2.11) （5） 矢量场的几个定理标量场的梯度必为无旋场：0=∇⨯∇ϕ (2.12)【证】对任意标量场ϕ的梯度zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕe e e 取旋度，可得[]0)()(=∂∂∂∂-∂∂∂∂=∇⨯∇yx x y x ϕϕϕ， []0=∇⨯∇y ϕ，[]0=∇⨯∇z ϕ 逆定理：无旋场必可表示成某一标量场的梯度，即若0=⨯∇A ,必可令ϕ∇=A例如对于静电场强度E ，就可用标势ϕ的负梯度描写: ϕ-∇=E .矢量场的旋度必为无散场：0=⨯∇⋅∇A (2.13)【证】0)()()(=∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂=⨯∇⋅∇y A x A z x A z A y z A y A x x y z x y z A 逆定理：无散场必可表成另一矢量场的旋度，即若0=⋅∇B , 必可令A B ⨯∇=例如对于磁感应强度B ，就可用矢势A 的旋度描写.（6）算符运算标量函数ϕ的梯度ϕ∇是矢量，矢量函数f 的散度f ⋅∇是标量，旋度f ⨯∇是矢量，而f ∇是二阶张量：∑∑∑===∂∂=∂∂=∇31,3131j i i j j j i i x f f x j i j i e e e e f (2.14)若ϕ和φ是标量函数，f 和g 是矢量函数，有ϕφφϕϕφ)()()(∇+∇=∇ (2.15) ϕϕϕ)()()(f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇ (2.16) ϕϕϕ)()()(f f f ⨯∇+⨯∇=⨯∇ (2..17) f g g f g f ⋅⨯∇⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(- (2.18) f g g f g f f g g f )()()()()(⋅∇+∇⋅⋅∇-∇⋅=⨯⨯∇- (2.19) g f g f f g f g g f )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ (2.20) g f g f fg )()()(∇⋅+⋅∇=⋅∇ (2.21) f f f 2)()(∇⋅∇∇=⨯∇⨯∇- (2.22)上述运算不必采用化成分量的方法进行，只要抓住算符∇的微分作用及其矢量性质，便可快捷准确地写出结果.当∇作用于两个函数的乘积（或两个函数之和）时，表示它对每一个函数都要作微分运算，可以先考虑∇对第一个量的作用，并将这个量记为∇的下标，以示算符只对此量执行微分运算，第二个量则视为常数，再考虑∇对第二个量的作用，此时亦将第二个量记为∇的下标，第一个量则视为常数；必须注意的是，算符不能与其微分运算对象掉换次序.例如(2.16)式，)(f ϕ⋅∇是对矢量f ϕ求散度，故运算结果的每一项都必须是标量，我们有ϕϕϕϕϕϕ)()()()()(f f f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇f又如(2.20)式，)(g f ⋅∇是对标量g f ⋅求梯度，结果的每一项都必须是矢量，先把它写成)()()(g f g f g f ⋅∇+⋅∇=⋅∇g f再根据三矢量的矢积公式(1.6)式，但结果中必须体现f ∇对f 的微分作用，以及g ∇对g 的微分作用，故有f g f g g f )()()(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇fg f g f g f )()()(∇⋅+∇⨯⨯=⋅∇gg f g f f g f g g f )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇右方所得结果中第二项实际上是f g ∇⋅，第四项是g f ∇⋅.（7）积分变换⎰⎰⋅=⋅∇SV d dV S A A )( （高斯定理） (2.23.) →→→→⋅=⋅∇⎰⎰T d dV T SV S )( (2.24) ⎰⎰⋅=⋅⨯∇LS d d l A S A )( （斯托克斯定理） (2.25) ⎰⎰⋅∇=∇+∇SV d dV S )()(22φϕϕφφϕ（格林公式） (2.26) ⎰⎰⋅∇-∇=∇-∇SV d dV S )()(22ϕφφϕϕφφϕ（格林公式） (2.27) 3 δ函数一维δ函数定义为 ⎩⎨⎧'≠'=∞='-x x x x x x 0)(δ (3.1) 1)(='-⎰b adx x x δ ，当b x a <'< (3.2) 主要性质为：)(x x '-δ为偶函数，其导数是奇函数；又若函数)(x f 在x x '=附近连续，有)()()(x f dx x x x f ba '='-⎰δ，当b x a <'< (3.3) 这一性质由中值定理可以证明.三维δ函数定义为⎩⎨⎧'≠'=∞='-x x x x x x 0)(δ (3.4) 1)(='-⎰VdV x x δ，当x '在V 内 (3.5) 因此，位于x '的单位点电荷的密度可表示为)()(x x x '-=δρ. (4.3)式可推广到三维情形，若函数)(x f 在x x '=附近连续，便有)()()(x x x x '='-⎰f dV f V δ，当x '在V 内 (3.6)4.球坐标系和圆柱坐标系直角坐标系当坐标),,(z y x 变化时，三个基矢z y x e ,e ,e 的方向保持不变.常用的微 分运算表达式为z y x zy x e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ (4.1) zA y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A (4.2) z x y y z x x y z y A x A x A z A z A y A e e e A )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇ (4.3) 2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ (4.4)曲线正交坐标系任一点的坐标也可用曲线正交坐标系描述，沿三个坐标),,(321u u u 增加方向的基矢量321e ,e ,e 互相正交，随着坐标变化，一般地三个基矢量的取向将会改变.无限小线元矢量l d 、坐标i u 的标度系数i h ，以及微分算符分别为333222111332211e e e e e e l du h du h du h dl dl dl d ++=++= (4.5)21222])()()[(ii i i u z u y u x h ∂∂+∂∂+∂∂= (4.6) 333222111111u h u h u h ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e (4.7) )]()()([13321322132113213212u h h h u u h h h u u h h h u h h h ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇ (4.8) 球坐标系r u =1，θ=2u ，φ=3u ；11=h ，r h =2，θsin 3r h =.三个基矢r e e =1，θe e =2，φe e =3的方向均与坐标θ和φ有关，而与r 无关.与直角坐标系基矢的变换为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x e e e e e e r 0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin φφθφθφθθφθφθφθ (4.9) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡φθθθφφθφθφφθφθe e e e e e r 0sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin z y x (4.10)坐标变换为φθcos sin r x =，φθsin sin r y =，θcos r z = (4.11)常用的微分运算表达式为φϕθθϕϕϕφθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11r r r re e e (4.12) φθθθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A r A r A r rr r sin 1)sin (sin 1)(122A (4.13) φθθφθφθφθφθθθe e e A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=⨯∇r r r A A r r r A r r A r A A rsin -))-(1(sin 11)sin (1 (4.14) 2222222sin 1)sin (sin 1)(1φϕθθϕθθθϕϕ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇r r r r r r (4.15) 立体角元、球面积元与体积元分别为φθθd d d sin =Ω (4.16) Ω===d r d d r dl dl dS r 2232sin φθθ (4.17) φθθd drd r dl dl dl dV sin 2321== (4.18)柱坐标系r u =1，φ=2u ，z u =3； 11=h ，r h =2，13=h .三个基矢量r e e =1，φe e =2 ，z e e =3中，r e 和φe 的方向均与坐标φ有关，z e 则为常矢量.与直角坐标系基矢的变换为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z e e e e e e r 1000cos sin 0sin cos φφφφφ (4.19) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z z y x e e e e e e r φφφφφ1000cos sin 0sin cos (4.20)坐标变换为φcos r x =，φsin r y =，z z = (4.21)常用的微分运算表达式为z r zr r e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕφϕϕϕφ1 (4.22) z A A r A r r r z r ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φφ1)(1A (4.23)z r z r r z A A r r r rA z A z A A r e e e A ]([1()1(φφφφφ∂∂-∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=⨯∇))-- (4.24)2222221)(1z r r r r r ∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∇ϕφϕϕϕ (4.25) 体积元为dz rdrd dl dl dl dV φ==321 (4.26)例1．设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u dudfu f ∇=∇)( (1) dud u u AA ⋅∇=⋅∇)( (2) dud u u AA ⨯∇=⨯∇)( (3) 【证】对于)(u f ∇，注意到du df u f =∂∂，有u drdf z u y u x u du df zf y f x f u f z y x z y x∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇)()(e e e e e e在直角坐标系中将矢量A 写成分量形式，便可证明(2)式和(3)式.例2．从源点（即电荷电流分布点）x '到场点x 的距离r 和矢径r 分别为222)()()(z z y x y x x r '-+'-+'-= z y x z z y -y x -x e e e r )-()('+'+'=)(对源变数x '和场变数x 求微商的算符分别为z y x z y x'∂∂+'∂∂+'∂∂=∇'e e e ,zy x zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e 证明下列结果，并体会算符∇'与∇的关系：rr r r=∇'-=∇ (单位矢量) (1) 3=⋅∇'-=⋅∇r r (2) 0=⨯∇'-=⨯∇r r (3)→→=∇'-=∇I r r (单位张量) (4) 311rr r r-=∇'-=∇(5)033=⋅∇'-=⋅∇rrr r ，（0≠r ） (6) 033=⨯∇'-=⨯∇r r r r (7)【证】 将算符∇与∇'分别作用于r 和矢径r 的表达式，可得到(1)至(4)式的结果.利用前面1.2题的第一式和本题(1)至(4)式的结果，得3211)(1rr r r dr r d r rr -=-=∇=∇- 0)(333=⋅∇+⋅∇=⋅∇-r r r -r r r ，（当0≠r ） 0)(333=⨯∇+⨯∇=⨯∇-r r r -r r r同理可证31r r r =∇'；03=⋅∇'rr ，当0≠r ；03=⨯∇'r r.事实上，对任意的标量函数)(r f 和矢量函数r )(r f ，不难证明)()(r f r f ∇'-=∇；])([])([r r r f r f ⋅∇'-=⋅∇ ])([])([r r r f r f ⨯∇'-=⨯∇；])([])([r r r f r f ∇'-=∇即算符∇与∇'存在代换关系∇'-→∇.这种代换将会经常用到.。

简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。

向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。

而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。

张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。

我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。

张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。

在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。

而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。

要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。

进而发展了张量分析。

现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。

比如泛函分析、纤维从理论等。

代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。

其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。

而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。

线性代数的精髓概念根本涉及不到。

这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。

现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。

这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。

公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。

武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。

应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。

附录 矢量与张量运算1标量﹑矢量与张量1.1基本概念在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和张量。

我们非常熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就可以表示其状态。

例如质量、压强、密度、温度等都是标量。

矢量则是在空间有一定取向的物理量，它既有大小、又有方向。

在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。

考虑直角坐标右手系，三个坐标轴分别以1、2和3表示，、2和3分别表示1、2和3方向的单位矢量。

如果矢量a 的三个分量分别为a 1、、a 2、a 3，则可以表示为也可以用以下符号表示 a =(a 1,a 2,a 3)矢量a 的大小以a 表示a =(a 12+a 22+a 32)1/2我们还会遇到张量的概念，可将标量看作零阶张量，矢量看作一阶张量，在此将主要讨论二阶张量的定义。

二阶张量w 有9个分量，用w ij 表示。

张量w 可用矩阵的形式来表示：w 其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。

若w ij =w ji ，则称为对称张量。

如果将行和列互相交换就组成张量w 的转置张量，记作w T ,则w T =显然，若w 是对称张量，则有w =w T 。

另外，如果w T =-w ，w 被称为反对称张量，同时有w ij =-w ji 。

任何一个二阶张量都可以写成两部分之和，一部分为对称张量，另一部分为反对称张量。

w =(w +w T )+ (w -w T )单位张量是对角分量皆为1，非对角分量皆为0的张量是最简单的对称张量。

张量对角分量之和称为张量的迹t r w =张量的迹是标量，如果张量的迹为零，称此张量为无迹张量。

1.2基本运算1.2.1矢量加法与乘法运算在几何上，矢量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

如图附-1所示，减法为加法的逆运算。

1e e e a 332211e e e a a a a ++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211w w w w w w w w w ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332313322212312111w w w w w w w w w 2121δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001δδ∑iiiw图附-1 矢量加减法在解析上，矢量加法（减法）为对应分量之和（差）。

我们都生活在形形色色的空间中。

数学上所说的空间就是点的集合，如果我们给这个点集赋予特定的空间结构（引入不同的确定关系）。

但世界上不存在毫无任何空间结构的“裸空间”。

如果我们赋予空间以线性结构（可加性与数乘性），则这个空间就叫做线性空间。

一、线性空间只要在点集中定义了加法和数乘两种代数运算，则称之为赋予空间以线性结构，这样的点集（空间）就叫做数域P上的线性空间。

其中用于数乘的数域P是指包含0和1的数集，并且数集对加、减、乘、除（0不作除数）运算是封闭的。

此外，实数域R上的线性空间叫做实线性空间，复数域C上的线性空间叫做复线性空间。

二、广义向量空间线性空间的元素是空间点，任一元素都可以用一组有序的数（x1，x2，…）（或曰一组空间坐标）来表示。

如果我们把空间点的一组坐标看作一种广义的向量，则线性空间又可视为广义向量的集合，称之为广义向量空间。

换句话说，线性空间的元素是广义的向量。

广义向量的维数可以有限，也可以无限。

所以线性空间的维数可以是有限的，也可以是无限的。

如果一组向量线性无关，则其中任何一个向量都无法用其余向量线性表出。

在一个向量组中，向量的极大线性无关组中向量的个数叫做向量组的秩。

向量组的秩必然等于向量的维数。

线性空间是向量的集合，其中的极大线性无关组不是唯一的，可以根据需要选取。

但同一空间中极大线性无关组的秩都是相等的。

其中选定的任何一个极大线性无关组，都可以作为线性空间的一组基向量，简称基。

所谓“基”的含义，就是说该空间中的任一个向量γ都可以用该组基向量的线性组合表出（数学上称之为线性表出或线性表示）。

即其中基的秩n叫做线性空间的维数，数组为向量γ在该组基下的表出系数（组合系数、表示系数），我们称之为向量γ在基下的坐标。

当选定一组基后，某个向量的一组坐标就是唯一的。

但线性空间的基不是唯一的，所以同一个向量在两组不同的基下的坐标也是不同的。

三、矢量空间线性空间的维数可以有限，也可以无限。

通常我们把有限维的实线性空间叫做矢量空间。

矢量与张量为什么学习张量1. 物理量： 标量 矢量 张量2. 客观性： 客观规律与坐标系（观察者）无关第一章：矢量 矢量：1.方向性2.合成结果与顺序无关不符合这两点要求的不是矢量。

转动具有大小和方向 但由于不满足交换律（第2要素），因而不是矢量。

基本运算：1. 点积 abcos ⋅=θa b a 与b 在a 上的投影之积。

分配律：()⋅+=⋅+⋅a b c a b a c 证明：+b c 的投影等于b 的投影与c 的投影之和 推论：① ()()α+β⋅λ+γ=αλ⋅+αγ⋅+βλ⋅+βγ⋅a b c d a c a d b c b d ② ()111223311b b b b ⋅=++⋅=b e e e e e ③ ()()()333i i j j i i i 1i 1i 1a b a b ===⋅=⋅=∑∑∑a b e e2.叉积 absin ⨯=θa b n有方向的平行四边形面积3混合积 ()⋅⨯u v w 六面体体积改变六面体底、高顺序 可证：()()()⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯u v w v w u w u v推论：① 叉积分配律：()⨯+=⨯+⨯a b c a b a c 证明：()()()()()()()⋅⨯+=+⋅⨯=⋅⨯+⋅⨯=⋅⨯+⨯v a b c b c v a b v a c v a v a b a c上式对任何矢量v 都成立，所以()⨯+=⨯+⨯a b c a b a c② ()()α+β⨯λ+γ=αλ⨯+αγ⨯+βλ⨯+βγ⨯a b c d a c a d b c b d ③ ()()112233112233a a a b b b ⨯=++⨯++a b e e e e e e123231312123123231312123a a a a a a a a a b b b b b b b b b ==-+e e e e e e ④ ()⨯⋅=a b c 231312123231312a a a a a a c c cb b b b b b -+123123123c c c a a a b b b = ⑤ ()()21232123123u u u v v v w w w ⋅⨯=u v w wuvT123123123123123123u u u u u u v v v v v v w w w w w w ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅u u u v u w v uv vv ww u w v w w线性相关：一组矢量i (i=1,2,k)a 中至少有一个矢量可以用其余的矢量线性组合表示：()j i i i j≠=α∑a a线性无关：()ki i i 1=α=∑a 0等效于i 0α=(i=1,2,k)三维空间中三个线性无关的矢量,,a b c ,如果其线性组合111111112223222223323323a b c 0a b c 0a +b +c =0a b c 0a b c 0a b c 0α⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ααα⇒α= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥α⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭ 则i 0α=，说明系数矩阵满秩。