附录矢量与张量运算
- 格式：docx
- 大小：147.16 KB
- 文档页数：14
下载文档原格式
合集下载
附录矢量与张量运算
附录 矢量与张量运算1标量﹑矢量与张量1.1基本概念在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和张量。
我们非常熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就可以表示其状态。
例如质量、压强、密度、温度等都是标量。
矢量则是在空间有一定取向的物理量，它既有大小、又有方向。
在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。
考虑直角坐标右手系，三个坐标轴分别以1、2和3表示，、2和3分别表示1、2和3方向的单位矢量。
如果矢量a 的三个分量分别为a 1、、a 2、a 3，则可以表示为也可以用以下符号表示 a =(a 1,a 2,a 3)矢量a 的大小以a 表示a =(a 12+a 22+a 32)1/2我们还会遇到张量的概念，可将标量看作零阶张量，矢量看作一阶张量，在此将主要讨论二阶张量的定义。
二阶张量w 有9个分量，用w ij 表示。
张量w 可用矩阵的形式来表示：w 其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。
若w ij =w ji ，则称为对称张量。
如果将行和列互相交换就组成张量w 的转置张量，记作w T ,则w T =显然，若w 是对称张量，则有w =w T 。
另外，如果w T =-w ，w 被称为反对称张量，同时有w ij =-w ji 。
任何一个二阶张量都可以写成两部分之和，一部分为对称张量，另一部分为反对称张量。
w =(w +w T )+ (w -w T )单位张量是对角分量皆为1，非对角分量皆为0的张量是最简单的对称张量。
张量对角分量之和称为张量的迹t r w =张量的迹是标量，如果张量的迹为零，称此张量为无迹张量。
1.2基本运算1.2.1矢量加法与乘法运算在几何上，矢量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
如图附-1所示，减法为加法的逆运算。
1e e e a 332211e e e a a a a ++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211w w w w w w w w w ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332313322212312111w w w w w w w w w 2121δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001δδ∑iiiw图附-1 矢量加减法在解析上，矢量加法（减法）为对应分量之和（差）。
张量概念及其基本运算
◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称
为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再求和。
3.求和约定
关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值，然后再求和， 这就叫做求和约定。 例如：
3
aibi aibi a1b1 a2b2 a3b3 i 1
3
aijbj aijbj ai1b1 ai2b2 ai3b3 j1 3
ai2i ai2i a121 a222 a323 i 1
ii
2
3 i 1
ii
2பைடு நூலகம்
( 11
22
33 )2
33
ij ij
ij ij
i1 j1
1111 1212 1313
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33
、 、 、 当取n时，n阶张量，M = 3n。
◆ 张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定 坐标转化关系的有序数组成的集合。
◆ 张量是矢量和矩阵概念的推广。标量是0阶张量，
矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量 好比立体矩阵，更高阶张量则无法用图形表示
◆ 张量出现的背景：我们的目的是要用数学量来表示
则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。
例如：
'i
xi
x1
,
x2
,
x3
ui 'i
ui xi
u1 x1
u2 x2
u3 x3
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii2 a121 a222 a323
为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再求和。
3.求和约定
关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值，然后再求和， 这就叫做求和约定。 例如：
3
aibi aibi a1b1 a2b2 a3b3 i 1
3
aijbj aijbj ai1b1 ai2b2 ai3b3 j1 3
ai2i ai2i a121 a222 a323 i 1
ii
2
3 i 1
ii
2பைடு நூலகம்
( 11
22
33 )2
33
ij ij
ij ij
i1 j1
1111 1212 1313
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33
、 、 、 当取n时，n阶张量，M = 3n。
◆ 张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定 坐标转化关系的有序数组成的集合。
◆ 张量是矢量和矩阵概念的推广。标量是0阶张量，
矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量 好比立体矩阵，更高阶张量则无法用图形表示
◆ 张量出现的背景：我们的目的是要用数学量来表示
则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。
例如：
'i
xi
x1
,
x2
,
x3
ui 'i
ui xi
u1 x1
u2 x2
u3 x3
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii2 a121 a222 a323
张量运算（ＰＤＦ）
∇ψ
=
∂ψ ∂r
er
+
1 r
∂ψ ∂θ
eθ
+
∂ψ ∂z
ez
∇·f
=
1 r
∂ ∂r
(rfr
)
+
1 ∂fθ r ∂θ
+
∂fz ∂z
∇
×
f
=
(
1 r
∂fz ∂θ
−
∂fθ ∂z
)
er
+
( ∂fr ∂z
−
∂fz ∂r
)
eθ
+
[
1 r
∂ ∂r
(rfθ
)
−
1 r
∂fr ∂θ
]
ez
∇2ψ
=
1 r
∂ ∂r
(r
∂ψ ∂r
★满足式(1)（距离保持不变）的线性变换称之为正交变换：
xixi = xixi = const
(1)
★空间转动属于正交变换。其系数矩阵αij 为一正交矩阵：
α˜α = I
★其中I为单位矩阵。
§ 2.2 张量的定义
【定义】 如果某一物理量T ，在三维笛卡儿坐标系下，由3n个有序分 量Tl···m描述，并且经过由坐标系Σ到Σ 的变换αij后，满足如下关系：
★同一般的矢量比较，∇算子具有微分、矢量两重特性。
◆∇算子的大小：
1 r
（量纲）
◆∇算子的方向：纵向
∇
=
ex
·
∂ ∂x
+
ey
·
∂ ∂y
+
ez
·
∂ ∂z
∇·
f
=
∂fx ∂x
(参考资料)矢量与张量常用公式的证明
矢量与张量常用公式的证明并矢的常用公式有（1）()()()AB A B A B ∇⋅=∇⋅+⋅∇K K K K K K（2）()()()AB A B A B ∇×=∇×−×∇K K K K K K设S 为区域Ω的边界曲面，n K为S 的法向单位矢量（由内指向外），有 （3）d ()d ()S S AB V AB Ω⋅=∇⋅∫∫K K K K Kv（4）d d S S A V A Ω×=∇×∫∫K K Kv（5）d d S S u V u Ω=∇∫∫Kv（6）d ()d ()S S AB V AB Ω×=∇×∫∫K K K K Kv（7）d d SS A V A Ω=∇∫∫K K Kv设L 为曲面S 的边界，L 的方向与S 的法线方向成右手螺旋关系，有（8）d d LSl u S u =×∇∫∫K Kv说明：以下的证明都是在直角坐标系下进行的，在直角坐标系下，kk e x ∂∇=∂K ，k e K为常矢量，可放在k x ∂∂前或后。
常把k x ∂∂记为k ∇，所以k k e ∇=∇K。
在证明过程中注意d d i i S S e =K K，d d i i l l e =K K ，时刻不忘爱因斯坦求和约定。
并且在证明过程中，经常利用公式i j i j k k e e e ε×=K K K ，ijk i j k A B A B e ε×=K K K ，ijk i j k A A e ε∇×=∇K K，()A B C ×⋅K K Kijk i j k A B C ε=等。
下面是证明过程：（1）()()()()k k i i j j k i j k i j AB e Ae B e A B e e e ∇⋅=∇⋅=∇⋅K K K K K K K K()()k i j ki j k k j j A B e A B e δ=∇=∇K Kj k kk k j j j j k k k k j j B A A B e B e A A B e ⎡⎤⎡⎤=∇+∇=∇+∇⎣⎦⎣⎦K K K ()()()()()()j j k k k k j j B e A A B e B A A B =∇+∇=∇⋅+⋅∇K K K K K K()()A B A B =∇⋅+⋅∇K K K K（2）()()()()k k i i j j k i j k i j AB e Ae B e A B e e e ∇×=∇×=∇×K K K K K K K K()i k j j k i kip p j A B B A e e ε=∇+∇K K（k i kip p e e e ε×=K K K ） kip i k j p j j kip k i p j A B e e B Ae e εε=∇+∇K K K K()()()()ikp i k p j j kip k i p j j A e B e Ae B e εε=−∇+∇K K K K （ijk i j k A B A B e ε×=K K K ，ijk i j k A A e ε∇×=∇K K ）()()()()A B A B A B A B =−×∇+∇×=∇×−×∇K K K K K K K K在后面的几个公式的中，要利用Gauss 公式d d S A S A V Ω⋅=∇⋅∫∫K K Kv ，Gauss 公式也可以写成d d SS A V A Ω⋅=∇⋅∫∫K K Kv ，或者d d i i i i SS A V A Ω=∇∫∫v 。
矢量和张量
• 假设 xi 和 xi 是共原点的两个笛卡尔右
手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中
的分量分别为vi 和 vi ，则有
vi lij v j
• lij cos(xi, xi ) 称为方向余弦，即 xi 与 x j
轴夹角的余弦。
方向余弦表
新坐标 轴
x1
x2
x3
老坐标轴
x1
x2
x3
l11
l12
l13
l21
• 根据线性变换的思想来定义张量。
• 标量不受坐标变换的影响，定义为零阶 张量，分量数=30=1。
• 满足 vi lijv j ，这些矢量称为一阶张量， 分量数=31=3。
• 满足 aij liml jnamn ，称为二阶张量，分量 数= 32=9。
• 满足aijk liml jnlkpamnp ，称为三阶张量， 分量数=33=27。
W U V
• W的大小等于由U和V组成的平行四边形 的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3
e1(u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3(u1v2 u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
U V (V U )
• 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
vi ,i
v1 x1
v2 x2
v3 x3
V
1.3.2 ij符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的 缩写形式，即
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
•由求和约定可得到
ii 11 22 33 3
• 由于
ij v j vi
手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中
的分量分别为vi 和 vi ，则有
vi lij v j
• lij cos(xi, xi ) 称为方向余弦，即 xi 与 x j
轴夹角的余弦。
方向余弦表
新坐标 轴
x1
x2
x3
老坐标轴
x1
x2
x3
l11
l12
l13
l21
• 根据线性变换的思想来定义张量。
• 标量不受坐标变换的影响，定义为零阶 张量，分量数=30=1。
• 满足 vi lijv j ，这些矢量称为一阶张量， 分量数=31=3。
• 满足 aij liml jnamn ，称为二阶张量，分量 数= 32=9。
• 满足aijk liml jnlkpamnp ，称为三阶张量， 分量数=33=27。
W U V
• W的大小等于由U和V组成的平行四边形 的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3
e1(u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3(u1v2 u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
U V (V U )
• 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
vi ,i
v1 x1
v2 x2
v3 x3
V
1.3.2 ij符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的 缩写形式，即
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
•由求和约定可得到
ii 11 22 33 3
• 由于
ij v j vi
矢量与张量(续)
笛卡尔张量的定义、张量的性质、各向同性张量
所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中—定 数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的 变换法则变换。n 阶张量满足以下的坐标变换规律：
T β β L β T iii2L in
i1 j1 i2 j2
in jn j1 j2L jn
张量有不同的阶和结构，这由它们所遵循的不同的变换法则来
• 矢量的旋度
算子与一个矢量V 的叉积可写成×V 的形式，称之为V 的
旋度，它的分量形式为：
e1 e2 e3 V ce1 (v1,3 v3,1)e2 (v2,1 v1,2)e3
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
x2
xi 正方向的单位基矢量
e i
V v1e1 v2e2 v3e3 viei
W U V u1 v1 e1 u2 v2 e2 u3 v3 e3
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
任意两矢量a和 b的点积: a b | a || b | cos(a, b)
由叉积定义,若 e1, e2 , e3 是直角坐标系的单位基矢量，则：
ei e j ei jkek
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
三矢量a,b,c的三重标量积或框积
[a,b,c] [b,c,a] [c,a,b] a (b c) aibjckeijk
aicibses aibicses (ac)b (ab)c
即
a(bc) (ac)b(ab)c
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
矢量、并矢和张量
(
)
)
(
并矢 并矢
1）两并矢的一次点乘 ： AB ⋅ CD = A B ⋅ C D = A B ⋅ C AD ≠ CD ⋅ AB
( )
(
)
)
2）两并矢的二次点乘 AB : CD = B ⋅ C A ⋅ D
(
)(
)
3）单位张量与矢量、张量的点乘
反向定律： A × B
逆向交换定律： A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B) 逆向变换定律： A × ( B × C) = B ⋅ (C ⋅ A) − C ⋅ ( A ⋅ B) 4、矢量微分
ˆ dA ˆ dA dA =A +A dt dt dt d ( A ⋅ B) dB dA = A⋅ + ⋅B dt dt dt
i, j
( (
(
) )
)
(
)
C ⋅ AB = C ⋅ A B = B C ⋅ A = B A ⋅ C = BA ⋅ C
(
)
(
)
(
)
电动力学讲稿●附录
AB × C = C × AB =
(
A B ×C C×A B
电动力学讲稿●附录
矢量、并矢和张量的计算
一、矢量 1、矢量表示形式
3 ˆ x + Ay e ˆ y + Az e ˆ z = ∑ Ai e ˆi A = Ax e i =1 3 ˆx + By e ˆ y + Bz e ˆ z = ∑i , j =1
矢量和张量
并矢量
二个矢量v和w的并矢积是二阶张量的一个 特殊形式，它的分量是该二矢量的分量之 积；于是并矢积vw是
单位张量
是对角分量皆为1，非对角分员皆为零的一 个张量：
单位张量的分量是δij，即克罗内克符号。还应注 意，单位张量的每一行(或列)分别是三个单位矢量 δ1，δ2，δ3的各个分量。
现在引入一组单位并矢量，总共有九个单位并矢量： 于是
一些矢量恒等式
矢量微分运算
• 矢量微分算符▽又称“nabla”或“del,”或哈密尔
顿算符（Hamiltonian operator） ，在直角座标系
下定义为：
1
x1
2
x2
3
x3
式中δi是单位矢 量i，ixi是xi 与座标轴1，2，3相关的变量
(xi是位置座标，通常记为x,y,z)。符号▽是一矢性算符； 它与矢量一样，具有三个分量，但不能单独存在，必
▽可得出一个标量积:
上式给出了以矢量v的分量的导数的一个集合，称为v 的散度(又常简写为divv)。散度运算有下面一些性质需 加注意：
矢量场的旋度
由此构成的矢量称为v的旋度。[▽ x v]的另一符号 记作curlv或rotv。德国文献中常采用后一种符号。 与散度一样，旋度运算满足分配律，但不满足交换 律和分配律。
一张量与一矢量的矢量积(或点积)
当一张量与一矢量作点积，得一矢量：
由上面这些结果，可容易地证得下 列恒等式，
含有张量和并矢量的微分运算
在并矢量中有一个重要的成员▽v，它在传 递过程中有着重要的用途，在直角坐标系 中▽v的表达为
用同样的方法可得
用上面的方法可以很方便地证明张量恒等式
一个张量微分恒等式的证明h2h3 h1Fra biblioteks q1
附录I：张量概念及其基本运算
Tx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎫ ⎪ Ty = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎬ ⎪ Tz = τ xz l + τ yz m + σ z n ⎭
T j = σ ij li
◆重复出现的角标称为哑标，不重复出现的角标称 为自由标。 ◆自由标不包含求和的意思，但它可表示该表达式 的个数。
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 13
Mechanics of Elasto-Plasticity
2 2 2 a = ∑ aii = a11 + a 22 +a 2 ii j =1 3
(σ ii )
2
⎛ ⎞ = ⎜ ∑ σ ii ⎟ = (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) 2 ⎝ i =1 ⎠
石家庄铁道大学工程力学系 16
Mechanics of Elasto-Plasticity
σ = σ x l 2 + σ y m 2 + σ z n 2 + 2 (τ xy lm + τ yz mn + τ zx nl )
σ = σ ij li l j
( i , j = x, y , z ) ( i , j = x, y , z )
(aii ) 2 = (a11 + a 22 + a33 ) 2
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 18
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 17
Mechanics of Elasto-Plasticity
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算 前优先求和。例：
附录：张量解析
【erst】 4．三个矢量a，b，c的混合积(标量) ：
5．三阶行列式的展开式为：
r,s,t正排列 r,s,t逆排
列
6．利用指标符，证明恒等式：
利用δ换标作用， 右端⇒左端
由e∼ δ恒等式(一对哑标），可知：
左端＝右端 ∴恒等式成立
一、求和约定、哑标
【利用哑标可把多个项缩写成一项】
爱因斯坦(A．Einstein)求和约定： 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则该项在该指标的取值范围内 遍历求和。该重复指标称为哑指标，简称哑标（如j）。 用哑标代替求和号∑，(A．4) 式简化成
通过哑指标可把多个项缩写成一项
二、自由标 二、自由标
⑴ δij定义： ⑵ δij的性质：
❶ δij的分量集合对应于单位矩阵。例如，3D：
❷ 定义表明它对指标i和j是对称的，即
❸ δij具有换标作用（换标符号） 即利用δij可以把线元长度平方的公式改写成:
利用δij定义，可以验证： ＝ δ11dx1dx1+δ12dx1dx2+δ13dx1dx3 +δ21dx2dx1+δ22dx2dx2+ δ23dx2dx3
❺ 一般地说，不能由等式
(A．12) “两边消去ai来自(A．13)1
≠
如果ai特定取值时(A．12)式可成立，如 可取(a1，a2，a3)=(1，0，0) ⇒ b1 ＝c1 同理，若取(a1，a2，a3)=(0，1，0) ⇒ b2 ＝c2 (a1，a2，a3)=(0，0，1) ⇒ b3 ＝c3 所以(A．13)式成立的前提是“ai任意”而不是简单地“消去ai”
练习
同理有：
二、排列（置换）符号erst
⑴符号erst三种定义：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
附录 矢量与张量运算1标量﹑矢量与张量1.1基本概念在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和张量。
我们非常熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就可以表示其状态。
例如质量、压强、密度、温度等都是标量。
矢量则是在空间有一定取向的物理量，它既有大小、又有方向。
在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。
考虑直角坐标右手系，三个坐标轴分别以1、2和3表示，、2和3分别表示1、2和3方向的单位矢量。
如果矢量a 的三个分量分别为a 1、、a 2、a 3，则可以表示为也可以用以下符号表示 a =(a 1,a 2,a 3)矢量a 的大小以a 表示a =(a 12+a 22+a 32)1/2我们还会遇到张量的概念，可将标量看作零阶张量，矢量看作一阶张量，在此将主要讨论二阶张量的定义。
二阶张量w 有9个分量，用w ij 表示。
张量w 可用矩阵的形式来表示：w 其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。
若w ij =w ji ，则称为对称张量。
如果将行和列互相交换就组成张量w 的转置张量，记作w T ,则w T =显然，若w 是对称张量，则有w =w T 。
另外，如果w T =-w ，w 被称为反对称张量，同时有w ij =-w ji 。
任何一个二阶张量都可以写成两部分之和，一部分为对称张量，另一部分为反对称张量。
w =(w +w T )+ (w -w T )单位张量是对角分量皆为1，非对角分量皆为0的张量是最简单的对称张量。
张量对角分量之和称为张量的迹t r w =张量的迹是标量，如果张量的迹为零，称此张量为无迹张量。
1.2基本运算1.2.1矢量加法与乘法运算在几何上，矢量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
如图附-1所示，减法为加法的逆运算。
1e e e a 332211e e e a a a a ++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211w w w w w w w w w ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332313322212312111w w w w w w w w w 2121δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001δδ∑iiiw图附-1 矢量加减法在解析上，矢量加法（减法）为对应分量之和（差）。
A +B =矢量的加法满足下列运算规律：（1） （1） 交换律 A +B =B +A （2） （2） 结合律 （A +B ）+C =A +（B +C ） （3） （3） 零矢量的特征 A +0=0+A =A （4） （4） -A 的特征 A +（-A ）=（-A ）+A =0一标量与一矢量的乘积仍为一矢量，其方向不变，只是大小作相应改变。
c A =c两个矢量点乘，结果为一标量，称为标量积，定义如下：=cos其中为矢量A 、B 的夹角。
单位矢量之间的标量积有特别重要的意义，用下式表示称为克罗内克（kroneker ）符号。
因此，两矢量点乘运算如下：即两矢量点乘的结果为两矢量对应分量（值）乘积之和。
显然，点乘有交换律：两个矢量叉乘，结果为一矢量，称为矢量积，定义如下：C =A B矢量C 的大小为C =ABsin ，其中为矢量A 、B 的夹角 ，C 的方向垂直于A 、B 两矢量所决定的平面，指向由右手定则确定，如图附-2所示。
因此，矢量叉乘不满足交换律，A B =-（B A ）图附-2 矢量叉乘单位矢量、的矢量积在方向上得分量为：由此引入交错单位张量（altermating unit tens o r ）εij kεij k =)(i i ii i ii i iiB A B A +=+∑∑∑e e e)(i i i i IicA A ∑∑=e eB A ⋅AB αα=⋅=j i ij e e δ⎩⎨⎧≠=j i j i ,0,1ijδiii ji ijij j i ijj i j jj i ii B A B A B A B A ∑∑∑∑∑∑∑==⋅=⋅=⋅δ)()()(e e e e B A A B B A ⋅=⋅⨯αα⨯⨯ejekejke ⨯ei⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=⨯⋅任两个相同时和当，时或，即不等但不按顺序排列，当，时或不等且按顺序排列，即当k j i ijk k j i ijk k j i k j i ,0132213321,,1312231,123,,,1e e e ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+中任两个相同、、当或，当或，当k j i ijk ijk ,0132213321,1312231123,1因此，叉乘运算可表示为利用上述结果，标量三重积的运算如下：介绍两个十分有用的关系式利用上面的运算方法及关系式，可以证明以下几个常用的矢量恒等式：=1.2.2矢量的微分运算矢量的微分运算符在直角坐标系中定义为称为哈密顿算符或那勃拉算符。
应该强调指出，这个算符是一个混合物，它必须遵守处理矢量的规则和偏微分规则这两者。
而且它只作为一个算符，不能单独使用，必须作用于一个标量或矢量来运算。
哈密顿算符可以直接参加运算，要遵守如下规则：（1） （1） 用“”代替“”； （2） （2） 进行通常的微分运算； （3） （3） 进行向量运算； （4） （4） 整理成的形式；（5）（5） 用“”代替。
例：试证明证明：321321321)())(B B B A A A B A B A B A B A kj i ijkijk j i k ijkijk ji j iji j ji i ii e e e e e e e e e B A ===⨯=⨯=⨯∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑εε)(C B A ⨯⋅()()321321321C C C B B B A A A C B A A iijkkj i ijk i i ==⨯=⨯⋅∑∑∑∑εC B C B A ∑∑∑-==kjmin jn im mnk ijkjkihhjk ijkδδδδεεδεε2)(C B A ⨯⋅)(A C B ⨯⋅)B A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯()()()(C B D A D B C A D)C B A ⋅⋅-⋅⋅=⨯⋅⨯)(())((()D C B A C D B A D C B A )()()()⋅⨯-⋅⨯=⨯⨯⨯(∇∑∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇ii i x x x x e e e e 332211∑∂∂i iix e ∇∑∂∂iiix e∇)()(b a a b b a ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇()我们还会遇到一种特殊微分2A ，称为 2=为拉普拉斯算符：算符2作用于矢量A2A =2即对各分量求导，并作矢量加和。
1.2.3三阶张量的加法与乘法首先，引入并矢的概念。
由两个矢量A 和B 组成的并矢量是一个二阶张量，其分量是两矢量的分量之积那么，对于单位矢量e 1、e 2 、e 3，由两个组成的并矢量 则有9个，分别是……利用单位并矢量，我们可以将张量写成如下形式：1.2.3.1张量的减法两个张量相加（减），前提必须是阶数相同的张量，其和（差）仍为一张量，该张量的分量为两张量对应分量之和（差）。
上述定义可以推广到多个张量相加减，由定义可知，张量的加法服从交换律和结合律。
1.2.3.2标量与张量相乘一标量与一张量相乘等于用该标量去乘张量的每一个分量，其结果仍为一张量。
ss s∑∑∑∑∑∑∂∂⨯-∂∂⨯⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⨯⋅-∂∂⨯⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯∂∂⋅-⨯∂∂⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⨯+⨯∂∂⋅=⨯∂∂⋅=⨯⋅∇i i i i i i i i i i i i i i i i i ii i iii x x x x x x x x x )()()(()()()()()(be a a e b b e a a e b a be b a e b a b a e b a e b a )(b a a b ⨯∇⋅-⨯∇⋅=()∇∇∇∇⋅∑∑∑∑∑∑∑∂∂=∂∂∂=∂∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∇⋅∇=∇i ij i ijijj i ji j i jj j i i i x x x x x x x 22222)(δe e e e ∇∇∇332211)(A A A A A i ii i ii 2222∇+∇+∇=∇=⋅∑∑e e e e e ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313322212312111B A B A B A B A B A B A B A B A B A AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0000000011e e 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00000001021e e ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10000000033e e τijj τe e τ∑∑=iji )(ij ij j i j i ij j i j i ij j i j i τστσ±=±=±∑∑∑∑∑∑e e e e e e τσ=τ()(j iji ij j iji e e e e ∑∑∑∑=τ)ij τ1.2.3.2矢量和张量点乘一矢量对一张量的点积为一矢量也就是说矢量的第k 个分量为用同样的运算可以得到张量对矢量的点积，若为对称张量，则有，否则。
由上述定义可知，矢量和张量的点乘服从分配律AA A (A +B )=A +B1.2.3.4 张量与张量点乘两张量的点乘分为单乘和双点乘两种。
两张量单点乘的结果为一张量。
由此可见，张量的单点乘服从分配律，不服从交换律 两张量双点乘的结果的一标量两个并矢或并矢和矢量的单点积是指把它们相邻的两个矢量进行缩并，如显然，并矢单点积的次序是不可交换的，否则进行缩并的两个相邻矢量就改变了。
两个并矢的双点积是指把它们最邻近的四个矢量两两缩并。
由此，对单位并矢量和单位矢量有如下结果∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===⋅=⋅=⋅kiik i k iki ijk jk i k ijkij jki k j ijki jkjk k j i ii A A A A e e A )()()()(τττδττe e e e e e e τA τA ⋅ikii A τ∑)(i iki kk A e ∑∑=⋅τA ττA ττA ⋅=⋅A ττA ⋅≠⋅()=+⋅τσ+⋅στ⋅⋅τ⋅τ⋅τklij l ijkli kl l klk ij j iji τστσ)()()(e e e e e e e e τσk j ⋅=⋅=⋅∑∑∑∑∑∑∑∑)(jl jij l ili jlij l ijli klij l i ijkljk τστστσδ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===e e e e e e jiijij kl ij il ijkljk klij l k j ijkli kl l klk ij j iji τστσδδτστσ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑====):()(:)(e e e e e e e τσe :CD A D AB D C AD C B CD)AB A C B C AB C B A BC A )()()()(()()()()()(⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅))((:D A C B CD AB ⋅⋅=1.2.4几个积分定理在后面场论的计算中，我们会遇到关于矢量与张量的积分运算。