台州市高一下学期期末数学测试题

浙江省台州市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α ，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1 ，那么l1的倾斜角为（）A . α＋45°B . α－135°C . 135°－αD . 当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°2. （2分） (2016高一下·衡阳期中) sin20°cos40°+cos20°sin40°的值等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·吕梁月考) 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A . ①是棱台B . ②是圆台C . ③不是棱锥D . ④是棱柱4. （2分） (2016高一下·鞍山期中) tan10°tan20°+tan10°+tan20°=（）A .B . 1C .D .5. （2分） (2016高三上·德州期中) 已知，x∈（0，π），则tanx=（）A . -B .C .D . -6. （2分）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一下·雅安期中) 如图,无人机在离地面高的处,观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为 ,已知，则山的高度为（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·贵港模拟) 用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·赣州开学考) 已知点M（﹣1，2），N（3，3），若直线l：kx﹣y﹣2k﹣1=0与线段MN相交，则k的取值范围是（）A . [4，+∞）B . （﹣∞，﹣1]C . （﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）D . [﹣1，4]10. （2分）(2020·长沙模拟) 关于三个不同平面与直线，下列命题中的假命题是（）A . 若，则内一定存在直线平行于B . 若与不垂直，则内一定不存在直线垂直于C . 若，，，则D . 若，则内所有直线垂直于11. （2分）已知三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在球O的表面上，PB⊥底面ABC，AC=2，PB=6，且sin∠ABC= ，则球O的表面积为（）A . 80πB . 96πC . 100πD . 144π12. （2分）(2018·银川模拟) 如果圆上总存在到原点的距离为的点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）直线l1与直线l2：y＝3x＋1平行，又直线l1过点(3,5)，则直线l1的方程为________.14. （1分）在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．15. （1分）(2018·长宁模拟) 在△ 中，角、、所对的边分别为、、，若，则 ________.16. （1分）已知方程x2+y2+4x﹣2y﹣4=0，则x2+y2的最大值是________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2013·江苏理) 如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．18. （10分）(2018·绵阳模拟) 已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 .（1）求和的值；（2）若，求的值.19. （10分）已知直线l1：3x﹣y﹣1=0，l2：x+y﹣3=0，求：（1）直线l1与l2的交点P的坐标；（2）过点P且与l1垂直的直线方程．20. （10分）(2018高一下·衡阳期末) 已知的内角的对边分别为，且（1）求角；（2）若，求面积的最大值.21. （10分） (2018高一下·江津期末) 如图，在中，已知，D是BC边上的一点，（1）求的面积；（2）求边的长.22. （10分）(2020·漳州模拟) 已知椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，且点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设A、B分别是椭圆的左、右顶点，动点M满足，垂足为B，连接AM交椭圆于点P（异于A），则是否存在定点T，使得以线段MP为直径的圆恒过直线BP与MT的交点Q，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

浙江省台州市高一下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知向量，且，则mt的取值范围是（）A .B .C . [-1,1]D . (-1,1)2. （2分）的值为（）A .B .C .D .3. （2分）从某校高三100名学生中采用系统抽样的方法抽取10名学生作代表，学生的编号从00到99，若第一组中抽到的号码是03，则第三组中抽到的号码是（）A . 22B . 23C . 32D . 334. （2分） (2018高一上·西宁期末) 弧长为3，圆心角为的扇形面积为（）A .B .C . 2D .5. （2分）(2018·北京) 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A .B .C .D .6. （2分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则A . 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B . 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差C . 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数D . 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差7. （2分） (2016高一上·佛山期中) 本来住校的小明近期“被”走读，某天中午上学路上，一开始慢悠悠，中途又进甜品店买了杯饮料，喝完饮料出来发现快要迟到了，于是一路狂奔，还好，终于在规定的时间内进了校门，奈何汗湿了衣裳．那么问题来了：若图中的纵轴表示小明与校门口的距离，横轴表示出发后的时间，下面四个图形中，较符合小明这次上学经历的是（）A .B .C .D .8. （2分）在一次模拟考试后，从高三某班随机抽取了20位学生的数学成绩，其分布如下：分数在130分（包括130分）以上者为优秀，据此估计该班的优秀率约为（）A . 10%B . 20%C . 30%D . 40%9. （2分） (2017·南阳模拟) 已知P，Q为动直线y=m（0＜m＜）与y=sinx和y=cosx在区间上的左，右两个交点，P，Q在x轴上的投影分别为S，R．当矩形PQRS面积取得最大值时，点P的横坐标为x0 ，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·定州期中) 某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查对食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）在中，a=15,b=10,A=60°，则（）.A . －B .C . －D .12. （2分）动点P满足,则动点P的轨迹一定通过的（）A . 重心B . 垂心C . 内心D . 外心二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·南京模拟) 为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为________．14. （1分） (2016高一下·潮州期末) 在区间[﹣1，4]内任取一个实数a，则方程x2+2x+a=0存在两个负数根的概率为________15. （1分）(2017·石嘴山模拟) 设向量 =（cosα，﹣1）， =（2，sinα），若⊥ ，则tan（α﹣）=________．16. （1分） (2019高二上·四川期中) 给出下列说法:①方程表示的图形是一个点;②命题“若，则或”为真命题;③已知双曲线的左右焦点分别为，，过右焦点被双曲线截得的弦长为4的直线有3条;④已知椭圆上有两点，，若点是椭圆上任意一点，且，直线，的斜率分别为，，则为定值 .其中说法正确的序号是________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2017高一下·平顶山期末) 已知向量 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ）， =（{1，0）．（1）求向量 + 的长度的最大值；（2）设α= ，＜β＜，且⊥（﹣），求的值．18. （10分） (2016高一上·兴国期中) 已知任意角α的终边经过点P（﹣3，m），且cosα=﹣（1）求m的值．（2）求sinα与tanα的值．19. （5分）(2018·齐齐哈尔模拟) 近年来,随着科学技术迅猛发展,国内有实力的企业纷纷进行海外布局,如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头,某品牌手机公司一直默默拓展海外市场,在海外设多个分支机构需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度随机调查了100位员工,得到数据如下表:愿意接受外派人数不愿意接受外派人数合计80后20204090后402060合计6040100(Ⅰ)根据调查的数据,判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”,并说明理由;(Ⅱ)该公司选派12人参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80后员工中用分层抽样方法抽出6名,组成80后组,在参与调查的90后员工中，也用分层抽样方法抽出6名，组成90后组①求这12 人中,80后组90后组愿意接受外派的人数各有多少?②为方便交流,在80后组、90后组中各选出3人进行交流,记在80后组中选到愿意接受外派的人数为 ,在90 后组中选到愿意接受外派的人数为 ,求的概率.参考数据:参考公式:，其中20. （5分）(2019·湖州模拟) 已知函数 .（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）求方程在区间内的所有实根之和.21. （10分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲82 81 79 78 95 88 93 84乙92 95 80 75 83 80 90 85（1）用茎叶图表示这两组数据；若将频率视为概率，对甲学生在培训后参加的一次数学竞赛成绩进行预测，求甲的成绩高于80分的概率；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两中）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．22. （10分）已知函数f（x）=sin[ωπ（x+ ）]的部分图象如图，其中P为函数图象的最高点，PC⊥x 轴，且tan∠APC=1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[1，2]，求函数f（x）的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

台州市2022学年第二学期高一年级期末质量评估试题数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.复数12i --在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C【分析】求出复数在复平面内对应的点的坐标作答.【详解】复数12i --在复平面内对应的点(1,2)--位于第三象限.故选：C2.已知向量()1,a m = ，()2,1b =-r ，且a b ∥，则实数m =（）A.-2B.12-C.12D.2B【分析】利用向量平行的坐标公式即可.【详解】a b ∥，由向量平行的坐标公式可得：120,m --=1,2m =-故选：B.3.我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即222222122⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭c a b S c a ，其中a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积.若某三角形三边a ，b ，c ，满足1b =，1ca =，则该三角形面积S 的最大值为（）A.24 B.34C.22D.32B【分析】把给定数据代入公式，再利用均值不等式求解作答.【详解】依题意，22221112131()1()22224c a caS+--=-≤-=，当且仅当1c a==时取等号，所以该三角形面积S的最大值为3 4 .故选：B4.已知表面积为27π的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（）A.3B.32C.6D.43 A【分析】根据题意结合圆锥侧面展开图的性质列式求解.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意可得2ππ27π12π2π2r rlr l⎧+=⎪⎨=⨯⎪⎩，解得36rl=⎧⎨=⎩.故选：A.5.一个袋子中装有大小和质地相同的5个球，其中有2个黄色球，3个红色球，从袋中不放回的依次随机摸出2个球，则事件“两次都摸到红色球”的概率为（）A.14 B.310 C.13 D.12B【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意记2个黄色球为A、B，3个红色球为a、b、c，从中摸出2个球的可能结果有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc共10个，其中两次都摸到红色球的有ab，ac，bc共3个，故所求概率310 P=.故选：B6.抛掷一枚骰子5次，记录每次骰子出现的点数，已知这些点数的平均数为2且出现点数6，则这些点数的方差为（）A.3.5B.4C.4.5D.5B【分析】根据题意结合平均数、方差的计算公式求解.【详解】不妨设这5个出现的点数为{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5i x i ∈∈，且125x x x ≤≤⋅⋅⋅≤，由题意可知：56x =，因为这些点数的平均数为2，则512510ii x==⨯=∑，可得414i i x ==∑，所以{}1,1,2,3,4i x i =∈，即这5个数依次为1,1,1,1,6，可得这些点数的方差为()()()()()2222221121212126245s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦.故选：B.7.正三棱台111ABC A B C -中，1AA ⊥平面11B BCC ，112AB A B =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A.25 B.35C.45D.215A【分析】将正三棱台111ABC A B C -补全为正三棱锥S ABC -，取1SC 的中点D ，连接1B D ，AD ，则11//B D BC ，则1AB D ∠即为异面直线1AB 与1BC 所成的角（或补角），再由余弦定理计算可得.【详解】如图将正三棱台111ABC A B C -补全为正三棱锥S ABC -，因为1AA ⊥平面11B BCC ，即SA ⊥平面SBC ，根据正三棱锥的性质可得SB ⊥平面SAC ，SC ⊥平面SBA ，,SB SC ⊂平面SBC ，所以SA SB ⊥，SA SC ⊥，又SC ⊂平面SAC ，SB SC ⊥，又112AB A B =，所以1B 为SB 的中点，同理可得1A 为SA 的中点，1C 为SC 的中点，取1SC 的中点D ，连接1B D ，AD ，则11//B D BC ，所以1AB D ∠即为异面直线1AB 与1BC 所成的角（或补角），不妨令2SB =，则221125AB =+=，22117222AD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，22115122B D ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，在1AB D △中由余弦定理222111112cos AD AB DB AB DB AB D =+-⋅∠，即()22211755525cos 222AB D ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯∠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12cos 5AB D ∠=，所以异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为25.故选：A8.如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 上的点，2AC AB =，1CD =，3AE EC =，ADB EDC α∠=∠=，则cos α=（）A.32B.33C.23D.34D【分析】作DC 的四等分点，使得//EF AD ，然后在三角形ABC 与三角形ABD 中，使用余弦定理表示出22522x AD -=，再结合ADB EDC α∠=∠=，两次使用余弦定理22229116cos 312244DE EF AD xAD AD α+-+-==，从而解得所需要的边长，解出cos α.【详解】设,2,AB x AC x ==在三角形ABC 与三角形ABD 中，2222144cos ,24x AD x x B x x +-+-==解得：2252,2x AD -=作DC 的四等分点，且3DF FC =,由题意知，31,44DF FC ==，又因为3AE EC =，所以//EF AD ,ADB EFD α∠=∠=,又ADB EDC α∠=∠=，所以EFD EDF α∠=∠=,1,4ED EF AD ==在三角形ABD 与三角形EDF 中，22229116cos ,312244DE EF AD xAD AD α+-+-==化简得:222AD x -=,代入2252,2x AD -=解得：2,2x AD ==,从而解得：2213cos ,24AD x AD α+-==故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A 、B ，满足()32n Ω=，()16n A =，()8n B =，()20n A B ⋃=，则下列结论正确的是（）A.()12P A =B.()18P AB =C.A 与B 互斥D.A 与B 相互独立ABD【分析】根据概率的基本概念()()()n A P A n =Ω和独立事件的基本运算()()()P AB P A P B =求解即可.【详解】因为()32n Ω=，()16n A =，()8n B =，()20n A B ⋃=，所以()161322P A ==，故A 选项正确；作出示意图如下，则A 与B 不互斥，故C 选项错误；又()()()()()414,328n AB n A n B n A B P AB =+-=== ，()81324P B ==，()()()111248P A P B P AB ⋅=⨯==,所以事件A 与B 相互独立，故B 、D 选项正确；故选：ABD.10.已知m ，n ，l 是空间中三条不同直线，α，,β，γ是空间中三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若m α⊂，m β∥，n β⊂，n α∥，则αβ∥B.若m αβ= ，n αγ= ，l βγ= ，m n ∥，则m l ∥C.若αβ⊥，αγ⊥，m βγ= ，则m α⊥D.若m αβ= ，αβ⊥，n m ⊥，则n β⊥BC【分析】对于A 、D ：在正方体中举反例说明；对于B 、C ：根据线面平行的性质定理分析判断.【详解】对于选项A ：在正方体中，BC ⊂平面ABCD ，BC ∥平面11ADD A ，11A D ⊂平面11ADD A ，11A D ∥平面ABCD ，满足条件，但平面ABCD ⋂平面11ADD A AD =，故A 错误；对于选项D ：平面11ABB A ⊥平面11ADD A ，平面11ABB A 平面111ADD A AA =，1AA AC ⊥，满足条件，但AC 与平面11ABB A 、平面11ADD A 均不垂直，故D 垂直，对于选项B ：因为m n ∥，由线面平行的判定定理可得m γ∥，根据线面平行的性质定理可得m l ∥，故B 正确；对于选项C ：若αβ⊥，则存在异于m 的直线l β⊂，使得l α⊥，因为αγ⊥，则l //γ，根据线面平行的性质定理可得m l ∥，所以m α⊥，故C 正确.故选：BC.11.如图，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，22BC AB ==，点E 是边AD 上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（）A.当点E 是AD 的中点时，12BD BE BC=+B.存在点E ，使得12BA BC CE⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭C.EB EC ⋅ 的最小值为14-D.若CE xCB yCD =+，,R x y ∈，则2x y +的取值范围是[]2,3ACD【分析】对于A ，利用向量的线性运算即可；对于B ，若存在，则向量数量积为0，然后利用向量数量积的坐标公式列方程，判断方程是否有解即可；对于C ，利用向量数量积的坐标公式将EB EC ⋅转化为一个二次函数即可；对于D ，利用向量线性运算的坐标表示，将2x y +转化为一个关于t 的方程，根据t 的范围求解即可.【详解】对于A ，当点E 是AD 的中点时，1=2BD BA BC BE EA BC BE BC =+++=+，故A 正确；对于B ，以点B 为原点，BC 为x轴，建立平面直角坐标系，=60B ∠︒，22BC AB ==,易得：()13532,0,,,,2222C A D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点E 是边AD 上的动点,设315,,222E t t ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32,2CE t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()13,,2,022BA BC ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,()()1113722222442t BA BC CE BA CE BC CE t t ⎛⎫∴-⋅=⋅-⋅=-+--=- ⎪⎝⎭，1522t ≤≤ ，所以102BA BC CE ⎛⎫-⋅≠ ⎪⎝⎭ ，即不存在点E ，使得12BA BC CE ⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ，33,,2,22EB t EC t ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22331221444EB EC t t t t t ⋅=--+=-+=-- ，故当1t =时，EB EC ⋅ 取到最小值14-，故C 正确；对于D ，若CE xCB yCD =+ ，即()3132,2,0,222t x y ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12223322t x y y ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，15241x t y ⎧=-+⎪∴⎨⎪=⎩，即131242x y t +=-，1522t ≤≤ ，13122342x y t ∴≤+=-≤，故D 正确；故选：ACD12.四面体ABCD 中，2AB BC CD DA BD =====，AC m =，则有（）A.存在m ，使得直线CD 与平面ABC 所成角为π3B.存在m ，使得二面角A BC D --的平面角大小为π3C.若2m =，则四面体ABCD 的内切球的体积是6π27D.若3m =，则四面体ABCD 的外接球的表面积是28π3BCD【分析】选项A 根据条件作出平面ABC 过点D 的垂线，进而找出直线CD 与平面ABC 所成角为π3，推出矛盾，故排除；选项B 根据条件作出二面角A BC D --的平面角，根据二面角A BC D --的平面角大小为π3求出m 即可；选项C 利用等体积法求正四面体的内切球半径；选项D 利用公式222R r d =+求三棱锥外接球半径.【详解】对于选项A ，取AC 中点E ，连接,E D E B ，过D 作DF BE ⊥，交EB 于点F .因为AB BC CD DA ===，所以,ED AC EB AC ⊥⊥，又ED EB E ⋂=，ED ⊂平面BED ，EB ⊂平面BED ，所以AC ⊥平面BED ，又DF ⊂平面BED ，所以AC DF ⊥.又因为DF BE ⊥，AC BE E ⋂=，AC ⊂平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，所以DF ⊥平面ABC ，所以FCD ∠为直线CD 与平面ABC 所成角.若π3FCD ∠=，因为2CD =，则3DF =，1CF =，又因为DB DC DA ==，所以F 为ABC 的外心，故1FB CF ==，所以2FB CF BC +==，所以F BC ∈；又因为F 为ABC 的外心，且AB BC =，所以F BC ∉，出现矛盾，故选项A 错误；对于选项B ，取BC 中点G ，连接,GF GD ，因为DB DC =，所以BC GD ⊥，又因为DF ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以DF BC ⊥，又DG DF D Ç=，DG ⊂平面DGF ，DF ⊂平面DGF ，所以BC ⊥平面DGF ，又GF ⊂平面DGF ，所以BC GF ⊥，所以DGF ∠是二面角A BC D --的平面角，若π3DGF ∠=，因为3DG =，所以32DF =.在Rt BDF △中，22372()22BF =-=，所以ABC 的外接圆半径为72，在ABC 中，由正弦定理得，72sin 2AC ABC =⨯∠，所以sin 7m ABC ∠=；由余弦定理得，22448cos 2228m m ABC +--∠==⨯⨯，由22sin cos 1ABC ABC ∠+∠=得4217m =，故选项B 正确；对于选项C ，当2m =时，四面体ABCD 为棱长为2的正四面体，底面BCD 上的高3DG =，233DH =，正四面体ABCD 的高h ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭222326233，正四面体ABCD 的体积213262223433V ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，正四面体ABCD 的表面积2342434S ⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭，设四面体ABCD 的内切球的半径为r ，13V S r =⋅ 3226643V r S ∴===，所以四面体ABCD 的内切球的体积为3146ππ327V r ==，故选项C正确；对于选项D ，四面体ABCD 中3AC =，设四面体ABCD 外接球球心为O ，取BD 中点M ，连接AM 、CM 、OM ，则3AM CM ==且,AM BD CM BD ⊥⊥，所以AMC ∠为二面角A BD C --的平面角，3391cos 2233AMC +-∠==-⨯⨯，所以2π3AMC ∠=.设1O 、2O 分别是平面ABD 和平面BCD 的外接圆圆心，则21333O M CM ==在2Rt OMO 中，2π3OMO ∠=，21OO ∴=.在2Rt OO C 中，22321133OC ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，即外接球的半径213R =.∴四面体ABCD 的外接球的表面积228π34πS R ==，故选项D 正确.故选：BCD .定义法求线面角的关键是作出平面的垂线，找到斜线与投影的夹角；定义法求二面角的关键也是作出平面的垂线，根据三垂线定理找到二面角的平面角.三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.已知复数1i z =-（i 为虚数单位），则z =____________.2【分析】利用复数模的定义计算作答.【详解】复数1i z =-，所以221(1)2z =+-=.故214.已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为3，在正方体的顶点中，到平面1ADB 的距离为3的顶点可能是______________.（写出一个顶点即可）A （A ，C ，1B ，1D 任填一个即可）【分析】根据题意结合等体积法求点到面的距离以及面面平行的性质分析判断.【详解】显然1,,A D B 在平面1A DB 内，不合题意，设点A 到平面1A DB 的距离为d ，可知1132A B A D BD ===，因为11A A DB A ADB V V --=，则11311323233332232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得3d =，设AC BD O = ，即AC ⋂平面1A DB O =，且O 为AC 的中点，所以点C 到平面1A DB 的距离为3d =，可证平面1A DB //平面11CD B ，则平面11AD B 上任一点到平面1A DB 的距离为3d =，所以C ，1B ，1D 符合题意，由图易知点1C 到面1A DB 的距离大于3d =，综上所述：平面1A DB 的距离为3的顶点有且仅有A ，C ，1B ，1D .故A （A ，C ，1B ，1D 任填一个即可）.15.在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知B θ=，2b =，2c =，若ABC 有两解，则θ的取值范围是_____________.π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据正弦定理结合大边对大角即可.【详解】由正弦定理得：sin sin b c B C=，即22sin sin C θ=，sin 2sin C θ=，若ABC 有两解，则2sin 2sin 1,sin 2C θθ=<<，且c b >，即π2θ<，所以π04θ<<，故π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭16.已知平面向量a ，b ，c 均为非零向量，214a b c a a ⋅=⋅= ，且2a c b k a ++= ，R k ∈，则k 的最小值为____________.74【分析】根据向量数量积的性质结合条件即得.【详解】因为平面向量a ，b ，c 均为非零向量，214a b c a a ⋅=⋅= ，且2a c b k a ++= ，所以227224a a a k a c b a a a b a c ⋅⋅=++⋅≥++= ，即74k ≥，所以k 的最小值为74.故74四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数2i z =-，i 为虚数单位.（1）求2z ；（2）若z 是关于x 的方程()220,x px q p q ++=∈R 一个根，求p ，q 的值.（1）34i-（2）8p =-，10q =【分析】（1）利用复数的四则运算法则求解；（2）利用复数的四则运算法则以及复数相等的条件求解.【小问1详解】()2222i 44i i 34i z =-=-+=-.【小问2详解】()()222i 2i 0p q -+-+=，即()628i 0p q p ++-+=，620,80.p q p ++=⎧⎨+=⎩，解得8p =-，10q =.18.已知a ，b 是非零向量，①3a b = ；②6,πa b 〈〉= ；③a b b -= .（1）从①②③中选取其中两个作为条件，证明另外一个成立；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）（2）在①②的条件下，()()a b a b λ+⊥- ，求实数λ.（1）证明见解析；（2）95.【分析】（1）选择①②，选择①③，选择②③，利用平面向量数量积的定义、运算律推理作答.（2）利用垂直关系的向量表示，平面向量数量积的定义、运算律求解作答.【小问1详解】选①②：若3a b = ，6,πa b 〈〉= ，则()2222a b a b a a b b-=-=-⋅+ 222π323cos 6b b b b =-+= ，所以③成立.选①③：由a b b -= ，得2222a a b b b -⋅+= ，而30a b => ，则22323cos ,0b b a b -〈〉= ，即3cos ,2a b 〈〉= ，又0,πa b ≤〈〉≤ ，所以6,πa b 〈〉= ，②成立.选②③：由a b b -= ，得2222a a b b b -⋅+= ，而6,πa b 〈〉= ，则2π2cos 06a a b -= ，整理得230a a b -= ，而||0a > ，所以3a b = ，①成立.【小问2详解】由()()a b a b λ+⊥- ，得()()0a b a b λ+⋅-= ，()2210a a b b λλ+-⋅-= ，而3a b = ，6,πa b 〈〉= ，因此()222331302b b b λλ+-⋅-= ，又||0b > ，所以95λ=.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，12AA AC ==，D 为AC 的中点.（1）求证：1AB //平面1C DB ；（2）求三棱锥11B DBC -体积的最大值.（1）证明见解析（2）13【分析】（1）根据题意结合线面平行的判定定理分析证明；（2）根据题意利用转换顶点法，结合基本不等式运算求解.【小问1详解】连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE ，因为D ，E 分别是AC ，1B C 的中点，则1//AB DE ，且1AB ⊂平面1C DB ，DE ⊂平面1C DB .所以1AB ∥平面1C DB .【小问2详解】过点D 作DF 垂直BC 交于点F ，因为AB BC ⊥，则DF//AB ，所以F 为BC 的中点，因为1CC ⊥平面ABC ，DF ⊂平面ABC ，则1CC DF ⊥，1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面11B BCC ，则DF ⊥平面11B BCC ，设BC a =，则211422DF AB a ==-.()11111122241111436623B DBC D B BC B BC a a V V S DF a a --+-==⋅=-≤⨯= .当且仅当2a =时，等号成立，所以三棱锥11B DBC -的体积的最大值是13.20.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为了弘扬奥林匹克和亚运精神，某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中t 的值，并估计这100名学生的平均成绩；（2）用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率.（1）0.025t =，74分（2）0.352【分析】（1）根据频率和为1求t 的值，再根据平均数公式运算求解；（2）根据独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】由频率分布直方图可得每组的频率依次为0.15,10,0.2,0.35,0.05t ，则0.15100.20.350.051t ++++=，解得0.250.02510t ==，设平均成绩的估计值为x ，则550.15650.25750.2850.35950.0574x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分），所以这100名学生的平均成绩估计值为74分.【小问2详解】每个学生成绩不低于80分的概率为0.4.3名学生中恰有2人成绩不低于80分的概率()2130.410.40.288P =⨯⨯-=；3名学生中恰有3人成绩不低于80分的概率330.40.064P ==；3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率120.352P P P =+=.21.在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，222cos cos 5a C c A b a c-=⨯-.（1）求证：2b a c =+；（2）求sin B 的取值范围.（1）证明见解析（2）43,52⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意利用余弦定理进行角化边，运算求解即可；（2）根据锐角三角形结合对勾函数可得1342,15t t ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，再利用余弦定理可得13cos ,25B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而可得结果.【小问1详解】因为222cos cos 5a C c A b a c-=⨯-由余弦定理得222222222225a b c b c a a c ab bc b a c +-+-⨯-⨯=⨯-()()()()()()()22222233255a a b c c b c a a c b a c ac a c b a c b a c +--+--+-+-==--2225a ac c b ac b++++=，整理得()2225b a c b =++，即()224b a c =+.所以2b a c =+.【小问2详解】由（1）可知：2b a c =+，由余弦定理可得222222312cos 2284a c a c a cb ac B ac ac c a +⎛⎫+- ⎪+-⎛⎫⎝⎭===+- ⎪⎝⎭，设a t c=，则311cos 84B t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为2b a c =+，且a c ≠，不妨设a c >，即a b c >>，可知1t >，且ABC 是锐角三角形，则cos 0A >，得222b c a +>，即()2224a c c a ++>，则()4a c a c +>-，解得53a c <，所以513t <<，由对勾函数可知()1f t t t =+在51,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且()53412,315f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()1342,15f t t t ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以13cos ,25B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则243sin 1cos ,52B B ⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以sin B 的取值范围为43,52⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.22.如图，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为矩形，且M 为线段EF 上的动点，//AB CD ，90ABC ∠= ，2AD DE =，222AB CD BC ===.（1）当M 为线段EF 的中点时，（i ）求证：AM ⊥平面BDM ；（ii ）求直线AM 与平面MBC 所成角的正弦值；（2）记直线AM 与平面MBC 所成角为α，平面MAD 与平面MBC 的夹角为β，是否存在点M 使得αβ=若存在，求出FM ；若不存在，说明理由.（1）（i ）证明见解析；（ii ）22211（2）存在，622FM =-【分析】（1）（i ）利用面面垂直的性质可推导出BD ⊥平面ADM ，可得出AM BD ⊥，利用勾股定理可得出AM DM ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（ii ）取AD 的中点为P ，BC 的中点为Q ，连接MP 、PQ 、QM ，计算出点A 到平面MBC 的距离以及线段AM 的长，即可得出直线AM 与平面MBC 所成角的正弦值；（2）假设存在点M ，使得αβ=，延长AD 与BC 交于点G ，连接MG ，根据已知条件得出AMR ∠是直线AM 与平面MBC 所成的角，ATR ∠是二面角A MG B --的平面角，计算出AMF 三边边长，利用勾股定理求出x 的值，即可得出结论.【小问1详解】（i ）由题意，四边形ABCD 为直角梯形，且90ABC ∠= ，//AB CD ，所以90BCD ∠= ，所以22112BC CD BD +==+=，取AB 的中点N ，连接DN ，则//CD BN 且CD BN =，且90BCD ∠= ，故四边形BCDN 为矩形，则DN //BC ，且DN BC =，所以22112AD DN AN =+=+=，又由2AB =，所以222BD AD AB +=，所以BD AD ⊥，又平面ADM ⊥平面ABCD ，平面ADM 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面ADM ，又AM ⊂平面ADM ，所以AM BD ⊥，因为1MD MA ==，2AD =，则222AM DM AD +=，所以AM DM ⊥，又DM BD D = ，DM 、BD ⊂平面BDM ，所以AM ⊥平面BDM .（ii ）取AD 的中点为P ，BC 的中点为Q ，连接MP 、PQ 、QM ，过P 在平面PQM 内作PO 垂直于MQ ，垂足为O ，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，AF AD ⊥，所以AF ⊥平面ABCD ，M 为EF 的中点，所以//MP AF ，所以MP ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PM ⊥，又因为BC PQ ⊥，PQ PM P ⋂=，PQ 、PM ⊂平面PMQ ，所以BC ⊥平面PMQ ，PO ⊂平面PMQ ，所以PO BC ⊥，MQ BC O = ，,MQ BC ⊂平面BCM ，得PO ⊥平面BCM ，因为22MP =，32PQ =，π2MPO ∠=，所以221911242MQ MP PQ =+=+=，由等面积法可得3232322422112112MP PQ PO MQ ⋅====，延长AD 与BC 交于点G ，则D 为AG 的中点，G 为直线AD 与平面MBC的交点，设点A 到平面MBC 的距离为d ，直线AM 与平面MBC 所成的角为θ，则34PO G d P GA ==，所以14432222233122d PO ==⨯=，由1AM =，所以，222sin 11AM d θ==；【小问2详解】假设存在点M ，使得αβ=，延长AD 与BC 交于点G ，连接MG ，则平面AMD ⋂平面MBC MG =，设AR ⊥平面MBC ，垂足为R ，连接MR ，AMR ∠是直线AM 与平面MBC 所成的角，因为//CD AB 且12CD AB =，所以，点D 为AG 的中点，则222AG AD ==，过点R 作RT 垂直于MG ，垂足为T ，因为AR ⊥平面MBC ，MG ⊂平面MBC ，所以AR MG ⊥，又因为RT MG ⊥，AR RT R = ，AR 、RT ⊂平面ART ，所以MG ⊥平面ART ，因为AT ⊂平面ART ，所以AT MG ⊥，ATR ∠是二面角A MG B --的平面角，所以sin AR AM α=，sin AR ATβ=，由αβ=，得AM AT =，所以M 、T 重合，由AT MG ⊥，得AM MG ⊥，设()02FM x x =≤≤，则2212AM x =+，()221222G x M =-+，由勾股定理可得222AM GM AG +=，即()221122822x x ++-+=，整理可得224210x x -+=，解得622x =-或622x =+（舍），所以存在点M ，当622FM =-，有αβ=成立.。

浙江省台州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知复数，则z 的实部为( )A.-2B.-1C.1D.22．已知，，若，则( )A.6B.4C.2D.-63．用斜二测画法画水平放置的边长为1的正方形，所得直观图的周长为( )D.24．在下列四组数中，方差最大的一组是( )①4,4,4,4,4,4,4,4,4；②3,3,3,4,4,4,5,5,5；③2,2,3,3,4,5,5,6,6；④1,1,1,1,4,7,7,7,7.A.①B.②C.③D.④5．一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为( )A. B. C. D.6．抛掷两枚质地均匀的骰子1次，记“出现点数之和为偶数”，“出现点数之积为偶数”，则( )A. B.7．如图所示，A ,B ,P ,Q 在同一个铅垂面，在山脚A 测得山顶P 的仰角为,，斜坡长为m ，在B 处测得山顶P 的仰角为，则山的高度为( )12i z =--(1,2)a = (3,)b y = //a by =1+600m 4km /h 2km /h 0.17h0.15h0.13h0.10hA =B =()()P A P B =()P A B =()AB =()()1P A P B +=QAP ∠60︒30QAB ∠=︒AB CBP ∠αPQ8．设A ,B ,C 是样本空间中三个概率大于0的随机事件，则下列选项错误的是( )A.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件B.事件A ,B 相互独立与A ,B 互斥不能同时成立C.若成立，则事件A 与B 相互独立D.若成立，则事件A ,B ,C 一定两两独立二、多项选择题9．在复平面内，满足下列条件的复数z 所对应的点与点，，在同一个圆上的是( )A. B. C. D.10．为了实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费方法.为此，相关部门在该市随机调查了1500户居民六月份的用电量（单位：），以了解这个城市家庭用电量的情况.通过收集､整理数据，得到如下频率分布直方图.则下列选项正确的是( )A.直方图中B.在被调查的用户中，用电量不超过的户数为900C.这1500户居民六月份用电量的平均数小于中位数Ω()()()P AB P A P B =()()()()P ABC P A P B P C =()13,4Z ()23,4Z -()34,3Z 16iz =+i 43iz ⋅=-25z z ⋅=2512iz =+kW h ⋅0.0044x =200kW h ⋅D.估计该市居民六月份用电量的第45百分位数约为17511．在棱长为2的正方体中，M 为棱的中点，N 为线段上的动点（含端点），则下列选项正确的是( )A.若直线与直线所成角为，则B.若直线与平面所成角为，则C.若点N 到平面的距离为d ，则D.若过，N ，C 三点的平面截正方体所得截面面积为S ，则S的最小值为三、填空题12．某学校有高二学生600人，其中男生360人，女生240人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本（观测数据单位：），若已知男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，则总样本的平均数是________.13．已知正四棱台大小为，则该正四棱台的体积可能为________（写出一个即可）14．已知线段,为，则的值为________.四、解答题15．在四棱锥中，底面，，，，E 为中点，F 为棱上任意一点.（1）求证：平面；1111ABCD A B C D -CD BM 1A M AN αcos α1C N ABCD βsin β11ABC D d CN +1A 1111ABCD A B C D -cm 111ABCD A B C D -45︒BM CN ABC △ 3CN BM CB BM ⋅=⋅sin C P ABCD -PA ⊥ABCD //BC AD AB AD ⊥22AD AB BC ==PD PC //CE PAB（2）求证：.16．在中，，，，，设，.（1）用，表示，；（2）若，，，则当时，求的值.17．某商店在“五一”期间举办促销活动，设立了抽奖环节，在一个不透明的抽奖箱里放置6个大小质地完全相同的三种颜色的球，其中1个白球，2个红球，3个黑球.凡在本店累计消费满百元的顾客，可以持购物凭证参与一次抽奖活动.抽奖采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，若取到两球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到两球异色，则称为不中奖.一次抽奖结束后，取出的球放回抽奖箱，供下一位顾客抽奖.（1）若一位顾客参与一次抽奖活动，求这位顾客中奖的概率；（2）现有甲､乙两位顾客各参与一次抽奖活动，求两人中至少有一人中奖的概率.18．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足.（1）求的值；（2）当与边上的中线长均为2时，求的周长；（3）当内切圆半径为1时，求面积的最小值.19．据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与AF CD ⊥ABC △23AD AB = 12AE AC = CF CB λ= ()0,1λ∈AB a =AC b = a b CD EF3AB =2AC =60CAB ∠=︒CD EF ⊥λABC △3cos 5c a B b =+cos A BC BC ABC △ABC △ABC △以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为R ，其中球冠高为.（1）类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式；（3）已知一个棱长为a 的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满()h h R参考答案1．答案：B解析：复数的实部为.故选：B.2．答案：A解析：因为，，，所以，解得.故选：A.3．答案：B解析：如图平面正方形的边长为1，则直观图如下所示：则，，所以直观图的周长为.故选：B 4．答案：D解析：易知四组数据的平均数均为4；对选项A ，方差；对选项B ，方差12i z =--1-(1,2)a = (3,)b y = //a b1230y ⨯-⨯=6y =OABC 1O A OA ''==1B C BC ''==12O C B A OC ''''===1111322+++=210s =()2211110001119s =++++++++=对选项C ，方差对选项D ，方差.故选：D.5．答案：A，水流速度，要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸，，所以.故选：A.6．答案：C解析：由题意可知：基本事件的总数为，对于事件A ，列表如下：()2314411011449s =++++++++=()24199990999989s =++++++++=4km /h 22km /h v =v )km /h 0.17h d t v ===≈ ()Ω6636n =⨯=可知，则对于事件B ，列表如下：对于事件，列表如下：对于选项A ：，故A 错误；对于选项B ：对于选项C ：()18n A =()()()18Ω36n A P A n ===()()27Ω36n B n ===AB ()()9Ω36n AB n ===()()P A P B ≠()()()()1P A B P A P B P AB =+-=≠ ()P AB =对于选项D ：，故D 错误；故选：C.7．答案：D 解析：如图所示：因为，，所以，则，在中，由正弦定理得，在直角三角形中，.故选：D8．答案：D解析：对于A ，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A 正确；对于B ，因为，，若事件A ,B 相互独立，则，故事件A ,B 不互斥，若事件A ,B 互斥，则，故事件A ,B 不独立，所以事件A ,B 相互独立与A ,B 互斥不能同时成立，故B 正确；()()514P A P B +=≠30APQ ∠=︒90CPB α∠=︒-309060APB αα∠=︒-︒+=- 180306018030PBA αα∠=︒-︒-+︒=︒+︒-PBA △sin PA PBA =∠=PAQ sin 60︒()0P A >()0P B >()()()0P AB P A P B =>()0()()0P AB P A P B =≠>对于C，若成立，则事件A与B相互独立，故C正确；对于D，若成立，不一定能得出，，，则事件A,B,C不一定两两独立，故D错误.故选：D.9．答案：BC解析：因为，，，，；对于A，，故A错误；对于B，，.故B正确；对于C，设，，故C正确；对于D，，，，，解得，，故D错误；故选：BC.10．答案：ABD解析：对于A，由频率分布直方图矩形面积之和为1得，解得，故A正确；对于B，用电量不超过的频率为，所以户数为，故B正确；设中位数为x，则x在第三组，()()()P AB P A P B=()()()()P ABC P A P B P C=()()()P AB P A P B=()()()P BC P B P C=()()()P AC P A P C=()13,4Z()23,4Z-()34,3Z==5=51z=+5=≠i43iz⋅=-4iz=--5=(i,z a b a b=+∈R ia b=-22z z a b∴⋅=+=5=()i,z a b a b=+∈R()2222i2iz a b a ab b∴=+=+-2z512i=+221225aba b=⎧∴⎨=-⎩29a=24b=5==≠50(0.00240.00360.0060.00240.0012)1x⨯+++++=0.0044x=200kW h⋅50(0.00240.00360.006)0.6⨯++=15000.6900⨯=0.00361750.0062250.0044⨯+⨯+⨯+2750.00243250.0012)50186⨯+⨯⨯=[150,200)即，解得，故平均数大于中位数，故C 错误；对于D ，设第45百分位数为y ，则y 在第三组，，解得，故D 正确.故选：ABD.11．答案：BCD 解析：对A ，当点N 运动到与M 点重合时，求得对B ，因为最小时，最大，分析知，当点N 运动到满足时，最小，此时根据勾股定理，也最小.又因为平面，所以，又，，所以平面，所以.在中，由勾股定理得得，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得50(0.00240.0036)(150)0.0060.5x ⨯++-⨯=183.33x ≈[150,200)50(0.00240.0036)(150)0.0060.45y ⨯++-⨯=175y =cos α=11sin CC C N β==1N sin βCN MB ⊥CN 1C N 1CC ⊥ABCD 1CC MB ⊥CN MB ⊥1CC CN C = MB ⊥1CC N 1C N MB ⊥Rt MBC △MB ===12MB CN MC BC ⋅=⋅MC BC CN MB ⋅===1Rt CC B △1C B ==Rt BCN △BN ===1Rt C NB △1C N ===所以中，对C ，过N 作，再作，又，易证平面，所以点N 到平面等于点P 到平面，所以，将平面和平面展开放在同一平面内（如图所示），取的中点K ，则有，所以为等腰直角三角形，所以，又因为为等腰直角三角形，所以，所以，所以，设，，则，，在所以，所以所以，令，则，由辅助角公式可得，，其中取，所以所以存在角使得，化简得，，又由方程解得所以所以1Rt C CN △1112sin CC C N C Nβ=====//NP AB 1PQ BC ⊥PQ AB ⊥PQ ⊥11ABC D 11ABC D 11ABC D +d CN PQ CN =+ABCD 11BCC B BP NP MC BP BC ==NP =PNK △NK =PBQ △2PQ PB NP ==PQ NK =+d CN NK CN =+NCP θ∠=PK KB t ==22CP t =-NK =CNK △sin sin sin 4CN CK CN NKC CNK ==⇔==π∠∠t =0,2π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭CN =NK ==2+2sin cos d CN NK CN θθ=+=+=+k =)0k >(2sin cos 2k k θθ-+=()2θϕ+=tan 0ϕ=>k >ϕ()sin θϕ+≤2≥2540k -+≥2540k -+=k ==k ≥≤k ≥所以对D ，分析知，经过，N ，C 三点的平面截正方体得到的截面经过的中点E ，的中点时，截面面积最小，此时截面为四边形，由于，，，都全等，所以，所以四边形为菱形，易求所以，故选：BCD.12．答案：168，.故答案为：168.2+2sin cos d CN NK CN θθ=+=+=+1A AB 11C D 1M 11A M CE 111A D M △1A AE △11M C C △CBE △1111=A M M C CE A E ==11A M CE 1AC =11E D A ==1111=22S A C M E =⋅⨯==100=10040=6017240162168100⨯+⨯==（介于区间内都可以，答案不唯一）.解析：如下图，延长棱台母线交于点S ，过S 作平面ABCD于G ，连接S ，G 与AB中点F ，则.又又棱台的高度不确定，所以.（介于区间内都可以，答案不唯一）..因为，，⎛ ⎝SG ⊥45SFG ∠=︒FG ==133S ABCD -==A B C D ABCD V ''''-⎛∈ ⎝||||cos cos ||||||AC AB AC A A AC AB AC =⋅== 60A =︒3CN BM CB BM ⋅=⋅cos 180cos 18022B C B BM CB BM +⎛⎫⎛⎫⋅︒-=⋅⋅︒- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()18060cosCB ︒-︒=-⋅在，所以，即，展开整理可得15．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析解析：（1）取中点M ，连接，.则是的中位线，得，且.因为，且，所以，且，因此，四边形是平行四边形，得.又因为平面，平面，所以平面.（2）连接，不妨设，由，，在直角梯形中，求得CBN △sin sin sin sin 12022B BC C B ==⎛⎫⎛⎫+︒- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 1202C B ⎛⎫=︒- ⎪⎝⎭02B ≠3sinsin 12022B C ⎛⎫=︒- ⎪⎝⎭3sin 60sin 12022C C ⎛⎫⎛⎫︒-=︒- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113sin sin 22222C C C ⎫-=+⎪⎪⎭tan 2C =2222sincos 2tan 222cos sin 1tan 222C C C C C C C ====++PA ME MB ME PAD △//ME AD 12ME AD =//BC AD 12BC AD =//BC ME BC ME =BCEM //CE BM BM ⊂PAB CE ⊄PAB //CE PAB AC 222AD AB BC ===//BC AD AB AD ⊥ABCD AC CD ==因为，所以，因为底面，平面，所以，又，平面，所以平面，又因为平面，所以.16．答案：（1），；（2）解析：（1）因为，，，因为，所以，.（2）当时，，即，，，因为，，，，故解析：（1）将白球编号为1，红球编号为2，3，黑球编号为4，5，6.222AC CD AD +=AC CD ⊥PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥PA AC A = ,PA AC ⊂PAC CD ⊥PAC AF ⊂PAC CD AF ⊥23CD a b =- 12EF a b λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭15λ=23AD AB = ,AB a AC b ==2233CD AD AC AB AC a b =-=-=- 12AE AC = 12EC AC =()111222EF EC CF AC CB AC AB AC a bλλλλ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭CD EF ⊥0CD EF ⋅=21032a b a b λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222110322a a b a b b λλλ⎛⎫⎛⎫+-⋅-⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221510332a a b b λλ⎛⎫⎛⎫+-⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭29a =24b = ||||cos 603a b a b ⋅=⋅︒= 1519340332λλλ⎛⎫⎛⎫+-⨯--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭λ=记“取到两球同色”，，，因此（2）记“甲顾客中奖”，“乙顾客中奖”，B ，C 相互独立，则18．答案：（1）（2）（3）解析：（1）因为，由正弦定理得，又由，得.因为，所以（2）由余弦定理得，即，①设的中点为D ，则，则，则，②由①②得，联立，解得A =()()()()()()()()()()()()()()(){Ω1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,3,2,4,2,5,2,6,3,1,3,2,3,4,3,5,3,6,=()()()()()()()()()()()()()()()}4,1,4,2,4,3,4,5,4,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5()()()()()()()(){}2,3,3,2,4,5,4,6,5,6,5,4,6,4,6,5A =()()()8Ω30n A P A n ===B =C =()()4411111111115151515P B C P BC ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos A =2+33cos 5c a B b =+3sin sin cos sin 5C A B B =⋅+()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+3cos sin sin 5A B B =sin 0B ≠cos A =2222cos a b c bc A =+-22645b c bc =+-BC 2AD AB BC =+()222242AD AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ 226165b c bc =+++2210b c +=222210645b c b c bc⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩b c +=所以的周长为（3）由（1）得由，即，由余弦定理得，所以，得，因为解得又因为，得当且仅当的面积取到最小值；（3）.解析：（1）把“球锥”切割成无数个小锥体，由题意得球冠面积为，所有小锥体的底面积之和即球冠面积，结合锥体体积公式得“球锥”的体积为.（2）设圆锥半径为r ，则，2a b c ++=+ABC 2+sin A =ABC △)11sin 2a b c bc A ++⨯=45a b c bc ++=22265a b c bc -=+()2224655bc b c b c bc ⎡⎤-+=+-⎢⎥⎣⎦225b c bc +=+b c +≥2+≥bc ≥bc <≤ABC △π>5π2bc >>≥b c ==ABC 3+2πR h =11h R<<2πR S h =2122ππ33V Rh R R h =⨯= 球椎2222()2r R R h Rh h =--=-当球缺的体积与圆锥的体积相等时，，，消去，整理得，因为.（3）设正四面体内接“球锥”，顶点P 与球心重合，棱长为a ，则，显然不满足条件.注意到，当顶点A ,B ,C 在圆锥底面圆周上时，,，，所得棱长小于R 的正四面体均可内接该“球锥”.冠上.即，且.又因为，所以.“”2V V =⋅球锥圆锥()221π2π3R h r R h =⨯-r ()()222ππ23R h Rh h R h =--2230R Rh h -+=h R <=P ABC -ABC △a R >a R =R h -=1=1=-ABC -1≠a R =R h -<h R <11h R <<。