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新课标版数学必修⼆（新⾼考新课程）作业15⾼考调研精讲精练课时作业(⼗五)(第⼀次作业)1．直线a是平⾯α的斜线，过a且和α垂直的平⾯有()A．0个B．1个C．2个D．⽆数个答案 B2．给定下列四个命题①若⼀个平⾯内的两条直线与另⼀个平⾯都平⾏，则这两个平⾯相互平⾏；②若⼀个平⾯经过另⼀个平⾯的垂线，则这两个平⾯相互垂直；③垂直于同⼀直线的两条直线相互平⾏；④若两个平⾯垂直，则⼀个平⾯内与它们的交线不垂直的直线与另⼀个平⾯也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案 D3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平⾯，则下列命题中的真命题是() A．若m?β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ答案 C解析若m?β，α⊥β，则m与α的关系可能平⾏也可能相交，则A为假命题；选项B中，α与β可以平⾏也可能相交，则B为假命题；选项D中β与γ也可能平⾏或相交(不⼀定垂直)，则D为假命题．故选C.4.在如图所⽰的三棱锥中，AD⊥BC，CD⊥AD，则有()A．⾯ABC⊥⾯ADC B．⾯ABC⊥⾯ADBC．⾯ABC⊥⾯DBC D．⾯ADC⊥⾯DBC答案 D5．正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，P为CC1的中点，则平⾯PBD垂直于()A．平⾯A1BD B．平⾯D1BDC．平⾯PBC D．平⾯CBD答案 A6．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对⾓线AC的中点，下列判断正确的是()A．平⾯ABD⊥平⾯ADC B．平⾯ABC⊥平⾯ABDC．平⾯ABC⊥平⾯ADC D．平⾯ABC⊥平⾯BED答案 D7．(2016·浙江)已知互相垂直的平⾯α，β交于直线l，若直线m，n满⾜m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案 C解析因为α∩β＝l，所以l?β，所以n⊥l.故选C.8.如图，正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，O为底⾯ABCD的中⼼，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是()A．D1O∥平⾯A1BC1B．MO⊥平⾯A1BC1C．异⾯直线BC1与AC所成的⾓等于60°D．⼆⾯⾓MACB等于90°答案 D解析对于选项A，连接B1D1，BO，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平⾏四边形，所以D1O∥BE，因为D1O?平⾯A1BC1，BE?平⾯A1BC1，所以D1O∥平⾯A1BC1，故正确；对于选项B，连接B1D，因为O为底⾯ABCD的中⼼，M为棱BB1的中点，所以MO∥B1D，易证B1D⊥平⾯A1BC1，所以MO⊥平⾯A1BC1，故正确；对于选项C，因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B为异⾯直线BC1与AC 所成的⾓，因为△A1C1B为等边三⾓形，所以∠A1C1B＝60°，故正确；对于选项D，因为BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB为⼆⾯⾓MACB的平⾯⾓，显然不等于90°，故不正确．综上知，选D.9．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底⾯是正六边形，PA⊥平⾯ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________(填序号)．①PB⊥AD；②平⾯PAB⊥平⾯PAE；③BC∥平⾯PAE；④直线PD与底⾯ABC所成的⾓为45°.答案②④解析由于AD与AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平⾯PAE，因为AB?平⾯PAB，所以平⾯PAB⊥平⾯PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平⾯PAE相交，③不正确；由于PA⊥平⾯ABC，所以∠PDA就是直线PD与平⾯ABC所成的⾓，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．10．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平⾯ABC；(2)平⾯A1FD⊥平⾯BB1C1C.证明(1)因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC，⼜EF?⾯ABC，BC?⾯ABC，所以EF∥平⾯ABC.(2)因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以BB1⊥⾯A1B1C1，BB1⊥A1D.⼜A1D⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以A1D⊥⾯BB1C1C.⼜A1D?⾯A1FD，所以平⾯A1FD⊥平⾯BB1C1C.11.如图，四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为菱形，SD＝SB.(1)求证：平⾯SAC⊥平⾯SBD；(2)求证：平⾯SAC⊥平⾯ABCD.证明(1)连接AC，BD，使AC∩BD＝O.∵底⾯ABCD为菱形，∴BD⊥AC.∵SB＝SD，O为BD中点，∴SO⊥BD，⼜SO∩AC＝O，∴BD⊥平⾯SAC，⼜∵BD?平⾯SBD，∴平⾯SAC⊥平⾯SBD.(2)由(1)知BD⊥平⾯SAC，BD?平⾯ABCD，∴平⾯SAC⊥平⾯ABCD.12.如图，△ABC为正三⾓形，EC⊥平⾯ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平⾯BDM⊥平⾯ECA；(3)平⾯DEA⊥平⾯ECA.证明(1)取AC中点N，连接MN，BN，则MN∥EC，∵EC⊥平⾯ABC，∴平⾯EAC⊥平⾯ABC.∴MN⊥平⾯ABC，⼜BN?平⾯ABC，∴MN⊥BN，且MN＝BD，MN∥BD，∴四边形MNBD为矩形，∴DM∥BN，∵CN＝AN，BC＝AB，∴BN⊥CA，⼜CA ∩MN ＝N ，∴BN ⊥平⾯AEC ，∴DM ⊥⾯EAC ，∴DM ⊥AE.∴DE ＝DA. (2)由(1)知，DM ⊥⾯EAC ，DM ?⾯BDM ，∴平⾯BDM ⊥平⾯ECA.(3)由(1)知，DM ⊥⾯EAC ，DM ?⾯ADE ，∴平⾯DEA ⊥平⾯ECA.13．如图所⽰，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起⾄△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平⾯A ′BE ⊥平⾯BCDE.证明如图所⽰，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC.∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E ，⼜BN ＝NE ，∴A ′N ⊥BE.∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD. 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，⼜MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平⾯A ′MN ，⼜A ′N ?平⾯A ′MN ，∴CD ⊥A ′N. ∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．⼜A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平⾯BCDE. ⼜A ′N ?平⾯A′BE ，∴平⾯A ′BE ⊥平⾯BCDE.课时作业(⼗五)(第⼆次作业)1．(2015·浙江)设α，β是两个不同的平⾯，l ，m 是两条不同的直线，且l ?α，m ?β.( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m答案 A解析⾯⾯垂直的证明主要是找线⾯垂直，此题在选项中直接给出两个条件，便于考⽣根据判定定理进⾏直接选择，相对较为基础．如果采⽤排除法，思维量会增加．2．在正四⾯体P-ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下⾯四个结论不成⽴的是( )A ．BC ∥平⾯PDFB ．DF ⊥平⾯PAEC ．平⾯PDF ⊥平⾯ABCD ．平⾯PAE ⊥平⾯ABC答案 C解析∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，∴DF ∥BC.∴BC ∥平⾯PDF.故A 正确．连接AE ，PE ，则AE ⊥BC.PE ⊥BC ，∴BC ⊥平⾯PAE.∴DF ⊥平⾯PAE.故B 正确．⼜∵BC ?平⾯ABC ，∴平⾯PAE ⊥平⾯ABC.故D 正确．∴选C.3．把正⽅形ABCD 沿对⾓线BD 折成直⼆⾯⾓，则△ABC 是( ) A ．正三⾓形 B ．直⾓三⾓形 C ．锐⾓三⾓形 D ．钝⾓三⾓形答案 A4．在正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，截⾯A 1BD 与底⾯ABCD 所成⼆⾯⾓A 1-BD-A 的正切值为( ) A.32B.22C. 2D. 3答案 C解析如图所⽰，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 中点，∵A 1D ＝A 1B ，∴在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD.⼜∵在正⽅形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴∠A 1OA 为⼆⾯⾓A 1-BD-A 的平⾯⾓．设AA 1＝1，则AO ＝22，∴tan ∠A 1OA ＝AA 1AO ＝122＝ 2.故选C. 5.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平⾯ABCD ，底⾯ABCD 是矩形，则图中互相垂直的平⾯有( )A．2对B．3对C．4对D．5对答案 D解析∵PA⊥平⾯ABCD，∴平⾯PAB⊥平⾯ABCD，平⾯PAD⊥平⾯ABCD.∵AB⊥AD，PA⊥AB，∴AB⊥平⾯PAD，∴平⾯PAB⊥平⾯PAD.同理，平⾯PCD⊥平⾯PAD，平⾯PAB⊥平⾯PBC.共有5对平⾯互相垂直．故选D.6．若⼀个⼆⾯⾓的两个半平⾯分别垂直于另⼀个⼆⾯⾓的两个半平⾯，那么这两个⼆⾯⾓()A．相等B．互补C．相等或互补D．关系⽆法确定答案 D解析如图所⽰，平⾯EFDG⊥平⾯ABC，当平⾯HDG绕DG转动时，平⾯HDG始终与平⾯BCD垂直，所以两个⼆⾯⾓的⼤⼩关系不确定，因为⼆⾯⾓H-DG-F的⼤⼩不确定．故选D.7．四边形ABCD是正⽅形，以BD为棱把它折成直⼆⾯⾓A-BD-C，E为CD的中点，则∠AED的⼤⼩为()A．45°B．30°C．60°D．90°答案 D解析设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥⾯BCD.∵E，F分别为CD，BD的中点，∴EF∥BC，⼜∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，⼜AF⊥CD，∴CD⊥平⾯AEF，⼜AE?平⾯AEF，∴CD⊥AE.故选D.8.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平⾯ABC，∠BAC＝90°，则⼆⾯⾓B-PA-C的⼤⼩为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 D解析∵PA⊥平⾯ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，∴∠BAC为⼆⾯⾓BPAC的平⾯⾓．∵∠BAC＝90°，∴⼆⾯⾓的⼤⼩为90°.9.如图，在四棱锥V-ABCD中，底⾯ABCD是这长为2的正⽅形，其他四个侧⾯都是侧棱长为5的等腰三⾓形，则⼆⾯⾓V-AB-C 的度数是________．答案60°解析如图，取AB的中点E，CD的中点F，连接VE，EF，VF，由题意知，AB⊥VE，AB⊥EF，所以∠VEF为⼆⾯⾓V ABC的平⾯⾓．易知△VEF为正三⾓形，所以∠VEF＝60°.10．如图所⽰，在长⽅体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若⼆⾯⾓C1-EF-C等于45°，则BF＝________．答案 1解析∵AB⊥平⾯BC1，C1F?平⾯BC1，CF?平⾯BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，⼜EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是⼆⾯⾓C1EFC的平⾯⾓，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直⾓三⾓形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.⼜BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.11．如图，四边形ABCD是平⾏四边形，直线SC⊥平⾯ABCD，E是SA的中点，求证：平⾯EDB⊥平⾯ABCD.证明连接AC交BD于点F，连接EF.∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平⾯ABCD，∴EF⊥平⾯ABCD.⼜EF?平⾯BDE，∴平⾯BDE⊥平⾯ABCD.12.如图，四棱锥P-ABCD的底⾯是边长为a的正⽅形，PB⊥平⾯ABCD.(1)求证：平⾯PAD⊥平⾯PAB；(2)若平⾯PDA与平⾯ABCD成60°的⼆⾯⾓，求该四棱锥的体积．解析(1)证明：∵PB⊥平⾯ABCD，AD?平⾯ABCD，∴PB⊥AD.⼜∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B，∴AD⊥平⾯PAB.⼜∵AD?平⾯PAD，∴平⾯PAD⊥平⾯PAB.(2)由(1)的证明知，∠PAB为平⾯PDA与平⾯ABCD所成的⼆⾯⾓的平⾯⾓，即∠PAB＝60°，∴PB＝3a.∴V P-ABCD＝13·a2·3a＝3a33.13．如图所⽰，四棱锥P-ABCD的底⾯ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底⾯ABCD，PA＝ 3.(1)求证：平⾯PBE⊥平⾯PAB；(2)求⼆⾯⾓A-BE-P的⼤⼩．解析(1)证明：如图所⽰，连接BD.由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三⾓形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，⼜AB∥CD，所以BE⊥AB，⼜因为PA⊥平⾯ABCD，BE?平⾯ABCD，所以PA⊥BE，⽽PA∩AB＝A，因此BE⊥平⾯PAB.⼜BE ?平⾯PBE，所以平⾯PBE⊥平⾯PAB.(2)由(1)知，BE⊥平⾯PAB，PB?平⾯PAB，所以PB⊥BE.⼜AB⊥BE，所以∠PBA是⼆⾯⾓A-BE-P的平⾯⾓．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，∠PBA＝60°.故⼆⾯⾓A-BE-P 的⼤⼩为60°.1.如图，⼆⾯⾓αlβ的⼤⼩是60°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成的⾓为30°，则AB与平⾯β所成的⾓的正弦值是________．答案3 4解析如图所⽰，过点A作平⾯β的垂线，垂⾜为C，在β内过C作l的垂线，垂⾜为D，连接AD，由线⾯垂直判定定理可知l⊥平⾯ACD，则l⊥AD，故∠ADC为⼆⾯⾓α-l-β的平⾯⾓，即∠ADC＝60°.⼜∠ABD＝30°，连接CB，则∠ABC为AB与平⾯β所成的⾓，设AD＝2，则AC＝3，CD＝1，AB＝ADsin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34.2．(2017·辽宁省育才学校阶段测试)如图，在⼏何体ABDCE 中，AB ＝AD ，M 是BD 的中点，AE ⊥平⾯ABD ，MC ∥AE，AE ＝MC.(1)求证：平⾯BCD ⊥平⾯CDE ；(2)若N 为线段DE 的中点，求证：平⾯AMN ∥平⾯BEC. 证明 (1)∵AB ＝AD ，M 为线段BD 的中点，∴AM ⊥BD.∵AE ⊥平⾯ABD ，MC ∥AE ，∴MC ⊥平⾯ABD. ∴MC ⊥AM.⼜MC ∩BD ＝M ，∴AM ⊥平⾯CBD.⼜MC ∥AE ，MC ＝AE ，∴四边形AMCE 为平⾏四边形，∴EC ∥AM ，∴EC ⊥平⾯CBD ，⼜EC ?平⾯CDE ，∴平⾯BCD ⊥平⾯CDE.(2)∵M 为BD 中点，N 为ED 中点，∴MN ∥BE. 由(1)知EC ∥AM 且AM ∩MN ＝M ，BE ∩EC ＝E ，∴平⾯AMN ∥平⾯BEC.3.在如图所⽰的⼏何体中，四边形ABCD 是正⽅形，MA ⊥平⾯ABCD ，PD ∥MA ，E ，G ，F 分别为MB ，PB ，PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA. (1)求证：平⾯EFG ⊥平⾯PDC ；(2)求三棱锥P-MAB 与四棱锥P-ABCD 的体积之⽐．解析 (1)证明：因为MA ⊥平⾯ABCD ，PD ∥MA. 所以PD ⊥平⾯ABCD.⼜BC ?平⾯ABCD ，所以PD ⊥BC. 因为四边形ABCD 为正⽅形，所以BC ⊥DC.⼜PD∩DC＝D，所以BC⊥平⾯PDC.在△PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平⾯PDC.⼜GF?平⾯EFG，所以平⾯EFG⊥平⾯PDC.(2)因为PD⊥平⾯ABCD，四边形ABCD为正⽅形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2，所以V P-ABCD＝13S正⽅形ABCD ·PD＝83.由题意易知DA⊥平⾯MAB，且PD∥MA，所以DA即为点P到平⾯MAB的距离，所以V P-MAB＝13×12×1×2×2＝23.所以V P-MAB∶V P-ABCD＝1∶4.。
模块综合测试卷(一)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．给出下列命题：①在所有的棱柱中，互相平行的面最多有三对；②三个面不能围成几何体；③各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥的底面是正方形；④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ①不对，因为有的六棱柱中有四对互相平行的面；③不对，因为底面有可能为菱形，∴②④正确．2．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．不在同一平面内D ．A ，B ，C 均有可能 答案 D解析 可以利用正方体加以验证．3．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的表面积为( ) A ．52π B ．34π C ．45π D ．37π 答案 A解析 环绕一周得到的是一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥、圆柱的底面半径为r ＝4，圆柱高为2，圆柱母线长为l 1＝2，圆锥母线长为l 2＝5，所以所求表面积S ＝2πrl 1＋πr 2＋πrl 2＝52π.4．直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＋2x ＝0只在第二象限有公共点，则实数k 的取值范围为( ) A ．[34，1]B ．[34，1)C ．[34，＋∞)D ．(－∞，1) 答案 B解析 由题意可知y ＝kx ＋2恒过点(0，2)，要使直线与圆只在第二象限有公共点，则k ∈[k 1，k 2)．由题意得y ＝k 2x ＋2过(－2，0)，(0，2)两点，∴k 2＝1.又圆心为(－1，0)，∴圆心到y ＝k 1x ＋2的距离d ＝|－k 1＋2|k 12＋1＝1，∴k 1＝34，∴k ∈[34，1)．5．过点P(1，1)作直线l 与两坐标轴相交，所得三角形面积为10，则直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 D解析 通过直线的截距式，再作对称即可以发现有4条．6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n. ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ. ③若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β.④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①m ∥n 或m ，n 异面，故①错误．②正确．③m ∥α或m ⊂α，m ∥β或m ⊂β，故③错误．④α，β的关系不确定，故④错误．故选B.7．若方程x 2＋y 2＋x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则k 的取值范围是( ) A ．k>12B ．k<12C ．0<k<12D ．k ≤12答案 B解析 通过圆的一般方程的判断即可解决．8．若圆C 1的方程是x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0，圆C 2的方程是x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0，则两圆的公切线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．1条 答案 D解析 通过判断两圆的关系即可解决．9．直线y ＝x ＋1与直线y ＝ax ＋1的交点的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．随a 的值变化而变化答案 D解析 若a ＝1，则有无数个交点；若a ≠1，则有一个交点．10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是( ) A ．[－43，0]B ．[0，34]C ．[0，43]D ．(0，43]答案 C解析 圆C ：(x －4)2＋y 2＝1，圆心C(4，0)，半径r ＝1.∵直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴圆心C(4，0)到直线y ＝kx －2的距离d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，解得0≤k ≤43.11．如图，在多面体ABC-DEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，EF ∥DG ，且AB ＝DE ，DG ＝2EF ，则( )A ．BF ∥平面ACGDB ．CF ∥平面ABEDC ．BC ∥FGD ．平面ABED ∥平面CGF答案 A解析 取DG 的中点M ，连接AM ，FM ，如图所示． 则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，∴DE 綊FM.∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC ∩平面ADEB ＝AB ，平面DEFG ∩平面ADEB ＝DE ，∴AB ∥DE ，∴AB ∥FM.又AB ＝DE ，∴AB ＝FM ，∴四边形ABFM 是平行四边形，即BF ∥AM.又AM ⊂平面ACGD ，BF ⊄平面ACGD ，∴BF ∥平面ACGD.故选A.12．正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则下列命题正确的是( )①AH ⊥平面CB 1D 1 ②AH ＝13AC 1③点H 是△A 1BD 的垂心 ④AH ∥平面BDC 1 A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③④答案 A解析 如图，∵CD 1∥BA 1，CB 1∥DA 1，CD 1∩CB 1＝C ，BA 1∩DA 1＝A 1，∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，又AH ⊥面A 1BD. ∴AH ⊥面CB 1D 1，故①正确． ∵V A 1-ABD ＝V A-A 1BD. ∴13·AH ·S △A 1BD ＝13·AA 1·S △ABD ， ∴AH ＝33，∴AH ＝13AC 1，故②正确． ∵AA 1，AB ，AD 两两相互垂直，∴H 为△A 1BD 的垂心，故③正确． 由题知H 点在线段AC 1上，故④不正确．故选A.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直线x －y ＋1＝0与2x －2y －1＝0是圆的两条切线，则该圆的面积是__________． 答案932π 解析 ∵直线x －y ＋1＝0与2x －2y －1＝0平行， ∴两平行直线间的距离即为圆的直径，∴2R ＝⎪⎪⎪⎪1＋122＝324.∴R ＝328，S 圆＝πR 2＝932π.14．过点P(3，6)且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8的直线方程为__________________． 答案 3x －4y ＋15＝0或x ＝3解析 当斜率不存在时，显然成立．斜率存在时，由距离公式可得斜率为0.75.15．光线由点(－1，4)射出，遇直线2x ＋3y －6＝0被反射，已知反射光线过点(3，6213)，则反射光线所在直线方程为__________． 答案 13x －26y ＋85＝0解析 先求P(－1，4)点关于直线2x ＋3y －6＝0的对称点Q ，然后利用点Q 与点(3，6213)在反射光线所在直线上就可以解决．16．已知m ，l 是直线，α，β是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l 平行于α，则l 平行α内所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β； ⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l.其中正确命题的序号是__________(把你认为正确的命题的序号都填上)． 答案 ①④解析 通过正方体验证．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，问：当m 为何值时，l 1与l 2①相交；②平行；③重合．解析 若m ＝0，l 1：x ＝－6，l 2：2x －3y ＝0，此时l 1与l 2相交； 若m ≠0，由m －21＝3m ，有m ＝－1或m ＝3，由3m ＝2m6，有m ＝±3.故①当m ≠1且m ≠3时，m －21≠3m ，l 1与l 2相交；②当m ＝－1时，m －21＝3m ≠2m6，l 1与l 2平行；③当m ＝3时，m －21＝3m ＝2m6，l 1与l 2重合．18．(本小题满分12分)如图，多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC ∥DG ∥EF ，BC ∥FG ，且AC ＝EF ＝1，DG ＝2.(1)求证：CF ⊥平面BDG ； (2)求多面体ABCDEFG 的表面积． 解析 (1)证明：如图，连接AE ，EG ， ∵BC ∥FG ，∴B ，C ，G ，F 四点共面． 在Rt △BAC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝5，GF ＝DE 2＋（DG －EF ）2＝5，即BC ＝GF ＝5，同理可证BF ＝CG ＝ 5. ∴四边形BCGF 是菱形，∴CF ⊥BG ，∵AC ∥EF ，AC ＝EF ＝1，∴四边形AEFC 是平行四边形，∴AE ∥CF ， 在正方形ABED 中，AE ⊥BD ，故CF ⊥BD. 又BG ∩BD ＝B ，∴CF ⊥平面BDG. (2)BG ＝BE 2＋EG 2＝BE 2＋ED 2＋DG 2＝22＋22＋22＝23，CF ＝AE ＝AB 2＋BE 2＝22，∴S 棱形BFGC ＝12×BG ×CF ＝12×22×23＝26，∴多面体ABCDEFG 的表面积S ＝S △ABC ＋S 梯形DEFG ＋S 正方形ABED ＋S 梯形ADGC ＋S △BEF ＋S 菱形BFGC ＝12AB ·AC ＋12(EF ＋DG)·DE ＋DE 2＋12(AC ＋DG)·AD ＋12BE ·EF ＋26 ＝1＋3＋4＋3＋1＋26 ＝12＋2 619．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD ＝90°，面PAD ⊥面ABCD ，E ，F 分别为PC 和BD 的中点．(1)证明：EF∥面PAD；(2)证明：面PDC⊥面PAD.证明(1)如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F.又E是PC的中点，∴EF∥AP.∵EF在面PAD外，PA在面PAD内，∴EF∥面PAD.(2)∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴CD⊥面PAD.又AP⊂面PAD，∴AP⊥CD.又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，∴AP⊥面PCD.又AP⊂面PAD，∴面PDC⊥面PAD.20.(本小题满分12分)自点P(－3，3)发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求入射光线l所在直线的方程．解析设入射光线l所在的直线方程为y－3＝k(x＋3)，反射光线所在直线的斜率为k1，根据入射角等于反射角，得k＝－k1，而点P(－3，3)关于x轴的对称点P1(－3，－3)，根据对称性，点P 1在反射光线所在直线上，故反射光线所在直线l 1的方程为y ＋3＝－k(x ＋3)，即kx ＋y ＋3＋3k ＝0，又此直线与已知圆相切，所以圆心到直线l 1的距离等于半径r ，因为圆心为(2，2)，半径为1，所以|2k ＋2＋3＋3k|1＋k 2＝1，解得k ＝－34或k ＝－43.故入射光线l 所在的直线方程为y －3＝－34(x ＋3)或y －3＝－43(x ＋3)，即3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.21．(本小题满分12分)设M 是圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0上一动点，O 是原点，N 是射线OM 上一点，若|OM|·|ON|＝120，求N 点的轨迹方程． 解析 设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x ，y)， 由题意|OM|·|ON|＝120， 得x 12＋y 12·x 2＋y 2＝120.①当M 不在y 轴上时，x 1≠0，x ≠0，于是有y x ＝y 1x 1.设y x ＝y 1x 1＝k ，代入①，化简得|x 1x|(1＋k 2)＝120. 因x 1与x 同号，于是x 1＝120（1＋k 2）x ，y 1＝120k（1＋k 2）x ， 代入x 2＋y 2－6x －8y ＝0并化简，可得3x ＋4y －60＝0(x ≠0)． 当x 1＝0时，y 1＝8，点N(0，15)也在直线3x ＋4y －60＝0上， 所以，点N 的轨迹方程为3x ＋4y －60＝0.22．(本小题满分12分)求半径为4，与圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．解析 由题意，设所求圆的方程为圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.圆C 与直线y ＝0相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为C 1(a ，4)，或C 2(a ，－4)． 又已知圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的圆心A 的坐标为(2，1)，半径为3. 若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7，或|CA|＝4－3＝1. (1)当圆心为C 1(a ，4)时，(a －2)2＋(4－1)2＝72， 或(a －2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a ＝2±210.∴所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16，或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16.(2)圆心为当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2 6.∴所求圆的方程为(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.综上，所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16或(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.。
第一章测试卷第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面答案 C2．如图所示的直观图的原平面图形是()A．任意三角形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形答案 B3．一个正方体的体对角线长为l，那么这个正方体的全面积为() A．22l2B．2l2C．23l2D．32l2答案 B解析设正方体棱长为a，则l＝3a，∴a＝3 3l.S＝6a2＝2l2.故选B.4．下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是()答案 D5.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．6C．快D．乐答案 B解析如图所示，将题图折成正方体，可得2的下面是6.6．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为( ) A.π2 B ．π C.32π D.3π答案 C解析 方法一：如图①，AD ＝62，AO ＝23AD ＝63，SO ＝SA 2－AO 2＝233.∴R 2＝(23 3－R)2＋(63)2，∴R ＝32.球的体积为43πR 3＝43π×(32)3＝32π.方法二：构造棱长为1的正方体如图②，则C 1A 1BD 为棱长为2的正四面体，正方体的外接球也为正四面体的外接球．此时球的直径为3，因此球的体积为32π. 7．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a ，则它的底面积为( ) A.a 5 B.a 3 C.a 2 D.a 4答案 A解析 设圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，则2πr ＝l·π2，故l ＝4r ，由题意知πrl ＋πr 2＝a ，所以πr 2＝a5.8．如果有底的圆柱底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．2∶1 D ．1∶1 答案 A解析 设球的半径为r ，则S 柱∶S 球＝[2πr 2＋2πr ·(2r)]∶4πr 2＝3∶2.故选A.9．一个圆台的上、下底面面积分别是1 cm 2和49 cm 2，一个平行底面的截面面积为25 cm 2，则这个截面与上、下底面的距离之比是( ) A ．2∶1 B ．3∶1 C.2∶1 D.3∶1答案 A解析 将圆台扩展为圆锥，轴截面如图． 由题知，r 1∶r 3＝1∶7，r 2∶r 3＝5∶7， ∴h 2＋h 3＝6h 1，h 2＝4h 1，∴h 3＝2h 1，∴这个截面与上、下底面距离比为2∶1.故选A.10．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，则大球的表面积为( ) A ．6π B ．8π C ．434π D ．832π 答案 C解析 大球的体积是2×4π3×13＝8π3，设大球的半径为R ，则有4π3R 3＝8π3，解得R ＝32，所以大球的表面积为4π(32)2＝434π.故选C.11．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，2，3，则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A ．6π B ．12π C ．18π D ．24π 答案 A解析 将三棱锥补成边长分别为1，2，3的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R ＝6，解得R ＝62，故S ＝4πR 2＝6π. 12.如图所示，已知△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1.若在三角形内挖去一个半圆(圆心O 在边AC 上，半圆分别与BC ，AB 相切于点C ，M ，与AC 交于点N)，则图中阴影部分绕直线C 旋转一周所得的旋转体的体积为( ) A.33π B.5327π C.4327π D.539π答案 B解析 设半圆的半径OC ＝OM ＝r ，AO ＝OM sin30°＝2r ，则AC ＝AO ＋OC ＝3r ＝3，∴r ＝33，故旋转体的体积为V ＝13×3(π×12)－4π3×(33)3＝5327π.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积等于________．(铁皮厚度忽略不计)． 答案15π3解析 如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长l 等于正方形的边长4，扇形的弧长＝14×(2π×4)＝2π，即为圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2πr ＝2π，所以r ＝1，所以h ＝l 2－r 2＝15，所以圆锥的容积为13πr 2h ＝15π3.14．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为________． 答案 43π 解析 2R ＝（62×2）2＋（6）2＝23，∴R ＝3，V 球＝43πR 3＝43π. 15．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是________ cm. 答案 616.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．我们来重温这个伟大发现：圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为________，________． 答案 32 32解析 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，∴V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝4π3R 3，∴V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32.∵S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2，∴S 圆柱S 球＝6πR 24πR 2＝32.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，圆锥SAB 的底面半径为R ，母线长SA ＝3R ，D 为SA 的中点，一个动点自底面圆周上的A 点沿圆锥侧面移动到D.求这点移动的最短距离． 解析 如图，圆锥侧面展开为扇形，对应的弧长为底面周长2πR ，动点移动的最短距离为AD. 设∠ASD ＝α，则2πR ＝3R·α ∴α＝23π.在△SAD 中由余弦定理得：AD 2＝SA 2＋SD 2－2SA·SD·cos α＝634R 2∴AD ＝372R.18．(12分)正方体的每条棱长都增加1 cm ，它的体积扩大为原来的8倍，求此正方体的棱长．解析 利用待定系数法求解．设出正方体的棱长，根据体积扩大为原来的8倍列方程，解方程得正方体的棱长．设正方体的棱长为a cm ，由题意，得(a ＋1)3＝8a 3，解得a ＝1，即此正方体的棱长为1 cm. 19．(12分)如图，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．解析 该四边形的原图形，如下图所示．这是一个底边长为2，高为2的平行四边形，故原图面积为2 2. 20．(12分)已知六棱锥P-ABCDEF ，其中底面ABCDEF 是正六边形，点P 在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm ，侧棱长为3 cm ，求六棱锥P-ABCDEF 的表面积和体积． 解析 先求底面正六边形的面积，S 六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×12×2×2sin60°＝63cm 2，S 侧面＝6S △PCD ＝6×12×2×PC 2－（CD2）2＝632－12＝122cm 2，∴S P-ABCDEF ＝S 六边形ABCDEF ＋S 侧面＝(63＋122) cm 2. 在Rt △POC 中， PO ＝PC 2－OC 2＝PC 2－BC 2＝9－4＝ 5 cm ，∴V 六棱锥P-ABCDEF ＝13Sh ＝13×63×5＝215 cm 3.21．(12分)如图所示，四边形ABCD 是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．解析 由题意知，所成几何体的表面积等于圆台下底面面积＋圆台的侧面积＋半球面面积． 因为S 半球面＝12×4π×22＝8π cm 2，S 圆台侧＝π(2＋5)（5－2）2＋42＝35π cm 2，S 圆台下底＝π×52＝25π cm 2，所以表面积为8π＋35π＋25π＝68π cm 2.又因为V 圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π cm 3，V 半球＝12×4π3×23＝16π3cm 3，所以该几何体的体积为V 圆台V 半球＝140π3cm 3.22．(12分)如图，是从上下底面处在水平状态下的棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中分离出来的．(1)∠DC 1D 1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°，对吗？ (2)∠A 1C 1D 的真实度数是60°，对吗？(3)设BC ＝1 cm ，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？ 解析 (1)对； (2)对；(3)由题意知，以平面B 1CD 1为水平面，可盛最多体积的水，此时V 水＝V C 1-B 1D 1C ＝V C-B 1C 1D 1＝13×12×1×1×1＝16(cm 3)． ∴最多能盛16cm 3的水．1．在正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积之比为( ) A. 3 B. 2 C.62D.33答案 A解析 如图，设正方体的棱长为a ，则正四面体AB 1D 1C 的所有棱长均为2a.正方体的表面积S 1＝6a 2，正四面体的表面积S 2＝4×34×(2a)2＝23a 2. ∴S 1∶S 2＝6a 2∶23a 2＝3∶1.2．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.41613π3cm 3答案 C解析 设球的半径为R ，则32＋42＝R 2，故R ＝5 cm. 所以球的体积为V ＝43πR 3＝43π×125＝500π3 cm 3.。
北师大版必修第二册全册学案第一章三角函数.................................................................................................................... - 2 - 1周期变化 ................................................................................................................... - 2 - 2任意角 ....................................................................................................................... - 8 - 3弧度制 ..................................................................................................................... - 14 - 4正弦函数和余弦函数的概念及其性质.................................................................. - 20 - 5正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识.......................................................... - 35 -ωx＋φ的性质与图象................................................................... - 50 - 6函数y＝A sin ()7正切函数 ................................................................................................................. - 67 - 8三角函数的简单应用.............................................................................................. - 76 - 第二章平面向量及其应用.................................................................................................. - 85 - 1从位移、速度、力到向量...................................................................................... - 85 - 2从位移的合成到向量的加减法.............................................................................. - 92 - 3从速度的倍数到向量的数乘................................................................................ - 107 - 4平面向量基本定理及坐标表示............................................................................ - 119 - 5从力的做功到向量的数量积................................................................................ - 136 - 6平面向量的应用.................................................................................................... - 150 - 第三章数学建模活动（二）............................................................................................ - 188 - 1建筑物高度的测量................................................................................................ - 188 - 2测量和自选建模作业的汇报交流........................................................................ - 188 - 第四章三角恒等变换........................................................................................................ - 195 - 1同角三角函数的基本关系.................................................................................... - 195 - 2两角和与差的三角函数公式................................................................................ - 205 - 3二倍角的三角函数公式........................................................................................ - 237 - 第五章复数 ....................................................................................................................... - 255 - 1复数的概念及其几何意义.................................................................................... - 255 - 2复数的四则运算.................................................................................................... - 268 - 3复数的三角表示.................................................................................................... - 282 - 第六章立体几何初步.......................................................................................................... - 291 - 1基本立体图形........................................................................................................ - 291 - 2直观图 ................................................................................................................... - 310 - 3空间点、直线、平面之间的位置关系.............................................................. - 318 - 4平行关系 ............................................................................................................... - 335 - 5垂直关系 ............................................................................................................... - 364 - 6简单几何体的再认识............................................................................................ - 394 -第一章三角函数1周期变化学习任务核心素养1．了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期．(难点) 2．初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性．(难点、重点)1．通过周期函数的概念的学习，逐步培养数学抽象素养．2．借助周期函数的判定，培养逻辑推理素养．在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复出现．我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题．你还能列举日常生活中周期变化的实例吗？知识点1周期函数的概念一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．1.(1)是否所有的函数都是周期函数？(2)周期函数的周期唯一吗？[提示](1)不是，如y＝x＋1就不是周期函数．(2)周期函数的周期不唯一，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z且k≠0)也是函数f(x)的周期．知识点2最小正周期如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．2.(1)为什么规定T非零？(2)常函数f(x)＝c，x∈R是周期函数吗？若是，其周期是什么？[提示](1)T若为零，则任意函数都是周期函数．(2)是周期函数，其周期是任意非零实数．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了______个周期．10[4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．]类型1周期现象【例1】水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？[解]因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升).1.周期现象的判断首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．2.收集数据、画散点图，分析数据特点，能直观地发现函数的周期性．[跟进训练]1．利用本例中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？[解]设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝x5×160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．类型2周期函数【例2】 (教材北师版P 3例3改编)已知函数f (x )满足f (x )f ()x ＋2＝13，求证：f (x )是周期函数．1．若存在非零常数a ，使函数f (x )在定义域上满足：f ()x ＋a ＝－f (x )，则f (x )是周期函数吗？若是，其周期是什么？[提示] 由已知得，f ()x ＋2a ＝－f ()x ＋a ＝－[]－f ()x ＝f (x )，根据周期函数的定义，f (x )是以2a 为一个周期的周期函数．2．若存在非零常数a ，使函数f (x )在定义域上满足：f ()x ＋a ＝1f ()x ，则f (x )是周期函数吗？若是，其周期是什么？[提示] 由已知得，f ()x ＋2a ＝1f ()x ＋a ＝11f ()x ＝f (x )，根据周期函数的定义，f (x )是以2a 为一个周期的周期函数．[证明] 由已知得f ()x ＋2＝13f ()x ， 所以f ()x ＋4＝13f ()x ＋2＝1313f ()x ＝f (x ). 所以f (x )是周期函数，4是它的一个周期．判定一个函数是周期函数需分两步(1)先猜想出其周期；(2)用周期函数的定义证之．[跟进训练]2．已知函数f (x )满足f ()x ＋1＝1＋f ()x 1－f ()x ，求证：f (x )是周期函数． [证明] 由已知得，f ()x ＋2＝1＋f ()x ＋11－f ()x ＋1＝1＋1＋f ()x 1－f ()x 1－1＋f ()x 1－f ()x ＝2－2f ()x ＝－1f ()x .所以f ()x ＋4＝－1f ()x ＋2＝－1－1f ()x ＝f (x ).所以f (x )是周期函数，4是它的一个周期．类型3 周期函数的应用【例3】 (教材北师版P 2例2改编)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f ()x ＋2＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f ()π的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调递增(或减)区间．第(1)问，先求函数f (x )的周期，再求f ()π的值；第(2)问，推断函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，观察图象写出．[解] (1)由f ()x ＋2＝－f (x )，得f ()x ＋4＝－f ()x ＋2＝－[]－f ()x ＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，∴f ()π＝f ()－1×4＋π＝f ()π－4＝－f ()4－π＝－()4－π＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f ()x ＋2＝－f (x )，得f []()x －1＋2＝－f ()x －1＝f ()1－x ，即f ()1＋x ＝f ()1－x .故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △ OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. (3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1，4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间为[4k ＋1，4k ＋3](k ∈Z ).研究周期函数时，通常先研究其在一个周期上的性质，然后把它拓展到定义域上，这样可简化对函数的研究．[跟进训练]x＋4＝f(x)，则f(2)＝() 3．(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f()A．0B．1C．2D．3(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为()A．6 B．7 C．8 D．9(1)A(2)B[(1)由题意，f(x)为周期函数且周期为4，∴f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，又f(－2)＝－f(2)，则f(2)＝－f(2)，所以f(2)＝0.(2)当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)，又f(x)的最小正周期为2，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，∴y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为7.]当堂达标1．下列变化中，不是周期现象的是()A．“春去春又回”B．钟表的分针的运行C．天干地支表示年、月、日的时间顺序D．某同学每天上学的时间D[由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期变化．故选D.] 2．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，16＝()1]上的图象，则f()A.1 B ．0 C ．－1 D ．2A [由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f ()16＝f ()5×3＋1＝f ()1，而由图象可知f (1)＝1，所以f ()16＝1.]3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f ()x ＋4＝f (x )＋f ()2，f (1)＝ 4，则f ()3＋f ()10的值为________．4 [由题意可知f ()x ＋4＝f (x )＋f ()2，令x ＝－2，可求得f ()－2＝0，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f ()2＝0，即f ()x ＋4＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，又f ()1＝4，所以f ()3＋f ()10＝f ()－1＋f ()2＝f ()1＋0＝4.]4．若f (x )是以π2为周期的函数，且f (π3)＝1，则f (－2π3)＝________．1 [f (－2π3)＝f (π3－2×π2)＝f (π3)＝1.]5．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s ，第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________s.1.4 [质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T 2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s).]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.周期函数的定义是什么？如何判断f (x )是周期函数？[提示]一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么y＝f(x)称作周期函数，利用周期函数的定义及一些常用的结论判断．2.周期函数的定义域有什么特点？[提示]设周期为T的函数的定义域为M，则x∈M，则必有x＋nT∈M(且n∈Z 且n≠0)，因此周期函数的定义域一定是无限集．2任意角学习任务核心素养1．了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点)2．掌握终边相同的角的含义及其表示．(难点)1．通过对任意角与象限角的概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助终边相同的角的表示，培养数学运算素养．周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5：00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习．小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？知识点1角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．知识点2按照角的旋转方向，分为如下三类类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角1.(1)角的三要素是什么？(2)正角、负角、零角是根据什么区分的？[提示](1)角的三要素是顶点、始边、终边．(2)根据射线是否旋转及旋转的方向．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)小于90°的角都是锐角．()(2)终边与始边重合的角为零角．()(3)大于90°的角是钝角．()(4)将时钟拔快20分钟，则分针转过的度数是120°. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×知识点3象限角如果角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴的非负半轴，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2.第二象限角比第一象限角大吗？[提示]不一定．如120°是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.2.－300°是第()象限角A．一B．二C．三D．四A[因为－300°的终边和60°的终边相同，所以它是第一象限角，故选A.] 知识点4终边相同的角给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．3.终边相同的角一定相等吗？[提示]不一定．如30°与390°角的终边相同，但并不相等．3.将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．[答案]195°＋(－3)× 360°类型1角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．(1)(2)[解]由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.1.理解角的概念的三个“明确”2.表示角时的两点注意(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”.(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，即箭头代表着角的正负．[跟进训练]1．(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．(1)－150°210°(2)－60°[(1)α＝－(180°－30°)＝－150°，β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针转过了周角的16，即－60°.]类型2终边相同的角【例2】(教材北师版P7例3改编)已知α＝－1 190°.(1)把α写成β＋k× 360°(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.[解](1)α＝－1190°＝250°－4×360°，其中β＝250°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值即可．[跟进训练]2.写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．[解]终边在直线OM上的角的集合为M＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．类型3象限角【例3】(教材北师版P6例1改编)写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．根据终边相同的角一定是同一象限的角，可以先写出第一象限角的范围和第二象限角的范围，再加上360°的整数倍即可．[解]第一象限角的集合：S＝{β|k·360°＜β＜k·360°＋90°，k∈Z}．第二象限角的集合：S＝{β|k·360°＋90°＜β＜k·360°＋180°，k∈Z}．,象限角的判定方法,因为在直角坐标平面内，0°～360°范围的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系，所以可利用终边相同的角的表示将角转化到0°～360°范围内来判断．[跟进训练]3．在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3C[－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．]当堂达标1．设A＝{α|α为锐角}，B＝{α|α为小于90°的角}，C＝{α|α为第一象限的角}，D＝{α|α为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝DD[根据角的分类，可知应选D.]2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3000°，－840°B[因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°角与750°角的终边相同．]3．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}C[－457°＝－2×360°＋263°，故选C.]4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．－252°[∵－1 692°＝－5×360°＋108°，∴与108°终边相同的最大负角为－252°.]5．－1 060°的终边落在第________象限．一[因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°的终边在第一象限．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.高中阶段所学的角与初中所学的角有什么不同？[提示]对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2.用集合表示区域角时表示形式唯一吗？[提示]区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}．3弧度制学习任务核心素养1.了解角的另外一种度量方法——弧度制．(重点、难点)2．能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点)3．掌握弧度制中弧长公式和扇形的面积公式．(重点)1．通过弧度制的建立过程，培养逻辑推理素养．2．通过弧度制与角度制的换算以及弧长公式和扇形的面积公式的应用，提升数学运算素养．度量长度可以用米、英尺等不同的单位制，度量重量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便，角的度量也可以用不同的单位制，那么测量角除了角度外，是否还有其它单位，它是怎样定义的？这就是本节课我们要重点研究的问题．知识点1弧度制的定义在单位圆中，长度等于1的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制．1.在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？[提示]确定．知识点2角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017_45 rad 1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57°18′2.(1)在角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？(2)在弧度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少弧度？[提示](1)1度；(2)π180弧度．1.(1)与120°角终边相同的角为()A．2kπ－2π3(k∈Z)B．11π3C．2kπ－10π3(k∈Z) D．(2k＋1)π＋2π3(k∈Z)(2)－23π12化为角度应为()A．－345°B．－15°C．－315°D．－375°(1)C(2)A[(1)120°＝2π3且2kπ－10π3＝(2k－4)π＋2π3(k∈Z)，∴120°与2kπ－10π3(k∈Z)，终边相同．(2)－23π12＝－2312×180°＝－345°.]知识点3弧长与扇形面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则α为度数α为弧度数扇形的弧长l＝απr180l＝αr扇形的面积S＝απr2360S＝12lr＝12αr22.已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．32[由弧长公式l＝αR，得α＝lR＝1812＝32.]类型1弧度制的概念【例1】下列说法中，错误的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小有关D[A正确；1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，B正确；根据弧度的定义，180°一定等于π弧度，C正确．根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误，故选D.]1.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π．2.在角度制下，角x与其正弦sin x无法进行运算，在弧度制下，角x是一个实数，与其正弦sin x就可以进行运算，这拓展了我们所研究函数的范围．[跟进训练]1．下列各说法中，错误的说法是()A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度D[根据1rad的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1 rad的角．对照选项，知A、B、C正确，D项错误．]类型2角度制与弧度制的互化【例2】(教材北师大版P10例1、例2改编)将下列各角度与弧度互化．(1)112°30′；(2)94π rad；(3)－3 rad.[解](1)112°30′＝112.5°＝π180rad×112.5＝5π8rad.(2)94π rad＝94×180°＝405°.(3)－3 rad＝－3×180°π≈－171.9°.1.在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式π rad＝180°是解题的关键．2.一些特殊角30°，45°，60°，90°，270°等的弧度数与度数的对应制今后常用，应熟记．3.弧度与角度在表示角时，二者不可混合使用，如β＝2kπ＋30°(k∈Z)，这种方法是不恰当的．[跟进训练]2．把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.[解]∵－1480°＝π180×(－1480)＝－74π9.又∵－74π9＝－10π＋169π，且0≤169π<2π.∴－1480°＝2×(－5)π＋16 9π.类型3弧长公式与扇形面积公式【例3】已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？先用半径r表示弧长，再依据S＝12lr建立扇形面积S与半径r之间的函数关系，最后利用配方法求最大值．[解]设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.∵l＝20－2r，∴S＝12lr＝12(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10).∴当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2.此时α＝lr＝20－2×55＝2(rad).∴当扇形的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25 cm2.本例将条件改为“已知扇形周长为10，面积为4”试求扇形的圆心角的大小．[解] 设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍). 故扇形圆心角为12rad.灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，解决扇形中的有关最值问题可运用函数思想，将扇形面积表示为半径r 的函数，再求该函数的最值．[跟进训练]3．(1)一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数为________．(2)已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.则AB 的长为________．(1)2 rad (2)4π [(1)设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.(2)∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴AB ︵的长l ＝23 π×6＝4π.]当堂达标1.3π5弧度化为角度是( )A ．110°B ．160°C ．108°D ．218°C [3π5＝35×180°＝108°.]2．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( ) A ．403π cm B ．23π cm C ．2003π cm D ．4003π cmA [根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3(cm).]3．把22°30′化为弧度的结果是________．π8 [22°30′＝22.5°＝22.5180π＝π8.]4．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的度数为________rad.π3 [因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两半径构成等边三角形，所以弦所对圆心角为60°即为π3 rad.]5．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角α的集合为________．{α|2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z } [若角α的终边落在x 轴上方，则2k π＜α＜2k π＋π(k ∈Z ).],回顾本节内容，自我完成以下问题：1.角的概念推广后，角的集合与实数集R 之间是怎样的关系？[提示] 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2.在解决与角有关的问题时，应注意什么？[提示] (1)解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．(2)在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．,4正弦函数和余弦函数的概念及其性质4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义4．2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习任务核心素养1．了解单位圆与正弦、余弦函数的关系．2．掌握任意角的正弦、余弦函数定义．(重点)3．掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号．(重点)1．通过正弦、余弦函数定义的学习，培养数学抽象素养．2．通过正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号判断，培养逻辑推理素养．在初中，由于学习的知识不够深入和认知的差异，为了便于理解锐角三角函数的概念，我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形，利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)，但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义，这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质，并对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义．如何定义一般情形下的三角函数的定义呢？(1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．(2)如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆O交于点P()u，v.正弦函数sin α余弦函数cos α定义 点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数值，记作v ＝sin_α点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数值，记作u ＝cos_α在各象限的符号1.已知Q ()x ，y 是角α终边上除原点外的一点，如何求sin α与cos α？ [提示] sin α＝y x 2＋y 2，cos α＝xx 2＋y2.1.点P (sin 2 020°，cos 2 020°)位于第________象限． 三 [∵2 020°＝5×360°＋220°， ∴2 020°是第三象限角， ∴sin 2 020°<0，cos 2 020°＜0， ∴点P 位于第三象限．]知识点2 正弦函数、余弦函数的基本性质 性质 正弦函数y ＝sin x余弦函数y ＝cos x定义域 R值域 []－1，1最大值与 最小值 当x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－1 当x ＝2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝()2k ＋1π，k ∈Z 时，y min＝－1周期性周期函数，T ＝2π单调性 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2， k ∈Z 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2， 在[]2k π－π，2k π， k ∈Z 上单调递增的； 在[]2k π，2k π＋π， k ∈Z 上单调递减k ∈Z 上单调递减2.为什么y ＝sin x ，x ∈R 是周期函数？[提示] 因为∀x ∈R ，x ＋2π与x 终边相同，所以sin ()x ＋2π＝sin x ，根据周期函数的定义可知，y ＝sin x ，x ∈R 是周期函数．2.已知sin x ＝2m ＋3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6， 则m 的取值范围是________． －74≤m ≤－54 [∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，∴结合单位圆知sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，即－12 ≤2m ＋3≤ 12.∴－74 ≤m ≤－54.]类型1 三角函数的定义及应用【例1】 (教材北师版P 15练习1改编)已知角α的终边过点P ()－3a ，4a ()a ≠0，求2sin α＋cos α的值．[解] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |. ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45， cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35， ∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a＝－45， cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法1.在角α的终边上任选一点P (x ，y )，求出点P 到原点的距离为r ()r >0，则sin α＝y r ，cos α＝xr ．2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[跟进训练]1．已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α的值． [解] 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点， 则r ＝a 2＋()3a 2＝2|a |(a ≠0). 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12 . 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12.类型2 正弦、余弦函数值符号的判断【例2】 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限(2)判断下列各式的符号．①sin 145°cos (－210°)；②sin 3·cos 4.(1)D [∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D.] (2)[解] ①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角，∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos (－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，∴sin 3＞0，cos 4＜0，∴sin 3·cos 4<0.,对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[跟进训练]2．若三角形的两内角A，B满足sin A cos B<0，则此三角形为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都有可能B[由题意知，A，B∈(0，π)，∴sin A＞0，cos B＜0，∴B为钝角．故选B.]类型3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质【例3】(教材北师版P18例3改编)已知函数f(x)＝2sin x－1.求(1)函数f(x)的定义域；(2)函数f(x)的值域；(3)函数f(x)的单调区间．若研究与三角函数有关的不等式问题，我们通常考虑数形结合思想求解．[解](1)要使函数f(x)有意义，则sin x≥1 2.如图所示，画出单位圆，作直线y＝12，交单位圆于P1，P2两点，在[0，2π)范围内，sin π6＝sin5π6＝12，则点P1，P2分别在5π6，π6的终边上，又sin x≥12，结合图形可知，图中阴影部分(包括边界)即满足sin x≥12的角α的终边所在的范围，即当x∈[0，2π)时，π6≤x≤5π6，故函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z (2)由12≤sin x ≤1，得f (x )的值域为[]0，1. (3)函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋π2()k ∈Z ，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋5π6()k ∈Z .若将例3函数的解析式改为“f (x )＝－2cos x －1”试求函数f (x )的定义域． [解] 若使函数f (x )有意义，则－2cos x －1≥0，即cos x ≤－12.作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .利用单位圆解三角不等式的一般步骤第一步：找出不等式对应方程的根；第二步：找出满足不等式的角的终边所在区域； 第三步：结合单位圆写出不等式的解集．[跟进训练]3．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个取值区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4D ．[0，π]A [如图所示，在直角坐标系中作出单位圆及直线y ＝x ，要使sin x ≤cos x ，由三角函数线的定义知角x 的终边应落在直线y ＝x 上或者该直线的下方，故选A.]当堂达标1．设已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( )A ．－32B ．－12C ．32D ．12B [由于x ＝－32，y ＝－12，由正弦函数的定义知，sin α＝y ＝－12，故选B.] 2．当α为第二象限角时，||sin αsin α－cos α||cos α的值是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．－2 C [∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.∴||sin αsin α－cos α||cos α＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.]3．若sin α≥32，则角α的取值范围是___________________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z[如图作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z .]4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P ()4，y 是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．－8 [∵sin θ＝y 42＋y2＝－255， ∴y <0，且y 2＝64，∴y ＝－8.]5．u ＝12cos α，α∈[－π3，2π3]的单调递增区间是________，单调递减区间是________．[－π3，0] [0，2π3] [由图可知u ＝12cos α，在[－π3，0]上是增函数，在[0，2π3]上是减函数．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.借助单位圆，思考正弦函数，余弦函数的定义域、值域、周期、单调区间各是什么？[提示] 正弦、余弦函数的定义域、值域、周期均相同，分别是R 、[－1，1]、2π.正弦函数的单调增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )，余弦函数的增区间为[2k π－π，2k π](k ∈Z )，减区间为[2k π，2k π＋π](k ∈Z ).2.如何判断正弦函数值和余弦函数值在各象限内的符号？ [提示] (1)正弦函数值的符号取决于纵坐标y 的符号． (2)余弦函数值的符号取决于横坐标x 的符号．正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦．4．3 诱导公式与对称 4．4 诱导公式与旋转学 习 任 务核 心 素 养1．了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用．(重点)2．理解诱导公式的推导过程．(难点)3．能运用有关诱导公式解决一些正弦函1．借助诱导公式的推导，培养逻辑推理素养．2．通过诱导公式的应用，提升数学运算素养．。
第一章综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．(2018·青岛模拟)给出下列命题：①圆柱的任意两条母线互相平行；②球上的点与球心的距离都相等；③圆锥被平行于底面的平面所截，得到两个几何体，其中一个仍然是圆锥，另一个是圆台；④半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面是球面；⑤在空间中，与定点的距离为定长的所有点的集合是球．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2 D．3答案 D解析①③④正确；②错在球不仅包括球面，而且还包括球面内部的点，故球上的点与球心的距离并非都相等；⑤所构成的集合应是球面，而不是球．2．如图所示的直观图的原平面图形是()A．任意三角形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形答案 B3.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1 B．5C．快D．乐答案 B解析如图所示，将题图折成正方体，可得2的下面是5.4．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为( ) A.π2 B ．π C.32π D.3π答案 C解析 方法一：如下图，AD ＝62，AO ＝23AD ＝63，SO ＝SA 2－AO 2＝233. ∴R 2＝(233－R)2＋23.∴R ＝32.球的体积为32π.方法二：构造棱长为1的正方体如上图，则C 1A 1BD 为棱长为2的正四面体，正方体的外接球也为正四面体的外接球．此时球的直径为3，因此球的体积为32π. 5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A ．3 2B ．2 3C ．2 2D ．2答案 B解析 借助棱长为2的正方体，如图，由三视图知该几何体是图中的四棱锥A －BCDE ，AE 为最长的棱．所以AE ＝22＋22＋22＝2 3.故选B.6．设有直线m ，n 和平面α，β下列四个命题中，正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若mα，nα，m ∥β，n ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，mα，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⃘α，则m ∥α 答案 D 解析 若α∥β，m β，nβ，可知m ∥α，n ∥α但m 与n 可以相交，所以A 不对；若m ∥n ，即使有mα，nα，m ∥β，n ∥β，α与β也可以相交，所以B 不对；若α⊥β，α中仍有不与β垂直的直线，例如α与β的交线，故C 不对；若α⊥β，则在α中可作与β垂直的直线n ，又m ⊥β，则m ∥n ，又m ⃘α，所以m ∥α，故D 正确．讲评 本题主要考查立体几何基础知识，其中有线面平行、面面垂直等知识． 7．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.8π3 B.82π3C ．82π D.32π3答案 B解析 截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R ，则R 2＝12＋12＝2，∴R ＝2，V ＝43πR 3＝82π3.8．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 C解析 延长CA 至点M ，使AM ＝CA ，则A 1M ∥C 1A ，∠MA 1B 或其补角为异面直线BA 1与AC 1所成的角，连接BM ，易知△BMA 1为等边三角形，因此，异面直线BA 1与AC 1所成的角为60°，选C.9．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝2，则球O的表面积等于()A．4πB．3πC．2πD．π答案 A解析如图，以SA，AB，BC为棱长构造长方体，得体对角线长为12＋12＋（2）2＝2R，所以R＝1，S＝4πR2＝4π.10．(2018·唐山模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．6 B．3 3C．2 3 D．3答案 B解析由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为左视图，该左视图是底边长为2，高为3的三角形，主视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以几何体的体积V＝S·h＝(12×2×3)×3＝3 3.11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D1D．A1A答案 B解析因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以可证BD⊥平面ACC1A1，又CE平面ACC1A1，则CE⊥BD.12．(2018·温州模拟)如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将△ADE 沿AE 翻折成△SAE ，使得平面SAE ⊥平面ABCE ，则下列三种说法中正确的个数是( ) ①存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ； ②平面SBC 内存在直线与SA 平行； ③平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 由题图，得SA ⊥SE ；若存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ，则SA ⊥SB ，SA ⊥SC ，则SC ，SB ，SE 三线共面，则点E 与点C 重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA 与平面SBC 相交，所以在平面SBC 内不存在直线与SA 平行，故②错误；显然，在平面ABCE 内，存在直线与AE 平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行，故③正确．故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知二面角α－l －β的大小为60°，若直线a ⊥α，直线b ⊥β，则异面直线a ，b 所成的角是________． 答案 60°14．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)，则该几何体的体积为________ m 3. 答案 4解析 这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于16×2×4×3＝4.15．如图所示，四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.其中真命题的序号是________(写出所有真命题序号)．答案①④解析①中取BC中点E，连接AE，DE.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AE⊥BC，DE⊥BC.∵AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AD.④中过A向平面BCD内作垂线，垂足为O，连接BO，CO，DO，可证O为△BCD的垂心．∴BC⊥DO.又BC⊥AO，∴BC⊥平面ADO，∴BC⊥AD.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.解析(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为P A⃘平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝12PA＝3，EF＝12BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2.所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．解析(1)在△ABD中，由于AD＝4，BD＝8，AB＝45，所以AD 2＋BD 2＝AB 2. 故AD ⊥BD.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD 平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD. 又BD平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD. (2)过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ， 由于平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD.因此PO 为四棱锥P －ABCD 的高． 又△PAD 是边长为4的等边三角形， 因此PO ＝32×4＝2 3. 在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，所以四边形ABCD 是梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形ABCD 的高，所以四边形ABCD 的面积为S ＝25＋452×855＝24.故V P －ABCD ＝13×24×23＝16 3.讲评 本题考查了面面垂直以及锥体体积的计算和学生空间想象能力、思维能力，解决该题的关键是底面梯形ABCD 面积的计算．19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面PAD ； (2)求三棱锥E －ABC 的体积V.解析 (1)在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC.又BC ∥AD ，∴EF ∥AD. 又∵AD平面PAD ，E F ⃘平面PAD ，∴EF ∥平面PAD.(2)连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ， 则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA.在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝ 2.∴V E －ABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.20．(本小题满分12分)如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ (3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE.解析 (1)由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD.又BC 綊12AD ，故GH 綊BC.所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面． 理由如下．由BE綊12AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．(3)如图所示，连接EG，由AB＝BE，BE綊AG及∠BAG＝90°知四边形ABEG是正方形，故BG⊥EA.由题设知，FA，AD，AB两两垂直，故AD⊥平面EBAF.因此EA是ED在平面EBAF内的射影，BG⊥ED.又ED∩EA＝E，所以BG⊥平面ADE.由(1)知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE.由(2)知CH平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE. 21．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．解析(1)如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.∵CD∥AB，∴BE⊥AB.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BE.∵PA∩AB＝A，∴BE⊥平面PAB.又∵BE平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB.(2)∵BE⊥平面PAB，∴BE⊥PB.∴∠ABP是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，AB＝1，PA＝3，tan∠ABP＝3，∴∠ABP＝60°.∴二面角A—BE—P的大小是60°.22．(本小题满分12分)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC的中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．解析由三视图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE－BCF，且AB＝BC＝BF ＝2，DE＝CF＝22，∠CBF＝90°.(1)取BF的中点G，连接MG，NG，由M，N分别为AF，BC中点，可得NG∥CF，MG∥EF⇒面MNG∥面CDEF⇒MN∥面CDEF.(2)取DE中点为H，连接AH，因为AD＝AE⇒AH⊥DE，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，面ADE∩面CDEF＝DE⇒AH⊥平面CDEF⇒多面体A－CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH＝2，S矩形CDEF＝DE·EF＝42⇒棱锥A－CDEF的体积V＝13S矩·AH＝83.。
课时作业(十八)1．直线y＝x－12的倾斜角为()A．45°B．30°C．135°D．60°答案 A2．已知直线的方程是y＋3＝－x－1，则()A．直线经过点(3，－1)，斜率为－1B．直线经过点(－3，－1)，斜率为1C．直线经过点(－1，－3)，斜率为－1D．直线经过点(1，－3)，斜率为－1答案 C3．(2018·合肥一中检测)已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为()A．y＝3x＋2 B．y＝－3x＋2C．y＝－3x－2 D．y＝3x－2答案 D解析直线的倾斜角为60°，则其斜率为3，利用斜截式直接写方程．4．方程y＝k(x－2)表示()A．通过点(－2，0)的所有直线B．通过点(2，0)的所有直线C．通过点(2，0)且不垂直于x轴的直线D．通过点(2，0)且除去x轴的直线答案 C解析直线x＝2也过(2，0)，但不能用y＝k(x－2)表示．5．直线y＝ax＋b(a＋b＝0)的图像可能是()答案 D6．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0答案 D7．方程为y ＝kx 与y ＝x ＋k 的两条直线可能是下列图形中的( )答案 D8．过点P(2，1)，且倾斜角是直线l ：x －y －1＝0的倾斜角的两倍的直线方程为( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x ＝2 C ．y －1＝2(x －2) D ．2x －y －1＝0答案 B9．斜率与直线3x －2y ＝0的斜率相等，且过点(－4，3)的直线方程为( ) A ．y －3＝32(x ＋4)B ．y ＋3＝32(x －4)C ．y －3＝－32(x ＋4)D ．y ＋3＝－32(x －4)答案 A解析 由已知直线3x －2y ＝0，即y ＝32x ，得斜率k ＝32，代入点斜式方程可得答案．10．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是( ) A ．y ＝－3x B ．y ＝3x C ．x －3y ＋2＝0 D ．x ＋3y －2＝0 答案 B解析 如图所示，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°(三角形外角的性质)．所以l 的斜率为tan α＝tan60°＝ 3.所以l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x.11．直线y＝－2(x－3)在y轴上的截距是________，斜率是________．答案6，－2解析方程y＝－2(x－3)可化为y＝－2x＋6，结合斜截式方程易知，在y轴上的截距为6，斜率为－2.12．若点P(－1，2)在直线y＝m(x－3)上，则该直线在y轴上的截距等于________．答案3 213．直线l的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．答案5 2解析斜率为1，则方程为y＋1＝x－4，即y＝x－5，与x轴、y轴的交点分别为(5，0)，(0，－5)，∴截得的线段长为5 2.14．已知直线y＝－33x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，求分别满足下列条件的直线l的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在x轴上截距为－2；(3)在y轴上截距为3.解析由直线y＝－33x＋5，得k＝－33，即tanα＝－33，∴α＝150°.故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝33.(1)∵l过点P(3，－4)，则由点斜式方程，得y＋4＝33(x－3)，即y＝33x－3－4.(2)在x轴上截距为－2，即直线l过点(－2，0)．由点斜式方程，得y－0＝33(x＋2)，即y＝33x ＋233. (3)∵l 在y 轴上截距为3，则由斜截式方程，得y ＝33x ＋3. 15．直线l 经过点P(－2，3)，且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程．解析 设A 、B 两点的坐标分别为(a ，0)和(0，b)．因为点P(－2，3)为线段AB 的中点，由中点坐标公式可得a ＝－4，b ＝6，∴直线l 的方程为3x －2y ＋12＝0. 16．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0. (1)若l 在两个坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求a 的取值范围． 解析 (1)l ：(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0， 当x ＝0时，y ＝a －2，当y ＝0时，x ＝a －2a ＋1.∴a －2＝a －2a ＋1，∴a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴直线方程为x ＋y ＋2＝0或3x ＋y ＝0. (2)∵l 不经过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）≥0，－（2－a ）≤0.∴a ≤－1.。
课时作业(一)1．设有四个命题，其中，真命题的个数是()①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；③用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；④侧面都是长方形的棱柱叫长方体．A．0个B．1个C．2个D．3个答案 A2．下列几何体中是棱柱的有()A．②③⑤B．③⑤⑥C．②③④D．①③⑤答案 D3．棱台不具有的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点答案 C4．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是() A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上都可能答案 D5．下列命题中错误的是()A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形答案 B6．下列说法中正确的是()A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形答案 A7．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体答案 B解析余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.8．一个圆台的母线长为13，上、下底面直径的差为10，则圆台的高为()A．9 B．10C．11 D．12答案 D解析作圆台的轴截面，易知R－r＝5，l＝13，则利用勾股定理可求高h＝12.9.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下答案 B解析如图所示的正方体，要展开成要求的平面图，必须剪开棱BC，使正方形BCC1B1向东的方向展开．剪开棱D1C1，使正方形DCC1D1向北的方向展开．剪开棱A1B1，使正方形ABB1A1向南的方向展开，然后拉开展开，则标“△”的面的方位向北．故选B.10.如图所示的平面结构，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个棱柱答案 B11．若一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 答案12解析该棱柱为五棱柱，共5条侧棱．12．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确说法的序号是________．答案①解析因为直径一定过球心，故②不对；用平面截球，得到的是一个圆面，而不是一个圆，故③不对．13．在正方体中任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的序号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．答案①③④⑤解析在正方体ABCD－A′B′C′D′中，①ACC′A′为矩形，②不存在，③四面体A′－ABD，④四面体A′－BC′D，⑤四面体A′－BB′C.14．(1)观察长方体，共有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有几对？(2)观察螺杆头部模型，有多少对平行的平面？能作为棱柱底面的有几对？答案(1)平行平面共有三对，任意一对平行平面都可以作为棱柱的底面．(2)平行平面共有四对，但能作为棱柱底面的只有一对，即上下两个平行平面．15．如下图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于桌面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状是否形成棱柱体．答案形成棱柱体16．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面面积等于392 cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长以及两底面的半径．解析如图所示，将台还原成锥，设上、下底半径分别为x cm，3x cm，则在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，从而∠SAO＝45°，所以SO＝AO＝3x，从而OO1＝2x.又S轴截面＝12(6x＋2x)·2x ＝392，所以x＝7，从而高OO1＝14 cm，母线l＝14 2 cm，上、下底半径分别为7 cm，21 cm.。
课时作业(一)
1．设有四个命题，其中，真命题的个数是()
①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；
③用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；
④侧面都是长方形的棱柱叫长方体．
A．0个B．1个
C．2个D．3个
答案 A
2．下列几何体中是棱柱的有()
A．②③⑤B．③⑤⑥
C．②③④D．①③⑤
答案 D
3．棱台不具有的性质是()
A．两底面相似B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点
答案 C
4．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是() A．圆锥B．圆柱
C．球体D．以上都可能
答案 D
5．下列命题中错误的是()
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
答案 B
6．下列说法中正确的是()
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高
D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
答案 A
7．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是()
A．三棱锥B．四棱锥
C．三棱柱D．组合体
答案 B
解析余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.
8．一个圆台的母线长为13，上、下底面直径的差为10，则圆台的高为()
A．9 B．10
C．11 D．12
答案 D
解析作圆台的轴截面，易知R－r＝5，l＝13，则利用勾股定理可求高h＝12.
9.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是()
A．南B．北
C．西D．下
答案 B
解析如图所示的正方体，要展开成要求的平面图，必须剪开棱BC，使正
方形BCC1B1向东的方向展开．剪开棱D1C1，使正方形DCC1D1向北的方向
展开．剪开棱A1B1，使正方形ABB1A1向南的方向展开，然后拉开展开，则标“△”的面的方位向北．故选B.
10.如图所示的平面结构，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个棱柱
答案 B
11．若一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 答案12
解析该棱柱为五棱柱，共5条侧棱．
12．有下列说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；
②球的直径是球面上任意两点间的连线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．
其中正确说法的序号是________．
答案①
解析因为直径一定过球心，故②不对；用平面截球，得到的是一个圆面，而不是一个圆，故③不对．
13．在正方体中任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的序号)
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
答案①③④⑤
解析在正方体ABCD－A′B′C′D′中，
①ACC′A′为矩形，②不存在，③四面体A′－ABD，④四面体A′－BC′D，⑤四面体A′－BB′
C.
14．(1)观察长方体，共有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有几对？
(2)观察螺杆头部模型，有多少对平行的平面？能作为棱柱底面的有几对？
答案(1)平行平面共有三对，任意一对平行平面都可以作为棱柱的底面．
(2)平行平面共有四对，但能作为棱柱底面的只有一对，即上下两个平行平面．
15．如下图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于桌面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状是否形成棱柱体．
答案形成棱柱体
16．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面面积等于392 cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长以及两底面的半径．
解析如图所示，将台还原成锥，设上、下底半径分别为x cm，3x cm，则在Rt△SOA中，
∠ASO＝45°，从而∠SAO＝45°，所以SO＝AO＝3x，从而OO1＝2x.又S轴截面＝1
2(6x＋2x)·2x ＝392，所以x＝7，从而高OO1＝14 cm，母线l＝14 2 cm，上、下底半径分别为7 cm，21 cm.。
