高一数学人教版必修一第一章1.2.2复合函数问题练习(含答案)

复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为 A, u=g(x)的值域为B,若A 二B ,则y 关于x函数的y=f [ g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二复合函数解析式1待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法 例 1 设 f (x)是一次函数，且 f [ f (x)] = 4x • 3，求 f (x).解：设 f (x)二 ax b (a = 0)，则f [ f (x)] = af (x) b = a(ax b) b = a 2x ab b二 f(x)=2x+1 或 f(x) = —2x + 3 .2、 配凑法：已知复合函数 f[g(x)]的表达式，求f (x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配 成g(x)的运算形式时，常用配凑法 .但要注意所求函数f (x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域.1 2 1例2已知f(x ) = x 22(x 0)，求f (x)的解析式.xx1 12 12解： f(x )=(x )2 -2, x 2,. f(x) = x 2-2 (x_2).x xx3、 换元法：已知复合函数 f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式.与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化. 例 3 已知 f (.X • 1) = x • 2、.. x ，求 f (x T). 解：令 t• 1,则 t -1 , x =(t -1)2 .:f ( 一 x 1) =x 2 ..X ,■ f(t) =(t 一1)2 2(t 一1) =t 2 -1,.f(x)=x 2-1 (x -1),■ f(x 1) = (x 1)2 -1 = x 2 2x (x _ 0).4、 代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法 例4已知：函数 目仝 x 与y =g(x)的图象关于点(-2,3)对称，求g(x)的解析式. 解：设M(x,y)为y = g(x)上任一点，且 M (x ,y )为M (x, y)关于点(-2,3)的对称点.r 2. a =4ab +b =32=2 b=1a =-2又 f (1) -1,故f (x 1) - f (x) =x 1①• 2「点 M(x ；y)在 y = g(x)上,”•” y 「=x" +xx * = 一x —4 把」— 代入得：6—y=(—X —4)2 +(—X —4) •y = 6-y整理得 y - -x 2 —7x -6 ,. g(x) - -x 2 -7x -6 .5、 构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式. 例 5 设 f (X )满足f (x) - 2f (丄)=x,求 f (x). x解 f(x) —2f 』)=x ①X显然x=0,将x 换成丄，得：f (1^2f(x) ^1 ②XX X解①②联立的方程组，得：f (x) =-X - Z .3 3x6、 赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式.例7已知：f(0)=1，对于任意实数x 、y ，等式f (x-y) = f (x) - y(2x-y T)恒成立,求 f (x).解：对于任意实数X 、y ,等式f (x - y)二f (x) - y(2x - y T)恒成立，不妨令 x = 0，则有 f (「y) = f (0)「y(「y 1) = 1 y( y 「1) = y 2「y 1 . 再令- y = x 得函数解析式为：f (x) = x 2亠x T .7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭 力口、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式. 例8 设f (x)是定义在 N •上的函数，满足f(1) =1，对任意的自然数a,b 都有f (a) f (b) = f(a b) -ab ，求 f (x).解• f (a) f (b)二 f (a b) - ab , a,b N .,不妨令 a = x,b =1，得：f (x) f (1) = f (x 1) - x ,，解得:乂 = _x_4y =6 —y令①式中的x= 1,2，…，n—1 得：f(2)_f(1)=2, f(3) _f(2) =3川I川，f (n) _ f (n _1) = n 将上述各式相加得：f(n) 一f (1) = 2 • 3 •…n ,复合函数定义域问题，解得n(n 1).f(讥1 2 3" 2 f (x)⑴、已知的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D，，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以g（x）•二D，解得的定义域。

例1.设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）又f对Inx作用, 作用范围不变，所以解得，故函数的定义域为（1，e)例2.若函数，则函数的定义域为解析：先求f的作用范围, ，知即f的作用范围为，又f对f（x）作用所以，即中x应满足故函数的定义域为（2）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用, 作用范围不变，所以的定义域。

例3.已知的定义域为，则函数的定义域为解析: 的定义域为，即，由此得所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以的作用范围为又f 对 作用，所以 ，解得即 的定义域为 四、复合函数单调性问题(1)引理证明已知函数y 二f(g(x)).若u 二g(x)在区间(a, b )上是减函数，其值域为 (c , d)，又 函数y 二f (u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数 y 二f(g(x))在区间(a,b )上 是增函数.证明：在区间(a,b )内任取两个数 x 「X 2，使a ■■治：：：x 2 ::: b因为u = g(x)在区间(a,b )上是减函数，所以g(x.|) g(x 2),记山=), u 2 = g (x 2)即 u^> u 2,且u 1 ,u 2 E (c, d)因为函数y = f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(uj ：：： f(u 2),即即函数 的定义域为例4.已知 ，则函数 的定义域为 ________________解析：先求f 的作用范围，由 ，知解得,f 的作用范围为即的定义域为 (3)、已知的定义域，求思路: 设 的定义域为D ,即又f 对作用, 作用范围不变，所以例5. 若函数的定义域为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以的定义域，由此得 ，的作用范围为E , ，解得 ，F 为的定义域。

，贝y的定义域为 ______________ 。

解析： 的定义域为 ，即 ，由此得f(g(xj) ：：： f(g(X 2)),故函数y = f(g(x))在区间(a,b )上是增函数. (2).复合函数单调性的判断表:(3)例题演练2例1、求函数y = log i (x - 2x - 3)的单调区间，并用单调定义给予证明+2解：定义域 x 2 -2x-3 .0= x • 3或x ：：： -1单调减区间是(3, •：：) 设x-i ,x^ (3, •：：)且x^：： x 2则2 2y - =log -(X i -2兀 -3) y ? iog-X -2x 2-3)2 22 2(x 1 -2x_! -3) - (x 2 -2x 2 -3)=(x 2 -xj(x 2 为 -2)T x 2 x 1 3x 2 - X j 0 x 2 禺 一 2 02 2-(xi2x--3)>(x 2 2x 2 -3) 又底数 012.y 2 一 y i :: 0即 y 2 ：： y i.y 在(3, •：：)上是减函数.同理可证：y 在(-：：，-1)上是增函数， 例2、讨论函数f(x) =log a (3x 2 -2x -1)的单调性• ［解］由3x 2-2x-1得函数的定义域为1 {x|x 1,或 x }.3则当 a ・1 时，若 x 1u=3x 2-2x-1 为增函数，.f (x) = logaQx 2「2x -1)为增 函数.1若x ,••• u =3x2-2x-1 为减函数.3••• f(x) Jog a(3x2 _2x—1)为减函数。

1当0 ：：：a ：：：1 时，若x 1 ,则f (x) = lo Q Q X2 - 2x -1)为减函数，若x ：：：- -，则3f(x) =lo Q(3X2 -2x -1)为增函数.例3、.已知y= log a (2- a x)在］0, 1］上是x的减函数，求a的取值范围.解：a> 0 且1当a> 1时，函数t=2- a x>0是减函数x由y=log a (2- a )在］0, 1］上x的减函数，知y= log a t是增函数，•a> 1由:0, 1］时，2- a x_2-a >0,得a v 2,• 1 v a v 2当0<a<1时，函数t=2- a x>0是增函数•由y=log a (2- a x)在］0, 1］上x的减函数，知y= log a t是减函数，•0<a<1由x :0, 1］时，2- a x-2-1 >0, • 0<a<1综上述，0<a<1或1 v a v 2。