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五年级：美妙数学之“分段计费——阶梯电价问题“（1020五）分段计费——阶梯电价问题美妙数学天天见，每天进步⼀点点。
亲爱的同学，你好！我是朱乐平名师⼯作站的学员官晓辉⽼师，来⾃杭州江南实验学校。
今天与你分享的内容是“分段计费——阶梯电价问题”。
同学们，你知道⽤电是怎么收费的吗？阅读与理解张叔叔家9⽉⽤电270度，应缴电费多少元？1千⽡时电就是平时说的1度电。
200度及以下按每度0.54元计费，我家每⽉200度应该够⽤了！阶梯电价是把⽤电量设置为⼏个阶梯（分段），逐级递增单价。
这种'多⽤者多付费'的原则，可以提⾼⽤电效率，让⼤家⾃觉节约资源、保护环境。
分析与解答张叔叔家9⽉⽤电270度，应缴电费多少元？应该按哪个单价来计算呢？我觉得270度在201与400之间，应该按每度0.59元计费。
阶梯电价是分段计费的意思。
270度中，200度按每度0.54元计费，70度按每度0.59元计费。
⾯积图（单价×数量=总价）列式解答天天家上⽉⽤电460度应该要付电费多少元？⾯积图（单价×数量=总价）列式解答答：张叔叔家应缴电费149.3元，天天家应缴电费276.4元。
回顾与反思解决这类阶梯电价的问题，⾸先要理解题意，分清⼏段；然后⼀段⼀段进⾏计算；最后再求⼏段的和。
国家不统⼀分段电价的标准，由各省（直辖市、⾃治区）根据本地实际情况⾃⾏确定。
拓展练习某地区实施电费分段阶梯式收费的⽅法如下：张叔叔上⽉⽤电270度应该要付电费多少元？张叔叔家的⽤电量按这个收费标准⼜该付多少钱呢？快来试试吧！美妙数学天天见，每天进步⼀点点。
亲爱的同学们，关于分段计费的话题，我们研究了5个问题了，明天我们⼀起来总结、分析这类问题的特点。
图⽂：官晓辉审核：⽅巧娟。
数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B参赛队员(打印并签名) ：序号姓名(打印) 所在学院签名(亲手)1 祝进数学与统计学学院2 赵明惠材料与物理学学院3 徐静静数学与统计学学院日期： 2014 年 7 月 19 日评阅编号（由竞赛组委会评阅前进行编号）：大学生数学建模竞赛评阅专用页评阅编号（由竞赛组委会评阅前进行编号）：评阅记录（供竞赛组委会评阅时使用）：评阅结果：获奖等级：阶梯电价的设置摘要：本文讨论的阶梯电价问题是切实关系到居民实际利益的重要问题之一。
解决此类问题需要将实际问题尽可能的简单化、具体化，并尽量使计算方便。
本文在处理问题一的过程中就是利用Excel软件将题目所给出的数据中部分缺失的数据根据A、B小区缺失数据的多少分别进行删除法、插入均值法的处理，然后将经过处理过的数据进行求和、平均值处理，经过筛选所得数值找出用电量分别在第一档210度以下的居民户数、第二档210度与400度之间的居民户数和第三档400度以上的居民户数，做出其与总户数的比值，根据80%与95%两个覆盖率，从而很容易就解决了问题一所要解答的A、B两个小区的用电量所处的水平。
对于第二小问，从不同的用电量水平出发，用软件做出用电量与户数及累计户数比例的复合图，可以大致得出当覆盖率为80%和95%时用电量的上限值，为进一步确定其值，在保证的居民用电量在第一档的情况下先对A、B小区平均每月用电量进行排序后，分别计算出和小区在的水平下的最少居民数，以及95%的水平下的最少居民数，再按排序表根据最少居民人数选择分层的标准，从而制定出了适合该小区的阶梯电价实施标准。
问题重述阶梯电费收取方法为：1、当实际用电量在第一级电量基数范围内时，阶梯电费=基本电价×实际用电量；2、当实际用电量在第二级电量基数范围之间时，阶梯电费=基本电价×第一级电量+二档电价×（实际用电量-第二级电量基数下限）；3、当实际用电量超过第二级电量基数上限时，阶梯电费=基本电价×第一级电量+二档电价×第二级电量基数区间范围+三档电价×（实际用电量-第二级电量基数上限）。
湖南省阶梯电价标准如下。
第一档：不分季节，电量每户每月180度及以下，执行基准电价，每度0.588元；第二、三档用电量分季节。
3、4、5、9、10、11月为春秋季，二档电量为超过180千瓦时—350千瓦时，三档电量为350千瓦时以上；1、2、6、7、8、12月为冬夏季，二档电量为超过180千瓦时—450千瓦时，三档电量为450千瓦时以上。
第二档每度加价0.05元；第三档每度加价0.3元。
附件中是某个小区居民用水、电量的统计表，请分析数据并建模回答下列问题：问题一针对现行的阶梯电价标准，判断该小区用电量属于何种水平。
从该小区用电量水平出发，请制定合适的阶梯电价实施标准。
问题二试分析居民用水与用电量之间是否有关系。
问题三现有一家用节水设备，能达到节水10%的目的。
请从设备的安装成本、耗电量、维护费用及使用寿命几个角度出发，结合居民用水电量数据，建立数学模型，给出该设备是否能够降低居民水电费的判别方法。
问题分析问题一通过对数据的观察，结合已知的现行的阶梯电价标准以及用电量标准，计算出每个季度的居民阶梯用电量，我们对小区居民每个季度的用电量数据进行分析统计，计算出每个季度该小区居民的用电量在各阶段的百分比，然后与现行的用电量标准作出比较，判断该小区的用电量水平。
在比较之后，我们对现行的阶梯电价做出优化，使其更加合理。
问题二要确定该小区的用水量与用电量是否有关系，就要对已有的每个季度居民用水量与用电量的数据进行分析、处理、作图，确定它们之间是否有关系。
目前学生对数学的认识：难学，没用。
教材也一再修改，迎合学生的实际状况，改变结构降低难度，到底数学应该怎么定位？教学目的是什么？给了学生什么？对学生的将来会有什么影响？个人观点：1.与其说运用数学知识，不如说更多地学会运用数学思想解决问题2，在职研业教育阶段，数学能力的运用比知识更为重要。
数学能力一般是指抽象思维能力、逻辑推理与判断能力、空间想象能力、数学建模能力、数学运算能力、数据处理与数值计算能力、数学语言与符号表达能力等2000年，美国数学教师协会发布《数学课程标准》，提到六项能力：第一，数的运算能力；第二，问题解决的能力；第三，逻辑推理能力；第四，数学连接能力；第五，数学交流能力；第六，数学表示能力。
比如：可以用数字精确表示表示大小和位置，准确的额定位和描述大小。
在考虑问题时的逆向思维，发散性思维，图形的表现。
立体图形用三视图逻辑推理和论证这些能力。
只有数学学科才能做到和完成。
所以数学就是锻炼大脑思维的游戏。
课堂教数学就是带领学生做游戏，而数学知识就是游戏规则。
1．函数与方程的思想函数是反映客观事物及其运动变化的一种重要形式，是贯穿中学数学内容的一条主线，主要包括函数的概念、图象和性质以及几类典型的函数．而函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问愿函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，它往往渗透到各章节中，与之发生联系，并发挥它作为数学理念的引领作用．如与方程、数列、不等式、平面解析几何等内容相关的非函数问题，都往往可利用函数思想，转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决．方程思想是从问题的数量关系人手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如含参数的方程的讨论、方程与曲线的相互转化等都要利用到方程思想．函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想．1.分段函数在生活中的运用近年来，由于用电紧张，用电成本增加，为使居民节约用电，山西省居民生活用电从2013年7月1日起试行阶梯电价。
五年级数学阶梯电费问题讲解一、阶梯电费问题基础题型（1 - 10题）1. 某地的阶梯电价收费标准如下：每月用电量不超过100度时，每度电0.5元；超过100度但不超过200度的部分，每度电0.6元；超过200度的部分，每度电0.8元。
小明家上月用电150度，电费是多少元？- 解析：小明家用电150度，其中100度按每度0.5元收费，超过100度的部分为150 - 100 = 50度，这50度按每度0.6元收费。
- 100×0.5+(150 - 100)×0.6.= 50+50×0.6.= 50 + 30.= 80（元）。
2. 某市实行阶梯水价，每户每月用水量不超过10立方米时，每立方米水价为3元；超过10立方米但不超过20立方米的部分，每立方米水价为4元；超过20立方米的部分，每立方米水价为5元。
小红家上月用水18立方米，水费是多少元？- 解析：小红家用水18立方米，10立方米按每立方米3元收费，超过10立方米的部分为18 - 10 = 8立方米，这8立方米按每立方米4元收费。
- 10×3+(18 - 10)×4.= 30+8×4.= 30+32.= 62（元）。
3. 某地区阶梯电费规定如下：月用电量在80度及以下的，每度电0.45元；81 - 150度的部分，每度电0.5元；151度及以上的部分，每度电0.6元。
小刚家上月用电120度，电费是多少元？- 解析：小刚家用电120度，80度按每度0.45元收费，超过80度的部分为120 - 80 = 40度，这40度按每度0.5元收费。
- 80×0.45+(120 - 80)×0.5.= 36+40×0.5.= 36+20.= 56（元）。
4. 某城市的阶梯气价为：每月用气量不超过50立方米时，每立方米气价2元；超过50立方米但不超过100立方米的部分，每立方米气价2.5元；超过100立方米的部分，每立方米气价3元。
阶梯电价的效用分析问题摘要阶梯电价是指把户均用电量设置为若干个阶梯分段或分档次定价计算费用。
对居民用电实行阶梯式递增电价可以提高能源效率。
本文选择湖北省为参考对象对问题进行研究。
针对问题一，本文先把实施阶梯电价前后的电费用函数表达式表达，然后作出函数图像，根据曲线的走势，得出改革前后的变化情况：当居民用电量较低时，即用电量小于第一阶梯时，阶梯电价的实施对大多数居民的影响很小；当居民用电量较高时，用户的用电支出比阶梯电价出台时要高，随着用电量的增加，电费也相应的增加，且电量越多，电价增长的越高。
故用电量越大，电价越高，阶梯电价对居民的用电支出的影响越大，这符合阶梯电价“多用者多付”的机制相符，适合社会发展需求。
针对问题二，本文建立湖北省年人均用电量与人均支出费用的相关系数函数，再由matlab软件画出其相互关系函数图，得出人年均电量与人均支出的相关系r ，可以看出其两者相关性很高，再把不同收入等级的居民的平均可数0.8149支配收入、用电量情况及对电费的承受能力进行对比分析，得出第二档灵敏度最高，影响程度最高。
针对问题三，本文通过效用函数，来表示弹性需求对消费支出的影响。
在数据的分析中，把电费支出占居民家庭收入的比值来计算，把用电费用改革波动大小作为衡量对居民生活费用的影响程度。
相关系数为0.5625。
说明影响程度很大，且第二档的用户最为灵敏程度最高。
针对问题四,本文通过类比法以及分段评估的方式，将湖北省的居民水价设为三档，且一、二、三档的价格分别为：1.52元/吨，2.28元/吨，3.04元/吨。
关键词：阶梯电价 matlab软件阶梯水价相关系数一．问题重述1.1问题背景阶梯电价是指把户均用电量设置为若干个阶梯分段或分档次定价计算费用，对居民用电实行阶梯式递增电价，阶梯式电价的具体内容是：第一阶梯为基数电量，此阶梯内电量较少，电价也较低；第二阶梯电量较高，电价也较高一些；第三阶梯电量更多，电价更高。
随着户均消费电量的增长，每千瓦时电价逐级递增。
市场的差别定价，提高用电效率。
1.2问题重述2010年10月，国家发改委关于向社会公开征求居民生活用电实行阶梯电价意见时明确指出，在我国全面实行居民阶梯电价，主要考虑建立3个机制：一是合理电价机制；二是公平负担的用电机制；三是促进节能减排机制。
通过实行居民阶梯电价政策，可以充分发挥价格杠杆的作用，引导用户特别是用电量多的用户调整用电行为，促进合理节约用电。
从2012年7月1日到今年上半年，全国除新疆、西藏以外的大部分省市都陆续开始实行居民用电阶梯价格新方案，由此引发了一系列与老百姓日常生活息息相关的问题：新的阶梯电价主要变化有哪些？实行阶梯电价后居民日常用电的费用是增加还是减少？居民的生活水平将受到怎样的影响等。
到今年4月末，阶梯电价已经实行了近两年。
本文以湖北省的居民日常用电量为标准，进行数据调查。
在湖北省的阶梯电价的实施方案中电量分为三档，第一档为0—180千瓦时/户•月，第二档为181—400千瓦时/户•月，第三档为超过400千瓦时/户•月以上的电量。
电价实行分档递增，其中第一档保持现行电价标准不变，第二档每千瓦时提价0.05元，第三档每千瓦时则提价0.30元。
根据搜集到的数据，建立数学模型，给出相关的分析结果，回答以下问题：1. 阶梯电价实行前后，居民日常用电费用的变化情况；2. 阶梯电价实行后，居民的生活费用支出情况有怎样的变化；3. 通过分析、构建模型，说明阶梯电价对居民生活费用支出的影响程度；4. 对照阶梯电价实行的目的和建立机制，分析实行阶梯水价的可能性，并给出合理的居民用水阶梯水价。
二．问题分析根据问题重述，可以知道这是一个综合评价问题，根据题目要求本文选着湖北省为参考对象对问题进行研究，该问题在于看湖北省各地阶梯电价使用前后的用电量的情况，进行对比分析；看阶级电价前后，对生活费用支出情况的变化；对居民生活费用支出的影响。
最后根据阶梯电价的效用分析，对阶梯电价的效用分析，通过数据处理和分析后建立模型，对阶梯水价实施的可能性给予相关建议。
针对问题一，首先本文把实施阶梯电价前后的电费用函数表达式表达，然后作出函数图像，进行对比分析，从而得出改革前后的变化情况。
针对问题二，本文运用了对比分析及层析分析法。
先建立湖北省年人均用电量与人均支出费用的相关系数函数，再由matlab软件画出其相互关系函数图，得出其相关性很高，再把不同收入等级的居民的平均可支配收入、用电量情况及对电费的承受能力进行对比分析，得出阶梯电价对居民生活费用支出的影响程度。
针对问题三，本文通过效用函数，来表示弹性需求对消费支出的影响。
在数据的分析中，把电费支出占居民家庭收入的比值来计算，把用电费用改革波动大型作为衡量对居民生活费用的影响程度。
针对问题四，本文通过类比方法，从梯度电价设置可得到启示。
可以将水价设置为三个梯度，保证绝大多数的居民使其用水量在一档内，少数在二档，极少数在三档。
三．问题假设1.假设本题中的数据真实可靠；2.假设电力供应足够满足居民用电需求；3.假设电力原料价格不发生大的变化；4.假设不考虑城乡差距、地区差距的影响；5.假设不考虑短时间的人口流动。
四．符号说明五．模型的建立与求解5．1问题一的解答:针对问题一，本文先根据调查的资料，列出改革前后关于电价的函数表达式，设用电量为t，居民电费为y，则改革前的电费：0.573y x=改革后的电费:()0.57301800.62139(180400)0.873109(400)x xy x xx x<≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩：图1（红色代表改革前的函数图像，蓝色为改革后的函数图像）由上图可知，在实施了阶梯电价后，当居民所用电量在180度到400度时，电费应多付0元至11元；当月用电量超过400度时，超出的部分电每一度多付0.3元。
当居民用电量较低时，即用电量小于第一阶梯时，阶梯电价的实施对大多数居民的影响很小；当居民用电量较高时，用户的用电支出比阶梯电价出台时要高，随着用电量的增加，电费也相应的增加，且电量越多，电价增长的越高。
故用电量越大，电价越高，阶梯电价对居民的用电支出的影响越大，这与阶梯电价“多用者多付”的机制相符，有利于社会公平，资源节约，社会和谐。
5．2问题二的解答：通过调查资料，得出湖北省人均支出费用的函数与湖北省年人均用电量的函数，并运用互相关函数，得出相关系数。
100200300400500600700800月用电量费用200396200(20082009)6001199800(20092010)21004214800(20102011)7001399400(20112012)24004814800(20122013)a a a ab a a a a a a -≤≤⎧⎪-≤≤⎪⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎪-≤≤⎪⎩图2（湖北省年人均支出费用）125000250250000(20082009)100000200000000(20092010)4000079400000(20102011)120000240280000(20112012)13520002719064000(20122013)n n n n m n n n n n n -≤≤⎧⎪-≤≤⎪⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎪-≤≤⎪⎩图3（湖北省人均用电量）通过matlab程序计算得出人均用电量和人均支出费用得到相关系数r=0.8149可以看出相关性是很高，证明使用阶梯电价以后，人均用电量对人均支出费用有很大的影响。
（具体步骤见问题二附件3）根据湖北省电力公司有关部门统计的数据显示，截至2013年6 月，一档用电量的用户覆盖率91.77%，二档用电户覆盖率为98.66%，三档用电户覆盖率1.34%。
使用一档电量和二档电量用户覆盖率为98.66%。
下表为湖北省按收入等级分居家庭平均每人全年消费支出的情况：从上表可以看出中等以下收入的人群占到全国的80%,和阶梯电价的第一档、第二档相对应。
统计出档次平均可支配收入、评价用电量情况以及对电费的承受能力等状况如下表所示：表2根据调查的资料，往年的用电量求出居民生活用电量需求曲线如下：表3根据电能消费倾向和边际电能消费倾向可以得出居民用户根据电能消费倾向和边际电能消费倾向可以得出居民用户的人均电费支出和人均收入的关系有如下规律：（表示每个档次的人均收入）首先，居民的电能消费倾向在不同的收入阶段，其变化规律是不同的。
当居民的人均收入小于Y1时，居民增加的收入主要是解决基本生活消费问题，没有多余的钱购买电器设备,居民的电能消费倾向几乎为零；当居民的人均收入大于Y1时，随着收入的增加，居民有多余的钱购买少量的家用电器设备，在此阶段，居民的收入水平相对较低，当基本生活消费品的物价不上涨或上涨的速度和居民收入的增长速度相比很小时，居民增加的收入主要用于提高生活质量，居民的电力消费倾向逐渐增加，但是，当基本生活消费品的物价上涨超过了居民收入的增长，以及由此造成居民对未来这部分费用的预期增加比较大时，居民增加的收入主要用于支付基本生活消费品的增加费用和储蓄，这样，边际电能消费倾向马上变成减少。
这种边际电能消费倾向增加和减少交替出现的情况一直持续到居民的收入增加到Y2时，才能改变；当居民人均收入大于Y2时，由于收入水平相对较高，居民随着收入的增加，将有多余钱购买大量家用电器设备，居民的用电量也大幅度增加，居民的边际电能消费倾向是逐步增加的，即使基本生活消费品的物价上涨超过了居民收入的增长，以及由此造成居民对未来这部分费用的预期增加比较大，边际电能消费倾向也不会减少，这种情况一直到居民的收入增加到Y3时，才能改变；当居民人均收入大于Y3时，虽然收入逐渐增加，但是大多数家用电器已经购买，居民主要是增加用电时间来提高生活质量电能的边际消费倾向将逐渐降低或维持不变。
5.3问题3的求解在本题的解决研究中，我们选择用效用函数的阶梯式电价模型来分析。
将电价分为m 个阶梯,在第i 阶上的电价为p i ，需电量i l ，对于其他商品而言，p i 表示商品的价格， i l 表示第i 种商品的需求量。
根据线性支出系统理论,消费者所用的各个梯度上的电,以及其他各种商品满足如下所示的效用函数:⎪⎭⎫⎝⎛-+-=∑∑=+=m i nm i i l i i i l l l a U i 11)ln()ln( （1）式中：∑=-mi i l l i 1)ln(表示阶梯电价；∑+=-mm i i l l i1)ln(表示其他商品；i l 表示起码生活水平下第i 种商品的需求量；n 代表商品的种类与电价梯数m 的和。
预算约束为01=-∑=M l p i ni i （2）式中:M 为居民总支出。
