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五年级：美妙数学之“分段计费——阶梯电价问题“（1020五）分段计费——阶梯电价问题美妙数学天天见，每天进步⼀点点。
亲爱的同学，你好！我是朱乐平名师⼯作站的学员官晓辉⽼师，来⾃杭州江南实验学校。
今天与你分享的内容是“分段计费——阶梯电价问题”。
同学们，你知道⽤电是怎么收费的吗？阅读与理解张叔叔家9⽉⽤电270度，应缴电费多少元？1千⽡时电就是平时说的1度电。
200度及以下按每度0.54元计费，我家每⽉200度应该够⽤了！阶梯电价是把⽤电量设置为⼏个阶梯（分段），逐级递增单价。
这种'多⽤者多付费'的原则，可以提⾼⽤电效率，让⼤家⾃觉节约资源、保护环境。
分析与解答张叔叔家9⽉⽤电270度，应缴电费多少元？应该按哪个单价来计算呢？我觉得270度在201与400之间，应该按每度0.59元计费。
阶梯电价是分段计费的意思。
270度中，200度按每度0.54元计费，70度按每度0.59元计费。
⾯积图（单价×数量=总价）列式解答天天家上⽉⽤电460度应该要付电费多少元？⾯积图（单价×数量=总价）列式解答答：张叔叔家应缴电费149.3元，天天家应缴电费276.4元。
回顾与反思解决这类阶梯电价的问题，⾸先要理解题意，分清⼏段；然后⼀段⼀段进⾏计算；最后再求⼏段的和。
国家不统⼀分段电价的标准，由各省（直辖市、⾃治区）根据本地实际情况⾃⾏确定。
拓展练习某地区实施电费分段阶梯式收费的⽅法如下：张叔叔上⽉⽤电270度应该要付电费多少元？张叔叔家的⽤电量按这个收费标准⼜该付多少钱呢？快来试试吧！美妙数学天天见，每天进步⼀点点。
亲爱的同学们，关于分段计费的话题，我们研究了5个问题了，明天我们⼀起来总结、分析这类问题的特点。
图⽂：官晓辉审核：⽅巧娟。
数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B参赛队员(打印并签名) ：序号姓名(打印) 所在学院签名(亲手)1 祝进数学与统计学学院2 赵明惠材料与物理学学院3 徐静静数学与统计学学院日期： 2014 年 7 月 19 日评阅编号（由竞赛组委会评阅前进行编号）：大学生数学建模竞赛评阅专用页评阅编号（由竞赛组委会评阅前进行编号）：评阅记录（供竞赛组委会评阅时使用）：评阅结果：获奖等级：阶梯电价的设置摘要：本文讨论的阶梯电价问题是切实关系到居民实际利益的重要问题之一。
解决此类问题需要将实际问题尽可能的简单化、具体化，并尽量使计算方便。
本文在处理问题一的过程中就是利用Excel软件将题目所给出的数据中部分缺失的数据根据A、B小区缺失数据的多少分别进行删除法、插入均值法的处理，然后将经过处理过的数据进行求和、平均值处理，经过筛选所得数值找出用电量分别在第一档210度以下的居民户数、第二档210度与400度之间的居民户数和第三档400度以上的居民户数，做出其与总户数的比值，根据80%与95%两个覆盖率，从而很容易就解决了问题一所要解答的A、B两个小区的用电量所处的水平。
对于第二小问，从不同的用电量水平出发，用软件做出用电量与户数及累计户数比例的复合图，可以大致得出当覆盖率为80%和95%时用电量的上限值，为进一步确定其值，在保证的居民用电量在第一档的情况下先对A、B小区平均每月用电量进行排序后，分别计算出和小区在的水平下的最少居民数，以及95%的水平下的最少居民数，再按排序表根据最少居民人数选择分层的标准，从而制定出了适合该小区的阶梯电价实施标准。
问题重述阶梯电费收取方法为：1、当实际用电量在第一级电量基数范围内时，阶梯电费=基本电价×实际用电量；2、当实际用电量在第二级电量基数范围之间时，阶梯电费=基本电价×第一级电量+二档电价×（实际用电量-第二级电量基数下限）；3、当实际用电量超过第二级电量基数上限时，阶梯电费=基本电价×第一级电量+二档电价×第二级电量基数区间范围+三档电价×（实际用电量-第二级电量基数上限）。
湖南省阶梯电价标准如下。
第一档：不分季节，电量每户每月180度及以下，执行基准电价，每度0.588元；第二、三档用电量分季节。
3、4、5、9、10、11月为春秋季，二档电量为超过180千瓦时—350千瓦时，三档电量为350千瓦时以上；1、2、6、7、8、12月为冬夏季，二档电量为超过180千瓦时—450千瓦时，三档电量为450千瓦时以上。
第二档每度加价0.05元；第三档每度加价0.3元。
附件中是某个小区居民用水、电量的统计表，请分析数据并建模回答下列问题：问题一针对现行的阶梯电价标准，判断该小区用电量属于何种水平。
从该小区用电量水平出发，请制定合适的阶梯电价实施标准。
问题二试分析居民用水与用电量之间是否有关系。
问题三现有一家用节水设备，能达到节水10%的目的。
请从设备的安装成本、耗电量、维护费用及使用寿命几个角度出发，结合居民用水电量数据，建立数学模型，给出该设备是否能够降低居民水电费的判别方法。
问题分析问题一通过对数据的观察，结合已知的现行的阶梯电价标准以及用电量标准，计算出每个季度的居民阶梯用电量，我们对小区居民每个季度的用电量数据进行分析统计，计算出每个季度该小区居民的用电量在各阶段的百分比，然后与现行的用电量标准作出比较，判断该小区的用电量水平。
在比较之后，我们对现行的阶梯电价做出优化，使其更加合理。
问题二要确定该小区的用水量与用电量是否有关系，就要对已有的每个季度居民用水量与用电量的数据进行分析、处理、作图，确定它们之间是否有关系。
目前学生对数学的认识：难学，没用。
教材也一再修改，迎合学生的实际状况，改变结构降低难度，到底数学应该怎么定位？教学目的是什么？给了学生什么？对学生的将来会有什么影响？个人观点：1.与其说运用数学知识，不如说更多地学会运用数学思想解决问题2，在职研业教育阶段，数学能力的运用比知识更为重要。
数学能力一般是指抽象思维能力、逻辑推理与判断能力、空间想象能力、数学建模能力、数学运算能力、数据处理与数值计算能力、数学语言与符号表达能力等2000年，美国数学教师协会发布《数学课程标准》，提到六项能力：第一，数的运算能力；第二，问题解决的能力；第三，逻辑推理能力；第四，数学连接能力；第五，数学交流能力；第六，数学表示能力。
比如：可以用数字精确表示表示大小和位置，准确的额定位和描述大小。
在考虑问题时的逆向思维，发散性思维，图形的表现。
立体图形用三视图逻辑推理和论证这些能力。
只有数学学科才能做到和完成。
所以数学就是锻炼大脑思维的游戏。
课堂教数学就是带领学生做游戏，而数学知识就是游戏规则。
1．函数与方程的思想函数是反映客观事物及其运动变化的一种重要形式，是贯穿中学数学内容的一条主线，主要包括函数的概念、图象和性质以及几类典型的函数．而函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问愿函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，它往往渗透到各章节中，与之发生联系，并发挥它作为数学理念的引领作用．如与方程、数列、不等式、平面解析几何等内容相关的非函数问题，都往往可利用函数思想，转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决．方程思想是从问题的数量关系人手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如含参数的方程的讨论、方程与曲线的相互转化等都要利用到方程思想．函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想．1.分段函数在生活中的运用近年来，由于用电紧张，用电成本增加，为使居民节约用电，山西省居民生活用电从2013年7月1日起试行阶梯电价。
五年级数学阶梯电费问题讲解一、阶梯电费问题基础题型（1 - 10题）1. 某地的阶梯电价收费标准如下：每月用电量不超过100度时，每度电0.5元；超过100度但不超过200度的部分，每度电0.6元；超过200度的部分，每度电0.8元。
小明家上月用电150度，电费是多少元？- 解析：小明家用电150度，其中100度按每度0.5元收费，超过100度的部分为150 - 100 = 50度，这50度按每度0.6元收费。
- 100×0.5+(150 - 100)×0.6.= 50+50×0.6.= 50 + 30.= 80（元）。
2. 某市实行阶梯水价，每户每月用水量不超过10立方米时，每立方米水价为3元；超过10立方米但不超过20立方米的部分，每立方米水价为4元；超过20立方米的部分，每立方米水价为5元。
小红家上月用水18立方米，水费是多少元？- 解析：小红家用水18立方米，10立方米按每立方米3元收费，超过10立方米的部分为18 - 10 = 8立方米，这8立方米按每立方米4元收费。
- 10×3+(18 - 10)×4.= 30+8×4.= 30+32.= 62（元）。
3. 某地区阶梯电费规定如下：月用电量在80度及以下的，每度电0.45元；81 - 150度的部分，每度电0.5元；151度及以上的部分，每度电0.6元。
小刚家上月用电120度，电费是多少元？- 解析：小刚家用电120度，80度按每度0.45元收费，超过80度的部分为120 - 80 = 40度，这40度按每度0.5元收费。
- 80×0.45+(120 - 80)×0.5.= 36+40×0.5.= 36+20.= 56（元）。
4. 某城市的阶梯气价为：每月用气量不超过50立方米时，每立方米气价2元；超过50立方米但不超过100立方米的部分，每立方米气价2.5元；超过100立方米的部分，每立方米气价3元。
２０２４年３月上半月㊀教材点击㊀㊀㊀㊀高中数学新版教科书必修二 统计内容对比分析及教学建议以人教A版和苏教版为例◉福建省邵武第四中学㊀饶锦芳㊀㊀摘要:数学教科书是课程的重要依托和主要载体,是教学的基本单位．教科书的编写,直接影响高中学生的 学 和中学教师的 教 ．本文中通过对新课程标准下,两个新版教科书(人教A版和苏教版)中必修部分 统计 课程的研究,从教学内容的结构安排㊁栏目设置等方面进行了较为深入㊁细致的对比,并进一步提出教学建议,以期高中数学教师在教学中充分利用各版本教科书,优化教学资源,提升教学效果．关键词:高中数学教科书;统计;对比分析;教学建议㊀㊀统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学,它可以为人们制定决策提供依据．按照«普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)»(以下简称 «课程标准» )的要求,在高中数学课程中,统计是必修课程和选择性必修课程的主题之一．从统计研究的内容来看,必修课程主要学习收集数据的方法和单变量的统计问题．目前,我国出现了 一标多版 的情况,不同版本教科书在编写风格㊁课程标准㊁课程精神等方面存在着一定的差异．因此,本文中选取了当前我国高中使用范围较广的两个版本的数学教科书,即人教A版与苏教版的必修 统计 课程进行研究,并通过对教学内容的结构与安排㊁栏目设置等方面进行深入细致的对比分析,为高中数学教师理解和整合不同版本教材中 统计 模块的优缺点,提供了借鉴和参考．１教科书内容比较长期以来,高中数学课程标准为教科书的编制提供重要的指导意见,因此,在研究教科书内容之前,教师应该先研读课程标准．当前实行的«课程标准»指出: 统计单元的学习,可以帮助学生进一步学习数据收集和整理的方法㊁数据直观图表的表示方法㊁数据统计特征的刻画方法;通过具体实例,感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可能性;体会统计思维与确定性思维的差异㊁归纳推断与演绎证明的差异;通过实际操作㊁计算机模拟等活动,积累数据分析的经验． [１]在这一内容指导下,本文所关注的人教A版与苏教版教材,在 统计 这一章节的内容安排上,具有明显的异同．下面笔者对两个不同版本教科书中的课程内容进行比较和分析．人教A版教材本章内容分为三节:９．１随机抽样,９．２用样本估计总体,９．３统计案例．苏教版则分为四节:１４．１获取数据的基本途径及相关概念,１４．２抽样,１４．３统计图表,１４．４用样本估计总体．从每个小节的内容呈现可以看出,两个版本的教科书都体现了«课程标准»的要求．教学内容的安排上也存在较大的差异:(１)人教A版在数据收集这部分先复习基本概念,再介绍抽样方法,提出了放回和不放回简单随机抽样,最后学习获取数据的４种主要途径;苏教版则是先介绍获取数据的主要途径,再到抽样方法的学习．(２)人教A版在内容安排上注意突出数据分析的基本过程,在 随机抽样 这节会因为研究需要介绍总体平均数与样本平均数以及它们之间的关系,注重根据实际需要选择正确的统计图表,在理解集中趋势参数的统计含义之下,用样本集中趋势参数估计总体,以及如何从图表中估计出集中趋势参数．苏教版把统计图表与集中趋势参数分为两节内容介绍: １４．３ 节分别用实际案例回顾了初中学习的统计图表并总结各自特点,接下来着重学习频率分布直方图; １４．４ 节分别用不同的案例介绍集中趋势参数及它们的统计含义．苏教版更加注重每个知识点的学习．(３)人教A版 ９．３ 节通过一个完整案例让学生经历利用统计学解决问题的全过程,并给出了任务与要求;苏教版在应用与建模栏目设置了 阶梯电价的设计 的作业．２栏目设置比较教科书的编写不仅要体现教科书的知识结构,还要传递数学思想㊁数学文化．而教科书的栏目设置是知１１教材点击２０２４年３月上半月㊀㊀㊀识内容呈现的重要方式,能够体现编者的思想和编写的特色．针对这一模块,«课程标准»指出: 通过 统计 课程的学习,学生能提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力;适应数字化学习的需要,增强基于数据表达现实问题的意识,形成通过数据认识事物的思维品质;积累依托数据探索事物本质㊁关联和规律的活动经验． [１]下面笔者就两个不同版本教科书中栏目设置的对比,作出分析．２．１相同设置在两个版本的栏目设置中,有诸多相似之处:(１)章头都有图㊁表㊁问题提出;(２)都采用了生活中的案例,通过案例讲授新的知识,对统计中的基本概念引入严格的定义;(３)问题型及注释型的内容较为丰富,例题能够体现知识点的实际应用;(４)每一个知识点都有针对的练习㊁习题与复习题;(５)都有设置额外的知识点,如对数学家㊁数学史料的介绍,对信息技术应用的介绍,等等．２．２不同设置在两个版本的栏目设置中,也存在明显的差异:(１)人教A 版在每一节都设置了 引言 环节,主要是为了对上一部分进行内容总结,并引出接下来要学习的内容．由此可见,人教A 版较为注重学习的连贯性,强调知识点之间的连接与内在关系,循序渐进,体现数学知识的逻辑性㊁系统性．(２)人教A 版较为注重设置合适的教学情境,在 统计 这一章节中, 探究 思考 问题 类的栏目非常多,共计出现了２６处．由此可见,该版本强调以问题串联教学的环节,引导学生分析问题㊁解决问题,培养学生独立思考的能力．(３)人教A 版的案例较少,许多知识点会使用相同的案例,这说明,此版本教科书在具体案例的处理中,倾向于按数据处理的基本过程展开内容,而不是 就头论头,就尾论尾 地把统计过程割裂开来,帮助学生建立对统计的整体认知．(４)人教A 版的习题数量较少,在习题及复习题中进行了分层设计,包含 复习巩固,综合运用,拓广探索 这三个层次的内容,其中拓展栏目内容较少．相对而言,苏教版教材一方面注重直接提出本节要学习的问题,用问题引出要讲授的知识,以问题型旁白拓展思考．另一方面,苏教版的例题较多,注重知识的实际应用以及学生对数学知识与数学思想方法的吸收;题量较大,包含 感受 理解,思考 运用,探究 拓展 三个层次的内容,拓展栏目容较为丰富．总体而言,这两版教科书都有非常丰富的栏目设置,但也是神肖酷似,同中有异．３教学建议作为一线教师,笔者认为教学要能激发学生学习的兴趣,站在学生思维的最近发展区由浅入深教授知识,利用实际情境精选内容,优化课程结构,注重现代化教学手段的应用,强化利用数学知识解决实际问题的能力．鉴于上述分析,以下是笔者结合实际教学中遇到的问题,对必修 统计 教学的一些建议．３．１关于引言关于人教A 版 统计 章节的引言,笔者提出三个教学建议:(１)教师可以结合现实生活的统计指标举例,让学生感受统计就在身边,拉近学生与统计概念之间的距离,凸显统计知识的必要性,激发学生对统计的兴趣．在教学中,教师可以根据实际需要,举出学生身边的一些例子,用总量㊁比例(率)㊁平均数㊁百分位数等多元化的统计指标来阐述．(２)教师可以通过概括描述统计的学科特点,阐述统计解决问题的一般过程,让学生了解统计学习的基本思路和逻辑．(３)教师可以通过介绍统计解题过程中的常见困难,来联结不同的知识模块．总体而言,在教学中,笔者建议使用人教A 版的章引言作为本单元起始课的教学．３．２关于初高中内容的衔接统计 在逻辑上呈一条主干,开枝散叶的架构．小学㊁初中㊁高中都有统计内容的教学,如全面调查㊁抽样调查㊁总体㊁个体㊁样本量㊁简单随机抽样等重要概念,在义务教育阶段就曾多次出现．但是,高中阶段的统计学习,与义务教育阶段有着明显的差异．具体而言:(１)在抽样方法模块,初中只要求了解简单随机抽样,高中阶段需要进一步学习分层随机抽样以及设计抽样方法,以解决具体的问题．(２)在图表的制作与处理模块,小学 统计 处于 基于图象的直观判断 阶段,让学生学会把原始数据直接转化为图形,并能从图中获取关键信息;初中作图识图依然是重点,但作图需要先对数据进行处理,让学生在实例中感知数据处理的必要性与重要性,开始用 数字特征 进行统计分析;而高中的 统计 处于 基于数据处理与分析的推断 阶段． 需要通过一些典型案例,使学生了解较为系统的数据处理全过程,在此过程中进一步学习数据收集和整理的方法,数据直观图表的表示方法和数据统计特征的刻画方法．[１]因此,基于前文的分析,笔者认为,在初中与高中内容的衔接上,苏教版更为适用．例如,在苏教版教材１４．３统计图表的第一部分内容中,用实际案例回顾了初中阶段学习的统计图表,并总结了这些统计图表各自的特点以及每种统计图表在数据分析中的作用．进一步而言,在用频数直方图进行数据分析的过程中,编写者发现某些图形容易给人造成错觉,为了避２１２０２４年３月上半月㊀教材点击㊀㊀㊀㊀免误解,苏教版将频数直方图改良为频率直方图,以引导学生通过频率分布直方图观察数据的分布规律．３．３关于知识点的编排方式在知识点的编排方式上,人教A版在编写时注意突出数据分析的基本过程,更为适用．例如,在 ９．１．１简单随机抽样 这一节,内容编排如图１所示．典型案例:树人中学高一年级有７１２名学生,如果要调查高一年级学生的平均身高,应该怎么抽取样本?⇩抽样方法:抽签法㊁随机数法⇩平均数的计算⇩用样本平均数估计总体平均数图１在 ９．１．２分层随机抽样 这一节,人教A版也采用了相同的编排方式．这种编排方式能帮助学生建立对统计的整体认知,实现知识点之间的紧密联结,有助于学生进行连贯的学习和思考．但是,在学生作业中,笔者发现, 怎样安排抽样? 设计调查方案 这类的题目完成效果不理想,说明学生对知识点的学习不够深入．在这一背景下,教师对于学习内容的总结提升是非常关键的．例如,在讲授完分层抽样后,教师可以利用苏教版分层抽样的步骤,总结出一个清晰的逻辑线,具体如图２所示．图２与此同时,教师还可以对两种不同抽样方法进行列表对比,明确不同抽样方法的适用范围,如表１所示．表１㊀简单随机抽样与分层抽样的对比类别特点相互联系适用范围共同点简单随机抽样从总体中逐个抽取总体中的个体数相对较少分层抽样将总体分成几层,按各层的个体数之比抽取各层抽样时,可以采用简单随机抽样总体由差异明显的几部分组成抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同㊀㊀总体而言,教师可以把学习的重点内容以更加清晰的图表形式展现在学生面前,这样有利于学生对知识点的深入学习和理解．３．４关于应用与建模数学建模活动与数学探究活动是课程标准的主题之一,强调发挥学生的主体作用, 对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题㊁用数学方法构建模型解决问题[１]． 高考也非常重视强化利用统计解决实际问题的能力．在这一模块,苏教版设置了应用与建模栏目 阶梯电价的设计 ,人教A版在学习完必修 统计 相关知识后,提供了一个 公司员工的肥胖情况调查分析 统计案例,让学生深入探究,独立设置为一个章节．人教A版的案例指引学生从 背景与数据 任务与要求 统计分析报告的组成部分(标题㊁前言㊁主题㊁结尾) 这三方面进行探究．人教A版教材恰时恰当地引导学生明确关心的问题,说明数据蕴含的信息;根据数据分析的需要,说明如何选择统计图表描述和表达数据;从样本数据中提取能刻画其特征的量;通过样本估计总体的统计规律,分析案例的整体情况．所以,学生遇到实际问题时,不会无从下手,而是懂得如何把所学统计知识应用于实际生活解决问题．因此,在教学中,建议教师利用人教A版 ９．３统计案例 让学生了解利用统计学解决问题的全过程．３．５关于信息技术的应用人教A版和苏教版都有对信息技术应用的介绍,只是位置不同．在教学中,笔者认为苏教版在每一个知识点的结尾介绍电子表格软件及G e o G e b r a软件在这个知识点中的应用较为合理．此外,笔者建议,首先,教师在 统计案例 的教学中,让学生应用统计软件展示如何快速获取数据的频率分布直方图㊁扇形图,着重让学生回答从图表中提取的数据信息;其次,在学生已经知道如何计算的情况下,引导他们用统计软件快速计算平均数㊁方差等特征量,进而把更多精力花在理解特征数的统计含义上[２]．具体而言,高一学生在信息技术课上已经学习了编程,教师可以建议学生设计一款软件,输入身高和体重,敲回车键便可以得到偏瘦㊁正常㊁偏胖㊁肥胖中的一个结论,并给出建议的体重范围,帮助员工控制体重．通过一个完整案例,学生可以体会信息技术的应用带来的便利,把更多精力集中于统计概念和方法的理解上．不同版本的教科书都符合«课程标准»的理念与要求,内容与栏目的设置各有优缺点,有许多可以相互借鉴的地方．教师在备课时,不必拘泥于某一版本的教科书,可以对多个版本的教科书进行研究学习,结合本校的招生层次㊁本班学生的认知水平,根据实际教学环境需要,完善教学设计．参考文献:[１]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[S]．北京:人民教育出版社,２０２０．[２]吴雅楠．翻转课堂教学模式下高中统计教学设计研究[D]．北京:中央民族大学,２０２０．Z３１。
电费梯度数学题6月14日上午，发改委在有关阶梯电价的新闻发布会上宣布，29个省市区已经听证结束，各地将陆续出台阶梯电价实施方案，7月1日起全国全面试行。
发改委表示，根据目前确定的方案，绝大部分地区第一档电量覆盖率都超过80%，部分地区超过90%。
广西居民阶梯电价为：第一档为月均用电量在130度以内，维持现行价格水平；第二档为月均用电量131~220度，超出130度的部分提价标准为每度0.05元；第三档，对于月均用电量超出220度的部分，提价标准为每度0.30元。
小张家属一户一表居民用户，将实施阶梯式累进电价。
如果7月份至10月份的电费缴款情况如下表：问题1解析小明家8月份电费的详情。
基本部分：239千瓦时x0.53元/千瓦时=126.67元调价部分：130-220T瓦时之间调价部分：（220-130）×0.05=4.5元超过220千瓦时的调价部分：（239-220）×0.30=5.7元合计调价部分电费：4.5元+5.7元=10.2元合计电费121.1：126.67元+10.2元=136.87元问题2根据上述资料对阶梯式累进电价建构数学模型并画出图像。
阶梯式累进电价的数学模型可用分段函数表示：设电量为x千瓦时，金额为y元，则金额对于电量的函数y=f（x）。
其实是数学教育，要培养学生“用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会”，学会“数学地思考”。
更为关注是否向学生提供了具有现实背景的数学，包括学生生活中的数学。
所以，我们教师在今后的数学教学中，要使学生“领悟”出数学知识源于生活，又服务于生活，引导学生能用数学眼光去观察生活实际，从而培养学生解决实际问题的能力。
使学生感到生活中处处有数学，数学就在我们的身边。
高中数学数学建模案例在高中数学课程中，数学建模是一个重要的部分。
它通过数学模型来解决实际生活中的问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
下面我将给大家介绍一个高中数学数学建模的案例。
目标：优化校园电费的管理问题陈述：某高中校园有多个教学楼和宿舍楼，每个建筑都有独立的电费计量表。
校方希望通过合理的电费管理来节约能源和降低费用支出，同时保证校园的正常运行。
解决方案：1. 数据收集和分析：首先，校方需要收集校园各个建筑的用电量数据和相应的费用数据。
这些数据可以通过系统监测或者人员抄表的方式收集。
然后，校方需要对数据进行分析，找出电费支出的主要因素和影响因素。
2. 建立数学模型：然后，校方可以根据数据分析的结果和实际情况，建立数学模型来描述校园的电费管理问题。
这个模型可以包括以下几个方面的因素： - 建筑的用电规模：每个建筑的用电规模不同，可以通过建筑的面积、人员数量等来估计。
- 用电设备和使用模式：不同的教室、实验室和宿舍楼都有不同的用电设备和使用模式，需要对其进行分类和分析。
- 电费计价规则：校方可以根据实际情况来确定电费的计价规则，例如按照用电量或者按照峰谷分时段计费等。
3. 模型求解和优化：校方可以使用数学软件或者编程工具来求解和优化建立的数学模型。
通过模型的求解，可以得到一些关键的结论和优化建议，例如： - 不同建筑的用电量和费用占比；- 用电量较大的建筑和使用模式；- 节约用电的策略和措施；- 改进计费规则的建议等。
4. 实施和监测：最后，校方需要根据模型的结果和建议，进行实施和监测。
可以通过相关培训和教育来提高师生对节约用电的意识，同时可以安装电表监测系统来实时监测用电情况，及时调整和改进管理策略。
结论：通过数学建模，校园电费管理可以得到优化，节约能源和降低费用支出。
同时，这个案例也展示了数学建模在实际问题中的应用和重要性。
总结：数学建模是高中数学课程中的一个重要组成部分，通过建立数学模型解决实际问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
阶梯电价建模论文摘要2012年3月28日, 中国国家发展和改革委员会确认, 居民阶梯电价在将今年上半年推出。
居民阶梯电价的改革, 体现了资源性产品价格的市场化改革的方向, 体现了节能减排的总体要求和根据收入分配适当调控的总体原则。
本文选取2010年上海市为例，采集来自上海统计局和网络上的相关数据，建立数学模型并对阶梯电价的若干问题进行了分析、解答和评价。
问题分为三个部分。
对于问题一，只要能保证80%居民家庭在施行阶梯电价前后每度电的平均价格一致即可。
为此，我们先用灰色预测方法求出，80%的家庭年用电量占总数的比例，求出这部分家庭总用电量。
从而80%的家庭每户每年的总用电量=80%的家庭年总用电量/（0.8×家庭总户数），然后分别按照各种方案即可算出每户每年的总电费P，最后可求得平均电价=P/。
比较各种方案下算得的电价与原来的电价，表明方案一和方案三算得的平均电价都为0.619更接近于原来的电价0.617；而方案二则为0.627，较之原来有0.01的上涨，但上涨幅度很小。
因此可以认为三种方案的电价能够保证80%居民家庭的电价保持平稳。
问题二要讨论怎样的电价才是一个"好"的电价，我们从对居民用电支出的影响、与地区经济发展水平的关系、实施的年限等几个方面来讨论。
我们首先求出各个方案下，用电支出与用电量的函数关系，再用Matlab绘图出相应的图像，可以较为直观的看出每种方案的实施对居民电费支出的影响。
然后用excel将不同城市的GDP、CPI、恩格尔系数和第一档电量绘制到同一张图里。
可以看出经济发展越好的地区其第一档电量越高，同时，考虑不同省市的积极发展不均衡，城市居民收入与支出的不平等，可以看出经济发展越好的地区其第一档电价一般也越高。
最后我们计算方案可以施行的年限，只要能预测出未来每年80%的居民用电总量和未来每年家庭总数，即可预测出未来每年80%的居民家庭每户每年的用电量。
数学中阶梯电价的问题在我们的日常生活中，电是不可或缺的能源。
而阶梯电价作为一种电力收费方式，与我们每个人的生活费用息息相关。
那么，什么是阶梯电价呢？它又是如何计算的呢？这其中又涉及了哪些数学问题呢？阶梯电价，简单来说，就是将居民用电按照用电量的不同，划分成几个阶梯，每个阶梯对应不同的电价。
这种收费方式的目的是为了鼓励居民节约用电，合理分配电力资源。
我们以一个常见的阶梯电价方案为例来进行说明。
假设某地的阶梯电价分为三个阶梯：第一阶梯为 0 180 度，电价为 05 元/度；第二阶梯为 181 350 度，电价为 06 元/度；第三阶梯为 351 度及以上，电价为09 元/度。
假如一个家庭在一个月内用电量为250 度，那么该如何计算电费呢？首先，前 180 度按照第一阶梯的电价 05 元/度计算，费用为 180 × 05 ＝90 元。
剩下的 70 度（250 180 ＝ 70）按照第二阶梯的电价 06 元/度计算，费用为 70 × 06 ＝ 42 元。
所以这个家庭这个月的总电费就是 90 ＋42 ＝ 132 元。
通过这个简单的例子，我们可以看出阶梯电价的计算其实就是一个分段函数的问题。
在数学中，分段函数是指在不同的定义域区间上，函数的表达式不同。
阶梯电价就是根据用电量的不同区间，对应不同的电价表达式。
那么，阶梯电价在数学上有哪些特点和需要注意的地方呢？首先，阶梯电价的计算需要清晰地确定每个阶梯的边界值。
这就要求我们在计算时，准确判断用电量所在的阶梯区间，避免计算错误。
其次，由于每个阶梯的电价不同，所以在计算总电费时，需要分别计算每个阶梯的费用，然后相加。
这就涉及到了加法运算和乘法运算的综合运用。
再者，阶梯电价的设置会对居民的用电行为产生影响。
从数学角度来看，这可以通过建立数学模型来分析。
比如，我们可以假设居民的用电需求是一定的，然后根据不同的阶梯电价，计算出居民为了节约电费可能采取的用电策略。
阶梯电价的效用分析问题摘要阶梯电价是指把户均用电量设置为若干个阶梯分段或分档次定价计算费用。
对居民用电实行阶梯式递增电价可以提高能源效率。
本文选择湖北省为参考对象对问题进行研究。
针对问题一，本文先把实施阶梯电价前后的电费用函数表达式表达，然后作出函数图像，根据曲线的走势，得出改革前后的变化情况：当居民用电量较低时，即用电量小于第一阶梯时，阶梯电价的实施对大多数居民的影响很小；当居民用电量较高时，用户的用电支出比阶梯电价出台时要高，随着用电量的增加，电费也相应的增加，且电量越多，电价增长的越高。
故用电量越大，电价越高，阶梯电价对居民的用电支出的影响越大，这符合阶梯电价“多用者多付”的机制相符，适合社会发展需求。
针对问题二，本文建立湖北省年人均用电量与人均支出费用的相关系数函数，再由matlab软件画出其相互关系函数图，得出人年均电量与人均支出的相关系r ，可以看出其两者相关性很高，再把不同收入等级的居民的平均可数0.8149支配收入、用电量情况及对电费的承受能力进行对比分析，得出第二档灵敏度最高，影响程度最高。
针对问题三，本文通过效用函数，来表示弹性需求对消费支出的影响。
在数据的分析中，把电费支出占居民家庭收入的比值来计算，把用电费用改革波动大小作为衡量对居民生活费用的影响程度。
相关系数为0.5625。
说明影响程度很大，且第二档的用户最为灵敏程度最高。
针对问题四,本文通过类比法以及分段评估的方式，将湖北省的居民水价设为三档，且一、二、三档的价格分别为：1.52元/吨，2.28元/吨，3.04元/吨。
关键词：阶梯电价 matlab软件阶梯水价相关系数一．问题重述1.1问题背景阶梯电价是指把户均用电量设置为若干个阶梯分段或分档次定价计算费用，对居民用电实行阶梯式递增电价，阶梯式电价的具体内容是：第一阶梯为基数电量，此阶梯内电量较少，电价也较低；第二阶梯电量较高，电价也较高一些；第三阶梯电量更多，电价更高。
随着户均消费电量的增长，每千瓦时电价逐级递增。
市场的差别定价，提高用电效率。
1.2问题重述2010年10月，国家发改委关于向社会公开征求居民生活用电实行阶梯电价意见时明确指出，在我国全面实行居民阶梯电价，主要考虑建立3个机制：一是合理电价机制；二是公平负担的用电机制；三是促进节能减排机制。
通过实行居民阶梯电价政策，可以充分发挥价格杠杆的作用，引导用户特别是用电量多的用户调整用电行为，促进合理节约用电。
从2012年7月1日到今年上半年，全国除新疆、西藏以外的大部分省市都陆续开始实行居民用电阶梯价格新方案，由此引发了一系列与老百姓日常生活息息相关的问题：新的阶梯电价主要变化有哪些？实行阶梯电价后居民日常用电的费用是增加还是减少？居民的生活水平将受到怎样的影响等。
到今年4月末，阶梯电价已经实行了近两年。
本文以湖北省的居民日常用电量为标准，进行数据调查。
在湖北省的阶梯电价的实施方案中电量分为三档，第一档为0—180千瓦时/户•月，第二档为181—400千瓦时/户•月，第三档为超过400千瓦时/户•月以上的电量。
电价实行分档递增，其中第一档保持现行电价标准不变，第二档每千瓦时提价0.05元，第三档每千瓦时则提价0.30元。
根据搜集到的数据，建立数学模型，给出相关的分析结果，回答以下问题：1. 阶梯电价实行前后，居民日常用电费用的变化情况；2. 阶梯电价实行后，居民的生活费用支出情况有怎样的变化；3. 通过分析、构建模型，说明阶梯电价对居民生活费用支出的影响程度；4. 对照阶梯电价实行的目的和建立机制，分析实行阶梯水价的可能性，并给出合理的居民用水阶梯水价。
二．问题分析根据问题重述，可以知道这是一个综合评价问题，根据题目要求本文选着湖北省为参考对象对问题进行研究，该问题在于看湖北省各地阶梯电价使用前后的用电量的情况，进行对比分析；看阶级电价前后，对生活费用支出情况的变化；对居民生活费用支出的影响。
最后根据阶梯电价的效用分析，对阶梯电价的效用分析，通过数据处理和分析后建立模型，对阶梯水价实施的可能性给予相关建议。
针对问题一，首先本文把实施阶梯电价前后的电费用函数表达式表达，然后作出函数图像，进行对比分析，从而得出改革前后的变化情况。
针对问题二，本文运用了对比分析及层析分析法。
先建立湖北省年人均用电量与人均支出费用的相关系数函数，再由matlab软件画出其相互关系函数图，得出其相关性很高，再把不同收入等级的居民的平均可支配收入、用电量情况及对电费的承受能力进行对比分析，得出阶梯电价对居民生活费用支出的影响程度。
针对问题三，本文通过效用函数，来表示弹性需求对消费支出的影响。
在数据的分析中，把电费支出占居民家庭收入的比值来计算，把用电费用改革波动大型作为衡量对居民生活费用的影响程度。
针对问题四，本文通过类比方法，从梯度电价设置可得到启示。
可以将水价设置为三个梯度，保证绝大多数的居民使其用水量在一档内，少数在二档，极少数在三档。
三．问题假设1.假设本题中的数据真实可靠；2.假设电力供应足够满足居民用电需求；3.假设电力原料价格不发生大的变化；4.假设不考虑城乡差距、地区差距的影响；5.假设不考虑短时间的人口流动。
四．符号说明五．模型的建立与求解5．1问题一的解答:针对问题一，本文先根据调查的资料，列出改革前后关于电价的函数表达式，设用电量为t，居民电费为y，则改革前的电费：0.573y x=改革后的电费:()0.57301800.62139(180400)0.873109(400)x xy x xx x<≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩：图1（红色代表改革前的函数图像，蓝色为改革后的函数图像）由上图可知，在实施了阶梯电价后，当居民所用电量在180度到400度时，电费应多付0元至11元；当月用电量超过400度时，超出的部分电每一度多付0.3元。
当居民用电量较低时，即用电量小于第一阶梯时，阶梯电价的实施对大多数居民的影响很小；当居民用电量较高时，用户的用电支出比阶梯电价出台时要高，随着用电量的增加，电费也相应的增加，且电量越多，电价增长的越高。
故用电量越大，电价越高，阶梯电价对居民的用电支出的影响越大，这与阶梯电价“多用者多付”的机制相符，有利于社会公平，资源节约，社会和谐。
5．2问题二的解答：通过调查资料，得出湖北省人均支出费用的函数与湖北省年人均用电量的函数，并运用互相关函数，得出相关系数。
100200300400500600700800月用电量费用200396200(20082009)6001199800(20092010)21004214800(20102011)7001399400(20112012)24004814800(20122013)a a a ab a a a a a a -≤≤⎧⎪-≤≤⎪⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎪-≤≤⎪⎩图2（湖北省年人均支出费用）125000250250000(20082009)100000200000000(20092010)4000079400000(20102011)120000240280000(20112012)13520002719064000(20122013)n n n n m n n n n n n -≤≤⎧⎪-≤≤⎪⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎪-≤≤⎪⎩图3（湖北省人均用电量）通过matlab程序计算得出人均用电量和人均支出费用得到相关系数r=0.8149可以看出相关性是很高，证明使用阶梯电价以后，人均用电量对人均支出费用有很大的影响。
（具体步骤见问题二附件3）根据湖北省电力公司有关部门统计的数据显示，截至2013年6 月，一档用电量的用户覆盖率91.77%，二档用电户覆盖率为98.66%，三档用电户覆盖率1.34%。
使用一档电量和二档电量用户覆盖率为98.66%。
下表为湖北省按收入等级分居家庭平均每人全年消费支出的情况：从上表可以看出中等以下收入的人群占到全国的80%,和阶梯电价的第一档、第二档相对应。
统计出档次平均可支配收入、评价用电量情况以及对电费的承受能力等状况如下表所示：表2根据调查的资料，往年的用电量求出居民生活用电量需求曲线如下：表3根据电能消费倾向和边际电能消费倾向可以得出居民用户根据电能消费倾向和边际电能消费倾向可以得出居民用户的人均电费支出和人均收入的关系有如下规律：（表示每个档次的人均收入）首先，居民的电能消费倾向在不同的收入阶段，其变化规律是不同的。
当居民的人均收入小于Y1时，居民增加的收入主要是解决基本生活消费问题，没有多余的钱购买电器设备,居民的电能消费倾向几乎为零；当居民的人均收入大于Y1时，随着收入的增加，居民有多余的钱购买少量的家用电器设备，在此阶段，居民的收入水平相对较低，当基本生活消费品的物价不上涨或上涨的速度和居民收入的增长速度相比很小时，居民增加的收入主要用于提高生活质量，居民的电力消费倾向逐渐增加，但是，当基本生活消费品的物价上涨超过了居民收入的增长，以及由此造成居民对未来这部分费用的预期增加比较大时，居民增加的收入主要用于支付基本生活消费品的增加费用和储蓄，这样，边际电能消费倾向马上变成减少。
这种边际电能消费倾向增加和减少交替出现的情况一直持续到居民的收入增加到Y2时，才能改变；当居民人均收入大于Y2时，由于收入水平相对较高，居民随着收入的增加，将有多余钱购买大量家用电器设备，居民的用电量也大幅度增加，居民的边际电能消费倾向是逐步增加的，即使基本生活消费品的物价上涨超过了居民收入的增长，以及由此造成居民对未来这部分费用的预期增加比较大，边际电能消费倾向也不会减少，这种情况一直到居民的收入增加到Y3时，才能改变；当居民人均收入大于Y3时，虽然收入逐渐增加，但是大多数家用电器已经购买，居民主要是增加用电时间来提高生活质量电能的边际消费倾向将逐渐降低或维持不变。
5.3问题3的求解在本题的解决研究中，我们选择用效用函数的阶梯式电价模型来分析。
将电价分为m 个阶梯,在第i 阶上的电价为p i ，需电量i l ，对于其他商品而言，p i 表示商品的价格， i l 表示第i 种商品的需求量。
根据线性支出系统理论,消费者所用的各个梯度上的电,以及其他各种商品满足如下所示的效用函数:⎪⎭⎫⎝⎛-+-=∑∑=+=m i nm i i l i i i l l l a U i 11)ln()ln( （1）式中：∑=-mi i l l i 1)ln(表示阶梯电价；∑+=-mm i i l l i1)ln(表示其他商品；i l 表示起码生活水平下第i 种商品的需求量；n 代表商品的种类与电价梯数m 的和。
预算约束为01=-∑=M l p i ni i （2）式中:M 为居民总支出。
