空间轴对称问题的基本微分方程

北京科技大学数理学院应用力学系第五章轴对称及空间问题本章重点和应掌握的内容1、轴对称问题的基本方程及其有限元列式2、空间问题的有限元列式和一些常用单元3、ANSYS分析中需要考虑的一些因素物体的几何形状约束情况及所受的外力§5.1 轴对称问题有限元法物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，则在物体中通过该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。

研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系（r，θ，z），以z轴为对称轴。

由于对称性，轴对问题共有4个应力分量：[]{}Tr z zr θσσσστ=σ其中r 表示沿半径方向的正应力，称为径向应力；θσ表示沿θ方向的正应力，称为环向应力或切向应力；表示沿z方向的正应力称为轴向应力；z σ表示沿z方向的正应力，称为轴向应力；zr τ表示在圆柱面上沿z方向作用的剪应力。

[]{}Trz zr θεεεεγ=同样，轴对称问题共有4个应变分量：在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只节点两个位移分量基本，。

因此，节点两个位移分量基本在子午面上离散成平面的要求完全相同一、轴对称问题的几何方程三角形单元网格⎪⎫⎪⎧∂∂r u ⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎨⎧r ur εεθ⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂∂⎪⎪⎭⎪⎪⎩w u z w zr z γε⎪⎭⎪⎩∂+∂r z⎫⎧i u 位移模式与平面问题三节点单元相同⎭⎬⎩⎨=i i w a ⎤⎧位移模式与平面问题三节点单元相同，即：em jim j ia N N N N N N w u u ~000~~~⎥⎦⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨=1)(2z c r b a AN i i i i ++=[]eT rzzraN L u L ~~~~~~==εγεε=εθ,,r z rz θεεγε径向应变轴向应变面内切应变；环向应变为导出量。

[][]ee m jiemjiaB a B BBa NNNL ~~~~~~~~~~~===0r ∂⎡⎤⎢⎥∂~0001i i i i i b N c a c z u z ⎢⎥⎡⎤∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥===~,,,220~i i i ii iL B f A b c b r A r r r z r f θε===++⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦10r⎢⎥⎢⎥⎣⎦是环向应变，非常量。

空间直角坐标系对称问题空间直角坐标系对称问题绪论在数学和物理学领域中，空间直角坐标系是一种重要的工具，用于描述三维空间中的点和向量。

它是由三个互相垂直的坐标轴组成，分别是x轴、y轴和z轴。

当我们在空间中进行几何分析时，我们经常需要考虑对称性问题。

本文将探讨空间直角坐标系中的对称性问题，旨在帮助读者更深入地理解这一概念。

一、空间直角坐标系的基本概念1. 空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是三维笛卡尔坐标系的一种形式，用于表示点在三维空间中的位置。

它由三个彼此垂直的坐标轴组成，分别是x轴、y轴和z轴。

点在空间中的位置可以由这三个轴上的坐标来确定，例如(x, y, z)。

2. 空间直角坐标系的性质空间直角坐标系具有以下性质：- 坐标轴相互垂直。

- 坐标轴上的单位长度相等。

- 坐标轴的正方向可以任意选取。

二、空间直角坐标系的对称性1. 对称变换对称变换是指将一个点或物体关于某个中心对称地移动到与其在空间中的相对位置相同的另一个位置的变换。

在空间直角坐标系中，我们可以考虑三种类型的对称变换，分别是关于x轴、y轴和z轴的对称变换。

2. 对称性的定义在空间直角坐标系中，当一个点或物体关于坐标轴对称时，我们称之为轴对称。

具体而言，如果一个点或物体关于x轴对称，我们称之为关于x轴的轴对称；如果关于y轴对称，我们称之为关于y轴的轴对称；如果关于z轴对称，我们称之为关于z轴的轴对称。

3. 对称性的性质对称性具有以下性质：- 对称性是一种保持形状和结构不变的属性。

- 对称性可以简化问题的分析和解决。

- 对称性可以帮助我们发现隐藏的规律和关系。

三、空间直角坐标系对称问题的应用1. 几何图形的对称性在几何学中，我们经常研究各种几何图形的对称性质。

正方形在空间直角坐标系中是关于x轴和y轴对称的，而立方体是关于x轴、y轴和z轴对称的。

通过研究几何图形的对称性，我们可以得到它们的性质和特征。

2. 物理问题的对称性在物理学中，对称性是一种非常重要的概念。

空间轴对称问题的基本微分方程在描述轴对称问题各分量时，用圆柱坐标r 、θ、z 比用直角坐标x 、y 、z 方便得多，如以z 轴为对称轴，如图1所示则所有应力分量、应变分量和位移分量都将只是r 和z 的函数，不随θ而变。

如图，取微小六面体。

注意到应力分量是（r ，z ）将各面上的应力分量写出。

单位体积内的体积力在r 、z 方向的分量分别表示为r f 、z f 。

根据单元体在r和z 方向的平衡方程，略去高阶微量，同时除以rdrd dz θ，因为d θ很小，近似认为()sin 22d d θθ≈，加以整理后得到r 方向和z 方向的平衡微分方程为： 图1柱坐标下微小六面体r r z 0r 0zr r rz rz z f z rf z r r θστσσσττ∂∂-⎫+++=⎪⎪∂∂⎬∂∂⎪+++=⎪∂∂⎭公式（1） 进一步推导空间轴对称问题的几何变形方程：设u 、w 分别代表r 及z 轴方向的位移分量，由极坐标内位移与应变的关系以及直角坐标的关系式，很容易得到r u r ∂∂=ε，r u =θε，z w z ∂∂=ε，0==z r θθγγ，rw z u rz ∂∂+∂∂=γ 公式（2） 最后，根据广义胡克定律，可得出物理方程：1[()]1[()]1[()]2(1)r r z r z z z r rz rz rz EEEG E θθθθεσμσσεσμσσεσμσστμγτ⎫=-+⎪⎪⎪=-+⎪⎬⎪=-+⎪⎪+==⎪⎭公式（3） 或 ()()2112112()()2112112()()2112112()2(1)2(1)r r r z z z rz rz rz E E u e e e G r E E u e e e G r E E w e e e G z E E u w G z rθθθμμσελεμμμμμμσελεμμμμμμσελεμμμμτγγμμ∂⎫=+=+=+⎪+-+-∂⎪⎪=+=+=+⎪+-+-⎪⎬∂⎪=+=+=+⎪+-+-∂⎪∂∂⎪==+=⎪++∂∂⎭ 公式（4） 式中，r z u u w e r r z θεεε∂∂==++∂∂++为体积应变。

空间轴对称问题的基本微分方程在描述轴对称问题各分量时，用圆柱坐标r 、θ、z 比用直角坐标x 、y 、z 方便得多，如以z 轴为对称轴，如图1所示则所有应力分量、应变分量和位移分量都将只是r 和z 的函数，不随θ而变。

如图，取微小六面体。

注意到应力分量是（r ，z ）将各面上的应力分量写出。

单位体积内的体积力在r 、z 方向的分量分别表示为r f 、z f 。

根据单元体在r和z 方向的平衡方程，略去高阶微量，同时除以rdrd dz θ，因为d θ很小，近似认为()sin 22d d θθ≈，加以整理后得到r 方向和z 方向的平衡微分方程为： 图1柱坐标下微小六面体r r z 0r 0zr r rz rz z f z rf z r r θστσσσττ∂∂-⎫+++=⎪⎪∂∂⎬∂∂⎪+++=⎪∂∂⎭公式（1） 进一步推导空间轴对称问题的几何变形方程：设u 、w 分别代表r 及z 轴方向的位移分量，由极坐标内位移与应变的关系以及直角坐标的关系式，很容易得到r u r ∂∂=ε，r u =θε，z w z ∂∂=ε，0==z r θθγγ，rw z u rz ∂∂+∂∂=γ 公式（2） 最后，根据广义胡克定律，可得出物理方程：1[()]1[()]1[()]2(1)r r z r z z z r rz rz rz EEEG E θθθθεσμσσεσμσσεσμσστμγτ⎫=-+⎪⎪⎪=-+⎪⎬⎪=-+⎪⎪+==⎪⎭公式（3） 或 ()()2112112()()2112112()()2112112()2(1)2(1)r r r z z z rz rz rz E E u e e e G r E E u e e e G r E E w e e e G z E E u w G z rθθθμμσελεμμμμμμσελεμμμμμμσελεμμμμτγγμμ∂⎫=+=+=+⎪+-+-∂⎪⎪=+=+=+⎪+-+-⎪⎬∂⎪=+=+=+⎪+-+-∂⎪∂∂⎪==+=⎪++∂∂⎭ 公式（4） 式中，r z u u w e r r z θεεε∂∂==++∂∂++为体积应变。