最新三大抽样分布及常用统计量的分布.ppt

在方差分析中，t分布用于检验 各个组之间的均值是否存在显著
差异。
04
CATALOGUE
卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。

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第五章 统计量及其分布
注：
X
~
2 N(,
)
X
~
N(0,1)
n n
第23页
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第五章 统计量及其分布
第24页
推论5.4.1 设 x1, x2,…, xn 是来自N(, 2) 的
样本，其样本均值和样本方差分别为 x = xi/n 和 s2= (xix)2/(n1)
则有
n(X) t(n1)
则称 t1-(n)为
t(n) 的下侧1- 分位点.
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第15页
t1 ( n )
第五章 统计量及其分布
第16页
当随机变量t t(n) 时，称满足
P(t t1(n)) =1 的 t1(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1分位数.
分位数 t1(n) 可以从附表4中查到。
譬如 n=10,=0.05，那么从附表4上查得
则：
n 1 in 1 ( X i X ) 2 ,S n 21
n 11 in 1 ( X i X ) 2
1 n
1n
2
E(X) E(X ) , Var(X) Var(X)
n i1
i
n2 i1
i
n
E(Sn2
)
n 12, n
E(Sn21) 2,
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第五章 统计量及其分布
第20页
5.4.4 一些重要结论
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第五章 统计量及其分布
第27页
课堂练习
设X1, X2, …, Xn 是来自总体 N(, 2)的一个样本,
则
n
i 1
Xi
2

图5.1.1 SONY彩电彩色浓度分布图q
表5.1.1 各等级彩电的比例(%)
等级
I
|X-m|<5/3
II
III
5/3<|X-m|<10/3 10/3 <|X-m|<5
IV
|X-m|>5
美产 33.3 33.3 33.3
0
日产 68.3 27.1 4.3
0.3
抽样 ：
5.1.2 样本
要了解总体的分布规律，在统计分析工作中，往往 是从总体中抽取一部分个体进行观测，这个过程称为抽 样。样本
x 344 344 x 347 347 x 351 351 x 355
x 355
由伯努里大数定律：
第25页
两点分布，只要 n 相当大，Fn(x)依概率收敛于F(x) 。
更深刻的结论：格里纹科定理
定理5.2.1 设 x1,x2,L,xn 是取自总体分布函数为F(x) 的样本F，n ( x ) 为其经验分布函数，当n 时，有
若以 p 表示这堆数中1的比例（不合格品率）， 则该总体可由一个二点分布表示：
X01 P 1p p
比如：两个生产同类产品的工厂的产品 的总体分布：
例5.1.2 在二十世纪七十年代后期，美国消费者购买
日产SONY彩电的热情高于购买美产 SONY彩电，原因何在？
原因在于总体的差异上！
➢ 1979年4月17日日本《朝日新闻》刊登调查报 告指出N(m, (5/3)2)，日产SONY彩电的彩色浓 度服从正态分布，而美产SONY彩电的彩色浓 度服从(m5 , m+5)上的均匀分布。
元件数 4 8 6 5 3 4 5 4
寿命范围 (192 216] (216 240] (240 264] (264 288] (288 312] (312 336] (336 360] (360 184]

P
1 F
F1
1 (n,
m)
1
P
1 F
F1
1 (n,
m)
1
故
P
1 F
F1
1 (n, m)
,
由于 1 ~ F(m, n) F
因而
F1
1 (n,
m)
F
(m,
n)
例1 F0.95 (5,4) ? 0.6
解 查P.268表, 0.5 0.4
F0.05 (4,5) 5.19 0.3
0.2
F1
(n,
m)
x)
f (x1 ,, xn )dx1 dxn
n
i 1
X
2 i
x
1
(2 )n / 2
i 1
exp(
1 2
n
X
2 i
x
n i 1
xi2
)dx1 dxn
i 1
作 n元极坐标变换
x1 r cos1 cos2 cosn1 x2 r cos1 cos2 sin n1
x3 r c os1 cos2 sin n2
2
2
t e dt 令
t
nzm 2
v
2
n m z n m n 1 2 22
nm
2
(
n 2
)(
m 2
)
nz
2
m
nm 2
0
nm 1
2
t
nm
n2m2
zn 2
1
1
nm
2 n m
(
n 2
)(
m 2
)
nz
m
2
(
nm 2

的
F
2 ( 2 )
分布，记为
2
F～
F
(
1,
2
)
。
对于样本方差
s12
和
s
2 2
，自由度分别为
1
和
2
的
正态总体，因为有 1s12 2
～
2
( 1 )
,
2s22 2
～ 2 ( 2 ) ,
所以有 F
= s12 s22
～ F (1, 2 )
F分布的概率密度函数
f (F)
P(t 1.812) 0.05 或 P(t 1.812) 0.05
② 10，双 =0.05，t 2, t0.05/ 2,10 2.228 ，则有
P(t 2.228) P(t 2.228) 0.05 t t 0.10/2,30 0.05,30
t分布曲线下面积（附表2）
双侧t0.05/2，9＝2.262 ＝单侧t0.025，9
F 分佈是為了紀念著名的統計學家R.A. Fisher（1890-1962)而得名。
1.4 f( F)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
F 分布曲线 11,2 5
15,2 5
110,210
2F
3
4
F 界值表
5
附表5 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
服从χ2 ( ) ，
由此可对方差的抽样误差进行假设检验。
χ2分布
f(χ2)
χ2
χ2分布曲线下的面积与概率
二、 t 分布(t-distribution)
随机变量X N（，2）

三大抽样分布课件
欢迎来到我们的三大抽样分布课件！在这个课件中，我们将介绍离散型随机 变量概率分布、连续型随机变量概率分布以及抽样分布的概念、特点和应用。 让我们一起来探索这个精彩的主题吧！
离散型随机变量概率分布
概念介绍
了解离散型随机变量的概率分布和概率质量函数是建立在此领域的基础
二项分布
掌握二项分布的概念、参数和求解方法对于实际问题的应用至关重要
连续型随机变量概率分布
概念介绍
了解连续型随机变量的概率分布和概率密度函数是 理解其特性和应用的基础
正态分布
深入探讨正态分布的特性、标准正态明白总体与样本的区别以及抽样分布的
t分布
2
概念对于实际数据分析至关重要
了解t分布的特点和应用举例，可以更好
地理解样本均值的抽样分布
3
F分布
学习F分布的特点和应用举例，加深对 抽样分布的认识
总结与回顾
三大抽样分布的概念
回顾离散型、连续型随机变量概率分布和抽样分布的基本概念
不同分布的特点和应用
总结各个分布的特点，以及它们在实际问题中的应用场景

1.
(n 1) S 2
2
~ 2 (n 1)
2. X 与 S 2 独立。 定理三 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样
X ， S 2 分别是样本均值和样本方差， 则有
X S/ n ~ t (n 1)
定理四 设 X 11,,X 22,,,X nn 与Y11,,Y22,,,,Ynn 是来自正态总体 N ((11,, 1212))和 N Y 是来自正态总体 N 和 设 X X , X 与Y Y 2 ) 和 N ( 2 , 2 ) 的样本，且这两个样本相互独立。设 n 1 1 n1 X i 1 X i , Y i 1 Yi 分别是这两个样本的均值； n2 n1 n 1 1 n1 2 2 2 S2 (Yi Y ) 2 S1 i1 ( X i X ) , n21 1 i 1 n1 1 分别是这两个样本的样本方差， 则有
则称随机变量
[(n1 n 2 ) / 2](n1 / n 2 ) n1 / 2 y ( n1 / 2 ) 1 , y0 ( y ) (n1 / 2)(n 2 / 2)[1 (n1 y / n 2 )]( n1 n2 ) / 2 0, 其它
其图形如右图所示
U / n1 F V / n2 服从自由度为 ((n1 ,,n 22)的2)) 服从自由度为 n1 n )的F 分布，记为 F ~ F n1 n
F (n1 , n 2 ) 分布的概率密度为
2 2 设 U ~ ( n1 ), V ~ (n 2 ), 且U , V 独立，
1 0.357 2.80
二、抽样分布定理
定理一 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样 本，X 是样本均值，则有 X ~ N ( , 2 / n) 定理二 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样 X ， S 2 分别是样本均值和样本方差， 则有