浙江省奉化中学高二数学(人教A版)教案+选修4-5+第12课时+几个著名的不等式之——柯西不等式

1.1.2 基本不等式一、教学目标1．了解两个正数的算术平均数与几何平均数．2．理解定理1和定理2(基本不等式)．3．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．二、课时安排1课时三、教学重点理解定理1和定理2(基本不等式)．四、教学难点掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．五、教学过程（一）导入新课已知lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y的最小值为______． 【解析】 ∵lg x ＋lg y ＝2，∴x ＞0，y ＞0，lg(xy )＝2，∴xy ＝102，∴1x ＋1y ≥21xy ＝15，当且仅当x ＝y ＝10时，等号成立． 【答案】 15（二）讲授新课教材整理1 两个定理及算数平均与几何平均1．两个定理2.如果a ，b 都是正数，我们称为a ，b 的算术平均，为a ，b 的几何平均．教材整理2 利用基本不等式求最值已知x ，y 为正数，x ＋y ＝S ，xy ＝P ，则(1)如果P 是，那么当且仅当时，S 取得最小值；(2)如果S 是，那么当且仅当x ＝y 时，P 取得最大值.（三）重难点精讲题型一、利用基本不等式证明不等式例1已知a ，b ，c 都是正数，求证：a2b ＋b2c ＋c2a≥a ＋b ＋c . 【精彩点拨】 观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．【自主解答】 ∵a >0，b >0，c >0，∴a2b ＋b ≥2 a2b·b ＝2a ， 同理：b2c ＋c ≥2b ，c2a＋a ≥2c . 三式相加得： a2b ＋b2c ＋c2a＋(b ＋c ＋a )≥2(a ＋b ＋c )， ∴a2b ＋b2c ＋c2a≥a ＋b ＋c . 规律总结：1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明．2．当且仅当a ＝b ＝c 时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．[再练一题]1．已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 【证明】 ∵x ，y ，z 都是正数，∴x yz ＋y zx ＝1z ⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥2z. 同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 题型二、利用基本不等式求最值例2设x ，y ，z 均是正数，x －2y ＋3z ＝0，则y2xz的最小值为________． 【精彩点拨】 由条件表示y ，代入到y2xz中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件．【自主解答】 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，∴y2xz ＝x2＋9z2＋6xz 4xz ＝14⎝⎛⎭⎫x z ＋9z x ＋6 ≥14⎝⎛⎭⎫2x z ·9z x ＋6＝3. 当且仅当x ＝y ＝3z 时，y2xz取得最小值3. 【答案】 3规律总结：1．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y ，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题．2．使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立，即“一正、二定、三相等”．在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败的关键．[再练一题]2．已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，试求x ＋y 的最小值. 【解】 ∵x >0，y >0，且1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝y x ＋9x y ＋10≥2y x ·9x y ＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y，即y ＝3x 时等号成立． 又1x ＋9y＝1，∴当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 题型三、基本不等式的实际应用例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？【精彩点拨】 (1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．利用基本不等式求最值．【自主解答】 (1)由题意可设3－x ＝k t ＋1(k ＞0)， 将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，年生产成本为32x ＋3＝32×⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3. 当销售x 万件时，年销售收入为150%×⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，得年利润y ＝－t2＋98t ＋352t ＋1(t ≥0)． (2)y ＝－t2＋98t ＋352t ＋1＝50－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42， ∴当促销费定在7万元时，年利润最大．规律总结： 设出变量――→建立数学模型――→定义域利用均值不等式求最值――――→“＝”成立的条件结论[再练一题]3．如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60 m 2，问当a ，b 各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)?【解】 法一 设流出的水中杂质的质量分数为y ，由题意y ＝k ab，其中k 为比例系数(k >0)．根据题意，得 2×2b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)，∴b ＝30－a 2＋a(由a >0，b >0，可得a <30)．∴y ＝k ab ＝k 30a －a22＋a. 令t ＝a ＋2，则a ＝t －2.从而30a －a22＋a＝30(t －2)－(t －2)2t ＝34t －t2－64t ＝34－⎝⎛⎭⎫t ＋64t ， ∴y ＝k ab ≥k 34－2 t·64t＝k 18. 当且仅当t ＝64t ，即a ＋2＝64a ＋2时，取“＝”，∴a ＝6. 由a ＝6，可得b ＝3.综上所述：当a ＝6 m ，b ＝3 m 时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．法二 设流出的水中杂质的质量分数为y ，依题意y ＝k ab，其中k 为比例系数(k >0)．要求y 的最小值必须先求出ab 的最大值．依题设4b ＋2ab ＋2a ＝60，即ab ＋a ＋2b ＝30(a >0，b >0)．∵a ＋2b ≥22ab(当且仅当a ＝2b 时取“＝”)，∴ab ＋22ab ≤30，可解得0<ab ≤18.由a ＝2b 及ab ＋a ＋2b ＝30，可得a ＝6，b ＝3，即a ＝6，b ＝3时，ab 取得最大值，从而y 的值最小．题型四、基本不等式的理解与判定例4命题：①任意x >0，lg x ＋1lg x ≥2；②任意x ∈R ，a x ＋1ax ≥2；③任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x ＋1tan x≥2；④任意x ∈R ，sin x ＋1sin x≥2. 其中真命题有()A ．③B ．③④C ．②③D.①②③④【精彩点拨】 按基本不等式成立的条件进行判定．【自主解答】 在①④中，lg x ∈R ，sin x ∈[－1,1]，不能确定lg x >0与sin x >0.因此①④是假命题；在②中，a x >0，a x ＋1ax ≥2ax·1ax＝2，当且仅当x ＝0时，取等号，则②是真命题； 在③中，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，tan x >0，有tan x ＋1tan x ≥2，且x ＝π4时取等号，∴③是真命题． 【答案】 C规律总结：1．本题主要涉及基本不等式成立的条件及取等号的条件．在定理1和定理2中，“a ＝b ”是等号成立的充要条件．但两个定理有区别又有联系：(1)a ＋b 2≥ab 是a 2＋b 2≥2ab 的特例，但二者适用范围不同，前者要求a ，b 均为正数，后者只要求a ，b ∈R ；(2)a ，b 大于0是a ＋b 2≥ab 的充分不必要条件；a ，b 为实数是a 2＋b 2≥2ab 的充要条件．2．当b ≥a >0时，有变形不等式a ≤2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a2＋b22≤b . [再练一题]4．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是()A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 【解析】 A 选项中，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，则排除A ；当a <0，b <0时，a ＋b <0<2ab ，1a ＋1b <0<2ab，则排除B ，C 选项；D 选项中，由ab >0，则b a >0，a b >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，当且仅当a ＝b 时取“＝”，所以选D. 【答案】 D（四）归纳小结基本不等式—⎪⎪⎪⎪ —定理的理解—证明不等式—求最值—实际应用（五）随堂检测1．下列结论中不正确的是()A ．a ＞0时，a ＋1a ≥2B.b a ＋a b≥2 C ．a 2＋b 2≥2ab D.a 2＋b 2≥(a ＋b )22 【解析】 选项A ，C 显然正确；选项D 中，2(a 2＋b 2)－(a ＋b )2＝a 2＋b 2－2ab ≥0，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22成立；而选项B 中，b a ＋a b≥2不成立，因为若ab ＜0，则不满足不等式成立的条件． 【答案】 B 2．下列各式中，最小值等于2的是()A.x y ＋y xB.x2＋5x2＋4C ．tan θ＋1tan θD.2x ＋2－x【解析】 ∵2x ＞0,2－x ＞0，∴2x ＋2－x ≥22x·2－x ＝2，当且仅当2x ＝2－x ，即x ＝0时，等号成立．故选D.【答案】 D3．已知5x ＋3y＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是() A ．15B ．6C ．60D.1【解析】 ∵5x ＋3y ≥215xy(当且仅当x ＝10，y ＝6时，取等号)， ∴215xy ≤1，∴xy ≥60，故xy 的最小值为60.【答案】 C六、板书设计1.1.2基本不等式 教材整理1 两个定理及算数平均与几何平均1．两个定理2.算术平均与几何平均例1： 例2： 例3： 例4： 学生板演练习 七、作业布置同步练习：1.1.2基本不等式八、教学反思。

课 题： 第14课时 几个著名的不等式之三：平均不等式目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：1、定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈, 强调取“=”的条件b a =。

2、定理2：如果b a ,是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab ba =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a ；2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3、定理3：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++=∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++ 指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证。

推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++。

（当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++abDBOAC⇒33abc c b a ≥++⇒33abc c b a ≥++ 4、算术—几何平均不等式：①．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数，n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数；②．基本不等式：na a a n +++ 21≥n n a a a 21（n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*）这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略） 语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

i / 6个人收集整理仅供参考学习课题：第12课时几个著名地不等式之一：柯西不等式目地要求：重点难点：教学过程：一、引入：除了前面已经介绍地贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式•这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学地重要工具1、什么是柯西不等式：定理1 ：（柯西不等式地代数形式）设a,b, c,d均为实数，则2 2 2 2 2（a b ）（c d ）（ac bd），其中等号当且仅当ad bc时成立.证明：几何意义：设，为平面上以原点0为起点地两个非零向量，它们地终点分别为A（a,b），B （c,d ），那么它们地数量积为？ ac bd，而| |、a2b2，| | . c2d2，所以柯西不等式地几何意义就是：I I I I I ? I,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立2、定理2:（柯西不等式地向量形式）设，为平面上地两个向量，则III I I ? I，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立3、定理3：（三角形不等式）设X i,y i,X2, y2,X3,y3为任意实数，则：（X i X2）2（y i y2）2,（X2 X3）2（y2 y3）2. （X i X3）2（% yf 分析：个人收集整理仅供参考学习2 / 6思考：三角形不等式中等号成立地条件是什么? 4、定理4 ：(柯西不等式地推广形式)： 设n 为大于1 地自然数, a i ,b i (i 1, 2，…，n )为任意实数，则: 2 , 2 a i i 1b i i 1 n(a i b i )2，其中等号当且仅当 i 1 b 1 b 2时成立(当a i 0时,约定 b i 0, i 1, 2，…, 证明：构造二次函数: f(x) (a i x 2 2bi) Ox b 2)即构造了一个二次函数： f(x)(na 「)x 2 2( a ib i )xi 1 由于对任意实数x , f(x) 0恒成立，则其 即:n n n 4( a i b i )24( a i 2)( b 「)0i 1i 1 i 1(a n xb n )2a nnb i 2i 1n n2 2即: ( ab i )2( a i )( b ),i 1等号当且仅当 a 1x b 1 a 2xb 2a n Xb n即等号当且仅当bb n时成立(当 a na i 0时, 约定 b i 0 , i 1, 2,…，n )•如果a i (1 i n )全为o ,结论显然成立•柯西不等式有两个很好地变式:na i 2 变式 1 设 a i R,bi 0(i 1,2, ,n),i 1 bia i )2b i等号成立当且仅当b i a i (1 i n)变式2 设a i , b i 同号且不为 0 (i=1 , 2,…，n ),则:na i i 1 bi(一也，等号成立当且仅当a i b个人收集整理仅供参考学习3 / 6bl b 2b n .、典型例题1 1 1例4、已知a,b,c 均为正数，且a b c 1，求证：9a b c方法1：方法2：（应用柯西不等式）例 1、已知 a 2 b 2 1 , x 22y 1，求证：| ax by | 1.例 2、设 a, b, c, d R ，求证：■... a 2 b 2 c 2 d 2例3、设为平面上地向量，则|(b d)2 .n 2 1 n 2 例5:已知ai , a 2，…，a n 为实数，求证：a i ( aj .i in 「分析：1a 1 a 2 a n 时，平方和取最小值S 2. n三、小结：四、练习： n五、作业：1、已知：a 2 b 21, m 2 n 2 2,证明： 2 am bn 2.推论：在n 个实数a 1， a 2， a n 地和为定值为 S 时，它们地平方和不小于 I S2，当且仅当n1、设 X 1, nX 2,…，X n >0,则i 1X i 1 x iX ii 1n 12、设xiR (i=1, 2,…，n ) 且」i 11 X i 1求证:2提示: 本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明 2、若 x,y, zR ，且x2 2y z =a , x y2(a0)，求证：x, y,z 都是不大于一a 地3非负实数. 证明: 代入x 2 y 2 z可得2x 2 2(ay)x(ay)2 21=a21 2 a 24(ay)2 8 y 2(ay)2化简可得：3y 22ay •/ a 同理可得：0 x 由此可见，在平常地解题中，一些证明定理、公理、不等式地方法都可以为我们所用；只要能灵活 运用，就能收到事半功倍地效果 3、设 b 为不相等地正數，试证：(a + b)(a 3+ b 3)>(a 2 + b 2)2. 4、设 x ,y , z 为正实数，且x+y+z=10，求4 -9地最小值.x y z5、设x , y , z R,求：2x y z地最大值.v'x 2 2y 2 z 2队三边长為屯h ® P为三角形內部一点P, P到三边的距离分別切知y f 求対尸咗的最小慎AABC面积■怕-巧=115 7 5 3 15^7X = X — X — =2 2 2 2 4边长.8、9、HAABC=APAB+APBC+APAC4 2 2由柯西不等式(4x+Sy+6z)r1^(jc:+y1tz a)(42+S1+62)2252 2 2 2 4 设三个正实数a,b,c满足(a b c ) 2(a求证n(n 3)个正实数a1, a2,…，a n满足(a ：2a2 a n2)2(n 41)(a1 4a2已知x,y,z ，且x2求证:—x10、设x, y,z2x-2 2y z yz4c )，求证:4a na, b, c 一定是某三角形地三2 2z x zx2z~2 2x y xy1.11、设x, y,z7 / 6个人收集整理仅供参考学习1 2 3R，且x+2y+3z=36，求地最小值.x y z。

1.2.1 绝对值三角不等式教学目标：1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简 单的应用。

2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。

教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。

教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。

教学过程： 一、复习引入：关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。

本节课探讨不等式证明这类问题。

1．请同学们回忆一下绝对值的意义。

⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。

几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。

2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立，.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。

（2）2a a =， （3）b a b a ⋅=⋅， （4）)0(≠=b baba 那么?b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课：结论：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系?b a -baa b+已知,a b 是实数，试证明：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） 方法一：证明:10.当ab ≥0时, 20. 当ab <0时,综合10, 20知定理成立.方法二：分析法，两边平方（略）定理1 如果,a b 是实数，则a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）（1）若把b a ,换为向量b a,情形又怎样呢？根据定理1，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。