【小初高学习】2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5教学案：第三讲一二维形式的柯西不等式

对应学生用书P291．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc 时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[注意]柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.3．二维形式的三角不等式(1)定理3：x21＋y21＋x22＋y22≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有(x1－x3)2＋(y1－y3)2＋(x2－x3)2＋(y2－y3)2≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．对应学生用书P29[例1] 已知θ为锐角，a ，b ∈R ＋，求证：a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ≥(a ＋b )2.[思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin 2θ＋cos 2θ.”然后用柯西不等式证明．[证明] ∵a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ＝⎝⎛⎭⎫a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ) ≥⎝⎛⎭⎫a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ2 ＝(a ＋b )2，∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1. 证明：由柯西不等式得 (ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝1， ∴|ax ＋by |≤1.2．已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数． 求证：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a 1b 12＋⎝⎛⎭⎫a 2b 22≥ ⎝⎛⎭⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2.3．设a ，b ，c 为正数，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥ 2(a ＋b ＋c )． 证明：由柯西不等式： a 2＋b 2·12＋12≥a ＋b ， 即2·a 2＋b 2≥a ＋b . 同理：2·b 2＋c 2≥b ＋c ， 2·a 2＋c 2≥a ＋c ，将上面三个同向不等式相加得： 2()a 2＋b 2＋ a 2＋c 2＋ b 2＋c 2≥2(a ＋b ＋c ) ∴ a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2≥ 2·(a ＋b ＋c ).[例2] 求函数y ＝3sin α＋4cos α的最大值．[思路点拨] 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac ＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值．[解] 由柯西不等式得(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin 2α＋cos 2)＝25， ∴3sin α＋4cos α≤5.当且仅当sin α3＝cos α>0即sin α＝35，cos α＝45时取等号，即函数的最大值为5.利用柯西不等式求最值①变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．4．已知2x 2＋y 2＝1，求2x ＋y 的最大值． 解：2x ＋y ＝2×2x ＋1×y ≤(2)2＋12×(2x )2＋y 2＝3×2x 2＋y 2＝ 3.当且仅当x ＝y ＝33时取等号． ∴2x ＋y 的最大值为 3.5．已知2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值． 解：∵(4x 2＋9y 2)(22＋22)≥(4x ＋6y )2＝4， ∴4x 2＋9y 2≥12.当且仅当2×2x ＝3y ×2，即2x ＝3y 时等号成立． 又2x ＋3y ＝1，得x ＝14，y ＝16，故当x ＝14，y ＝16时，4x 2＋9y 2的最小值为12.6．求函数f (x )＝x －6＋12－x 的最大值及此时x 的值． 解：函数的定义域为[6,12]，由柯西不等式得 (x －6＋12－x )2≤(12＋12)[(x －6)2＋(12－x )2]＝2(x －6＋12－x )＝12，即x －6＋12－x ≤2 3. 故当x －6＝12－x 时即x ＝9时函数f (x )取得最大值2 3.对应学生用书P311．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q解析：设m ＝(a x ，b y )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m ||n |＝(ax )2＋(by )2·(a )2＋(b )2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ax 2＋by 2，∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.即P ≤Q . 答案：A2．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，2 5 ] B ．[－210，210 ] C ．[－10，10 ]D ．(－5，5)解析：(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2， ∵a 2＋b 2＝10，∴(a －b )2≤20. ∴－25≤a －b ≤2 5. 答案：A3．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65C.2536D.3625解析：(2x 2＋3y 2)[(3)2＋(2)2]≥(6x ＋6y )2＝[6(x ＋y )]2＝6，(当且仅当x ＝35，y ＝25时取等号)即2x 2＋3y 2≥65.答案：B4．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3D ．5解析：根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝5(当且仅当x ＝265时取等号)．答案：B5．设xy >0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋4y 2·⎝⎛⎭⎫y 2＋1x 2的最小值为________． 解析：原式＝⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫2y 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1x 2＋y 2≥⎝⎛⎭⎫x ·1x ＋2y ·y 2＝9.(当且仅当xy ＝2时取等号) 答案：96．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为________，此时b ＝________. 解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a |·|b |，∴|a ·b |≤(－2)2＋12＋22×6＝18，当且仅当存在实数k ，使a ＝k b 时，等号成立． ∴－18≤a ·b ≤18， ∴a ·b 的最小值为－18， 此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)． 答案：－18 (4，－2，－4)7．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得 (2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫122＝(3x 2＋2y 2)·⎝⎛⎭⎫43＋12≤6×116＝11⎝⎛ 当且仅当x ＝411，⎭⎫y ＝311时取等号， 于是2x ＋y ≤11. 答案：118．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝2.求证：1x ＋1y ≥2.证明：1x ＋1y ＝12(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝12[ (x )2＋(y )2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1x 2＋⎝⎛⎭⎫1y 2 ≥12⎝⎛⎭⎫x · 1x ＋y ·1y 2＝2， 当且仅当⎩⎨⎧xy＝yx ，x ＋y ＝2，时等号成立，此时x ＝1，y ＝1.所以1x ＋1y ≥2.9．解方程4x ＋3＋21－2x ＝15.解：15＝⎝⎛⎭⎫2·2x ＋32＋21－2x 2≤[(2)2＋22]·⎣⎡⎦⎤ ⎝⎛⎭⎫2x ＋322＋(1－2x )2＝6⎝⎛⎭⎫2x ＋32＋1－2x ＝6×52＝15.其中等号成立的充要条件是 2x ＋322＝1－2x2， 解得x ＝－13.10．试求函数f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin 2x 的最大值，并求出相应的x 的值． 解：设m ＝(3,4)， n ＝(cos x ，1＋sin 2x )则f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin 2x＝|m ·n |≤|m |·|n | ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ·32＋42＝5 2当且仅当m ∥n 时，上式取“＝”． 此时，31＋sin 2x －4cos x ＝0. 解得sin x ＝75，cos x ＝325. 故当sin x ＝75，cos x ＝325时． f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x 取最大值5 2.。