【二维形式的柯西不等式】一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。
一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础，本节课的核心内容是柯西不等式二维形式的推导及其简单应用。
二、教学目标：1、知识与技能：通过对二维形式的柯西不等式的探究和证明过程的分析的学习，认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2、过程与方法：过对柯西不等式几种不同形式的探究过程的学习，会用语言叙述柯西不等式的几种形式，能总结本节课涉及到的数形结合思想，比较法，综合法，配方法，类比法，构造法等数学方法，总结应用柯西不等式解答问题的一般方法与步骤； 3、情感、态度与价值观：通过对二维形式柯西不等式的学习，学生会感受到柯西不等式的对称与和谐美，感受探究交流与合作的学习方式，同时提高学习数学的兴趣,提高数学素养. 三、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用. 四、教学难点：二维形式柯西不等式的应用. 五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析： 学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。
通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处.3、教具选择：多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究 七、教学过程一． 1、自主导学：引入：同学们，中学课本有很多定理定义都以科学家姓名命名，你知道有哪些？ 牛顿，高斯，安培，焦耳，裴波拉契，欧姆，伽利略，韦达定理，笛卡尔, 祖暅原理，秦九韶算法，海伦公式，引出课题： 1.复习： 二元基本不等式 ：(0,0)2a ba b +≥>>，当且仅当b a =时等号成立.变形：ab b a 222≥+，R b a ∈,,当且仅当b a =时等号成立.2. 尝试练习，引入新课：（1），122=+b a ，422=+d c 求bd ac +的最大值；学生独立思考，再小组讨论分析：由，122=+b a 422=+d c 得 ++22b a 2)2()2(22=+d c ,因为ac ca ≥+22)2(，bd db ≥+22)2(所以++22)2(c a bd ac db +≥+22)2(即2≤+bd ac ，当且仅当2c a =，2db =时等号成立.（2）222M b a =+,222N d c =+，N M ,为正常数，求2）（bd ac +的最大值并指出等号成立的条件.分析：由222M b a =+,222N d c =+得++22)()(M b M a 2)()(22=+NdN c 因为MN ac N c M a 2)()(22≥+，MNbd N d M b 2)()(22≥+++=22)()(2N c M a MNac N d M b 2)()(22≥++MN bd 2 故bd ac MN +≥，当且仅当N c M a =，Nd M b =时即bc ad =等号成立. bd ac d c b a +≥+⋅+2222从而22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =等号成立. 2、合作探究（1）分组探究： 二．新课：1.定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则 22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时等号成立. 证明：因为))((2222d c b a ++=22222222d a c b d b c a +++222222)(d b acbd c a bd ac ++=+所以22222)())((bd ac d c b a +-++ 0)222222≥-=+-=bc ad c b abcd d a （ 当且仅当bc ad =时等号成立.注意考虑等号成立的条件！ 探究：结合bd ac bd ac d c b a +≥+≥+⋅+||2222，能否利用所学知识从形的角度认识？小组讨论，学生展示结果：2. 几何意义：设βα→→，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为）b a A ,(，),(d c B ），因为 |cos |||||||θβαβα→→→→=•又因为1|cos |≤θ所以||||||βαβα→→→→•≥⋅， 同时：根据坐标表示得22||b a +=→α，22||d c +=→β，它们的数量积为bd ac +=•→→βα， 所以||2222bd ac d c b a +≥+⋅+，即柯西不等式的代数形式是向量形式的坐标表示！所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα→→→→•≥⋅， 当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.）b a ,3.定理2：（柯西不等式的向量形式）设βα→→，为平面上的两个向量，则||||||βαβα→→→→•≥⋅，当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.（2）教师点拨：我们需要熟悉的是两个向量数量积与坐标间的联系，柯西不等式的代数形式是向量形式的坐标表示，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα→→→→•≥⋅， 当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.3、巩固训练：已知623=+y x ，求22y x +的最小值.分析：因为 22222)23((23y x y x ⨯+⨯≥++））（ 即36(1322≥+）y x ，所以133622≥+y x ，所以22y x +的最小值为1336又如，求函数x x y -+-=6453的最大值.例题教学：设b a ,是正实数，1=+b a ，求证411≥+ba分析：法1：)11)((11ba b a b a ++=+展开，用均值不等式解：4222)11)((11=+≥++=++=+abb a b a b a b a (当且仅当b a a b =即21==b a 时，等号成立.)（学生一起快速齐答）法2：注意到)11)((11b a b a b a ++=+，有了)11)((ba b a ++就可以用柯西不等式了.解：411)11)((,0,02=⋅+⋅≥++∴>>）（bb a a b a b a b a , (当且仅当ab b a 11⋅=⋅即21==b a 时，等号成立.) 411≥+∴b a变式训练：已知369422=+y x ，求y x 3+最大值.分析：因为22222)13212(]1)21][()3()2[(⨯+⨯≥++y x y x即：22222)3(]1)21)[(94(y x y x +≥++2)3(454536y x +≥=⨯ 所以 53353≤+≤-y x当且仅当232yx =即554553==y x ，时y x 3+取最大值53.554-553-==y x ，时y x 3+取最小值53-.4、拓展延伸：不等式结构分析：左边是实数平方和的乘积，右边是实数积的和的平方（1）bd ac bd ac d c b a +≥+≥+⋅+||2222(当且仅当bc ad =时等号成立.)(2)),,,.()())((2+∈+≥++R d c b a bd ac d b c a (当且仅当bc ad =时等号成立.) (3)||||2222bd ac d c b a +≥+⋅+（当且仅当||||bc ad =时，等号成立）使用柯西不等式的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式．美题欣赏：22222)())(11(b a b a +≥++ 即2)(222b a b a +≥+22222)21((21y x y x ⨯+⨯≥++））（ 即222)2((5y x y x +≥+）22222)cos sin ()cos )(sin (θθθθb a b a +≥++ 即222)cos sin (θθb a b a +≥+|cos sin |cos sin 2222θθθθb a b a +≥+⨯+ 即|cos sin |22θθb a b a +≥+5、师生合作总结：学生总结本节课所学内容：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时等号成立. 定理2：（柯西不等式的向量形式）设βα→→，为平面上的两个向量，则||||||βαβα→→→→•≥⋅，当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.方法：作差，构造，数形结合 八、课外作业： P37页，4，5， 7，8，9思考题：根据二维形式的柯西不等式类比得到三维形式的柯西不等式十、教学反思：（注：教学实施后写） 过上完本节课我的体会和反思是：这是一节定理新授课，也是实践、总结和体验的研究课。
