《信号与系统》第二版第八章：Z变换

x (1) = 3.5δ ( n − 1)
n ∴ x ( n ) = δ ( n ) + 3.5δ ( n − 1) + ⎡8 − 13 × ( 0.5 ) ⎤ u ( n − 2 ) ⎣ ⎦
部分分式展开法：
⎧ 1 ⎫ ⎧ z ⎫ n = Z −1 ⎨ Z −1 ⎨ ⎬ = d u ( n) −1 ⎬ ⎩1 − dz ⎭ ⎩z−d ⎭
= { z n −1 X ( z )( z − zm )} |z = zm
z3 + 2z 2 + 1 , z >1 z ( z − 1)( z − 0.5 )
当 n ≥ 2 时， z n −1 X ( z ) 的极点： z1 = 1, z2 = 0.5
⎧⎡ z 3 + 2 z 2 + 1 n−2 ⎤ ⎫ ⎡ z 3 + 2 z 2 + 1 n−2 ⎤ ⎪ ⎪ x ( n ) = ⎨⎢ z ⎥ +⎢ z ⎥ ⎬ u ( n − 2) z −1 ⎪ ⎦ z =1 ⎣ ⎦ z =0.5 ⎪ ⎩ ⎣ z − 0.5 ⎭
（8-30）
（8-31）
， z ∈ 收敛域 注：1） m > 0 ，右移（延迟） m 步； m < 0 ，左移（导前） m 步。
2）引入 m 步延迟算子，
z −m x ( n ) x (n − m)
Z { z − m x ( n )} = z − m X ( z )
9 因果序列单边 Z 变换右移性质：
9 双边序列：
x ( n ) , n ∈ {−∞, +∞}
（8-19）
−n
X ( z ) = ∑ x ( n) z −n +
n=0
+∞
n =−∞
∑ x (n) z
−1
（8-20）
＝右边序列＋左边序列 右边序列 ⇒ z > Rx1 ，左边序列 ⇒ z < Rx2 ，若 Rx1 < Rx2 则为环状收 敛域， Rx1 ≥ Rx2 则无公共收敛域。
Z e jω0 nu ( n ) =
{
}
1 1− e
jω0 n −1
z
,1 < z ≤ ∞
（8-25）
9
Z {a nu ( − n − 1)} = −
z ,z <a z−a
（8-26）
《信号与系统》第二版（郑君里）8.4） §8.2 Z −1 变换计算方法（ 留数方法：
图 8-5
X ( z) = = ∑ x (n) z
n=0 +∞ −n −1
n =−∞
∑ x (n) z
−n
+∞
−n
（8-27）
+
n =−∞
∑ x (n) z
= XR ( z) + XL ( z)
x ( n ) = Z −1 { X ( z )} =
1 z n −1 X ( z ) dz ∫ C 2π j
（8-28）
1 1 = z n −1 X R ( z ) dz + z n −1 X L ( z ) dz ∫ 2π j C 2π j ∫ C
n =−∞
∑ x (n) z
+∞
−n
1
《信号与系统》
第八章：
Z 变换
=
+∞ 1 ⎤ m −1 ⎡ z x ( n ) z − n ⎥ dz ∑ ⎢ ∫ 2π j C ⎣ n =−∞ ⎦
+∞
=
n =−∞
∑ x ( n ) ⎢ 2π j ∫ z
⎣
C
⎡ 1
m − n −1
⎤ dz ⎥ ⎦
∵
⎧1 , m = n 1 z m − n −1dz = ⎨ ∫ 2π j C ⎩0 , m ≠ n
例： X ( z ) =
（8-29）
z2 + 2z +1 1 + 2 z −1 + z −2 = z 2 − 1.5 z + 0.5 1 − 1.5 z −1 + 0.5 z −2
6
《信号与系统》
第八章：
Z 变换
求： x ( n ) ，1） z > 1 ，2） z < 0.5 ，3） 0.5 < z < 1 解： X ( z ) = B +
图 8-4 典型序列 Z 变换： 9
Z {δ ( n )} = 1, 0 ≤ z < ∞
（8-21）
9
Z {u ( n )} = ∑ z − n =
n=0
+∞
1 ,1 < z ≤ ∞ 1 − z −1
（8-22）
9
4
《信号与系统》
第八章：
Z 变换
Z {nu ( n )} = ∑ nz − n =
n=0
5
《信号与系统》
第八章：
Z 变换
= ∑ Res { z n −1 X R ( z )} |极点pi u ( n ) − ∑ Res { z n −1 X L ( z )} |极点p j u ( − n − 1)
i j
注：1） （正）包围：逆时针方向走，极点在围线的左侧； 负包围：逆时针方向走，极点都在围线的右侧。
+∞
z
( z − 1)
2
,1 < z ≤ ∞
（8-23）
9
Z {a n u ( n )} =
1 z = , a < z ≤∞ −1 1 − az z−a
（8-24）
注：因式分解求 Z −1 变换的基础与 L 变换不同
L {eα t } =
9
1 z 而 Z {a n u ( n )} = s −α z−a
x ( n ) = 2δ ( n ) − 9 × ( 0.5 ) u ( n ) + 8u ( n )
n
2） z < 0.5 B = 2, A1 = 9, A2 = −8 x ( n ) = 2δ ( n ) + 9 × ( 0.5 ) u ( − n − 1) − 8u ( − n − 1)
n
3） 0.5 < z < 1 B = 2, A1 = −9, A2 = −8 x ( n ) = 2δ ( n ) − 9 × ( 0.5 ) u ( n ) − 8u ( − n − 1)
（8-40）
n =−∞
∑ x (n) z
+∞
−n
一致
< ∞的z的
n =−∞
∑ x (n) z
+∞
−n
<∞
（8-6）
2
《信号与系统》
第八章：
Z 变换
ρ
柯西方法：
lim
n →∞
an +1 an
（8-7）
ρ
若 ρ < 1 ，则收敛； 若 ρ > 1 ，则发散； 若 ρ = 1 ，则不定。 序列的分类与收敛域： 9 右边序列：
n =− n2
∑ x ( −n ) z
∞
n
（8-15）
ρ ≤ lim n x ( − 来自 ) z < 1n →∞
z <⎡ lim n x ( − n ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ n →∞ ⎦ ，圆的内部
−1
Rx2
（8-16）
n2 > 0, 0 < z < Rx2 n2 ≤ 0, 0 ≤ z < Rx2
（8-17） （8-18）
（8-34）
右移性质：
−1 ⎧ ⎫ Z { x ( n − m ) u ( n )} = z − m ⎨ X ( z ) − ∑ x ( k ) z − k ⎬ k =− m ⎩ ⎭
（8-35）
Z {nx ( n )} = − z
d X ( z) dz
（8-36）
⎛z⎞ Z {a n x ( n )} = X ⎜ ⎟ ⎝a⎠
lim n an
n →∞
（8-8）
x ( n ) , n ∈ {n1 , ∞}
（8-9） （8-10）
X ( z ) = ∑ x ( n ) z −n
n = n1
∞
ρ = lim n x ( n ) z − n ≤ lim n x ( n ) z −1 < 1
n →∞ n →∞
z > lim n x ( n )
n = ⎡8 − 13 × ( 0.5 ) ⎤ u ( n − 2 ) ⎣ ⎦
当 n = 0 时， z n −1 X ( z ) 的极点： z1 = 1, z2 = 0.5, z3 = z4 = 0
x ( 0) = δ ( n)
当 n = 1 时， z n −1 X ( z ) 的极点： z1 = 1, z2 = 0.5, z3 = 0
n
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《信号与系统》
第八章：
Z 变换
§8.3 Z 变换性质（ 《信号与系统》第二版（郑君里）8.5）
线性性质：
⎧ n ⎫ n Z ⎨∑ α i xi ( n ) ⎬ = ∑ α i Z { xi ( n )} ⎩ i =1 ⎭ i =1
位移： 9 双边 Z 变换：
Z { x ( n − m )} = z − m Z { x ( n )} = z − m X ( z )
《信号与系统》
第八章：
Z 变换
第八章： Z 变换
§8.1 定义、收敛域（ 《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3） 定义（ Z 变换） ： 9 序列 x ( n ) 的双边 Z 变换：
X ( z)
Z { x ( n )}
n =−∞
∑ x (n) z
+∞
−n
（8-1）