概率论与数理统计练习题
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第一章 随机事件及其概率（一）
一．选择题
1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}
（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中
5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销
6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<
（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A ] （A ）C A C B ； （B ）C AB ； （C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .
8.假设随机事件A,B 满足P(AB)=0，则 [ D ] （A ）A,B 互为对立事件 (B)A,B 互不相容
（C ）AB 一定为不可能事件 （D ）AB 不一定为不可能事件 二、填空题
1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容 。
2．“A ，B ，C 三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为 AB BC AC 。
三、简答题：
1．写出下列随机试验的样本空间。
（1）一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号。现从盒这任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录两次取球的号码。
（2）将（1）的取球方式改为第一次取球后放回盒中再作第二次取球，记录两次取球的号码。 解：()()()()()()()()()()()()(){}
11,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3 ()()()()()()()()()()()()(){
21,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4 ()()()()}
4,1,4,2,4,3,4,4
2．设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 、B 、C 中只有A 发生； （2）A 不发生，B 与C 发生； （3）A 、B 、C 中恰有一个发生； （4）A 、B 、C 中恰有二个发生； （5）A 、B 、C 中没有一个发生； （6）A 、B 、C 中所有三个都发生； （7）A 、B 、C 中至少有一个发生； （8）A 、B 、C 中不多于两个发生。 解：()1ABC ()2ABC ()3A B C A B C A B
C ()4A B C A B C
A B
C ()5ABC ()6ABC ()7A B C ()8ABC Ω-
3、设事件A 、B 、C 满足abc φ≠，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： （1）A B C ?? （2）AB C ?
解： （1）()()()()()A B A C A B A AB CAB A AB B BC C CA ABC ---==---
()()2A B C C -
概率论与数理统计练习题
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第一章 随机事件及其概率（二）
一、选择题：
1．掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是 [ B ] （A ）
136
（B ）118 （C ）112 （D ）111
2．袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的
概率是 [ B ] （A ）
925 （B ）310 （C ）625
（D ）320
3． 已知事件A 、B 满足A B ?，则()P B A -≠ [ B ] （A ）()()P B P A - （B ）()()()P B A P AB -+ （C ）()P AB （D ）()()P B P AB -
4．A 、B 为两事件，若()0.8,()0.2,()0.4P A B P A P B ?===，则 [ B ] （A ）()0.32P A B = （B ）()0.2P A B = （C ）()0.4P B A -= （D ）()0.48P B A =
5．有6本中文书和4本外文书，任意往书架摆放，则4本外文书放在一起的概率是 [ D ] （A ）
4!6!10!? （B ）710 （C ）410 （D ）4!7!
10!
?
二、选择题：
1．设A 和B 是两事件，则()()P A P AB =+ P (AB )
2．设A 、B 、C 两两互不相容，()0.2,()0.3,()0.4P A P B P C ===，则[()]P A B C ?-= 0.5 3．若()0.5,()0.4,()0.3P A P B P A B ==-=，则()P A B ?= 0.8 。 4．设两两独立的事件A ，B ，C 满足条件ABC φ=，1
()()()2
P A P B P C ==<
，且已知 9
()16
P A B C ??=
，则()P A = 0.25 。 5．设1()()()4P A P B P C ===，1
()0,()()8P AB P AC P BC ===，则A 、B 、C 全不发生的概
率为 0.5 。
6．设A 和B 是两事件，B A ?，()0.9,()0.36P A P B ==，则()P AB = 0.54 。 三、计算题：
1．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子，若从中任取3颗，求： （1）取到的都是白子的概率；
（2）取到的两颗白子，一颗黑子的概率； （3）取到的3颗中至少有一颗黑子的概率； （4）取到的3颗棋子颜色相同的概率。
解：设A =“取到三颗白球” B = “取到三颗黑球” C =“两颗白球，一颗黑球” D =“至少一颗黑球”
（1） 3831214()55C P A C == （2） 21843
12
28
()55C C P C C == （3）41()1()55P D P A =-= （4）33
843312123
()()()11
C C P A B P A P B C C ?=+=+=
2．加工某一零件共需经过4道工序，设第一、二、三和四道工序的次品率分别为2%、3%、5%
和3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解：设A i =“第i 道工序出现次品” （i =1，2，3，4） B =“次品” 1234()1[1()][1(
)][1()][1
()]
P B P A P A P A P A =----- 10.940.970.950.970.124=-???=
3．袋中人民币五元的2张，二元的3张和一元的5张，从中任取5张，求它们之和大于12元的概率。
解：设A =“5张的金额之和大于12元”
23285
10
2
()9C C P A C ==
概率论与数理统计练习题
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第一章 随机事件及其概率（三）
一、选择题：
1．设A 、B 为两个事件，()()0P A P B ≠>，且A B ?，则下列必成立是 [ A ] （A ）(|)1P A B = （D ）(|)1P B A = （C ）(|)1P B A = （D ）(|)0P A B = 2．设盒中有10个木质球，6个玻璃球，木质球有3个红球，7个蓝色；玻璃球有2个红色，4个蓝色。现在从盒中任取一球，用A 表示“取到蓝色球”，B 表示“取到玻璃球”，则P (B |A )=[ D ]。 （A ）
610 （B ）616 （C ）47 （D ）4
11
3．设A 、B 为两事件，且(),()P A P B 均大于0，则下列公式错误的是 [ B ] （A ）()()()()P A B P A P B P AB ?=+- （B ）()()()P AB P A P B = （C ）()()(|)P AB P A P B A = （D ）()1()P A P A =-
4．设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取的2件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 [ B ] （A ）
25 （B ）15 （C ）12 （D ）35
5．设A 、B 为两个随机事件，且0()1,()0,(|)(|)P A P B P B A P B A <<>=，则必有 [ C ] （A ）(|)(|)P A B P A B = （B ）(|)(|)P A B P A B ≠ （C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()()P AB P A P B ≠ 二、填空题：
1．设A 、B 为两事件，()0.8,()0.6,()0.3P A B P A P B ?===，则(|)P B A = 1/6 2．设()0.6,()0.84,(|)0.4P A P A B P B A =?==，则()P B = 0.6
3．若()0.6,()0.8,(|)0.2P A P B P B A ===，则(|)P A B = 0.9
4．某产品的次品率为2%，且合格品中一等品率为75%。如果任取一件产品，取到的是一等品的概率为 0.75*0.98 = 0.753
5．已知123,,A A A 为一完备事件组，且121()0.1,()0.5,(|)0.2P A P A P B A ===2(|)0.6P B A =
3(|)0.1P B A =，则1(|)P A B = 1/18 = 0.0556
三、计算题：
1．某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，活到12岁的概率为0.56，求现年10岁的该动物活到12岁的概率是多少？
解：设A=“活到10岁” B =“活到15岁“ 056
0708
()().(|).()().P AB P B P B A P A P A =
===
2．某产品由甲、乙两车间生产，甲车间占60%，乙车间占40%，且甲车间的正品率为90%，乙车
间的正品率为95%，求：
（1）任取一件产品是正品的概率；
（2）任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。
解：设A 1 =“甲车间生产的产品” A 2 =“乙车间生产的产品” B =“正品” （1）121122()()()()(|)()(|)P B P A B P A B P A P B A P A p B A =+=+ 060904095092.....=?+?=
（2）222204005
025008
()()(|)..(|).()().P A B P A P B A P A B P B P B ?=
===
3．为了防止意外，在矿内同时设有两报警系统A 与B ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统
A 为0.92，系统
B 为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率； （2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。
解：（1）11()()()P A B P A B P AB ?=-?=-
11008015100120988()(|)....P A P B A =-=-?=-= （2）()()()()()
(|)()()()()
P AB P A AB P A B B P A B P B P A B P B P B P B P B -?-?-=
===
0988093
082857007
....-==
4．某酒厂生产一、二、三等白酒，酒的质量相差甚微，且包装一样，唯有从不同的价格才能区别品级。厂部取一箱给销售部做样品，但忘了标明价格，只写了箱内10瓶一等品，8瓶二等品，6瓶三等品，销售部主任从中任取1瓶，请3位评酒专家品尝，判断所取的是否为一等品。专家甲说是一等品，专家乙与丙都说不是一等品，而销售主任根据平时资料知道甲、乙、丙3位专家判定的准确率分别为0.96,0.920.90和。问懂得概率论的主任该作出怎样的裁决？
解：设A =“该酒是一等品”
B 1 =“甲说是一等品” B 2 =“乙说不是一等品” B 3 =“丙说不是一等品”
123123123123123123()()(|)
(|)()()(|)()(|)
P AB B B P A P B B B A P A B B B P B B B P A P B B B A P A P B B B A =
=
+ 10
096008012401421014
096008010040920902424
..........???==???+???
由于此概率比较小，所以销售主任作出该瓶酒不是一等品的裁决。
概率论与数理统计练习题
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第一章 随机事件及其概率（四）
一、选择题：
1．设A ，B 是两个相互独立的事件，()0,()0P A P B >>，则一定有()P A B ?= [ B ] （A ）()()P A P B + （B ）1()()P A P B - （C ）1()()P A P B + （D ）1()P AB - 2．甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，则两人同时考上大学的概率是 [ B ] （A ）0.75 （B ）0.56 （C ）0.50 （D ）0.94 3．某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，那么5次中有 2次命中的概率是 [ D ] （A ）3
2
2.08.0? （B ）2
8.0 （C ）
28.05
2? （D ）322
52.08.0?C
4．设A ，B 是两个相互独立的事件，已知11
(),()23
P A P B =
=，则()P A B ?= [ C ] （A ）
12 （B ）56 （C ）23 （D ）3
4
5．若A ，B 之积为不可能事件，则称A 与B [ B ] （A ）独立 （B ）互不相容 （C ）对立 （D ）构成完备事件组 二、填空题：
1．设A 与B 是相互独立的两事件，且()0.7,()0.4P A P B ==，则()P AB = 0.12 2．设事件A ，B 独立。且()0.4,()0.7P A P B ==，则A ，B 至少一个发生的概率为 0.82 3．设有供水龙头5个，每一个龙头被打开的可能为0.1，则有3个同时被打开的概率为
2
325010900081(.)(.).C =
4．某批产品中有20%的次品，进行重复抽样调查，共取5件样品，则5件中恰有2件次品的概率
为 2
235020802048(.)(.).C = ，5件中至多有2件次品的概率
05
142
23
5550802080208094208(.)(.)(.)(.)(.).C C C ++= 。
三、计算题：
1．设某人打靶，命中率为0.6，现独立地重复射击6次，求至少命中两次的概率。 解：所求的概率为 6
6
6
6
2
101()()()K P P k P P ==
=--∑
65
10460604095904(.)(.)(.).=--?=
2．某类灯泡使用寿命在1000个小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只坏一个的概率。
解：设A =“灯泡使用寿命在1000个小时以上”， 则02().P A = 所求的概率为 03012
33()()()()P C P A P A C P A P A =+ 3
2
023********(.)(.)..=+??=
3．甲、乙、丙3人同时向一敌机射击，设击中敌机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。
解：设A =“甲击中敌机” B =“乙击中敌机” C =“丙击中敌机” D k =“k 人击中飞机”（k =1，2，3） H =“敌机被击中” 1()()()()P D P ABC P ABC P ABC =++
040503060503060507036..........=??+??+??=
2()()()()P D P ABC P ABC P ABC =++
040
503040507060507..........
=??+??+??= 3040507014()()....P D P ABC ==??=
11223
3()()(|)
()(|)()(|)
P H P D P H D P D P H D P D P H D =++
036020410601410458......=?+?+?=
4．一质量控制检查员通过一系列相互独立的在线检查过程（每一过程有一定的持续时间）以检查新生产元件的缺陷。已知若缺陷确实存在，缺陷在任一在线检查过程被查出的概率为p 。 （1）求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率（缺陷若在一个过程查出就不再进行下一个过程）； （2）求缺陷在第n 个过程结束之前被查出的概率；
（3）若缺陷经3个过程未被查出，该元件就通过检查，求一个有缺陷的元件通过检查的概率； 注：（1）、（2）、（3）都是在缺陷确实存在的前提下讨论的。
（4）设随机地取一元件，它有缺陷的概率为0.1，设当元件无缺陷时将自动通过检查，求在（3）的假设下一元件通过检查的概率；
（5）已知一元件已通过检查，求该元件确实是有缺陷的概率（设0.5p =）。 解：设A k =“第k 个过程前有缺陷的元件被查出”
B =“元件有缺陷”
C =“元件通过检查”
（1） 2
11211212()()()()()P A A A P A P A P A p p p p p ?=+=+-=- （2） 112123121()n n P A A A A A A A A A A -???? 2
1
111()()()n p p p p p p p -=+-+-++-
11()n
p =--
（3）3
1231()()P A A A p =-
（4）3123
01109()().().P C P BA A A B p =?=?-+ （5）123123P BA A A P BA A A C P C =
()
(|)()
3
3
0110013701109
.()..().p p -=≈-+ （0.5p =） 5．设A ，B 为两个事件，(|)(|),()0,()0P A B P A B P A P B =>>，证明A 与B 独立。 证： 由于()(|)()P AB P A B P B =
1()()()
(|)()()
P AB P A P AB P A B P B P B -==- 已知 (|)(|)P A B P A B = 有
()()
P AB P B 1()()()P A P AB P B -=-
即 ()()()
P A B
P A P B = 所以 A 与B 独立
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第一章 随机事件及其概率（五）
一、选择题：
1．对于任意两个事件A 和B [ B ] （A ）若AB φ≠，则A ，B 一定独立 （B ）若AB φ≠，则A ，B 有可能独立 （C ）若AB φ=，则A ，B 一定独立 （D ）若AB φ=，则A ，B 一定不独立 2．设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=，则 [ D ] （A ）事件A 和B 互不相容 （B ）事件A 和B 互相对立
（C ）事件A 和B 互不独立 （D ）事件A 和B 相互独立
3．设A ，B 为任意两个事件且A B ?，()0P B >，则下列选项必然成立的是 [ B ] （A ）()(|)P A P A B < （B ）()(|)P A P A B ≤ （C ）()(|)P A P A B > （D ）()(|)P A P A B ≥ 二、填空题：
1．已知A ，B 为两个事件满足()()P AB P AB =，且()P A p =，则()P B = 1p - 2．设两两独立的事件A ，B ，C 满足条件ABC φ=，1
()()()2
P A P B P C ==<
，且已知 9
()16
P A B C ??=
，则()P A = 0.25 3．假设一批产品中一，二，三等品各占60%，30%，10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是 2/3 三、计算题：
1．设两个相互独立的事件都不发生的概率为1
9
，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，求A 发生的概率()P A 解：已知 1
9
()()()P AB P A P B ==
又()()P AB P BA = 而 ()()()P AB P A P AB =- ()()()P BA P B P AB =- 所以，有()()P A P B = 13
()P A = 故 23
()P A =
2．如果一危险情况C 发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性。在C 发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C 发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。 解：设一个电路闭合的可靠性为p ，已知，096.p =
所以 1
22109984().C p p p -+=
设n 个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999 则
1
1
1096004100409999n
n
k k n k
k
k n k n n
n k k C
p p C --==-==-≥∑∑()
(.)(.)(.). 即 00400001(.).n ≤ 00001
286004
l g ..l g .n ≥
≈,
所以 取3个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999。
3．将A B C 、、三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其他一字母的概率为
12
α
-。今将字母串,,AAAA BBBB CCCC 之一输入信道，输入,,AAAA BBBB CCCC 的概率分别为123123,,(1)p p p p p p ++=，已知输出为ABCA ，问输入的是AAAA 的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的） 解：(|)P AAAA ABCA
()(|)
()(|)()(|)()(|)
P AAAA P ABCA AAAA P AAAA P ABCA AAAA P BBBB P ABCA BBBB P CCCC P ABCA CCCC =
++
2
2
1233
23
1212111222p p p p αααααααα-???
???
=---????????+??+?? ? ? ?
??????
1123
231()p p p p α
α=
-++
4．一条自动生产线连续生产n 件产品不出故障的概率为
(0,1,2,)!
n
e n n λλ-= ，假设产品的优质
率为(01)p p <<。如果各件产品是否为优质品相互独立。求：
（1）计算生产线在两次故障间共生产k 件（k = 0，1，2，…）优质品的概率；
（2）若已知在某两次故障间该生产线生产了k 件优质品，求它共生产m 件产品的概率。 解：设A n =“连续生产n 件产品不出故障” B =“生产k 件优质品” （1）1()(|)()()
!
n k k n k
n
n
n
n k
n k e P B P B A P A C
p p n λ
λ-+∞+∞
-===
=-?
∑∑ （012,,,k = ）
（2）11()
()
!(|)()
()!
m k k
m k
m
m m n k k n k n n k
e C p p P A B n P A B P B e C p p n λ
λλλ---+∞
-=-?
=
=-?∑ ()k m ≤
浙教版初中数学 九年级数学下册《简单事件的概率》测试卷 学校：__________ 一、选择题 1．(2分)一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ） A ．28个 B ．30个 C ．36个 D ．42个 2．(2分)从分别写着A 、B 、C 、D 、E 的 5 张卡片中，任取两张，这两张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是（ ） A ．15 B ．25 C ． 110 D ．12 3．(2分)抛掷一枚普通的骰子（各个面分别标 12、3、4、5、6），朝上一面是偶数的概率为（ ） A ．16 B ．12 C ．13 D ．14 4．(2分)如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为（ ） A ． 6 1 B ． 8 1 C ． 9 1 D ． 12 1 5．(2分)下列事件，是必然事件的是（ ） A ．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是1 B ．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数 C ．打开电视，正在播广告 D ．抛掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面 6．(2分)在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它都完全相同，小明通过多次试验后发现其中摸到红色、黑色的频率分别为15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ） A ．6 B ．16 C ．18 D ．24
7．(2分)“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等），任取一个两位数，是“上升数”的概率是（） A．1 B． 5 2 C． 5 3 D． 18 7 二、填空题 8．(3分)一个袋子里装有一双红色、一双绿色手套，两双手套除颜色外其它完全相同，随机的 从袋中摸出两只恰好是一双的概率是． 9．(3分)某口袋里有红色、蓝色玻璃球共 60 个. 小明通过多次摸球实验后，发现模到红球的频率为 15%，则可估计口袋中红色玻璃球的数目是． 10．(3分)某单位内线电话的号码由 3 个数字组成，每个数字可以是 1，2，3 的一个，如果不知道某人的内线电话号码，任意拨一个号码接通的概率是． 11．(3分)一只口袋内装有3个红球，3 个白球，5个黄球，这些球除颜色外没有其它区别，从中任意取一球，则取得红球的概率为． 12．(3分)从 1、2、3、4、5 中任选两个数，这两个数的和恰好等于 7 的概率是．13．(3分)一只口袋里有相同的红、绿、蓝三种颜色的小球，其中有6个红球，5个绿球．若 任意摸出一个绿球的概率是1 4 ，则任意摸出一个蓝球的概率是． 14．(3分)掷两枚硬币，一枚硬币正面朝上，另一枚硬币反面朝上的概率是． 15．(3分)在一次抽奖活动中，中奖概率是0.12，则不中奖的概率是． 16．(3分)如图，是一个圆形转盘，现按1:2:3:4分成四个部分，分别涂上红，黄，蓝，绿四种颜色，自由转动转盘，停止后指针落在绿色区域的概率为． 17．(3分)已知29 x ，则3x= . 18．(3分)一个口袋中有12个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别为：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2．根据上述数据，小亮可估计口袋中大约有个黑球． 19．(3分)某商场在“五一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个．顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖．那么顾客摸奖一次，得奖的概率是． 20．(3分)在一个布袋里装有红、自、黑三种颜色的玻璃球各一个，它们除颜色外没有其它
第二十五章概率初步 25.1随机事件与概率 学习目标： 1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念。 2.理解概率的概念和意义。 学习重点与难点：对概率定义的初步理解。 学习过程：自学指导1:看课本125页到127页问题3上面的内容。 自学检测（1）： 1、在一定条件下，有些事件____________________, 这样的事件称为必然事件。 2、在一定条件下，有些事件____________________, 这样的事件称为不可能事件。___________和____________统称为确定事件。 3、在一定条件下，有些事件__________________________________的事件，称为随机事件。 4.必然事件发生的可能性是，不可能事件发生的可能性是________,随机事件发生的可能性. 学习过程：自学指导2:看课本127页到131页问题3上面的内容 自学检测（2）： 1、对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的_________,称为随机事 件A发生的概率。 2、一般地，如果在一次试验中，有______种可能的结果，并且它们发生的可能 性都相等，事件A包含其中的种结果，那么事件A发生的概率 P(A)= 。 达标测试 1.（梅州）下列事件中，必然事件是（） Ａ．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上 Ｂ．黑暗中从一串不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门 Ｃ．通常情况下，水往低处流 Ｄ．上学的路上一定能遇到同班同学 2．(台州市)下列事件是随机事件的是（）
A ．台州今年国庆节当天的最高气温是35℃ B ．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球 C ．抛掷一石头，石头终将落地 D ．有一名运动员奔跑的速度是20米/秒 3.（甘肃省白银市）如图，小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个 圆圈，然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子，则投一次就正好投到圆圈内是（ ） A ．必然事件（必然发生的事件） B ．不可能事件（不可能发生的事件） C ．确定事件（必然发生或不可能发生的事件） D ．不确定事件（随机事件） 4.(湘潭) 将五张分别印有北京2008年奥运会吉祥物 “贝贝，晶晶，欢欢，迎 迎，妮妮”的卡片（卡片的形状、大小一样，质地相同）放入盒中，从中随机抽取一张卡片印有“妮妮”的概率为（ ） A. 1 2 B. 13 C. 14 D. 15 5、（宜宾市）一个口袋中装有4个红球,3个绿球,2个黄球,每个球除颜色外其它都相同,搅均后随机地从中摸出一个球是绿球的概率是 ( ) A. 9 4 B. 92 C. 3 1 D. 3 2 6.（广东湛江市）从n 个苹果和3个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是 12 ，则n 的值是（ ） A ． 6 B ． 3 C ． 2 D ． 1 7．数学试卷的选择题都是四选一的单项选择题，小明对某道选择题完全不会做，只能靠猜测获得结果，则小明答对的概率是 8. ( 宁夏回族自治区)从-1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3的
第一章随机事件与概率 一、选择题 1.下列不属于随机事件的特征的是（） A.试验在相同条件下进行 B.每次实验的结果都相同或者相近 C.试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个 D.每次试验必有预知结果的其中一个 答案：B 2.下列说法正确的是（） A.基本粒子构成碳原子 B.在不同高度抛出两枚硬币是正面朝上，这一实验属于随机试验 C.抛掷骰子所有可能结果为{1,2,3,4} D.在相同条件下抛掷硬币不属于随机事件 答案：A 3.下列属于必然事件的是（） A.抛掷硬币出现正面的情况 B.抛掷硬币出现反面的情况 C.抛掷骰子有{1,2,3,4,5,6}出现的情况 D.从装有红球和蓝球的框中取出绿球 答案：C 4.下列属于不可能事件的是（） A.抛掷硬币出现正面的情况 B.抛掷硬币出现反面的情况 C.抛掷骰子有{1,2,3,4,5,6}出现的情况 D.从装有红球和蓝球的框中取出绿球 答案：D 5.抛掷骰子的随机试验中，基本事件包括（） A.1,2,3 B.4,5,6 C.2,4,6 D.A∪B 答案：D 6.现有一批药品共5件，其中有2件是次品。则抽3次抽到的次品数的样本空间是（） A.{0,1,2,3,4,5} B.{1,2,3,4,5} C.{0,1,2} D.{1,2} 答案：C 7.已知A={1，4，7}，则当B=( ),A B A.{1，4，6} B.{1，6，7}
C.{1，2，7} D.{1，4，7} 答案：D 8.已知A={1，4，5，6，7}，B={1,3,5,7},A-B=（ ） A.{4，6} B.{1，4，5，6，7} C.{1，3，4，5，6，7} D.{3} 答案：A 9.已知A 的概率为0.3，B 的概率为0.4，A 和B 互斥，则AB 的概率为（ ） A.0 B.0.3 C.0.4 D.0.1 答案：A 10.关于事件的运算，下列说法错误的是（ ） A.BA AB = B.()()BC A C AB = C.()AC AB C B A +=+ D.B A AB +=_____ 答案：D 11.在随机试验中，一共做了20次试验，其中出现红色的次数为5次，则出现红色的概率为（ ） A.4 B.0.25 C.3 D.0.75 答案：B 12.关于古典概型，下列说法正确的是（ ） A.试验的结果可以是有限个，也可以是无限个。 B.每种结果的概率可以是相同的，也可以是不相同的。 C.每个结果之间是互不相容的。 D.古典概型的无法用计算公式进行计算。 答案：C 13.已知事件A 的概率为0.6，事件B 的概率为0.3，事件A 、B 为互斥事件，则事件A+B 的概率为（ ） A.0.6 B.0.9 C.0.8 D.0.3 答案：B 13.已知事件A 的概率为0.6，事件B 的概率为0.3，B ?A ，则事件A+B 的概率为（ ）
数学随机事件与概率知识点归纳 一、随机事件 主要掌握好（三四五） （１）事件的三种运算：并（和）、交（积）、差；注意差Ａ－Ｂ可以表示成Ａ与Ｂ的逆的积。 （２）四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律。 （３）事件的五种关系：包含、相等、互斥（互不相容）、对立、相互独立。 二、概率定义 （１）统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率； （２）古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则事件Ａ所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率； （３）几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等，则可以将样本空间看成一个几何图形，事件Ａ看成这个图形的子集，它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算； （４）公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到［０，１］的映射。 三、概率性质与公式 （１）加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)，特别地，如果A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B); （２）差：P(A-B)=P(A)-P(AB)，特别地，如果Ｂ包含于Ａ，则 P(A-B)=P(A)-P(B); （３）乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特别地，如果Ａ与Ｂ相互独立，则P(AB)=P(A)P(B); （４）全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果， 贝叶斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因；
如果一个事件Ｂ可以在多种情形（原因）A1,A2,....,An下发生，则用全概率公式求Ｂ发生的概率；如果事件Ｂ已经发生，要求它是由Ａj引起的概率，则用贝叶斯公式． （５）二项概率公式：Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n. 当一个问题可以看成n重贝努力试验（三个条件：n次重复，每次只有Ａ与Ａ的逆可能发生，各次试验结果相互独立）时，要考虑二项概率公式．
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
习题1（随机事件及其运算） 一．填空题 1. 设A ，B ，C 是三个随机事件，用字母表示下列事件： 事件A 发生，事件B ，C 不都发生为 ； 事件A ，B ，C 都不发生为 ； 事件A ，B ，C 至少一个发生为 ； 事件A ，B ，C 至多一个发生为 . 2. 某人射击三次，用A i 表示“第i 次射击中靶”(i =1,2,3).下列事件的含义是： 1A 表示 ； 321A A A 表示 ； 321321321A A A A A A A A A ++表示 ； 321A A A 表示 . 3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生”，用B 表示“选到的是二年级的学生”，用C 表示“选到的是运动员”。则式子ABC=C 成立的条件是 . 二．选择题 1. 在事件A ,B ,C 中，B 与C 互不相容，则下列式子中正确的是（ ）. ① A BC A = ； ② A BC A = ； ③ Φ=BC A ； ④ Ω=BC A . 2. 用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（ ）. ① “甲产品滞销，乙产品畅销”； ② “甲、乙产品都畅销”； ③ “甲产品滞销或乙产品畅销”； ④ “甲、乙产品都滞销”. 3. 若概率0)(=AB P ，则必有（ ）. ① Φ=AB ； ② 事件A 与B 互斥； ③ 事件A 与B 对立； ④ )()()(B P A P B A P += .
三．解答题 1. 将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为偶数}；=B {点数之和能被3整除}. 2. 将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为6}；=B {点数之差为2}. 3. 某城市发行日报和晚报两种报纸。有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%，求下列事件的概率：C ={至少订一种报}；D ={恰订一种报}；E ={不订任何报}. 4. 若已知,2.0)(,0)()(,3.0)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P 求概率)(ABC P ；)(C B A P ；).(C B A P
习题一 随机事件及其概率 一、填空题 1．设随机试验E 对应的样本空间S ,与其任何事件不相容的事件为φ，而与其任何事件相互独立的事件为φP （A|B ）=1, 则A 、B 两事件的关系为 A=B ；设E 为等可能型试验，且S 包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 0.1 。 2．若A 表示某甲得100分的事件，B 表示某乙得100分的事件，则 （1）A 表示 甲未得100分的事件； （2）A B ?表示 甲乙至少有一人得100分的事件； （3）AB 表示 甲乙都得100的事件； （4）AB 表示 甲得100分，但乙未得100分的事件； （5）AB 表示 甲乙都没得100分的事件； （6）AB 表示 甲乙不都得100分的事件； 3．若事件,,A B C 相互独立，则()P A B C ??= ()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P C P B P C P A P B P C ++---+。 4．若事件,A B 相互独立，且()0.5,()0.25,P A P B ==则 ()P A B ?=0.625。 5．设111()()(),()()(),(),4816 P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======则 ()P A B C ??=167；()P ABC =169 ；(,,)P A B C =至多发生一个43；(,,P A B C =恰好发生一个）163 ；(|)P A A B C ??=74。 6．袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个白球，今有两人依次随机地从袋中各取1球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。 7．将 C ，C ，E ，E ，I,N,S 七个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为11260 。 8．10 件产品有 4 件次品，现逐个进行检查，则不连续出现 2 个次品的概
2.2简单事件的概率（1） 教学目标： 1、了解事件A 发生的概率为()n m A P = ； 2、掌握用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率。 3、通过实验提高学生学习数学的兴趣，让学生积极参与数学活动，在活动中发展学生的合作交流意识和能力。 教学重点： 进一步经历用树状图、列表法计算随机事件发生的概率。 教学难点： 正确地利用列表法计算随机事件发生的概率。 教学过程： 一、实验操作，探索新知。 师：盒子中装有只有颜色不同的3个黑棋子和2个白棋子，从中摸出 一棋子，是黑棋子的可能性是多少？ 生：由几名学生动手摸一摸。 （教师准备一个不透明的小袋子，里面装有3个黑围棋和2个白围棋） 师：在数学中，我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率，如果事件发生的 各种可能结果的可能性相同，结果总数为n(事件A 发生的可能的结果总数为m)，事 件A 发生的概率为()n m A P = 。 二、新课教学。 1、热身练习： 如图，三色转盘，每个扇形的圆心角度数相等，让转盘自由转 动一次， “指针落在黄色区域”的概率是多少？ 师：结合定义作详细分析，为两个例题教学做准备。 （分析：转盘中红、黄、蓝三种颜色所在的扇形面积相同，即指针落在各种颜色区域 的可能性相同，所有可能的结果总数为3=n ，其中“指针落在黄色区域”的可能结果 总数为1=m 。若记“指针落在黄色区域”为事件A ，则()n m A P = 3 1 =。 ） 设计说明：通过练习，让学生及时回味知识的形成过程，使学生在学会数学的过程中会学数学。 2、例题讲解： 例1 如图，有甲、乙两个相同的转盘。让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转 动，求（1）转盘转动后所有可能的结果； （2）两个指针落在区域的颜色能配成紫色（红、蓝两色混合配成）的概率； （3）两个指针落在区域的颜色能配成绿色（黄、蓝两色混合配成）或紫色的概率； 例题解析： (1) 例1关键是让学生学会 分步思考的方法。 (2) 教师分析并让学生学会画树状图(教师板演)。 3、巩固练习：任意抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，
第一章概率论的基本概念 一、重点、难点概要复述 随机事件的定义及事件间的关系；概率的定义及性质；常见的三大概率模型：古典概型，几何概型，贝努利概型；条件概率与三大公式：乘法公式，全概公式，贝叶斯公式；事件的独立性。 1.设事件表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则表示_________________. 2.设为事件，则都发生可表示为___________________；发生但与不发生可表示为_______________；中不多于一个发生可表示为 ________________. 3．设为随机事件，则。 A．B． C．D． 4. 设为随机事件，则。 A． B． C． D． 5.设事件满足，则 _______. 6.将20本书随机放入书架，则指定的某3本书挨在一起的概率是 ____________. 7.向半径为的圆内随机抛一质点，则质点落入圆内接正方形区域的概率为__________. 8.将一枚骰子连续抛掷100次，则事件“出现1点或6点”至少发生2次的概率为_______. 9. 一批灯泡共100只，其中10只为次品。做不放回抽取，每次取1只，则第3 次才取到正品的概率为___________. 10. 三个箱子，第一个箱子有4个黑球、1个白球，第二个箱子有3个黑球、3个白球，第三个箱子有3个黑球、5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中任取一个球，则这个球为白球的概率为 ___________。若已知取得的球为白球，则此球属于第二个箱子的概率
为__________. 二、常见问题及解法 (一) 随机事件的表示： 1．随机事件的表示：设为随机事件，则 i）同时发生可表示为； ii）至少有一个发生可表示为； iii）发生但不发生可表示为 （二）随机事件概率的求法 1．利用加法公式： 2. 应用乘法公式：，其中. ，其中。 注：若，则由乘法公式可得 从而，也即与可以相互转换。又因 ； 故，可相互转换。 3. 在古典概型中求事件的概率： 4. 在几何概型中求事件概率： 5. 在贝努利概型中求事件的概率：在重貝努利试验中，事件每次发生的 概率为，则事件 恰发生次的概率为：，。 6. 利用全概公式与逆概公式求概率：设是完备事件组，，是任一个事 件，则 （i）全概公式: （ii）逆概公式：，其中。 （三）事件独立性的判断 1. 根据实际问题直观判断 2. 根据定义来判断或证明：事件相互独立当且仅当。 三、拓展练习 1.设事件满足求 2.设事件满足，已知，求。 3．设事件满足，，， 求至少有一个发生的概率为。 4. 设事件满足 则有 （A） （B） （C） （D） 5. 设事件满足则
第一章 随机事件及其概率 习题一 一、填空题 1．设样本空间}20|{≤≤=Ωx x ，事件}2341|{ },121| {<≤=≤<=x x B x x A ，则B A Y 1 3{|0}{|2}42x x x x =≤<≤≤U , B A 113{|}{|1}422 x x x x =≤≤<【浙教版】九年级数学上册 第二章 简单事件的概率 自我评价测试(一)及答案
第二章 简单事件的概率每周自我评价测试 （第一周） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！ 1.一个盒子内装有大小.形状相同的四个球，其中红球1个.绿球1个.白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ） 21.A 41.B 61.C 12 1.D 2.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（ ） 161. A 163. B 41. C 16 5.D 3.一个布袋里面装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是（ ） A.16 B.15 C.25 D.35 4.在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是（ ） A. B. C. D. 5.以上说法合理的是（ ）
A.小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30% B.抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6的概率是1/6的意思是每6次就有1次掷得6 C.某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖。 D.在一次课堂进行的试验中，甲.乙两组同学估计硬币落地后，正 面朝上的概率分别为0.48和0.51。 6.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情 况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（） A.28个 B.30个 C.36个 D.42个 7.有6张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是4，5，6，7，8， 9.若将这六张牌背面 朝上洗匀后，从中任意抽取一张，那么这张牌正面上的数字是9的概率为（） A. 2 3 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 6 8.如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3， 4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等，四位同学各自发表了下述见解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形了乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形丙：指针停在奇数号扇形的概率和停在偶数号扇形的概率相等丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好
课题：2.1事件的可能性 教学目标： 1、通过生活中的实例，进一步了解概率的意义； 2、理解等可能事件的概念，并准确判断某些随机事件是否等可能； 3、体会简单事件的概率公式的正确性； 4、会利用概率公式求事件的概率。 教学重点： 等可能事件和利用概率公式求事件的概率。 教学难点：判断一些事件可能性是否相等。 教学过程：第一课时 一、引言 出示投影： （1）1998年，在美国密歇根州的一个农场里出生了一头白色奶牛。据统计平均出生1千万头牛才会有一头是白色的。你认为出生一头白色奶牛的概率是多少？ （2）设置一只密码箱的密码，若要使不知道秘密的人拨对密码的概率小于999 1 ，则密码的位数至少需要多少位？ 这些问题都需要我们进一步学习概率的知识来解决。本章我们将进一步学习简单事件的概率的计算、概率的估计和概率的实际应用。 二、简单事件的概率 1、引例：盒子中装有只有颜色不同的3个黑棋子和2个白棋子，从中摸出一棋子，是黑棋子的可能性是多少？ 小结：在数学中，我们把事件发生的可能性的大小，称为事件发生的概率 如果事件发生的各种可能结果的可能性相同，结果总数为n ，事件A 发生的可能的结果总数为m ，那么事件A 发生的概率是n m A P )(。 2、练习： 如图 三色转盘，每个扇形的圆心角度数相等，让转盘自由转动一次， “指针落在黄色区域”的概率是多少？ 3、知识应用： 例1、如图，有甲、乙两个相同的转盘。让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动，求
（1）转盘转动后所有可能的结果； （2）两个指针落在区域的颜色能配成紫色（红、蓝两色混合配成）的概率； 3）两个指针落在区域的颜色能配成绿色（黄、蓝两色混合配成）或紫色的概率； 解：将两个转盘分别自由转动一次，所有可能的结果可表示为如图，且各种结果的可能性相同。所以所有可能的结果总数为n =3×3=9 (1)能配成紫色的总数为2种，所以P = 9 2 。 （2）能配成绿色或紫色的总数是4种，所以P = 9 4。 练习：课本第32页课内练习第1题和作业题第1题。 例2、 一个盒子里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球。从盒子里摸出一个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出一个球。 （1）写出两次摸球的所有可能的结果； （2）摸出一个红球，一个白球的概率； （3）摸出2个红球的概率； 解：为了方便起见，我们可将3个红球从1至3编号。根据题意，第一次和第二摸球的过程中，摸到4个球中任意一个球的可能性都是相同的。两次摸球的所有的结果可列表表示。 （1）事件发生的所有可能结果总数为n = 4×4=16。 （2）事件A 发生的可能的结果种数为m =6， ∴n m A P = )(= 83 166= (2)事件B 发生的可能的结果的种数 m =9 ∴16 9)(== n m B P 练习：课本第32页作业题第2、3、4题 三、课堂小结： 1、概率的定义和概率公式。 2、用列举法分析事件发生的所有可能请况的结果数一般有列表和画树状图两种方法。 3、在用列表法分析事件发生的所有情况时往往第一次在列，第二次在行。表格中列在前，行在后，其次若有三个红球，要分红1、红2、红3。虽然都是红球但摸到不同的红球时不能表达清楚的。 四、布置作业：见课课通
第1章事件与概率 1.1 内容框图 随机事件 事件的概率事件的独立性 各种定义计算公式独立试验序列 1.2 基本要求 (1)了解随机事件的定义。 (2)掌握事件的关系和运算。 (3)熟练掌握古典概率。 (4)掌握条件概率的定义、概率的乘法公式。 (5)熟练掌握全概率公式和贝叶斯公式。 (6)掌握事件的独立性，以及独立重复试验序列。 1.3 内容概要 1）随机试验与随机事件 (1)随机试验作为概率论研究的对象具有如下三个特点： 重复性：试验可以在相同的条件下重复进行； 已知性：每次试验所有可能出现的结果是已知的； 不确定性：每次试验在试验结束之前，具体出现哪一个结果是不确定的。 (2)随机试验的每一个可能结果均称为随机事件，是样本空间的一个子集。一般用大写的英文字母A、B、C…表示。特别地，每次试验中一定会发生的事件称为必然事件，记为Ω。每次试验中一定不会发生的事件称为不可能事件，记为?。 2）事件的关系和运算 (1)事件A与B的和： ? +== A B A B U{A与B至少有一个发生} (2)事件A与B的积： ? == AB A B I{A与B同时发生} (3)事件A与B的差： ? -== A B AB{A发生而B不发生} (4)包含关系：若事件A发生必导致事件B发生，称事件B包含事件A，记为. ? A B
(5)相等关系：若?A B 且?B A ，则称A 与B 相等，记为.=A B (6)互不相容(互斥)：若事件A 与B 不可能同时发生，即=?AB ，则称A 与B 互不相容。 (7)互相对立(互逆)：若A 与B 同时满足：,Ω+==?A B AB ，则称A 与B 互相对立，B 为A 的对立事件，记为=B A 。 3）古典概率与几何概率 (1)古典概型具有两个特征： 有限性：样本点的个数为有限个； 等可能性：每个样本点发生的可能性相等。 在古典概型中，事件A 的概率为 (2)几何概型具有两个特征： ①试验的结果是无限且不可列的； ②每个结果发生的可能性是均匀的。 在几何概型中，事件A 的概率为 ()Ω=A M P A M 其中ΩA M M 与分别为事件A 与样本空间Ω的几何度量。 4）概率的性质与运算公式 (1)0()1,()1,()0Ω≤≤=?=P A P P 。 (2)有限可加性：若12,,,n A A A L 互不相容，则 11 ()==??= ???∑∑n n i i i i P A P A (3)()1()=-P A P A 。 (4)()()()()-==-P A B P AB P A P AB 特别地，当?B A 时，有()()()-=-P A B P A P B (5)加法公式: 对任意事件A 、B 、C ，有 ()()()()+=+-P A B P A P B P AB ()()()()()()()()++=++---+P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC (6)条件概率：当()0>P B 时，()(|)() =P AB P A B P B (7)乘法公式：对任意两个事件A 、B ，当()0,()0>>P A P B 时有 ()()(|)()(|)==P AB P A P B A P B P A B (8)全概率公式：设事件组12,,,n B B B L 互不相容，且()0>i P B ，事件1==?∑i n i i A B ，则有 1()()(|)==∑n i i i P A P B P A B (9)贝叶斯公式：设事件组12,,,n B B B L 互不相容，且()0>i P B ，事件1==?∑i n i i A B ，则有 A 包含的样本点数 样本点总数 ()= P A
浙教版九年级上册《简单事件的概率》各节知识点及典型例题 第一节事件的可能性第二节简单事件的概率第三节用频率估计概率第四节概率的简单应用【课本相关知识点】 1、在一定条件下一定发生的事件叫作必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫作不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫作不确定事件或随机事件。 2、为了确定简单事件发生的各种可能的结果，通常用列表、画树状图法。当实验包含两步时，用列表法与画树状图法求发生的结果数均比较方便；但当实验存在三步或三步以上时，用画树状图的方法求事件发生的结果数较为方便。 【典型例题】 题型一、识别事件类型 例1、下列事件是必然事件的是（） A. 水加热到100℃就要沸腾 B. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 C.两个无理数相加，一定是无理数 D. 如果，那么a=0，b=0 练习．（2013?武汉）袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是必然事件的是（） A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球 C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球 题型二、用列表、画树状图法确定简单事件发生的各种可能的结果 例2、（2011?成都）某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容．规定：每位考生先在三个笔试题（题签分别用代码B1、B2、B3表示）中抽取一个，再在三个上机题（题签分别用代码J1、J2、J3表示）中抽取一个进行考试。小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机地各抽取一个题签．用树状图或列表法表示出所有可能的结果 练习．（2013?江西）甲、乙、丙三人聚会，每人带了一个从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件。将“甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物”记为事件A，请列出事件A的所有可能的结果。 题型三、比较事件发生的可能性的大小 例3、在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4。随机地摸出一张纸牌然后放回，再随机摸取出一张纸牌。甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜。这是个公平的游戏吗？请说明理由。 练习1．（2011江苏淮安）有牌面上的数都是2，3，4的两组牌，从每组牌中各随机摸出一张，请用画树状图或列表的方法，求摸出的两张牌的牌面上的数之和为多少的可能性最大。
复旦大学《概率论基础》习题答案 （第一版） 第一章 事件与概率 2、解：（1）ABC A C A B A ABC A BC A ??????=且显然)(，若A 发生，则B 与C 必同时发生。 （2）A C ?????=且A B A C B A C B A ，B 发生或C 发生，均导致A 发生。 （3）A C AB ??与B 同时发生必导致C 发生。 （4）C B A BC A ???，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。 3、解：n A A A 21)()(11121----++-+=n n A A A A A A (或)＝121121-+++n n A A A A A A A ．
6、解：（1）{至少发生一个}=D C B A . （2）{恰发生两个}=C A BD B A CD D A BC C B AD D B AC D C AB +++++. （3）{A ，B 都发生而C ，D 都不发生}=D C AB . （4）{都不发生}=D C B A D C B A =. （5）{至多发生一个}=C B A D D B A C D C A B D C B A D C B A ++++ CD BD BC AD AC AB =. 8、解：（1）因为n n n n n n x nC x C x C x ++++=+ 2211)1(，两边对x 求导得 12112)1(--+++=+n n n n n n x nC x C C x n ，在其中令x=1即得所欲证。 （2）在上式中令x=-1即得所欲证。 （3）要原式有意义，必须a r ≤≤0。由于k b b k b r b b a r a b a C C C C -++-+==,，此题即等于 要证∑=++-+≤≤=a k r b b a k b b r k a a r C C C 00,.利用幂级数乘法可证明此式。因为 b a b a x x x ++=++)1()1()1(，比较等式两边r b x +的系数即得证。 9、解：15.0335/311151516===A A A A P 10、解：（1）第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任 意排，所以5/2!5/!42=?=p （2）可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷
随机事件与概率习题精选 一、选择题 1．下列说法正确的是（） A．如果一件事发生的机会只有千万分之一，那么它就是不可能事件B．如果一件事发生的机会达99.999%，那么它就是必然事件 C．如果一件事不是不可能事件，那么它就是必然事件 D．如果一件事不是必然事件，那么它就是不可能事件或随机事件 2．掷一枚骰子，出现的以下点数中，可能性最大的是（） A．点数为3的倍数 B．点数为奇数 C．点数不小于3 D．点数不大于3 3．下列事件发生的可能性既不是0，也不是1的是（） A．把一枚硬币抛起落地后，不是正面向上，就是发面向下 B．小麦的亩产量达到15吨 C．明天会下雨 D．射向空中的子弹下落 4．在7，8，9，10四个数中，人去两个数，他们都是偶数的概率为（） A．1 2 B．1 4 C．1 6 D．1 5．下列事件是必然事件的是（） A．在标准大气压下，温度低于0℃时，冰融化 B．对于任意实数，都有x2＋2＞0 C．射击运动员一次命中10环 D．在y2＝3x中，有y＝3 6．投掷一枚硬币，在连续投掷20次都出现正面的情况下，第21次出现反面的是（）A．确定事件
B．不可能事件 C．随机事件 D．必然事件 二、填空题 1．在每个事件后面的括号填上“必然”、“可能”、“不可能”“很有可能”或“不太可能”。（1）如果a＝b，那么a2＝b2 （2）今天下雨了，明天也下雨（） （3）如果a b0 += ，那么a＜0，b＜０（） （4）一个袋里有5个红球，1个白球，从袋里任取一个球是红色的（） （5）掷骰子游戏中，连续掷10次，掷得点数全是6（） 2．有一个成语叫做“海枯石烂”在现实生活中这是_______。 3．某电视台综艺节目接到热线电话4000个，现在要从中抽取幸运观众10名，李斌同学打通了一次热线电话，那么它成为新韵观众的概率为_______。 4．在一次问题抢答的游戏中，要求在四个备选答案中抽出唯一正确的答案，如果抢答者随意抽出一个的答案，这个大难恰好是正确答案的概率为_______。 三、解答题 1．从1~100 中任取一个自然数，它是4的倍数与它是5的倍数的概率哪个大？ 2．在一个不透明的口袋中，装着10个大小和外形一模一样的小球，其中有5个红球，2个白球，他们的已经在口袋中被搅匀了，问下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件，为什么？ （1）从口袋中任意取出1个球，他恰是红球； （2）从口袋中一次任意趣出2个球，他们的恰好全是白球； （3）从口袋中一次任于取出3个球，他们的颜色恰好分别是红、蓝、白； （4）从口袋中一次任意取出5个球，他们掐亥是1个红球，1个篮球和3个白球。 3．投掷两个普通的正方体骰子（每个面上分别标有1，2，3，4，5，6），那两个骰子的点数相加，则“第一个骰子为1且第二个骰子的点数为6”是“和为7”的一种情况，我们可以将它记为（1，6），试模仿这一记法完成下表： 如果一个游戏规定掷出“和为7”甲方赢，掷出“和为9”乙方赢，你认为这个游戏公平吗？如果不公平，偏向哪一方？ 4．甲、乙两人玩一个抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则是这样的“抛出两个正面——甲