动点问题最值

动点问题（最值）1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．2.如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜103）秒．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．3.如图，在O A B C中，点A在x轴上，∠A O C=60o，O C=4c m．O A=8c m．动点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时．．从点O出发，以acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?* (3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P 为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．4.如图，⊙C 的内接△AOB 中，AB=AO=4,tan∠AOB=43,抛物线2y ax bx =+经过点A(4，0)与点（-2，6）（1）求抛物线的函数解析式． （2）直线m 与⊙C 相切于点A 交y 轴于点D ，动点P 在线段OB 上，从点O 出发向点B 运动;同时动点Q 在线段DA 上，从点D 出发向点A 运动，点P 的速度为每秒1个单位长，点Q 的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD 时,求运动时间t 的值（3）点R 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当△ROB 面积最大时，求点R 的坐标.。

与最值有关的几何动点问题一、引言几何动点问题是数学中的一个重要分支，它研究的是在几何图形中，随着某个点的移动，某些量的变化情况。

其中，与最值有关的几何动点问题是其中的一个重要问题，它涉及到了最大值、最小值等数学概念，具有一定的难度和深度。

本文将从不同的角度出发，探讨与最值有关的几何动点问题。

二、与最值有关的几何动点问题1. 最大面积问题在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个定点，求以该点为顶点，该直线为一条边的三角形面积的最大值。

解法：设该点坐标为$(x_0,y_0)$，直线方程为$y=kx+b$，则三角形面积为$S=\frac{1}{2}|kx_0-y_0+b|\sqrt{1+k^2}$。

由于$\sqrt{1+k^2}$为常数，因此问题转化为求$|kx_0-y_0+b|$的最大值。

根据绝对值的性质，$|kx_0-y_0+b|$的最大值为该点到直线的距离，即$|kx_0-y_0+b|=\frac{|kx_0-y_0+b|}{\sqrt{k^2+1}}\cdot\sqrt{k^2+1}$。

因此，问题转化为求该点到直线的距离的最大值，即该点到直线的垂线段的长度的最大值。

由于垂线段的长度为$\frac{|kx_0-y_0+b|}{\sqrt{k^2+1}}$，因此问题转化为求该点到直线的垂线段长度的最大值。

根据数学知识可知，该垂线段长度的最大值为该点到直线的垂线段的中点的距离，即$\frac{|kx_0-y_0+b|}{2\sqrt{k^2+1}}$。

因此，三角形面积的最大值为$\frac{1}{2}\cdot\frac{|kx_0-y_0+b|}{2\sqrt{k^2+1}}\cdot\sqrt{1+k^2}=\frac{|kx_0-y_0+b|}{4}$。

2. 最小距离问题在平面直角坐标系中，给定两条不平行的直线，求它们之间的最短距离。

解法：设两条直线的方程分别为$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$，则它们之间的距离为$\frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{k_1^2+1}\sqrt{k_2^2+1}}$。

动点问题进阶最值微积分1. 引言动点问题是微积分中的重要内容之一。

最简单的动点问题可以描述为一个物体在直线上的运动，而进阶的动点问题则涉及到曲线、平面或者空间中的运动。

本文将介绍动点问题的一些基本概念和方法，并探讨如何利用微积分求解动点问题中的最值。

2. 动点问题基础知识回顾在解决动点问题之前，我们先回顾一下基础知识。

动点是指在一定时间内在空间中运动的一个物体。

我们通常可以用函数来描述动点的位置，该函数称为位置函数。

对于一维情况下的动点，位置函数通常是关于时间的函数，记作x(t)；对于二维或三维情况下的动点，位置函数通常是关于时间的向量函数，记作r(t)。

位置函数的一阶导数表示动点的速度，即v(t)=ddt x(t)或v(t)=ddtr(t)；位置函数的二阶导数表示动点的加速度，即a(t)=d 2dt2x(t)或a(t)=d2dt2r(t)。

3. 动点问题的最值求解方法在动点问题中，我们通常会遇到求解动点轨迹上某一点的最大值或最小值的情况。

这可能涉及到动点的速度、加速度、距离等多个因素。

下面将介绍一些常用的方法来求解这类问题。

3.1 静态分析法静态分析法是最基本的求解最值问题的方法之一。

它通过对位置函数直接进行分析，寻找极值点，并利用极值点附近的性质得出最值点。

静态分析法的基本步骤如下： 1. 找出位置函数在定义域内的导数。

2. 求解导数为零的方程，得到极值点的横坐标。

3. 利用极值点附近的性质判定最值点。

3.2 最值定理最值定理是微积分中的重要定理之一，它给出了连续函数在闭区间上必定存在最值点的条件。

对于动点问题，我们可以利用最值定理来求解最值点的横坐标，然后再通过位置函数得到纵坐标。

最值定理主要有两个版本：费马定理和罗尔定理。

费马定理指出，如果函数f(x)在x=a处取得最值点，则f′(a)=0。

罗尔定理指出，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)，使得f′(c)=0。

中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

利用一次函数和二次函数的性质求最值。

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

“坐标几何题”（动点问题）分析动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。

②一个动点速度是参数字母。

③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。

④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。

⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。

①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。

⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）近几年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

动点问题求最小值的做法思路
1、化动为静：将动点问题转化为静态的几何问题，简化问题，使解题过程更加直观和易于操作。

这种方法适用于多种动点问题，包括但不限于求最值问题。

2、构造比例线段：在某些特定的动点问题中，通过构造比例线段来求解是最直接有效的方法。

这种方法在解决阿氏圆最值模型等题目时尤为常见。

3、利用轴对称性质：初中数学中，利用轴对称的性质可以实现“搬点移线”，从而求解几何图形中的最值问题。

这种方法依赖于基本定理，如两点之间线段最短、三角形任意两边之和大于第三边等。

4、寻找线段的“替身”或“等比替身”：在解决双动点线段问题时，找到一个与原线段长度相等或成比例的线段作为替代，是解题的关键。

这种方法有助于简化问题，找到解决问题的突破口。

5、分类讨论：当动点问题存在多种可能性时，需要进行分类讨论，以确保不遗漏任何可能的情况。

这种方法适用于那些情况复杂、可能存在多种解法的问题。

6、建立直角三角形模型：在某些情况下，通过建立直角三角形模型并利用其性质（如勾股定理）来求解是最有效的策略之一。

这种方法特别适用于涉及圆和直线的问题。

7、动态规划：虽然动态规划主要用于解决算法问题，但其思想也可以应用于某些特定的动点最值问题中。

通过定义状态、计算转移方程和确定终止条件，可以有效地求解这类问题。

动点问题——线段最值动点问题中，经常要求线段的最值。

首先要弄清动点的运动轨迹，从哪里到哪里，是直线还是曲线，有没有特殊位置；然后根据图形特征找解决问题途径。

一般来说，能找到图中求最值的位置，就按特殊位置的特征求最值；若找不到图中最值的特殊位置，最好建立函数，用函数思想解决最值问题。

一、找到特殊位置，求线段最值（或动点路程）1、(2019泰安)如图，矩形ABCD 中，AB =4,AD =2,E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是。

分析：取DE ,DC 中点分别为M ,N .点F 从E 运动到点C ，则点P 从点M 运动到点N .根据“垂线段最短”，当BP 垂直于MN 时，PB 最小。

作BH ⊥MN 垂足为H .当点P 与点H 重合时，PB 最小。

PB =BH∠CEB =∠EBH =045 122PB DE =+ 12222=⨯+ 22=说明：从起点到终点，先找出点P 的运动轨迹，再分析最值。

2、(2019宿迁)如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1,F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边三角形EFG ，连接CG ,则CG 的最小值为 分析：点F 在起点B 处时，作等边'EBB ∆,连接'B G ，得射线''B F ,点G 在其上运动。

∵ 'BE B E =,'''BEB B EF FEG B EF ∠+∠=∠+∠,EF EG =∴△EBF ≌△'EB G∴∠'GB E =∠FBE =090. 当点'B 在EF 上时，CG ⊥'B G ，CG 最小。

（根据“垂线段最短”） 35122CG =+= 3、（2019桂林）如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =3，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，作点A 关于直线BP 的对称点1A ，连接1A C ,设1A C 的中点为Q ，当点P 从点A 出发，沿边AD 运动到点D 时停止运动，点Q 的运动路径长为。

动点与最值问题解题技巧【实用版4篇】篇1 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇1正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的一类常见问题，主要涉及到点在平面直角坐标系中的运动以及函数的最值求解。

这类问题通常需要结合几何知识、函数知识以及代数知识进行求解。

二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题：仔细阅读题目，理解问题的含义和限制条件，明确求解的目标。

2.建立模型：根据问题建立合适的数学模型，可以使用函数、方程、几何图形等方法。

3.求解模型：使用数学工具和方法求解模型，得到结果。

4.验证结果：验证所得结果是否符合问题要求，是否具有实际意义。

三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在生活和工程中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计、桥梁设计、道路设计等领域中，需要考虑动点的运动和最值问题，以保证设计的合理性和可行性。

篇2 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇2正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的常见问题，涉及到的知识点包括几何、函数、导数等。

这类问题具有综合性强、难度较大的特点，需要学生具备扎实的基础知识和灵活的解题技巧。

二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题本质：首先需要仔细阅读题目，理解问题的本质，确定动点的运动方式和约束条件。

2.建立数学模型：根据题目中的几何关系和函数关系，建立数学模型，使用几何或函数的方法描述问题。

3.寻找解题方法：根据具体问题选择合适的方法，如代数方法、几何方法、微积分方法等。

4.优化解题过程：在解题过程中，要善于利用各种技巧，如配方、拆项、代入数值等，使解题过程更加简洁。

三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在日常生活和工程中都有广泛的应用，如建筑工程中的最短路径问题、交通规划中的最优路径问题等。

篇3 目录1.动点与最值问题的联系与区别2.动点问题的解题技巧3.最值问题的解题技巧篇3正文一、动点与最值问题的联系与区别动点问题与最值问题都是中学数学中常见的几何问题，它们在解题思路上有许多相似之处，但也有一些区别。

v1.0 可编辑可修改动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。

一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。

方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。

1．如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．33-2-B．13+C．2D．1提示：点M在以AC为直径的圆上2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD 于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是②③．（把你认为正确的说法的序号都填上）提示：G在以AB为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm，如果正方形AEFG绕点AAB 旋转，那么C、F两点之间的最小距离为4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转.（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD；（3）∠PBC= 时，BD∠PBC= 时，BD分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°CABAACCBD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 在一条直线上，且AD 在线段AB 上，此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1， ，F 为BE 中点. （1）求CF 的长（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动的路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 的范围.提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF ∽△BAE,且227、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，以点P 为直角顶点的B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC提示：发现定等腰直角△AOC 与等腰直角△OBE ，从而得到相似。

探究动点背景下的线段最值问题【专题综述】图形运动问题是中考数学命题的热点题型，其中有一类动点背景下线段长度的最值问题，常常使学生感到比较为难.本文谈谈破解这类问题的方法. 动点背景下线段长度的最值问题一般有两种解法:1、代数解法.通过设未知量，建立函数关系或列方程列不等式等，用函数最值、二次方程判别式、解不等式来求解.2、几何方法.常通取特殊点，如线段中点、端点;与动点的特殊位置相关的特殊线段，如三角形的高、中线、圆的直径等;特殊图形，如直角三角形、等边三角形、矩形等，用几何公理、定理来求解. 一般而言，用几何方法抓住特殊情形处理，比代数方法更有独特魅力. 【方法解读】一、从动点所在特殊位置入手图形中动点的运动有一定的范围，其较为特殊的位置有:线段上动点的两端点、线段中点等;若点在线段外运动，则与某线段共线就是特殊位置.这些特殊位置正是产生最值的关键点.例1 如图1，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，33AB =，3AD =，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为. 分析 DM ，MN 的长度随点M ，N 分别在线段BC ，AB 上运动而变化，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点却保持不变.题设中EF 与不变量A ∠，AB ，AD 无直接数量关系，但连结DN ，则由三角形的中位线定理可知12EF DN =，如图1所示，从而可知DN 最大时，EF 最大.因为N 在线段AB 上，当点N 与其端点B 重合时DN 最大，如图2所示.此时，由勾股定理知6BD =，所以EF 长度的最大值为3.例2 如图3，在⊙O 中，直径6AB =，BC 是弦，30ABC ∠=︒，点P 是BC 上的一个动点，点Q 在⊙O 上，且OP PQ ⊥.求PQ 长的最大值.分析 点P 在BC 运动时，OP ，PQ 的位置和大小都变化，但OP PQ ⊥，圆的半径不变，连结OQ ，则OPQ ∆保持直角三角形不变.在Rt OPQ ∆中，22223PQ OQ OP OP =-=-,所以OP 最小时PQ 的长的最大.由垂径定理知，此时点P 正好是CB 的中点，如图4所示，Q 点与C 点重合.分析 连结OQ . ∵OP PQ ⊥，∴OPQ ∆为直角三角形. 又∵OP CB ⊥，132OB AB ==，30ABC ∠=︒， ∴32OP =由勾股定理，得223333()22PQ =-=即PQ 长的最大值332. 二、从动点产生的特殊线段入手在图形中，点的运动会引起相应线段位置和长度大小的变化，位置的变化会使线段成为具有某种特殊性质抓住这些线段变化的特殊性:如三角形的高、中线、圆的直径等，往往会找到最值的答案.例3 如图5，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为AB 上(不与AB 重合)一动点，过点P 分别作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，则EF 的最小值 .分析 因为点P 在AB 上运动时，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，90C ∠=︒，所以四边形CFDE 是矩形，且这些关系不变.连结PC ，则EF CP =，要求EF 的最小值，就是求CP 的最小值.显然当CD AB ⊥，即CD 是斜边AB 的高时，CD 最小.又由勾股定理，得5AB =，根据三角形面积不变，得AC BC CD AB ⨯=⨯，解得125CP =，所以EF 的最小值为125. 例4 如图6，在圆O 上有定点C 和动点P 位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点G .已知:圆O 半径为52，4tan 3ABC ∠=，则CG 的最大值是(). (A)5 (B)154(C)253(D)203分析 点P 在AB 上运动时，PC 的位置和大小会随之变化，但CAB CPG ∠=∠，90ACB PCG ∠=∠=︒保持不变，故有ABCPGC ∆∆，∴BC AC CG PC =，即BC CG PC AC=，由3tan 4AC ABC PC ∠==，知43CG PC =，当PC 最大时，CQ 取到最大值易知，当PC 经过圆心，即PC 为圆O 的直径时，PC 最大(此时CG 是圆O 的切线). ∵圆O 半径为52， ∴PC 的最大值为5,∴315544CG =⨯=. ∴CG 的最大值154，故选B.三、抓住动点问题的特性，从构造特殊图形入手某些动点问题中，难以找到图形变化时与相关线段最值的特殊情形若要用几何解法，应联系整个问题所含条件添加辅助线，构造特殊图形，然后借助特殊图形的性质将问题进行有效转化.例5 如图7，ABC ∆中，45B ∠=︒，60BAC ∠=︒，22AB =. D 是BC 上的一个动点以AD 为直径画圆与AB ，AC 相交于E ，F 两点，求EF 的最小值.分析 点D 在BC 上运动，AD 的位置改变引起圆O 的位置和大小变化，而所求EF 的 值与不变量B ∠，BAC ∠以及AB 的关系不明显.连结OE ，OF ，构造含120︒角的特殊等腰三角形，如图8所示，过O 点作OH EF ⊥垂足为H ，由圆周角定理可知1602EOH EOF BAC ∠=∠=∠=︒.在Rt EOH ∆中，由垂径定理可知23EF EH OE ==.所以当OE 最小时，EF 的值最小，而12OE AD =，由垂线段的性质可知，当AD 为ABC ∆的边BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段EF 最小.在Rt ADB ∆中，45ABC ∠=︒，22AB =∴2AD BD ==，即此时圆的直径为2. 在Rt EOH ∆中，33sin 122EH OE EOH =∠=⨯= ∴23EF EH ==， 即EF 的最小值为3.四、从图形运动中相对保持不动的点入手若图形中的动点不止一个，这种情形相对单一动点问题要复杂一般会引起变化的量增加或整个图形发生运动，难以找到原图中保存不变的量，这时可着眼于图中的相对不变量.相对不变量是指在整个图形运动变化中，保持某种特性不变的量与动点下线段最值所对应的仍是图中特殊相对不变量透过图形运动的整体，抓住特殊相对不变量才是解题的关键.例6 如图9，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，8AC =，点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上.当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动中OB 的最大值是多少?分析 当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，这样改变了ABC ∆的位置，点B 的位置也随之改变，OB 的长度随之发生变化.虽然BC 、AC 的长度不变，但些相对不变的量与OB 没有直接的关系. 仔细观察图9，AC 是Rt COA ∆的斜边，AC 长度不变，则点O 与其中点D 的连线段OD 的长度保持不变，这个隐含的相对不变的特殊量与OB 有关. 于是，连结DB ，则OB DB OD <+,所以，当O 、D 、B 三点共线时OB 值最大，即BO OD DB =+. 在Rt BCA ∆中，4CD =，3CB =，5DB =. 则OB 的最大值为549+=:.综上可知，解决动点背景下线段长度的最值问题时，一般可用几何方法从特殊情形出发考虑.1、在分析动点位置变化的同时，重点抓住图形中不变的量，不变的关系和性质，以不变应万变，动中求静.2、线段的最大值和最小值，常与下列知识相关:两点之间线段最短，垂线段最短，直径是圆中最大的弦，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边等等.所以要抓住特殊情形，联系与问题相关的结论进行有效转化.【强化训练】1.（2017四川省内江市）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=430，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且P A+AB+BQ 最小，此时P A+BQ= ．2.（2017山东省东营市）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为．3．（2017山东省威海市）如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4. （2017甘肃省天水市）如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是．5．（2017贵州省贵阳市）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =2，AD =3，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折，得到△A ′EF ，则A ′C 的长的最小值是 ．6.（2016山东省枣庄市）如图，把△EFP 放置在菱形ABCD 中，使得顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上，已知EP =FP =6，EF =63，∠BAD =60°，且AB ＞63． （1）求∠EPF 的大小；（2）若AP =10，求AE +AF 的值；（3）若△E FP 的三个顶点E 、F 、P 分别在线段AB 、AD 、AC 上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．7．（2016山东省枣庄市）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）若直线y =mx +n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x =﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x =﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．8.（2017山东省烟台市）如图1，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB =4，矩形OBDC 的边CD =1，延长DC 交抛物线于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线EO 于点G ，作PH ⊥EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值；（3）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9.（2016四川省眉山市）已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 分别为坐标轴上上的三个点，且OA =1，OB =3，OC =4．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM ﹣AM |的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM ﹣AM |的最大值．10. （2016广西梧州市）如图，抛物线24y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于A （4，0）、B （﹣1，0）两点，过点A 的直线y =﹣x +4交抛物线于点C ． （1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC 上有一动点E ，当点E 在某个位置时，使△BDE 的周长最小，求此时E 点坐标； （3）当动点E 在直线AC 与抛物线围成的封闭线A →C →B →D →A 上运动时，是否存在使△BDE 为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E 点的坐标；若不存在，请说明理由．。