动点最值问题欣赏课(精华版)

动点最值题精讲动点最值题是高中数学中比较重要的一类题型，考查学生对函数、解析几何、极值等知识点的掌握程度。

本文将为大家详细讲解动点最值题的解题技巧和注意事项。

一、基本概念动点最值题通常是给出一个动点的运动轨迹和一个函数式，要求求出函数在动点运动轨迹上取得的最大值或最小值。

这类题目需要考虑到动点的坐标和函数的取值之间的关系，以及动点的运动轨迹对函数取值的影响。

二、解题思路1、确定动点的运动轨迹首先需要明确动点的运动轨迹，一般通过给出的条件来确定。

常见的有直线、圆、抛物线等。

确定好动点的运动轨迹之后，可以利用运动轨迹的性质来简化求解过程。

2、确定函数的表达式根据题目给出的条件，确定函数的表达式。

函数的表达式一般与动点的坐标有关，可以通过利用动点的坐标和运动轨迹的性质来求解。

3、求解函数的最值利用函数的最值定理求解函数的最大值或最小值。

最值定理包括极值和最值。

极值包括极大值和极小值，是函数在数学上的特殊点；最值是函数在定义域上取得的最大值或最小值。

4、验证答案解答完毕后，需要将结果代入原题，并验证答案的正确性。

三、注意事项1、确定动点的运动轨迹时，需要考虑到动点的运动方向和速度。

这样才能正确地描述动点的运动状态。

2、确定函数的表达式时，需要注意函数的定义域和取值范围。

如果定义域存在限制条件，需要将限制条件考虑进去。

3、求解函数的最值时，需要判断极值和最值是否存在，以及最值是否在定义域内取得。

4、最后需要将结果代入原题进行验证，确保答案的正确性。

以上是动点最值题的精讲，希望对大家有所帮助。

在解题过程中，需要灵活运用数学知识和技巧，多进行思考和实践，才能提高解题能力。

动点最值题精讲动点最值问题是数学中一个非常重要的问题，它表示了在动态变化中，某个参数随时间而变化时可能取到的最大或最小值。

在这个过程中，我们需要找到这个参数随时间变化的规律，并且计算出这个参数的最大最小值，这需要我们掌握动点最值问题的方法和技巧。

在本文中，我们将更深入地探讨这个问题，并提供几个常见的例子和解决方案。

1. 动点最值问题的基本原理动点最值问题在数学中的表现形式是，一个点 P 在过程中不断变化，变化规律可以表示为：X=f(t), Y=g(t)。

其中 X，Y 分别表示点 P 的横坐标和纵坐标，t 表示时间。

我们需要确定 t 的范围，然后求出 X 和 Y 的最小值和最大值。

解决这个问题的基本方法是通过求导数，在函数的关键点处判断函数的值。

由于我们要求的是最大最小值，所以我们需要找到 f(t) 和 g(t) 的导数。

求导可能比较复杂，但是十分必要。

我们将在下文中讨论如何求解动点最值问题的各个方面。

2. 解决动点最值问题的技巧我们将解决动点最值问题分为以下几个步骤。

第一步，使用物理学的方法。

从物理学（运动学）的角度分析问题，求出变化过程中的速度和加速度等参数。

这种方法适用于解决一个物体在直线或平面上运动的问题。

我们可以将问题抽象为一个物理学问题，然后使用速度和加速度的公式来解决问题。

第二步，使用数学方法。

这是更为常见的方法，也是本文的核心部分。

在这种情况下，我们需要找到一个函数来表示参数的变化过程，然后对该函数求导，找到关键点，最终确定最大最小值。

第三步，使用计算机方法。

现代计算机很擅长解决动点最值问题，因为它们能够计算复杂的函数和大量的数据。

我们可以使用计算机做出模拟，然后找到最大或最小点。

这种方法往往需要程序员或科学家具备一定的计算机技能。

第四步，使用统计学方法。

在某些情况下，使用统计学方法可能更好。

例如，当我们面对大量数据时，我们可以用统计方法来确定数据变化的趋势。

在这种情况下，我们可能使用回归方法或其他统计学方法来找到变化过程的规律，最终决定最大最小值。

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中.其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.一、基础知识点综述1. 两点之间，线段最短；2. 垂线段最短；3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）；（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求PA+PB的最小值的作图.P是∠AOB内一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作△PMN周长最小值.作图方法：作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’与动点所在直、N即为所求.线的交点M5. 二次函数的最大（小）值()2y a x h k=-+，当a>0时，y有最小值k；当a<0时，y有最大值k.二、主要思想方法利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析）三、精品例题解析例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为例2. （2019·凉山州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（ ）A .817 B . 717 C . 49 D . 59例3. （2019·南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB =24,BC =5,给出结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积的最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为)2626125,262625(，其中正确的结论是 （填写序号）.例4. （2019·天津）已知抛物线2y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点，若点Q （1,2Q b y +2QM +时，求b 的值.例5. （2019·舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm =．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为 cm ；连接BD ，则△ABD 的面积最大值为2cm ．例6. （2019·巴中）如图，在菱形ABCD中，连接BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M.（1）求证：DC是圆O的切线；（2）若AC=4MC，且AC=8，求图中阴影部分面积；（3）在（2）的前提下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值.B D专题01 动点问题中的最值、最短路径问题（解析）例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为【答案】4.【解析】解：∵PQ⊥EP，∴∠EPQ=90°，即∠EPB+∠QPC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠EPB+∠BEP=90°，∴∠BEP=∠QPC，∴△BEP∽△CPQ，∴BE BP CP CQ=，∵AB=12，AE=3，∴BE=9，设CQ=y，BP=x，CP=12－x，（0<x<12）∴912xx y=-，即()()21216499x xy x-==--+，∴当x=6时，y有最大值为4，即CQ的最大值为4.【点睛】此题为“一线三直角模型”，解题方法为相似三角形性质求解，综合利用二次函数的性质求解最值问题.例2.（2019·自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C、F分别是直线x=－5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取最小值时，tan∠BAD=（）A.817B.717C.49D.59【答案】B.【解析】解：S△ABE=142BE OA BE ⨯⨯=,当BE取最小值时，△ABE面积为最小值.设x=－5与x轴交于点G，连接DG，因为D为CF中点，△CFG为直角三角形，所以DG=15 2CD=,∴D点的运动轨迹为以G为圆心，以5半径的圆上，如图所示由图可知：当AD与圆G相切时，BE的长度最小，如下图，过点E作EH⊥AB于H，∵OG=5，OA=8，DG=5，在Rt△ADG中，由勾股定理得：AD=12，△AOE∽△ADG，∴AO AD OE DG=,求得：OE=103，由OB=OA=8，得：BE=143，∠B=45°，AB=∴EH=BH=23BE=,AH=AB-BH=3，∴tan ∠BAD=717EH AH ==, 故答案为B .【点睛】此题解题的关键是找到△ABE 面积最小时即是AD 与D 的远动轨迹圆相切的时刻. 进而构造以∠BAD 为内角的直角三角形，利用勾股定理求出边长，代入三角函数定义求解.例3. （2019·南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB =24,BC =5,给出结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积的最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为)2626125,262625(，其中正确的结论是 （填写序号）.【答案】②③.【解析】解：根据题意可知：OE =12AB =12, 即E 的轨迹为以O 为圆心以12为半径的四分之一圆（第一象限的部分），根据弧长公式，得点E 的路径长为：9012180π⨯⨯=6π，故①错误； 因为AB =24,当斜边AB 上的高取最大值时，△OAB 的面积取最大值，点O 在以AB 为直径的圆上（圆心为E ），当OE ⊥AB 时，斜边AB 上的高最大， 所以△OAB 的面积取最大值为：124122⨯⨯=144，故②正确； 连接OE 、DE ，得：OD ≤OE +DE ，当O 、E 、D 三点共线时取等号，即OD 的最大值为25，如图，过点D 作DF ⊥y 轴于F ，过点E 作EG ⊥y 轴于G ,可得：25DF OD ==, 即：1225EG DF =， 512AF AD EG AE ==, 即：51125AF EG DF ==, 设DF =x ，在Rt △ADF 中，由勾股定理得：221255x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：x =26， 在Rt △ODF 中，由勾股定理得：OF =26即点D 的坐标为)2626125,262625(，故③正确. 综上所述，答案为：②③.例4. （2019·天津）已知抛物线2y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点.若点Q （1,2Q b y +2QM +时，求b 的值.【答案】见解析. 【解析】解：∵2y x bx c =-+经过点A (－1,0)， ∴1+b +c =0，即21y x bx b =--- ∵点Q （1,2Q b y +）在抛物线2y x bx c =-+上， ∴324Q b y =--， 即13,224b Q b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭， ∵b >0，∴Q 点在第四象限，222QM AM QM ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以只要构造出AM QM ⎫+⎪⎝⎭2QM +的最小值取N （1,0），连接AN ，过M 作MG ⊥AN 于G ，连接QM ，如图所示，△AGM 为等腰直角三角形，GM =2AM ，即当G 、M 、Q 三点共线时，GM +MQ 2QM +取最小值， 此时△MQH 为等腰直角三角形，∴QM 324b ⎫+⎪⎭，GM =2AM =)12m +()322=2122244b QM AM QM m ⎛⎫⎤⎫+=++++= ⎪⎥⎪⎭⎝⎭⎣⎦① ∵QH =MH ，∴324b +=12b m +-，解得：m =124b - ② 联立①②得：m =74，b =4.2QM +的最小值为4时，b =4.2QM +转化为22AM QM ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而根据两点之间线段最短及等腰三角形性质求解.例5. （2019·舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm =．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为 cm ；连接BD ，则△ABD 的面积最大值为2cm ．【答案】- 【解析】解：如图1所示，当E 运动至E ’，F 滑动到F ’时，图1过D ’作D ’G ⊥AC 于G ，D ’H ⊥BC 交BC 延长线于点H ，可得∠E ’D ’G =∠F ’D ’H ，D ’E ’=D ’F ’，∴Rt △E ’D ’G ≌Rt △F ’D ’H ，∴D ’G =G ’H ,∴D ’在∠ACH 的角平分线上，即C ，D ，D ’三点共线.通过分析可知，当D ’E ’⊥AC 时，DD ’的长度最大，随后返回初始D 点，如图2所示，D 点的运动路径为D →D ’→D ，行走路线长度为2DD ’；D '图2∵∠BAC =30°，AC =12，DE =CD∴BC=CD =DE=，由图知：四边形E ’CF ’D ’为正方形，CD ’=EF =12，∴DD ’=CD ’-CD=12-,D 点运动路程为2DD ’=24-图3如图3所示，当点D 运动至D ’时，△ABD ’的面积最大，最大面积为：'''''''ABC AE D BD F E CF D S S S S ++-△△△正方形=(((211112222⨯+⨯--⨯⨯=【点睛】准确利用全等、角平分线判定得到D 点的运动轨迹是关键，利用三角函数及勾股定理求解，计算较为繁琐，尤其是利用割补法求解三角形的面积时对学生计算能力要求较高，此题难度较大，新颖不BD'BD'失难度.例6. （2019·巴中）如图，在菱形ABCD 中，连接BD 、AC 交于点O ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，以O 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M .（1）求证：DC 是圆O 的切线；（2）若AC =4MC ，且AC =8，求图中阴影部分面积；（3）在（2）的前提下，P 是线段BD 上的一动点，当PD 为何值时，PH +PM 的值最小，并求出最小值.【答案】见解析.【解析】（1）证明：过点O 作ON ⊥CD 于N ， AC 是菱形ABCD 的对角线，∴AC 平分∠BCD ，∵OH ⊥BC ，ON ⊥CD ，∴OH =ON ，又OH 为圆O 的半径，BD∴ON 为圆O 的半径，即CD 是圆O 的切线.（2）由题意知：OC =2MC =4，MC =OM =2，即OH =2，在Rt △OHC 中，OC =2OH ，可得：∠OCH =30°，∠COH =60°，由勾股定理得：CH==23OCH OMHS S S π-=△阴影扇形（3）作点M 关于直线BD 的对称点M ’，连接M ’H 交BD 于点P ， 可知：PM =PM ’即PH +PM =PH +PM ’=HM ’，由两点之间线段最短，知此时PH +PM 最小， ∵OM ’=OM =OH ，∠MOH =60°，∴∠MM ’H =30°=∠HCM ，∴HM ’=HC=即PH +PM的最小值为在Rt △M ’PO 及Rt △COD 中，OP =OM ’ tan 30°，OD =OC tan 30°， 即PD =OP +OD=B D。

中考数学压轴题动点产生的定值与最值问题8个专题讲解目录第 1 讲角为定值的常规解法第 2 讲角为定值的高级解法第3讲边为定值的动点问题第4讲线段的和或差为定值的动点问题第5讲比值为定值的动点问题第6讲乘积为定值的动点问题第7讲面积为定值的动点问题第8讲动点产生的几何最值问题第1讲角为定值的常规解法【几何法证明角为定值】（1）三角形内角和定理（2）三角形外角定理（3）等腰三角形底角相等（4）直角三角形两锐角互余（5）平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（6）平行四边形的对角相等、邻角互补（7）等腰梯形底角相等（8）圆所涉及的角的关系：圆心角、圆周角、弦切角定理等【例】如图,平面内两条互相垂直的直线相交于点O,∠MON=90°，点A、B分别在射线O M、ON 上移动，AC是△BAO的角平分线，BD为∠ABN的角平分线，AC与B D的反向延长线交于点P.试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化?若保持不变，请求出∠APB 的度数；若发生变化，求出变化范围。

、【例】如图所示,O的直径A B=4,点P是A B延长线上的一点,过P点作O的切线,切点为C，连接AC.(1)若∠CPA=30°，求P C的长；(2)若点P在A B的延长线上运动，∠CPA的平分线交A C于点M，你认为∠CMP 的大小是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小。

【代数法求角为定值】一般在直角坐标系中，可以用坐标的方法表示出边或角，从而求解具体角为定值的问题。

【例】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒(t>0),抛物线y = ax2 + bx + c 经过点O和点P,已知矩形A BCD的三个顶点为A(1,0),B(1,−5),D(4,0).(1)求c,b (用含t的代数式表示):(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段A B，CD交于点M，N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=218；(3)在矩形A BCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”。

有限制条件的动点最值问题(一)有限制条件的动点最值问题1. 问题定义动点最值问题是指在一定的限制条件下，寻找函数在某个区间内的最大值或最小值。

有限制条件的动点最值问题则是在问题定义中增加了特定的限制条件，进一步限制了解的范围。

2. 相关问题线性约束下的动点最值问题在问题解决过程中，需要考虑线性约束条件给解的空间带来的限制。

例如，给定一个函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续, 在区间的两个端点上的函数值已知，求函数在该区间上的最大值或最小值。

非线性约束下的动点最值问题如果约束条件是非线性的，即给定的限制条件与 x 的关系不满足线性关系，代表了更加复杂的约束条件。

解决这类问题通常需要运用较为复杂的数学方法，如拉格朗日乘子法等。

多约束条件下的动点最值问题多约束条件下的动点最值问题通常指同时满足多个限制条件下的最优值。

这类问题的解决需要将多个约束条件转化为一个综合条件，从而求出最优解。

动点最大/最小值问题的实际应用动点最值问题在实际生活中有广泛的应用。

例如，在生产过程中确定某种材料的最佳用量，以达到最大效益；在投资过程中找到最佳的投资组合，以最大化收益等。

3. 解决方法解决有限制条件的动点最值问题通常需要采用数学方法进行求解，具体方法根据问题的特点选择。

其中，常见的解决方法包括但不限于：- 求导法：对给定的函数进行求导，寻找函数的极值点，从而得到最大/最小值。

- 极值判定法：通过判定函数在区间内各个端点处的值以及在极值点处的值来确定最值。

- 条件转化法：将给定的约束条件进行转化，使其成为易于计算的形式，再寻求最值。

4. 总结有限制条件的动点最值问题是求解函数在给定约束条件下的最大值或最小值。

针对不同的约束条件，采用不同的数学方法可以解决这类问题。

在实际应用中，有限制条件的动点最值问题能够辅助我们做出更优的决策，提高效益。

初中数学动点产生的最值问题专项讲解一、如图1,在直线l上找到一点P,使得PA+PB最短.做法如图2,连接A、B与l的交点即为所求.图1 图2 图3 图4二、如图3,在直线l上找到一点P,使得PA+PB最短.做法如图4,做点B关于直线l 的对称点B/,连接AB/与l的交点即为点P.因为A、B两点是固定的,所以当题目要求找到一点P使得△PAB的周长最小时,做法也是一样的.三、如图5,在直线l上找到两点EF(点E在点F的左侧),EF的距离是定值,使得AE+EF+FB最小.做法如图6,过A做AA'∥l且AA'=EF,做B关于直线l的对称点B′,连接A'B'与直线l的交点即为F,过A做A'F的平行线与直线l的交点即为点E 同样地,因为AB两点是固定的,所以当题目要求使得四边形AEFB周长最小时,也是用同样的方法图5 图6 图7 图8四、如图7,直线a与直线b平行,在直线a上找到一点A,过点A作直线b的垂线交于点B,如何确定点A的位置可以使PA+AB+BQ最短.做法如图8,做PD垂直直线b交直线a于点C,交直线b于点D,在PD上截取PECD,连接EQ,EQ与直线b的交点即为点B,过点B做直线a的垂线,交点即为点A,连接PA即可.这种方法在实际生活中的应用就是著名的修桥问题.五、如图9,在直线l上找到一点M,使得|MA-MB|最小;直线l上找到一点N,使|NA-NB|最大.做法如图10,做AB 的中垂线与直线l 相交,交点即为M 、此时|MA-MB|有最小值0.如图11,延长BA 与直线l 相交,交点即为N 、此时|NA-NB|有最大值为AB.图9 图10 图11六、如图12,点P 是∠AOB 内部一点,在OA 上找到一点M 、OB 上找到一点N 使三角形PMN 的周长最小.做法如图13,分别作点P 关于QA 、OB 的对称点P1、P2,连接P1P2、与OA 的交点即为M,与OB 的交点即为N.此时,三角形PMN 的周长最短.图12 图13 图14 图15七、如图14,点P 是∠AOB 内部一点,在OA 上找到一点M 、过点M 作AMN 垂直OB 交OB 于点N,使得PM+MN 的最小.做法如图15,作点P 关于OA 的对称点Q,做QN 垂直OB 于N 、则QN 与OA 的交点为M.八、如图16,在三角形ABC 中找到一点P,使得PA+PB+PC 最小.做法如图17,分别以AB 、BC 、AC 为边向外做等边三角形,连接AD 、BE 、CF 的交点就是符合条件的点P.lABlP2OOO图16 图17 图18 图19九、如图18,三角形ABC 是等腰直角三角形,C 是直角顶点、以C 为圆心,21AB 长为半径作圆,在⊙C 上找到一点P,使得PA+22PB 最短. 做法如图19,取BC 的中点D,连接AD,则AD 与⊙C 的交点即为P. 注:在⊙C 上任取一点P,连接PC,PB,∵CP CD =CB CP =22,且∠PCD=∠BCP ∴△PCD ∽△BCP ， ∴PD =22PB学思路铺垫已知:二次函数y=-2x 2+3x-23与直线y=x 交于A 、B 两点,点A 在点B 的左侧. (1)A 、B 两点的坐标分别是__________、(2)在y 轴上找到一点C,使得三角形ABC 的周长最小,则点C 的的坐标为_______ (3)若以M 为圆心的圆经过AB 两点,且圆心角AMB 是直角,请写出M 的坐标_____;若以M 为圆心,以2为半径作圆,在此圆上找到一个点P,使PA+22PB 最小,则此最小值为_____________，_____________ 思路：①两定点在定直线同侧,作对称；②先转化22PB,取MB 的中点Q,连接AQ, 则AQ 的长度即为所求. 压轴题(山东滨州中考)如图2-4-20,已知直线y=kx+b(k 、b 为常数)分别与x 轴、y 轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛物线y=-x 2+2x+1与y 轴交于点C. (1)求直线y=kx+b 的函数解析式；(2)若点P(x,y)是抛物线y=-x 2+2x+1上的任意一点,设点P 到直线AB 的距离为d,求d 关于x 的函数解析式,并求d 取最小值时点P 的坐标;(3)若点E 在抛物线y=-x 2+2x+1的对称轴上移动,点F 在直线AB 上移动,求CE+EF 的最小值提能力1.(山东烟合中考)如图2-4-21,抛物线y=ax 2+bx+2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,AB=4,矩形OBDC 的边CD=1,延长DC 交抛物线于点E (1)抛物线的解析式为________;(2)如图2-4-22,点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点,过点P 作y 轴的平行线交直EO 于点G,作PH ⊥EO,垂足为H.设PH 的长为l,点P 的横坐标为m,求L 与m 的函解析式(不必写出m 的取值范围),并求出l 的最大值.2.(山东东营中考)如图2-4-23,直线y=33x+3分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点,点A 在x 轴上,∠ACB=90°,抛物线y=ax 2+bx+3经过A,B 两点.(1)A 、B 两点的坐标分别为_____________;抛物线的解析式为____________ (2)点M 是直线BC 上方抛物线上的一点,过点M 作MH ⊥BC 于点H,作MD ∥y 轴交BC 于点D,求△DMH 周长的最大值.3.(湖南岳阳中考)如图2-4-24,抛物线y=32x 2+bx+c 经过点B(3,0),C(0,-2),直线l:y=-32x-32交y 轴于点E,且与抛物线交于A,D 两点,P 为抛物线上一动点(不与A,D 重合.(1)抛物线的解析式为________;(2)当点P 在直线l 下方时,过点P 作PM ∥x 轴交l 于点M,PN ∥y 轴交l 于点N,求PM+PN 的最大值4.(天津中考)已知抛物线y= x 2+bx-3(b 是常数)经过点A(-1,0). (1)该抛物线的解析式和顶点坐标分别为________;(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P 关于原点的对称点为P /.当点P /落在第二象限内,并且P /A 2取得最小值时,求m 的值.5.(湖南怀化中考)如图2-4-25,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax 2+bx-5与x 轴交于点A(-1,0),B(5,0),与y 轴交于点C. (1)抛物线的函数表达式为________;(2)若点K 为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x 轴,y 轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM 的周长最小,求出点P,Q 的坐标6.(甘肃兰州中考)如图2-4-26,抛物线y=-x 2+bx+c 与直线AB 交于A(-4,-4),B(0,4)两点,直线AC:y=-21x-6交y 轴于点C.点E 是直线AB 上的动点,过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F,交抛物线于点G.(1)抛物线y=-x 2+bx+c 的表达式为________;(2)已知E(-2,0),H(0,-1)以点E 为圆心,EH 长为半径作圆,点M 为⊙E 上一动点,求21AM+CM 的最小值.。

例题精讲【例1】．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为________解：当x＝0时，y＝×0+4＝4，∴点B的坐标为（0，4）；当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C的坐标为（﹣3，2），点D坐标为（0，2）．作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D交x轴于点P，此时PC+PD的值最小，如图所示．∵点C的坐标为（﹣3，2），∴点C′的坐标为（﹣3，﹣2）．设直线C′D的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C′（﹣3，﹣2），D（0，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线C′D的解析式为y＝x+2．当y＝0时，x+2＝0，解得：x＝﹣，∴点P的坐标为（﹣，0），即点P的坐标为（﹣1.5，0）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB 的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小解：设点P的坐标为（x，），∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，∴四边形OAPB是个直角梯形，∴四边形OAPB的面积＝（PB+AO）•BO＝（x+AO）•＝+＝+•，∵AO是定值，∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．故选：C．【变1-2】．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（2，0）为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为，则k的值是．解：方法一、联立，∴，∴，∴A（），B（），∴A与B关于原点O对称，∴O是线段AB的中点，∵N是线段AM的中点，连接BM，则ON∥BM，且ON＝，∵ON的最大值为，∴BM的最大值为3，∵M在⊙C上运动，∴当B，C，M三点共线时，BM最大，此时BC＝BM﹣CM＝2，∴（，∴k＝0或，∵k＞0，∴，方法二、设点B（a，2a），∵一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点O对称，∴O是线段AB的中点，∵N是线段AM的中点，连接BM，则ON∥BM，且ON＝，∵ON的最大值为，∴BM的最大值为3，∵M在⊙C上运动，∴当B，C，M三点共线时，BM最大，此时BC＝BM﹣CM＝2，∴＝2，∴a1＝或a2＝0（不合题意舍去），∴点B（，），∴k＝，故答案为：．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x 轴上，则PM+PN的最小值是2．解：∵正方形OABC 的边长是6，∴点M 的横坐标和点N 的纵坐标为6，∴M （6，），N （，6），∴BN ＝6﹣，BM ＝6﹣，∵△OMN 的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×（6﹣）2＝10，∴k ＝24，∴M （6，4），N （4，6），作M 关于x 轴的对称点M ′，连接NM ′交x 轴于P ，则NM ′的长＝PM +PN 的最小值，∵AM ＝AM ′＝4，∴BM ′＝10，BN ＝2，∴NM ′＝＝＝2，故答案为2．变式训练【变2-1】．已知在平面直角坐标系中有两点A （0，1），B （﹣1，0），动点P 在反比例函数y ＝的图象上运动，当线段PA 与线段PB 之差的绝对值最大时，点P 的坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1）．解：如图，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（0，1）、B（﹣1，0）代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+1，直线AB与双曲线y＝的交点即为所求点P，此时|PA﹣PB|＝AB，即线段PA与线段PB 之差的绝对值取得最大值，由可得或，∴点P的坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1），故答案为：（1，2）或（﹣2，﹣1）．【变2-2】．如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象与双曲线y2＝（k≠0）相交于A（﹣1，2）和B（2，b）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．（1）求双曲线的解析式；（2）经研究发现：在y轴负半轴上存在若干个点P，使得△CPB为等腰三角形．请直接写出P点所有可能的坐标．解：（1）∵点A（﹣1，2）在双曲线y2＝（k≠0）上，∴k＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数解析式为y2＝﹣，（2）∵点B在双曲线y2＝﹣上，∴2b＝﹣2，∴b＝﹣1，∴B（2，﹣1），将点A（﹣1，2），B（2，1）代入一次函数y1＝mx+n（m≠0）中，得，∴，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；令x＝0，则y＝1，∴C（0，1），设P（0，p）（p＜0），∵B（2，﹣1），∴BC＝＝2，BP＝，CP＝1﹣p，∵△CPB为等腰三角形，∴①当BC＝BP时，2＝，∴p＝1（舍）或p＝﹣3，∴P（0，﹣3），②当BC＝CP时，2＝1﹣p，∴p＝1﹣2，∴P（0，1﹣2），③当BP＝CP时，＝1﹣p，∴p＝﹣1，∴P（0，﹣1），故满足条件的点P的坐标为（0，﹣3）或（0，1﹣2）或（0，﹣1）．1．如图，点N是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点N作MN∥x轴，交直线y＝﹣2x+4于点M，则△OMN面积的最小值是（）A．1B．2C．3D．4解：设点N的坐标为（，m），则点M的坐标为（2﹣m，m）（m＞0），∴MN＝﹣（2﹣m）＝m+﹣2，＝MN•m＝m2﹣m+3＝（m﹣2）2+2，∴S△OMN∴当m＝2时，△OMN面积最小，最小值为2．故选：B．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ＝99°．设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．解：∵AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣18°）＝81°，∴∠ABC＝∠APB+∠PAB＝81°，∵∠PAQ＝99°，∠BAC＝18°，∴∠PAB+∠QAC＝99°﹣18°＝81°，∴∠APB＝∠QAC，同理可得∠PAB＝∠AQC，∴△APB∽△QAC，∴＝，即＝，整理得，y＝，∵x、y都是边的长度，是正数，∴y与x之间的函数关系用图象表示是反比例函数在第一象限内的部分，纵观各选项，只有A符合．故选：A．3．如图，已知A、B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM ⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S＝K，保持不变，故排除B、D；②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S＝OC×CP＝OC×（l﹣at），因为l，OC，a均是常数，所以S与t成一次函数关系．故排除C．故选：A．4．已知点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边△ABC．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但始终在一个函数的图象上运动，则这个函数的表达式为y＝﹣．解：设A（a，），∵点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵△ABC为等边三角形，∴AB⊥OC，OC＝AO，∵AO＝，∴CO＝，过点C作CD⊥x轴于点D，则可得∠AOD＝∠OCD（都是∠COD的余角），设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD＝tan∠OCD，即＝，解得：y＝﹣a2x，在Rt△COD中，CD2+OD2＝OC2，即y2+x2＝3a2+，将y＝﹣a2x代入，（a4+1）x2＝3×可得：x2＝，故x＝，y＝﹣a2x＝﹣a，则xy＝﹣3，故可得：y＝﹣（x＞0）．故答案为：y＝﹣（x＞0）．5．如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是3．解：∵PQ⊥x轴，∴设P（x，），则Q（x，x﹣2），∴PQ＝﹣x+2，＝（﹣+2）•x＝﹣（x﹣2）2+3，∴S△POQ∵﹣＜0，∴△POQ面积有最大值，最大值是3，故答案为3．6．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过点C．已知点P是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象上的一个动点，则点P到直线AB距离最短时的坐标为（，）．解：（1）设直线AB的解析式为y＝ax+b，将点A（1，0），点B（0，2）代入得，解得，∴直线AB为y＝﹣2x+2；∵过点C作CD⊥x轴，∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，∴C（3，1），∴k＝3，∴y＝；设与AB平行的直线y＝﹣2x+h，联立﹣2x+h＝，∴﹣2x2+hx﹣3＝0，当△＝h2﹣24＝0时，h＝2或﹣2（舍弃），此时点P到直线AB距离最短，解方程﹣2x2+2x﹣3＝0得x＝＝，∴P（，），故答案为P（，）．7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是（用含k的代数式表示）．解：如图，因为反比例函数关于直线y＝x对称，观察图象可知：当线段AB与直线y＝x 垂直时，垂足为M，此时AM＝BM，OM的值最小，∵M为线段AB的中点，∴OA＝OB，∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴点A与点B关于直线y＝x对称，∵AB＝4，∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），∴（m+4）（﹣4）＝k，整理得k＝m2+4m，∴A（m，m+4），B（m+4，m），∴M（m+2，m+2），∴OM＝＝＝，∴OM的最小值为．故答案为．8．如图，点A是反比例函数y＝在第一象限的图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B．连接AO，以点A为圆心，分别以AB，AO为半径作直角扇形BAC和OAD，并连接CD，则阴影部分面积的最小值是2π+2．解：如图，过点D作DE垂直于CA的延长线于点E，则∠AED＝90°，由题意可知，AB＝AC，AO＝AD，∠BAC＝∠DAO＝90°，∵AB⊥y轴，∴∠ABO＝90°，∴∠BAO+∠OAE＝90°，∠DAE+∠OAE＝90°，∴∠BAO＝∠DAE，∴△BAO≌△EAD（AAS），∴DE＝OB．∵点A是反比例函数y＝在第一象限的图象上的一点，∴OB•AB＝4，∴S△AOB＝OB•AB＝2，∴S△ACD＝AC•DE＝OB•AB＝2，∴S阴影＝S△ACD+S扇形OAD＝2+＝2+∵（AB﹣OB）2≥0，∴AB2﹣2AB•OB+OB2≥0，∴AB2+OB2≥2AB•OB，∴S阴影≥2+×2AB•OB＝2+2π．故答案为：2+2π．9．如图，点A是反比例函数y＝（k＞0）图象第一象限上一点，过点A作AB⊥x轴于B 点，以AB为直径的圆恰好与y轴相切，交反比例函数图象于点C，在AB的左侧半圆上有一动点D，连接CD交AB于点E．记△BDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，连接BC，△ACB是等腰直角三角形，则若S1﹣S2的值最大为1，则k的值为4+4．解：如图连接BC、O′C，作CH⊥x轴于H．由题意⊙O′与反比例函数图象均关于直线y＝x对称，∴点A、C关于直线y＝x对称，设A（m，2m）则C（2m，m），∴BO′＝CH＝m，BO′∥CH，∴四边形BHCO′是平行四边形，∵BH＝CH，∠BHC＝90°，∴四边形BHCO′是正方形．∴∠ABC＝45°，∴△ACB是等腰直角三角形，∵S1﹣S2＝S△DBC﹣S△ACB，△ABC的面积是定值，∴△DBC的面积最大时，S1﹣S2的值最大，∴当DO′⊥BC时，△DBC的面积最大，∴m•（m+m）﹣•2m•m＝1，∴m2＝2（+1），∵k＝2m2，∴k＝4+4，故答案为：等腰直角三角形，4+4．10．如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，P为x轴上一点，求使PA+PB的值最小时点P的坐标．解：（1）设A点的坐标为（a，b），则由，得ab＝2＝k，∴反比例函数的解析式为；（2）由条件知：两函数的交点为，解得：，，∴A点坐标为：（2，1），作出A点关于x轴对称点C点，连接BC，P点即是所求则点C（2，﹣1），∵B（1，2），设直线BC的解析式为：y＝kx b，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣3x+5，当y＝0时，x＝，∴点P（，0）．11．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，若△ABC面积为2．（1）求k的值（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝2÷2＝1，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2．故这个反比例函数的解析式为y＝；（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．将y＝2x与y＝联立成方程组得：，解得：，，∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形∴∠ADB＝90°，如图3，∵O为线段AB的中点，∴OD＝AB＝OA，∵A（1，2），∴OC＝1，AC＝2，由勾股定理得：OA＝＝，∴OD＝，∴D（，0）．根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（﹣，0）．故x轴上存在一点D，使△ABD以AB为斜边的直角三角形，点D的坐标为（，0）或（﹣，0）．12．如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点C，使|CA﹣CB|的值最大，求满足条件的点C的坐标及△ABC的面积．解：（1）∵直线y＝x+2经过点A（1，a），∴a＝3，∵反比例函数y＝经过A（1，3），∴k＝3，∴y＝，由，解得或，∴B（﹣3，﹣1）．（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，延长AB′交x轴于点C，点C即为所求；∵A（1，3），B′（﹣3，1），∴直线AB′的解析式为y＝x+，∴C（﹣5，0），＝S△CBB′+S△BB′A＝×2×2+×2×4＝6．∴S△ABC13．如图，一次函数y＝2x﹣3的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣1，n），B 两点．（1）求反比例函数的解析式与点B的坐标；（2）连接AO、BO，求△AOB的面积；（3）点D是反比例函数图象上的一点，当∠BAD＝90°时，求点D的坐标．解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，∴n＝﹣5，∴点A（﹣1，﹣5），∵点A（﹣1，﹣5）在反比例函数的图象上，∴k＝﹣1×（﹣5）＝5，∴；联立，解得：，，∴点；（2）设y＝2x﹣3与y轴的交点为点E，则点E（0，﹣3），∴OE＝3，＝S△AOE+S△BOE＝×3×1+×3×＝；∴S△AOB（3）设点，如图，分别过点D，B作y轴的平行线DM，BN，过点A作MN⊥DM于M，交BN于N，则MN⊥BN，∴∠M＝∠N＝90°，∴∠DAM+∠ADM＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAN+∠DAM＝90°，∴∠BAN＝∠ADM，∴△BAN∽△ADM，∴＝，即＝，解得：a1＝﹣10，a2＝﹣1（舍），∴．14．如图，直线y＝2x+3与y轴交于A点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0）．（1）求反比例函数的解析式；（2）点D（a，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB+PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0），∴在直线y＝2x+3中，当x＝1时，y＝2+3＝5，∴点B的坐标为（1，5），又∵点B（1，5）在反比例函数y＝上，∴k＝1×5＝5，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）将点D（a，1）代入y＝，得：a＝5，∴点D坐标为（5，1）设点D（5，1）关于x轴的对称点为D′（5，﹣1），过点B（1，5）、点D′（5，﹣1）的直线解析式为：y＝kx+b，可得：，解得：，∴直线BD′的解析式为：y＝﹣x+，根据题意知，直线BD′与x轴的交点即为所求点P，当y＝0时，得：﹣x+＝0，解得：x＝，故点P的坐标为（，0）．15．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．（2）设过（1）中的直线EF的解析式为y＝ax+b，直接写出不等式ax+b＜的解集．（3）当k为何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，BC＝3，∵F为AB的中点，∴点F坐标为（3，1），∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝3×1＝3，∴反比例函数解析式为y＝，∵点E在BC上，∴E点纵坐标为2，在y＝中，令y＝2，可求x＝，∴E点坐标为（，2）；（2）不等式ax+b＜的解集即直线在反比例函数下方时对应的自变量的取值范围，由（1）可知点E、F两点的横坐标分别为、3，∴不等式ax+b＜的解集为：0＜x＜或x＞3；（3）由题意可知点E的纵坐标为为2，点F的横坐标为3，且E、F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴可设E（，2），F（3，），∴AF＝，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝3﹣，＝AF•BE＝••（3﹣）＝﹣k2+＝﹣（k﹣3）2+，∴S△AEF∵﹣＜0，是关于k的开口向下的抛物线，∴S△AEF有最大值，最大值为，∴当k＝3时，S△AEF即当k的值为3时，△AEF的面积最大，最大面积为．16．如图，直线OA：y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小．解：（1）设点A的坐标为（a，b），则，解得：k＝2．∴反比例函数的解析式为y＝．（2）联立直线OA和反比例函数解析式得：，解得：．∴点A的坐标为（2，1）．设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，﹣1），连接BC较x轴于点P，点P即为所求．如图所示．设直线BC的解析式为y＝mx+n，由题意可得：B点的坐标为（1，2），∴，解得：．∴BC的解析式为y＝﹣3x+5．当y＝0时，0＝﹣3x+5，解得：x＝．∴P点的坐标为（，0）．17．已知：如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点（A在B的右侧），点A横坐标为4．（1）求反比例函数解析式及点B的坐标；（2）观察图象，直接写出关于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集；（3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把x＝4代入y＝﹣2x+10得y＝2，∴A（4，2），把A（4，2）代入y＝，得k＝4×2＝8．∴反比例函数的解析式为y＝，解方程组，得，或，∴点B的坐标为（1，8）；（2）观察图象得，关于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集为：1＜x＜4或x＜0；（3）存在，理由：①若∠BAP＝90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y＝﹣2x+10，当y＝0时，﹣2x+10＝0，解得x＝5，∴点E（5，0），OE＝5．∵A（4，2），∴OH＝4，AH＝2，∴HE＝5﹣4＝1．∵AH⊥OE，∴∠AHM＝∠AHE＝90°．又∵∠BAP＝90°，∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，∴∠MAH＝∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴，即，∴MH＝4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y＝mx，则有4m＝2，解得m＝，∴直线AP的解析式为y＝x，解方程组，得，，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．②若∠ABP＝90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，﹣）．综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，﹣）．18．反比例函数（k为常数．且k≠0）的图象经过点A（1，3），B（3，m）．（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，①求满足条件的点P的坐标；②求△PAB的面积．解：（1）把A（1，3）代入y＝得，k＝3，∴反比例函数的关系式为：y＝；把B（3，m）代入y＝得，m＝1，∴点B的坐标为（3，1）；（2）①如图所示，作点B关于x轴的对称点B′，则B′（3，﹣1），连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB最小．设直线AB′的关系式为y＝kx+b，把A（1，3），B′（3，﹣1）代入得，，解得，，∴直线AB′的关系式为y＝﹣2x+5，当y＝0时，x＝，即：P（，0），也就是，OP＝，②S△P AB＝S梯形ABNM﹣S△AMP﹣S△BPN＝（1+3）×2﹣（﹣1）×3﹣（3﹣）×1＝．19．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A （1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）①在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；②在x轴上找一点M，使|MA﹣MB|的值为最大，直接写出M点的坐标．解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，得a＝3，∴A（1，3），把点A（1，3）代入反比例y＝，得k＝3，∴反比例函数的表达式y＝，解得或，故B（3，1）．（2）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小∴D（3，﹣1）设直线AD的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+5，令y＝0，则x＝，∴P点坐标为（，0）；（3）直线y＝﹣x+4与x轴的交点即为M点，此时|MA﹣MB|的值为最大，令y＝0，则x＝4，∴M点的坐标为（4，0）．20．如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（0，﹣2），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点，两函数图象的另一个交点E的坐标是（m，3）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式．（2）求出m的值，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P坐标．解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），∴AB＝1+2＝3，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB＝3，∴C（3，﹣2），把C（3，﹣2）代入y＝，得k＝3×（﹣2）＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b，得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）∵反比例函数y＝﹣的图象过点E（m，3），∴m＝﹣2，∴E点的坐标为（﹣2，3）；由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方，即当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）设P（t，﹣），∵△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴×1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18，∴P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，）．21．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个动点，AC⊥x轴于点C；E是线段AC的中点，过点E作AC的垂线，与y轴和反比例函数的图象分别交于点B、D两点；连接AB、BC、CD、DA．设点A的横坐标为m．（1）求点D的坐标（用含有m的代数式表示）；（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（3）当m为何值时，四边形ABCD是正方形？并求出此时AD所在直线的解析式．解：（1）∵点A的横坐标为m，∴点A的纵坐标为，∵E是AC的中点，AC⊥x轴，∴E（m，），∵BD⊥AC，AC⊥x轴，∴BD∥x轴，∴点B，E，D的纵坐标相等，为，∴点D的横坐标为2m，∴D（2m，）；（2）四边形ABCD是菱形，∵B（0，），E（m，），D（2m，），∴EB＝ED＝m，∵AE＝EC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BD⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形；（3）∵平行四边形ABCD是菱形，∴当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形，∴2m＝，∴m＝2，或m＝﹣2（舍），∴A（2，4），D（4，2），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AD解析式为y＝﹣x+6，∴当m＝2时，四边形ABCD是正方形，此时直线AD解析式为y＝﹣x+6．22．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝交于点C、D，且点C坐标为（﹣2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点M在y轴正半轴上，且与点B，C构成以BC为腰的等腰三角形，求点M的坐标．（3）点P在第二象限的反比例函数图象上，若tan∠OCP＝3，求点P的坐标．解：（1）∵点C（﹣2，m）在一次函数y＝﹣x+2的图象上，∴m＝﹣（﹣2）+2，解得：m＝4，∴C（﹣2，4），将C（﹣2，4）代入y＝，得k＝﹣8，∴反比例函数为y＝﹣；（2）如图1，过点C作CH⊥y轴于H，在直线y＝﹣x+2中，当x＝0时，则y＝2，∴B（0，2），由（1）知，C（﹣2，4），∴BC＝＝2，当BM＝BC＝2时，OM＝2+2，∴M（0，2+2），当BC＝MC时，点C在BM的垂直平分线，∴M（0，6），综上所述，点M的坐标为（0，2+2）或（0，6）（3）作OQ⊥PC于Q，过Q作HG⊥x轴于G，CH∥x轴，交HG于H，则△CHQ∽△QGO，∴，∵tan∠OCP＝3，∴，设CH＝x，则GQ＝3x，HQ＝4﹣3x，∴OG＝3HQ＝12﹣9x＝x+2，解得x＝1，∴Q（﹣3，3），∴直线CQ的解析式为y＝x+6，∴x+6＝﹣，解得x1＝﹣2，x2＝﹣4，∵点P与C不重合，∴P（﹣4，2）．。

专题06 立体几何中动点及最值范围问题题型一、角度、长度最值范围问题（多选）1、设动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，记11D P D B λ=当APC ∠为钝角时，则实数可能的取值是（ ） A ．12B ．23C ．13D ．1【答案】AB【分析】首先以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，根据题意得到0PA PC ⋅<，再解不等式即可得到答案．【解析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的边长为1，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,0,1D A =-，()10,1,1D C =-，()11,1,1D B =-，所以()11,,D P D B λλλλ==-． 又因为()()()11,,1,0,11,,1PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---，()()()11,,0,1,1,1,1PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---， 因为APC ∠为钝角，所以0PA PC ⋅<，即()()()()()()()2111=1310λλλλλλλ--+--+---<，解得113λ<<．故选AB【名师点睛】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于简单题．2、如图，正方体1111ABCD A B C D -，点P 在1AB 上运动（不含端点），点E 是AC 上一点（不含端点），设EP 与平面1ACD 所成角为θ，则cosθ的最小值为（ ）A ．13B ．33C ．53D ．63答案： A 解析：由已知求出AC 的中点1E 与1B 的连线与平面1ACD 所成角的余弦值，在1AB 上（不含端点）任取一点P ，在平面1AB E 内过P 作11//PE B E ，则EP 与平面1ACD 所成角11OE B θ=∠，可得1cos 3θ=，结合选项即可得答案．详解：解：如图，由正方体的性质，可得1B D ⊥平面1AD C ，且1B 在平面1AD C 上的射影O 为△1AD C 的外心．设正方体的棱长为1，则△1AD C 的边长为2， 当1E 为AC 的中点时，11162326OE =-=， 1116122B E =+=，此时11616cos 362OE B ==． 在1AB 上（不含端点）任取一点P ，在平面1AB E 内过P 作11//PE B E ，则EP 与平面1ACD 所成角11OE B θ=∠，可得1cos 3θ=．结合选项可知，cos θ的最小值为13．故选：A ．3、三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，λ的值为( )A ．12B ．22C ．32D ．255【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN 与平面ABC 所成的角，即可求得结论．【解析】如图，以AB ，AC ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(,P λ0，1)，11,,122PN λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，平面ABC 的一个法向量为(0,n =0，1)设直线PN 与平面ABC 所成的角为θ，21sin 15()24PN nPN nθλ⋅∴==⋅-+， ∴当12λ=时，25(sin )5max θ=，此时角θ最大．故选A ． 【名师点睛】本题考查了向量法求线面角的求法，考查了函数最值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．4、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（ ）A ．0B ．12C ．105D ．1116【答案】C【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1B C 与EF 的夹角的余弦值，根据夹角最小即可求得结果．【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，在正方体1111ABCD A B C D -中， 点E 为线段AB 的中点，设正方体棱长为2， 则1(0,0,0),(2,1,0),(2,2,2),(0,2,0)D E B C ，1(2,0,2)B C =--，设(),0,0F m ()02m ≤≤，(2,1,0)EF m =--，设异面直线1B C 与EF 的夹角为θ，则1212|||2(2)|cos ||||122(2)1211(2)EF B C m EF B C m m θ⋅-⨯-===⋅⋅-+⋅+-， 异面直线1B C 与EF 所成角最小时，则cos θ最大，即0m =时，210cos 51102141θ===⋅+．故选C ．【名师点睛】本题考查异面直线及其所成的角的余弦值，解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角，属于中档题．5、如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,AD B C 上的中点．若点P 为侧面正方形11ADD A 内（含边）动点，且存在,x y R ∈使1B P xBE yBF =+成立，则点P 的轨迹长度为A ．12B ．1C 5D ．2π 【答案】C【分析】根据向量共面判断出1//B P 平面BEF ，由面面平行得到P 点的轨迹，在直角三角形中求出边长即可．【解析】因为1B P xBE yBF =+成立，所以1B P BE BF 、、共面，即1//B P 平面BEF ， 如图，取11A D 中点Q ，连接1B Q 、1B A 、AQ ， 根据正方体的性质得，1//B Q BE ，1//B A FE ， 且111=B QB A B ，=FEBE E ，所以平面1//B AQ 平面BEF ，所以点P 在AQ 上运动，点P 的轨迹为线段AQ ，因为11A A =，112AQ =， 由勾股定理得151+=42QA =，故选C ．题型二、动点问题（多选）1、如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．//BC 平面11AD PC ．三棱锥1D CDP -的体积为定值 D ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6π【答案】AC【解析】对于A 中，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得1111,A D AA A D AB ⊥⊥，又由1AA AB A =，所以11A D ⊥平面1A AP ，因为11A D ⊂平面11D A P ，所以平面11D A P ⊥平面1A AP ，所以A 正确； 对于B 中，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11//BC A D ， 所以11,,,B C A D 四点共面，所以B 不正确； 对于C 中，因为1111122CDD S=⨯⨯=，点P 到平面1CDD 的距离为1BC =， 所以三棱锥1D CDP -的体积为定值，所以C 正确；对于D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，可得1(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)D A C ，设(1,,)(01,01)P a b a b <<<<， 则1(1,,1),(1,1,0)D P a b AC =-=-， 则11221cos ,01(1)2D P AC D P AC D P ACa b ⋅==<⋅++-⋅，当1a =时，1,2D P AC π=；当0,1a b ==时，13,4D P AC π=， 所以直线1D P 与AC 所成的角的范围是(,)42ππ，所以D 不正确．故选AC【名师点睛】此类问题解答中熟记正方体的几何结构特征，熟练应用转化顶点，利用等体积法求解三棱锥的体积，以及合理利用空间向量的夹角公式求解异面直线所成的角是解答的关键．（多选）2、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，90BAC ︒∠=，11AB AC AA ===，D 是棱1CC 的中点，P 是AD 的延长线与11A C 的延长线的交点．若点Q 在直线1B P 上，则下列结论错误的是（ ）．A ．当Q 为线段1B P 的中点时，DQ ⊥平面1A BD B ．当Q 为线段1B P 的三等分点时，DQ ⊥平面1A BDC ．在线段1B P 的延长线上，存在一点Q ，使得DQ ⊥平面1A BD D ．不存在点Q ，使DQ 与平面1A BD 垂直 【答案】ABC【分析】以1A 为坐标原点，11A B ，11A C ，1A A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求得平面1A BD 的一个法向量(,,)n x y z =，假设DQ ⊥平面1A BD ，且11B Q B P λ=，得到11DQ DB BQ =+=11,12,2λλ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭，则(2,1,2)n =-与11,12,2DQ λλ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭共线，研究1112122124λλ---+===-是否有解即可． 【解析】以1A 为坐标原点，11A B ，11A C ，1A A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则由1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，10,1,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,2,0)P ，所以1(1,0,1)A B =，110,1,2A D ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(1,2,0)B P =-，111,1,2DB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．设平面1A BD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则11012n A B x z n A D y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 取2z =-，则2x =，1y =，所以平面1A BD 的一个法向量为(2,1,2)n =-．假设DQ ⊥平面1A BD ，且11(1,2,0)(,2,0)BQ B P λλλλ==-=-， 则11DQ DB BQ =+=11,12,2λλ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭． 因为DQ 也是平面1A BD 的法向量，所以(2,1,2)n =-与11,12,2DQ λλ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭共线，所以1112122124λλ---+===-成立，但此方程关于λ无解． 因此不存在点Q ，使DQ 与平面1A BD 垂直，故选ABC ．（多选）3、在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是 A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，0,23a ⎡⎤∈⎣⎦，()2,23,Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,23,22R λλλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,23,2D R λλλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；1AR A C⊥，则()()12,23,222,23,2212440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=， 14λ=，此时11333313,,,,02222224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =，则4234,,333R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,333D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则10n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()3,1,3n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力. 题型三、确定点的位置1、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为3的正方形，1CC BC ⊥，1BC =，2AB =．（1）证明：平面1A BC ⊥平面1ABC ；（2）在线段1A B 上是否存在点M ，使得1CM BC ⊥，若存在，求1BMBA 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）14． 【解析】（1）在ABC 中，3AC =1BC =，2AB =，满足222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又1CC BC ⊥，1CC AC C =，所以BC ⊥面11ACC A ，又1AC ⊂面11ACC A ，所以1BC A C ⊥，又四边形11AAC C 是边长为3的正方形，所以11AC AC ⊥，又1BCAC C =，所以1AC ⊥面1A CB ，又1AC ⊂平面1ABC ，所以平面1A BC ⊥平面1ABC ；（2）在线段1A B 上存在点M ，使得1CM BC ⊥，且114BM BA =， 理由如下：由（1）得，以点C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()3,0,0A，()0,0,0C ，()0,1,0B ，13,0,3A ，(13C ，设(),,M x y z ，1BM BA λ=，所以(),1,3,3x y z λ-=-，解得3x λ=，1y λ=-，3z λ=，所以()3,13CM λλλ=-，(10,1,3C B =-，要使1CM BC ⊥，则需10CM BC ⋅=，即130λλ--=，解得14λ=，故114BM BA =．2、如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为4的等边三角形，PA AC =，22BD CD ==，42PC PB ==，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC ．（1）求证：//DE 平面PAC（2）线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T DA B --为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点． 【分析】（1）根据题目条件证明DE ⊥平面ACE ，从而得到DE //PA ，得出DE //平面PAC ；（2）建立空间直角坐标系，假设存在点(),0,0T λ，计算平面TDA 和平面BDA 的法向量，使法向量数量积为零，然后求解λ，根据λ的值确定点T 的位置． 【解析】（1）因为22BD CD ==ABC 是边长为4的等边三角形， 所以((2222222216BD CD BC +=+==，所以BDC 是等腰直角三角形，90BDC ∠=︒．又点E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥．因为平面BDC ⊥平面ABC ，平面BDC ⋂平面ABC BC =，所以DE ⊥平面ABC ． 因为42PC PB ==，4PA AC AB ===，所以222224432PA AC PC +=+==，222224432PA AB PB +=+==，所以PAB △与PAC 都是直角三角形，故PA AC ⊥，PA AB ⊥． 又AC AB A ⋂=，所以PA ⊥平面ABC ，所以DE PA ∥． 因为PA ⊂平面PAC ，DE ⊄平面PAC ，所以DE 平面PAC ．（2）连接AE ，以E 为原点，EC ，EA ，ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,23,0A ，()2,0,0B -，()2,0,0C ，()0,0,2D ，设存在(),0,0T λ，使得二面角T DA B --为直二面角，易知22λ-≤≤，且0λ≠． 设平面BAD 的法向量为()1111,,n x y z =，则由()2,0,2BD =，()0,23,2AD =-，得1111030x z y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令11z =，得111x x =-，133y =，故131,,13n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面TAD 的法向量为()2222,,n x y z =，则由(),0,2DT λ=-，(),23,0AT λ=-，得222220,230x z x y λλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令21z =，得22x λ=，233y =，故223,,13n λ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 由122233133cos ,074433n n λλ-+⨯+==⨯+，得12103λ-+=，故32λ=． 所以当T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点时，二面角T DA B --为直二面角．3、如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ； （2）求二面角11A EB A --的余弦值；（3）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为21111，若存在，求出CM CA 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（225（3）存在，13CM CA =或523CM CA =．【解析】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，所以13BC又所以22211BC BC CC +=，所以1BC BC ⊥，因为AB ⊥侧面11BB C C ，所以1AB BC ⊥．又因为AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以直线1C B ⊥平面ABC ． （2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2A ，()13,0B -，132E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()13,2A -，设平面1AB E 的一个法向量为()111,,n x y z =，()13,2AB =--，13,,222AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭因为100n AB n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以11111132013202x z x y z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，令13y =，则11x =，所以()1,3,1n =设平面11A B E 的一个法向量为(),,m x y z =，()110,0,2A B =-，133,,222A E ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 因为11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以20332022z x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩，令3y =，则1x =，所以()1,3,0m =，2m =，5n =，4m n ⋅=，所以425cos ,525m n m n m n⋅===．设二面角11A EB A --为α，则25cos cos ,5m n α==． 所以设二面角11A EB A --的余弦值为255． （3）假设存在点M ，设(),,M x y z ，因为CM CA λ=，[]0,1λ∈，所以()()1,,1,0,2x y z λ-=-，所以()1,0,2M λλ-所以13,,222EM λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭设平面11A B E 的一个法向量为()1,3,0m =，所以22132112211132424λλλ--=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，得2693850λλ-+=．即()()312350λλ--=，所以13λ=或523λ=，所以13CM CA =或523CM CA =．【名师点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解． 强化训练（多选）1、如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上 C ．1AP BC ⊥D ．//AP 平面11AC D【答案】BD【分析】根据三棱锥体积公式求得116P AA D V -=，知A 错误；以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得到1CP x B C →→=-，11AP BC →→⋅=，AP →垂直于平面11AC D 的法向量n →，由此可确定,,B C D 的正误.【解析】对于A ，P 在平面11BCC B 上，平面11//BCC B 平面1AA D ，P ∴到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，1111111113326P AA D AA D V S CD -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()0,1,0C()1,1,AP x z →∴=-，()11,1,1BD →=--，()11,0,1B C →=--，1AP BD ⊥，1110AP BD x z →→∴⋅=--+=，x z ∴=，即(),1,P x x ，(),0,CP x x →∴=，1CP x B C →→∴=-，即1,,B P C 三点共线，P ∴必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，()1,1,AP x x →=-，()11,0,1BC →=-，111AP BC x x →→∴⋅=-+=，AP ∴与1BC 不垂直，C 错误；对于D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()11,0,1DA →∴=，()10,1,1DC →=， 设平面11AC D 的法向量(),,n x y z →=，1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =-，1y =，()1,1,1n →∴=-， 110AP n x x →→∴⋅=-+-=，即AP n →→⊥，//AP ∴平面11ACD ，D 正确. 故选BD .【点睛】本题考查立体几何中动点问题相关命题的辨析，涉及到三棱锥体积公式、动点轨迹、线线垂直关系和线面平行关系等知识；解题关键是熟练应用空间向量法来验证相关结论.2、如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（ ）A ．45B ．2C ．2D ．3【答案】D【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,0P x y ，根据110B P D E ⋅=得出x 、y 满足的关系式，并求出y 的取值范围，利用二次函数的基本性质求得1B P 的最大值．【解析】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,2,2B 、()10,0,2D 、()1,2,0E ，设点()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤，()11,2,2D E =-，()12,2,2B P x y =---，11D E B P ⊥，()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=，得22x y =-，由0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，得022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，得01y ≤≤， ()()2221224548B P x y y y ∴=-+-+=-+01y ≤≤，当1y =时，1B P 取得最大值3．故选D ．3、在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，2AD =，13AA =，点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足2QC QP =．则线段BQ 的长度的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．前三个答案都不对【答案】C【分析】先以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意得到(0,2,0)C ，()1,0,3P ，(2,2,0)B ，设(,,0)Q x y ，由2QC QP =，得到22(2)(2)4-++=x y ，再由圆上的点与定点距离的问题，即可求出结果．【解析】以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，2AD =，13AA =(0,2,0)C ，(1,3P ，(2,2,0)B ，因为点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，设(,,0)Q x y ， 因为2QC QP =，所以()2222(2)213+-=⋅-++x y x y ，整理得：22(2)(2)4-++=x y ，即点Q 可看作圆22(2)(2)4-++=x y 上的点， 又22(2)(2)=-+-BQ x y ，所以BQ 表示圆22(2)(2)4-++=x y 上的点与定点(2,2)之间的距离， 因此22max (22)(22)426=-+--+=+=BQ r （其中r表示圆22(2)(2)4-++=x y 的半径．）故选C ． 【名师点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，涉及圆上的点到定点距离的最值，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型．4、如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为8，点H 在棱AA 1上，且HA 1＝2，在侧面BCC 1B 1内作边长为2的正方形EFGC 1，P 是侧面BCC 1B 1内一动点，且点P 到平面CDD 1C 1距离等于线段PF 的长，则当点P 在侧面BCC 1B 1运动时，2HP 的最小值是（ ）A ．87B ．88C ．89D ．90【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，过点H 作1HM BB ⊥，垂足为M ，连接MP ，得出222HP HM MP =+，当MP 最小时，2HP 最小，利用空间直角坐标系求2HP 的最小值．【解析】如图，建立空间直角坐标系，过点H 作1HM BB ⊥，垂足为M ，连接MP ，则HM PM ⊥，所以222HP HM MP =+，当MP 最小时，2HP 最小， 过P 作1PN CC ⊥，垂足为N ，设(,8,)P x z ，则(2,8,6),(8,8,6),(0,8,)F M N z ，且08,08x z ≤≤≤≤，因为PN PF =，所以22(2)(6)x z x -+-=，化简得244(6)x z -=-，所以222222(8)(6)(8)441260(6)2424MP x z x x x x x =-+-=-+-=-+=-+≥， 当6x =时，2MP 取得最小值24，此时222282488HP HM MP =+=+=， 所以2HP 的最小值为88，故选B ．5、如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上（包括边界．．．．）移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为A ．55B ．25C ．2D ．3【答案】D【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段1B P 的长度的最大值．【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设P （a ，b ，0），则1D （0，0，2），E （1，2，0），1B （2，2，2），1B P ＝（a −2，b −2，−2），1D E ＝（1，2，−2）， 因为1B P ⊥1D E ，()1122240B P D E a b ∴⋅=-+-+=， 所以a ＋2b −2＝0，01b ≤≤，所以点P 的轨迹是一条线段，()()()()2222221224224548a b b B P b b b -+-+==+-+=-+， 由二次函数的性质可得当1b =时，2548b b -+可取到最大值9， 所以线段1B P 的长度的最大值为3．故选D ．6、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】连接111,,AB AD B D ，则点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点建立坐标系，利用向量方法可求出范围． 【解析】过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上，连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1，则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈，()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =，2222AP λλ=-+，设1A P 与BD 所成角为θ，则()22221211cos 2121DB APDB AP λλθλλλλ⋅--===-+⋅-+ 221313442121324λλλ=-=--+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当12λ=时，cos θ取得最小值为0， 当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12，10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤．故选C ．7、如图，三棱锥V ABC -的侧棱长都相等，底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 为线段AC 的中点，F 为直线AB 上的动点，若平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cos θ的最大值是A ．33 B ．23C 5D 6【答案】D【分析】连接BE ，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，EV 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面VBC 的一个法向量m ，平面VEF 的一个法向量n ，利用cos m n m nθ⋅=即可求解.【解析】底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形， 则Rt ABC Rt VAC ≅，所以VA VC BA BC === 设2VA VC BA BC VB =====，由E 为线段AC 的中点，则2VE BV ==， 由222VE BE VB +=，所以VE EB ⊥，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，EV 为z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：则()2,0C ，)2,0,0B，(2V ，设(),2,0F x x -，(0,2,2VC =-，(2,0,2VB =-，(2EV =，(,2,2VF x x =，设平面VBC 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m VC m VB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111220220z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令11x =，则11y =，11z =，所以()1,1,1m =. 设平面VEF 的一个法向量()222,,n x y z =，则00n EV n VF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即(222220220z x x x y z ⎧=⎪⋅+-⋅+=⎪⎩，解得20z =，令21y =，则221x x =-， 所以21,1,0n x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则22cos 22232m n x m n x xθ⋅==-+，将分子、分母同除以1x，可得=令()2266632f x x x ⎛=-+=-+ ⎝⎭，当2x =时，()min 3f x =，则cos θ3=. 故选D【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、考查了基本运算求解能力，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题.8、已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为 A ．[]0,4 B ．[]0,2C ．[]1,4D ．[]1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围. 【解析】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →最大，最大值为；当P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2.故选B .【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.7、在正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥）中，点E 在棱AB 上，满足2AE EB =，点F 为线段AC 上的动点.设直线DE 与平面DBF 所成的角为α，则A ．存在某个位置，使得DE BF ⊥B ．存在某个位置，使得4FDB π∠=C ．存在某个位置，使得平面DEF ⊥平面DACD ．存在某个位置，使得6πα=【答案】C【分析】设正四面体D ABC -的底面中心为点O ，连接DO ，则DO ⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，OB 、OD 所在直线分别为x 、z 轴建立空间直角坐标系，设正四面体D ABC -的棱长为2，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果. 【解析】如下图所示，设正四面体D ABC -的底面中心为点O ，连接DO ，则DO ⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，OB 、OD 所在直线分别为x 、z 轴建立空间直角坐标系， 设正四面体D ABC -的棱长为2，则31,0A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、23B ⎫⎪⎪⎝⎭、3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、26D ⎛ ⎝⎭、31,03E ⎫-⎪⎪⎝⎭，设,03F λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，其中11λ-≤≤， 对于A 选项，若存在某个位置使得DE BF ⊥，31,333DE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，(),0BF λ=-，1103DE BF λ∴⋅=--=，解得3λ=-，不合乎题意，A 选项错误；对于B 选项，若存在某个位置使得4FDB π∠=，,33DF λ⎛=-- ⎝⎭，23DB ⎛=⎝⎭，cos ,DF DB DF DB DF DBλ⋅<>====⋅B选项错误；对于C 选项，设平面DAC 的一个法向量为()111,,m x y z =，1,DA ⎛=-- ⎝⎭，DC ⎛=-⎝⎭，由1111113033303m DA x y z m DC x y z ⎧⋅=---=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，取11z =-，得()22,0,1m =-，设平面DEF 的一个法向量为()222,,n x y z =，31,3DE ⎛=- ⎝⎭，,DF λ⎛=- ⎝⎭， 由22222231033333n DE x y z n DF x y z λ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取y =，则()221n λ=+-，若存在某个位置，使得平面DEF ⊥平面DAC ，则2190m n λ⋅=+=，解得[]31,17λ=-∈-，合乎题意，C 选项正确；对于D 选项，设平面DBF 的一个法向量为()333,,u x y z =，2326,0,33DB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，326,,33DF λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 由333332326033326033u DB x z u DF x y z λ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，令z λ=，则()2,6,u λλ=，若存在某个位置，使得6πα=，即()()22612131sin cos ,6227272363u DE u DE u DEλλπλλ++⋅==<>===⋅⨯++⨯，整理得254120λλ-+=，162400∆=-<，该方程无解，D 选项错误. 故选C.【点评】本题考查利用空间向量法求解空间角以及利用空间向量法处理动点问题，计算量大，属于难题.10、如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E 是棱BC 上的动点，F 是棱11B C 上靠近1C 点的三分点，M 是棱1CC 上的动点，则二面角A FM E --的正切值不可能．．．是A ．3155B ．2155C ．6D ．5【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角A FM E --的余弦值，进而求得二面角A FM E --的正切值，求得正切值的最小值，由此判断出正确选项.【解析】取BC 的中点O ，连接OA ，根据等边三角形的性质可知OA BC ⊥，根据直三棱柱的性质，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则()()0,33,0,1,0,2A F ，设()()3,0,02M t t ≤≤. 则()()1,33,2,2,0,2AF FM t =-=-. 设平面AMF 的一个法向量为(),,m x y z =，则()3320220m AF x z m FM x t z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1y =，得633363,1,66t m t t ⎛= --⎝⎭. 平面FME 的一个法向量是()0,1,0n =，所以222cos ,28120252633363166m n m n m nt t t t t ⋅===⋅-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以2sin ,1cos ,m n m n =-222710821628120252t t t t -+=-+所以二面角A FM E--的正切值为()sin ,27 cos,m nf tm n===因为02t≤≤，所以111466t-≤≤--，216125405-=-⨯结合二次函数的性质可知当1165t=--时，()f t5=；当1166t=--时，()f t=，所以()f t∈⎣，所以二面角A FM E--.故选B.【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.11、直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且∠ABC ＝120°，点E在边BC上，且满足BE＝3EC，动点M在该四棱柱的表面上运动，并且总保持ME⊥BD1，则动点M的轨迹围成的图形的面积为_____；当MC与平面ABCD所成角最大时，异面直线MC1与AC所成角的余弦值为_____．【答案】，17【分析】由题意可知M的轨迹为过E且与直线1BD垂直的平面与直四棱柱的截面的边界，根据直棱柱的结构特征和底面棱形的性质，由线面垂直的定义可得截面与下底面的截线是与AC平行的，进而确定截面与与AB的交点F，建立空间直角坐标系，利用坐标方法求得截面与1BB的交点G，进而得到所求面积，根据线面角的定义可得M与G重合时MC与平面ABCD所成角最大，利用空间向量可求异面直线所成角的余弦值.【解析】如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D-中，因为底面是菱形，侧棱垂直底面，所以AC ⊥平面11BDD B ，所以1BD AC ⊥．在AB 上取F ，使得3BF FA =，连接EF ，则//EF AC ，1⊥BD EF ．记AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()4,0,0B ，()14,0,6D -，()1,33,0E ．在1BB 上取一点G ，记为()4,0,G t ，于是()18,0,6BD =-，()3,33,EG t =-． 由12460BD EG t ⋅=-+=，得4t =，即12BG GB =， 所以EFG 的边为点M 的运动轨迹． 由题意得22213FG BF BG =+=33836344EF AC ==⨯= 动点M 的轨迹围成的图形的面积为()()22163213331532⨯-=显然当M 与G 重合时，MC 与平面ABCD 所成角最大． 因为()4,0,4M ，()10,43,6C ，所以()14,43,2MC =-． 因为AC 的一个方向向量为()0,1,0n =，所以1251cos ,17MC n =即异面直线1MC 与AC 251． 【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，考查空间动点的轨迹，涉及线面垂直的判定与性质，异面直线所成的角，线面角，利用空间直角坐标系和空间向量确定点的位置和求异面直线所成的角，考查直观想象与数学运算的核心素养．属中档题，难度较大.12、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90ABC ∠=︒，P 为侧棱1CC 上任意一点，Q 为棱AB 上任意一点，PQ 与AB 所成角为α，PQ 与平面ABC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定【答案】C【分析】建立空间直角坐标系设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，利用空间向量法分别求得cos ,cos αβ，然后根据(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，利用余弦函数的单调性求解．【解析】建立如图所示空间直角坐标系：设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，则()(),,,0,,0QP x y z QB y =-=-，所以2222,,QP QB y QP x y z QB y ⋅==++=，所以222cos QP QB y QP QBx y zα⋅==⋅++，又(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，222sin QP CP z QPx y zβ⋅==++，所以22222cos x y x y zβ+=++，所以cos cos βα>，因为cos y x = 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以αβ>，故选C 13、如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．259【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值． 【解析】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=， 22225||(3)6916BP x z x x ∴=-+=-+225488191625255x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ||5tan ||3AB BP θ∴=，tan θ∴的最大值为53．故选B ．14、如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则3,1,0),(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BDm ED⎧⊥⎨⊥⎩，即302(1)0s t k t x k ⎧-++=⎪⎨+-=⎪⎩，令3k =33,1t x s x =-=+，所以平面BDE 的一个法向量(1,33,23)m x x =+-， 底面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，222233cos |cos ,|115(1)3(1)12()24m n x x x α=<>==++-+-+当1(0,)2x ∈，cos α随着x 增大而增大，则α随着x 的增大而减小，当1(,2)2x ∈，cos α随着x 增大而减小，则α随着x 的增大而增大．故选D ．【点睛】本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力，素养中档题．15、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上，连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1，则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈，()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =，2222AP λλ=-+，设1A P 与BD 所成角为θ，则()22221211cos 2121DB APDB AP λλθλλλλ⋅--===-+⋅-+221313442121324λλλ=-=--+⎛⎫-+⎪⎝⎭12λ=时，cos θ取得最小值为0， 当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12，10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤．故选C ．16、如图，矩形ABCD 中，222AB AD ==E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．在翻折过程中，直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（ ）A ．1024- B ．66C ．514-D ．55【答案】A【解析】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，则点A 的轨迹是以AF 为直径的圆， 以,OA OE 为,x y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立坐标系，则()2,1,0C -，平面ABCD 的其中一个法向量为n = (0，0．1)， 由11A O =，设()1cos ,0,sin A αα，则()1cos 2,1,sin CA αα=+-， 记直线1A C与平面ABCD 所成角为θ，则211|sin 1cos sin 4cos 64cos 6||CA nCA n αθαα⋅-===++⋅，设3153535102cos ,,sin 222416444t t t αθ-⎡⎤⎛⎫=+∈=-+≤-=⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 所以直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为1024-，故选A ． （多选）17、在正方体1111ABCD A B C D -中，若棱长为1，点,E F 分别为线段11B D 、1BC 上的动点，则下列结论正确结论的是（ ）A ．1DB ⊥面1ACD B ．面11//AC B 面1ACDC ．点F 到面1ACD 的距离为定值33D ．直线AE 与面11BB D D 所成角的正弦值为定值13【答案】ABC【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用共线向量可表示出动点,E F 的坐标，利用空间向量判断线面垂直、面面平行、求解点到面的距离和直线与平面所成角的方法依次验证各个选项即可得到结果．【解析】以A 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：由题意知：()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，设(),,1E x y ，111B E B D λ→→=，即()()1,,0,,0x y λλ-=-，()1,,1E λλ∴-， 设()1,,F y z ''，1BF BC μ→→=，即()()0,,0,,y z μμ''=，()1,,F μμ∴． 对于A ，()11,1,1DB →=-，()1,1,0AC →=，()10,1,1AD →=，11100DB AC DB AD ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，1DB AC ∴⊥，11DB AD ⊥， 又1,AC AD ⊂平面1ACD ，1AC AD A =，1DB ∴⊥平面1ACD ，A 正确；对于B ，1DB ⊥平面1ACD ，()11,1,1DB →∴=-为平面1ACD 的一个法向量，()111,1,0A C →=，()11,0,1A B →=-，111110DB A C DB A B ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，111DB AC ∴⊥，11DB A B ⊥， 又111,A C A B ⊂平面11A C B ，1111AC A B A =，1DB ∴⊥平面11A C B ，∴平面11//AC B平面1ACD ，B 正确；对于C ，()1,,AF μμ→=，∴点F 到面1ACD 的距离111333AF DB d DB →→→⋅===，为定值，C 正确；对于D ，几何体为正方体，AC ∴⊥平面11BB D D ，()1,1,0AC →∴=是平面11BB D D 的一个法向量，又()1,,1AE λλ→=-，设直线AE 与平面11BB D D 所成角为θ，则21sin 2222AC AEAC AEθλλ→→→→⋅==⋅-+⋅，不是定值，D 错误．故选ABC ．（多选）18、如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（ ）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上 C ．1AP BC ⊥D ．//AP 平面11AC D【答案】BD【分析】根据三棱锥体积公式求得116P AA D V -=，知A 错误；以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得到1CP x B C →→=-，11AP BC →→⋅=，AP →垂直于平面11AC D 的法向量n →，由此可确定,,B C D 的正误．【解析】对于A ，P 在平面11BCC B 上，平面11//BCC B 平面1AA D ，P ∴到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，1111111113326P AA D AA D V S CD -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()0,1,0C()1,1,AP x z →∴=-，()11,1,1BD →=--，()11,0,1B C →=--，1AP BD ⊥，1110AP BD x z →→∴⋅=--+=，x z ∴=，即(),1,P x x ，(),0,CP x x →∴=，1CP x B C →→∴=-，即1,,B P C 三点共线，P ∴必在线段1B C 上，B 正确； 对于C ，()1,1,AP x x →=-，()11,0,1BC →=-，111AP BC x x →→∴⋅=-+=，AP ∴与1BC 不垂直，C 错误；对于D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()11,0,1DA →∴=，()10,1,1DC →=，设平面11AC D 的法向量(),,n x y z →=，1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =-，1y =，()1,1,1n →∴=-， 110AP n x x →→∴⋅=-+-=，即AP n →→⊥，//AP ∴平面11ACD ，D 正确．故选BD ． （多选）19、如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）。