(完整版)平行四边形有关的常用辅助线(20201019185928)
- 格式：docx
- 大小：150.93 KB
- 文档页数：6
PART A 知识讲解
六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴：
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1,在平行四边形 ABCD 中，点E,F 在对角线AC 上，且AE CF ，请
你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已 有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
⑴连结BF
⑵BF DE
⑶证明：连结 DB,DF ，设DB,AC 交于点0
第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2,在平行四边形 ABCD 中，对角线AC 和
BD 相交于点O,如果AC 12,
BD 10, AB m ，那么m 的取值范围是（
）
A 1 m 11
B 2 m 22
C 10 m 12
D 5 m 6
解：将线段 DB 沿DC 方向平移，使得 DB CE ,DC BE ,则有四边形CDBE 为平 行四边形「••在
ACE 中，AC 12,CE BD 10, AE 2AB 2m
• 12 10 2m 12 10，即 2 2m 22 解得 1 m 11
故选 A
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知：如左下图3,四边形ABCD 为平行四边形
求证：
2 2 2 2 2 2
AC BD AB BC CD DA
证明：过A,D 分别作AE BC 于点E , DF BC 的延长线于点F
AB 2 BE 2 (BC BE)2 AB 2 BC 2 2BE BC BD 2
DF 2 BF 2 (CD 2 CF 2) (BC CF)2
2 2
CD 2
BC 2 2BC CF
则AC 2
BD 2 AB 2 BC 2 CD 2 DA 2 2BC CF 2BC BE
••四边形 ABCD 为平行四边形 • AB // CD 且AB CD , AD BC
•••四边形 ABCD 为平行四边形
••• AE •••四边形
FC • AO AE EBFD 为平行四边形
• AO OC,DO OB
OC FC 即 OE OF
• BF DE
••• AC 2 AE 2 CE 2 C
图1
图2
ABC DCF AEB DFC 900
ABE
DCF
••• BE CF
AC 2
2 2
BD AB 2 2 2
BC CD
DA
第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例4 :已知：如右上图4，在正方形 ABCD 中，E,F 分别是CD 、DA 的中点，BE 与
CF 交于P 点，求证：AP AB
证明：延长CF 交BA 的延长线于点 K •••四边形 ABCD 为正方形
AB // CD 且 AB CD ,CD AD , BAD BCD
D
900 1 K
又
•••
D DAK 90°,
DF AF
• CDF 也 KAF AK CD AB
1
•/ CE -CD DF
J 1 AD
CE DF
2
2
BCD D 900
• BCE 也 CDF
1
2
1 3 900
2
3 900
• CPB
900 ,则
KPB 900
AP AB
第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
例5如左下图5,在平行四边形
A B C D
中，点
E
为边
C D
上任一点，请你在该图基础
上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。
解：延长AE 与BC 的延长线相交于F ，则有
AED s FEC , FAB s FEC , AED s FAB
F
F
A
F
D
第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
1
例6已知：如右上图6,在平行四边形ABCD中，AN BN ,BE BC , NE
3
交BD于F，求BF ::BD
解：连结AC交BD于点0,连结ON
•••四边形ABCD为平行四边形•- OA OC,OB OD BD
2
•/ AN BN• ON // -BC 且ON - BC •BE BF
22ON FO
•/ BE1
丄BC • BE:ON
BF
2:3
2
3FO3
BF2
• BF:BD1:5
BO5
综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与
为证明解决问题创造条件。
PART B综合演练
一、一般多边行
1、如图，四边形ABCD中，E、F、G、H是四边形各边的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
2、某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产形状如图所示的风筝，点E、F、G、H分别是四
边形ABCD的中点，其阴影部分用的甲布料，其余部分用乙布料
（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料
多少匹？
3、提出问题：如图①所示，在四边形
ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，△ PBC 与厶ABC
和厶DBC 的面积之间有什么关系？
探究问题：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的，特殊的情形入手：
1
(1)
当AP= AD 时(如图②)：
2
1
••• AP= —AD , △ ABP 和厶 ABD 的高相等，• S ABP
2
1
（4） 一般地，当AP= AD （ n 表示正整数）时，探求S PBC 与S ABC 和S DBC 之间的关系,
n
写出求解过程;
问题解决：当
当AP = — AD 0
— 1时，S PBC 与S ABC 和S DBC 之间的关系为 n
n
二、多边形
1如图，如果直线 m 是多边形ABCDE 的对称轴，其中/ A=130 那么/ BCD 的
度数等于（
）
A 、 40°
B 、 50°
C 、 60°
1 S ABD 。
2
•/ PD=AD - AP= 1AD
2 ，
△ CDP 和厶CDA 的高相等，•••
S CDP
1 S CDA 。
2 …S PBC S 四边形ABCD
S ABP S CDP
=S 1S
S 四边形 ABCD
2
S ABD
=S
四边形ABCD — S 四边形ABCD
2
_ 1
1 =—S DBC
S ABC
2
2 1
(2) 当AP= — AD 时，探求S
3
1 1S
2
CDA
S DBC — S 四边形 ABCD
2
S ABC
PBC
与S ABC 与S DBC 之间的关系,
写出求解过程;
(3) 当AP=丄AD 时，S PBC 与S ABC 和S DBC 之间的关系式为
6
,/ B=110 D 、70
°
2、一个零件的形状如图所示，按规定/ A应等于90，/ B、/ C应分别为21和32，检
验工人量得/ BDC= 148，就断定这个零件不合格，这是为什么呢?
3、王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60 cm的正方形板子，另一块是上底为
30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①），王师傅想将这两块板子裁剪成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。
（1）求BC的长。
（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm ）为多少时，矩形的面积y
2
（cm ）最大？最大面积是多少？
（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。
① ②
三、平行四边形（矩形、菱形、正方形与其相同）
1、如图，已知△ ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F,使
EF=AE，连结AF、BE和CF。
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“也”表示，并加以证明;
）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
1 2、如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH= — DC。
2 若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为_______________________ 。
3、如图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF，请你以F 为一个端点，和图中已
标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等。
（只需研究一组线段相等即可）。
（1）连结___________ ；（2）猜想：_______________ ；（3）证明：（说明：写出证明过程的重
要依据）。
4、如图，在口ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，连结DE、BF、BD。
（1）求证：△ ADE ◎△ CBF。
（2）若AD丄BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论。
