CADCAM 第三章 图形变换

0 0 1 T1 0 1 0 m n 1
m、n为负表示P点的移动方向与坐标轴方向相反。
（2）绕坐标原点旋转图形，即作旋转变换。
cos T2 sin 0
sin cos 0
0 0 1
（3）将旋转之后的图形，连同P点再反向平移回到 原先位置。即作平移变换。
a12 a22 a32
a13 a23 a33
（2）比例变换： 假定图形在x方向上放大或缩小的比例为A， 在y方向上放大或缩小的比例为D， 则坐标点的比例变换为：
A 0 0 [x ' y' 1]=[x y 1] 0 D 0 =[Ax Dy 1] 0 0 1
cos sin 0 [x' y' 1]=[x y 1] sin cos 0 0 0 1 x cos y sin x sin y cos 1
cos T sin 0 sin cos 0 0 0 为绕原点逆时针旋转的变换矩阵 1
显示器显示原理
常规显示器上的图形由荧光屏的点阵组 成，电子束按行列次序扫描点矩阵，并 由显示内容来控制所扫描的点是否发亮， 每扫描一遍称为一帧 荧光屏上画面的每一点称为一个象素（Pixel）。每个象素都对 应于一个存储单元，里面存放着该象素的显示亮度值。象素的 亮度值控制电子束对荧光屏的轰击强度，象素在帧缓存寄存器 中的位置编码控制电子束的偏转位置。 分辨率（Resolution）是光栅扫描显示设备最重要的指标 显示器用于显示字符、图形（触摸显示屏还可作为输入设备）
二、二维图形的几何变换
1、点的矩阵表示：
（1）点的表示：在二维平面内，一个点通常用它的两个坐 标（x，y）来表示。为了便于进行各种变化运算，通常 把二维空间中的点表示成2x1行矩阵或表示成1x2列矩阵， 即
（2） 齐次坐标：将一个n维分量用n+1维分向量来表示， 对于一个n维空间位置矢量，在正常坐标下表示为 x1 x2 x3 xn 对应的齐次坐标 x1 x2 xn h 其中h为不为零的一个全比例因子。当h=1时，称为齐次坐 标的规格化形式。 如 二维齐次坐标的规格化形式可 简单地表示为（x，y，1）。
3、二维组合变换
上述的几种变换可用统一的变换矩阵形式来实现，称 之基本变换。 但有些变换仅用一次基本变换是不够的，必须由两次 或多次基本变换组合才能实现。这种由多种基本变换组 合而成的变换称之为组合变换，相应的变换矩阵叫做组 合变换矩阵。 设坐标P经过n次变换T1,T2,…,Tn 到P* ，则变换结果 为： P* = PT1T2…Tn = PT 式中，T = T1T2…Tn 为总的变换矩阵，组合变换 的目的是将一个变换序列表示为一个变换矩阵。
3、窗、视变换 如下图所示，则在窗口区内的一点（Xw,Yw）与视图区中的对应的一 点（XV,YV）存在如下的转换关系：
w2 w1 v2 v1 xw w1 xv v1 xv
xw w1 v2 v1 v
w2 w1
w4 w3
1
同理：
yv
yw w3 v4 v3 v
①沿x方向做错切变换：
T c 1 0 ，T就是沿x方向错切变换矩阵 另 0 0 1 1 B
1 0 0 [x ' y ' 1]=[x y 1] c 1 0 =[x+cy y 1] 0 0 1 1 0 0
0 0 1
②同理，沿y方向错切变换的矩阵为
1 0 0 T3 0 1 0 m n 1
则绕任意定点P的旋转变换矩阵T为：
T T1 T2 T3 0 0 cos sin 0 1 0 0 1 0 1 0 sin cos 0 0 1 0 m n 1 0 0 1 m n 1 cos sin 0 sin cos 0 m(1 cos ) n sin n(1 cos ) m sin 1
x x0 R cos
0, 2
y y0 R sin
圆的方向以逆时针为正方向
（3）区域填充：在一个封闭区域内填充某种图 案或颜色 ①简单递归填充算法（种子填充算法）：四连通、 八连通 ②扫描线区域填充算法（多边形填充算法）
表示内点
表示边界点
2、自由曲线和自由曲面生成：插值法或曲面拟合法 曲线或曲面的拟合：完全通过或比较贴近给定点来构造 曲线或曲面的方法． 曲线或曲面插值：求在曲线或曲面上给定点之间的点 除此之外，还包括曲线、曲面的拼接、分解、过渡、光 顺、整体修改和局部修改等。
则： [x’ y’ 1]=[x y 1] T
如果上图中的原图形为长方形，A(20,10)，B(50,10)， C(50,30)，D(20,30)，要求长方形绕A点作逆时针方 向旋转30°，求变换后各顶点的坐标。 原图形长方形点集矩阵表示为：
机制教研室
汤爱君
第三章 计算机图形学基础
第一节 计算机图形学概述
一、计算机图形学的基本概念
什么是计算机图形学？
图形对象 矢量图形：在计算机内部存储的信息是图形元素 的形状参数和属性参数。 图线、明暗曲面、符号、字符等 点阵图形：在计算机内部存储的信息是构成点阵 的所有点的灰度和色彩。 图像、位图、图片等
采用齐次坐标表示主要好处： 它为几何图形的二维、三维甚至高维空间的 坐标变换提供了统一的矩阵运算方式，并可 以方便地将他们组合在一起进行组合变换。 对无穷远点的处理比较方便。例如n+1维中 h=0的齐次坐标实际上表示了一个n维的无穷 远点
2、二维图形的基本变换
在计算机绘图中，常常要对图形进行比 例、镜像、旋转、平移、投影等各种变换，既 然图形可以用点集来表示，那么，二维图形的 基本变换就可以通过点集的变换来实现。点的 位置改变了，图形就会随之改变，即：
根据直线的斜率α（ yi1 yi ( xi 1 xi ) ）和相 邻两列（行）象素的坐标差1的事实得出：
xi 1 xi 1
yi 1 yi
Bresenham算法示图
（2）圆弧的生成
角度DDA法：是用圆的内接正多边形来逼近该圆 圆心
x
0,
y0 ，半径为R的圆的参数方程可写成
dy y y2 y1 dx x x2 x1
y2 y1 yi 1 yi x x2 x1
(xi,yi)
(xi+1,yi+1)
图4.1 DDA示意图
Bresenham法：
• Bresenham算法是计算机图形学领域中使用 最广泛的直线生成技术。 • Bresenham也是通过在每列像素中确定与理 想直线最近的像素来进行直线的扫描转换 的。通过各行、各列像素中心构造一组虚 拟网格线，按直线从起点到终点的顺序计 算直线与各垂直网格线的交点，然后确定 该列像素中与此交点最近的像素。
窗口与视区是两个完全不同的概念，它们之间既有联系又有区别。 它们的联系是，一个窗口内的图形一定要送到一个相应的视区中显 示出来。它们的区别是： ①窗口定义在用户坐标系中，而视图区定义在屏幕坐标系中； ②窗口能定义一个，也能定义数个，且多个窗口允许嵌套，即 窗口中还能再定义窗口；而视区定义的个数一般由窗口的个数确定， 以保证窗口与视区之间具有一一对应的关系； ③窗口能进行移动、放大缩小与旋转等几何变换，这一变换又 称窗口漫游；而视区一般不能进行几何变换。
计算机绘图的特点
在可见用计算机绘图有两个特点：第一，线段是离散的， 即有锯齿阶梯效应；第二，线段有误差。
两个假定：第一，对任意的空间曲线可用多 条直线段来逼近；第二，对任意的空间曲面 可用多个小平面片来逼近。
二、图形生成技术与算法
1、基本图形元素的生成
（1）线段的生成：
数值微分法（ DDA法—Digital Differential Algorithm）： 是根据数学上直线的微分方程来设计的。
A 0 0 令 ,T就是比例变换矩阵。 T 0 D 0 0 0 1
若A=D=1，则[x’ y’ 1]=[x y 1] ，为恒等变换 若A=D>1,为等比例放大；若0<A=D<1,为等比例缩小 若A≠D，图形沿两个坐标方向作不同的比例变换。
（3）对称变换： ①关于原点对称： 1 0 0 [x ' y' 1]=[x y 1] 0 1 0 =[-x -y 1] 0 0 1 1 0 0 另 T 0 1 0 ，T就是关于原点对称的变换矩阵 0 0 1 1 0 0 T 0 1 0 ②同理关于x轴对称的变换矩阵 0 0 1 1 0 0 ③关于y轴对称的变换矩阵 T 0 1 0 0 0 1
则
若顺时针旋转时，则θ角为负值
（6）平移变换： 设图形上一点（x，y）沿x轴平移l距离，沿y轴平移m距 离，得到新点（x’，y’），则有：
x'
y' 1 x
1 0 0 则有 T 0 1 0 为平移变换矩阵 l m 1
1 0 0 y 1 0 1 0 =[x+l y+m 1] l m 1
(1)变换矩阵：若A、B和M都是矩阵，且AM=B，这种一个 矩阵A对另一个矩阵M施以乘法运算而得出一个新矩阵B 的方法，可被用来完成一个点或一组点的几何变换， 这里的M称为变换矩阵。换句话说，变换矩阵为点的变 换提供了一个工具，使这种变换得以实现。
二维图形几何变换矩阵可用T表示如下：
a11 T a21 a 31
（1）绕任意点旋转变换
平面图形绕任意点C(x,y)旋转θ角，需要通过以下 几个步骤来实现：