第三章图像的几何变换

图形的几何变换图形的几何变换是指对于一个图形，在平面上或空间中进行比例、旋转、平移、对称等操作后，得到的新图形。

这种操作可以改变图形的大小、方向、位置等特征，广泛运用于数学、物理、美术、计算机图形等领域。

以下从不同变换类型的角度分析图形的几何变换。

一、比例变换比例变换是指将一个图形沿着某个中心点或轴线进行等比例伸缩的变换。

其结果通常是一个形状相似但大小不同的新图形。

比例变换可以分为放大和缩小两种情况，当比例因子大于1时，为放大；比例因子小于1时，为缩小。

比例变换常见的应用包括模型制作、图形的等比例缩放等。

二、旋转变换旋转变换是指将一个图形沿着某个轴心或轴线进行旋转的变换。

旋转变换可分为顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，其结果是一个相似但方向不同的新图形。

旋转变换的角度通常用弧度制表示，旋转角度为正时为逆时针旋转，为负时为顺时针旋转，常见的应用包括风车的运动、建筑设计的转角变换等。

三、平移变换平移变换又叫做移动变换，是指将一个图形沿着某个方向进行平移的变换。

平移变换可以将图形整体沿着平移向量的方向进行移动，其结果是一个与原图形相同但位置不同的新图形。

平移变换常见的应用包括机器人的运动、物体的位移等。

平移变换也可以看作是比例变换的特殊情况，比例因子为1，即不改变图形的大小。

四、对称变换对称变换是指将一个图形沿着某个轴线进行翻折的操作。

对称变换可以分为对称、反对称和正交对称三种类型。

对称变换的结果通常是一个与原图形相等但位置镜像对称的新图形。

对称变换在分形几何、美术设计等领域都有着广泛的应用。

五、仿射变换仿射变换是指图形在平面上或空间中进行非等比例伸缩、旋转、平移和投影等操作时的变换。

仿射变换的结果通常是一个与原图形相似但有略微变形的新图形。

仿射变换包括平移变换、旋转变换、比例变换和剪切变换等。

其应用领域包括医学图像处理、计算机图形学等。

总结图形的几何变换在现代科技和艺术中有着广泛的应用。

比例变换常用于造型、模型制作和图形的等比例缩放；旋转变换常用于旋转花纹、风车运动、建筑转角的变化等；平移变换常用于运动控制、物体的位移等；对称变换常用于几何分形、美术设计等领域；仿射变换则是结合了以上变换操作的高级变换，其应用范围更加广泛。

几何变换的计算几何变换是数学中研究物体位置、形状和尺寸改变的方法。

通过几何变换，我们可以对图像进行平移、旋转、缩放和裁剪等操作，以达到我们预期的效果。

在计算机图形学、计算机视觉和计算机图像处理等领域中，几何变换被广泛应用。

一、平移变换平移变换是指将目标图像在平面上按照给定的坐标偏移量进行移动。

平移变换只改变图像的位置，不改变其形状和尺寸。

平移变换的矩阵表示如下：| 1 0 dx |T=| 0 1 dy || 0 0 1 |其中，dx和dy分别表示在x轴和y轴方向上的平移距离。

二、旋转变换旋转变换是指将目标图像按照给定的角度绕着旋转中心进行旋转。

旋转变换可以使图像发生旋转，改变其方向。

旋转变换的矩阵表示如下：| cosθ -sinθ 0 |R=| sinθ cosθ 0 || 0 0 1 |其中，θ表示旋转的角度。

三、缩放变换缩放变换是指将图像按照给定的比例因子进行放大或缩小。

缩放变换可以改变图像的尺寸，但不改变其形状和位置。

缩放变换的矩阵表示如下：| sx 0 0 |S=| 0 sy 0 || 0 0 1 |其中，sx和sy分别表示在x轴和y轴方向上的缩放比例。

四、裁剪变换裁剪变换是指通过去除目标图像的某些部分，将图像的大小剪裁为所需的区域。

裁剪变换可以改变图像的形状和位置，同时改变其尺寸。

裁剪变换的矩阵表示如下：| 1 0 0 |C=| 0 1 0 || cx cy 1 |其中，cx和cy表示裁剪中心的坐标。

五、仿射变换仿射变换是指将图像进行位置、形状和尺寸的综合变换。

仿射变换可以实现平移、旋转、缩放和倾斜等操作。

仿射变换的矩阵表示如下： | a b 0 |A=| c d 0 || tx ty 1 |其中，a、b、c和d分别表示缩放、旋转和倾斜变换的参数，tx和ty表示平移变换的坐标。

六、透视变换透视变换是指将图像在三维空间中进行形状和位置的改变。

透视变换可以改变图像的尺寸、角度和倾斜等效果。

数字图像处理每章课后题参考答案第一章和第二章作业：1.简述数字图像处理的研究内容。

2.什么是图像工程？根据抽象程度和研究方法等的不同，图像工程可分为哪几个层次？每个层次包含哪些研究内容？3.列举并简述常用表色系。

1.简述数字图像处理的研究内容？答：数字图像处理的主要研究内容，根据其主要的处理流程与处理目标大致可以分为图像信息的描述、图像信息的处理、图像信息的分析、图像信息的编码以及图像信息的显示等几个方面，将这几个方面展开，具体有以下的研究方向：1.图像数字化，2.图像增强，3.图像几何变换，4.图像恢复，5.图像重建，6.图像隐藏，7.图像变换，8.图像编码，9.图像识别与理解。

2.什么是图像工程？根据抽象程度和研究方法等的不同，图像工程可分为哪几个层次？每个层次包含哪些研究内容？答：图像工程是一门系统地研究各种图像理论、技术和应用的新的交叉科学。

根据抽象程度、研究方法、操作对象和数据量等的不同，图像工程可分为三个层次：图像处理、图像分析、图像理解。

图像处理着重强调在图像之间进行的变换。

比较狭义的图像处理主要满足对图像进行各种加工以改善图像的视觉效果。

图像处理主要在图像的像素级上进行处理，处理的数据量非常大。

图像分析则主要是对图像中感兴趣的目标进行检测和测量，以获得它们的客观信息从而建立对图像的描述。

图像分析处于中层，分割和特征提取把原来以像素描述的图像转变成比较简洁的非图形式描述。

图像理解的重点是进一步研究图像中各目标的性质和它们之间的相互联系，并得出对图像内容含义的理解以及对原来客观场景的解释，从而指导和规划行为。

图像理解主要描述高层的操作，基本上根据较抽象地描述进行解析、判断、决策，其处理过程与方法与人类的思维推理有许多相似之处。

第三章图像基本概念1.图像量化时，如果量化级比较小时会出现什么现象？为什么？答：当实际场景中存在如天空、白色墙面、人脸等灰度变化比较平缓的区域时，采用比较低的量化级数，则这类图像会在画面上产生伪轮廓（即原始场景中不存在的轮廓）。

数字图像处理---图像的⼏何变换图像的⼏何变换图像的⼏何变换包括了图像的形状变换和图像的位置变换图像的形状变换图像的形状变换是指图像的放⼤、缩⼩与错切图像缩⼩图像的缩⼩是对原有的数据进⾏挑选或处理，获得期望缩⼩尺⼨的数据，并尽量保持原有的特征不消失分为按⽐例缩⼩和不按⽐例缩⼩两种最简单的⽅法是等间隔地选取数据图像缩⼩实现设原图像⼤⼩为M ∗N ,缩⼩为K 1M ∗K 2N (K 1<1,K 2<1)1. 设原图为F (i ,j ),i =1,2,...,M ,j =1,2,...,N ；压缩后地图像为G (x ,y ),x =1,2,...,k 1M ,y =1,2,...,k 2N2. G (x ,y )=F (c 1∗i ,c 2∗j );其中,c 1=1/k 1,c 2=1/k 2图像放⼤图像放⼤时对多出的空位填⼊适当的值，是信息的估计最简单的思想是将原图像中的每个像素放⼤为k ∗k 的⼦块图像放⼤实现设原图像⼤⼩为M ∗N ,缩⼩为K 1M ∗K 2N (K 1>1,K 2>1)1. 设原图为F (i ,j ),i =1,2,...,M ,j =1,2,...,N ；压缩后地图像为G (x ,y ),x =1,2,...,k 1M ,y =1,2,...,k 2N2. G (x ,y )=F (c 1∗i ,c 2∗j );其中,c 1=1/k 1,c 2=1/k 2图像错切图像错切变换实际上是平⾯景物在投影平⾯上的⾮垂直投影效果图像错切的数学模型x ′=x +d x y y ′=y(x ⽅向的错切,dx =tan θ)x ′=x y ′=y +d y x(y ⽅向的错切,dy =tan θ)图像的位置变换图像的位置变换是指图像的平移、镜像与旋转，即图像的⼤⼩和形状不发⽣变化主要⽤于⽬标识别中的⽬标配准图像平移公式：{{x ′=x +Δx y ′=y +Δy图像镜像图像镜像分为⽔平镜像和垂直镜像，即左右颠倒和上下颠倒公式：图像⼤⼩为M*Nx ′=x y ′=−y (⽔平镜像)x ′=−x y ′=y(垂直镜像)由于不能为负，因此需要再进⾏⼀次平移x ′=x y ′=N +1−y (⽔平镜像)x ′=M +1−xy ′=y(垂直镜像)图像旋转公式：x ′=xcos θ−ysin θy ′=xsin θ+ycos θ由于计算结果值所在范围与原有值不同，因此需要在进⾏扩⼤画布、取整、平移等处理画布扩⼤原则：以最⼩的⾯积承载全部的画⾯信息⽅法：根据公式x ′=xcos θ−ysin θy ′=xsin θ+ycos θ计算x ′min ,x ′max ,y ′min ,y ′max旋转后可能导致像素之间相邻连接不再连续，因此需要通过增加分辨率的⽅式填充空洞插值最简单的⽅式就是⾏插值(列插值)⽅法1. 找出当前⾏的最⼩和最⼤的⾮背景点坐标，记作:(i,k1)、(i,k2)2. 在(k1,k2)范围内进⾏插值，插值⽅法为空点的像素值等于前⼀点的像素值3. 重复上述操作直⾄没有空洞图像的仿射变换图像的仿射变换即通过通⽤的仿射变换公式，表⽰⼏何变换{{{{{{{齐次坐标原坐标为(x,y),定义齐次坐标为(wx,wy,w)实质上是通过增加坐标量来解决问题仿射变换通式通过齐次坐标定义仿射变换通式为x ′=ax +by +Δx y ′=cx +dy +Δy⇒x ′y ′=a b Δx c dΔyx y⼏何变换表⽰1. 平移x ′y ′1=10Δx 01Δy 001x y12. 旋转x ′y ′1=cos θ−sin θ0sin θcos θ0001x y 13. ⽔平镜像x ′y ′1=−10001001x y14. 垂直镜像x ′y ′1=1000−10001x y15. 垂直错切x ′y ′1=1d x 00−10001x y16. ⽔平错切x ′y ′1=100d y −10001x y1图像的⼏何校正由于图像成像系统的问题，导致拍摄的图⽚存在⼀定的⼏何失真⼏何失真分为{[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][]1. 系统失真:有规律的、可预测的2. ⾮系统失真：随机的⼏何校正的基本⽅法是先建⽴⼏何校正的数学模型，其次利⽤已知条件确定模型参数，最后根据模型对图像进⾏⼏何校正步骤：1. 图像空间坐标的变换2. 确定校正空间各像素的灰度值（灰度内插）途径：1. 根据畸变原因，建⽴数学模型2. 参考点校正法，根据⾜够多的参考点推算全图变形函数空间坐标变换实际⼯作中利⽤⼀幅基准图像f(x,y)，来校正失真图像g(x′,y′)根据⼀些控制点对，建⽴两幅图像之间的函数关系，通过坐标变换，以实现失真图像的⼏何校正两幅图像上的f(x,y)=g(x′,y′)时，称其为对应像素（同名像素）通过表达式x′=h1(x,y)y′=h2(x,y)表⽰两幅图像之间的函数关系通常⽤多项式x′=n∑i=0n−i∑j=0a ij x i y jy′=n∑i=0n−i∑j=0b ij x i y j来近似h1(x,y)、h2(x,y)当多项式系数n=1时，畸变关系为线性变换x′=a00+a10x+a01yy′=b00+b10x+b01y六个未知数需要⾄少三个已知点来建⽴⽅程式当多项式系数n=2时，畸变关系式为x′=a00+a10x+a01y+a20x2+a11xy+a02y2y′=b00+b10x+b01y+b20x2+b11xy+b02y2 12个未知数需要⾄少6个已知点来建⽴⽅程式当超过已知点数⽬超过要求时，通过最⼩⼆乘法求解n=2时多项式通式为B2∗n=H2∗6A6∗n(n为待求点数)B2∗n=x′1x′2⋯x′n y′1y′2⋯y′n{ []H 2∗6=a 00a 10a 01a 20a 11a 02b 00b 10b 01b 20b 11b 02A 6∗n =11⋯1x 1x 2⋯x n y 1y 2⋯y n x 21x 22⋯x 2n x 1y 1x 2y 2⋯x n y ny 21y 22⋯y 2n同名点对要求1. 数量多且分散2. 优先选择特征点直接法利⽤已知点坐标，根据x ′=h 1(x ,y )y ′=h 2(x ,y )⇒x =h ′1(x ′,y ′)y =h ′2(x ′,y ′)x =n ∑i =0n −i∑j =0a ′ij x ′i y′jy =n ∑i =0n −i∑j =0b ′ijx ′i y ′j解求未知参数；然后从畸变图像出发，根据上述关系依次计算每个像素的校正坐标，同时把像素灰度值赋予对应像素，⽣成校正图像由于像素分布的不规则，导致出现像素挤压、疏密不均等现象，因此最后还需要进⾏灰度内插，⽣成规则图像间接法间接法通过假定⽣成图像的⽹格交叉点，从⽹格交叉点(x,y)出发，借助已知点求取未知参数，根据x ′=n ∑i =0n −i∑j =0a ij x i y jy ′=n ∑i =0n −i∑j =0b ij x i y j推算⽹格交叉点(x,y)对应畸变图像坐标(x',y'),由于对应坐标⼀般不为整数，因此需要通过畸变图像坐标周围点的灰度值内插求解，作为⽹格交叉点(x,y)的灰度值间接法相对直接法内插较为简单，因此常采⽤间接法作为⼏何校正⽅法像素灰度内插最近邻元法最近邻元法即根据四邻域中最近的相邻像素灰度决定待定点灰度值该⽅法效果较佳，算法简单，但是校正后图像存在明显锯齿，即存在灰度不连续性双线性内插法[][]{{双线性内插法是利⽤待求点四个邻像素的灰度在两个⽅向上作线性内插该⽅法相较最近邻元法更复杂，计算量更⼤，但是没有灰度不连续的缺点，且具有低通滤波性质，图像轮廓较为模糊三次内插法三次内插法利⽤三次多项式S(x)来逼近理论最佳插值函数sin(x)/xS(x)=1−2|x|2+|x|30≤|x|<1 4−8|x|+5|x|2−|x|31≤|x|<20|x|≥2该算法计算量最⼤，但是内插效果最好，精度最⾼{Processing math: 100%。

第一章概述一.填空题1. 数字图像是用一个数字阵列来表示的图像。

数字阵列中的每个数字，表示数字图像的一个最小单位，称为__________。

5. 数字图像处理包含很多方面的研究内容。

其中，________________的目的是根据二维平面图像数据构造出三维物体的图像。

解答:1. 像素5. 图像重建第二章数字图像处理的基础一.填空题1. 量化可以分为均匀量化和________________两大类。

3. 图像因其表现方式的不同，可以分为连续图像和________________两大类。

5. 对应于不同的场景内容，一般数字图像可以分为________________、灰度图像和彩色图像三类。

解答:1. 非均匀量化 3. 离散图像 5. 二值图像二.选择题1. 一幅数字图像是：( )A、一个观测系统。

B、一个有许多像素排列而成的实体。

C、一个2-D数组中的元素。

D、一个3-D空间的场景。

3. 图像与灰度直方图间的对应关系是：（）A、一一对应B、多对一C、一对多D、都不对4. 下列算法中属于局部处理的是：（）A、灰度线性变换B、二值化C、傅立叶变换D、中值滤波5. 一幅256*256的图像，若灰度级数为16，则该图像的大小是：（）A、128KBB、32KBC、1MB C、2MB6. 一幅512*512的图像，若灰度级数为16，则该图像的大小是：（）A、128KBB、32KBC、1MB C、2MB解答:1. B 3. B 4. D 5. B 6. A三.判断题1. 可以用f(x,y)来表示一幅2-D数字图像。

（）3. 数字图像坐标系与直角坐标系一致。

（）4. 矩阵坐标系与直角坐标系一致。

（）5. 数字图像坐标系可以定义为矩阵坐标系。

（）6. 图像中虚假轮廓的出现就其本质而言是由于图像的灰度级数不够多造成的。

（）10. 采样是空间离散化的过程。

（）解答:1. T 3. F 4. F 5. T 6. T 10. T1、马赫带效应是指图像不同灰度级条带之间在灰度交界处存在的毛边现象（√）第三章图像几何变换一.填空题1. 图像的基本位置变换包括了图像的________________、镜像及旋转。

图像的几何变换，是指使用户获得或设计的原始图像，按照需要产生大小、形状和位置的变化。

从变换的性质分，图像的几何变换有位置变换(平移、镜像、旋转）、形状变换（比例缩放、错切）和复合变换等。

1. 图像的位置变换主要包括图像平移变换、图像镜像变换和图像旋转变换等，下面针对这三个主要的位置变换进行分析。

平移变换的几点说明:(1)平移后图像上的每一点都可以在原图像中找到对应的点。

对于不在原图像中的点，可以直接将它的像素值统一设置为0或者255（对于灰度图就是黑色或白色）。

(2)若图像平移后图像不放大,说明移出的部分被截断。

(3) 若不想丢失被移出的部分图像，将新生成的图像扩大.图像镜像变换图像的镜像变换不改变图像的形状。

图像的镜像(Mirror)变换分为三种：水平镜像，垂直镜像和对角镜像。

1. 图像水平镜像图像的水平镜像操作是将图像左半部分和右半部分以图像垂直中轴线为中心进行镜像对换。

2. 图像垂直镜像图像的垂直镜像操作是将图像上半部分和下半部分以图像水平中轴线为中心进行镜像对换。

3. 图像对角镜像图像的对角镜像操作是将图像以图像水平中轴线和垂直中轴线的交点为中心进行镜像对换。

相当于将图像先后进行水平镜像和垂直镜像。

图像旋转变换旋转(rotation)有一个绕着什么转的问题，通常的做法是以图像的中心为圆心旋转，将图像上的所有像素都旋转一个相同的角度。

图像的旋转变换是图像的位置变换，但旋转后，图像的大小一般会改变。

和图像平移一样，在图像旋转变换中既可以把转出显示区域的图像截去，旋转后也可以扩大图像范围以显示所有的图像。

2. 图像形状变换图像比例缩放变换图像比例缩放是指将给定的图像在x轴方向按比例缩放fx倍，在y轴方向按比例缩放fy倍，从而获得一幅新的图像。

(1). 图像的比例缩小变换从数码技术的角度来说，图像的缩小是将通过减少像素个数来实现的，因此，需要根据所期望缩小的尺寸数据，从原图像中选择合适的像素点，使图像缩小之后可以尽可能保持原有图像的概貌特征不丢失，下面介绍两种简单的图像缩小变换。

图像的⼏何变换（⼀）图像的⼏何变换是指改变图像的⼏何位置、⼏何形状、⼏何尺⼨等⼏何特征。

⼀.图像的平移图像平移是将⼀幅图像中所有的点都按照指定的平移量在⽔平、垂直⽅向移动，平移后的图像与原图像相同。

利⽤齐次坐标，变换前后图像上的点P0(x0,y0)和P(x,y)之间的关系可以⽤如下的矩阵变换表⽰为平移变换的⼏点说明：①平移后图像上的每⼀点都可以在原图像中找到对应的点。

对于不在原图像中的点，可以直接将它的像素值统⼀设置为0或这255（对于灰度图就是⿊⾊或者⽩⾊);②若图像平移后并没被放⼤，说明移出的部分被截断，原图像中有像素点被移出显⽰区域。

③若不想丢失被移出的部分图像，则将新⽣成的图像扩⼤。

代码如下：clear all;close all;I = imread('lenna.jpg');delta_x = 10; % ⽔平⽅向的偏移量delta_y = 10; % 垂直⽅向的偏移量[M N] = size(I); % 原图像的宽度和⾼度I2 = zeros(M, N);for x = 1 : Mif x + delta_x <= Mfor y = 1 : Nif y + delta_y <= NI2(x + delta_x, y + delta_y) = I(x, y);endendendendsubplot(1, 2, 1), imshow(I);subplot(1, 2, 2), imshow(uint8(I2));平移后的图像显⽰如下：⼆.图像的旋转⼀般图像的旋转是以图像的中⼼为原点，旋转⼀定的⾓度，即将图像上的所有像素都旋转⼀个相同的⾓度。

图像的旋转变换也可以⽤矩阵变换表⽰。

设点P0(x0, y0)旋转θ⾓后的对应点为P(x, y)，则变换公式为：或者是利⽤公式进⾏图像旋转变换时，需要注意如下两点：①为了避免图像信息的丢失，图像旋转后必须进⾏平移变换。

②图像旋转之后，会出现许多空洞点，我们必须对这些空洞点进⾏填充处理，否则图像旋转后的效果不好,⼀般也将这种操作称作为插值处理。