大学概率论习题六详解.doc

概率论与数理统计课后答案第6章第6章习题参考答案1.设是取⾃总体X的⼀个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最⼤似然估计：（1），其中未知，；（2），其中未知，。

2.设是取⾃总体X的⼀个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，，求的矩估计与最⼤似然估计，如得到⼀组样本观测值X 0 1 2 3 4频数17 20 10 2 1求的矩估计值与最⼤似然估计值。

3.设是取⾃总体X的⼀个样本，其中X服从区间的均匀分布，其中未知，求的矩估计。

4.设是取⾃总体X的⼀个样本，X的密度函数为其中未知，求的矩估计。

5.设是取⾃总体X的⼀个样本，X的密度函数为其中未知，求的矩估计和最⼤似然估计。

6.设是取⾃总体X的⼀个样本，总体X服从参数为的⼏何分布，即，其中未知，，求的最⼤似然估计。

7. 已知某路⼝车辆经过的时间间隔服从指数分布，其中未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路⼝车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最⼤似然估计值。

8.设总体X的密度函数为，其中未知，设是取⾃这个总体的⼀个样本，试求的最⼤似然估计。

9. 在第3题中的矩估计是否是的⽆偏估计？解故的矩估计量是的⽆偏估计。

10.试证第8题中的最⼤似然估计是的⽆偏估计。

11. 设为总体的样本，证明都是总体均值的⽆偏估计，并进⼀步判断哪⼀个估计有效。

12.设是取⾃总体的⼀个样本，其中未知，令，试证是的相合估计。

13.某车间⽣产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布，从某天⽣产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。

14.假定某商店中⼀种商品的⽉销售量服从正态分布，未知。

为了合理的确定对该商品的进货量，需对和作估计，为此随机抽取七个⽉，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求的双侧0.95置信区间和⽅差的双侧0.9置信区间。

i习题一3 设,,B A 为二事件，化简下列事件：B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1(B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。

3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。

答案：.1k n k mn C C --6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则C 表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.45C不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C i i i41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-= 2113218177224161247720104060401011234789105453245224551=-=⋅⋅-=⋅++++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-= 7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过51的概率。

答案：518在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。

,0,0a y a x <<<<且a y x <+<0，又41222,,=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧--<---<--->+P ay a x a y x y x a x y y x a y x y x a y x 9在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。

第13次1在总体N （U 「2）中抽取样本 X !,X 2,X 3 （」已知，二2未知），指出X ! X 2 X 3,解 X 1 X 2 X 3 , X 2 2h , max(X 1 ,X 2,X 3) , |X 1—'X 31 是统计量2给定样本观测值92,94,103,105,106求样本均值和方差1解 X =丄(9294 103 105 106) =100 521 2 2 2 2 2S[(92 -100)(94 -100) (103-100)(105 -100) (106 -100)]5 -1=42.53在总体X ~ N(12,22)中随机抽取容量为 5的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率 2解 注意到 X~N (叫——)n - (2 丫有 X ~ N(12,)& 5丿13 _ 12 11 _ 12P{| X -12 | 1} =1 - P{11 ：： X ：： 13} =1 -[门( )一 门( 2 )]、5. 5=1一：门( )亠叫一 )=1一门()1一门()=0.26282 2 2 24 已知 X ~t(8)，求(1)P{X 2.306}，P{X <1.3968}(2)若 P{X }=0.01 求’解 (1)P{X 2.306} =0.025，P{ X ::: 1.3968} = P{ X 1.3968} = 1 - 0.1 = 0.9(2)P{X } =0.01= • - 2.89655 已知 X ~2(8)，求(1)P{X 2.18}，P{X :: 20.09}(2)若 P{X 「} =0.025求，(3)若 P{X ：： } =0.95 求■ 解(1)P{X 2.18} =0.975，P{X ：： 20.09} =1-P{X 20.09} = 1 -0.01 = 0.99(2) P{X •} =0.025 二，-17.534X 2 2」，max(X ,,X 2,X 3)|X i -X 3 I 哪些是统计量？2 2X iX 2 X2 3(3) P{X }=0.95 P{X . •} =0.05 二，-15.5076设总体X ~ N （3.2,62 3 4）, X ,,X 2,...,X n 是X 的样本，则容量n 应取多大，才能使得P{1.2 ：： X :: 5.2} _0.95P{1.2 ：：：X ：：5.2}二仁5^尹）一讥违竺）凡（亍）一讥一亍）n= ：.：，（ □）_：「（ 0） =2+（」）_1 _0.9533 3y' n Tn ：：」()_ 0.975 1.96 n_ 34.5 7 4433所以n 最小为35第14次1从某正态总体 X 取得样本观测值：14.7，15.1，14.8，15.0， 15.2，14.6，用矩法估计总体均值」和方差c 2 解」-X =1(14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6) =14.96A —1-X21 n--------------------------- 2 1 2 2 2 匚 (X i -X) [(14.7—14.9)(15.1—14.9)(14.8—14.9)n i 总 6(15.0-14.9)2 (15.2 -14.9)2 (14.6 -14.9)2] =0.28X 乞1 2总体x 的密度为p(x) =1 飞,样本为X 1,X 2 ,...X n 求二的矩法估计量归 ex 〉11 3总体x 的密度为p （x ）=1。

《概率论与数理统计》第六章习题exe6-1解：10()0x b f x b ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他01()()2bb E X xf x dx x dx b +∞-∞==⋅=⎰⎰ 令11μ=A ，即2b X =，解得b 的矩估计量为ˆ2b X = 2ˆ2(0.50.60.1 1.30.9 1.60.70.9 1.0) 1.6899bx ==++++++++= exe6-2解：202()()()3x E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞-==⋅=⎰⎰令11μ=A ，即,3θ=X 解得θ的矩估计量为ˆ3X θ= Exe6-3解：（1）由于12222()()()()(1)()E X mpE X D X E X mp p mp μμ==⎧⎨==+=-+⎩ 令 ⎩⎨⎧==.2211μμA A求解得221111p m p μμμμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，p, m 的矩估计量为22211(1)ˆ11ˆˆA A n S pA nX X m p ⎧--=-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Exe6-4解：（1）()E X λ= 令11μ=A ，即,λ=X 解得λ的矩估计量为ˆX λ= {}),2,1,0(!===-x e x x X P xλλ{}),2,1,0(!===-i i xi x e x x X P iλλ似然函数11111(){}()!!niii x n nx n i ni i i ii eL P X x e x x λλλλλ=--===∑====∏∏∏11ln ()()ln ln(!)nni i i i L n x x λλλ===-+-∑∑1ln ()0nii x d L n d λλλ==-+=∑解得λ的最大似然估计值为 11ˆni i x x n λ===∑ （2）由（1）知1ˆ(6496101163710)7.210x λ==+++++++++= Exe6-5解：（1）似然函数1(1)111(){}(1)(1)ni i i nnx x ni i i L p P X x p p p p =--==∑===-=-∏∏∑-==-ni i nx np p 1)1(1ln ()ln (1)ln ni i L p n p x p ==+-⋅∑)1ln()(ln 1p n x p n ni i --+=∑=1(1)ln ()01ni i x d L p n dp p p =-=-=-∑01)(ln 1=---=∑=pn x p ndp p L d ni i 解得p 的最大似然估计值为 11ˆnii npxx===∑ （2）155ˆ5174926px ===++++ Exe6-6解：由2()2()x f x μσ--=（1）2σ已知，似然函数221()()2211()(,)ni i i x nx n nii i L f x eμμσσμμ=----==∑===∏2211ln ())()2nii L n x μμσ==---∑21ln ()1(22)02nii d L x d μμμσ==--=∑即11()0nniii i x n xμμ==-=-=∑∑解得μ的最大似然估计值 1ˆnii xx nμ===∑（2）μ已知，似然函数为212222)(222)(12122121),()(σμσμπσσπσσ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛====----==∏∏ni i i x nx ni n i i e ex f L21222)(21)ln(2)2ln(2)(ln μσσπσ-∑---==n i ix n n L 0)()(212)(ln 2122222=-+-=∑=μσσσσni i x n L d d 解得∑=-=n i i x x n 122)(1ˆσ，故2σ的最大似然估计值为 .)(1ˆ122∑=-=n i i i x x n σ Exe6-7解：（1）矩估计量2220()()()(3)2xt x xt xx E X xf x dx x e dx e dx t e dt θθθθθθθθ=--+∞+∞+∞+∞--∞==⋅===Γ=⎰⎰⎰⎰令2X θ=，得ˆ/2X θ= 似然函数211()(,)ix n nii i i x L f x eθθθθ-====∏∏1111ln ()(ln 2ln )ln 2ln nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑ 令21ln ()210ni i d L n x d θθθθ==-+=∑解得θ的最大似然估计值为111ˆ22n ii x x n θ===∑ （2）2311()(,)2ixnni i i i x L f x e θθθθ-====∏∏331111ln ()[2ln ln(2)]2ln ln(2)nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑令2321ln ()1602nii d L n xd θθθθθ==-⋅-=∑013)(ln 1223=+⋅-=∑=ni ixn d L d θθθθθ解得θ的最大似然估计值为 111ˆ33ni i x x n θ===∑ （3） ),(~p m B X ，m 已知{}∏∏=-=-===ni x m x x m ni i i i ip p C x X P p L 11)1()(1111ln ()[ln ln ()ln(1)]ln ln ln(1)()i inx m i i i nnnx m i i i i i L p C x p m x p C p x p nm x =====++--=++--∑∑∑∑令 11ln ()01n ni ii i x nm x d L p dp p p==-=-=-∑∑即1111(1)1n nniiii i i x xxnmppp p p===+==---∑∑∑ 解得p 的最大似然估计值为 1ˆnii xxpmnm===∑ Exe6-8解：(1)似然函数为{}{}{})1(2)1(2121)(522θθθθθθθ-=⋅-⋅==⋅=⋅==X P X P X P L)1ln(ln 52ln )(ln θθθ-++=L 令 0115)(ln =--=θθθθL d d 解得θ的最大似然估计值为.65ˆ=θ Exe6-9解：2121222222)()(22)(12)(111212121),,(),,(),(σβαβασβασβασπσπσπβαβαβα∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=====+-+---+--=---===∏∏∏∏ni i n i i i i i i y x ny ni x ni n i i Y n i i X e eey f x f L))()((21ln 2)2ln(),(ln 21212βαβασσπβα+-∑+--∑---===ni i ni i y x n n L0))()((22),(ln 112=+-+--=∂∂∑∑==βαβασβααni i n i i y x L 0)()((22),(ln 112=+----=∂∂∑∑==βαβασβαβn i i n i i x x L 联立 解得,2ˆ,2ˆyx y x -=+=βα故βα,的最大似然估计量为 .2ˆ,2ˆYX Y X -=+=βαExe6-10解：（1）由1/2EX μθ==，得θ的矩估计量ˆ2X θ= ˆ()2()2()22E E X E X θθθ===⋅= 故θ的矩估计量ˆ2X θ=是θ的无偏估计量。

1、如果12,,,n X X X 为来自总体X 的样本,X 的分布函数为()F x ,则12,,,n X X X 的联合分布函数为 ;如果X 的概率密度为()f x ,则12,,,n X X X 的联合概率密度为 . 解()1n ii F x =∏,()1nii f x =∏2、设12345,,,,X X X X X 是来自总体(0,1)X N ~的样本,则521i i Z X ==~∑ . 解 2(5)Z χ~3、设X ～),(2σμN ,12,,,n X X X 为来自总体X 的样本,则()E X = ,()D X = . 解 12,,,n X X X 为来自总体X 的样本()()()()()()()()12212n n E X E X E X E X D X D X D X D X μσ∴==========()()11221111()11()n n i i i i n ni i i i E X E X E X n n D X D X D X n n nμσ====⎛⎫⎡⎤∴=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎡⎤===⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 4、设总体()X P λ~,12,,,n X X X 为来自X 的一个样本,则()E X =______,()D X =______. 解 12,,,n X X X 为来自总体X 的样本()()()()()()()()1212n n E X E X E X E X D X D X D X D X λλ∴==========()()1121111()11()n n i i i i n n i i i i E X E X E X n n D X D X D X n n nλλ====⎛⎫⎡⎤∴=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎡⎤===⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑5、如果22(4),(5)X Y χχ~~,且它们相互独立,则X Y +~ . 解 2(9)X Y χ+~6、如果2(10)X χ~,则()E X = ;()D X = . 解 ()10E X =,()20D X =.7、20.025(30)χ= ,20.05(61)χ= . 解 查表得20.025(30)46.979χ=(()2220.050.0511(61) 1.641179.884822z χ≈+=+=.8、设2(0,1),(100)X N Y χ~~,且,XY 相互独立,则统计量t =~. 解~(100)t t == 9、设(22)t t ~,则()E t = ；()D t = .解 22()0,() 2.2222E t D t ===-0.01 ,0.25 . 解 0.01(20) 2.5280t =,0.250.25(50)0.67t z ≈=.11、设22(20),(30)U V χχ~~,且,U V 相互独立,则统计量32UF V=~ . 解 320~(20,30)230U U F F V V ==. 12、若~(25,40)F F ,则1~F.解 1~(40,25)F F.13、若1~(,12)F F n ,则()E X = .解 ()121.2122E X ==-. 14、0.05(9,12)F = ,则()0.9512,9F = .解 0.050.950.0511(9,12) 2.80,(12,9)0.357(9,12) 2.80F F F ====.15、设12,,,n X X X 相互独立,2(,)i i iX N μσ~,则1n i i i a X η==~∑ .解 22111,nn ni i i i i i i i a X N a a ημσ===⎛⎫=~ ⎪⎝⎭∑∑∑16、设12,,,n X X X 是来自正态总体2~(,)X N μσ的样本,则X ~,X ~ . 解 ()2,X N n μσ~(0,1)X N ~ 17、设12,,,n X X X 相互独立,(0,1)i X N ~,则21~n i i T X ==∑ .解 221~()ni i T X n χ==∑18、设两个随机变量X 与Y 相互独立,并且2(0,1),()X N Y n χ~~,则T =~. 解 ()T t n =~ 二、计算题1、设总体()2~60,15X N ,从总体X 中抽取一个容量为100的样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.解 由已知2260,15,100n μσ===~(0,1)Z N =,即60~(0,1)15/10X Z N -=(|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-<2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-=2、从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上,求总体的标准差.解 ~(0,1)Z N =,由P (|X -μ|>4)=0.02得P |Z |>4(σ/n )=0.02,故210.02⎡⎤-Φ=⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即0.99.Φ=⎝⎭ 查表得2.33σ= 所以5.43.σ==。

⎝ 2 2⎠
2
则X
=Y
+θ
−
1 2
，
X (1)
= Y(1)
+θ
−
1 2
， X(n)
= Y(n)
+θ
−
1 2
，即
1 2
(
X
(1)
+
X(n)) =
1 2 (Y(1)
+ Y(n) ) + θ
−1 2
，
可得 E( X ) = E(Y ) + θ − 1 = E(Y ) +θ − 1 = θ ， Var(X ) = Var(Y ) = 1 Var(Y ) = 1 ，
y( n) 0
⎤ ⎥⎦
=
1 0
y(nn+)1dy(n)
=
n
1 +
2
y n+2 (n)
1 0
=
1 n+
2
，
即 Var(Y(1) )
=
(n
2 + 1)(n
+
2)
−
⎜⎛ ⎝
1 ⎟⎞2 n +1⎠
=
(n
n + 1)2 (n
+
2)
， Var(Y(n) )
=
n
n +
2
− ⎜⎛ ⎝
n ⎟⎞2 n +1⎠
=
(n
n + 1)2 (n
=
1 12n
>
Var⎢⎣⎡
1 2
( X (1)
+
X (n) )⎥⎦⎤
=
2(n
1 + 1)(n

1 1 1 1 E(X1 )+ E(X2 )= μ+ μ=μ; 2 2 2 2 1 1 1 1 1 D(X1 )+ D(X2 )= + = , 4 4 4 4 2
da
1
后 答
ˆ Eμ 1=E( X1 + X2 )=
1 3
2 3
1 2 1 2 E(X1 )+ E(X2 )= μ+ μ=μ; 3 3 3 3
使 c1 θ$
仍是θ的无偏估计量并在这一类无偏估计量中是有效估计量。
ˆ,θ ˆ是 θ 的两个互不相关的无偏估计量， 解：因为 θ 1 2 ˆ = Eθ ˆ = Eθ ，且 E c θ ˆ ˆ ˆ ˆ 所以 Eθ 1 2 1 1 + c 2θ 2 = c1 Eθ 1 + c 2 Eθ 2 = (c1 + c2 )Eθ =量， D( θ$
课
ˆ Dμ 1=D( X1 + X2 )=
1 3
2 3
1 4 1 4 5 D(X1 )+ D(X2 )= + = ; 9 9 9 9 9
1 3 1 3 E(X1 )+ E(X2 )= μ+ μ=μ; 4 4 4 4
1 9 1 9 5 D(X1 )+ D(X2 )= + = 16 16 16 16 8
∑ xi
i =1 n
ˆ= max{X , X ,L , X }。 所以 θ 的极大估计量为∴θ 1 2 n
λ
n ˆ= n / X = 1 。 ，∴λ的极大似然估计量 x λ ∑ i ∑ i X i =1 i =1
ww
∫ x(1 + α )x
α
dx = ∫ (1 + α )x

习 题
E X1 2X2 E X1 2E X2 0,
解 答
D X1 2X2 D X1 4E X2 4 44 20,
X1 2X2 ~ N 0, 20 同理：3X3 4X4 ~ N 0,100
且：X1
2
X
2与3X
3
4
X
独立
4
X1
2X 20
2
2
+
3X 3
4X 100
10
章
经验分布函数为：
习 题
1
19
31
解
pk 10 0
0 5 20 20 10
答
0 当x 4
1/10 当4 x 5
1/10 当5 x 6
F10
(x)=
3/10 15/20
当6 x 7 当7 x 8
15/20 当8 x 9
18/20
当9 x 10
1
当x 10
2021年3月20日1时32分
i1
n
e n
xi !
xi !
i 1
i 1
其中 xi （i = 1，2，…，n ）取值 0,1, …，n, …
2021年3月20日星期六
第
P132 练习6.1 题2
六 章
习
解
∵
总体
X
~
E
(
)，f
(
x)
e x
x0
；
0 x0
题 解 答
（X1 ，X2 ，…，Xn ）是来自总体 X 的样本，
∴ 样本概率密度为
P
2 16
0.1
答
2021年3月20日1时32分
P142 练习6.3 题2 样本（X1 ，X2 ，…，X10 ）

概率论第六章课后习题答案概率论第六章课后习题答案概率论是一门研究随机现象的数学分支，它在解决实际问题中具有广泛的应用。

第六章是概率论中的重要章节，主要涉及随机变量及其概率分布、数学期望和方差等内容。

在课后习题中，我们将通过解答一些典型问题，进一步加深对这些概念的理解。

1. 随机变量X的概率分布函数为F(x) ={ 0, x < 0{ 1/4, 0 ≤ x < 1{ 1/2, 1 ≤ x < 2{ 3/4, 2 ≤ x < 3{ 1, x ≥ 3(1) 求随机变量X的概率密度函数f(x)。

(2) 求P(0.5 ≤ X ≤ 2.5)。

解：(1) 概率密度函数f(x)是概率分布函数F(x)的导数。

根据导数的定义，我们可以得到：f(x) ={ 0, x < 0{ 1/4, 0 ≤ x < 1{ 1/2, 1 ≤ x < 2{ 1/4, 2 ≤ x < 3{ 0, x ≥ 3(2) P(0.5 ≤ X ≤ 2.5) = F(2.5) - F(0.5) = 3/4 - 1/4 = 1/2 2. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) ={ c(1 - x^2), -1 ≤ x ≤ 1{ 0, 其他(1) 求常数c的值。

(2) 求P(|X| > 0.5)。

解：(1) 概率密度函数f(x)的积分值等于1。

我们可以计算：∫[-1,1] c(1 - x^2) dx = 1解这个积分方程，可得c = 3/4。

(2) P(|X| > 0.5) = 1 - P(|X| ≤ 0.5)= 1 - ∫[-0.5,0.5] c(1 - x^2) dx= 1 - 3/4 ∫[-0.5,0.5] (1 - x^2) dx= 1 - 3/4 [x - x^3/3] |[-0.5,0.5]= 1 - 3/4 [(0.5 - 0.5^3/3) - (-0.5 + 0.5^3/3)] = 1 - 3/4 [0.5 - 0.5/3 - (-0.5 + 0.5/3)]= 1 - 3/4 [1/3]= 1 - 1/4= 3/43. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) ={ kx^2, 0 ≤ x ≤ 2{ 0, 其他(1) 求常数k的值。

些例外情形出现的概率趋于0)。
证明：
在n重伯努利试验中，设X i为第i次试验时事件A出现的 次数，则
1 当A出现 Xi 0 当A不出现
i 1, 2,
所有的i的概率分布都相同（都是0 1分布）
有相同的均值EXi 1 p 0 (1 p) p, DXi p(1 p)
频率pn
1 n
n i 1
较大的电影院。根据分析，该地区每天平均看电影 者约有n=1600人，预计新电影院开业后，平均约有 3/4的观众将去新电影院。现计划其座位数，要求座 位数尽可能多，但“空座达到200或更多”的概率不 能超过0.1，问设多少座位为好？
解：设每天看电影的人编号1,2,3,…,1600, 且令
1 若第i号观众去新影院
第6章 大数定理和中心极限定理
6.1 大数定理
学校有10000个学生，平均身高为a； 若随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。 若随意观察10个学生的身高X1, X2 ,…, X10 ，则10个数 据的均值(X1+X2+…+X10 )/10与a较接近； 若随意观察100个学生的身高X1, X2 ,…, X100 ，则100个 数据的均值(X1+X2+…+X100 )/100与a更接近； 若随意观察n个学生的身高X1, X2 ,…, Xn ，则n个数据的 均值(X1+X2+…+Xn ) / n 与a 随着n的增大而接近；
证明需要用契比雪夫不等式。
6.1.1 马尔科夫不等式
若Y是只取非负值的随机变量，则对任意常数 >0，
有 P(Y ) E(Y ) /
设Y的密度函数为f ( y), 证明：由于Y只取非负值，当y 0时，f ( y) 0

2 ⎪⎨ ⎪1 算了一次）或C 15 1种，故 P 1 2 2 ,其他结果类似 ⎩习 题 二（A ）三、解答题1. 一颗骰子抛两次，以 X 表示两次中所得的最小点数(1) 试求 X 的分布律； (2) 写出 X 的分布函数．解: (1)分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共 36 种，如果 X=1，则表明两次中至少有一点数为 1，其余一个 1 至 6 点均可，共有C 1 ⨯ 6 -1（这里C 1 指任选某次点22数为 1，6 为另一次有 6 种结果均可取，减 1 即减去两次均为 1 的情形，因为C 1 ⨯ 6 多⨯ + { = } = C 1 ⨯ 6 -1 = C 1⨯ 5 + 1 =11可得. (2)2⎧ 0 于 x < 136 36 36 ⎪P {X = 1}于1 ≤ x < 2 ⎪P {X = 1} + P {X = 2} 于 2 ≤ x < 3 F (x ) = ⎪P {X = 1} + P {X = 2} + P {X = 3} 于 3 ≤ x < 4⎪P {X = 1} + P {X = 2} + P {X = 3} + P {X= 4}于 4 ≤ x < 5 ⎪P {X = 1} + P {X = 2} + P {X = 3} + P {X = 4} + P {X = 5}于 5 ≤ x < 6 ⎪于 x ≥ 6X⎪ ⎨36 ⎪36 k != 10⎧ 0 于 ⎪11x < 1 ⎪ 于1 ≤ x < 2 ⎪36 ⎪ 20于 2 ≤ x < 3 ⎪36 = ⎪ 27 于⎪ ⎪32 于⎪3 ≤ x <4 4 ≤ x <5 ⎪35 于 5 ≤ x <6 ⎪36 ⎪⎩1 于 x ≥ 62. 某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各 5 只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出 5 只球，若 5 只球同色，则获奖 100 元，否则无奖， 以 X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求 X 的分布律．解：- 199i注意，这里 X 指的是赢钱数，X 取 0-1 或 100-1，显然 P {X = 99} =2 1 .5 126 3 k．设随机变量 X 的分布律为 P {X = k } = a k ! , k = 0,1,2, ;> 0 为常数，试求常数 a ．∞k--解：因为∑ a= ae k =0= 1 ，所以a = e .4．设随机变量 X 的分布律为X -1 2 3 p i1/41/21/4(2) 求 P {X ≤ 1}， P {3 < X ≤ 5}， P {2 ≤ x ≤ 3} ．2 2 2 解：C22 222 22i 2 ∞ ⎭ - ⎪ 0于x -10于 1 x -1(1) P { X 1}于 F ( x ) x 2 于 4 x 2 ， P { X } P { X 2}于 2 x 33于2 x 3 1于 x 34 1于x 3⎧ ≤ 1 ⎫ = p {X= -1} = 1 、 P ⎧ 3 < X ≤ 5 ⎫ = P {X = 2} = 1 ,(2) P ⎨X ⎬⎩ ⎭ ⎨ ⎬ 4 ⎩ ⎭2 P {2 ≤ X ≤ 3} = P {{X = 2} {X = 3}} = P {X = 2}+ P {X= 3} = 3. 45. 设随机变量 X 的分布律为 P {X = k } =1 , k = 1,2, 求： 2k(1) P {X = 偶数} (2) P {X ≥ 5} (3) P {X = 3 的倍数}解：(1) P {X = 于于} = 1+ 1 + + 1⎛ 1 ⎛ 1 ⎫ ⎫1 ⎪ + = lim ⎝ ⎭ ⎪ = 1 ，22 24 22ii →∞ ⎝1 ⎪ 3 22 ⎪(2) P X 1 X 1 1 11 11 15 1 ， 22 1⎡ 23⎛ 1 ⎫i ⎤ 24 16 163 ⎢1 - 3 ⎪ ⎥ (3) P {X = 3于于于}= ∑ 1 = lim 2 ⎢⎣ ⎝ 2 ⎭ ⎥⎦ = 1 . i =1 23i i →∞1 -1 7 236. 某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X 服从参数为 0.5t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）(1) 求某一天中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率． (2) 求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到一次紧急呼救的概率． 解：(1) X ~ P (0.5t ) = P (1.5) P {X = 0}= e -1.5 .(2) 0.5t = 2.5P {x ≥ 1}= 1 - P {x = 0}= 1 - e -2.5 .7. 某人进行射击，每次射击的命中率为 0.02，独立射击 400 次，试求至少击中 2 次的概率．1 -4005 ⎪解：设射击的次数为 X ，由题意知 X ~ B (400，0.2),1P {X ≥ 2}= 1- P {X ≤ 1}= 1- ∑C k0.02k 0.98400-k , k =0由于上面二项分布的概率计算比较麻烦，而且 X 近似服从泊松分布 P (λ)（其中λ=400×0.02），所以查表泊松分布函数表得：P {X ≥2}8k e 8k !P {X ≥2} ≈ 1- 0.28 = 0.99728. 设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号．现进行 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率．解：设 X 为事件 A 在 5 次独立重复实验中出现的次数， X ~ B (5于0.3) 则指示灯发出信号的概率p = P {X ≥ 3}= 1 - P {X < 3}= 1 - (C 0 0.300.75 + C 1 0.310.74 + C 2 0.320.73 )555= 1 - 0.8369 = 0.1631 .9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X （以分钟计）服从参数为 5 指数分布．某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟，他就离开．他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数．写出 Y 的分布律，并求 P {Y ≥ 1}．- x解：因为 X 服从参数为 5 的指数分布，则 F (x ) = 1 - e5， P {X > 10}= 1 - F (10) = e -2 ，Y ~ B (5 于 e -2 ),则 P {Y = k } = C k (e -2 )k (1 - e -2 )5-k , k = 0,1, 5 . P {Y ≥ 1} = 1- P {Y = 0} = 1-于 1- e -2于5 = 0.5167⎧a cos x , 10.设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) = ⎨ | x |≤ 2 ，试求：(1) 系数 a ；(2) X 落在区间(0,) 内的概率．4⎪ 0, ⎩ | x |> 2解：(1) 由归一性知：1 =+∞f (x )dx -∞ 2a cos xdx = 2a ，所以 a = 1. - 22⎰ ⎰ ， =0 ⎨ ⎨ ⎨ ≤ 1 1 2 (2) . P {0 < X < } = 4 4 cos xdx = 0 2sin x | 4 = 2 ⎧0, . 4 x < 0 11. 设连续随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) = ⎪ Ax 2, ⎪⎩1, 0 ≤ x < 1x ≥ 1 试求：(1) 系数 A ；(2) X 落在区间(0.3，0.7)内的概率；(3) X 的概率密度．解 （1）由 F (x )在 x =1 的连续性可得lim F (x ) = lim F (x ) = F (1) ，即 A=1.x →1+x →1-（2）P {0.3 < X < 0.7}= F (0.7) - F (0.3) = 0.4 . （3）X 的概率密度 f (x ) = F '(x ) =⎧2x ,0 < x < 1.⎩0,12. 设随机变量 X 服从(0，5)上的均匀分布，求 x 的方程 4x 2 + 4 X x + X + 2 = 0 有实根的概率．⎧1解：因为 X 服从（0，5）上的均匀分布，所以 f (x ) = ⎪5 ⎪⎩0 < x < 5其他 若 方 程 4x 2 + 4 X x 2 + X + 2 = 0 有 实 根 ， 则 ∆ = (4 X )2 - 16 X - 32 ≥ 0 ， 即(x - 2)( X +1) ≥ 0 ，得 X ≥ 2 或 X ≤ -1，所以有实根的概率为 p = P {X ≥ 2}+ P {X ≤ -1}= 51dx + -1 0dx = 1 x 5 = 313．设 X ～N (3，4)⎰2 5 ⎰-∞5 2 5(1) 求 P {2 < X ≤ 5}, P {-4 < X ≤ 10}, P { X (2) 确定 c 使得 P {X > c } = P {X ≤ c };> 2}, P {X > 3}; (3) 设 d 满足 P {X > d } ≥ 0.9 ，问 d 至多为多少?解: (1) 因为X ~ N (3于4) 所以 P {2 < X ≤ 5} = P {2 -3 < X - 3 5 - 3} = P {-0.5 < X - 3 ≤ 1} 2 2 2 2(1) (0.5) (1) (0.5) 1 0.8413 0.6915 1 0.5328⎰ 0( P {- 4 < X ≤ 10} = = 10 - 3) -( - 4 - 3)2 2P {X =(3.5) -(-3.5) = 2(3.5) - 1 = 2 ⨯ 0.9998 - 1 = 0.9996> 2}= 1 - P {X ≤ 2} = 1 - P {- 2 ≤ X ≤ 2}= 1 - [F (2) - F (-2)] = 1 - [ Φ(-0.5) - Φ(-2.5) ] = 1 - [ Φ(2.5) - Φ(0.5) ] = 1 - 0.3023 = 0.6977P {X > 3} = 1 - P {X ≤ 3} = 1 - F (3) = 1 - Φ(0) = 1- 0.5 = 0.5 .(2)P {X > c }= 1- P {X ≤ c }，则 P {X ≤ c } = 1 = F (c ) = Φ( c - 3) = 1，经查表得2 2 2Φ(0) = 1 ，即 c - 3= 0 ，得c = 3 ；由概率密度关于 x=3 对称也容易看出。

《概率论与数理统计》习题及答案第 六 章1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X L ，求样本的分布.解 样本12(,,,)n X X X L 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为11221(,,,)()nn n ii i P X k X k X k P Xk ======∏L 1!ikni i e k λλ-==∏112!!!ni i n k n e k k k λλ=-∑=L 0,1,i k =L ，1,2,,,i n =L 2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/λ的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n 件零件构成一个容量为n 的样本，求样本分布。

解 零件的加工时间为总体X ，则~()X E λ，其概率密度为,0,()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩于是样本12(,,,)n X X X L 的密度为1121,0(,,,)0,.nii ix nnx i n i e x f x x x e λλλλ=--=⎧∑⎪>==⎨⎪⎩∏K 其它 1,2,,i n =L 3．一批产品中有成品L 个，次品M 个，总计N L M =+个。

今从中取容量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当,/N M N p →∞→时样本分布为（6.1）式中2n =的情况。

解 总体~(01)X -，即(0),(1)L MP X P X N N==== 于是样本12(,)X X 的分布如下 121(0,0)1L L P X X N N -===⋅-，12(0,1)1L M P X X N N ===⋅-12(1,0)1M L P X X N N ===⋅-，121(1,1)1M M P X X N N -===⋅- 若N →∞时M p N →，则1Lp N→-，所以2002012(0,0)(1)(1)P X X p p p +-==→-=-012112(0,1)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-102112(1,0)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-2112212(1,1)(1)P X X p p p +-==→=-以上恰好是（6.1）式中2n =的情况.4．设总体X 的容量为100的样本观察值如下：15 20 15 20 25 25 30 15 30 25 15 30 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30433545304530454535作总体X 的直方图解 样本值的最小值为15，最大值为45取14.5a =，45.5b =，为保证每个小区间内都包含若干个观察值，将区间[14.5,45.5]分成8个相等的区间。

第六章习题6-11、由一致估计的定义，对0ε∀>{}{}{}()1212max ,,,max ,,,n n P X X X P X X X θεεθεθ-<=-+<<+()()F F εθεθ=+--+()0, 0, 01, X x xF x x x θθθ<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩及(){}()()()()1212max ,,,n n X X X X X X F x F x F x F x F x ==⋅⋅⋅()1F εθ∴+=(){}()12max ,,,1nn x F P X X X εθεθθ⎫⎛-+=<-+≈- ⎪⎝⎭{}()12max ,,,111()nn x P X X X n θεθ⎫⎛∴-<=--→→∞ ⎪⎝⎭2、证明：EX μ=()1111111ni i n n i i i i nn n i i i i i i i i a X E a E X a a a a μμ======⎫⎛⎪ ⎪ ==⋅=⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 11niii nii a Xa==∴∑∑是μ的无偏估计量3、证明： ()() ()()22D E E θθθ=-()() ()()()2222E D E D θθθθθθ∴=+=+> 2θ∴不是2θ的无偏估计量4、证明：()~X P λEX λ∴=，()()222E X DX EX λλ=+=+()22E X EX λ∴-=，即()22E X X λ-=用样本矩2211n i i A X n ==∑，1A X =代替相应的总体矩()2E X 、EX所以得2λ的无偏估计量： 22111n i i A A X X n λ==-=-∑ 5、()~,X B n p ，EX np ∴=()()()()22222111E X np p n p np n n p EX n n p =-+=+-=+-()()()()222111E X EX E X X p n n n n -⎫⎛∴=-=⎪ --⎝⎭所以用样本矩2211n i i A X n ==∑，1A X =分别代替总体矩()2E X 、EX得2p 的无偏估计量： ()()()222121111ni i i A A p X X n n n n =-==---∑6、()~,1X N m ，()i E X m ∴=，()1i D X =，(1,2)i =()()()11212212121333333E m E X X E X E X m m m ⎫⎛∴=+=+=+= ⎪⎝⎭()()()1121221414153399999D m D X X D X D X ⎫⎛=+=+=+= ⎪⎝⎭同理可得： ()2E m m =， ()258D m =， ()3E m m =， ()212D m =123,,m m m ∴都是m 的无偏估计量，且在 123,,m m m 中， 3m 的方差最小习题6-21、（1）()11cccEX x c xdx cx dx θθθθθθθθ+∞+∞-+-=⋅==-⎰⎰EXEX cθ∴=-，令X EX =X X c θ∴=-为矩估计量，θ的矩估计值为 x x cθ=-，其中11n i i x x n ==∑似然函数为：()()11211,,,;nnn n n ii i i L x x x c xcx θθθθθθθ-+-====∏∏ ，i x c > 对数似然函数：()()()1ln ln ln 1ln nii L n n c x θθθθ==+-+∑求导，并令其为0，得：1ln ln ln 0ni i d L nn c x d θθ==+-=∑ 1ln ln Lnii nx n cθ=∴=-∑，即θ的最大似然估计量为 1ln ln Lnii nXn cθ==-∑（2）21111EX EX x x dx EX θθθθθ-⎫⎛=⋅=⇒= ⎪--⎝⎭⎰ 以X EX =，得： 21X X θ⎫⎛=⎪ -⎝⎭为θ的矩估计量θ的矩估计值为： 21x x θ⎫⎛=⎪ -⎝⎭，其中11ni i x x n ==∑ 而()1121211,,,;n nnn i i i i L x x x x x θθθθθ--==⎫⎛==⎪⎝⎭∏∏ ，01i x ≤≤()()1ln ln 1ln 2nii nL x θθθ=∴=+-∑令1ln 11ln 022ni i d L n x d θθθ==+⋅⋅=∑， 21ln L ni i n x θ=⎫⎛⎪ ⎪ ∴=⎪⎪⎝⎭∑ 所以θ的最大似然估计量 21ln L ni i n x θ=⎫⎛⎪ ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭∑ （3）()~,X B m p ，EXEX mp p m∴=⇒=p ∴的矩估计量： 111n i i X p X X m mn m====∑p ∴的矩估计值为： 11n i i p x mn ==∑ 而()()()111211,,,;11nniii i ii i i nnx m x m x x x x n mm i i L x x x p Cpp C pp ==--==∑∑=-=⋅⋅-∏∏ ，0,1,,ix m = ()()()111ln ln ln ln 1i nnn x mi i i i i L p C x p m x p ====+⋅+-⋅-∑∑∑令() 111ln 111101n n n i i L ii i i d L x m x p x x dp p p mn m ====⋅--⋅=⇒==-∑∑∑ p ∴的最大似然估计量为： 1L p X m=2、（1）()01;2EX xf x dx xdx θθθθ+∞-∞===⎰⎰令11n i i EX X X n ===∑，22X X θθ∴=⇒=2X θ∴= （2）由观测的样本值得：6111(0.30.80.270.350.620.55)0.481766i i x x ===+++++≈∑20.9634x θ∴== 3、由1111122EX X θθθθθ+=⨯+⨯++⨯== 21X θ∴=-为θ的矩估计量 4、设p ：抽得废品的概率；1p -：抽得正品的概率 引入{1, i i X i =第次抽到废品0,第次抽到正品，1,2,,60i =()1i P X p ∴==，()01i P X p ==-，且i EX p =所以对样本1260,,,X X X 的一个观测值1260,,,x x x由矩估计法得，p 的估计值为： 601141606015ii p x ====∑，即这批产品的废品率为1155、()()2212213132EX θθθθθ=⨯+⨯-+⨯-=-，()1412133x =⨯++=EX x = ， 3526x θ-∴==为矩估计值 ()()()()()()()34511223312121i i i L P X x P X x P X x P X x θθθθθθ========⋅⋅-=-∏()()ln ln25ln ln 1L θθθ=++-令() ln 1155016Ld L d θθθθθ=⨯-=⇒=- 6、（1）λ的最大似然估计 LX λ=， ()0LX P X e e λ--∴=== （2）设X ：一个扳道员在五年内引起的严重事故的次数()~X P λ∴，122n =得样本均值：5011(044142221394452) 1.123122122r r x r s ==⨯⋅=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑()1.12300.3253x P X e e --∴====习题6-33、从总体中抽取容量为n 的样本12,,,n X X X 由中心极限定理：()~0,1,/X U N n nμσ-=→∞（1）当2σ已知时，近似得到μ的置信度为1α-的置信区间为：22,X u X u n n αασσ⎫⎛-⋅+⋅⎪ ⎝⎭ （2）当2σ未知时，用2σ的无偏点估计2s 代替2σ：~(0,1),/X N n s nμ-→∞于是得到μ的置信度为1α-的置信区间为：22,s s X u X u n n αα⎫⎛-⋅+⋅⎪ ⎝⎭一般要求30n ≥才能使用上述公式，称为大样本区间估计 4、40n = 属于大样本，2,X N n σμ⎫⎛∴⎪ ⎝⎭ 近似μ∴的95%的置信区间近似为：2x u n ασ⎫⎛±⋅⎪ ⎝⎭其中642x =，3σ=，40 6.32n =≈，21.96u α=()23642 1.966420.9340x u n ασ⎫⎛⎫⎛∴±⋅=±⨯≈±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故μ的95%的置信区间上限为642.93，下限为641.075、100n =属于大样本，2~,X N n σμ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭近似μ∴的99%的置信区间近似为：2x u n ασ⎫⎛±⋅⎪ ⎝⎭其中10x =，3σ=，100n =，22.58u α=()()2310 2.58100.7749.226,10.774100x u n ασ⎛⎫⎛⎫∴±⋅=±⨯=±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此可知最少要准备10.77410000107740()kg ⨯=这种商品，才能以0.99的概率满足要求。

解：因 E(Y ) = aE( X1) + bE( X 2 ) = aµ + bµ = (a + b)µ = µ ， 故 Y 是µ 的无偏估计；
因 Var(Y ) = a2 Var( X1) + b2
Var( X 2 ) = a2
⋅σ2 n1
+ (1 − a)2 ⋅ σ 2 n2
=
⎜⎜⎝⎛
n1 + n2 n1n2
xn是来自n1的样本由正态分布可加性知x服从正态分布??????nn1则?????????dxxsndxnxssexnxnnxn222222ee2e2因es可知对任意的反常积分???dxxsxnxn22e收敛6则由参数的任意性以及该反常积分在?与两个方向的收敛性知?????dxxsxnxn22e收敛因xnxsxsxnxnxnxn???????????????2222ee且yey有1?2222eexnxnxnxnxn????则由?????dxxsxnxn122e的收敛性知?????????????dxxsxnxn22e一致收敛可得?????dxxsnsexnxnn2222ee2关于参数可导与es在0处不可导矛盾故g没有无偏估计
nλ n −1
，
故1/ X 不是λ的无偏估计．
3． 设θˆ 是参数θ 的无偏估计，且有 Var(θˆ) > 0 ，试证 (θˆ)2 不是θ 2 的无偏估计．
证：因 E(θˆ) = θ ，有 E[(θˆ)2 ] = Var(θˆ) + [E(θˆ)]2 = Var(θˆ) + θ 2 > θ 2 ，故 (θˆ)2 不是θ 2 的无偏估计．
⋅ n ⋅ (−1)d ( y(n)
−
y(1) )n−1
∫ ∫ =

第六章 样本及抽样分布1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。

解：8293.0)78()712(}63.68.163.65263.62.1{}8.538.50{),363.6,52(~2=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P N X2.[二] 在总体N （12，4）中随机抽一容量为5的样本X 1，X 2，X 3，X 4，X 5. （1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。

（2）求概率P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}. （3）求概率P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>10}.解：（1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=>-25541225415412}112{|X P X P X P=2628.0)]25(1[2=Φ- （2）P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}=1－P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≤15} =.2923.0)]21215([1}15{1551=-Φ-=≤-∏=i i X P （3）P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)<10}=1－ P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≥10} =.5785.0)]1([1)]21210(1[1}10{15551=Φ-=-Φ--=≥-∏=i iXP 4.[四] 设X 1，X 2…，X 10为N （0，0.32）的一个样本，求}.44.1{1012>∑=i iXP解：)5(1.0}163.0{}44.1{),10(~3.0101221012221012查表=>=>∑∑∑===i i i i i i X P X P χX7．设X 1，X 2，…，X n 是来自泊松分布π (λ )的一个样本，X ，S 2分别为样本均值和样本方差，求E (X ), D (X ), E (S 2 ).解：由X ~π (λ )知E (X )= λ ，λ=)(X D∴E (X )=E (X )= λ, D (X )=.)()(,)(2λX D S E nλn X D === [六] 设总体X~b (1,p)，X 1，X 2，…，X n 是来自X 的样本。

一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：(5)检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8)在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

习题6-11. 若总体(2,9)X N :, 从总体X 中抽出样本X 1, X 2, 问3X 1-2X 2服从什么分布?解 3X 1-2X 2～N(2, 117).2. 设X 1, X 2, …, X n 是取自参数为p 的两点分布的总体X 的样本, 问X 1, X 2, …, X n 的联合分布是什么?解 因为总体X 的分布律为P {X =k }= p k (1-p )1-k , k =0,1,…,所以样本X 1, X 2, …, X n 的联合分布为11221111111{,}(1)(1)(1)(1).n nnniii i x x x x x x n n X n X P X x X x p p p p p p p p ==----==⋅-⋅-⋅⋅-∑∑=⋅-…,=…习题6-21. 选择题(1) 下面关于统计量的说法不正确的是( ).(A) 统计量与总体同分布. (B) 统计量是随机变量. (C) 统计量是样本的函数. (D) 统计量不含未知参数.解 选(A).(2) 已知X 1,X 2,…,X n 是来自总体2(,)X N μσ:的样本, 则下列关系中正确的是( ).(A) ().E X n μ= (B) 2().D X σ=(C)22().E S σ= (D) 22().E B σ=解 选(C).(3) 设随机变量X 与Y 都服从标准正态分布, 则( ).(A) X +Y 服从正态分布.(B) X 2+Y 2服从2χ分布.(C)X 2和Y 2都服从2χ分布. (D)22X Y服从F 分布.解因为随机变量X 与Y 都服从标准正态分布, 但X 与Y 不一定相互独立,所以(A),(B),(D)都不对, 故选(C).2. 设X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 的样本, 总体X 的均值μ已知,方差σ2未知. 在样本函数1nii X=∑,1nii Xμσ=-∑,1nii XSμ=-∑, n μ(21X +22X +…+2n X )中, 哪些不是统计量?解1nii Xμσ=-∑不是统计量.3. 设总体X 服从正态分布21(,)N μσ, 总体Y 服从正态分布22(,)N μσ,112,,,n X X X L 和 212,,,n Y Y Y L 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 求12221112()()2.n n i j i j X X Y Y E n n ==-+-+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑解 因为 122111[()]1ni i E X X n σ=-=-∑, 222121[()]1n j j E Y Y n σ=-=-∑ 习题6-31．填空题 (1) 设总体~(2,25)XN ,12100,,,X X X L 是从该总体中抽取的容量为n 的样本, 则()E X = ; ()D X = ; 统计量~X .解 因为总体~(2,25)X N , 而12100,,,X X X L 是从该总体中抽出的简单随机样本, 由正态分布的性质知, 样本均值也服从正态分布, 又因为1001111(()22100)nii i E E X nX =====∑∑,而1002111125(()251001)1004ni i i D D X nX ======∑∑. 所以1~(2,)4N X .(2) 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,12,,,n X X X L 是来自X 的简单随机样本, 则统计量服从 分布;服从 分布;222=12(1)()nii n SXX σσ--=∑服从 分布;212()nii Xμσ=-∑服从 分布.解 由抽样分布定理知,2~(,)X N nσμ. 再由正态分布的标准化公式,服从标准正态分布.由抽样分布定理知,服从自由度为n -1的t 分布.由抽样分布定理知,22(1)n S σ-服从自由度为n -1的2χ分布.由题设, 2~(,),1,2,,i X N i μσ=L 所以~(0,1),1,2,.i X N i μσ-=L再由2χ分布的定义知, 212()nii Xμσ=-∑服从自由度为n 的2χ分布.(3) 设12,,,n X X X L,1,,n n m X X ++L 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n +m 的样本, 则统计量2121ni i n mi i n m X n X =+=+∑∑服从的分布是 .解 因为2121nii n mii n m Xn X=+=+∑∑=2121nii n mii n XnXm=+=+∑∑, 而2212~()nii Xn χσ=∑,2212~()n mii n Xm χσ+=+∑.由F 分布的定义, 得到2121~(,)ni i n mi i n m X F n m n X =+=+∑∑.2. 选择题(1) 设随机变量21~()(1),X t n n Y X >=, 则下列关系中正确的是( ).(A) 2~()Y n χ. (B) 2~(1)Y n χ-. (C) ~(,1)Y F n . (D) ~(1,)Y F n解 由题设知,X =, 其中2~(0,1),~()U N V n χ, 于是21Y X ==221UV V n n U =,这里22~(1)Uχ, 根据F 分布的定义知21~(,1).Y F n X=故应选(C).(2) 设z α,2αχ(n ),()t n α,12(,)F n n α分别是标准正态分布N (0,1)、2χ(n )分布、t 分布和F 分布的上α分位点, 在下列结论中错误的是( ).(A)1z z αα-=-. (B) 2αχ(n )=1-21αχ-(n ).(C) 1()()t n t n αα-=-. (D) 121211(,)(,)F n n F n n αα-=.解 应选(B).3. 在总体2(52,6.3)N 中随机抽取一个容量为36的样本, 求样本均值X落在50.8到53.8 之间的概率.解 因为2~(,)X N n σμ,所以26.3~(52,)36X N .于是, 标准化随机变量52~(0,1)6.3X N -.因此(50.852)6(52)6(53.852)6{50.853.8}{}6.3 6.36.3X P X P -⨯-⨯-⨯=≤≤剟10.87.2()()0.82936.36.3ΦΦ-=-=.4. 已知1210,,,X X X L 是来自正态总体2(0,)X N σ:的样本, 求概率{<2.82}P X S .解 由定理1知,2229(0,1),(9),XS N χσσ::因此(9)XXt S=:, 所以 { 2.82}{2.82}1{ 2.82}10.010.99.X XP XS P P S S<=<=->=-=。