四川大学概率统计往年期末试题

《概率论与数理统计》期末试卷一、填空题（每题4分，共20分）1、假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则A 和B 的关系是_______________。

2、设随机变量)(~λπX ，且{}{},21===X P X P 则{}==k X P _____________。

3、设X 服从参数为1的指数分布，则=)(2X E ___________。

4、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~Y X Z -=___________。

5、),16,1(~),5,1(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，令12--=Y X Z ，则=YZ ρ____。

二、选择题（每题4分，共20分）1、将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ）A 、323B 、83C 、161D 、812、随机变量X 和Y 的,0=XY ρ则下列结论不正确的是（ ） A 、)()()(Y D X D Y X D +=- B 、a X +与b Y -必相互独立 C 、X 与Y 可能服从二维均匀分布 D 、)()()(Y E X E XY E =3、样本nX X X ,,,21 来自总体X ，,)(,)(2σμ==X D X E 则有（ ）A 、2i X )1(n i ≤≤都是μ的无偏估计 B 、X 是μ的无偏估计C 、)1(2n i X i ≤≤是2σ的无偏估计D 、2X 是2σ的无偏估计 4、设nX X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN 的样本，其中μ已知，2σ未知，则下列不是统计量的是（ ） A 、ini X ≤≤1min B 、μ-X C 、∑=ni iX 1σ D 、1X X n -5、在假设检验中，检验水平α的意义是（ ） A 、原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率 B 、原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率 C 、原假设0H 成立，经检验不能拒绝的概率D 、原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率三、计算题（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为求：X 的分布函数，（2）)(X D 。

四川大学期末考试试卷 概率论与数理统计（03-04）一、 单项选择（每题3分，共15分）1． 设A 、B 、C 是三事件，则A 发生而B 、C 不发生可表为：CB A A ⋃⋃)(CB A B ⋃⋂)(CB AC ⋃⋃)(CB A D ⋃⋂)(2、设A 、B 为两事件，1)(0<<A P ，且1)(=A B P ，则（ ）成立互斥与B A A )()(=）（AB P BAB C ⊂)(1)(=）（B P D3、若随机变量X 是有密度函数8)1(2221)(--=x ex f π，则=-)12(2X E （ ） 1)(A2)(B3)(C9)(D4、若随机变量X 的方差为2，由切比雪夫不等式，≤≥-)1)((aX E XP （）2)(A1)(B22)(aC22)(aD5、设总体X~),(2σμN ，2σ未知，521,,X X X 为总体的一个样本，则检验00:μμ=H 可以使用统计量（ ）5/)(0S X A μ-5/)(0σμ-X B4/)(0S X C μ-σμ0)(-X D二、 填空（每题3分，共15分）1、 某城的电话号码是一个8位数，今任取一个号码，则第一位是偶数，其余各位不相同，且没有一位是8的概率是（ ）（只列式，不计算） 2、 设X 有分布律X~⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1.02.03.04.04201，则方差D （X ）=（ ）3、 设X 服从参数为91=λ的指数分布，则概率=≤<)93(XP （ ）4、 设)3.0;4,9;2,1(~),(N Y X ，则方差=-)(Y X D （ ）5、 设总体)4,(~μN X，1621,,X X X 为来自总体的一个容量为16的样本，求得X =10，则μ的置信度为95%的置信区间为（ ）（96.1,645.1975.095.0==u u ）三、 解答题1（9分）设机器正常时，生产合格品的概率为90%，不正常时生产合格品的概率为40%，设机器的无故障率为90%，某天工人上班时，先开机生产一件产品，发现不合格，问当日机器不正常的概率是多少？2（12分）设X 有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+=elsex x A x f 0111)(2求（1）A=？ （2）=≤)33(XP （3）若3XY=，求)(y f Y3（9分）某产品的次品率为8%，（1）任取8件这样的产品，求至少2件为次品的概率；（2）任取100件这种产品，用泊松定理计算至少有2件次品的概率；（3）用中心极限定理计算（2） 附：正态分布表见书4（18分）如图，（X ，Y ）有联合密度⎩⎨⎧∈=elseG y x yy x f 0),(6),( 求：（1） 边缘密度)(x f X ，)(y f Y（2） 边缘数字特征E （X ），E （Y ），D （X ），D （Y ） （3） X 与Y 的协方差及相关系数 （4） X 与Y 是否独立？5（8分）某糖厂自动包装机包装出厂砂糖，每袋重量服从正态分布，其标准重kg500=μ，某日开工后，任取10袋称重，测得kgx i i2.492101=∑=，2101272.8)(kgx xi i=-∑=，（1） 在α=0.05下，检验当日平均重是否偏轻； （2） 求该日包装砂糖平均重的95%置信区间。

《线性代数、概率论》期末考试试卷答案一、选择题（每小题后均有代号分别为A, B, C, D的被选项, 其中只有一项是正确的, 将正确一项的代号填在横线上，每小题2分，共40分）：1．行列式G的某一行中所有元素都乘以同一个数k得行列式H，则------------C-------------;(A) G=H ；(B) G= 0 ；(C) H=kG ；(D) G=kH 。

2．在行列式G中，A ij是元素a ij的代数余子式，则a1j A1k+ a2j A2k+…+a nj A nk--------D------;(A) ≠G (j=k=1,2,…,n时) ；(B) =G（j, k=1,2,…,n; j≠k时) ；(C) =0 (j=k=1,2,…,n时) ；(D) =0（j, k=1,2,…,n ;j≠k时) 。

3．若G，H都是n⨯ n可逆矩阵，则----------B------------；(A) (G+H)-1=H-1+G-1；(B) (GH)-1=H-1G-1；(C) (G+H)-1=G-1+H-1；(D) (GH)-1=G-1H-1。

4．若A是n⨯ n可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵, 则--------A----------；(A) |A*|=|A|n-1；(B) |A*|=|A|n ；(C) |A*|=|A|n+1；(D) |A*|=|A|。

5．设向量组α1, α2,…,αr (r>2)线性相关, 向量β与α1维数相同，则------------C----------- (A) α1, α2,…,αr-1 线性相关；(B) α1, α2,…,αr-1 线性无关；(C) α1, α2,…,αr ,β线性相关；(D) α1, α2,…,αr ,β线性无关。

6．设η1, η2, η3是5元齐次线性方程组AX=0的一组基础解系, 则在下列中错误的是D-------------------(A) η1, η2, η3线性无关；(B) X=η1+η2+ η3是AX=0的解向量；(C) A的秩R(A)=2；(D) η1, η2, η3是正交向量组。

《概率论》期末 A 卷考试题一填空题（每小题2分，共20 分)1．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，则目标被击中的概率为（）。

2．设，则（).3．设随机变量的分布函数为,则（），( ）.4．设随机变量服从参数为的泊松分布，则( )。

5．若随机变量X的概率密度为，则（）6．设相互独立同服从区间(1,6)上的均匀分布，（）.7．设二维随机变量(X,Y）的联合分布律为X Y 1 21则8．设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为，则（)9．若随机变量X与Y满足关系，则X与Y的相关系数（）。

10.设二维随机变量，则( ）.二．选择题（每小题2分，共10 分)1．设当事件同时发生时事件也发生，则有（）.2．假设事件满足，则（）。

（a) B是必然事件(b）（c) （d)3．下列函数不是随机变量密度函数的是( ).（a) (b）(c）(d）4．设随机变量X服从参数为的泊松分布，则概率( ）。

5．若二维随机变量（X，Y）在区域内服从均匀分布，则=（）.三、解答题(1—6小题每题9分，7-8小题每题8分,共70分）1.某工厂有甲、乙、丙三车间，它们生产同一种产品，其产量之比为5:3：2, 已知三车间的正品率分别为0。

95, 0。

96, 0.98。

现从全厂三个车间生产的产品中任取一件，求取到一件次品的概率。

2．设10件产品中有3件次品,从中不放回逐一取件，取到合格品为止.(1)求所需取件次数的概率分布；（2）求的分布函数.3．设随机变量的密度函数为.（1）求参数；（2）求的分布函数；(2）求.4．设随机变量的密度函数为，求的密度。

5．设二维随机变量（X，Y）在区域内服从均匀分布，求（X，Y）的联合密度函数与两个边缘密度函数，并判断是否独立。

6．设随机变量的数学期望均为0，方差均为1，且任意两个变量的协方差均为.令,求的相关系数。

.7．设X与Y相互独立且同服从参数为的指数分布，求的密度函数。

2020年大学必修课概率论与数理统计期末考试卷及答案(完整版)一、单选题1、设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H0成立时，样本值(X1,x2，…，x n)落入W的概率为0.15,则犯第一类错误的概率为 _____________ 。

(A) 0.1 (B) 0.15 (C) 0.2 (D) 0.25【答案】B2、对于事件人，B，下列命题正确的是(A)若A，B互不相容，则X与B也互不相容。

(B)若A，B相容，那么X与B也相容。

(C)若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立。

(D)若A，B相互独立，那么X与B也相互独立。

【答案】D3、在一次假设检验中，下列说法正确的是______(A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误⑻如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误。

增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误【答案】A4、若X〜t(n)那么％2〜A) F(1,n) B) F(n,1) C)殍(n) D) t(n)【答案】A5、在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有(A)样本值与样本容量(B)显著性水平a (C)检验统计量 (D)A,B,C同时成立【答案】D6、若X〜t(n)那么X2〜A) F(1,n)B) F(n,1) C) X2(n)D) t(n)【答案】A7、下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是11F (x ) = + — arctan x2兀【答案】B 8、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。

则第二人取到黄球的概率是【答案】B 9、设X 〜N（从,o 2）,那么当o增大时，尸{X 一四＜o} =A ）增大B ）减少C ）不变D ）增减不定。

【答案】C 10、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为。

《习题册》参考答案及解答第1－2页《样本空间与事件》一．1.D 2.C 二．1.A 与B 恰有一个事件发生 2.B 三．1.()(){}1,:01,01x y x y Ω=≤≤≤≤，()221,:,0,04A x y x y x y ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=+<≥≥⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭ ()1,:0,13B x y x y y ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=≤<<≤⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭()(){}2,:,1,2,3,4,5,6i j i j Ω==(){},:1,3,5,1,2,3,4,5,6A i j i j ===()()(){}1,3,3,1,2,2B =2.()11:04ABC ωω⎧⎫⎪⎪⎪⎪=≤<⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭(){}{}2:11ABC ωω===(){}3:01A B C ABC ωω∪∪==≤≤=Ω()()14:13A B C ωω⎧⎫⎪⎪⎪⎪∪=≤<⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭(){}5:01A B C ωω∪∪=≤< 3.()1,,A B C 恰有一个发生 ()2至少两个发生 ()3A 发生，且,B C 至少一个不发生 ()4至多一个发生第3－4页《概率的性质与古典概率》一．1.D()P 0.3A =()P 0.7A ⇒=()()()P P P 0.3AB A AB ⇒=−=()()()P P 1P 3.70.01A B AB AB ⇒∪==−=−=2.C3.D 二．1.29()()P 0P 0AC ABC =⇒=()(()P P 1P ABC A B C A B C ⇒=∪∪=−∪∪()()()()()()()1P P P P P P P A B C AB AC BC ABC =−−−+++−111112100333999=−−−+++−= 2.1123.1q − 三．1. 教材习题一()A 三第5题解答：因()()()P P P A B A AB −=−，()()()()P P P P A B A B AB ∪=+−，则()()()()()()()()P P P P P P P P A B A AB A A B A B −≤−≤≤∪≤+，即()()()()()()()P P P P P P P .A B A B A A B A B −−≤≤+≤∪≤2. 证明：()()()()()()()P P P P P P A A B C AB AC AB AC ABC ≥∪=∪=+− ()()()P P P AB AC BC ≥+−， 故()()()()P P P P AB AC BC A +−≤3. ()58510.2058A = ()585210.7958A −= ()()213158775C C 30.52988A A +=4. 教材习题一()A 三第10题（1）有放回抽取时：()2221P 96A ==；()242244P 96B ×+×==；因C A B =∪ 且AB =∅，所以()()()5P P P 9C A B =+=（2）无放回抽取时：用排列计算：()2226A 1P 15A A ==；()1111422426A A A A 8P 15AB +==；因C A B =∪ 且AB =∅，所以()()()93P P P 155C A B =+==用组合计算：()2226C 1P 15C A ==；()114226C C 8P 15C B ==；因C A B =∪ 且AB =∅，所以()()()93P P P 155C A B =+== 5.173124131313131352C C C C C Cp =第5－6页《几何概率、条件概率及乘法公式》一．1.B 2.D 3.D 二．1.22ππ+ 这是一个二维几何概型问题：如图样本空间为中心在(),0a 处，半径为a()212a πΩ=，设A 表事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π”，则()221142m A a a π=+，所以所求概率为()()()22211242P 122a a m A A m a ππππ++===Ω. 2.38因事件A 发生导致事件B 发生，则A B ⊂或AB A =；事件B 与事件C 互斥，则BC =∅或B C ⊂；从而有ABC A =，BC B =，于是()()()()()P P 0.33P 0.88P P ABC A A BC BC B ==== 3.67设A =“至少有一个女孩”，B =“至少有一个男孩”，则A =“三个孩子全是男孩”AB =“三个孩子全是男孩或全是女孩”，从而有()1P 8A =，()2P 8AB =，故所求概率为()()()()()211P P 68P 17P 1P 18AB AB B A A A −−====−− 三．1.0.2986设王同学于9点X 分到达，张同学于9点Y 分 到达，如图，则(){},:060,060X Y X Y Ω=≤≤≤≤设A =“两同学能见面”，则(){},:05A X Y Y X =≤−≤∪(){},:015X Y X Y ≤−≤则所求概率为()()2221554510.2986260m A p m +==−=Ω 2.0.7283设A =“该种动物活到10岁”，B =“该种动物活到15岁”，由已知条件得所求 概率为()()()()()P P 0.67P 0.72830.92P P AB B p B A A A ===== 3.0.2333,0.4651 因AB A B =−，所以()()()()()P P 0.14P 10.20.4P 1P 333AB A B A B B B −====−−A B A B AB A B ∪===−()()P 1P 1P 10.140.86A B A B A B ⎛⎜⎟⇒∪=−∪=−−=−=⎜⎟⎝⎠()()()()()()P P 0.4P 0.86P P 0.4651B A B B B A B A B A B ∪⇒∪====∪∪ 4. ()()()()()()()()()21P P P P P 1P 1P P P AB A AB A B p B A p A A A −−−==≥=−5. 0.24,0.424设A =“甲机第一次攻击并击落乙机”，B =“乙机第一次攻击并击落甲机”，C =“甲机第二次攻击并击落乙机”，则（1）()()()()(P P P 0P P 0.80.30.24B AB A B A B A =+=+=×=； （2）()()()()()P P P P 0.2P 0A C A C AC AB C ∪=+−=+−()((0.2P P P A B A C AB =+0.20.80.70.40.424=+××=.第7－8页《全概率与贝叶斯公式、事件的独立性与贝努利概型》一．1.C()()()()()()()()()()()P P P P P P P P P P B A B AB A B B A B A B A B A B AB ∪∪===∪∪+−()()()()()()P P 0.20.60.23080.20.40.20.4P P P P A B A B A B ×===+−×+−2.D3.C()()P P 1A B A B +=()()()()()P P 1P P P AB A B A B A B B ⇒=−==()()()()P P P 1P A AB A B B −⇒=− ()()()()P 1P P P A B BA AB ⎡⎤⇒−=−⎢⎥⎣⎦ ()()P P A B A ⇒=.A B ⇒与相互独立二．1.()32pp −2.4860因A 与B 互斥，故AC 与BC 互斥，从而有()()()()()()()()()P P P P P P P P A B CAC BC AC BC A B C C C C ∪∪+∪===()()()()()()()P P P P P P 0.8P A C B C A B C +==+=思考题：一般情况下，A 与C 独立，B 与C 独立，则A B ∪与C 也独立吗？3.49设同学数为n ，则由题意有()1110.940.95nn p−−=−≥49n ⇒≥三．1. 0.15，最可能乘火车设1234,,,A A A A 分别表他乘火车，轮船，汽车，飞机去上海参加会议，则1234,,,A A A A 构成一个完备事件组，B 表他开会迟到，由题目已知条件可得()()()()411111P P P 0.30.20.10.400.154312iii B A B A ===×+×+×+×=∑()()()()()()1114110.3P P 42P 0.50.15P P i ii B A A A B A B A =×===∑()()()()()2224110.2P P 3P 0.44440.15P P i ii B A A A B A B A =×===∑()()()()()3334110.1P P 12P 0.05560.15P P iii B A A A B A B A =×===∑ ()()()()()44441P P 0.40P 00.15P P iii B A A A B A B A =×===∑因在诸()()P 1,2,3,4i A B i =中，()1P A B 最大，所以，若他迟到了，他最可能是乘火车去的.2.0.0171设A 表“被检验者经检验认为没有患关节炎”，B 表“被检验者患关节炎”，由贝叶斯公式有()()()()()()()P P 0.150.1P 0.01710.150.10.90.96P P P P B A BB A B A B B A B×===×+×+3.()()10.2157,20.4095,0.7678()1 设i A 表“从甲箱中取出的两件产品中有()0,1,2i i =件次品”，B 表“从乙箱中取得次品”，由全概率公式有()()()122231052101517C C C 11P P P 0.215751C C i i i iii i B A B A −+======∑∑()2设1C为选自甲箱，2C 为选自乙箱，i B 表第()1,2i i =次取出正品，由全概率公式()()()()()1212112121212122P P P P P B B B B C B B B B C C B B B B C ∪=∪+∪1111510312221515C C C C 11430.409522105C C =+== 由条件概率公式及全概率公式有()()()()()()()()()()()1121212212122121222P P P P P P P P P P P C B B C C B B C B B B B B C B C C BC +==+110511234321514215140.7679151356215215××+××===×+×4. 0.2098,0.0621()324010550C C 10.2098Cp ==()540550C 210.0621C p =−=第9－10页《第一章综合练习》一．1.B 2.A 二．1.0.1837设,A B 分别表甲乙击中靶子，则所求概率为 ()()()()()()()()()P P P P P P P P P AB A B AB A B A B A B A B ∪==∪+−()0.910.80.18370.90.80.90.8×−==+−×2.14三．1. 教材习题一()B 三第1题证明：()(()()()()P P 1P 1P P P AB A B A B A B AB =∪=−∪=−−+(()()11P P p AB p AB =−−−+=−+()()()0P 001,AB p p p ≥<>≥<∴>−∵∵2. 教材习题一()B 三第4题解答：设123,,A A A 分别表在100，150，200米处击中动物，由()1P 0.6100k A ==得60k =，从而得()()()()1121231121P P P P A A A A A A A A A A ∪∪=+()()()121312P P P A A A A A A + 6090600.60.40.4150150200=+×+×× 0.832=3. 教材习题一()B 三第5题解答：A 表“选正确答案”，B 表“知道正确答案”，由贝叶斯公式得()()()()()()()P P P P P P P A B B B A A B B A B B =+()11111p mpmp pp p m ×==+−×+−×4. 教材习题一()B 三第3题解答：设A 为“甲系统有效”， B 为“乙系统有效”，则由题意有 ()()(P 0.92,P 0.93,P 0.85,A B B A ===从而有()()()()()()P P P P P P 0.962.AB B AB B A B A =−=−=()()()()()1P P P P 0.988,A B A B AB ∪=+−=()()(()()()()P P P 2P 0.8286.1P P ABA AB A B B B −===− 5. 教材习题一()B 三第8题解答：每个能出厂的概率为0.70.30.80.94p =+×=，所以（1） 全部都能出厂的概率为0.94n； （2） 恰有两个不能出厂的概率为222C 0.060.94n n −.第11－12页《分布函数及离散型随机变量》一．1.B （利用分布函数的性质判断） 2.D 二．1.3或7（即()710P 230109m m X −===⋅） 2.1124三．1. 教材习题二()A 三第1题① 当0x <时，显然有()()()F P P 0;x X x =≤=∅=② 当0x a ≤≤时，由题意有()3P 0,X x x δ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦且()P 0,1X a ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，联立两式解得3aδ−=，从而()()()33F P P 0,;x X x X x a x −⎡⎤=≤=∈=⎢⎥⎣⎦③ 当x a >时，有()()()F P P 1;x X x =≤=Ω=从而分布函数为()330,0F ,01x x a x x a x a −⎧⎪<⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎪⎩，3332227P F F 33333327a a a X a a a a −⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟<≤=−=−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦. 2. 教材习题二()A 三第2题由分布函数在1x =和2x =处的右连续性有0,1a a b ==+，解之得0,1a b ==2233333P 1F 111122224X a b ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟>=−=−+−=−−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦3. 教材习题二()A 三第3题显然，X 的可能取值为1,2,3且()1324C 1P 1;2C X === ()1224C 1P 2;3C X ===()1124C 1P 3;6C X === 故234111236X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∼，分布函数为()0,11,122F 5,2361,3x x x x x ⎧⎪⎪<⎪⎪⎪⎪⎪≤<⎪⎪=⎨⎪⎪≤<⎪⎪⎪⎪⎪≥⎪⎪⎩4. 教材习题二()A 三第4题显然X 可能取0,1,2,3；设i A 表“在第()1,2,3i i =路口遇到红灯”，则()1P ,1,2,32i A i ==且123,,A A A 相互独立，所以有()()11P 0P 2X A ===；()()()()1212111P 1P P P 224X A A A A ====⋅=； ()()()()()1231231P 2P P P P ;8X A A A A A A ====()()()()()1231231P 3P P P P .8X A A A A A A ==== 故有0123.11112488X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∼第13－14页《常见离散型分布》一．1.B 2.D （用泊松分布近似计算）二．1.1e −（即为()()()()0111P 0P 440P 1P 00!X X X e e −−>=−>=<==== ）2.123C 0.180.82××（设对X 的3次取值中取到1的次数为ξ，而每次取到1的概率为()1112P 1C 0.10.90.18X ===，从而有()B 3,0.18ξ∼，所以所求概率为 ()1121233P 1C 0.180.82C 0.180.82ξ==××=××） 三．1. 教材习题二()A 三第6题()()16,4,20X H ∼，所以()6164620C C P ,0,1,2,3,4Ck kX k k −===，即605142332416416416416416466666202020202001234C C C C C C C C C C C C C C C X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∼()()2B 6,0.2,Y ∼ 所以()66P C 0.20.8k k kY k −==，0,1,2,3,4,5,6k =2. 教材习题二()A 三第7题 显然()B 15,0.2X ∼ ()()3312151P 3C 0.20.80.2501X ===()()()()2P 21P 0P 1X X X ≥=−=−=151410.8150.80.20.8329=−−××= ()()()()()3P 13P 3P 2P 1X X X X ≤≤==+=+= 331222131114151515C 0.20.8+C 0.20.8+C 0.20.80.6130==()()()4P 11P 210.83290.1671X X ≤=−≥=−= 3. 教材习题二()A 三第9题设X 为任意时刻同时出故障的车床台数，则()B 300,0.01X ∼ ()44296300P 4C 0.010.990.1689X ===由泊松定理近似地有()P 3X ∼，所以()433327P 40.16804!8X e e −−===相对误差为0.16890.16800.533%0.1689−=4. 教材习题二()A 三第10题()()()()()()1111P 1111rk rk r p p X r p p p p ∞−=+−>=−==−−−∑()2由()1的结论知()()P 1r tX t r p +>+=−，()()P 1tX t p >=−从而()()()()()P ,P P P P X r t X r X r t X r t X r X r X r >+>>+>+>==>>()()()()11P 1r t trp p X t p +−==−=>−.第15－16页《连续型随机变量》一．1.C （用密度函数的特征（非负性和归一性）进行检验）2.C3.A 因密度函数为偶函数，则必有()()()()0122F F 0f x dx f x dx +∞+∞−∞⎡⎤===+∞−⎢⎥⎣⎦∫∫()22F 0=−，从而()1F 02=；所以 ()()P 1P X a X a >=−≤()()0112a aaf x dx f x dx −=−=−∫∫()()12F F 0a ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦ ()()()12F 2F 021F a a ⎡⎤=−+=−⎢⎥⎣⎦二．1.2π由归一性得()11f x dx +∞−∞==∫∫2()()33721212221722x x x f x dx x x e dx xe dx +∞+∞+∞−−−−−∞⎛⎞⎜⎟===Γ⎜⎟⎜⎟Γ⎝⎠∫∫∫= 3.()1B 3,e−()1X e ∼，故X 的分布函数为()1,0F 0,0x e x x x −⎧⎪−>⎪=⎨⎪≤⎪⎩， 电子元件寿命大于1万小时的概率为()()1P 11F 1p X e−=≥=−=所以有()1B 3,Y e−∼.三．1. 教材习题二()A 三第12题首先函数()x ϕ满足非负性；其次证明存在c 使得函数()x ϕ满足归一性：由()3220x cxx dx e dx cϕ+∞+∞−−∞=∫∫33013x c x ed cc ⎛⎞⎜⎟+∞⎜−⎜⎜⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠∫（此处应需0c >）()11133c c =Γ=，这说明当13c =时函数()x ϕ满足归一性；所以，当13c =时函数()x ϕ为某连续型随机变量的密度函数. 此时 ()()()3331113233330P 1931x x xx x X x edx ed xee =−−−−=≤===−=−∫∫2. 教材习题二()A 三第14题()1由归一性有()()22241111AAA f x dx dx dx x xππ+∞−∞−===++∫∫∫044arctan arctan A x A ππ==，所以arctan 4A π=，从而1A =()()()()210,12212F arctan ,11211,1x x x x f t dt dt x x t x ππ−∞−⎧⎪≤−⎪⎪⎪⎪⎪===+−<<⎨⎪+⎪⎪⎪≥⎪⎪⎩∫∫ 3. 教材习题二()A 三第15题 ()1由归一性有()242111684f x dx dx kxdx k +∞−∞==+=+∫∫∫，所以18k =；()()()022020,011,02882F 111,2488161,4x x x x dt x x x f t dt dt tdt x x x −∞⎧⎪≤⎪⎪⎪⎪⎪=<<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=≤<⎪⎪⎪⎪⎪≥⎪⎪⎩∫∫∫∫4. 教材习题二()A 三第16题显然X 的分布函数为()10001,0F 0,0x e x x x −⎧⎪⎪−>⎪=⎨⎪≤⎪⎪⎩，每只元件寿命不超过400小时的概率为()()14000.41000P 400F 40011p X ee −×−=≤==−=−设在仪器使用的最初400小时内元件的损坏数，则()0.4B 6,1Y e −−∼，从而有()()()()10.40.4520.461P 1C 161Y eee e −−×−−==×−=−；()()()0.462.42P 11P 011Y Y ee −×−≥=−==−=−第17－18页《随机变量函数的分布》一．1.D （()()()11F P P 31P F 33Y y y y Y y X y X ⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟=≤=−≤=≤=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠） 2.C()121,044Y y y y −=<<对任意()0,4y ∈，()()()(2F P P P Y y Y y X y X =≤=≤=≤≤(01P 02X dx =≤≤==，所以()()121F 4Y Y f y y y −′== 也可以直接利用平方变换的公式求解2.()()()()P 2P 12P 1F 10X Y X ≥=−≥=≤−=−= 三．1. 教材习题二()A 三第18题()212310.20.30.20.3X ⎡⎤−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∼ ()14920.30.40.3Y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∼2. 教材习题二()A 三第19题()()()()111F P P 21P F 22Y X y y y Y y X y X ⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟=≤=−≤=≤=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠()()12111,1F ,2220,1y Y Y X y e y f y y f y +−⎧⎪⎛⎞⎪+>−⎪⎜⎟′===⎜⎟⎨⎜⎟⎪⎝⎠⎪≤−⎪⎩()()()()()()0,12F P P P ln F ln ,1XY X y y Y y e y X y y y ⎧⎪≤⎪=≤=≤=⎨⎪≤=>⎪⎩()()()ln 20,1F 11F ln ,1y Y YX y f y y y e y y y −⎧⎪≤⎪⎪′==⎨′⎪==>⎪⎪⎪⎩()()()()()2P ,03F P P 0,0Y X y y Y y X y y ⎧⎡⎪∈>⎪⎢⎪⎣=≤=≤=⎨⎪≤⎪⎪⎩(F F ,00,XXy y ⎧⎪−>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎪⎩()()(F F ,0F 0,X XY Y y f y y y ⎧⎪′′−>⎪⎪′==⎨⎪≤⎪⎪⎩(0,0X X f f y y ⎧⎡⎤+=>⎢⎥⎣⎦=≤⎪⎪⎩3. 教材习题二()A 三第22题()()()()()20,0F P P P ,0,91,9Yy y Y y X y X y y ⎧⎪≤⎪⎪⎪⎡=≤=≤=∈∈⎨⎢⎪⎣⎪⎪≥⎪⎪⎩(()0,0F F ,0,91,9XXy y y ⎧⎪≤⎪⎪⎪=−∈⎨⎪⎪⎪≥⎪⎩()()(()(),0,9F 0,0,9X XY Y f f y f y y y ⎧⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦′==∉⎪⎪⎩(()()0,11,90,9y y y ⎧⎡⎤⎪⎤=∈⎥⎦==∈∉⎪⎪⎪⎪⎩第19－20页《第二章综合练习》一．1.C （用分布函数的特征验证. 注意第二个答案，若2,1a b ==−不能保证()()()12F F F x a x b x =+的非负性）2. B 教材习题二()B 一第4题()(),min ,2X e Y X λ=∼，显然可见Y 的有效值域为()(0,2R Y ⎤=⎥⎦，所以，当()0,2y ∈时，()"""min ,2"""Y y X y X y ≤⇔≤⇔≤，从而()()()F P F 1y Y X y X y y e λ−=≤==−，于是综上有()()0,0F 1,0,21,2y Yy y e y y λ−⎧⎪≤⎪⎪⎪=−∈⎨⎪⎪≥⎪⎪⎩显然可见，()F Yy 在0y =处连续，在2y =处间断. （本题中的随机变量Y 是非离散非连续型随机变量）二．1.964因()1201P 124X xdx ≤==∫，则()B 3,14Y ∼，故()()22339P 2C 1464Y ===2由归一性得()()()()32322252521225222xx A A f x dx A x edx x e d x +∞+∞+∞−−−∞====Γ∫∫∫所以52252A ===⎛⎞⎜⎟Γ⎜⎟⎜⎟⎝⎠三．1. ()9110 ()1019910210.9C 0.90.11 1.90.9−−×=−× ()103111e −−()()3.61P 1.80.94X <== ()2设Y 表10次测量中误差绝对值大于1.8的次数，则()B 10,0.1Y ∼，从而()()()P 21P 0P 1Y Y Y ≥=−=−=10191010.9C 0.90.1=−−×()3设Z 表100次测量中误差绝对值大于1.8的次数，则()B 100,0.1Z ∼，故近似地有()P 10Z ∼，从而()()()10P 21P 0P 1111Z Z Z e −≥=−=−==−2. 教材习题二()B 三第4题 显然密度函数是偶函数，所以 ()1由归一性得()0112x xf x dx A dxe e +∞+∞−−∞==+∫∫，作变量代换xy e =可得 211112122arctan 21A dx A y A A yππ+∞+∞===⇒=+∫()2对任意x R ∈， ()()21F xxX t tx f t dt dt e e π−−∞−∞==+∫∫，作变量代换ty e =可得()02122F arctan arctan x xy e x X t t y x dt y e e e πππ=−=−∞===+∫， 于是有()()()21P 01F 1F 0arctan 2X X X e π≤≤=−=−()3()()()()()0,0F P P P ln ,0,11,1XY y y Y y e y X y y y −⎧⎪≤⎪⎪⎪=≤=≤=≥−∈⎨⎪⎪≥⎪⎪⎩()ln 0,041,0,11,1tty y dt y e e y π+∞−−⎧⎪≤⎪⎪⎪⎪=∈⎨⎪+⎪⎪⎪≥⎪⎪⎩∫ 从而有()()()()()24,0,11F 0,0,1Y Yy y f y y y π⎧⎪⎪∈⎪⎪′+==⎨⎪⎪∉⎪⎪⎩3. 教材习题二()B 三第8题显然，X 的分布函数为()1600,0F 1,0xX x x e x −⎧⎪≤⎪⎪=⎨⎪−>⎪⎪⎩； 设123,,A A A 分别表年龄在15岁以下，15到50岁，50岁以上，则123,,A A A 构成一完备事件组且()()141P F 151X A e−==−，()()()5015156060462P F 50F 1511X X A e e e e −−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−=−−−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ ()()5056063P 1F 5011X A e e −−⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−=−−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠再设B 为某人得重病，则()()()()11553446611P P P 10.10.020.2i i i B A B A e e e e −−−−=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==−×+−×+×⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑ 15460.10.080.180.1159ee−−=−+≈()()()()()1411110.1P P 0.022122P 0.19080.11590.1159P e A B A A B B −⎡⎤⎢⎥−×⎢⎥⎢⎥⎣⎦==== ()()()()15462220.02P P P 0.04440.1159P e e A B A A B B −−⎡⎤⎢⎥−×⎢⎥⎢⎥⎣⎦===()3P 10.19080.04440.7648A B =−−=所以若某人得病，他的年龄最可能的是50岁以上.第21－22页《二维随机变量》一．1.B 2.C二．1.()()F ,F ,b c a c − 2.3 3.5310!0.070.430.350.151!5!3!1!p =×××三．1. 教材习题三()A 三第1题显然12,X X 都只能取0,1，且()()()()112P 0,0P 1,2P 1F 11;YX X Y Y Y e −===≤≤=≤==− ()()()12P 0,1P 1,2P 0;X X Y Y ===≤>=∅= ()()()12P 1,0P 1,2P 12X X Y Y Y ===>≤=<≤()()12F 2F 2;Y Ye e −−=−=−()()()212P 1,1P 1,2P 2;X X Y Y Y e −===>>=>=故()12,X X 的联合分布律为1122\010101X Ye e e e −−−−−−.2. 教材习题三()A 三第3题显然，X 可取0,1,2,3，Y 可取0,1,2，且()()P 0,0P 0;X Y ===∅= ()()P 0,1P 0;X Y ===∅=()02232247C C C 1P 0,2;35C X Y ====()()P 1,0P 0;X Y ===∅= ()11232247C C C 6P 1,1;35C X Y ==== ()12132247C C C 6P 1,2;35C X Y ==== ()20232247C C C 3P 2,0;35C X Y ==== ()21132247C C C 12P 2,1;35C X Y ====()22032247C C C 3P 2,2;35C X Y ==== ()30132247C C C 2P 3,0;35C X Y ==== ()31032247C C C 2P 3,1;35C X Y ====()()P 3,2P 0.X Y ===∅= 则(),X Y 的联合分布律为\01200013510635635233512353353235235X Y3. 教材习题三()A 三第4题 （1）()()22401,88x y Rcf x y dxdy dx cedy c +∞+∞−+===⇒=∫∫∫∫ （2）()()()2P 2P 2,,X X Y dx f x y dy +∞+∞−∞>=><+∞=∫∫()24244220824;x y xy dx edy edx e dy e +∞+∞+∞+∞−+−−−===∫∫∫∫()()24420P 2412x x y xxX Y e dx e dy e edx +∞+∞−−−−>==−∫∫∫26011221;333xx edx e dx +∞+∞−−=−=−=∫∫()()()1114124200P 12412xx x y xX Y e dx e dy eedx −−−−−−+<==−∫∫∫()()112422402212;xx ed x ee d x e e −−−−=−=−+∫∫（3）显然，当0x ≤或0y ≤时，必有()()F ,P ,0;x y X x Y y =≤≤= 而当0,0x y >>时，()()F ,,yxx y dt f t s ds −∞−∞=∫∫()()242402411tsyx x y edt e ds e e −−−−==−−∫∫综上得()()()2411,0,0F ,.0,x y e e x y x y others −−⎧⎪−−>>⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩第23－24页《边缘分布、边缘密度及独立性》一．1.D （利用分布函数的性质判断） 2.B （利用密度函数的特征判断） 3.C 二．1.0 2.()()()F 1F x y− 3.12三．1. 教材习题三()A 三第6题()()123.12.\P 1241811214183812434P 1612131i i j j X Yy y y X x p x x Y y p ====2. 教材习题三()A 三第8题（1）()22111,cos dx f x y dy dx A xdx ππ+∞+∞−∞−∞===∫∫∫∫∫∫()2A π=2;A π⇒=（2）()()102cos ,0,X x f x f x y dy others π+∞−∞⎧⎪⎪⎪⎪==⎨⎪⎪⎪⎪⎩∫∫ cos ,02;0,x x others π⎧⎪<<⎪=⎨⎪⎪⎪⎩()()20cos ,01,0,Y xdy y f y f x y dx others π+∞−∞⎧⎪<<==⎪⎪⎩∫∫01;0,yothers⎧<<=⎪⎪⎩（3）()3P cos32XX f x dx xdxπππ−∞⎛⎞⎜≤===⎜⎜⎝⎠∫∫()112112P;23YY f y dy+∞⎛⎞⎜≥===⎜⎜⎝⎠∫∫（4）由3个密度函数可知()()(),,,X Yf x y f x f y x y R=∀∈，所以X与Y相互独立!3.教材习题三()A三第9题如图，密度函数不为零的区域即图中阴影部分(){}2,:01,0x y x y xΩ=<<<<，其面积为()121,3m x dxΩ==∫所以（1）联合密度函数为()23,01,0,0,x y xf x yothers⎧⎪<<<<⎪=⎨⎪⎪⎪⎩（2）边缘密度函数为()()2233,01,0,xXdy x xf x f x y dyothers+∞−∞⎧⎪⎪⎪=<<⎪==⎨⎪⎪⎪⎪⎩∫∫()()(1331,01,0,Ydx yf y f x y dxothers+∞−∞⎧⎪⎪=<<⎪==⎪⎪⎩∫（3）在公共连续点()12,18处，()()(),X Yf x f y f x y≠，所以X与Y不相互独立！第25－26页《条件分布》1.教材习题三()A三第10题前面已经得到\01200013510635635233512353353235235X Y ，由此易得（1） 01230121351235183543553520351035X Y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∼∼（2） ()()()635P 1,23P 12;10355P 2X Y X Y Y ========()()()1235P 2,12P 12;18353P 2X Y Y X X ======== ()()()()()()P 2,1P 1P 2,1P 12P 21P 2X Y Y X Y Y X X X ≠==−===≠==≠−=203512358;1183517−==− （3）0123012211061031001106103X Y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∼（4）由于()()()P 2,3P 2P 3X Y X Y ==≠==，所以X 与Y 不独立！ 2. 教材习题三()A 三第11题 由前面的计算结果知，当01y <<时，()()()1,0,XYY x f x y f x y f y others⎧⎪=<<==⎪⎪⎪⎩当01x <<时，()()()22231,,030,Y XX f x y y x f y x x x f x others ⎧⎪⎪=<<⎪==⎨⎪⎪⎪⎪⎩显然()()()1,1414140,XYY x f x f x f others <<==⎪⎪⎩，所以()()2323121P 2314142;3XY X Y f x dx dx −∞<====∫∫()()()()()231414,P 23,14P 2314P 14Y dx f x y dyX Y X Y Y f y dy+∞−∞+∞<><>==>∫∫∫(2231214114355108154312x dx dydy ===−∫∫∫3. 教材习题三()A 三第14题 如图，()()()12331,01,20,X x ydy x x f x f x y dy others ∞−∞⎧⎪⎪=−<<⎪⎪==⎨⎪⎪⎪⎪⎩∫∫ ()()2033,01,0,y Y ydx y y f y f x y dx others ∞−∞⎧⎪⎪=<<⎪⎪==⎨⎪⎪⎪⎪⎩∫∫ 显然可见，()()(),X Y f x f y f x y ≠，所以X 与Y 不相互独立！当01x <<时，()()()()2232,1,13120,Y XX y y x y f x y xx f y x f x others ⎧⎪⎪=<<⎪⎪−−==⎨⎪⎪⎪⎪⎩当01y <<时，()()()231,0,30,XYY y x y f x y y y f x y f y others ⎧⎪⎪=<<⎪⎪==⎨⎪⎪⎪⎪⎩4. 教材习题三()A 三第12题 由题意知，当01x <<时，()1,00,Y Xy xf y x others ⎧⎪<<⎪=⎨⎪⎪⎪⎩，从而有()()()3,01,0,0,X Y Xx x y xf x y f x f y x others ⎧⎪<<<<⎪==⎨⎪⎪⎪⎩故有()()()12331,01,20,Y y xdx y y f y f x y dx others ∞−∞⎧⎪⎪=−<<⎪⎪==⎨⎪⎪⎪⎪⎩∫∫ 于是有()()()121220311P 121216Y Y f y dy y dy −∞<==−=∫∫ 第27－28页《二维随机变量函数的分布》一．1.0.64 2.()221p p +− 二．1. 教材习题三()A 三第13题前面已经得到\01200013510635635233512353353235235X Y ，由此易得()()()()()()()()(),0,21,11,22,02,12,23,03,11356356353351235335235235ijX Y p()()()()()()()()()()(),0,21,11,22,02,12,23,03,1135635635335123533523523522323434max ,21222233min ,011121ijX Y p Z X Y U X Y V X Y =+⇒==234123103520355356352535435Z U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⇒⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∼∼0126352635335V ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∼2. 教材习题三()A 三第14()3题显然，()()0,1R Z =，对任意()0,1z ∈，有()()()()F P P ,Z y x zz Z z Y X z f x y dxdy −≤=≤=−≤=∫∫1123333yy zzzy zzdy ydx dy ydx y dy yzdy −=+=+∫∫∫∫∫∫()3233311222z z z z z =+−=−此时，Z 的密度函数为()()()23F 12Z Z f z z z ′==−，综上得Z 的密度函数为 ()()()()231,0,1200,1Z z z f z z ⎧⎪⎪−∈⎪=⎨⎪∉⎪⎪⎩. 3. 教材习题三()A 三第15题显然，()()0,1R Z =，对任意()0,1z ∈，有()()()()F P P ,Z xy zz Z z XY z f x y dxdy ≤=≤=≤=∫∫()11100ln z xzzzzdx dy dx dy dx z x dx z z z =+=+=−∫∫∫∫∫∫此时，Z 的密度函数为()()F ln Z Zf z z z ′==−，综上得Z 的密度函数为 ()()()ln ,0,100,1Z z z f z z ⎧⎪−∈⎪=⎨⎪∉⎪⎩. 4. 教材习题三()A 三第16题显然，()0,2R Z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，对任意()0,2z ∈，有()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞−∞=−∫，要使被积函数不为零，需0101x z x ⎧⎪≤≤⎪⎨≤−≤⎪⎪⎩，即011x x z x ⎧⎪≤≤⎪⎨≤≤+⎪⎪⎩， 如图，从而有（1） 当0,1z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()01zZ f z dx z ==∫；（2） 当1,2z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1112Z z f z dx z −==−∫综上得Z 的密度函数为(),0,12,1,20,Z z z f z z z others ⎧⎡⎤⎪∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=−∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎩.5. 教材习题三()A 三第17题显然，()()0,R Z =+∞，对任意0z >，有()()()()F P P ,Z x y z z Z z X Y z f x y dxdy ≤=≤=≤=∫∫()01yzyzx yyx yyzdy edx edy e dx e e dy +∞+∞+∞−−−−−−===−∫∫∫∫∫()10111y z ye dy edy z +∞+∞−+−=−=−+∫∫此时，Z 的密度函数为()()()2F 1Z Zf z z z −′==+，综上得Z 的密度函数为()()21,00,0Z z z f z z −⎧⎪+>⎪=⎨⎪≤⎪⎪⎩.6. 教材习题三()A 三第21题显然i T 的分布函数为()()0.21,0F F ,1,2,,5.0,0t i e t t t i t −⎧⎪−>⎪===⎨⎪≤⎪⎪⎩（1）并联时，系统的寿命{}并15max i i T X ≤≤=，其分布函数为()()()()并50.251,0F F 0,0t e t t tt −⎧⎪−>⎪⎪==⎨⎪≤⎪⎪⎩，从而其密度函数为()()并40.20.21,00,0t t ee tf t t −−⎧⎪−>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎪⎩； 使用寿命大于1万小时的概率为()()()并并50.2P 11F 1110.9998;T e −>=−=−−=（2）串联时，系统的寿命{}串15min ii T X ≤≤=，其分布函数为()()()串51,0F 11F 0,0t e t t t t −⎧⎪−>⎪=−−=⎨⎪≤⎪⎪⎩， 从而其密度函数为()串，00,0t e t f t t −⎧⎪>⎪=⎨⎪≤⎪⎪⎩；使用寿命大于1万小时的概率为()()()串串11P 11F 1110.3679.T e e −−>=−=−−== 第29－30页《第三章综合练习》一．1. 教材习题三()B 一第2题 ()A2. 教材习题三()B 一第3题 ()D显然，X 的分布函数为()1,0F 0,0x X e x x x λ⎧⎪−>⎪=⎨⎪≤⎪⎩ Y 的分布函数为()0,0F 12,0111Y x y x x ⎧⎪<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎪⎪⎩ 从而N 的分布函数为()()()0,01,02F 11F 1F 1,0121,1z N X Y z z z z z e z z λ−⎧⎪⎪<⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎡⎤⎡⎤=−−−=⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪−<<⎪⎪⎪⎪⎪≥⎪⎪⎪⎩二．1. 教材习题三()B 二第3题12()()()()(),0,00,11,01,114141414011101ij X Y p M N2. 类似教材习题三()B 三第5题 ()()()112Z Y Y f z f z f z ⎡⎤=+−⎢⎥⎣⎦ 三．1.()1 由题意有()B ,0.2Z Y n n =∼，所以()P C 0.20.8k k n kn Z k Y n −===，0,1,2,,k n = ；()2 当k n ≤时，()()()P ,P P Z k Y n Y n Z k Y n ======3030C 0.20.8,0,1,2,,!n k k n kn e k n n −−==当k n >时，()P ,0Z k Y n ===2. 教材习题三()B 三第2题先计算X 与Y 的（边缘）密度函数为()()()11111,1,420,1X xy dy x f x f x y dy x ++∞−−∞⎧⎪⎪+=<⎪⎪==⎨⎪⎪≥⎪⎪⎩∫∫，()()()11111,1,420,1Y xy dx y f y f x y dx y ++∞−−∞⎧⎪⎪+=<⎪⎪==⎨⎪⎪≥⎪⎪⎩∫∫易见，在三个密度函数的公共连续点11,22⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠处，()()()51,164X Y f x y f x f y =≠=，所以X 与Y 不独立！令22,U X V Y ==，显然()()0,1R U R V ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，当01,01u v <<<<时，()()()22F ,P ,P ,u v U u V v Xu Yv =≤≤=≤≤(P X Y =≤≤≤≤()114xy dy dx ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=+=⎜⎟⎟⎟⎠从而(),U V 的联合密度函数为()()201,01F ,,0,u v u v u v u v others ⎧⎪<<<<∂ψ==∂∂⎪⎪⎪⎪⎩而U 与V 的（边缘）密度函数为()()1001,U u u u v dv others +∞−∞⎧⎪⎪=<<⎪⎪ψ=ψ=⎨⎪⎪⎪⎪⎩∫∫， ()()1001,V v v u v du others +∞−∞⎧⎪⎪=<<⎪⎪ψ=ψ=⎨⎪⎪⎪⎪⎩∫∫， 显然可见，对任意的,u v ，都有()()(),U V u v u v ψ=ψψ，所以U 与V 相互独立，即2X 与2Y 相互独立！3. 教材习题三()B 三第6题(),X Y 的联合密度为()()14,,1,31,3,0,x y f x y others ⎧⎡⎤⎡⎤⎪∈×⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦=⎨⎪⎪⎪⎩显然U X Y =−的值域为()0,2R U ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，对任意的()0,2u ∈，有()()()()F P P ,Ux y uu U u X Y u f x y dxdy −≤=≤=−≤=∫∫()2242144u u u −−==−，从而密度函数为()()()11,0,220,0,2U u u p u u ⎧⎪⎪−∈⎪=⎨⎪⎪∉⎪⎪⎩第31－32页一．1. C 2. B 3. B 二．1. 2,8a b ==2. 780 设抽得3张奖券的总金额为ξ，则33213123810821082106009001200C C C C C C C ξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∼，从而 有()3211288282333101010C C C C C E 6009001200780CCCξ=×+×+×=3. 678,94515−三．1. 教材习题四()A 三第2题显然，X 可取1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12，其分布律为123457891011121616161616136136136136136136i X p平均得分为()51217155714749E 161366363612i i X i i ===+=+==∑∑ 2. 教材习题四()A 三第4题由分布函数的右连续性得()0125BA −=，再由()F 1+∞=得()12A =，联立()()12 两式即得1,25A B ==，从而密度函数为()()30,5F 50,5x f x x x x −⎧⎪≤⎪′==⎨⎪>⎪⎩，于是动物的平均寿命为()()3255E 505010X xf x dx x xdx x dx +∞+∞+∞−−−∞====∫∫∫3. 教材习题四()A 三第5题设工厂售出一台设备获利为Y ，则()600,11000,1X Y g X X ⎧⎪<⎪==⎨≥⎪⎪⎩，从而有()()()10.250.2501E 0.256000.251000xx Y f x g x dx edx e dx +∞+∞−−−∞==×+×∫∫∫()0.250.250.2560011000600400e e e −−−=−+=+4. 教材习题四()A 三第7题显然()()()()E 1,D 1,E 2,D 2,X X Y Y ==== 从而有。

四川大学期未考试试题参考答案(A 卷)（2006——2007学年第二学期）一、解：该矩阵博弈无优超策略，所以直接用矩阵求解法求解。

设局中人1采用2*n 混合策略，这里，局中人2的策略为。

(x,1-x)∈x [0,1]123y y y （，，）则，()F x ∈x [0,1]V=max ()min{5+2(1),36(1),43(1)}F x x x x x x x =−+−+−令。

则可在平面上作如下三条直线，分别代表剧中人2在3+2,63,3z x z x z x ==−=+采用三个纯策略时局中人1采用混合策略时的收益。

下图中的粗线是F （x ）的图像。

在图中的S 点时F （x ）达到最大值，则点S 坐标为局中人1的混合策略纳什均衡点，21(,)33博弈值为。

4由于局中人的纳什均衡点只与局中人2的策略1和2相关，因此可替换为求解下面的矩阵博弈，根据2*2矩阵博弈求解方法有：。

1211,22y y ==则综上有，原矩阵博弈的纳什均衡点为（，），均衡值为4。

21(,)3311(,0)22，二、解:(1).3+2z x =63z x=−3z x =+3 484 B=6 2 4 6A ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设局中人1的混合策略为,局中人2的混合策略为(,1),[0,1]X x x x =−∈.(,1),[0,1]Y y y y =−∈由上面推导的:4Q =−2q =−6R =2r =则为纳什均衡,应满足下面两个不等式组:(,)((,1),(,1))X Y x x y y =−−0, -4y 201, -4y=21, -4y 2x x x =≤−⎧⎪<<−⎨⎪=≥−⎩0, 6x 201, 6x=21, 6x 2y y y =≤⎧⎪<<⎨⎪=≥⎩将上面两个不等式作图,如下所示:由该图可知,有唯一的点满足两个不等式.因而该博弈的纳什均衡分别为(1/3,1/2)A .对应的均衡结果分别为:((1/3,2/3),(1/2,1/2))1223/6,16/3ππ==(2).可达集S 为上四个结果点围成,如下图:2R (3,8),(4,4),(6,4),(2,6)根据定理4.3.1求解:max (,)(23/6)(16/3). (,) 23/6g u v u v s t u v Su =−−∈≥纳什谈判解一定在AB 表示的直线上,即.带入目标有4/312v u =−+2(23/6)(4/320/3)4/383/9230/9g u u u u =−−+=−+−因而83/24 v=299/18u =于是纳什谈判解为.()(83/24,299/18)u v =三、解：根据题意有。

2020年大学必修课概率论与数理统计期末考试题及答案（精选版）一、单选题1、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ）(A)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率(B)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率(C)在H 00成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率(D)在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率【答案】C2、 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布，令1231()3Y X X X =++，则2()E Y =A ）1.B ）9.C ）10.D ）6.【答案】C3、设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本， 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿ (Ａ)4114i i X X ==∑ (Ｂ)142X X μ+- (Ｃ)42211()i i K X X σ==-∑ (Ｄ)4211()3i i S X X ==-∑ 【答案】C4、假设随机变量X 的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X 与-X 有相同的分布函数，则下列各式中正确的是A ）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x);C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).【答案】C5、若X ～()t n 那么2χ～A ）(1,)F nB ）(,1)F nC ）2()n χD ）()t n【答案】A6、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是____ _(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 i m(B)方差分析中的假设检验是双边检验(C) 方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D) 方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D 7、以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

四川大学期末考试试题（2020-2020学年第二学期）一、单项选择题（每空2分，共10分）1.设事件A 和B 独立，且,5.0)(,3.0)(==B P A P 则=)(B A P （ ）(A) (B) (C) (D)2.设随机变量X 的密度函数为+∞<<-∞=---x e x f x x ,61)(625102π那么E(X)=（ ）(A)5 (B)3 (C)-3 (D)-53.设X 有散布函数),(x F 令53-=X Y ,那么Y 的散布函数为（ ）(A)⎪⎭⎫ ⎝⎛+3531y F (B))53(+y F (C) )353(-y F (D) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+35y F 4.设整体n X X X ,,,21 是独立同散布的随机变量序列，均服从参数为1的指数散布，令∑==n i i X n X 1221，那么−→−P X 2（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)45.设整体3212,,),,(~X X X N X σμ是来自X 的样本，记 3211414121X X X Z ++=，3212313131X X X Z ++=，2125253X X Z += 这三个对μ的无偏估量量中，（ ）最有效(A)1Z (B)2Z (C)3Z (D)无法判定二、填空题（每空2分，共10分）1.一个袋子中有3个红球，2个白球，从中任取3个球，那么至少取得一个白球的概率是______；2.设),3.0,100(~B X 由切比雪夫不等式，≥<-)10|30(|X P _______；3.设)43;914,1,1(~),(-N Y X 的二维正态散布，记Y X Z 32-=,那么~Z_________散布；4.设)(~λP X ，已知1)]2)(1[(=--X XE ，那么=λ__________； 5.设整体)1,0(~N X ，321,,X X X 别离是来自X 的样本，2321)(31X X X W ++=，那么W~______散布. 三、解答题1.(10分)有甲乙两箱同类型的产品，其中甲箱有11件正品，1件次品，乙箱中有9件正品，1件次品。