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第四章 平稳随机过程的谱分析

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第四章 平稳随机过程2

第四章 平稳随机过程2

C XY (τ ) = CYX (τ ) = 0 R XY (τ ) = RYX (τ ) = m X mY S XY (ω ) = SYX (ω ) = 2π m X mY δ (ω )
(5) 互谱密度的幅度平方满足
S XY (ω ) ≤ S X (ω ) SY (ω )
2
1 ∗ S XY (ω ) = lim E X T (ω )YT (ω ) T →∞ 2T 1 2 S X (ω ) = lim E X T (ω ) T →∞ 2T 1 2 SY (ω ) = lim E YT (ω ) T →∞ 2T
3、互功谱密度性质 、 X(t)和 Y(t)是实随机过程且联合平稳的。 是实随机过程且联合平稳的。 和 是实随机过程且联合平稳的 1 ∞ （1） ）
PXY =
（2）
2π ∫−∞ = RYX (0) = PYX
S XY (ω )d ω = R XY (0)
S XY (ω) = SYX (−ω) = S (ω) = S (−ω)
2
∫
∞
−∞
Y (ω ) dω
2
上式方括号内恰好是样本函数x 上式方括号内恰好是样本函数 (t) 在单位频带 上的功率。在整个频域内积分给出平均功率， 上的功率。在整个频域内积分给出平均功率， 还给出x(t)的频率分布情况 所以称为 的频率分布情况， 称为样本的 还给出 的频率分布情况，所以称为样本的 功率谱密度。 功率谱密度。
−∞ −∞ ∞ ∞
若输入过程X(t)的每个样本函数，上面的积分 的每个样本函数， 若输入过程 的每个样本函数 都在均方意义下收敛， 这样就整个过程而言， 都在均方意义下收敛 ， 这样就整个过程而言 ， 便有
Y (t ) = X (t ) ∗ h(t ) = ∫ X (τ )h(t − τ )dτ = ∫ h(τ ) X (t − τ )dτ

2.2.4 平稳随机过程的相关性分析

2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
τ →∞
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e

第四章 随机过程中的平稳过程

第四章 随机过程中的平稳过程
证
RX ( ) E[ X (t )X (t )] =E[ X (t ) X (t )] RX ( )
R(s, t ) E[ X (s)X (t )] R( )
则称{X(t),t∈T} 为宽（弱、广义）平稳过程，简称宽 平稳过程
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论(一、二
阶矩)的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。
而相关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出 有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如，如果随机
过程如果代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以给
出直流分量、交流分量，平均功率及功率在频域上的分布(我 们将在后面讨论功率谱密度)等。另外，在电子系统中经常遇
到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它的任意
若令 t 2 ，得
f (t1 , t 2；x1 , x2 ) f (t1 t 2 ,0；x1 , x2 ) f (；x1 , x2 )
其中 同理
t1 t2
二维分布函数也仅与时间差 而与时间起点无关，即
t1 t2
有关，
F (t1 , t 2；x1 , x2 ) F (；x1 , x2 )
j [ l ( t ) k t ] E X X e k l k 1 l 1
bk e jk
k 1

RY ( )
所以， {Y (t ), t }具有平稳性。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
P


k 0

第四章 平稳随机过程

第四章 平稳随机过程

第四章 平稳随机过程第一节 平稳过程的概念一、两类平稳过程 1.严平稳过程定义1 设为随机过程，如果对任意正整数n 及任意，及任意实数τ, T t t t n ∈+++τττ,,,21 ，可使n 维随机变量与())(,),(),(21τττ+++n t X t X t X 有相同的分布，即的n 维分布函数Fn 满足：),,,;,,,(),,,;,,,(21212121τττ+++=n n n n n n t t t x x x F t t t x x x F 对一切,2,1,=i x i 成立则称 为严平稳过程，（强平稳过程，狭义平稳过程）。

定理1设 为严平稳过程，如果对任意 ，则有证：首先利用柯西—许瓦兹不等式可以证明 ，即自相关函数存在。

又由于 为严平稳过程，故对任意有相同的分布，所以再由s 、t 的任意性可知又对任意 及任意τ，使 T t s ∈++ττ,，有))(),(())(),((ττ++t X s X t X s X 与同分布，于是[]),()()()]()([),(ττττ++=++==t s R t X s X E t X s X E t s R X X )(),0(s t R s t R s X X ---=记令τ 2.宽平稳过程定义2 设有随机过程，且对任意t ，，如果)(),()(ττμX X X R t t R t =+=常数则称 为宽平稳过程（弱平稳过程，广义平稳过程）。

以后涉及的平稳过程均指宽平稳过程。

严平稳过程与宽平稳过程的关系：严平稳过程不一定是宽平稳过程，宽平稳过程也不一定是严平稳过程，但对于二阶矩过程，严平稳过程就是宽平稳过程。

正态过程的严平稳性与宽平稳性是等价的。

二、平稳过程的数字特征设为平稳过程，且，则)]([t X E X =μ为常数，称其为均值。

)]()([)(ττ+=t X t X E R X 为其τ的一元函数， （自相关函数）)]([22t X E X =ψ为常数，（均方值）)]([2t X D X =σ为常数，（方差）])(][)([)(X X X t X t X E C μτμτ-+-=为τ的一元函数，（自协方差函数） 它们之间有以下关系：（3）2)()(X X X R C μττ-=事实上，])(][)([)(X X X t X t X E C μτμτ-+-=2)]()([X t X t X E μτ-+=2)(XX R μτ-= 例1：（随机热噪声）设是两两不相关的随机序列，即对任意。

《随机过程——计算与应用》课件平稳过程4

《随机过程——计算与应用》课件平稳过程4

RX ( ) e2 , (, )
试计算X的谱密度.
解
谱密度S（X ）
e
j
RX
(
)d
e j e2 d
2 cos( )e2 d 0
4
4 2 2
,
(, )
例5.4.2 设X={Xt, -∞<t<+∞ }为零均值的实的正交增量过程，
且满足 E[Xt -Xs ]2 t s , 令 Yt Xt -Xt1,
k l =-
+
2 ckckm RY (m) k=-
Y为平稳序列.
+
又
RY (m)
2 ckckm
m
m k=-
+
2
ck ckm
m k=-
+
2
ck cl
k=- l
令 kml
2 ( ck ) cl
k
l
（2 ck ）2 k
所以Y 存在谱密度.
Y的谱密度
又称
lim E[ 1
T 2T
T T
Xt
2 dt]
为平稳过程X的平均功率.
定理5.4.1 设平稳过程X={Xt -∞<t<+ ∞}的相关函数RX(τ)
绝对可积,则有
SX ()
e
jt
RX
(
)dt
证明 因为
1E 2T
T T
e
jt
X t dt
2
1 2T
E[
T T
e
js
X
s
ds
T T
e
jt
X
T
X
e
jwu

平稳随机过程

平稳随机过程

相关时间：
0 rX ( )d
0

rX ( )
1
rX ( 0 ) 0.05
0
0

相关时间示意图
2.3 平稳随机过程
4 2 0 -2 -4
10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50数
0 100
相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢
2 mX RX 2 () 100 2
2 2 X RX (0) mX 200
E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数：
rX ( )
K X ( )

2 X

2 RX ( ) mX 2 X
for Nk k=2 称为二阶严平稳,如果对N=k成立,那么对N<k也成立. (2) 渐近严平稳 当c时,X(t+c)的任意n维分布与c无关,即
lim f X ( x1 , x2 , , xN , t1 c, t2 c, , t N c)
c
存在,且与c无关.
(3) 循环平稳 如果X(t)的分布函数满足如下关系
2.3 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义 严格 平稳 随机 过程 如果随机过程的任意n维分布不随时间起 点变化，即当时间平移时，其任意的n维 概率密度不变，则称是严格平稳的随机过 程或称为狭义平稳随机过程。
f X ( x1 ,, xn , t1 t ,, t n t ) f X ( x1 ,, xn , t1 ,, t n )

随机过程的谱分析

随机过程的谱分析

3.2、平稳随机过程功率谱密度的性质
3.2.2、有理谱分解定理
i) rational spectral: S X ( ) ak 2k
p k 0 q
b
k 0 2 k
: (P4) p < q
s-plane
2k
S X (s) a
(s a1 )(s a 2p ) (s b1 )(s b 2q )
sin( T) 1，所以 T
2
sin(T) lim T , 0 T T
综上：
sin(T) lim T K() T T
2
又因 2T[ sin( T) ]2 x(t)，其中 x(t) 为三角波，如下图所示： T
(s 1 )(s p ) (s 1 )(s q ) S X (s)
* *
18 / 30
S (s) X
极点全在 s 左平面 零点在 s 左平面或虚轴上
极全在 s 右平面 零点在 s 右平面或虚轴上
3.3、功率谱密度与自相关函数的关系
维纳-辛钦定理
R X ( ) < > S X ()
2
14 / 30
3.1.3、功率谱密度与复频率面
拉普拉斯变换（Laplace transformation）
x(t) X(s) : s j
LT
1 j X(s)est ds dt x (t)dt x(t) 2j j j x(t)est dt ds 1 2 j X(s) j 1 j st j x(t) X(s)eds 1 2j j 2 j j X(s)X( s)ds
X X (T, ) [a bcos( 0t )]e jt dt

随机信号分析实验报告

随机信号分析实验报告

随机信号分析实验报告实验一：平稳随机过程的数字特征实验二：平稳随机过程的谱分析实验三：随机信号通过线性系统的分析实验四：平稳时间序列模型预测班级：姓名：学号：一、实验目的1、加深理解平稳随机过程数字特征的概念2、掌握平稳随机序列期望、自相关序列的求解3、分析平稳随机过程数字特征的特点二、实验原理平稳随机过程数字特征求解的相关原理三、实验过程function y = experimentnumber = 49; %学号49I = 8; %幅值为8u = 1/number;Ex = I*0.5 + (-I)*0.5;N = 64;C0 = 1; %计数p(1) = exp(-u);for m = 2:Nk = 1:m/2;p(m) = exp(-u*m) + sum((u*m).^(2*k)./factorial(2*k)*exp(-u*m));2222()[()()]{()()}{()()}X R m E X n X n m I P X n X n m I I P X n X n m I =+=+=-+=-E[X(n)]= I P{X(n)=+I}+(-I)P{X(n)=-I}=0⨯⨯0m >当时，/2220(){()()}(2)!m k m k m P X n X n m I e P k λλ⎢⎥⎣⎦-=+===∑222()(1)(21)X R m I P I P I P =--=-2()()X X X C m R m m =-me I m n X n X E m R λ22)]()([)(-=+=end;pp = [fliplr(p) C0 p];Rx = (2*pp - 1)*I^2;m = -N:N;Kx = Rx - Ex*Ex;rx = Kx/25;subplot(211), plot(m,Rx); axis([-N N 0 I*I]); title('自相关序列');subplot(212), plot(m,rx); axis([-N N 0 1]); title('自相关序数');四、实验结果及分析自相关序列的特点分析：m>0时Rx(m)随着m的增大而减小，m<0时Rx(m)随着m的增大而增大。

随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析

随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析

A RX (t , t ) e j d


说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0

j
d
0
Ae e


j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：



S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e


jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2

3.4平稳过程的谱密度全解

3.4平稳过程的谱密度全解


S0ei 0 S0
这个谱密度为常数。谱密度为常数且具有零 均值的平稳过程称为白噪声过程。这是一个 连续白噪声，不同于3.5中给出的离散白噪声。 白噪声过程是一种理想化的数学模型。
2018/10/23 19
{X t , t } 例3.16 设平稳过程
的谱密度
X t 的相关函数
定义3.6 如果函数 x 满足
, x 0 x 且 0, x 0


x dx 1
那么称函数 x 为狄拉克函数，简称为 函数。
2018/10/23 14
引入 函数
其傅立叶变换
( ) 1 1 2 ( )
分子分母无实根，无公共根。对于有理谱密 度，求相关系数可用待定系数法把谱密度分 解成若干部分分式之和。
2018/10/23 24
例3.19 设平稳过程 X t 的谱密度
+6 S X ( )= 4 +10 2 +9
2
求其相关函数
2018/10/23
25
由于实际频率不取负值，因此给出单边谱密度 的定义：
2018/10/23 3
一、平稳过程的（自）谱密度
定义3.5 设{X t , t } 是一个平稳 过程，如果含参变量的广义积分
S X () = RX ( )e



i
d

存在，那么，称 S X () 为平稳过程 X t 的 （自）谱密度
2S X ( ) , 0 GX ( ) , 0 0
利用只有正频率部分的单边功率谱，定理3.5（ii）可 以写成：
GX ( ) 4 RX ( ) cos d

详解平稳随机过程

详解平稳随机过程
2) 对任意s, t∈T, RX(s, t)=RX(t－s)=RX(τ). 平稳过程. 称RX(τ)为{X(t),t∈T}的自相关函数. 其协方差函数为
常 数
称{X(t),t∈T}为宽(弱、广义)平稳过程,简称
C X ( s, t ) RX ( s, t ) m X RX ( ) m X
4) 对于正态过程, 宽平稳性与严平稳性等价.
注：利用均值函数与协方差函数也可讨论 随机过程的平稳性。
怎样理解平稳过程? 一般地说,当产生随机现象的一切主要 条件可看作不随时间的改变而改变时,可以 把由此形成的随机过程看做是平稳的. 科学技术中的许多过程都是平稳的.
Ex.1 设{ X (t ) ,t T }是相互独立同分布的随机变量序列，
RW ( t a , t a ) RW ( t a , t ) RW ( t , t a ) RW ( t , t )
2 [min( t a , t a ) min( t a , t ) min( t , t a ) min( t , t )] 2 {[ t a min( 0, )] [t min( a , )]
有相同的联合分布函数, 称{X(t ),t∈T}是严 (强、狭义)平稳过程. 有限维分布不随时 间的推移而改变.
注1 严平稳过程描述的物理系统的概率
特征不随时间的推移而改变.
例如:工作在稳定状态下的接收机, 其输出 噪声可认为是严平稳的随机过程; 刚接上电源时的输出噪声应认为是非平稳过程.
严平稳过程的一维分布与时间无关, 而二维分布仅与t1和t2的间隔有关, 与时间起 点无关. 二、宽平稳过程 1）实际问题中确定一个过程的有限维分布 函数族,进而判定过程的严平稳性十分困难； 2）部分随机过程(如正态过程)的概率特征 主要由一阶和二阶矩函数确定；

第四章 平稳随机过程的谱分析

第四章 平稳随机过程的谱分析
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
2020/2/8 利用截取函数的性质
12
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖功率谱
x(t) t T
定义截取函数为：xT (t)

0
t T
2020/2/8
2020/2/8
3
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖确定信号分析
时域分析
信号特征分析
关键词
频域分析
傅立叶变换
Parseval定理 频谱
能谱
2020/2/8
功率谱
4
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖关于确定信号的一些假设 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
•狄利赫利条件
有限个极值；有限个断点；断点为有限值
能量谱密度存在的条件为：
s2 (t)dt
即信号总能量有限，s(t)也称为有限能量信号
2020/2/8
10
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖Parseval定理
信号在时域的总能量等于其在频域的总能量
即
[x(t)]2 dt 1

2

X
X
()
2d
证明： [x(t)]2 dt
2020/2/8
15
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何定义随机信号的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号） 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
T
2020/2/8
x(t)
0
xT (t)

刘次华版 平稳随机过程的谱分析

刘次华版 平稳随机过程的谱分析
平稳过程的谱分析
指导教师：卢玉贞
主讲人：柳 毅 团队成员：郑蓉蓉 潘智慧 李朝阳 李 阳 LOGO

7.3 窄带过程及白噪声过程的功率谱密度
窄带随机过程：谱密度限制在很窄的一段频率范围内。

求该过程的均方值及相关函数。 解 均方值为
S0 -2 1 例1: 已知窄带平稳过程的谱密度为 s X ( ) S0 1 2 0 其它
1 s XY ( )ei d 2 1 a ib i e d 2 0 1 [(a0 b) sin( 0 ) b0 cos(0 )]. 2
0 0
解： RXY ( )
0
7.5 平稳过程通过线性系统的分析
1 E[ X 2(t )] RX (0) 2
相关函数为



s X ( )d

2
1
1
2
1
s0 d
1

s0 (2 1 )
R X ( )

1

0
s X ( ) cos( )d 2 s0

1
s0 cos( )d 2 ) sin(
yt L e
H e
jt
jt
其中
H L e jt

t 0
对线性时不变系统输入一谐波信号时，其输出也是同频率的谐波， 只不过振幅和相位有所改变。其中H表示了这个变化，称它为系统的频 率响应函数一般地，它是复值函数。
7.5 平稳过程通过线性系统的分析
s XY ( )
2
s X ( ) sY ( ) .
(4) 若 X t 和 Y t 相互正交，则

平稳随机过程的谱分析-song

平稳随机过程的谱分析-song

RX ( )

1

0
已知平稳过程X(t)的谱密度为
2 S X ( ) 4 3 2 2
求X（t）的平均功率
sX ( ) 2 RX ( ) cos( ) d
0


已知平稳过程的相关函数为 RX ( ) e a cos(0 ) ，
其中 a > 0, 0 为常数，求谱密度 sX () .
9
狄利赫利条件：
• 在一个周期内只有有限个间断点； • 在一个周期内有有限个极值点； • 在一个周期内函数绝对可积， 一般周期信号都满足这些条件.
10
周期信号的另一种 三角函数正交集表示
f (t ) C0 Cn cos(n1t n )
n 1


f (t ) d 0 d n . sin( n1t n )
1/2
an
2/ 频谱图
1 2 2 f ( x) cos(2x) cos(6x) ...... 2 3
…f
n
0
1
3
13 -2/3
二、周期函数的复指数级数

由前知
f (t ) a0 (an cos n1t bn sin n1t )
n 1


由欧拉公式 f (t )
1 2 s X ( ) lim E X X (T , ) T 2T
谱密度的性质
2）实平稳过程的谱密度是偶函数
谱密度的性质
(3) 当 sX () 是 的有理函数时，其形式必为
a2 n 2 n a2 n 2 2 n2 a0 s X ( ) 2 m b2 m2 2 m2 b0
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1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
2）时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程：
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为：
X () x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为：
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含：振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均
S
X
()
E[S
X
(,
)]
E lim T
1 2T
X
T
(,
)
2
若为各态历经过程，则有：
S
X
()
lim
T
1 2T
E
XT
(,
)
2
lim T
1 2T
XT (, ) 2
即：样本函数的功率谱密度代表随机过程的功率谱密度
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
随机性信号功率谱分析的一个例子
Jean Baptiste Joseph Fourier约瑟夫·路易斯·拉格朗日
Joseph-Louis Lagrange
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖Parseval定理
信号在时域的总能量等于其在频域的总能量
即
[x(t)]2 dt 1
2
Xห้องสมุดไป่ตู้
X
()
2d
能量谱密度
能量谱密度存在的条件为：
，RX ( ) 0 。因此，通常情
34
况下，第二项为0)
4.2、功率谱密度与自相关函数的关系
Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem)
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
与功率谱密度构成一对傅氏变换，即：
SX ()
RX
(
)e
j
d
RX ( )
利用截取函数的性质
2020/5/20
12
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖功率谱
定义截取函数为：xT
(t
)
x(t 0
)
t T t T
2020/5/20
13
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖随机信号是否也可以应用频域分析方法？ ❖如何定义随机信号的功率谱？ ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
•绝对可积条件，即
x(t)dt
•能量有限条件，即
2
2020/5/20
x(t) dt
5
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换 对于确定信号x(t)，既可以通过时域分析，也可 以通过频域分析，时域和频域之间存在确定的关 系，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信 号可以表示傅立叶积分
Jean Baptiste Joseph Fourier约瑟夫·路易斯·拉格朗日
Joseph-Louis Lagrange
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
狄利克雷， 勒贝格杨 一同仰望莱布尼茨的肖像， 拉贝、泰勒，无穷小量， 是长廊里麦克劳林的吟唱。
打破了确界， 你来我身旁， 温柔抹去我， 阿贝尔的伤， 我的心已成自变量， 函数因你波起波荡。 低阶的有限阶的， 一致的不一致的， 是我想你的皮亚诺余项。
确定信号： x(t) X ( j) 随机信号：平稳随机过程的自相关函数
功率谱密度。
2020/5/20
29
4.2、功率谱密度与自相关函数的关系
Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem)
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
与功率谱密度构成一对傅氏变换，即：
第四章
平稳随机过程的谱分析
第四章 平稳随机过程的功率谱密度
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 4.2、功率谱密度与自相关函数的关系
4.3、互功率谱密度
4.4、平稳过程的谱分解
4.5、随机过程的采样定理
4.6、白噪声
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2
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
关键点
➢确定信号的频域分析 ➢随机信号是否也可以应用频域分析方法? ➢随机信号的频域分析
Frequency (Hz)
22
22
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
1）频域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
1
2
SX (, )d
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
1 2
E[SX (, )]d
若为各态历经过程：
W =W
随机过程的平均功率：不同的频率成分对随机信号的平均功 率的贡献。
3）频域计算与时域计算的关系
对于平稳随机过程，有
E[ X
2 (t)]
1
2
SX
( )d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
Exercise 4.1
已知随机过程X (t) a cos[ t ]，其中a, 为常量，为
0
0
均匀分布在0,0.5 中的随机变量,求X (t)的平均功率
E[X 2(t)]
E[a2 cos2(0t
2T
d
2T
2T 2T
1 2
RX
(
)e
j
du}
1
lim T 2T
2T 2T
(2T
)RX
(
)e jd
lim T
2T 2T
(1
2T
)RX
(
)e
j d
RX
(
)e
j
d
lim T
2T 2T
2T
RX
( )e j d
RX
(
)e
j
d
(注意T ， 0 且
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2T
E[ X
X
(T ,)X
*
X
(T ,)]
lim 1 T 2T
E[
T T
X (t1)e jt1 dt1
T T
X (t2 )e jt2 dt2 ]
lim 1 T 2T
T T
T T
E[ X
(t1)
X
(t2
)]e
j(t2 t1)dt1dt2
1
lim T 2T
T T
T T
RX
(t2
t1 )e
u 2T
4.2、功率谱密度与自相关函数的关系
Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem)
Proof of Theorem 4.1
则
SX
()
lim
T
1 2T
{
2T 0
d
2T 2T
1 2RX
(
)e
j
du
0
d
2T
2T 2T
1 2RX
(
)e
j
du}
lim{ 1 T 2T
T
x2 (t, )dt
T
lim 1 { 1 T 2T 2
XT
(, )
2 d}
1 2
lim 1 T 2T
XT (, ) 2d
功
率 谱
S
X
(,
)
lim
T
1 2T
XT19(, ) 2
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何定义随机信号的功率谱？
2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
s2 (t)dt
即信号总能量有限，s(t)也称为有限能量信号
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4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖Parseval定理
信号在时域的总能量等于其在频域的总能量
即
[x(t)]2 dt 1
2
X
X
()
2d
证明： [x(t)]2 dt
1
x(t)
2
X
X
()e
14
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖随机信号是否也可以应用频域分析方法？
对于随机过程，一般不满足绝对可积和能量有限 的这两个条件，这是因为一个随机过程的持续时间 是无限长的，所以其总能量不是有限的。这说明随 机过程的幅度频谱是不存在的，因此其频谱密度 和能量密度都不存在