2014高三数学二轮复习精品教学案：【专题五】数学方法之特殊解法

一．考场传真1.【2013年高考新课标1卷】设1z 、2z 是复数, 则下列命题中的假命题是 （ ） A.若120z z -=，则12z z = B.若12z z =，则12z z =C.若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D.若12z z =，则2212z z =2.【2012年高考上海卷】若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ） A.2b =，3c = B.2b =-，3c = C.2b =-，1c =- D.2b =，1c =-3.【2013年高考浙江卷理】某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ） A.4=a B.5=a C.6=a D.7=a4.【2013年高考重庆卷理】执行如图2所示的程序框图，如果输出3s =，那么判断框内应填入的条件是（ ）A.6k ≤B.7k ≤C.8k ≤D.9k ≤5.【2013年高考新课标1卷】执行如图3所示的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的s 属于（ ）A.[]3,4-B.[]5,2-C.[]4,3-D.[]2,5-6.【2012年高考湖北卷】定义在()(),00,-∞+∞ 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，(){}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞+∞ 上的如下函数：①()2f x x =；②()2x f x =；③()f x =；④()ln f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ）A.①②B.③④C.①③D.②④7.【2013年高考四川卷理】设1P 、2P 、 、n P 为平面α内的n 个点.在平面α内的所有点中，若点P 到点1P 、2P 、 、n P 的距离之和最小，则称点P 为点1P 、2P 、 、n P 的一个“中位点”.例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点.现有下列命题： ①若三个点A 、B 、C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A 、B 、C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A 、B 、C 、D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是_______.（写出所有真命题的序号）8.【2013年高考湖北卷理】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1、3、6、10、 ，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为()(),3N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+， 正方形数 ()2,4N n n =，五边形数 ()231,522N n n n =-， 六边形数 ()2,62N n n n =-，………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算()10,24N =_________.9.【2013年高考江苏卷】设数列{}:1n a 、2-、2-、3、3、3、4-、4-、4-、4-、 、11(1),,(1)k k k k k ---⋅⋅⋅-个、，即当()()()1122k k k k n k N *-+<≤∈时，记()11k n a k-=-.记()12n n S a a a n N *=++⋅⋅⋅+∈.对于l N *∈，定义集合{},,1l n n p n S a n N n l *=∈≤≤是的整数倍且.（1）求集合11p 中元素的个数； （2）求集合2000p 中元素的个数.二．高考研究考纲要求.1.算法初步（1）算法的含义、程序框图①了解算法的含义，了解算法的思想；②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.（2）基本算法语句理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.2.推理与证明（1）合情推理与演绎推理.①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.（2）直接证明与间接证明.①了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.3.数系的扩充与复数的引入（1）复数的概念①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义.（2）复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.命题规律1.题量、题型稳定：复数、算法程序框图都是高考中的基础题型，一般地，复数与算法程序框图在高考试题中出现两个题目，以填空题或选择题的形式出现，两者各占一题，每题5分；推理证明、新定义的题，在高考题中也经常出现，以填空、选择题的形式出现，一般作为选择、填空的最后一题，一般这些题在高考中出现一题或两题，其所占平均分值比例为10%~13%.2.知识点分布均衡、重难点突出：以2013年全国新课标卷数学高考《考试说明》为参考，可理解为有19个知识点，一般考查的知识点在60％左右，其中对复数、算法、推理与证明等知识点的考查比较全面，更注重知识点有机结合以及重难点的分布，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，也是新课标高考中新增加的内容，也是新课标高考中新增加的元素.高考十分注重逻辑思维的考查，以循环结构为主，有的也考查条件结构，注重知识点的有机整合，强调知识点在学科内的综合，在考查中也渗透数列、函数以及统计等方面的内容.推理与证明是新课标中的重要内容.高考中也十分注重逻辑思维能力的考查，在推理部分，主要考查归纳推理、类比推理以及新定义，在考查时结合数列、函数以及几何部分的内容，命题时注重了数学学科重点内容的考查以及新定义的理解，并保持必要的深度；在证明部分，加强了直接证明与间接证明法以及数学归纳法在综合中的应用，考查学生的推理论证能力.复数是高中数学的一个基本组成部分.高考中注重复数概念、运算以及几何意义的考查，以复数的四则运算为基石，综合考查复数的概念以及几何意义的理解.3.设计新颖、形式多样、难易适度：复数、算法都是高考中的基础知识，在高考中的考查一般以容易题出现，考查的形式以选择题、填空题出现，考查学生对于复数相关概念以及几何形式的理解以及分析问题的能力、逻辑思维能力，这部分的难度基本控制在0.05~0.25之间；推理证明、新定义一般处于选择、填空题的最后一题，考查学生逻辑推理能力以及新定义的理解，属于较难题. 试题平均难度为0.29（其中选择、填空难度0.15～0.52，平均难度0.29，解答题难度在0.11～0.30，平均难度0.17）.一．基础知识整合算法与程序框图③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. ⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 2.程序框图（1）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明.（2）构成程序框的图形符号及其作用（3）算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.①顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构.顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤.在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作.②条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构条件P是否成立而选择执行A框或B框.无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行.一个判断结构可以有多个判断框.条件结构主要应用于一些需要依据条件进行判断的算法中，如分段函数的的求值、数据大小关系等问题中，常常用条件结构来设计算法.③循环结构的两种基本类型：（a）当型循环：当给定的条件成立时，反复执行循环体，直至条件不成立为止；（b）直到型循环：先第一次执行循环体，再判断给定的条件是否成立，若成立，跳出循环体；否则，执行循环体，直至条件第一次不成立为止.循环结构一般用于一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题常常用循环结构来解决.3.算法语句：（1）输入语句②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开.（2）输出语句②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符.（3）赋值语句①赋值语句的一般格式②赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；③赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的.赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量； ④赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式； ⑤对于一个变量可以多次赋值.注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式.如：2X =是错误的； ②赋值号左右不能对换.如“A B =”“B A =”的含义运行结果是不同的； ③不能利用赋值语句进行代数式的演算.（如化简、因式分解、解方程等）； ④赋值号“=”与数学中的等号意义不同. （3）条件语句分析：在IF —THEN —ELSE 语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF 表示条件语句的结束.计算机在执行时，首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN 后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE 后面的语句2.注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；END IF 表示条件语句的结束.计算机在执行时首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN 后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句.（4）循环语句循环结构是由循环语句来实现的.对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构.即WHILE语句和UNTIL 语句.（b）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止.这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND 语句后，接着执行WEND之后的语句.因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环.（b）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句.分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）（1）当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环推理与证明1.合情推理：前提为真时，结论可能为真的推理叫做合情推理.（1）归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理叫做归纳推理，它是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：根据两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，它是由特殊到特殊的推理.2.演绎推理：根据一般性的原理，推出某个特殊情况下的结论叫做演绎推理，它是由一般到特殊的推理.基本形式是三段论：（1）大前提，已知的一般性原理；（2）小前提，所研究的特殊情况；（3）结论.4.反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.5.数学归纳法：.数学归纳法：（1）当n 取第一个值0n （例如1n =）时，证明命题成立；（2）假设当n k =()0,k Nk n *∈≥时命题成立，并证明当1n k =+时，命题也成立，于是命题对一切n N *∈，0n n ≥，命题都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.运用数学归纳法证明命题分为两步：第一步是递推的基础，第二是递推的依据，这两步缺一不可的.复数1.复数的相关概念：（1）形如a bi +(),a b R ∈的数叫复数，其中i 叫做复数的虚数单位，且21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.复数集用集合C 表示. （2）复数的分类：对于复数z a bi =+(),a b R ∈① 当0b =时，z 是实数； ② 当0b ≠时，z 是虚数； ③ 当0a =且0b ≠时，z 是纯虚数.（3）复数相等：若1z a bi =+(),a b R ∈，2z c di =+(),c d R ∈，则12z z =的充要条件是a c =且b d =.特别地：若0a bi +=(),a b R ∈的充要条件是0a b ==.2.复数的几何意义：（1）复平面：x 轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数；y 轴叫做虚轴，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.（2）复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内的点(),Z a b 一 一对应.（3）复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内所有以原点O 为起点的向量OZ一 一对应. （4）复数的模：向量OZ的模叫做复数z a bi =+(),a b R ∈的模，记作z 或a bi +，且||z =3.复数的四则运算：（1）共轭复数：实部相等，虚部互为相反数.若z a bi =+(),a b R ∈，则它的共轭复数z a bi =-.（2）复数的加法、减法、乘法、除法运算：除法法则：()()()()2222a bi c di a bi ac bd bc adi c di c di c di c d c d+-++-==+++-++； 4.重要性质：1i i =，21i =-， 3i i =-，41i =. 41ni=，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-.二．高频考点突破考点1 复数的与实系数方程之间的关系【例1】【广东省广州市2013届高三普通毕业班综合测试二】若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方2x +()20,px q p q R +=∈的一个解，则p q +=（ ）A.3-B.1-C.1D.3()2210i p i q -+-+=，化为复数的一般形式得()()2220p q p i ++--=，根据复数相【规律方法】根与实系数方程之间的关系体现在，一是根代入方程，相应的等式成立；二是体现在韦达定理上，即实系数一元二次方程()200,,,ax bx c a a b c R ++=≠∈的两根分别为1x 、2x ，则12b x x a +=-，12cx x a⋅=，不仅对0∆≥的情况成立，对0∆<的情形（即方程的根为虚根）也成立.【举一反三】【湖北省黄冈中学、黄石二中、鄂州高中2014届高三三校11月联考】已知复数32z i =-+（i为虚数单位)是关于x 的方程220x px q ++=（p 、q 为实数)的一个根，则p q +的值为 （ ）A.22B.36C.38D.42考点2 复数的概念与运算【例2】【广东省广州市海珠区2013届高三综合测试一】下面是关于复数21z i=-的四个命题：1p :2z =， 2:p 22z i =， 3:p z 的共轭复数为1i -+ 4:p z 的虚部为1，其中真命题为 （ ）A. 2p 、3pB.1p 、2pC.2p 、4pD.3p 、4p【规律方法】对于复数概念、几何意义等相关问题的求解，其核心就是要将复数化为一般形式，即z a bi =+(),a b R ∈，实部为a ，虚部为b .（1）复数的概念：①z 为实数0b ⇔=；②z 为纯虚数0a ⇔≠且0b =；③z 为虚数0b ⇔≠.（2）复数的几何意义：①z a bi z =+⇔在复平面内对应的点(),Z a b z ⇔在复平面对应向量(),OZ a b =；②复数z 的模z a bi =+=.（3）共轭复数：复数z a bi =+与z a bi =-互为共轭复数.【举一反三】【河南省郑州市四中2013届高三第十三次调考】对于任意复数(),z a bi a b R =+∈，i 为虚数单位，则下列结论中正确的是（ ）A.2z z a -=B.2z z z⋅= C.1zz= D.20z ≥考点3 算法与数列综合【例3】【2013年高考辽宁卷】执行如图4示的程序框图，若输入10n =，则输出的S = （ ）A.511 B.1011 C.3655D.7255【规律方法】若数列{}n a 为公差为()0d d ≠的等差数列，()1n n k k N a a *+⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭型数列求和一般是利用裂项法，裂项公式为1111n n k n n k a a kd a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，为了方便求出数列()1n n k k N a a *+⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和，可以采用将没数列中裂项后被减项写在一起，减数项写在一起，方便观察哪些项消去了，即1122111111111n k k n n kS kd a a kd a a kd a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12121111111n k k n k kd a a a a a a +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，但是在处理算法与数列求和问题时，一定要确定循环次数，即在数列中有求和的项数.【举一反三】【2013年高考福建卷理】阅读如图5所示的程序框图，若编入的10k =，则该算法的功能是（ ） A.计算数列{}12n -的前10项和 B.计算数列{}12n -的前9项和C.计算数列{}21n-的前10项和 D.计算数列{}21n-的前9项和考点4 判断条件的选择【例4】【广东省深圳市宝安区2014届高三调研考试】运行下图框图输出的S 是254，则①应为（ ）.A.5≤nB.6≤nC.7≤nD.8≤n【规律方法】等差数列{}n a 的求和公式：()()11122n n n a a n n dS na +-==+（d 为等差数列{}n a 的公差）；等比数列{}n a 的求和公式：()()1110,111n n n a q a a qS q q qq--==≠≠--（q 为等比数列{}n a 的公比）.在判断条件的选择上，需要注意两方面的问题：一是控制变量是增大还是减小，从而决定判断条件中对控制变量所使用的不等号；二是循环进行的次数，决定判断条件中临界值的选择. 【举一反三】【浙江省金华一中2014届高三10月月考】若框图（图7）所给的程序运行结果为5040S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是___________.考点5 算法与函数综合【例5】【湖北省孝感市2014届高三第一次统一考试】运行如图8所示的算法流程图，当输入的x值为（）时，输出的y值为4.A.1B.1-C.2-D.3-【规律方法】分段函数问题的求解主要在于根据自变量的不同取值确定相应的函数解析式，利用解析式来求解分段函数问题.对于分段函数的问题，一般有以下几种考查形式：①求分段函数值，根据自变量的取值选择合适的解析式进行计算，对于复合函数的求值，计算时遵循由内到外的原则；②由函数值求相应的自变量的取值，即令每个解析式等于相应的值求出自变量的值，并对自变量的取值是否在区间进行取舍；③求解分段函数不等式，对自变量在相应区间的取值下解不等式，并将解集与定义域取交集得到最终答案.【举一反三】【四川省资阳市2014届高三第一次诊断性考试】已知x R∈，根据如图9所示的程序框图，则不等式()12 2f x x≥-+的解集是____________.考点6 归纳推理【例6】【广东省珠海一中等六校2014届高三第一次联考】将石子摆成如图10的梯形形状.称数列5、9、14、a=；第n项20、 为“梯形数”.根据图形的构成，数列第6项6a=.n图10【规律方法】归纳推理主要用于与自然数有关的等式或不等式的问题中，一般在数列的推理中常涉及.即通过前几个等式或不等式出发，找出其规律，即找出一般的项与项数之间的对应关系，一般的有平方关系、立方关系、指数变化关系或两个相邻的自然数或奇数相乘等基本关系，需要对相应的数字的规律进行观察、归纳，一般对于的等式或不等式中的项的结构保持一致. 【举一反三】【山西省山大附中2014届高三9月月考】观察下列算式：113=， 5323+=，119733++=，1917151343+++=，… … … …若某数3m 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则=m _______考点7 类比推理【例7】【陕西省西安市长安区长安一中2014届高三第二次质量检测】对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则0OB OA OA OB ⋅+⋅=；将它类比到平面的情形是：若O 是ABC ∆内一点，有OBC OCA S OA S OB ∆∆⋅+⋅0OBA S OC ∆+⋅=；将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有__________________.【规律方法】类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.【举一反三】【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检】在等差数列{}n a 中，若m a p =，n a q =(),,1m n N n m *∈-≥，则m n nq mpa n m+-=-类比上述结论，对于等比数列{}()*0,n n b b n N >∈，若m b r =，()2,,n b s n m m n N*=-≥∈，则可以得到m n b += .考点8 新定义【例8】【福建省厦门市外国语学校2014届高三第一次月考】设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“关联函数”，区间[],a b 称为“关联区间”.若()234f x x x =-+与()2g x x m=+在[]0,3上是“关联函数”，则m 的取值范围为 （ ）A.9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B.[]1,0- C.(],2-∞-D.9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【规律方法】新定义主要应用于函数、解析几何以及数列中，一般先要理解题中的新定义，然后借助相应的方法进行求解.对于函数或数列不等式恒成立问题以及函数零点个数问题，一般采用分类讨论法或参数分离法求解；对于解析几何中的新定义，一般结合图象来量化问题，将问题中涉及的几何量利用图形直观地表示出来，从图形中得到准确解答.【举一反三】【2013年高考福建卷理】设S、T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数()y f x =满足：（i ）(){}T f x x S =∈；（ii ）对任意1x 、2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A.A N *=，B N = B.{}13A x x =-≤≤，{}8010B x x x ==-<≤或C.{}01A x x =<<，B R = D.A Z =，B Q =考点9 数学归纳法【例9】【广东省五校协作体2014届高三第二次联考】已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n 为正整数）.（1）令2nn n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）令1n n n c a n +=，12n n T c c c =+++ ，试比较n T 与251nn +的大小，并予以证明.式11122n n n a a --=+，在等式两边同时乘以12n -得到11221n n n n a a --=+，由2n n n b a =，由【规律方法】数学归纳法一般用于与自然数有关的命题、等式或不等式的证明，其解题步骤为：第二数学归纳法的证明步骤是：①归纳奠基：证明当取第一个自然数0n 时命题成立；②归纳递推：假设n k =()0,k Nk n *∈≥时，命题成立，证明当1n k =+时，命题成立；③由①②得出结论.利用数学归纳法来进行证明时，需要注意两个问题：一是验证时n 的初始值不一定为1，要视具体情况而定；二是由n k =到1n k =+时，所需的跨度，即式子两边增加了多少项.【举一反三】【江苏省扬州中学2014届高三开学考试】数列{}21n-的前n 项组成集合n A ={}()1,3,7,,21nn N *-∈ ，从集合n A 中任取()1,2,3,,k k n = 个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =+++ ．例如：当1n =时，{}11A =，11T =，11S =；当2n =时，{}21,3A =，113T =+，213T =⨯，213137S =++⨯=.（1）求3S ；（2）猜想n S ，并用数学归纳法证明.三．错混辨析1.忽视判别式∆适用的前提【例1】求实数m 的取值范围，使方程()()24120x m i x mi ++++=至少有一个实根.2.忽视对循环结构的合理分析【例2】如果执行如图11所示的程序框图，那么输出的S =（ ）A.1275B.2550C.5050D.25003.忽视数学归纳法中证题时的跨度 【例3】用数学归纳法证明：()111122234212n n n -++++>≥- .1.（原创题）在复数集C 上定义运算“⊗”：当12z z ≥时，1122z z z z ⊗=；当12z z <时，1212z z z z ⊗=，若113z i =+，21z i =+，33z i =-，则复数()123z z z ⊗⊗在复平面内所对应的点位于 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（原创题）执行如图12所示的算法程序框图，若输出的y值满足12y ，则输入的x值的取值范围是.【解析】3.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考】将全体正奇数排成一个三角形数阵：135791113151719按照以上排列的规律，第n 行()3n ≥从左向右的第3个数为.4.（原创题）已知平面坐标系内两点()11,A x y 、()22,B x y ，定义直角距离()1212,d A B x x y y =-+-.已知点()1,3P ，点Q 为直线20x y ++=上一点，则(),d P Q 的最小值是.12315x x x x =-+---=-++，利用绝对值的几何意义可知，5.【湖北省武汉市部分学校2014届高三11月联考】已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意0x >，都有()()f x f x x'>.（1）判断函数()()f x F x x=在()0,+∞上的单调性；（2）设1x 、()20,x ∈+∞，证明：()()()1212f x f x f x x +<+； （3）请将（2）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论.（3）推广：对任意2n ≥且n N *∈，若1x 、2x 、 、()0,n x ∈+∞，。

高中数学的不同解法教案
教学内容：本次教学将针对高中数学题目的不同解法进行讲解，通过多种解题方法的比较，帮助学生理解数学问题的本质，培养学生的数学思维和解题技巧。

教学目标：
1. 学生能够掌握数学问题的多种解法
2. 学生能够灵活运用不同解法解决数学问题
3. 学生能够提高数学解题的效率和准确性
教学步骤：
第一步：引入问题
引入一道高中数学题目，并要求学生列出他们认为可能的解题方法。

第二步：讲解解题方法
1. 教师介绍一种解题方法，例如代数方法；
2. 学生跟随教师的指导，尝试用该方法解答题目；
3. 学生讨论并比较这种方法与自己原先列出的解题方法之间的异同，探讨出最优解法。

第三步：引入另一种解法
1. 教师引入另一种解题方法，如几何方法；
2. 学生再次跟随教师的指导，尝试用该方法解答同一道题目；
3. 学生再次进行讨论比较，并找出不同解法的优缺点。

第四步：练习与巩固
1. 学生自行选择一些题目进行练习，尝试用多种解法解答；
2. 学生进行小组讨论，分享各自的解题过程和经验；
3. 教师进行点拨和指导，帮助学生进一步巩固所学知识。

第五步：总结与反思
教师带领学生总结本节课所学不同解法的优势和劣势，并引导学生思考在实际解题中如何
选择最合适的解题方法。

教学反馈：
1. 课后布置练习题，要求学生用不同解法解答；
2. 下节课开展讨论和分享，学生展示不同解法的优缺点；
3. 教师定期巩固学生掌握情况，调整教学策略，帮助学生提高解题水平。

第四讲转化与化归思想1．转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．2．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想,我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性．3．转化与化归思想的原则（1)熟悉已知化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2）简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题,通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的．(3）具体化原则:化归方向应由抽象到具体．（4)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式;或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时,其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决．1． (2012·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝错误!，S 2＝a 3，则a 2＝________。

答案 1解析 设出等差数列的公差，列方程求解．设｛a n }的公差为d ,由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ，又a 1＝12,所以d ＝错误!，故a 2＝a 1＋d ＝1。

【专题六】数学方法之特殊证法【考情分析】近几年的高考虽然削弱了在不等式证明方面的要求，但像立体几何中位置关系的认定，数列关系式的认可以及解析几何性质的证明都是频频出现的考试形式。

在高考中所占的分值大约在30分左右。

这类考题的特点是：（1）立体几何证明多以线、面间垂直或平行关系的证明为主，解决此类问题的思路是应用好在该部分学习的判定定理和性质定理即可；（2）数列题可能是与等差等比数列定义或性质有关的结论的证明问题（譬如证明数列是否为等差或等比数列，这类题目要应用好定义和性质公式，技巧性很强）、也可能是复合不等式知识的或单纯等式形式的与自然数有关的结论的证明问题（解题思路是可能应用数学归纳法或放缩法）；（3）解析几何中的解答题经常与平面几何图形相结合，经常判断一些位置关系，此类题目的证明多要结合几何特征，应用好代数关系式说明；预测2013年高考的趋势为：题型、题量以及出题点还和往年一样，基本保持不变；【知识归纳】1．定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解决问题。

数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。

定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。

定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。

简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。

用定义法解题，是最直接的方法。

2．反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。

反证法的实质：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。

具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。