专题：一元二次方程的八种解法(后附答案)【精品】

1.2.2 一元二次方程的解法-配方法考点一．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．考点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．题型1：配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（ ）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．2222()a ab b a b ±+=±【解析】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ）A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t æö-=ç÷èøD ．23420x x --=化为221039x æö-=ç÷èø【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确，故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．4．关于y 的方程249996y y -=，用___________法解，得1y =__，2y =__．【答案】 配方 102 98-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【解析】249996y y -=，24499964y y -+=+，2(2)10000y -=，2100y -=±，1002y =±+，12102,98y y ==-，故答案为：配方，102，98-．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．5．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）A ．2224()24b ac b x a a -+=B ．2224()22b b ac x a a -+=C ．2224()24b b ac x a a -+=D ．2222()22b b ac x a a ++=6．用配方法解方程22103x x -+=，正确的是（ ）A ．212251()1,,333x x x -===-B ．224(),39x x -==C ．238(29x -=-，原方程无实数解D ．2()1839x -=-，原方程无实数解7．用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．8．ABC D 的三边分别为a 、b 、c ，若8+=b c ，21252bc a a =-+，按边分类，则ABC D 是______三角形【答案】等腰【分析】将8+=b c ，代入21252bc a a =-+中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a 与c 的值，进而求出b 的值，即可确定出三角形形状．【解析】解：∵8+=b c ∴8b c =- ，∴()288bc c c c c =-=-+，∴2212528bc a a c c =-+=-+，即2212361680a a c c -+++-=，整理得：()()22640a c -+-=，∵()260a -³，()240c -³，∴60a -=，即6a =；40c -=，即4c =，∴844b =-=，则△ABC 为等腰三角形．故答案是：等腰．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．如果一个三角形的三边均满足方程210250x x -+=，则此三角形的面积是______10．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【解析】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．题型3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题11．若M =22x -12x +15，N =2x -8x +11，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N 【答案】A【解析】∵M=22x -12x +15，N=2x -8x +11，∴M-N=222222(21215)(811)2121581144(2)x x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=-+=- .∵2(2)0x -³，∴M-N ³0，∴M ³N.故选A.点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.12．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．不确定【答案】A【分析】把x =a 代入3个方程得出a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，3个方程相加即可得出（a +b +c ）（a 2+a +1）=0，即可求出答案．【解析】把x =a 代入ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0得：a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，相加得：（a +b +c ）a 2+（b +c +a ）a +（a +b +c ）=0，13．已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-14．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【解析】配方得：226(3)9x x c x c -+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴90c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．15．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2－2x －4y+16的值总是_______数．【答案】正【解析】x 2+y 2－2x －4y +16=（x 2－2x +1）+（y 2－4y +4）－1－4+16=（x －1）2+（y －2）2+11，由于（x －1）2≥0，（y －2）2≥0，故（x －1）2+（y －2）2+11≥11，所以x 2+y 2－2x －4y +16的值总是正数.故答案为正.点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.16．不论x ，y 为什么数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值（ ）A ．总大于7B ．总不小于9C ．总不小于﹣9D ．为任意有理数【答案】C【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．【解析】解：4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7＝4x 2＋8x ＋4＋3y 2−12y ＋3＝4（x 2＋2x ＋1）＋3（y 2−4y ＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y 2−4y ＋4−4＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y −2）2−9，∵（x ＋1）2≥0，（y −2）2≥0，∴4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7≥−9．即不论x 、y 为什么实数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值总不小于−9．故选：C ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．17．若12123y z x +--==，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）A ．3B ．5914C ．92D ．618．关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则a =③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p =，2c =，则此三角形面积的最大值是_________．20．已知y=x，y均为实数），则y的最大值是______．21．已知152a b c +--=-，则a b c ++=____________22．已知212y x x c =+-，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，则c 的取值范围_______.【答案】c ＜−1【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c 的范围．【解析】原式分母为：x 2＋2x−c ＝x 2＋2x ＋1−c−1＝（x ＋1）2−c−1，∵（x ＋1）2≥0，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，∴−c−1＞0，解得：c ＜−1．故填：c ＜−1【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．23．（1）设220,3a b a b ab >>+=，求a b a b+-的值．（2）已知代数式257x x -+，先用配方法说明：不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？24．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++¹中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(4)x x x x -+=+-或2242((4x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．25．若实数x ，y ，z 满足x ＜y ＜z 时，则称x ，y ，z 为正序排列．已知x =﹣m 2+2m ﹣1，y =﹣m 2+2m ，若当m 12＞时，x ，y ，z 必为正序排列，则z 可以是( )A ．m 14+B ．﹣2m +4C ．m 2D ．1A．甲B．乙C．丙D．丁故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．7．代数式243x x -+的最小值为（ ）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【解析】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -³，∴()2211x --³-即代数式2|431x x -+³-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．8．已知625N m =-，22M m m =-(m 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M N<B ．M N >C ．M N =D ．不能确定【答案】B 【分析】求出M N -的结果，再判断即可．【解析】根据题意，可知()22226258169490M N m m m m m m -=--+=-++=-+>，所以M N >．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．9．若22242021p a b a b =++++，则p 的最小值是（ ）A ．2021B ．2015C ．2016D ．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【解析】解：22242021p a b a b =++++2221442016a ab b =++++++()()2221442016a ab b =++++++()()22120162a b ++=++，∵()210a +³，()220b +³，∴p 的最小值为2016，故选：C ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．10．新定义：关于x 的一元二次方程21()0a x m k -+=与22()0a x m k -+=称为“同族二次方程”．如22021(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程22(1)10x -+=与()()22480a x b x ++-+=是“同族二次方程”，那么代数式22021ax bx ++能取的最小值是（ ）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016【答案】D【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．【解析】解：22(1)10x -+=Q 与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x \++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a \++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+ìí=+î，解得：510a b =ìí=-î．∴()22220215102021512016ax bx x x x ++=-+=-+\当1x =时，22021ax bx ++取最小值为2016．故选：D ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．二、填空题11．将一元二次方程2410x x -+=变形为()2x h k +=的形式为______三、解答题。

专题1.13 解一元二次方程（精选100题）（全章专项练习）21．解方程：(1)()()2232x x -=-；(2)22610x x ++=．2．（1）213102x x --=（2）228=0x x --．3．选用适当的方法解下列方程．(1)260x x --=；(2)230x x +=．4．解方程：(1)()()2232x x -=-(2)2240x x --=5．用适当方法解方程：(1)()44x x +=；(2)22310x x -+=．6．（1）解方程31144xx x ++=--；（2）232(2)x x +=+．7．解方程：(1)22x x=(2)22610x x -+=8．解方程(1)()4416x x x -=-；(2)22830x x -+=9．解方程：(1)()219x -=；(2)()211x x x -=-．10．解方程：(1)2(2)4(2)x x +=+；(2)22310x x --=．11．解方程：(1)()()2311x x x -=-；(2)2251x x -=-．12．解方程：(1)2215x x -=.(2)()()()1525x x x -+=-+；13．解下列方程：(1)()234x x x -=-．(2)()22239x x -=-．14．解下列方程：(1)23(1)27x -=；(2)241x =．15．解下列方程．(1)()()22321y y -=-．(2)213120x x -+=．16．解方程：(1)26925x x ++=(2)()25160x x +-=17．用适当的方法解下列方程：(1)2230x x --=；(2)()2(1)21x x x +=+；(3)220y -=；(4)2(2)120y --=．18．选择合适的方法解下列方程：(1)228=0x x --．(2)()()3121x x x -=-．19．解下列方程：(1)33222x x x-+=--；(2)230x x --=．20．解方程：(1)214210x x -+=．(2)()23642x x x -=-．21．用合适的方法解方程：(1)2961-=-x x ；(2)()()32510--=x x ．22．解下列方程：(1)()22240x x -+-=；(2)1211x x x -=--．23．解方程：(1)217x x +=；(2)2450x x +-=．24．解方程：(1)用配方法：23410x x --=；(2)用公式法：()22541x x -=+．25．解方程：(1)()2263x x -=-(2)2470x x --=26．（1）解方程 2450x x --=．（2）方程 ()()220244202450x x ----=的解为 ．27．解方程：(1)2560x x +-=（用配方法解）；(2)223203x x +-=（用公式法解）．28．解方程：(1)2480x x --=；(2)()3260y y y -+-=．29．按要求解一元二次方程：(1)22530x x --= （配方法）(2)()()()112313x x x +-++=（因式分解法）30．用适当的方法解方程(1)()281216x -=(2)2660y y --=(3)2481x x --=-(4)()()4131x x x -=-31．用适当的方法解下列方程：(1)21690x -=(2)2120x x --=32．解方程．(1)1221x x =-+(2)220x x --=33．解方程(1)2430x x -+=．(2)2810x x --=．34．解下列方程(1)()25160+-=x (2)22630x x --=35．解方程：(1)2270x x --=；(2)()()2565x x +=+．36．解方程(1)2420x x --=(2)2620x x -=37．解方程：(1)()()32332x x x -=-；(2)2142x x +=．38．（1）23610x x -+=（用配方法）（2）()1x x x-=39．用适当的方法解下列方程：(1)()2214x -=；(2)()()()23213x x x +=-+．40．求下列方程中x 的值：(1)210009x -=；(2)()2149x -=．41．解方程：(1)()()2454x x +=+(2)()()134x x +-=-42．解方程(1)()()4540x x x -+-=；(2)2410x x -=+．43．解方程：(1)()()21210x x ---=(2)22310x x +-=44．解方程：(1)2430x x -+=；(2)22310x x --=．45．（1）用配方法解方程：221x x =-；（2）用适当的方法解方程：()2142x x x -=-．46．解方程：(1)22310x x +-=；（配方法）(2)221(3)x x x -=+．47．解下列方程：（1）351122x x x -=---；（2）2430x x -+=．48．解下列方程：(1)22150x x +-=；(2)()()22121y y +=-．49．解下列一元二次方程：(1)2(1)4x +=；(2)22730x x -+=．50．解方程：(1)210x x --=(2)()22x x x +=+1．(1)1225x x ==，(2)12x x ==【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．（1）利用因式分解法进行求解即可；（2）利用公式法求解方程即可．【详解】（1）解：()()2232x x -=-，()()22320x x ---=，()()2230x x ---=，()()250x x --=，1225x ，x \==；（2）22610x x ++=，261a b c ===，，，22\D >，x \==1x \2．（1）13x =，23x =（2）12x =-，24x =【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键（1）由公式法解一元二次方程即可得到答案；（2）由十字相乘法解一元二次方程即可得到答案．【详解】解：（1）213102x x --=，1312a b c ==-=-Q ，，21(3)4(1)112\=--´´-=V ，3x \==解得13x =+，23x =（2）228=0x x --，\()()240x x +-=，20x +=或40x -=，解得12x =-，24x =．3．(1)13x =，22x =-(2)10x =，23x =-【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）利用十字相乘法分解因式，得到30x +=或20x +=，再解一元一次方程即可；（2）提取公因式分解因式，得到0x =或30x +=，再解一元一次方程即可；【详解】（1）解：260x x --=，()()320x x -+=，30x \+=或20x +=，\13x =，22x =-；（2）解：230.x x +=，()30x x +=，0x \=或30x +=，\10x =，23x =-．4．(1)12x =，25x =(2)11x =21x =【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是解题的关键.（1）变形后利用因式分解法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可.【详解】（1）()()2232x x -=-∴()()22320x x ---=因式分解为()()250x x --=∴20x -=或50x -=解得12x =，25x =（2）2240x x --=则224x x -=两边都加上一次项系数一般的平方得到()()2222141x x -+-=+-∴()215x -=，开平方得，1x -=∴11x =+21x =-5．(1)12x =，22x =--(2)11x =，212x =【分析】本题考查解一元二次方程．根据方程的特征选择恰当方法求解是解题的关键．（1）用配方法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：∵()44x x +=，∴244x x +=，即2448x x ++=，∴()228x +=，∴2x +=±∴12x =，22x =--．（2）解：∵22310x x -+=，∴()()1210x x --=，∴10x -=或210x -=，∴11x =，212x =．6．（1）0x =；（2）11x =+21x =【分析】本题考查解分式方程和一元二次方程：（1）将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可；（2）公式法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）去分母得：()()341x x ++-=-整理得：211x -=-，移项合并得：0x =，经检验0x =是分式方程的解；（2）方程化为一般式为2210x x --=，2(2)41(1)80D =--´´-=>，1x ===±1211x x \==7．(1)10x =，22x =(2)1x =2x 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．（1）用因式分解法解方程即可；（2）利用求根公式法解方程即可．【详解】（1）解：原方程移项得220x x -=，()20x x -=，解得10x =，22x =．（2）2a =Q ，6b =-，1c =，x \==1x \8．（1）124x x == （2）1x =，2x =【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法．【详解】解：（1）()4416x x x -=-()44(4)0x x x ---=()240x -=解得：124x x ==；（2）22830x x -+=283a b c ==-=，，，2464423400b ac -=-´´=>，∴∴x =，1x =9．(1)1242x x ==-，(2)12112x x ==-，【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方程是解题关键．（1）利用直接开方法求解一元二次方程即可；（2）利用因式分解方求一元二次方程．【详解】（1）解：()219x -=，13x -=±，1242x x \==-，；（2）()211x x x -=-，()()2110x x x -+-=，(1)(21)0x x -+=，12112x x ==-，．10．(1)122,2x x =-=；(2)1x =，2x =【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法，根据方程的特点，选择合适的方法解方程是解决问题的关键．（1）用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【详解】（1）解：2(2)4(2)x x +=+，2(2)4(2)0x x +-+=，(2)(24)0x x ++-=，∴122,2x x =-=；（2）22310x x --=，其中2,3,1a b c ==-=-，∴()942117D =-´´-=，∴x1x \2x =．11．(1)11x =，2x =(2)1x =，2x 【分析】本题考查解一元二次方程，（1）将方程移项，然后提取公因式()1x -，然后将方程转化为两个一元一次方程来求解即可；（2）将方程整理为一般形式，找出a 、b 、c 的值，计算出根的判别式，再代入求根公式即可求解；熟练掌握解一元二次方程的一般方法并灵活运用是解题的关键．【详解】（1）解：()()2311x x x -=-，∴()()23110x x x ---=，∴()()1310x x x --é-ùû=ë，即()()1210x x -+=，∴10x -=或210x +=，解得：11x =，212x =-；（2）整理得：22510x x -+=，此时2a =，=5b -，1c =，∵()25421258170D =--´´=-=>，∴x =∴1x 2x =．12．(1)5x =或3x =-(2)1x =-或5x =-【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用因式分解法来解答.（1）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果.（2）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果.【详解】（1）解：²215,x x -=()()530x x -+=,即:50x -=或30x +=,∴5x =或3x =-；（2）解：()()()1525x x x -+=-+,()()()15250x x x -+++=,()()1250x x -++=,即: 10x +=或50x +=,∴1x =-或13．(1)12x x ==(2)123,9x x ==【分析】本题主要考查解一元二次方程：（1）方程整理后运用公式法求解即可；（2）方程移项后运用因式分解法求解即可【详解】（1）解：()234x x x -=-2264x x x -=-22740x x -+=∵()274244932170,D =--´´=-=>∴x =∴12x x =（2）解：()22239x x -=-，()()222390,x x ---=()()()223330,x x x --+-=()()()32330x x x ---+=éùëû，()()390x x --=，30,90,x x -=-=解得，123,9x x ==14．(1)14x =，22x =-(2)1x 2x =【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法及直接开平方法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a 、，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．（1）方程两边除以3变形后，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解；（2）方程整理为一般形式，找出a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【详解】（1）解：23(1)27x -=，变形得：2(1)9x -=，开方得：13x -=±，14x \=，22x =-；（2）解：241x =方程整理得：2410x -=，这里4a =，b =1c =-，Q 216180D +=>，x \则1x 2x =．15．(1)12y =-；243y =(2)11x =；212x =【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的直接开平方法和因式分解法是解题的关键．（1）用直接开平方法解方程；（2）先把方程左边利用十字相乘法分解因式，然后解方程．【详解】（1）解：()()22321y y -=-321y y -=-或()321y y -=--解得12y =-；243y =（2）解：213120x x -+=因式分解，得()()1120x x --=10x -=或120-=x 解得11x =；212x =16．(1)12x =，28x =-(2)方程无解【分析】本题考查一元二次方程的解法，灵活选用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解方程是解题的关键．（1）利用直接开平方法解一元二方程即可；（2）先把方程整理为一般式得到得5²650x x -+=，然后利用公式法解方程．【详解】（1）解：26925x x ++=()2325x +=35x +=或35x +=-解得：12x =，28x =-；（2）解：()25160x x +-=25650x x -+=565a b c ==-=，，，2436455640b ac -=-´´=-<，方程没有实数根，∴方程无解．17．(1)123,1x x ==-(2)121,1x x =-=(3)120,y y ==(4)1222y y =+=-【分析】本题考查了一元二次方程，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用因式分解法即可解答；（2）利用因式分解法即可解答；（3）利用因式分解法即可解答；（4）利用直接开平方法即可解答．【详解】（1）解：2230x x --=，()()310x x -+=，30,10x x \-=+=，解得123,1x x ==-；（2）解：()2(1)21x x x +=+，()2(1)210x x x +-+=，()(1)120x x x ++-=，10,120x x x \+=+-=解得121,1x x =-=；（3）解：220y -=，(20y y -=，解得120,y y ==；（4）解：2(2)120y --=，2(2)12y -=，2y -=解得1222y y =+=-．18．(1)14x =，22x =-(2)11x =，223x =【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．（1）用因式分解法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：228=0x x --，()()420x x -+=，40x -=或20x +=，∴14x =，22x =-；（2）解：()()3121x x x -=-，()()31210x x x ---=，()()1320x x --=，10x -=或320x -=，∴11x =，223x =.19．(2)1x =2x =【分析】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键．（1）先去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可得出答案；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：33222x x x-+=--，去分母得：()3223x x -+-=-，解得：43x =，检验：当43x =时，20x -¹，43x \=是原方程的解；（2）解：230x x --=Q 1a =，1b =-，3c =-，()()2241413130b ac \D =-=--´´-=>，x \=∴1x20．(1)17x =+17x =-；(2)12x =，243x =．【分析】（1）利用配方法解答即可求解；（2）移项提取公因式，利用因式分解法解答即可求解本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【详解】（1）解：∵214210x x -+=，∴21421x x -=-，∴214492149x x -+=-+，即()2728x -=，∴7x -=±∴17x =+17x =-（2）解：移项提取公因式得，()()32420x x x ---=，因式分解得，()()2340x x --=，∴20x -=或340x -=，∴12x =，243x =．21．(1)1213x x ==(2)1215,2x x ==【分析】该题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用方法：配方法，公式法，因式分解法，直接开平方法．（1）整理后用配方法解答即可；（2）整理后用公式法解答即可；【详解】（1）解：2961-=-x x 移项得29610x x -+=，配方得2(31)0x -=，∴1213x x ==．（2）()()32510x x --=，整理得：221150x x -+=，∵2115，，==-=a b c ，∴()2241142581b ac -=--´´=，∴1194x ±===，∴15=x ，212x =．22．(1)12x =，20x =(2)3x =【分析】本题考查一元二次方程和分式方程的解法，正确掌握方程的解法是解题的关键．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）先把方程两边乘以1x -，把分式方程转化为一元一次方程求解，然后进行验根即可．【详解】（1）解：()22240x x -+-=()()22220x x -+-=()()x 2x 220--+=20x -=或x 220-+=,解得：12x =，20x =；（2）1211x x x-=--两边同时乘以1x -得：()121x x +=-解方程得：3x =，经检验：3x =是原方程的解，∴．23．(1)1x =2x =(2)15x =-，21x =【分析】本题考查解一元二次方程，灵活选用解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）运用公式法求解即可；（2）运用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：原方程可化为2710x x -+=，()2247411450b ac -=--´´=>，x =1x （2）∵2450x x +-=，∴()()510x x +-=，∴50x +=或10x -=，∴15x =-，21x =．24．(1)123x =，223x =(2)1x =2x =【分析】本题考查解一元二次方程．关键是熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程的一般步骤．（1）用配方法解一元二次方程时，先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式；（2）用公式法解方程时，先确定a ，b ，c 的值，再计算D ，若0D ³，即可代入求根公式，解得即可．【详解】（1）24133x x -=244143939x x +=+-；22739x æö-=ç÷èø\23x -；123x =+223=（2）整理得：22490x x ---=1672880D =+=>，\方程有两个不等的实数根x ==\1x =，2x =25．(1)13x =，25x =(2)12x =， 22x =【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是：（1）移项后利用因式分解法求解即可；（2）利用配方法求解即可．【详解】（1）解：()2263x x -=-，∴()()23260x x ---=，∴()()23230x x ---=，∴()()3320x x ---=，即()()350x x --=∴30x -=或50x -=，∴13x =，25x =；（2）解：2470x x --=，∴247x x -=，∴24474x x -+=+，∴()2211x -=，∴2x -=，∴12x =， 22x =．26．（1）11x =-，25x =；（2）12023x =，22029x =【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法（1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；（2）设2024x a -=，则原方程可化为：2450a a --=，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答．【详解】解：（1）2450x x --=，(5)(1)0x x -+=，50x -=或10x +=，1251x x ==-，；（2）设2024x a -=，则原方程可化为：2450a a --=，由（1）可得：5a =或1a =-，∴20245x -=或20241x -=-，解得：12029x =，22023x =，故答案为：12029x =，22023x =．27．(1)16x =-，21x =(2)12x x ==【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．（1）利用配方法进行求解即可；（2）利用公式法进行求解即可．【详解】（1）解：2560x x +-=，256x x +=，225255624x x æö++=+ç÷èø，254924x æö+=ç÷èø，5722x +=±，16x \=-，21x =；（2）223203x x +-=，23a =Q ，3b =，2c =-，22Δ434b ac \=-=-x \==12x x \=28．(1)12x =+22x =-(2)13y =，22y =-．【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是掌握解一元二次方程方法将一元二次方程转化成一元一次方程求解．（1）利用配方法解一元二次方程，即可解题；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）解：2480x x --=，24412x x -+=，()2212x -=，2x -=±2x =±12x =+22x =-（2）解：()3260y y y -+-=，()()3230y y y -+-=，()()320y y -+=，有30y -=或20y +=，解得13y =，22y =-．29．(1)13x =，212x =-(2)12x =，24x =-【分析】本题考查了配方法及因式分解法解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键．（1）根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可；（2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可．【详解】（1）解：方程两边同除以2，移项得：25322x x -=即25254921616x x -+=．配方得，2549416x æö-=ç÷èø开方得，5744x -=±．13x \=，212x =-．（2）解：原方程可化为2280x x +-=，分解因式得，()()240x x -+=解得12x =，24x =-．30．(1)122214,99x x ==(2)123,3y y =+=(3)12x x ==(4)1231,4x x ==【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）利用直接开平方的方法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可；（3）利用公式法解方程即可；（4）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵()281216x -=，∴()281216x =-，∴429x -=±，解得122214,99x x ==；（2）解；∵2660y y --=，∴266y y -=，∴26915y y +=-，∴()2315y -=，∴3y -=解得123,3y y =+=；（3）解：2481x x --=-整理得24810x x -=+，∴481a b c ===-，，，∴()2844180D =-´´-=，∴x =解得2x =（4）解：∵()()4131x x x -=-，∴()()41310x x x ---=，∴()()4310x x --=，∴430x -=或10x -=，解得1231,4x x ==．31．(1)134x =，234x =-；(2)13x =-，24x =；【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，掌握并熟练运用直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题关键．（1）移项得2916x =，利用直接开平方法即可求解；（2）分解因式得(3)(4)0x x +-=，利用因式分解法即可求解；【详解】（1）解：由 21690x -=得2916x =，\ 134x =，234x =-．（2）解：由2120x x --=，得(3)(4)0x x +-=，\ 13x =-，24x =．32．(1)5x =；(2)12x =，21x =-；【分析】本题考查了分式方程和一元二次方程．通过去分母将分式方程转化为整式方程后求解，再将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母不为零，则整式方程的解是原分式方程的解，否则不是原分式方程的解；对于一元二次方程，可以通过因式分解法，配方法，公式法来求解，掌握分式方程和一元二次方程的解法是解题的关键．（1）方程两边同乘(2)(1)x x -+化为整式方程后求解，检验整式方程的根是否使得(2)(1)x x -+为零，即可得解；（2）利用因式分解法即可求解；【详解】（1）1221x x =-+两边同乘(2)(1)x x -+得：(1)2(2)x x +=-，即124x x +=-，解得：5x =，检验当5x =，(2)(1)0x x -+¹，故5x =是原方程的解．（2）220x x --=分解因式得(2)(1)0x x -+=，解得12x =，21x =-．33．(1)11x =，23x =(2)14x =24x =【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）利用因式分解法即可求解；（2）利用配方法求解即可．【详解】（1）解：2430x x -+=，()()130x x --=，10x -=或30x -=，11x =，23x =；（2）解：2810x x --=，281x x -=2228414x x -+=+()2417x -=4x -=14x =，24x =．34．(1)1219x x =-=-，(2)12x x ==【分析】本题主要考查解一元二次方程：（1）方程移项后运用直接开平方法求解即可；（2）方程运用公式法求解即可【详解】（1）解：()25160+-=x ()2516x +=()54+=±x 5454x x +=+=-，∴1219x x =-=-，（2）解：22630x x --=263a b c ==-=-，，()()2²46423600D =-=--´´-=>b ac=x ∴1x35．(1)11x =+，21x =-(2)15x =-，21x =【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握利用配方法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：2270x x --=，移项得：227x x -=，配方得：22171x x -+=+，即()218x -=，开方得：1x -=±，解得：11x =+，21x =-；（2）解：()()2565x x +=+，移项得：()()20655x x -++=，分解因式得：()()5560x x ++-=，即()()510x x +-=，可得：50x +=或10x -=，解得：15x =-，21x =．36．(1)12x =22x =(2)10x =，213x =【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是∶（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解∶ 2420x x --=2x 4x 2-=24424x x -+=+()226x -=2x -=∴12x = ， 22x =；（2）解∶2620x x -=()2310x x -=20x =或310x -=解得10x =， 213x =．37．(1)13x =，2x =(2)12x x =【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力．（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可；（2）先化为一般形式，再利用公式法解方程即可．【详解】（1）解：()()32332x x x -=-，移项得()()323320x x x ---=，因式分解得()()3230x x --=，∴30x -=或320x -=，解得13x =，223x =；（2）解：2142x x +=，2280x x \+-=，2a =Q ，1b =，8c =-，()2Δ142865\=-´´-=，x \=解得38．（2）1202x x ==，【分析】本题主要考查了解一元二次方程；（1）先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方解方程即可；（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】解：（1）∵23610x x -+=∴2361x x -=-，∴2123x x -=-，∴22213x x -+=，∴()2213x -=，∴1x -=解得12x x ==；（2）∵()1x x x -=，∴()10x x x --=，∴()20x x -=，∴0x =或20x -=，解得1202x x ==，．39．(1)132x =，212x =-(2)14x =，23x =-【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：直接开平方得：212x -=±，∴212x -=或212x -=-，解得：132x =，212x =-；（2）解：移项得：()()()232130x x x +--+=，因式分解得：()()33210x x x ++-+=，即()()340x x +-=，∴40x -=或30x +=，解得：14x =，23x =-．40．(1)1103x =,2103x =-(2)18x =，26x =-【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）先移项，再开平方即可得到答案；（2）直接开平方即可得到答案．【详解】（1）解：210009x -=Q ，21009x \=，则1103x =,2103x =-；（2）解：()2149x -=Q ，17x -=或17x -=-，解得18x =，26x =-．41．(1)14x =-，21x =(2)121x x ==【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解决问题的关键．（1）根据提公因式法因式分解解一元二次方程即可得到答案；（2）先由多项式乘以多项式展开，再由完全平方差公式因式分解解一元二次方程即可得到答案．【详解】（1）解：()()2454x x +=+，()()4450x x \++-=，即()()410x x +-=，40x \+=或10x -=，解得14x =-，21x =；（2）解：()()134x x +-=-，22340x x \--+=，即2210x x -+=，()210x \-=，即10x -=，解得121x x ==．42．(1)1254x x =-=，(2)1222x x =--=-+【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把方程左边利用提公因式法分解因式，然后解方程即可；（2）利用配方法解方程即可．【详解】（1）解：∵()()4540x x x -+-=，∴()()540x x +-=，∴50x +=或40x -=，解得1254x x =-=，；（2）解：∵2410x x -=+，∴241x x +=，∴2445x x ++=，∴()225x +=，∴2x +=解得1222x x =--=-+43．(1)11x =，23x =(2)1x =，2x =【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，因式分解法．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程-公式法，进行计算即可解答．【详解】（1）解： 2(1)2(1)0x x ---=，(1)(12)0x x ---=，10x -=，30x -=，11x =，23x =；（2）解：22310x x +-=，Q 2342(1)D =-´´-98=+170=>x \=1x \．44．(1)121,3x x ==(2)12x x =【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解方法是解题关键；（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可．【详解】（1）∵2430x x -+=，∴()()130x x --=∴10x -=或30x -=，∴121,3x x ==（2）22310x x --=∴2,3,1a b c ==-=-∴()()22Δ43421170b ac =-=--´´-=>，∴方程有两不等实数根，∴1,2x∴12x ==．45．（1）121x x ==；（2）12122x x ==，【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先移项，然后利用完全平方公式配方，进而解方程即可得到答案；（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：（1）221x x =-2210x x -+=()210x -=解得121x x ==；（2）()2142x x x -=-()()212210x x x ---=()()2210x x --=20x -=或210x -=解得12122x x ==，．46．，234x =-(2)1x =2x =【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）先把方程化成一般式2310x x --=，然后利用公式法求解即可；本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．【详解】（1）解：22310x x +-=23122x x +=，22331924216x x æö++=+ç÷èø，2317416x æö+=ç÷èø，34x +=134x =-，234x =-；（2）22213x x x -=+，2310x x --=，()()2Δ3411130=--´´-=>，∴∴x =∴1x 47．（1）原方程无解；（2）13x =，21x =【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，解题的关键是：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解；（2）利用配方法求解即可．【详解】解：（1）两边都乘以2x -，得：3521x x -=-+，解得2x =，经检验2x =是原方程的增根，所以原方程无解；（2）2430x x -+=，∴243x x -=-，∴24434x x -+=-+，即()221x -=，∴21x -=或21x -=-，解得13x =，21x =．48．(1)1253x x =-=，(2)1202y y ==，【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把方程左边利用十字相乘法分解因式，然后解方程即可得到答案；（2）先移项，然后把方程左边利用平方差公式分解因式，进而解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵22150x x +-=，∴()()530x x +-=，∴50x +=或30x -=，解得1253x x =-=，；（2）解：∵()()22121y y +=-，∴()()221210y y +--=，∴()()1211210y y y y ++-+-+=，∴1210y y ++-=，1210y y +-+=，解得1202y y ==，．49．(1)1231x x =-=，(2)12132x x ==，【分析】本题考查了直接开平方法、因式分解法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：2(1)4x +=，∴12x +=±，解得，1231x x =-=，；（2）解：22730x x -+=，()()3210x x --=，∴30x -=或210x -=，解得，12132x x ==，．50．(1)1x =2x =；(2)12x =-，21x =．【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和配方法是解本题的关键．（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：210x x --=，21544x x -+=，x æçèx x1x =2x =；（2）解：()22x x x +=+，()()220x x x +-+=，()()210x x +-=，20x +=或10x -=，12x =-，21x =．。

求解一元二次方程的方法及答案
一元二次方程是一种常见的数学问题，解决它可以采用以下几种方法：
1. 因式分解法：
当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积时，可以通过因式分解法求解。

具体步骤如下：
- 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0
- 找出使方程成立的两个数m和n，使得m * n = a * c，并且m + n = b
- 将方程因式分解为(x + m)(x + n) = 0
- 解得x = -m 或 x = -n，即为方程的解
2. 完全平方公式法：
当一元二次方程可以写成某个二次项的完全平方形式时，可以通过完全平方公式法求解。

具体步骤如下：
- 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0
- 求出平方项的一半：p = b / 2a
- 将方程重新写成完全平方形式：(x + p)^2 = p^2 - c / a
- 再求开方，得到：x + p = ±√(p^2 - c / a)
- 最后解得x = -p ±√(p^2 - c / a)
3. 公式法：
一元二次方程的解可以通过求解一元二次方程的求根公式得到。

具体步骤如下：
- 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0
- 利用求根公式，解得x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
这些方法可以帮助我们求解一元二次方程，但需要注意的是，
方程的解可能有一组或两组，取决于方程中的系数和根的性质。

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【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题1.12一元二次方程的应用八大题型专项训练（重难点培优）【知识点1】增长率问题【例1】（2022·江苏·九年级专题练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．【变式1.1】（2020·江苏·南京市金陵汇文学校九年级阶段练习）2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．(1)求三、四这两个月销售风的月平均增长率；(2)为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？【变式1.2】（2022·江苏南通·八年级期末）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册．(1)求这两年藏书的年平均增长率；(2)该校期望2022年底藏书量达到8.6万册，按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现吗请通过计算说明．【变式1.3】（2022·江苏盐城·一模）3月初某商品价格下跌，每件价格下跌20％，用3000元买到的该商品件数比下跌前多25件．3月下旬该商品开始涨价，经过两次涨价后，该商品价格为每件29.04元．(1)求3月初该商品下跌后的价格；(2)若该商品两次涨价率相同，求该商品价格的平均涨价率．【知识点2】传播问题【例2】（2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0．【变式2.1】（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级阶段练习）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？【变式2.2】（2020·江苏宿迁·九年级阶段练习）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？【变式2.3】（2011·江苏南通·九年级期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【知识点3】营销问题【例3】（2022·江苏·九年级）南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？(1)解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为________；方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：________．(2)请你选择一种方法，写出完整的解答过程．【变式3.1】（2021·江苏扬州·九年级期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元．(1)每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示）(2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．(3)平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．【变式3.2】（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以80元/千克收购了这种土特产2000千克，若立即销往外地，每千克可以获利20元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨0.4元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过60天，在贮藏过程中平均每天损耗5千克．(1)若商家将这批土特产贮藏x天后一次性出售，请完成下列表格：每千克土特产售价（单位：元）可供出售的土特产质量（单位：千克）现在出售 2000x天后出售(2)将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润50000元？【变式3.3】（2022·江苏无锡·八年级期末）某网店第一次用17500元购进一批医用外科口罩，很快销售一空，第二次又用40000元购进该医用外科口罩，但这次每盒的进价比第一次进价多5元，购进数量则是第一次的2倍．(1)第一次每盒医用外科口罩的进价是多少元？(2)该网店发现：每盒售价为60元时，每星期可卖300盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒．该网店某星期销售该款口罩获得了6480元的毛利润，该款口罩每盒成本为第二次的进价，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？[毛利润=（售价-进价）×销售量]【知识点4】面积问题【例4】（2022·江苏泰州·中考真题）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？【变式4.1】（2022·江苏徐州·九年级期末）如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．【变式4.2】（2022·江苏南京·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．(1)求小路的宽度．(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【变式4。

一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】＝0(a≠0)，把方程ax2+c例：用直接开平方法解方程：1．9x2-25＝0；；2．(3x+2)2-4＝04．(2x+3)2＝3(4x+3)．解：1．9x2-25＝0259x2＝2．(3x+2)2-4＝0(3x+2)2＝43x+2＝±22±23x＝-4．(2x+3)2＝3(4x+3)4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除+以二次项系数，使二次项系数为1，如x21．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+47(x-2)2＝3．4x2+4x+1＝7一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。

例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；．4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．81b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)22b≥0)时，得当(a-【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。

即b与c至少一个等于零，这类项方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解，二是直接开平方法：例：解下列一元二次方法：．3．(m2+1)x2＝0；其中m2+1＞0，x2＝0．∴ x1＝x2＝0．4．16x2-25＝06x2＝25。

1.2一元二次方程的解法（四）【推本溯源】1.用配方法解一元二次方程0x x 2=-2.那还有其他方法解0x x 2=-吗？我们可以对x x 2-进行因式分解，()1x x x x 2-=-，所以只需要()01x x =-即可，所以要么x=0，要么x-1=0，所以解出来x=0或x=1.因此，当一个一元二次方程的一边为0，另一边能分解成为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

3.常见的因式分解法的类型方法常见类型因式分解的形式方程的解提公因式法x ²±bx=0x （x ±b ）=0X 1=0，x 2=±b 平方差法x ²-a ²=0（x+a ）（x-a ）=0X 1=-a ，x 2=a 完全平方法x ²±2ax+a ²=0（x ±a ）²=0X 1=x 2=±a十字相乘法x ²±（a+b ）x+ab=0（x ±a ）（x ±b ）=0X 1=±a ，x 2=±b4.因式分解法的步骤（1）移项：将方程的右边化为0；（2）化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）转化：令两个一次因式分别为0，转化为两个一元一次方程；（4）求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

5.用对应的因式分解法解下列方程（1）（提公因式法）x x 32=（2）()（平方差法）091x 2=-+4x 2x 21-==，（3）()（完全平方法））（011x 21x 2=+---0x x 21==（4）（十字相乘法）03x 2x 2=--1x 3x 21-==，【解惑】【摩拳擦掌】【答案】10【分析】根据给定的图找出其中的规律，列一元二次方程，求解即可．【详解】解：第1个图有7个棋子，第2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，第图有25个棋子，第5个图有35个棋子，⋯⋯第n 个图有215()()5n n n n ++=++个棋子，【详解】（1）解：260x x --=，()()320x x -+=，∴30x -=或20x +=，∴13x =，22x =-；（2）解∶()221180x --=，()219x -=，∴13x -=±，∴14x =，22x =-．【点睛】此题考查利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．10．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）解下列方程：(1)2450x x +-=(2)()()22452x x -=-【答案】(1)11x =，25x =-(2)13x =，21x =【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移项得到()()224520x x ---=，然后利用因式分解法解方程．【详解】（1）2450x x +-=()()150x x -+=∴10x -=或50x +=∴解得11x =，25x =-；（2）22(4)(52)x x -=-()()224520x x ---=()()4524520x x x x --+-+-=【知不足】【详解】解：∵分式21x x x --的值为0，∴2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，解得0x =，故选A ．【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．2．（2023·全国·九年级假期作业）若关于x 的一元二次方程()230x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是()A ．1B ．1-C ．3-D ．2【答案】A 【分析】将2x =-代入方程得：()4230k k -++=，解得：2k =-，再把2k =-代入原方程求解．【详解】解：将2x =-代入方程得：()4230k k -++=，解得：2k =-，∴原方程为：220x x +-=，则()2(1)0x x +-=，解得：2x =-或1x =，∴另一个根为1．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题．3．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二六中学校考三模）方程()()230x x -+=的解是（）A ．2x =B ．3x =-C ．12x =，23x =D ．12x =，23x =-【答案】D【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：()()230x x -+=，可得：20x -=或30x +=，【答案】27【分析】过C作CG得四边形ABCG为正方形，证明=，从而证明BE GF在直角梯形ABCD中， ∴∠=∠=︒，A B90=又90CGA，AB BC∠=︒∴四边形ABCG为正方形．键．【一览众山小】故选：D ．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解法，理解题意，得到方程并求解是解决本题的关键．3．（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，直线:l y x m =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点()0,3B ，点(),5P n 在直线l 上，已知M 是x 轴上的动点，当以A ，P ，M 为顶点的三角形是直角三角形时，点M 的坐标为（）A ．()2,0-B ．()5,0-C ．()2,0-或()7,0-D ．()2,0-或()5,0-【答案】C 【分析】根据题意求出A 、P 坐标，然后根据等腰直角三角形的性质进行分类讨论求解即可．【详解】解：由题意，将()0,3B 代入直线:l y x m =-+，得：3m =，∴直线:3l y x =-+，令0y =，得：3x =，则A 点坐标为()3,0A ，将(),5P n 代入3y x =-+，得：2n =-，∴P 点坐标为()2,5P -，∵3OA OB ==，90BOA ∠=︒，∴45BAO ∠=︒，设(),0M a ，①若90AMP ∠=︒，则 AMP 为等腰直角三角形，MP MA =，∵5MP =，3MA a =-，∴35a -=，解得：2a =-，∴M 点的坐标为()12,0M -；②若90APM ∠=︒，则此时，点A 和点M 关于点∴322a +=-，解得：③∵M 是x 轴上的动点，∴45PAM ∠=︒或135︒，不存在综上，满足条件的点M 的坐标为A ．(3,0)-B ．【答案】Dx A ．()4,4B ．【答案】D【分析】根据(0k y k x =≠()2,E x x +，代入解析式计算即可．k（1）四边形DCEB的面积为___________（2）k的值为___________；（3）若A，B两点的横坐标恰好是方程距离为___________．【答案】183/223∴1812232OAE S h ⨯==⨯⋅ =123【答案】8∵正方形ABCD 的边长为1∴33=1=88ABFE S ⨯四边形，设CF x =，则DH x =，则∴()1=2ABFE AE BF S +⨯四边形即()131128AE x +-⨯=根据图中棋子的排列规律解决下列问题：(1)第4个图中有__________颗棋子，第5个图中有(2)写出你猜想的第n个图中棋子的颗数（用含n【规律发现】请用含n的式子填空：(1)第n个图案中“”的个数为；12⨯★”的个数可表示为“”个，个，9个，12个，个，”的个数可表示为个，（舍去）或。

专题1.13 解一元二次方程（精选100题）（全章专项练习）1．用适当的方法解下列方程．(1)()2224x x +=+(2)2314x x-=2．解下列方程：(1)267x x -=；(2)23520x x -+=．3．解方程：(1)2430x x ++=；(2)()()()21332x x x --+=．4．解方程：(1)()()628x x x -=-(2)()()221230x x +--=5．解方程：(1)()22250x +-=(2)2420x x --=6．解方程：(1)2340x x -=；(2)2313162x x -=--．7．解下列方程：(1)231x x =-；(2)2430x x -+=．8．解方程：(1)2680x x ++=；(2)3(1)22x x x -=-．9．解方程：(1)2412x x =(2)22430x x +-=10．解方程：(1)2360x x -=(2)2420y y ++=11．（1）解方程：()()439239x x x +=+．（2）解分式方程：26124x x x -=--；12．（1）解方程：()230x x -=；（2）用配方法解方程：2240x x --=．13．解方程：(1)2410x x -=+(2)()()221230x x +--=14．解方程：(1)()294x x x -+=；(2)226x x +=．15．解方程：(1)22410x x -+=；(2)()()3424x x x +=+．16．选择合适的方法解方程．(1)2572x x=-(2)()()3121x x x -=-17．解方程：(1)2210x x --=；(2)()()()23213x x x -+=-．18．解方程(1)()220x x x -+-=(2)2213x x +=19．解方程：(1)2410x x -+=(2)2(3)2(3)0x x x -+-=20．解方程：(1)20x x -=．(2)22350x x --=．21．用配方法解下列方程：(1)2440x x ++=；(2)22320x x -+=．22．解方程(1)2240x x --=(2)()()2232x x -=-．23．解方程(1)()428x x x-=-(2)23210x x --=24．解方程：(1)22530x x +-=（用配方法）(2)22390x x --=25．解方程：(1)2220x x +-=；（配方法）(2)()236x x x -=-．26．解下列方程：(1)280x x +=；(2)22460x x --=．27．解方程：(1)(41)3(41)x x x -=-；(2)24120x x --=．28．解方程：(1)()()2233x x x +=+；(2)2521x x +=29．解方程：(1)22350x x --=；(2)()2326x x +=+．30．解方程：(1)2430x x -+=；(2)()()()3111x x x +=-+．31．解下列方程：(1)20x -=(2)257311x x x ++=+32．解方程：(1)2280x -=；(2)24320x x --=．33．解下列方程：(1)()220x x x -+-=(2)2430x x -+=34．解下列方程：(1)250x x +=(2)2240x x --=35．解下列方程．(1)()()3121x x x -=-(2)22610x x -+=36．解一元二次方程：(1)()2214x -=；(2)2410x x --=．37．用适当的方法解方程：(1)2250x x --=(2)()()23492230x x ---=38．解下列方程(1)22125x x -+=；(2)2100x ++=39．解一元二次方程：(1)()5133x x x +=+(2)23640x x +-=40．解方程：(1)()()135x x ++=；(2)2267x x +=．41．用适当的方法解下列方程．(1)223x +=；(2)()()22132120y y ++++=．42．解方程：(1)4(3)3-=-x x x ；(2)22860x x -+=（配方法）．43．（1）解方程：2230x x --=；（2）解方程：228122-=--x x x x．44．解下列一元二次方程：(1)2470x x --=(2)2531x x x -=+45．解方程(1)()220x x x -+-=(2)2178x x-=46．用适当的方法解下列方程：(1)2410x x -+=(2)(1)(2)2(2)x x x -+=+47．解方程：(1)260x x -=；(2)1(3)623x x x -=-．48．用适当的方法解方程(1)()2516x -=(2)2510x x --=49．解方程：(1)220x x -=；(2)2720x x -+=．50．解方程：(1)2280x -=(2)()2240x x -+=1．(1)10x =，22x =-(2)1x =2x =【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）()2224x x +=+24424x x x ++=+220x x +=()20x x +=∴0x =或20x +=解得10x =，22x =-；（2）2314x x-=23410x x --=3a =，4b =-，1c =-()()22Δ44431280b ac =-=--´´-=>∴x ==解得x ，．2．(1)127,1x x ==-(2)1221,3x x ==【分析】本题考查了解一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．（1）运用因式分解法解方程即可；（2）运用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：267x x -=2670x x --=()()710x x -+=70x -=或10x +=\127,1x x ==-；（2）解：23520x x -+=()()1320x x --=10x -=或320x -=\1221,3x x ==．3．(1)1213x x =-=-，(2)12121x x =-=，【分析】本题考查了解一元二次方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵2430x x ++=，()()130x x \++=，∴10x +=或30x +=，∴1213x x =-=-，；（2）()()()23=213x x x --+，整理得：211120x x +-=，∴()()1210x x +-=，120x \+=或10x -=，12121x x =-\=，．4．(1)124x x ==；(2)12243x x ==，．【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法．（1）整理成一般式，再利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得；（2）利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得．【详解】（1）解：()()628x x x -=-Q ，26216x x x \-=-，则28160x x -+=，即2(4)0x -=，124x x \==；（2）解：∵()()221230x x +--=．∴()()1231230x x x x ++-+-+=，∴1230x x ++-=或1230x x +-+= ∴12243x x ==，．5．(1)13x =，27x =-(2)1222x x =+=【分析】本题考查一元二次方程的解法．（1）先移项，然后直接开平方即可；（2）利用配方法解此方程，即可求解．【详解】（1）解：()22250x +-=，()2225x \+=，25x \+=±，25x \+=或25x +=-，13x \=，27x =-；（2）2420x x --=，242x x \-=，24424x x \-+=+，()226x \-=，2x \-=1222x x \==．6．(1)10x =，243x =(2)分式方程的根为0.5x =【分析】（1）用因式分解法解二元一元方程．（2）按照解分式方程的步骤解方程即可．【详解】（1）解：∵2340x x -=，∴()340x x -=，则0x =或340x -=，解得10x =，243x =；（2）2313162x x -=--两边都乘以()231x -，得：()42313x --=，解得：0.5x =，检验：当0.5x =时，()2310x -¹，∴x =7．(1)1x =2x =(2)13x =，21x =【分析】本题主要考查解一元二次方程．（1）利用公式法解一元二次方程即可．（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：231x x =-整理得：2310x x -+=2D ，x =，∴1x （2）2430x x -+=()3(1)0x x --=，30x -=或10x -=，解得：13x =，21x =．8．(1)12x =-，24x =-；(2)11x =，223x =-．【分析】本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法，利用因式分解法解一元二次方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．（1）利用十字相乘法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：2680x x ++=，()()240x x ++=，20,40x x \+=+=，12x \=-，24x =-．（2）解：3(1)22x x x -=-，3(1)2(1)0x x x -+-=，(1)(32)0x x -+=，10x \-=或320x +=，11x \=，223x =-．9．(1)10x =，23x =(2)1x =2x =【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）2412x x=24120x x -=()430x x -=∴40x =或30x -=解得10x =，23x =；（2）22430x x +-=2a =，4b =，3c =-()2244423400b ac D =-=-´´-=>∴x =∴1x 10．(1)10x =，22x =(2)12y =-22y =-【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）2360x x -=()320x x -=∴30x =或20x -=解得10x =，22x =；（2）2420y y ++=2442y y ++=()222y +=2y +=解得12y =-22y =-11．（1）12x =，23x =-；（2）1x =【分析】本题主要考查解一元二次方程，分式方程，熟练掌握一元二次方程和分式方程的解法是解题的关键，（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．【详解】解：（1）()()439239x x x +=+()()4392390x x x +-+=(()42)390x x -+=∴420x -=或390x +=，解得：12x =，23x =-．（2）26124x x x -=--去分母得，()()()2226x x x x +-+-=解得1x =检验：将1x =代入()()220x x +-¹∴原方程的解为1x =．12．（1）10x =，23x =；（2）11x =21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解法和配方法，熟练其解法是解题的关键．（1）由()230x x -=得，20x =或30x -=，即可求解；（2）将2240x x --=，配方得2215x x -+=，即()215x -=，开方后即可求解；【详解】解：（1）()230x x -=，20x \=或30x -=，解得：10x =，23x =；（2）2240x x --=，配方得：2215x x -+=，即()215x -=，开方得：1x -=，解得：11x =21x =-13．(1)12x =，22x =(2)123x =，24x =【分析】本题考查了用配方法与因式分解法解一元二次方程；根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键．（1）利用配方法求解即可；（2）利用平方差公式进行因式分解即可求解．【详解】（1）解：配方得：2445x x ++=，即()225x +=，两边开平方得：2x +=即12x =-，22x =；（2）解：分解因式得：()()3240x x --+=，即320x -=或40x -+=，故123x =，24x =．14．(1)123x x ==(2)11=-x 21=-x ．【分析】本题主要考查了用直接开平方法和公式法解一元二次方程．（1）用直接开平方法，即可求解；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：()294x x x -+=，整理得：2690x x -+=，即()230x -=，∴123x x ==．（2）226x x +=整理得：2260x x +-=，()24446280b ac D =-=-´-=>，∴x ==∴11=-+x 21=-x ．15．(1)11x =21x =(2)14x =-，223x =【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适方法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用配方法或公式法解一元二次方程即可；（2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：22410x x -+=，移项，得：2122x x -=-，配方，得：212112x x -+=-+，即()2112x -=，开方，得1x -=，∴11x =21x =；（2）()()3424x x x +=+，移项，得：()()34240x x x +-+=，因式分解，得()()4320x x +-=，∴40x +=或320x -=，∴14x =-，223x =．16．(1)12715x x =-=(2)12213x x =-=，【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先移项，再进行因式分解，得()()5710x x +-=，令每个因式为0，进行计算，即可作答．（2）先移项，提公因式得()()3210x x +-=，令每个因式为0，进行计算，即可作答．【详解】（1）解：2572x x=-25270x x +-=()()5710x x +-=解得12715x x =-=，（2）解：()()3121x x x -=-()()31210x x x ---=()()31210x x x -+-=()()3210x x +-=解得12213x x =-=，17．(1)1211x x ==(2)1234x x ==-，【分析】本题考查了解一元二次方程；（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：2210x x --=，∴221x x -=，∴22111x x -+=+，∴2(1)2x -=，∴1x -=解得：1211x x ==；（2）()()()23213x x x -+=-，∴20()3)((21)3x x x -+--=，∴0(3213)()x x x -+-+=，∴(3)(4)0x x -+=，∴30x -=或40x +=，解得：1234x x ==-，18．(1)121,2x x =-=(2)121,0.5x x ==【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．（1）用因式分解法求解即可；（2）先移项，再用因式分解法求解．【详解】（1）∵()220x x x -+-=∴()()210x x -+=∴20x -=或10x +=∴121,2x x =-=（2）∵2213x x+=∴22310x x -+=∴()()2110x x --=∴10x -=或210x -=∴121,0.5x x ==19．(1)12x =22x =(2)13x =，21x =【分析】（1）根据配方法得到2(2)3x -=，再开平方即可解答；（2）根据因式分解法得到(3)(32)0x x x --+=，进而可得30x -=或320x x -+=即可解答．本题考查一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键．【详解】（1）解：∵2410x x -+=，∴241x x -=-，∴2443x x -+=，∴2(2)3x -=，∴2=x∴12x =22x =（2）解：∵2(3)2(3)0x x x -+-=，∴(3)(32)0x x x --+=，∴30x -=或320x x -+=，∴13x =，21x =．20．(1)10x =，21x =(2)152x =，21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法、公式法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：20x x -=，∴()10x x -=，∴0x =或10x -=，解得：10x =，21x =；（2）解：22350x x --=，则2a =，3b =-，5c =-，∴()()23425490D =--´´-=>，∴x 解得：152x =，21x =-．21．(1)122x x ==-(2)原方程无实数根【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键；（1）由题意易得244x x +=-，然后进行配方即可求解；（2）由题意易得2232x x -=-，则有2312x x -=-，然后进行配方即可求解【详解】（1）解：移项，得244x x +=-，配方，得2224242x x ++=-+，即2(2)0x +=，122x x \==-．（2）解：移项，得2232x x -=-．二次项系数化为1，得2312x x -=-．配方，得2223331244x x æöæö-+-=-+-ç÷ç÷èøèø，即237416x æö-=-ç÷èø．因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根．22．(1)1211x x ==(2)122,5x x ==【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：224x x -=Q ，22141x x \-+=+，即2(1)5x -=，则1x -=，1x \=±\1211x x =+=；（2）解：2(2)3(2)0x x ---=Q ，()()2230x x \---=，(2)(5)0x x \--=，则20x -=或50x -=，\122,5x x ==．23．(1)1222x x =-+=-(2)12113x x =-=，【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先去括号，再把含未知数的项移到方程左边，然后利用配方法解方程即可；、（2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可．【详解】（1）解：∵()428x x x -=-，∴2482x x x -+=，∴242x x +=，∴2446x x ++=，∴()226x +=，∴2x +=，解得1222x x =-=-（2）解：∵23210x x --=，∴()()3110x x +-=，∴310x +=或10x -=，解得12113x x =-=，．24．(1)21132x x ==-，(2)12332x x =-=，【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵22530x x +-=，∴2253x x +=，∴25322x x +=，∴25254921616x x ++=，∴2549416x æö+=ç÷èø，∴5744x +=±，解得21132x x ==-；（2）解；∵22390x x --=，∴()()2330x x +-=，∴230x +=或30x -=，解得1x =25．(1)1x 2x =(2)1232x x ==，【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：2220x x +-=，222x x \+=，2112x x \+=，2111121616x x \++=+，2117416x æö\+=ç÷èø，x \，1x \， 2x =（2）解：()236x x x -=-，()()232x x x \-=-，()()2320x x x \---=，()()230x x \--=，2030x x \-=-=，，1232x x \==，．26．(1)10x =，28x =-(2)11x =-，23x =【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵280x x +=，∴()80x x +=，∴0x =或80+=x ，解得10x =，28x =-；（2）解：∵22460x x --=，∴2230x x --=，∴()()310x x -+=，∴30x -=或10x +=，解得11x =-，23x =．27．(1)1213,4x x ==(2)126,2x x ==-【分析】本题考查了因式分解来解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先移项，再提公因式，然后令每个因式为0，进行计算，即可作答．（2）运用十字相乘法进行因式分解，然后令每个因式为0，进行计算，即可作答．【详解】（1）解：(41)3(41)x x x -=-(41)3(41)0x x x ---=方程可化为()()3410x x --=，30x \-=或410x -=，解得1213,4x x ==．（2）解：24120x x --=，得()()620x x -+=，60x \-=或20x +=，解得126,2x x ==-．28．(1)13x =-，26x =-(2)1x =2x =【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特点选取适当的方法是解题的关键．（1）利用因式分解法解一元二方程即可；（2）利用公式法直接解方程即可 ．【详解】（1）解：()()2233x x x +=+，∴()()3260x x x ++-=，∴()()360x x ++=，则30x +=或60x +=，∴13x =-，26x =-；（2）解：2521x x +=，原方程可变为25210x x +-=，这里5a =，2b =，1c =-．∵()2242451240b ac -=-´´-=>，∴x 即1x 29．(1)17x =，25x =-(2)13x =-，21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）解：22350x x --=，因式分解得()()750x x -+=，即70x -=或50x +=，解得17x =，25x =-．（2）解：()2326x x +=+，移项得()()23230x x +-+=，因式分解得()()3320x x ++-=，即30x +=或320x +-=，解得13x =-，21x =-．30．(1)13x =，21x =(2)11x =-，24x =【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：2430x x -+=，∴()()310x x --=，∴30x -=或10x -=，∴13x =，21x =；（2）解：()()()3111x x x +=-+，∴()()()31110x x x +--+=，∴()()1310x x +-+=，∴()()140x x +-=，∴10x +=或40x -=，∴11x =-，24x =．31．(1)10x =，2x =(2)11x =，21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：(0x x -=10x =，2x =（2）解：整理得：224x x +=22141x x ++=+()215x +=1x +=11x =，21x =32．(1)122,2x x ==-(2)124,8x x =-=【分析】此题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和直接开方法是解题的关键．（1）将方程的常数项移到右边，方程两边同时除以2，开方后即可得到方程的解；（2）利用因式分解法解答即可．【详解】（1）解：2280x -=移项得，228x =，系数化为1得，24x =，直接开平方得，2x =±，122,2x x \==-；（2）24320x x --=()()480x x +-=，40x +=或80x -=，\124,8x x =-=．33．(1)12x =，21x =-；(2)121,3x x ==【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．（1）用因式分解法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．【详解】（1）解： ()220x x x -+-=(2)(1)0x x -+=，20x -=或10x +=，12x \=，21x =-；（2）解：2430x x -+=，()()130x x --=，121,3x x \==．34．(1)1250x x =-=，(2)1211x x ==+【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可．【详解】（1）解：∵250x x +=，∴()50x x +=，∴0x =或50x +=，解得1250x x =-=，；（2）解：∵2240x x --=，∴224x x -=，∴2215x x -+=，∴()215x -=，∴1x -=，解得1211x x ==+35．(1)11x =，2x =(2)1x =2x 【分析】此题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法和公式法解一元二次方程是解题关键．（1（2）根据求根公式x =即可求解．【详解】（1）解：()()3121x x x -=-()()31210x x x ---=，∴()()1320x x --=，解得11x =，223x =；（2）解：22610x x -+=∴2a =，6b =-，1c =，∴()224642128b ac -=--´´=，∵x =∴x =，解得36．(1)1231,22x x ==-(2)1222x x ==【分析】本题考查了解一元二次方程的方法：配方法、直接开平方法．（1）运用直接开平方即可求得x 的值；（2）运用配方法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：()2214x -=212x -=或212x -=-，解得1231,22x x ==-；（2）解：2410x x --=24414x x -+=+()225x -=2x -=2x -=37．(1)11x =21x =；(2)132x =，276x =-；【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和因式分解法是解题的关键.（1）用公式法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可.【详解】（1）2250x x --=由题意得，1,2,5a b c ==-=-，则()()22Δ4241524b ac =-=--´´-=，∴1x ===即11x =21x =；（2）()()23492230x x ---=则()()()323232230x x x +---=∴()()2332320x x éù-+-=ëû()()23670x x -+=∴230x -=或670x +=∴132x =，276x =-38．(1)16x =，24x =-(2)原方程无解．【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）首先计算判别式得到(2244110200b ac D =-=-´´=-<，进而得到原方程无解．【详解】（1）22125x x -+=()2125x -=15x -=±解得16x =，24x =-；（2）2100x ++=1a =，b =10c =(2244110200b ac D =-=-´´=-<∴原方程无解．39．(1)11x =-，235x =(2)1x =2x =【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用公式法解答，即可求解．【详解】（1）解：()5133x x x +=+()()51310x x x +-+=，∴()()5310x x -+=，∴530,10x x -=+=，解得：11x =-，235x =；（2）解：23640x x +-=，∵3,6,4a b c ===-，∴()2246434840b ac D =-=-´´-=>，∴x =，2x =40．(1)12x =-+22x =-(2)12x =，232x =．【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．（1）利用公式法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解；【详解】（1）解：将原方程化简可得：2420x x +-=，∴()2441224D =-´´-=∴1222x x ==-==-（2）解：移项可得：22760x x -+=，∴()()2320x x --=∴12x =，2x41．(1)1x =2x =(2)11y =-，2 1.5y =-【分析】本题主要考查了用适当的方法解一元二次方程．（1）用公式法解一元二次方程即可．（2）设21y x +=，则原式变形为：2320x x ++=，用因式分解法解出11x =-，22x =-，再把11x =-，22x =-代入21y x +=，解两个一元一次方程即可得到原方程的解．【详解】（1）解：原方程化为：2230x +-=，2a =，b =3c =-，()224423270b ac D =-=-´´-=>，x ==即（2）解：设21y x +=，则原式变形为：2320x x ++=，分解因式得：()()120x x ++=，解得：11x =-，22x =-，当211y +=-时，11y =-，当212y +=-时，2 1.5y =-，∴原方程的解为：11y =-，2 1.5y =-．42．(1)114x =，23x =(2)13x =，21x =【分析】本题考查解一元二次方程：（1）先移项，再用因式分解法求解；（2）先变形、移项，得到243x x -=-，再通过配方求解．【详解】（1）解：()433x x x -=-4(3)(3)0x x x ---=()()4130x x --=，410x -=或30x -=，114x \=，23x =；（2）解：（2）22860x x -+=方程变形得：243x x -=-，配方得：2441x x -+=，即2(2)1x -=，解得：13x =，21x =．43．（1）11x =-，23x =；（2）4x =-【分析】题目主要考查解一元二次方程及分式方程．（1）利用因式分解法求解即可；（2）先去分母，然后解一元二次方程，最后进行检验即可．【详解】解：（1）2230x x --=()()130x x +-=10x +=，30x -=，∴11x =-，23x =；（2）解：2812(2)x x x x -=--228(2)x x x -=-，2280x x +-=，解得124,2=-=x x ，经检验，2x =是增根，应舍去．故原方程的解为4x =-．44．(1)12x =，22x =(2)115x =-，21x =【分析】本题考查解一元二次方程：（1）利用公式法求解；（2）先化成一般形式，再利用因式分解法求解．【详解】（1）解：2470x x --=，Q 1a =，4b =-，7c =-，\()()224441744b ac D =-=--´´-=，\2x ==±，\12x =+，22x =；（2）解：2531x x x -=+，25410x x --=，()()5110x x +-=，510x +=或10x -=，解得115x =-，21x =．45．(1)1221x x ==-，(2)1244x x ==【分析】本题考查了因式分解法或公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先提公因式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答．（2）先化为一般式，再运用公式法解方程，即可作答．【详解】（1）解：()220x x x -+-=()()210x x -+=∴2010x x -=+=，解得1221x x ==-，（2）解：2178x x-=∴28170x x --=则()246441176468132b ac D =-=-´´-=+=∴4x ===±1244x x ==46．(1)1222x x ==(2)122,3x x =-=【分析】本题考查解一元二次方程；（1）根据配方法解一元二次方程；（2）先将方程整理成右边为0的等式，再结合因式分解法解题．【详解】（1）解：2410x x -+=，∴2443x x -+=，∴()223x -=，∴2x -=解得：1222x x ==；（2）解：(1)(2)2(2)x x x -+=+，∴()()()12220x x x -+-+=，∴()()2120x x +--=，∴20x +=或30x -=，解得：122,3x x =-=．47．(1)10x =，26x =；(2)13x =，26x =-．【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．（1）提公因式分解因式解方程即可（2）移项后，提公因式，利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：260x x -=，(6)0x x -=，0x \=或60x -=，∴10x =，26x =；（2）解：1(3)623x x x -=-，(3)6(3)x x x -=--，(3)(6)0x x -+=，30x \-=或60x +=，∴13x =，26x =-．48．(1)19x =，21x =；(2)1x 2x =【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法：直接开平方法和公式法是解题的关键．（1）根据平方根的定义可得54x -=±，解方程就可以解决问题；（2）先求得290D =>，再利用公式法求出方程的解即可．【详解】（1）解：()2516x -=，∴54x -=±，∴19x =，21x =；（2）解：2510x x --=，1a =，=5b -，1c =-，()()2Δ5411290=--´´-=>，∴x =，∴1x 2x 49．(1)10x =，212x =(2)1x =，2x 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，对于（1），根据因式分解法求出解；对于（2），根据公式法即可得出方程的解．【详解】（1）220x x -=，解：因式分解，得(21)0x x -=，即0x =或210x -=，∴10x =，212x =；（2）2720x x -+=，解：由1a =，7b =-，2c =，则()2247412410b ac -=--´´=>，∴x =，∴1x ，2x 50．(1)122,2x x =-=(2)124,2x x ==-【分析】本题考查了解一元二次方程；（1）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：2280x -=∴228x =∴24x =解得：122,2x x =-=（2）解：()2240x x -+=∴228=0x x --∴()()420x x -+=解得：124,2x x ==-，。

一元二次方程经典题型汇总将一元二次方程化为完全平方形式，然后两边开平方根，得到方程的解。

2、因式分解法：将一元二次方程化为两个一次因式的乘积形式，然后根据乘积为零的性质求解。

3、配方法：通过添加或减少一个适当的常数，将一元二次方程化为完全平方形式，然后利用完全平方公式求解。

4、公式法：利用求根公式，直接求解一元二次方程的解。

三、例题解析1、用直接开平方法求解方程x2+6x+9=0.解：将方程变形为(x+3)2=0，然后两边开平方根，得到x=-3.所以方程的解为x=-3.2、用因式分解法求解方程x2-5x+6=0.解：将方程因式分解为(x-2)(x-3)=0，然后根据乘积为零的性质得到x=2或x=3.所以方程的解为x=2或x=3.3、用配方法求解方程2x2-5x+2=0.解：为了将方程化为完全平方形式，需要在方程两边同时加上一个适当的常数，使得方程的左边成为一个完全平方。

可以发现，2x2-5x+2=2(x-1)(x-2)+2，所以方程可以化为2(x-1)2=0.然后利用完全平方公式，得到x=1或x=2.所以方程的解为x=1或x=2.4、用公式法求解方程3x2-4x+1=0.解：根据求根公式，方程的解为x=[4±√(16-4*3*1)]/(2*3)，化简可得到x=1/3或x=1.所以方程的解为x=1/3或x=1.四、练题1、用直接开平方法求解方程2x2-12x+18=0.2、用因式分解法求解方程x2+7x+10=0.3、用配方法求解方程x2+4x-5=0.4、用公式法求解方程x2-2x+1=0.5、求解方程2x2-5x-3=0的解法有哪些？分别求出方程的解。

答案：1、将方程变形为x2-6x+9=0，然后利用直接开平方法，得到x=3.所以方程的解为x=3.2、将方程因式分解为(x+5)(x+2)=0，然后根据乘积为零的性质，得到x=-5或x=-2.所以方程的解为x=-5或x=-2.3、为了将方程化为完全平方形式，需要在方程两边同时加上一个适当的常数，使得方程的左边成为一个完全平方。

完整版)一元二次方程解法及其经典练习题一元二次方程的解法及经典练题方法一：直接开平方法（基于平方根的定义）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

即，如果x²=a，那么x=±√a。

注意，x可以是多项式。

一、使用直接开平方法解下列一元二次方程：1.4x²-1=22.(x-3)²=233.81(x-2)²=1644.(x+1)²/4=255.(2x+1)²=(x-1)²6.(5-2x)²=9(x+3)²7.2(x-4)²/3-6=0.方法二：配方法解一元二次方程1.定义：把一个一元二次方程的左边配成一个平方，右边为一个常数，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

2.配方法解一元二次方程的步骤：1）将方程移项，使等式左边为完全平方，右边为常数。

2）将等式左右两边开平方。

3）解出方程的根。

二、使用配方法解下列一元二次方程：1.y²-6y-6=02.3x²-2=4x3.3x²-4x=94.x²-4x-5=05.2x²+3x-1=06.3x²+2x-7=0方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

2.公式的推导：使用配方法解方程ax²+bx+c=0（a≠0），解得x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。

3.由上可知，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因为1）当b²-4ac>0时，方程有两个实数根，x₁=[-b+√(b²-4ac)]/(2a)，x₂=[-b-√(b²-4ac)]/(2a)。

2）当b²-4ac=0时，方程有一个实数根，x₁=x₂=-b/(2a)。

8．一元二次方程解法及应用（解答题）解答题58.（2009仙桃）解方程：2420x x ++=． 【关键词】一元二次方程 【答案】解：242x x +=- ()2244242222x x x x x ++=-++=+==∴122, 2.x x ==59．（2009年山西省）解方程：2230x x --= 【关键词】解一元二次方程【答案】解：移项，得223x x -=，配方，得()214x -=， ∴12x -=±，∴1213x x =-=，．60．（2009年赤峰市）某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率。

61.（2009年常德市）常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北至桃源县盘塘镇创元工业园．在这一走廊内的工业企业2008年完成工业总产值440亿元，如果要在2010年达到743.6亿元，那么2008年到2010年的工业总产值年平均增长率是多少？《常德工业走廊建设发展规划纲要（草案）》确定2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？ 【关键词】年平均增长率【答案】设2008年到2010年的年平均增长率为 x ，则 2440(1)743.6x += 化简得 ： 2(1) 1.69x +=， 120.330% 2.3x x ===-，（舍去）2743.6(10.3)1256.6841200⨯+=> 答：2008年到2010年的工业总产值年平均增长率为 30%，若继续保持上面的增长率， 在2012年将达到1200亿元的目标．62.(2009武汉)17．解方程：2310x x --=．【关键词】解一元二次方程【答案】解：131a b c ==-=- ，，，224(3)41(1)13b ac ∴-=--⨯⨯-=，123322x x +-∴==．(2009年上海市)20．解方程组：21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩，①.②【关键词】解二元二次方程组 【答案】⎩⎨⎧=-=01y x 或⎩⎨⎧==32y x63.(2009年义乌)解方程2220x x --=。

专题21.4 一元二次方程的解法（精选精练100题）（专项练习）【题型目录】1、直接开平方法解一元二次方程（1-20题）；2、配方法解一元二次方程（21-40题）；3、公式法解一元二次方程（41-60题）；4、因式分解法解一元二次方程（61-80题）；5、换元法解一元二次方程（81-90题）；6、解可化以一元二次方程的分式方程（91-100题）．四、因式分解法解一元二次方程1．用因式分解法解方程:(1)2411x x =；(2)()2224x x -=-2．用因式分解法解下列方程：(1)()()()262x x x --=-；(2)()()22167920x x --+=．3．用因式分解法解下列方程：(1)()()120x x +-=；(2)()()3521127x x x --=-+．4．用因式分解法解下列方程：(1)269x x -=-；(2)224(3)25(2)0x x ---=．5．用因式分解法解下列方程：(1)250x x +=；(2)(5)(6)5x x x --=-．6．用因式分解法的方法解下列方程：(1)22150x x --＝ ；(2)2326x x （＋）＝＋7．因式分解法解方程：(1)()()23525x x -=-；(2)()()22200abx a b x ab ab -++=¹；8．用因式分解法解下列方程：(1)()2236x x +=+；(2)231212x x +=；(3)()223240x x +-=；(4)()()()521123x x x -=-+．9．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)21502x x -=；(2)()()23727x x -=-；(3)()22210x x +-=．10．用因式分解法解下列方程：(1))23x x =；(2)()()221210x x x ---=．11．用因式分解法解下列方程．(1)2560x x --=(2)3(2)2(2)x x x -=-12．用因式分解法解下列方程：(1)()2218x x -=-；(2)()()2222x x x -=-；(3)23x -=-．13．用因式分解法解下列方程：(1)2350y y -=；(2)2412x x =；(3)296x x +=-；(4)229(1)x x =-．14．用因式分解法解下列方程．(1)()()222320x x ---=；(2)()2211t t -+=．15．用因式分解法解下列方程：(1)()2212x x -=；(2)()()222310y y +--=．16．用因式分解法解下列方程：（1）(2)(4)0x x +-=； （2）4(21)3(21)x x x +=+．17．用因式分解法解下列方程：(1)(2)(23)6x x --=；(2)()44x x -=-．18．用因式分解法解方程：(1)3x (2x +1)=2(2x +1)；(2)22(3)(52)x x -=-．19．用因式分解法解方程．(1)22437365x x x x +-=--(2)()233x x x -=-20．用因式分解法解一元二次方程(1)()()41570x x +-=；(2)2(23)4(23)x x +=+．五、换元法解一元二次方程21．()()233320y y -+-+=．22．解方程：2231712x x x x -+=-．23．若实数x ，y 满足2222()(2)3x y x y ++-=，求22x y +的值．24．解方程：226212x x x x--=-．25．解方程()225160x --=．26．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22xy +的值．27．阅读下面的例题，回答问题：例：解方程：220x x --=令y x =，原方程化成220y y --=解得122,1y y ==-（不合题意，舍去） 2,2x x \=\=±\ 原方程的解是122,2x x ==-．请模仿上面的方法解方程：()21160x x ----=28．阅读下列材料：为解方程4260x x --=可将方程变形为()22260x x --=然后设2x y =，则()222x y =．例：4260x x --=，解：令2x y =，原方程化为260y y --=，解得12y =-，23y =，当12y =-时，22x =-（无意义，舍去）当23y =时，23x =，解得x =\原方程的解为1x =2x =．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：(1)()()22225260x x x x ----=；(2)()23511x x ++-=．29．阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：2–320x x +=．解：设x t =，则原方程可化为：2–320t t +=．解得：1212t t ==，．当1t =时，1x =，∴1x =±；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：12341122x x x x ==-==-，，，．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：220x x -=；(2)解方程：42–1090x x +=．(3)解方程：221211x x x x +-=+．30．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组2()3()22()3x y x y x y x y ++-=-ìí+--=î，按常规思路解方程组计算量较大．可设x y a +=，x y b -=，那么方程组可化为23223a b a b +=-ìí-=î，从而将方程组简单化，解出a 和b 的值后，再利用x y a +=，x y b -=解出x 和y 的值即可．用上面的思想方法解方程：(1)222432x x x x ++=+；(2)2250x x ++-=六、解可化以一元二次方程的分式方程31．解分式方程：2216111x x x +-=--．32．解分式方程：221226x x x x+++=．33．解分式方程：11133x x +=+-34．解分式方程：()2218111x x x --=+-35．解分式方程：241142x x +=--．36．解分式方程：224124x x x -=-+-37．解分式方程21211x x x -=++38．解分式方程：252112x x x+-＝3．39．解分式方程：2164122x x x x +=--40．解分式方程：2212111x x x -+=--1．(1)10x =，2114x =(2)12x =，24x =【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键；（1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程；（2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：移项，得：24110x x -=，因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114x =．（2）移项，得()22240x x --+=，即()()22220x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=，于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =．2．(1)12x =，27x =(2)1227x =，234x =【详解】（1）方程左右两边都有因式()2x -，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解．（1）移项，得()()()2620x x x ----=，∴()()2610x x ---=，即()()270x x --=，∴20x -=或70x -=，∴12x =，27x =．（2）因式分解，得()()42836428360x x x x -++---=．化简，得()()072234x x --=，∴7220x -=或340x -=，∴1227x =，234x =．3．(1)11x =-，22x =(2)112x =-，223x =【详解】解：（1）()()120x x +-=Q ，10x \+=或20x -=，11x \=-，22x =．（2）原方程可化为2620x x --=，()()21320x x \+-=，210x \+=或320x -=，112x \=-，223x =．4．(1)123x x ==(2)12164,73x x ==【分析】（1）先移项，然后利用完全平方公式因式分解求解；（2）先移项，然后直接开平方即可解答此方程．【详解】（1）解：269x x -=-2690x x -+=()230x -=解得：123x x ==；（2）解：224(3)25(2)0x x ---=[][]220()5232()x x --=-，[][]2(3)5(2)2(3)5(2)0x x x x -+----=，()5()0232x x --+=或()5()0232x x ---=，解得12164,73x x ==．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是明确方程的特点，选择合适的方法解方程．5．(1)10x =，25x =-(2)15=x ，27x =【分析】（1）直接用因式分解法求解即可；（2）先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】（1）∵250x x +=∴()50x x +=∴0x =或50x +=∴10x =，25x =-（2）∵(5)(6)5x x x --=-∴()(5)(6)50x x x ----=∴(5)(61)0x x ---=∴50x -=或610x --=∴15=x ，27x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．6．(1)15x ＝，23x -＝；(2)13x -＝，21x -＝【分析】（1）直接利用因式分解法求解即可；（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22150x x --＝ ，（x ﹣5）（x +3）＝0，则x ﹣5＝0或x +3＝0，∴15x ＝，23x -＝；（2）解：2326x x ++（）＝，2323x x ++（）＝（），移项，得23230x x ++（）﹣（）＝，则（x +3）（x +1）＝0，∴x +3＝0或x +1＝0，∴1231x x --＝，＝．【点睛】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，熟练进行因式分解是解题的关键．7．(1)121353x x ==，(2)12b a x x a b==【分析】（1）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】（1）解：()()23525x x -=-方程变形为：()()23525x x -+-=0，∴()()50532x x éù+ë-=û-，∴()()53130x x --=，∴12135,3x x ==；（2）解：()()22200abx a b x ab ab -++=¹()()0ax b bx a --=，∵0ab ¹，∴0,0a b ¹¹，∴12,ba x x a b==【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解此题的关键．12(2)122x x ==(3)12x =-，225x =-(4)112x =，28x =-【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）原方程可变形为()()2230x x ++-=，即()()210x x +-=，所以20x +=或10x -=，即12x =-，21x =．（2）原方程可变形为2440x x -+=，即()220x -=，所以122x x ==．（3）原方程可变形为()()3223220x x x x +-++=，即()()2520x x ++=，所以20x +=或520x +=，即12x =-，225x =-．（4）原方程可变形为()()21530x x -++=，即()()2180x x -+=，210x -=或80+=x ，∴112x =，28x =-．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键．12(2)17x =，2193x =(3)113x =-，21x =-【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，求解即可；（2）通过移项，提公因式法进行因式分解，求解即可；（3）利用平方差公式，进行因式分解，求解即可．【详解】（1）解：21502x x -=因式分解，得1502x x æö-=ç÷èø．于是0x =，1502x -=，解得10x =，210x =；（2）()()23727x x -=-移项，得()()237270x x ---=，因式分解，得()()73720x x --+=éùëû，于是70x -=，3190x -=，解得17x =，2193x =；（3）()22210x x +-=因式分解，得()()21210x x x x éùéù+++-=ëûëû，于是310x +=，10x +=，解得113x =-，21x =-．【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的有关方法．10．(1)120x x =，(2)12112x x ==，【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵)23x x =，∴)230x x -=，∴)310x x éù-=ëû，∴)310x -=或0x =，解得120x x ==，；（2）解：∵()()221210x x x ---=，∴()()21210x x x ---=，即()()1210x x --=，∴10x -=或210x -=，解得12112x x ==，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．11．(1)18x =，27x =-(2)12x =，223x =【分析】（1）首先把方程变形可得(8)(7)0x x -+=，进而得到两个一元一次方程，然后分别求出x 的值即可；（2）首先对方程进行整理，得出3(2)2(2)0x x x ---=，再因式分解可得(2)(32)0x x --=，然后得出两个一元一次方程，求解即可得出答案．【详解】（1）2560x x --=，(8)(7)0x x \-+=，80x \-=或70x +=，18x \=；27x =-；（2）3(2)2(2)x x x -=-，移项，得3(2)2(2)0x x x ---=，(2)(32)0x x \--=，20x \-=或320x -=，12x \=；223x =．【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．12．(1)1212x x ==-(2)12x =，22x =-(3)12x x ==【分析】（1）先移项，再把括号展开进行因式分解，即可求解；（2）先移项，再提取公因式()2x -进行因式分解，即可求解；（3）先移项，再用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：()22180x x +-=，241840x x x -+=+，24410x x ++=，()2210x +=，210x +=，21x =-，1212x x ==-．（2）解：()()22220x x x ---=，()()2220x x x ---=，()()220x x ---=，20x -=或20x --=，12x =，22x =-．（3）解：230x -+=，(20x =，0x =，12x x ==【点睛】本题主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．13．(1)1250,3y y ==(2)120,3x x ==(3)123x x ==-(4)1211,42x x ==-【分析】（1）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（2）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（3）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（4）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：2350y y -=，()350y y -=，解得：1250,3y y ==；（2）解：2412x x =，24120x x -=，()430x x -=，解得：120,3x x ==；（3）解：296x x+=-2690x x ++=即()230x +=，解得：123x x ==-；（4）解：229(1)x x =-，()22910x x --=，即()()22310x x --=，∴()()31310x x x x +--+=，即()()41210x x -+=，解得：1211,42x x ==-．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．14．(1)125,13x x ==(2)1211,2t t ==【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解．【详解】（1）解：()()222320x x ---=，∴()()()()2322320x x x x -+--éùé-ùëûëû-=，∴()()3510x x --=，∴350x -=或10x -=，∴125,13x x ==．（2）解：()2211t t -+=∴()22110t t -+-=，∴()()1210t t --=，∴1211,2t t ==．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．123(2)1213,42y y =-=【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：移项，得()22120x x --=，因式分解，得()()12120x x x x -+--=，得10,130x x -=-=或，解得：1211,3x x ==；（2）解：因式分解，得()()2312310y y x y ++-+-+=，合并同类项，得()()41230y y +-+=，得410230y y +=-+=或，解得：1213,42y y =-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．16．（1）12=2,=4x x -；（2）1213,24x x =-=．【分析】运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）∵(2)(4)0x x +-=；∴20x +=，40x -=，∴12x =-，24x =；（2）4(21)3(21)x x x +=+，4(21)3(21)0x x x +-+=，(21)(43)0x x +-=，∴210x +=或430x -=，∴112x =-，234x =．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．122(2)122x x ==【分析】（1）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程；（2）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：(2)(23)6x x --=，223466x x x --+=，即2270x x -=，∴()270x x -=，解得：12720,x x ==；（2）解：()44x x -=-，即2440x x -+=，()220x -=，解得：122x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．18．(1)1x =-12，2x =23；(2)1x =2，2x =83．【分析】（1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值；（2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值．【详解】（1）解：∵3x （2x +1）-2（2x +1）=0，∴（2x +1）（3x -2）=0，∴2x +1=0或3x -2=0，解得1x =-12，2x =23；（2）解：∵22(3)(52)x x -=-，∴22(3)(5)02x x --=-，∴(352)(3520)x x x x +---+=-，即(2)(308)x x --=，∴2-x =0或3x -8=0，解得1x =2，2x =83．【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．19．(1)113x =-，213x =(2)112x =，23x =【分析】（1）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可；（2）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22437365x x x x +-=--2910x -=（3x +1）（3x -1）=03x +1=0，3x -1=0113x =-，213x =．（2）解：()233x x x -=-2263x x x -=-22730x x -+=（2x -1）（x -3）=02x -1=0，x -3=0112x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．20．(1)114x =-，275x =(2)132x =-，212x =【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可；（2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可．【详解】（1）解：()()41570x x +-=；410x +=，570x -=，解得：114x =-，275x =（2）解：()()223423x x +=+，()()2234230x x +-+=，()()232340x x ++-=；()230x +=，()2340x +-=解得：132x =-，212x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程．21．2y =或1y =【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将()3y -看作一个整体，设3y t -=，利用因式分解法求得t 的值，进而即可求得y ．【详解】解：设3y t -=，则原方程即2320t t ++=，∴()()120t t ++=，∴10t +=或20t +=，解得1t =-或2t =-，∴31y -=-或32y -=-，解得，2y =或1y =．22．1234111,22x x x x =+==-=【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设21x y x =-，原方程变为1732y y +=，解得12y =或23y =．再分别代入21x y x =-，求出1x =或12x =-或2x =，代入最简公分母进行检验即可求解．【详解】解：设21x y x =-，则211x x y-=，原方程变为1732y y +=，去分母得：26720y y -+=，解得12y =或23y =．当2112x x =-时，去分母得：2210x x --=，解得：1x =当2213x x =-时，去分母得：22320x x --=，解得：12x =-或2x =，检验：当1x =()()2110x x x +-¹，当12x =-或2x =时，()()2110x x x +-¹，∴分式方程的解为1234111,22x x x x ===-=．23．223x y +=．【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将22x y +看成一个整体t ，转换成一个关于t 的一元二次方程求解即可．【详解】解：令22x y t +=，则，原方程变为，()23t t -=，即，2230t t --=，()()310t t -+=解得：13t =，21t =-；又220x y +³Q ，∴223x y +=．24．123,1x x ==-【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．可根据方程特点设22y x x =-，则原方程可化为260y y --=，解一元二次方程求y ，再求x ．【详解】设22y x x =-，则原方程化为61y y-=\260y y --=，即()()320y y -+=，解得12y =-，23y =．当12y =-时，222x x -=-，该方程无解，当23y =时，223x x -=．解得13x =，21x =-，检验：当13x =时，原方程左边69632196=--=-==-右边，当21x =-时，原方程左边61232112=+-=-==+右边，∴13x =，21x =-都是原方程的根，∴原方程的根是13x =，21x =-．25．13x =，23x =-，31x =，41x =-【分析】设25y x =-，求出y 后，可得关于x 的方程，再解方程即可．【详解】设25y x =-，原方程化为2160y -=，解得14y =，24y =-，当14y =时，254x -=，29x =，则13x =，23x =-；当24y =-时，254x -=-，21x =，则31x =，41x =-，所以原方程的解为13x =，23x =-，31x =，41x =-．【点睛】本题考查了换元法和直接开平方法解方程，掌握求解的方法是关键．26．22x y +的值为3【分析】设22x z y +=，然后用因式分解法求解即可，求解时注意220x y +>.【详解】设22x z y +=，∴(2)3z z -=．整理得：2230z z --=，∴(3)(1)0z z -+=．∴121,3z z ==-．∵220z x y =+>，∴1z =- (不合题意，舍去)∴3z =．即22x y +的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．27．1224x x =-=，【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令1m x =-，则原方程化为260m m --=，解方程得到3m =，则1=3x -，据此求解即可．【详解】解：令1m x =-，则原方程化为260m m --=，∴()()320m m -+=，解得3m =或2m =-（不合题意，舍去），∴1=3x -，∴13x -=±，解得1224x x =-=，．28．(1)11x =，21x =，341x x ==(2)10x =、25x =-【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；（1）令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，进而得出226x x -=，221x x -=-，解方程，即可求解；（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =，进而分别解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，解得16y =，21y =-．当16y =时，226x x -=，解得1x =．当21y =-时，221x x -=-，解得1x =．\原方程的解为：11x =，21x =，341x x ==（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =当113y =-13=-（无意义舍去）当21y =1=，解得10x =、25x =-．\原方程的解为10x =、25x =-．29．(1)1234022x x x x ====-，，；(2)12341133x x x x ==-==-，，，；(3)1x =和12x =-．【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．（1）设x t =，则原方程可化为220t t -=，解方程求得t 的值，再求x 的值即可；（2）设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，解方程求得a 的值，再求x 的值即可；（3）设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，解方程求得m 的值，再求x 的值，检验后即可求得分式方程的解．【详解】（1）解：设x t =，则原方程可化为：220t t -=．解得：1202t t ==，．当0=t 时，0x =，∴0x =；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：1234022x x x x ====-，，；（2）解：设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，即()()190a a --=，解得：1a =或9a =，当1a =时，21x =，∴1x =±；当9a =时，29x =，∴3x =±；∴原方程的解是：12341133x x x x ==-==-，，，；（3）解：设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，∴()()120m m +-=，解得：1m =-或2m =，当1m =-时，211x x+=-，即210x x ++=，由141130D =-´´=-<知此时方程无解；当2m =时，212x x+=，即2210x x --=，解得：1x =或12x =-，经检验1x =和12x =-都是原分式方程的解．30．(1)1=1x -；2=2x ；31x =41x =(2)11x =-，21x =【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换；（1）设2(0)2x t t x =¹+，将原方程化为2320t t -+=，解得2t =或1t =，再分别代入22x t x =+求解分式方程的解即可；（2()0t t =³，则有222x x t +=，将原方程化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =t =求解即可；【详解】（1）设2(0)2x t t x =¹+，\原方程化为23t t+=，\2320t t -+=，解得2t =或1t =，当1t =时，212x x =+，解得2x =或=1x -，经检验，=1x -或2x =是方程的解；当2t =时，222x x =+，解得1x =1x =-，经检验，1x =或1x =∴原方程的解为：1=1x -；2=2x ；31x =；41x =（2()0t t =³，则有222x x t +=，\原方程可化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =，1=，\2210x x +-=，解得11x =-或21x =-；经检验：11x =，21x =是原方程的解．31．4x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．【详解】解：2216111x x x +-=--方程左右同乘以21x -、去分母得：()()()221116x x x ++--=，去括号得：2222116x x x x +++-+=，移项、合并同类项得：2340x x +-=，因式分解得：()()410x x +-=，∴40x +=或10x -=，解得：14x =-，21x =，检验：14x =-，则211150x -=¹，故是原分式方程的根，21x =，则2210x -=，故是原分式方程的增根，∴原分式方程的解为4x =-．32．12x =-，22x =-，31x =【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把解分式方程转化成解一元二次方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．原方程化为211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x +=，则原方程变形为2226a a +-=，求出a 的值，当4a =-时，方程为14x x+=-，求出方程的解，当2a =时，方程为12x x +=，求出方程的解，最后进行检验即可．【详解】解：原方程化为：211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x+=，则原方程化为：2226a a +-=，即2280a a +-=，解得：4a =-或2a =，当4a =-时，14x x+=-，整理得：2410x x ++=，Q 24411120D =-´´=>，x \=解得：12x =-，22x =-；当2a =时，12x x +=，整理得：2210x x -+=，()210x -=，解得：1x =，经检验12x =-，22x =-，31x =都是原方程的解，所以原方程的解是12x =-22x =-，31x =．33．12x x ==【分析】方程两边同乘以()()33x x +-可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得．【详解】解：11133x x +=+-，方程两边同乘以()()33x x +-，得()()3333x x x x +--+=+，去括号，得2933x x x --+=+，移项、合并同类项，得215x =，直接开平方，得12x x ==经检验，12x x ==【点睛】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，需注意的是，分式方程的解要进行检验．34．5x =【分析】根据分式方程的解法步骤求解即可．【详解】解：去分母，得()222181x x --=-，去括号，得2224281x x x -+-=-移项、合并同类项，得2450x x --=，解得11x =-，25x =，经检验，5x =是方程的解．【点睛】本题考查解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键．35．=1x -【分析】方程两边同时乘以()24x -，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】解：241142x x +=--，方程两边同时乘以()24x -，得()2442x x +-=+，即220x x --=，()()210x x -+=，解得122,1x x ==-，检验：当2x =时，()24x -0=，当=1x -时，()240x -¹．∴=1x -是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键，注意要检验．36．x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】解：224124x x x -=-+-，两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．37．x =3【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．【详解】解：21211x x x -=++化为整式方程得()2211x x -+=，整理得2230x x --=，解得123,1x x ==-，检验：当x =3时，x +1¹0；当x =-1时，x +1=0，∴原分式方程的解是x =3．【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．38．x 1＝56，x 2＝18【分析】观察可得最简公分母是12x （2x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘12x （2x ﹣1），得24x 2+5（2x ﹣1）＝36x （2x ﹣1），整理，得48x 2﹣46x +5＝0，即()()65810x x --=解得x 1＝56，x 2＝18，检验：当x ＝56或18时，x （2x ﹣1）≠0．即原方程的解为：x 1＝56，x 2＝18．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．39．83x =-【分析】将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意分式方程的结果要进行检验．【详解】解：整理，得：1641(2)2xx x x +=--，去分母，得：216(2)4x x x +-=，221624x x x +-=，232160x x +-=，(2)(38)0x x -+=，解得：12x =，283x =-，检验：当2x =时，(2)0x x -=，2x \=不是原分式方程的解，当83x =-时，(2)0x x -¹，83x \=-是原分式方程的解，\分式方程的解为83x =-．【点睛】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程和因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．40．2x =-【分析】先去分母化为整式方程求解，最后记得检验即可．【详解】解：原方程可化为()()2121111x x x x --=-+-去分母得()()()()211211x x x x -+-=+-，解得11x =，22x =-经检验11x =是增根，2x =-是原方程的解，\原方程的解为2x =-．故答案为2x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握一般步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是否为方程的根．。

专题21.2 一元二次方程的解法【十大题型】【人教版】【题型1 直接开平方法解一元二次方程】【题型2 配方法解一元二次方程】 【题型3 公式法解一元二次方程】 【题型4 因式分解法解一元二次方程】【题型5 十字相乘法解一元二次方程】【题型6 用适当方法解一元二次方程】 【题型7 用指定方法解一元二次方程】 【题型8 用换元法解一元二次方程】 【题型9 解含绝对值的一元二次方程】 【题型10 配方法的应用】知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为()20x p p =³或()()200mx n p p m +=³¹，的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解．【题型1 直接开平方法解一元二次方程】【例1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）1．将方程2219()x =－的两边同时开平方，得21x =－ ，即21x －＝或21x －＝，所以1x ＝，2x ＝．【变式1-1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）2．用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A ．x 2+9＝0B ．－2x 2=0C ．x 2－3=0D ．(x －2)2=0【变式1-2】（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）3．如果关于x 的一元二次方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【变式1-3】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）4．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程()46x x +=．解：原方程可变形，得：()()22226x x éùéù+-++=ëûëû．()22226x +-=，()2210x +=．直接开平方并整理，得．12x =-+22x =-我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程()()595x x ++=时写的解题过程．解：原方程可变形，得：()()5x a b x a b +-++=éùéùëûëû．()225x a b +-=，∴()225x a b +=+．直接开平方并整理，得．1=x c ，2x d =．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：()()5712x x -+=．知识点2 配方法解一元二次方程将一元二次方程配成()2x m n +=的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为()200ax bx c a ++=¹的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2 配方法解一元二次方程】【例2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）5．用配方法解方程，补全解答过程．251322x x -=．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得21566x x -=．配方，得_________________________________，即21121()12144x -=．两边开平方，得__________________，即1111212x -=，或1111212x -=-．所以11x =，256x =-．【变式2-1】（23-24九年级下·广西百色·期中）6．用配方法解方程2610x x --=时，配方结果正确的是（ ）A ．()239x -=B ．()2310x -=C ．()238x +=D ．()238x -=【变式2-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）7．用配方法解方程：2220x mx m +-=．【变式2-3】（2024·贵州黔东南·一模）8．下面是小明用配方法解一元二次方程22480x x +-=的过程，请认真阅读并完成相应的任务．①小明同学的解答过程，从第 步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．知识点3 公式法解一元二次方程当240b ac -³时，方程()200ax bx c a ++=¹通过配方，其实数根可写为x =的形式，这个式子叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．【题型3 公式法解一元二次方程】【例3】（23-24九年级上·山西大同·9．用公式法解关于x 的一元二次方程，得x =是 ．【变式3-1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）10．用公式法解一元二次方程：()()2350x x --=．解：方程化为2311100x x -+=．3,a b == ，10c =．2Δ4b ac =-=431010-´´=>．方程实数根．x = =，即1x =，253x =．【变式3-2】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）11．用公式法解方程20(0)ax bx c a -+-=¹，下列代入公式正确的是（ ）A ．x =B ．x =C ．x =D ．x =【变式3-3】（23-24九年级上·广东深圳·期中）12．用求根公式法解得某方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两个根互为相反数，则（ ）A ．0b =B ．0c =C ．240b ac -=D ．0b c +=知识点4 因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．【题型4 因式分解法解一元二次方程】【例4】（23-24九年级下·安徽亳州·期中）13．关于x 的一元二次方程()22x x x -=-的根是（ ）A ．1-B ．0C ．1和2D ．1-和2【变式4-1】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）14．以下是某同学解方程2326x x x -=-+的过程：解：方程两边因式分解，得()()323-=--x x x ，①方程两边同除以()3x -，得2x =-，②∴原方程的解为2x =-．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【变式4-2】（23-24九年级下·安徽安庆·期中）15．对于实数m ，n ，定义运算“※”：22m n m n =-※，例如：2232232=-´=-※．若50x x =※，则方程的根为（ ）A ．都为10B ．都为0C ．0或10D ．5或5-【变式4-3】（13-14九年级·浙江·课后作业）16．利用因式分解求解方程（1）243y y =；(2)(23)(23)(23)0x x x x +--+=．【题型5 十字相乘法解一元二次方程】【例5】（23-24九年级下·广西百色·期中）17．以下是解一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的一种方法：二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1212a a c c ，，，排列为：然后按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若此时满足1221a c a c b +=，那么20(a 0)++=¹ax bx c 就可以因式分解为1122()()0a x c a x c ++=，这种方法叫做“十字相乘法”．那么2611100x x --=按照“十字相乘法”可因式分解为（ ）A ．(2)(65)0x x -+=B ．(22)(35)0x x +-=C ．(5)(62)0x x -+=D ．(25)(32)0x x -+=【变式5-1】（23-24九年级上·江西上饶·期末）18．试用十字相乘法解下列方程(1)2540x x ++=；(2)23100x x +-=．【变式5-2】（23-24九年级下·广西梧州·期中）19．解关于x 的方程227120x mx m -+=得（ ）A ．13x m =-，24x m =B ．13x m =，24x m =C ．13x m =-，24x m=-D ．13x m =，24x m=-【变式5-3】（23-24九年级下·重庆·期中）20．阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x ，y 的二次三项式22ax bxy cy ++，如图1，将2x 项系数12a a a =×，作为第一列，2y 项系数12c c c =×，作为第二列，若1221a c a c +恰好等于xy 项的系数b ，那么22ax bxy cy ++可直接分解因式为：()()221122ax bxy cy a x c y a x c y ++=++示例1：分解因式：2256x xy y ++解：如图2，其中111=´，623=´，而51312=´+´；∴2256(2)(3)x xy y x y x y ++=++；示例2：分解因式：22412x xy y --．解：如图3，其中111=´，1262-=-´，而4121(6)-=´+´-；∴22412(6)(2)x xy y x y x y --=-+；材料二：关于x ，y 的二次多项式22ax bxy cy dx ey f +++++也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将12a a a =作为一列，12c c c =作为第二列，12f f f =作为第三列，若1221a c a c b +=，1221a f a f d +=，1221c f c f e +=，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：()()22111222ax bxy cy dx ey f a x c y f a x c y f +++++=++++；示例3：分解因式：2243283x xy y x y -+-+-．解：如图5，其中111=´，3(1)(3)=-´-，3(3)1-=-´；满足41(3)1(1)-=´-+´-，21(3)11,8(3)(3)(1)1-=´-+´=-´-+-´；∴2243283(3)(31)x xy y x y x y x y -+-+-=---+请根据上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：232x x ++= ；2256220x xy y x y -+++-= ；（2）若x ，y ，m 均为整数，且关于x ，y 的二次多项式2262120x xy y x my +--+-可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m 的值，并求出关于x ，y 的方程22621201x xy y x my +--+-=-的整数解．【题型6 用适当方法解一元二次方程】【例6】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）21．用适当的方法解下列方程：(1)24x x =；(2)()2340x --=；(3)22450x x --=；(4)()()()1222x x x -+=+．【变式6-1】（23-24九年级上·山西太原·期中）22．用适当的方法解下列一元二次方程：(1)2420x x +-=；(2)()3515x x x +=+.【变式6-2】（23-24九年级下·山东泰安·期末）23．用适当的方法解下列方程(1)2354x =；(2)()()1311x x +-=；(3)()()421321x x x +=+；(4)2610x x +=．【变式6-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）24．用适当的方法解下列方程．(1)2(2)250x +-=；(2)2450x x +-=；(3)22310x x -+=．【题型7 用指定方法解一元二次方程】【例7】（23-24九年级下·山东日照·期末）25．用指定的方法解下列方程：（1）4（x ﹣1）2﹣36=0（直接开方法）（2）x2+2 x ﹣3=0（配方法）（3）（x +1）（x -2）=4（公式法）（4）2（x +1）﹣x （x +1）=0（因式分解法）【变式7-1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）26．用指定的方法解方程：(1)2410x x --=（用配方法）(2)23119x x -=-（用公式法）(3)()22539x x -=-（用因式分解法）(4)2242y y y +=+（用适当的方法）【变式7-2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）27．用指定的方法解方程：(1)212502x x --=（用配方法）(2)2820x x =+（用公式法）(3)()()23430x x x -+-=（用因式分解法）(4)()()23110x x +-=（用适当的方法）【变式7-3】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）28．按指定的方法解下列方程：(1)289x x =+（配方法）；(2)2273=0y y ++（公式法）；(3)()2236x x +=+（因式分解法）．【题型8 用换元法解一元二次方程】【例8】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）29．已知()()22222150a b a b +++-=，求22a b +的值．【变式8-1】（23-24九年级下·安徽合肥·期中）30．关于x 的方程()2222230x x x x +++-=，则2x x +的值是（ ）A ．3-B ．1C ．3-或1D ．3或1-【变式8-2】（23-24九年级上·广东江门·期中）31．若()()5567a b a b +++=，则5a b += ．【变式8-3】（23-24九年级上·山东临沂·期中）32．利用换元法解下列方程：(1)422320x x --=；(2)()()222540x x x x ---+=．【题型9 解含绝对值的一元二次方程】【例9】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）33．阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：23||100x x --=．解：分两种情况：①当x ≥0时，原方程化为23100x x --=解得125,2x x ==-（舍去）；②当x <0时，原方程化为23100x x +-=，解得345,2x x =-=（舍去）．综上所述，原方程的解是125,5x x ==-．请参照上述方法解方程2|1|10x x -+-=．【变式9-1】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）34．解方程22240x x ++-=【变式9-2】（23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习）35．解方程222390x x -++=【变式9-3】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）36．解方程2|5|20x x ---=【题型10 配方法的应用】【例10】（23-24九年级上·河北沧州·期中）37．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式248y y ++的最小值．解：22248444(2)4y y y y y ++=+++=++，∵()220y +³，∴()2244y ++³∴当2y =-时，248y y ++的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式2612x x -+的最小值；(2)【举一反三】若22y x x =--当x =________时，y 有最________值（填“大”或“小”），这个值是________；(3)【灵活运用】已知224250x x y y -+++=，则x y +=________；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为15m ），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【变式10-1】（2023·河北石家庄·一模）38．已知226A x x n =++，2224B x x n =++，下列结论正确的是（ ）A ．B A -的最大值是0B ．B A -的最小值是1-C ．当2B A =时，x 为正数D ．当2B A =时，x 为负数【变式10-2】（23-24九年级上·四川攀枝花·期中）39．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【变式10-3】（23-24九年级下·浙江宁波·期中）40．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知x 可取任何实数，试求二次三项式223x x ++的最小值．解：22223212(1)2x x x x x ++=+++=++；Q 无论x 取何实数，都有2(1)0x +³，2(1)22x \++³，即223x x ++的最小值为2．【尝试应用】（1）请直接写出22410x x ++的最小值______ ；【拓展应用】（2）试说明：无论x【创新应用】（3）如图，在四边形ABCD 中，AC BD ^，若10AC BD +=，求四边形ABCD 的面积最大值．1． ±3 3 －3 2 －1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵2219()x =－∴21x =－±3∴21x －＝3，21x －＝-3∴1x ＝2，2x ＝-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键2．A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：（A ）移项可得29x =-，故选项A 无解；（B ）220x -=，即20x =，故选项B 有解；（C ）移项可得23x =，故选项C 有解；（D ）()220x -=，故选项D 有解；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．3．7m ³【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，∴70-³m ，解得：7m ³，故答案为：7m ³．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．4．(1)7，2，4-，10-．(2)11x =-+，21x =--【分析】（1）仿照平均数法可把原方程化为()()72725x x +-++=éùéùëûëû，可得()279x +=，再解方程即可；（2）仿照平均数法可把原方程化为()()161612x x +-++=éùéùëûëû，可得()2148x +=，再解方程即可；【详解】（1）解：∵()()595x x ++=，∴()()72725x x +-++=éùéùëûëû，∴()2745x +-=，∴()279x +=，∴73x +=或73x +=-，解得：14x =-，210x =-．∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7，2，4-，10-．（2）∵()()5712x x -+=，∴()()161612x x +-++=éùéùëûëû，∴()213612x +-=，∴()2148x +=，∴1x +=，1x +=-解得：11x =-+21x =--【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．5．25166x x -= 2221151()()612612x x -+=+ 1111212x -=±【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】251322x x -=．解：两边同除以3，得25166x x -=．移项，得21566x x -=．配方，得2221151(()612612x x -+=+，即21121()12144x -=．两边开平方，得1111212x -=±，即1111212x -=，或1111212x -=-．所以11x =，256x =-．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：2610x x --=移项得：261x x -=配方得：26919x x -+=+即()2310x -=故选：B7．1x m =-，2x m =-【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．【详解】解：移项得222x mx m +=，配方得22222x mx m m m ++=+，即()222x m m +=，所以原方程的解为：1x m =-，2x m =-．8．①第三步；②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程22480x x +-=变为224x x +=，然后配方为()218x +=，再开平方即可．【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；②22480x x +-=，移项，得2248x x +=，二次项系数化为1，得224x x +=，配方，得()215x +=，由此可得1x +=所以，1211x x =-=-．9．24610x x ++=【详解】解： x =Q 4a \=，6b =，1c =，从而得到一元二次方程为24610x x ++=，故答案为：24610x x ++=．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．10． 11- 2(11)- 有两个不相等的 1116± 2【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．【详解】解：方程化为2311100x x -+=．3a =，11b =-，10c =．2Δ4b ac =-=()211431010--´´=>．方程有两个不相等的实数根．x ==1116±，即1x =2，253x =．故答案为：11-；2(11)-1116±；2．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．11．B【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．【详解】解：方程20(0)ax bx c a -+-=¹可化为20ax bx c -+=由求根公式可得：x ==故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．12．A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根12x x 、，由题意得120x x +=，可求出0b =．【详解】Q 方程20(a 0)++=¹ax bx c 有两根，240b ac \D =-…且所以120x x +=0=，解得0b =．故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．13．D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：∵()22x x x -=-，∴()()220x x x -+-=，∴()()120x x +-=，∴10x +=或20x -=，解得1x =-或2x =，故选：D ．14．(1)②(2)过程见解析【分析】（1）根据等式的性质作答即可；（2）先移项，然后用因式分解法求解．【详解】（1）解：∵()3x -可能为0，∴不能除以()3x -，∴第②步出现了错误故答案为②．（2）解：方程两边因式分解，得()()323-=--x x x ，移项，得()()3230-+-=x x x ，∴()()320x x -+=，∴13x =，22x =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．15．C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算22m n m n =-※可得，50x x =※即为25·20x x -=，即()100x x -=，10x \=，210x =，则方程的根为0或10．故选：C ．16．（1）1230,4y y ==；（2）123,32x x =-=【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1) 243y y =；2430y y -=(43)0y y -=y=0或4y-3=0∴1230,4y y ==，故答案为：1230,4y y ==；(2) (23)(23)(23)0x x x x +--+=(23)(3)0x x +-=230x +=或30x -=123,32x x =-=，故答案为：123,32x x =-=．【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程243y y =时，给方程两边同除以y ，解得34y =，而丢掉y=0的情况．17．D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出()()2611102532x x x x --=-+即可．【详解】∵∴()()26111025320x x x x --=-+=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．18．(1)1241x x =-=-，；(2)1225x x ==-，．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，进一步求解可得答案；（2 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】（1）解：2540x x ++=()()410x x ++=40x +=或10x +=∴1241x x =-=-，；（2）解：23100x x +-=()()520x x +-=50x +=或20x -=∴1225x x ==-，．19．B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法求解即可．直接运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：227120x mx m -+=，()()340x m x m --=，30x m -=或40x m -=，13x m =，24x m =．故选B ．20．（1）(1)(2)x x ++，(35)(24)x y x y -+--；（2）5456m m ==-，14x y =-ìí=î和24x y =ìí=-î【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；（2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m 值．【详解】解：（1）①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(1)(2)x x ++；②1=1×1，6=（-2）×（-3），-20=5×（-4）满足（-5）=1×（-2）+1×（-3），1=1×5+1×（-4），2=（-2）×5+（-3）×（-4）∴原式=(35)(24)x y x y -+--；（2）①111222135124a c f a c f --- 1221122211221512a c a c a f a f c f c f +=-ìï+=íï+=î②12101312-- 12211221122112a c a c a f a f c f c f m +=ìï+=-íï+=î 12121310--22(210)(312)62120x y x y x xy y x my -++-=+--+-∴54m =22(212)(310)62120x y x y x xy y x my --++=+--+-∴56m =-当54m =时，(210)(312)1x y x y -++-=-21013121x y x y -+=ìí+-=-î或21013121x y x y -+=-ìí+-=î，75245x y ì=-ïïíï=ïî（舍），14x y =-ìí=î当56m =-时，(212)(310)1x y x y --++=-21213101x y x y --=ìí++=-î或21213101x y x y -==ìí++=î，24x y =ìí=-î或69525x y ì=ïïíï=ïî（舍）综上所述，方程22621201x xy y x my +--+-=-的整数解有14x y =-ìí=î和24x y =ìí=-î；方法二：()2262120(3)(2)212x xy y x my x y x y x my y++--+-=+--+-(3)(2)(3)(2)()(32)x y a x y b x y x y a b x b a y ab=++-+=+-+++-+2123210120a b a b a m b ab +=-ì=-ìï-=Þíí=îï=-î或10541256a m b m ==ìÞí=-=-î．【点睛】本题考查了因式分解的方法——十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．21．(1)14x =，20x =(2)15x =，21x =(3)1x =2x =(4)12x =-，23x =【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；（2）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；（3）利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；（4）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．【详解】（1）解：240x x -=()40x x -=，解得14x =，20x =（2）解：()()32320x x ---+=()()510x x --=，解得15x =，21x =（3）解：2a =Q ，4b =-，5c =-()()()2244425164056b ac \-=--´´-=--=x \=解得（4）解：()()()12220x x x -+-+=()()2120x x +--=，()()230x x +-=，20,30x x \+=-=，解得12x =-，23x =22．(1)12x =，22x =(2)13x =-，25x =【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．（1）利用配方法解方程；（2）先移项，再利用提公因式法解方程．【详解】（1）解：移项，得242x x +=，配方，得24424x x ++=+，()226x +=，两边开平方，得2x +=所以，12x =，22x =；（2）解：原方程可变形为：()()353x x x +=+，()()3530x x x +-+=，()()350x x +-=，30x +=或50x -=，所以，13x =-，25x =23．(1)1x =，2x =-(2)1x =2x =(3)112x =-，234x =(4)13x =-，23x =-【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求解即可；（2）方程整理后，利用求根公式法求解即可；（3）方程利用因式分解法求解即可；（4）方程利用配方法求解即可．【详解】（1）解：方程整理得：218x =，开方得：x =±解得：1x =2x =-（2）解：方程整理得：23220x x +-=，这里3a =，2b =，2c =-，Q △2243(2)424280=-´´-=+=>，x \2（3）解：方程移项得：4(21)3(21)0x x x +-+=，分解因式得：(21)(43)0x x +-=，所以210x +=或430x -=，解得：112x =-，234x =；（4）解：配方得：26919x x ++=，即2(3)19x +=，开方得：3x +=解得：13x =-23x =-【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．24．(1)13x =，27x =-(2)11x =，25x =-(3)112x =，21x =【分析】（1）利用平方差公式，可以解答此方程；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：2(2)250x +-=，()()25250x x +-++=，30x \-=或70x +=，解得13x =，27x =-；（2）解：2450x x +-=，()()150x x -+=，10x \-=或50x +=，解得11x =，25x =-；（3）解：22310x x -+=，()()2110x x --=，210x \-=或10x -=，解得112x =，21x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．25．（1）x 1＝4，x 2＝﹣2；（2）x 1＝1，x 2＝﹣3；（3）x 1＝3，x 2＝﹣2；（4）x 1＝﹣1，x 2＝2．【分析】（1）直接利用开方法进行求解即可得到答案；（2）直接利用配方法进行求解即可得到答案；（3）直接利用公式法进行求解即可得到答案；（4）直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；【详解】解：（1）∵()241360x --=∴（x ﹣1）2＝9，∴x ﹣1＝±3，∴x 1＝4，x 2＝﹣2；（2）∵x 2+2x ＝3，∴x 2+2x +1＝4，∴（x +1）2＝4，∴x +1＝±2，∴x 1＝1，x 2＝﹣3；（3）∵x 2﹣x ﹣6＝0，∴△（﹣6）＝25，∴x 152±=，∴x 1＝3，x 2＝﹣2；（4）∵()()2110x x x +-+=∴（x +1）（2﹣x ）＝0，∴x +1＝0或2﹣x ＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.26．(1)12x =+，22x =(2)12x x ==(3)12932x x ==，(4)12122y y ==-，【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．（2）先化为一般式，再根据24b ac D =-算出，以及代入x =答．（3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x 的值，即可作答．（4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x 的值，即可作答．【详解】（1）解：2410x x --=移项，得241x x -=配方，得24414x x -+=+，即()225x -=∴2x -=解得12x =，22x =+；（2）解：23119x x -=-231190x x -+=243912110813D =´´=-=∴x =解得2x =（3）解：()22539x x -=-()()225390x x ---=()()()253330x x x ---+=()()()()()353334180x x x x x ù-é--+=--=ëû则304180x x -=-=，解得12932x x ==，；（4）解：2242y y y +=+()22420y y y +-+=()()2220y y y +-+=()()2120y y -+=∴21020y y -=+=，解得12122y y ==-．27．(1)1222x x ==(2)1210,2x x ==-(3)123,0.6x x ==(4)1243,3x x =-=【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可；（4）先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）移项，得：21252x x -=，系数化1，得：2410x x -=，配方，得：24414x x -+=，2(2)14x -=，2x -=∴12x =22x =；（2）原方程可变形为28200x x --=，1a =，8b =-，20c =-，()()28412064801440D =--´´-=+=>，原方程有两个不相等的实数根，8122x ±\===，∴110x =，22x =-；（3）原方程可变形为：()()3340x x x --+=，整理得：()()3530x x --=，解得13x =，20.6x =；（4）原方程可变形为：2352100x x +--=，整理得：235120x x +-=，()()3430x x -+=，∴13x =-，243x =【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．28．(1)19x =，21x =-．(2)13x =-，212x =-．(3)12x =-，21x =．【分析】（1）先把方程化为281625x x -+=，可得()2425x -=，再利用直接开平方法解方程即可；（2）先计算27423492425>0=-´´=-=V ，再利用求根公式解方程即可；（3）先移项，再把方程左边分解因式可得()()210x x +-=，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】（1）解：289x x =+，移项得：289x x -=，∴281625x x -+=，配方得：()2425x -=，∴45x -=或45x -=-，解得：19x =，21x =-．（2）解：2273=0y y ++，∴23492425>0==-=V ，∴754x -±==，∴13x =-，212x =-．（3）解：()2236x x +=+，移项得：()()22320x x +-+=，∴()()210x x +-=，∴20x +=或10x -=，解得：12x =-，21x =．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．29．3【分析】先用换元法令22(0)a b x x +=>，再解关于x 的一元二次方程即可．【详解】解：令22(0)a b x x +=>，则原等式可化为：(2)150x x +-=，解得：123,5x x ==-，0x Q >，3x \=，即223a b +=．22a b +的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意22a b +为非负数是本题的关键．30．B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设2x x t +=，则此方程可化为2230t t +-=，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：设2x x t +=，则此方程可化为2230t t +-=，∴()()130t t -+=，∴10t -=或30t +=，解得11t =，23t =-，∴2x x +的值是1或3-．当23+=-x x 时，230x x ++=，∵112110D =-=-<，∴此方程无解，∴2x x +的值是1．故选：B ．31．1或7-【分析】本题主要考查解一元二次方程，设5a b x +=，则原方程可变形为()67x x +=，方程变形后运用因式分解法求出x 的值即可得到结论．【详解】解：设5a b x +=，则原方程可变形为()67x x +=，整理得，2670x x +-=，()()170x x -+=，10x -=，70x +=，∴1x =，7x =-，即51a b +=或7-，故答案为：1或7-．32．(1)12x x ==(2)1234x x x x ====【分析】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．（1）根据换元思想，设2y x =，则2y =或12y =-，由此即可求解；（2）设2y x x =-，则4y =或1y =，由此即可求解．【详解】（1）解：设2y x =，则原方程化为22320y y --=，∴2y =或12y =-，当2y =时，22x =，∴12x x ==，当12y =-时，212x =-，此时方程无解，∴原方程的解是12x x ==（2）解：设2y x x =-，则原方程化为2540y y -+=，∴4y =或1y =，当4y =时，2x -∴12x x ==，当1y =时，2x x -∴34x x =∴原方程的解是1234x x x x ===．33．122,1x x ==-【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当10x +³，即1x ³-时，原方程化为()2110x x -+-=，解得122,1x x ==-；②当10x +<，即1x <-时，原方程化为()2110x x ++-=，解得30x =（舍去），41x =-（舍去）．综上所述，原方程的解是122,1x x ==-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．34．1202x x ，==-【分析】本题考查了解含绝对值的一元二次方程．熟练掌握绝对值的意义，分类讨论，解一元二次方程，是解决问题的关键．对2x +为非负、负，两种情况讨论，先把绝对值号化简，方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x 的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当20x +³，即2x ³-时，方程变形得：()22240x x ++-=∴220x x +=∴()20x x +=∴1202x x ，==-；②当20x +<，即2x <-时，方程变形得：()22240x x -+-=∴228=0x x --∴()()240x x +-=∴12x =-（舍去），24x =（舍去）∴综上所述，原方程的解是10x =或22x =-35．1213x x ==，【分析】本题考查了解含绝对值的一元二次方程．熟练掌握绝对值的非负性，分类讨论化简绝对值，解一元二次方程，是解题的关键．分32x ³-与32x <-，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2+30x ³，即32x ³-时，原方程可化为：()222390x x +-+=，整理得：2430x x -+=，解得：1213x x ==，，当230x +<，即32x <-时，原方程可化为：()222390x x +++=，整理得24150x x ++=，∵244115440D ´=--=´<，∴此方程无实数解．综上所述，原方程的解为：1213x x ==，．36．12x x 【分析】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，根据题意分50x -³和50x -<两种情况，分别解方程即可．【详解】解：①当50x -³时，即5x ≥时，原方程化为2520x x +--=，即230x x -+=，113a b c ==-=，，，∴()22Δ4141311<0b ac =-=--´´=-，∴原方程无解，②当50x -<时，即5x <时，原方程化为2520x x +--=，即270x x +-=，=1=1=7a b c -，，，∴()22Δ4141729>0b ac =-=-´´-=，x2x ．37．(1)3(2)1-；大；1(3)1(4)当4m BF =，矩形养殖场的总面积最大，最大值为248m ．【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：（1）把原式利用配方法变形为()233x -+，再仿照题意求解即可；（2）把原式利用配方法变形为()211x -++，再仿照题意求解即可；（3）把原式利用配方法变形为()()22210x y -++=，再利用非负数的性质求解即可；（4）设m BF x =，则22m CF BF x ==，则3m BC x =，进而求出243m 3x AB -=，则()2243334483ABCD xS x x -=×=--+矩形，据此可得答案．【详解】（1）解：2612x x -+()2693x x =-++()233x =-+，∵()230x -³，∴()2333x -+³，∴当3x =时，2612x x -+的最小值为3；（2）解：22y x x=--2211x x =---+()211x =-++，∵()210x +³，∴()210x -+£，∴()2111x -++£，∴当1x =-时，22y x x =--有最大值，最大值为1，故答案为：1-；大；1；（3）解：∵224250x x y y -+++=，∴()()2244210x x y y -++++=，∴()()22210x y -++=，∵()()222010x y -³+³，，∴()()22210x y -=+=，∴2010x y -=+=，，∴21x y ==-，，∴211x y +=-=；（4）解：设m BF x =，则22m CF BF x ==，∴3m BC x =，∴243m 3x AB -=，∴24333ABCD x S x -=×矩形 2324x x=-+()23448x =--+，∵()240x -³，∴()2340x --£，∴()2344848x --+£，∵315AD BC x ==£，∴05x <£，∴当4x =时，ABCD S 矩形最大，最大值为48，∴当4m BF =，矩形养殖场的总面积最大，最大值为248m ．38．B【分析】利用配方法表示出B A -，以及2B A =时，用含n 的式子表示出x ，确定x 的符号，进行判断即可．【详解】解：∵226A x x n =++，2224B x x n =++，∴()2222246B A x x n x x n -=+++-+2222246x x n x x n =--++-22x x=-()211x =--；∴当1x =时，B A -有最小值1-；当2B A =时，即：()22222426x x n x x n =++++，∴2222242122x x n x x n =++++，∴280x n -=³，∴0x £，即x 是非正数；故选项A,C,D 错误，选项B 正确；故选B ．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．39．C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．40．（1）8；（2）见解析；（3）252【分析】（1）利用配方法把22410x x ++变形为22(1)8x ++，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；（2）利用配方法得到22172()24x x x ++=++，则可判断220x x ++>，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x （3）利用三角形面积公式得到四边形ABCD 的面积12AC BD =××，由于10BD AC =-，则四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××-，利用配方法得到四边形ABCD 的面积2125(5)22AC =--+，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：（1）()2224102210x x x x ++=++()2221110x x =++-+ 22(1)8x =++，Q 无论x 取何实数，都有22(1)0x +³，2(1)88x \++³，即223x x ++的最小值为8；故答案为：8；（2）22172()24x x x ++=++，21(02x +³Q ，220x x \++>，\无论x 都有意义；（3）AC BD ^Q ，\四边形ABCD 的面积12AC BD =××，10AC BD +=Q ，10BD AC \=-，\四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××-。

一元二次方程解法————公式法1．解下列方程：（1）x2+2x﹣5＝0（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝02．解方程（1）2y2+6y+5＝0；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．3．解方程：（1）3x2﹣6x＝2；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．4．解方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）（x﹣1）（x+2）＝4．5．解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．6．解方程：（1）2x2+3x﹣4＝0．（2）（x+3）（x﹣1）＝5．7．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．8．用适当方法解方程（1）x2﹣3x﹣9＝0；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．解下列方程：（1）x2+2x﹣5＝0（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2+2x﹣5＝0，∴x2+2x＝5，∴x2+2x+1＝6，∴（x+1）2＝6，∴x＝﹣1±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣（2）∵（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（x﹣2+x）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣2+x＝0，∴x1＝2，x2＝1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．2．解方程（1）2y2+6y+5＝0；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝2，b＝6，c＝5，∴Δ＝62﹣4×2×5＝﹣4＜0，∴此方程无实数根；（2）∵x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，∴（2x﹣5）（x﹣2）＝0，则2x﹣5＝0或x﹣2＝0，解得x1＝2.5，x2＝2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．解方程：（1）3x2﹣6x＝2；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．【分析】（1）根据公式法即可求出答案（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵3x2﹣6x＝2，∴a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2，∴△＝36+24＝60＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝（2）∵x（2x﹣5）＝4x﹣10，∴x（2x﹣5）＝2（2x﹣5），∴（x﹣2）（2x﹣5）＝0，∴x﹣2＝0或2x﹣5＝0，∴x1＝2，x2＝．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．4．解方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）（x﹣1）（x+2）＝4．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+2＝0，∴x2﹣4x+4＝2，∴（x﹣2）2＝2，∴x﹣2＝±，∴；（2）∵（x﹣1）（x+2）＝4，∴x2+x﹣6＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵2x2﹣6x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝，∴（x﹣）2＝，∴x＝；（2）∵2y（y+2）﹣y＝2，∴2y（y+2）﹣y﹣2＝0，∴（y+2）（2y﹣1）＝0，∴y+2＝0或2y﹣1＝0，∴y＝﹣2或y＝；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．6．解方程：（1）2x2+3x﹣4＝0．（2）（x+3）（x﹣1）＝5．【分析】（1）确定a，b，c的值，然后代入求根公式计算即可；（2）先将方程整理成一般形式，然后用因式分解法解答即可．【解答】解：（1）2x2+3x﹣4＝0，a＝2，b＝3，c＝﹣4，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×2×（﹣4）＝41，x＝＝，∴x1＝，x；（2）（x+3）（x﹣1）＝5，整理得，x2+2x﹣8＝0，因式分解得，（x+4）（x﹣2）＝0，∴x1＝﹣4，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的各种解法．7．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用求根公式计算出方程的根；（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2）原方程化为x2+x﹣6＝0，∵（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．8．用适当方法解方程（1）x2﹣3x﹣9＝0；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1．【分析】（1）先确定a，b，c的值，然后利用公式法解答即可；（2）先化简方程，然后确定【解答】解：（1）x2﹣3x﹣9＝0，a＝1，b＝﹣3，c＝﹣9，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣9）＝45，x＝＝，x1＝，x2＝；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1，整理得，2x2+x﹣3＝0，a＝2，b＝1，c＝﹣3，Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×2×（﹣3）＝25，x＝＝＝，。

一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】把方程ax2+c＝0(a≠0)，这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

例：用直接开平方法解方程：1．9x2-25＝0；2．(3x+2)2-4＝0；4．(2x+3)2＝3(4x+3)．解：1．9x2-25＝09x2＝252．(3x+2)2-4＝0(3x+2)2＝43x+2＝±23x＝-2±2∴x1＝x2＝3．4．(2x+3)2＝3(4x+3)4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如x2+例：用配方法解下列方程：1．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+4(x-2)2＝72．6x2+x＝353．4x2+4x+1＝74．2x2-3x-3＝0【公式法解一元二次方程】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。

例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)．2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝814．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)2当(a-2b≥0)时，得【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。

一元二次方程解法（总结）解法一元二次方程：因式分解法；开平方法；配方法；公式法1、因式分解法①移项：使方程右边为0②因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组③由A∙B=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程2、开平方法)0(2≥=aax3、配方法①移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项（移项要变号．．．．．）②同除：方程两边同除二次项系数（每项都要除．．．．．）③配方：方程两边加上一次项系数一半的平方．．．．．．．④开平方：注意别忘根号和正负⑤解方程：解两个一元一次方程4、公式法①将方程化为一般式②写出a、b、c③求出acb42-，④若b2-4ac＜0，则原方程无实数解⑤若b2-4ac＞0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式求解⑥若b2-4ac＞0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式2bxa=-求解。

练习：1、利用因式分解法解下列方程(x－2) 2＝(2x-3)2 042=-xx3(1)33x x x+=+x2()()0165852=+---xxaxa-==21()(2≥=+aabx解两个一元一次方程abx±=+一、利用开平方法解下列方程 51)12(212=-y 4（x-3）2=25 24)23(2=+x二、利用配方法解下列方程25220x x -+= 012632=--x x7x=4x 2+2 01072=+-x x三、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x －24＝0 2x （x －3）=x －3． 3x 2+5(2x+1)=0四、选用适当的方法解下列方程(x ＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0 22(21)9(3)x x +=- 2230x x --=21302x x ++= 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x2)2)(113(=--x x x （x ＋1）－5x ＝0. 3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1)39922=--x x同步习题：1、)4(5)4(2+=+x x2、x x 4)1(2=+3、22)21()3(x x -=+4、31022=-x x 5、（x+5）2=16 6、2（2x －1）－x （1－2x ）=07、x 2 =648、5x 2 - 52=0 9、8（3 -x ）2 –72=010、3x(x+2)=5(x+2)11、（1－3y ）2+2（3y －1）=0 12、x 2+ 2x + 3=013、x 2+ 6x －5=014、x 2－4x+ 3=0 15、x 2－2x －1 =016、2x 2+3x+1=017、3x 2+2x －1 =0 18、5x 2－3x+2 =019、7x 2－4x －3 =020、 -x 2-x+12 =0 21、x 2－6x+9 =022、22(32)(23)x x -=-23、x 2-2x-4=0 24、x 2-3=4x25、3x 2＋8 x －3＝0（配方法） 26、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋1427、(x+1)(x+8)=-12 28、2(x －3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝030、（2x-1）2 +3（2x-1）+2=0 31、2x 2－9x ＋8＝032、3（x-5）2=x(5-x) 33、(x ＋2) 2＝8x 34、(x －2) 2＝(2x ＋3)235、2720x x += 36、24410t t -+= 37、()()24330x x x -+-=38、2631350x x -+= 39、()2231210x --= 40、2223650x x -+=41、()()2116x x ---= 42、()()323212x x -+= 44、22510x x +-=45、46、21302x x ++=、。