因式分解[下学期]--浙教版3-

中小学1对1课外辅导专家

1 【因式分解】讲义

知识点1：分解因式的定义

1、分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。

例如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：

①8)3)(3(892xxxx（ ） ② )49)(49(4922yxyxyx （ ）

③ 9)3)(3(2xxx （ ） ④ )2(222yxxyxyxyyx （ ）

知识点2：公因式

公因式： 定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

公因式的确定：

（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）

（2）系数：取系数的最大公约数； （3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的；

（4）所有这些因式的乘积即为公因式；

例如：1、的公因式是多项式 963ab- abyabx_________

2、多项式3223281624abcababc分解因式时，应提取的公因式是

3、342)()()(nmmnynmx的公因式是__________

知识点3：用提公因式法分解因式

提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成

几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

例如：1、可以直接提公因式的类型：

（1）3442231269bababa=_______________

八年级2013年——2014年(上) 数学 学科导学案

主备人： 李立超 审核人： 。审批人； 。班级； 。

课题 运用完全平方式分解因式 课型 新课

学

习

内

容 (1) x2+8x+16 ; (2) 25a4+10a2+1

(3)（m+n）2-4（m+n）+4

二、例题讲解

例1：把下列各式分解因式：

(1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) –x2-4y2+4xy

学

习

目

标 1、经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，体会整式乘法与分解因式之间的联系。

2、了解完全平方式和运用公式法分解因式的含义，会用完全平方公式分解因式。

重点

难点 重点：会用完全平方公式分解因式

难点：完全平方式的识别及正确运用完全平方公式分解因式及其简单应用

教

学

流

程 【预习案】

一、回顾旧知：

我们把形如a2+2ab+b2与a2-2ab+b2叫做完全平方式，和平方差公式一样，我们也可以利用它把一些多项式因式分解。

例如： a2+8a+16= a2+2×4a+42=(a+4)2

a2-8a+16= a2-2×4a+42=(a-4)2

二、课前预习 ：

将下列式子分解因式 （1）(m+n)2-9； （2）16-(2a+3b)2； （3）x2+4x+4.

针对（3）题的结果提出问题：x2+4x+4＝(x+2)2是分解因式吗？为什么？

【探究案】

一、探究新知

1.把下列各式分解因式

学

习

内

容 三.变式训练：

把下列各式分解因式：

1) 2a3-4a2+2a (2) -x2+4xy-4y2

(3) 4-12(a-b)+9(b-a)2 (4) a4-8a2b2+16b4

训

练

第1页

中考要求

1.理解因式分解的概念，掌握因式分解（指数是正整数）的主要方法：提公因式法、公式法、（直接用公式不超过二次）

2.会运用因式分解解决与实际生活有关的数学问题。

（）

1．因式分解的定义及与整式乘法的关系

(1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算就是因式分解．

(2)因式分解与整式乘法是互逆运算．

2．因式分解的常用方法

(1)提公因式法

如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，就叫做公因式．

提公因式法用公式可表示为ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其分解步骤为：

①确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积．

②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式．

提公因式法常用的变形：a－b＝－(b－a)，(a－b)n

＝ b－ann为偶数－b－ann为奇数.

(2)运用公式法

将乘法公式反过来对某些多项式分解因式，这种方法叫公式法，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2.

温馨提示：

在运用公式法分解因式时，公式中的字母，可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式。

3．因式分解的一般步骤

(1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

(2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；

(3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． C——因式分解

考点知识梳理

第2页 （）

类型一 因式分解在选择题中的应用

(1)把代数式mx2－6mx＋9m分解因式，下列结果中正确的是( )

A．m(x＋3)2 B．m(x＋3)(x－3)

C．m(x－4)2 D．m(x－3)2

(2)若x＝1，y＝12，则x2＋4xy＋4y2的值是( )

A．2 B．4 C.32 D.12

因式分解的应用竞赛讲座

第 1 页 共 4 页 第三讲 因式分解的应用

在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础。

因式分解是代数变形的重要工具。在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段，因式分解在数值计算、代数式的化简求值、不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用。同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高。

因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一。

例题求解

【例1】若142yxyx，282xxyy，则yx的值为 。 (全国初中数学联赛题)

思路点拨：恰当处理两个等式，分解关于yx的二次三项式。

注：在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素。在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要。现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用。

代数式求值的常用方法是：

(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；(3)整体代入求值。

【例2】已知 a、b、c是一个三角形的三边，则222222444222accbbacba的值( )

A、恒正 B、恒负 C、可正可负 D、非负 (大原市竞赛题)

思路点拨：从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式子的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束。

【例3】计算下列各题：

（1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(；