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（二）TMmnp
与求TEmnp类似 cos m j z e 行波状态下，圆波导中TMmn模：H z 0, Ez E0 J m ( K c r )
sin m
圆波导中两个传播方向相反的行波叠加时：
Ez E J m ( K c r )
0
cos m sin m
e
j z
x-y平面
E,Hr,Hz非零
幅值由弱（蓝）到强（红）
z-y平面
x-z平面
E 矢 量
H 矢 量
12
3.3 常用微波谐振器：圆柱形谐振腔，TE011模式的应用 ► TE011模式于介质复介电常数的测量
典型频率范围8-40 GHz 电场只有方向的分量，样品与腔体表面之间有空隙不会对测量结构造成很大影响 （介质-空气分界面电场连续）。 导体表面电流沿方向，圆柱形谐振腔上下板与腔体的物理连接要求不高，同时也 方便谐振腔的加工以及样品的插入
e
r
圆柱形谐振腔 假定是在z＝0和z＝l处放导体板短路，边界条件：
Hz
（a） H z
z 0
Hz
z l
0
2R
H H 0 0 z 0 cos m j z cos m j z H z H 0 J m ( Kc r ) e e j 2H 0 J m ( Kc r ) sin z sin m sin m cos m H m J m (Kc r ) sin z sin m
v p K 2 Kc2 2 mn , m 0,1, 2,..., n 1, 2,3,..., p 0,1, 2,... R l
多谐性 8
2
2
3.3 常用微波谐振器：圆柱形谐振腔，谐振频率 ► 谐振频率
TEmnp
p K K c2 2 mn R l vmn p 2 2 K Kc R l
t ar
1 a r r
j z方向为纯驻波，因此 z
4
3.3 常用微波谐振器：圆柱形谐振腔，TE模
sin m j H z jm K p Er K 2 r K 2 r H m J m ( K c r ) cos m sin( l z ) c c cos m j H z j K p E H J ( K r ) sin( z ) m m c 2 sin m K c r Kc l E 0 2 z K 2 cos m 1 H z H m p p ( Kc r ) cos( z) H r K 2 zr K l J m sin m l c c mn K c sin m H m mp 1 2 H z p R J ( K r ) cos( z ) H 2 m c 2 cos m K r z K l l c cr cos m p sin( z) H z H m J m (Kcr ) 常用模式：TE111,TE011 sin m l
7
3.3 常用微波谐振器：圆柱形谐振腔，TM模
cos m 1 2 Ez Em p p J m ( Kc r ) sin( z) Er 2 sin m K c zr Kc l l sin m Em m p p J m ( Kc r ) sin( z) E 2 cos m K r l l c cos m p E E J ( K r ) cos( z) z m m c 2 sin m l K sin m E mK p m Hr J m ( Kc r ) cos( z) 2 vmn cos m Kc r l Kc R cos m jE K p m H (Kc r ) Jm cos( z) sin m K c l 常用模式：TM010 H z 0
13
3.3 常用微波谐振器：圆柱形谐振腔，常用工作模式TE111
sin j K Er K 2 r H1 J1 ( K c r ) cos sin( l z ) c cos j K H1 J1( K c r ) sin( z ) E sin Kc l E 0 1 z 0 2 2 cos H1 1 1 H r K l J1( K c r ) sin cos( l z ) c 3.41R 2l sin H1 J1 ( K c r ) cos( z ) 11 1.841 H 2 Kc cos Kc r l l R R cos sin( z ) H z H 1 J1 ( K c r ) sin l 优点：
0
3
3.3 常用微波谐振器：圆柱形谐振腔，TE模
（b） H z
z l
0
H m J m ( Kc r )
cos m sin m
sin l 0
p l p ( p 1, 2,3,...) l
p H z H m J m ( Kc r ) sin( z) sin m l
（a）
Er
z 0
0
E0 E0
cos m j z 1 2 Ez j (Kc r ) Er 2 E0 J m (e e j z ) sin m K c zr Kc cos m cos m 2 E0 Em ( Kc r ) (Kcr ) Jm sin z Jm sin z sin m sin m Kc Kc cos m Em ( Kc r ) Jm sin l 0 （b） Er z l 0 sin m Kc p l p ( p 0,1, 2,...) l cos m p Ez Em J m ( Kc r ) cos( z) sin m l 1 E t K 2 z (t Ez ) c 已知Ez，且Hz＝0，由纵横关系 可求得横向分量 H j (a E ) t z t z 2 K c
[参考文献] Jerzy Krupka, Frequency domain complex permittivity measurements at microwave frequencies; V.P.Levcheva, Application of TE011 mode cylindrical resonator for complex permittivity estimation.
p K 2 Kc2 2 mn , m 0,1, 2,..., n 1, 2,3,..., p 1, 2,3,... R l
当尺寸（R,l）和介质(、)给定时,腔内可存在无穷多谐振模式（谐振频率） 5
2
2
3.3 常用微波谐振器：圆柱形谐振腔，TM模
cos m j z cos m j z 1 2 Ez j ( Kc r ) (Kc r ) Er 2 E0 J m e E0 J m e sin m sin m Kc zr Kc
6
3.3 常用微波谐振器：圆柱形谐振腔，TM模
1/2
3/2
TMmnp
p 0时，s 1 sR (1 ) p 0时，s 2 l R
等效电导G 10
3.3 常用微波谐振器：圆柱形谐振腔，常用工作模式TE011 ► 常用三种工作模式
（一）TE011模
j K E K H 0 J 0 ( K c r ) sin( l z ) c H0 H J ( K r ) cos( z) r 0 c Kc l l 01 3.832 Kc R R H z H 0 J 0 ( K c r ) sin( z ) 1 1 l 0 2 2 2 2 Ez Er H 0 X 1 1 p mn 1.64 R 2l 2 R 2l
E J m (Kc r )
0
cos m s＝0和z＝l处放导体板短路，则该处电场切向分量Er、E应为0， 利用边界条件 Er(z=0)= Er(z= l)=0
1 (t Ez ) 可求得Er、E分量 由纵横向关系 Et 2 K c z
2
2
2
2
TMmnp
Kv K 1 f0 2 2 2
X mn p R l
2
2
0
2 2 1 2 2 2 2 K X mn p X mn p R l 2 R 2l
特点： 场结构比较稳定，即使腔体有变 形也不会出现极化简并现象 腔壁表面只有沿方向的电流， 损耗小且随频率增加而减小 Q值较高 缺点： 不是最低次模 体积大 工作频率带窄（存在简并模TM111） 11
3.3 常用微波谐振器：圆柱形谐振腔，TE011 ► TE011场分布
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第3章 微波谐振器
第3章 微波谐振器
3.0 谐振电路
3.1 微波谐振器 3.2 微波谐振器的主要参数
3.3 常用微波谐振器
3.4 微波谐振器的调谐、激励与耦合 3.5 微波谐振器计算案例
2
3.3 常用微波谐振器：圆柱形谐振腔 ► 电磁场表达式
（一）TEmnp
z
cos m sin m
在r，，z三个方向上均呈纯驻波状态 ＝p/l( p = 1,2,3,…)不同于圆波导中那样可以取任意值 已知Hz，且Ez＝0，由纵横关系可求得横向分量
cos m
Ht E t
