2014年河南省郑州市、长葛市高考数学三模试卷(理科)

2014年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

1．复数z ＝43a ii ＋＋为纯虚数，则实数a 的值为A ．34B ．－34C ．43D ．－432．命题“x ∀∈R ，x e －x ＋1≥0”的否定是A ．x ∀∈R ，lnx ＋x ＋1＜0B ．x ∃∈R ，x e －x ＋1≥0C ．x ∀∈R ，x e －x ＋1＞0D ．x ∃∈R ，x e －x ＋1＜0 3．如右图，是一程序框图，若输出结果为511，则其中的“?”框内应填入A ．11k >B ．10k >C ．9k ≤D ．10k ≤4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A ＝“第一次取到的是奇数”，B ＝“第二次取到的是奇数”，则()P B A =A ．15B ．310C ．25D ．125．下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递减的函数为A ．y ＝1xB ．y ＝2x x e e －－C ．y ＝sinxD ．y ＝lgx6．已知集合A ＝{}210A x x ax a =--->，且集合Z ∩C R A 中只含有一个元素，则实数a 的取值范围是A ．（－3，－1）B ．[－2，－1）C ．（－3，－2]D ．[－3，－1] 7．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(2)cos cos 0a c B b C ++=．角B 的值为A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π8．给出下列四个结论：①二项式621()x x-的展开式中，常数项是－15；②由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围成的图形的面积是2 ln2；③已知随机变量ξ服从正态分布N （1，2σ），(4)0.79P ξ≤=，则(2)0.21P ξ≤-=；④设回归直线方程为2 2.5y x =-，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位． 其中正确结论的个数为A ．1B ．2C ．3D ．49．在△ABC 中，｜AB ｜＝3，｜AC ｜＝2，AD uuu r ＝12AB uu u r ＋34AC uuur ，则直线AD 通过△ABC 的A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心 10．已知一个几何体的三视图及有关数据如右图所示，则该几何体的体积为 A ．B．3 CD．311．已知圆22213x y a ＋＝与双曲线2221x a b2y －＝（a ＞0，b ＞0）的右支交于A ，B 两点，且直线AB 过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为ABC ．2D ． 312．已知函数0,(),0.x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩＋2，ln 若函数2()()y f x k x e =-+的零点恰有四个，则实数k 的值为A ．eB ．1eC ．2eD ．21e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．实数x ，y 满足条件40,220,00,x y x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪≥≥⎩＋－－y ＋，则x －y 的最小值为______________14．已知数列{n a }的通项公式为n a ＝32,n n n n ,⎧⎨⎩－11－为偶数，为奇数.则其前10项和为____________．15．在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：2x ＝2py （p ＞0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为．则抛物线C 的方程为___________16．已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a的正方形，所有侧棱长相等且等于2a ，若其外接球的半径为R ，则aR等于____________ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{n a }满足a 1＝5，1n a ＋＝81234n n a a －－，n N *∈, n b ＝12n a －． （Ⅰ）求证：数列{n b }为等差数列，并求其通项公式；（Ⅱ）已知以数列{n b }的公差为周期的函数()f x ＝Asin （ωx ＋ϕ）[A ＞0，ω＞0，ϕ∈（0，π）]在区间[0，12]上单调递减，求ϕ的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝60°，M ，N 分别是BC 、PC 的中点．（Ⅰ）证明：AM ⊥PD ； （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，MH 与平面PAD 所成最大角的正M －AN －C 的余弦值． 19．（本小题满分12分）居住在同一个小区的甲、乙、丙三位教师家离学校都较远，每天早上要开车去学校上班，已知从该小区到学校有两条路线，走线路①堵车的概率为14，不堵车的概率为34；走线路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1－p ．若甲、乙两人走线路①，丙老师因其他原因走线路②，且三人上班是否堵车相互之间没有影响．（Ⅰ）若三人中恰有一人被堵的概率为716，求走线路②堵车的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三人中被堵的人数ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）过点C （02221x a b2y ＋＝（a ＞b ＞0）的离心率为12，椭圆与x 轴交于(),0A a 和(),0B a -两点，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．（Ⅰ）当直线l 过椭圆的右焦点时，求线段CD 的长；（Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP uu u r ·OQ uuu r为定值．21．（本小题满分12分）函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[a ，b]⊆D ，使得函数()f x 满足：（1）()f x 在[a ，b]内是单调函数；（2）()f x 在[a ，b]上的值域为[ka ，kb]，则称区间[a ，b]为()y f x =的“和谐k 区间”．（Ⅰ）若函数()x f x e =存在“和谐k 区间”，求正整数k 的最小值；（Ⅱ）若函数2()(2)ln 2(0)2m g x x m x x m =-++≥存在“和谐2区间”，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．如果多做。

2014年河南省普通高中毕业班高考适应性理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题题号123456789101112答案DBDBACBDBCD二、填空题 （13） （14） （15） （16） 所以数列为首项为，公差为的等差数列， ……………………………………4分………………………………………………………………………………6分的周期，所以，……………………………………8分， ……………………………………………………10分所以…………………………………………………………………12分18. 解：（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，， 可得为正三角形.因为M为的中点，所以.…………………………………………………1分 又∥，因此.因为平面，平面，所以. ………………3分 而， 所以平面.……………………………………4分 又平面，所以…………………5分 （Ⅱ）解法一：设，为上任意一点，连接、 由（Ⅰ）可知：平面. 则为与平面所成的角.…………………………………………6分 在中， ， 所以当最短时，最大，…………………………………… 7分 即当时，最大，此时 因此.又，所以，于是.……………………………8分 ， ，，，， . 则，，设的中点为，由（1）知就是面的法向量，.设平面的法向量为，二面角的. 由………………………10分 二面角的余弦值.………………………………………………………………12分 （Ⅱ）解设，为上任意一点，连接、 由（Ⅰ）可知： 平面.则为与平面所成的角.……………………………………………………………6分 在中，， 所以当最短时，最大，……………………………………………………………………7分 即当时，最大，此时. 因此.又，所以，于是.………………………………8分 因为平面，平面， 所以平面平面.……………………………………………………………………………9分 过作于，则由面面垂直的性质定理可知：平面，，过作于，连接，平面则为二面角的平面角.……………………………………………………………………………………………………10分 在中，， 又是的中点，在中， 又 …………………………………………………………………………11分 在中， 即二面角的余弦值为.…………………………………………………………………12分.…………………………………………3分，则 . 答：的值为, 即走线路②堵车的概率为.………………………………………………………5分 可能的取值为0，1，2，3 …………………………………………………………………………6分 , . , …………………………………8分 的分布列为： 0123 ……………………10分 . 答：三人中被堵的人数的数学期望为．……………………………………………………………12分，，得所以，椭圆.……………………3分椭圆的右焦点为，此时直线的方程为. 由 解得 所以.……………………………………………………6分（）与轴垂直时与题意不符，所以直线与轴不垂直，即直线的斜率存在. 设直线的方程为…………………………………………………7分，解得 代入直线的方程，得 所以，的坐标为…………………………………………………………9分 的方程为，因， ， 所以直线的方程为 联立解得即……………………………………………………10分 的坐标为 所以. 所以为定值4. …………………………………………………………………………………12分 为上的增函数，若在上的值域为，则必有所以为方程的两个不等根，……………………………………1分，则，由知， 由知，所以函数在区间单调递减，在区间上单调递增，所以，………………………………………………………………………3分在上有两个零点，所以. 所以，又为正整数，所以k的最小值为3. ……………………………………………5分的定义域为， ， 由于，所以，由知函数在区间上单调递增； 由知函数在区间上单调递减. …………………………………………………7分存在“和谐2区间” ，若，则即 两式相加得， 由于及,易知上式不成立. …………………………………………………8分，由在区间上单调递增知，为方程的两个不等根， 令，则 若，则在单调递减，不可能有两个不同零点；……………………10分，知，在上单调递增；同样，由知，在上单调递减. 函数在上有两个不同零点，又，故有 ，解之得 综上，所求实数m的取值范围为…………………………………………………12分， ∵ ，，∴，∴是⊙的切线. ………………………………4分 是直径， ∴，中， , ∵是⊙的切线， ∴. 又 ∵ ∴∽, ∴==. 设,， 又， ∴=·. 解得：, ∵ , ∴ . ∴.…………………………………………………………6分 （）得, ∴曲线的直角坐标方程为.…………………………………………………………2分 的普通方程为.…………………………………………………………………………4分 （）的参数方程代入曲线的直角坐标方程中， 得, 设两点对应的参数分别为, 则有.………………………………………………………………6分 , ∴, 即.………………………………………………………………8分 . 解之得：或 (舍去),∴的值为.……………………………………………………10分 （）时，可化为， 或. 由此可得或. 故不等式的解集为.………………………………………………5分 （） 由,得,此不等式化等价于或 解之得或 因为,所以不等式组的解集为,由题设可得,故.……………………10分 由,得,此不等式化等价于, 即为不等式组 解得 因为,所以不等式组的解集为,由题设可得,故.……………………10分 D C A B y x H z y x Q P O O A B D C E。

2014年河南省新乡、许昌、平顶山三市高考数学三模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题1．cos 240︒=（ ）A ．BC ．12-D ．12答案：C【考点】运用诱导公式化简求值． 【专题】三角函数的求值．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：()1cos240cos 18060cos602︒=︒+︒=-︒=-．故选：C ．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．设复数2i1iz =-，则z =（ ）A ． 1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】复数2i1iz =-，利用两个复数代数形式的除法法则化简为i a b +，从而得到它的共轭复数．【解答】解： 复数()()()()2i 1i 2ii 1i 1i 1i 1i 1i z +===+=-+--+，1i z ∴=--， 故选：D ．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，属于基础题．3．已知全集U R =，集合{A x y ==，集合{}2,x B y y x ==∈R ，则()R A B = ð（ ） A ． {}2x x >B ．{}01x x <≤C ．{}12x x <≤D ．{}0x x <答案：A【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题．【分析】由全集U R =，集合{{}{}22002A x y x x x x x ==-=≥≤≤，求出{}0R A x x =<ð，或2x >}，再由{}{}2,0x B y y x y y ==∈=>R ，能求出()R A B ð． 【解答】解： 全集U R =，集合{{}{}22002A x y x x x x x ===-=≥≤≤，{}0,2R A x x HUOx ∴=<>ð，{}{}2,0x B y y x y y ==∈=>R ，()()2R A B x x ∴=> ð．故选A ．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意指数函数性质的灵活运用．4．命题若“220x y +=，则0x y ==”的否命题是（ ） A ．若220x y +=，则x ，y 中至少有一个不为0 B ．若220x y +≠，则x ，y 中至少有一个不为0C ．若220x y +≠，则x ，y 都不为0D ．若220x y +=，则x ，y 都不为0 答案：B【考点】四种命题． 【专题】简易逻辑．【分析】直接利用四种命题的逆否关系写出命题的否命题即可．【解答】解：否命题是把原命题的条件否定做条件，原命题的结论否定做结论，∴命题若“220x y +=，则0x y ==”的否命题是：若220x y +≠，则x ，y 中至少有一个不为0． 故选：B ．【点评】本题考查命题的否命题的写法，基本知识的考查．5．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于（ ）A B ．．． 答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题．【分析】根据已知三视图，我们结合棱锥的结构特征易判断出几何体为四锥锥，结合三视图中标识的数据，我们易求出棱锥的底面面积及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案． 【解答】解：由已知三视图我们可得： 棱锥以俯视图为底面 以侧视图高为高由于侧视图是以2为边长的等边三角形，故h 结合三视图中标识的其它数据，()112232S =⨯+⨯=底面故13V S h =⨯⨯底面故选A【点评】本题考查的知识点是根据三视图求几何体的体积，其中根据已知三视图，结合简单几何体的结构特征易判断出几何体的形状，和相关的几何量（底面边长，高）是解答本题的关键． 6．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D【考点】程序框图． 【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算x 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．故选D ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．7．设x ，y 满足约束条件112210x y x x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≥≤向量()2,a y x m =- ，()1,1b = ，且a b ∥，则m 的最小值为（ ） A ．6 B ．6- C ．32 D ．32-答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据向量平行的坐标关系得到2y x m =+，然后利用线性规划进行求解即可．【解答】解：()2,a y x m =- ，()1,1b =，且a b ∥， 20y x m ∴--=，即2y x m =+，作出不等式组对应的平面区域， 平移直线2y x m =+，当直线经过点B 时，直线的截距最小，此时m 最小，由12210y xx y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，即()4,2B ， 此时2286m y x =-=-=-， 故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据向量的关系求出2y x m =+是解决本题的关键，利用数形结合是基本思想． 8．已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：B【考点】双曲线的定义；余弦定理． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求12PF PF ⋅的值．解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出12PF PF ⋅的值． 【解答】解：方法1．由双曲线方程得1a =，1b =，c 由余弦定理得22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=()(22221212121212122221cos60222PF PF PFPF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒︒=⇒=124PF PF ∴⋅=．方法2； 由焦点三角形面积公式得：12221216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ︒===︒=△124PF PF ∴⋅=；故选B ．【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力．9．在ABC △中，已知2cos a B c =，()21sin sin 2cos sin 22C A B C -=+，则ABC △为（ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形 答案：B【考点】正弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A B =，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A B C +=，0A B -=代入计算求出cos C 的值为0，进而确定出C 为直角，即可确定出三角形形状．【解答】解：将已知等式2cos a B c =，利用正弦定理化简得：2sin cos sin A b C =， ()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，2sin cos sin cos cos sin A B A B A B ∴=+，即()sin cos cos sin sin 0A B A B A B -=-=，A 与B 都为ABC △的内角， 0A B ∴-=，即A B =，已知第二个等式变形得：()()111sin sin 2cos 1cos 1cos 222A B C C C -=-+=-， ()()()11cos cos 2cos 1cos 22A B A B C C -+---=-⎡⎤⎣⎦， ()()11cos 12cos 1cos 22C C C ∴----=-，即()()cos 12cos 2cos C C C +-=-，整理得：2cos 2cos 0C C -=，即()cos cos 20C C -=，cos 0C ∴=或cos 2C =（舍去）， 90C ∴=︒，则ABC △为等腰直角三角形． 故选：B ．【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，积化和差公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．10．下列命题中，m ，n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥； ②若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥； ③若m α∥，n α∥，则m n ∥；④若αβ∥，βγ∥，m α⊥，则m γ⊥． 正确的命题是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 答案：C【考点】平面的基本性质及推论． 【专题】计算题．【分析】由题意，m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，由空间中的线与面、面与面的位置关系对四个选项进行判断得出正确选项，①选项由线面垂直的条件进行判断，②选项用面面平等的判定定理判断，③选项由线线平等的条件进行验证，④选项由平行于同一平面的两个平面互相平行和一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这条直线必平行于另一个平面进行判断． 【解答】解：由题意，m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面考察①选项，此命题正确，若m α⊥，则m 垂直于α中所有直线，由n α∥，知m n ⊥； 考察②选项，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是平行或相交；考察③选项，此命题不正确，因为平行于同一平面的两条直线的位置关系是平行、相交或异面； 考察④选项，此命题正确，因为αβ∥，βγ∥，所以αγ∥，再由m α⊥，得到m γ⊥． 故选C ．【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系的判断，解题的关键是有着较强的空间想像能力，能根据线线关系，线面关系，面面关系作出判断，本题考查了空间想像能力，推理判断的能力．11．已知函数()3f x x x =+，[]2,2m ∀∈-，()()20f mx f x -+<恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,2-D ．()3,2-答案：A【考点】函数恒成立问题． 【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数()f x 的单调性和奇偶性的关系将不等式恒成立进行等价转化，即可得到结论． 【解答】解： ()3f x x x =+ ， ()f x ∴是奇函数，且在R 上单调递增，由()()20f mx f x -+<， 得()()()2f mx f x f x -<-=-， 此时应有220mx x xm x -<-⇒+-<， 对所有[]2,2m ∈-恒成立，令()2f m xm x =+-，此时只需()()2020f f ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，则20320x x --<⎧⎨-<⎩，即223x x >-⎧⎪⎨<⎪⎩，解得223x -<<． 故选：A ．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．12．对于函数()f x ，若a ∀，b ，c ∈R ，()f a ，()f b ，()f c 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”．已知函数()e e 1x x tf x +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ． 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]0,1 C ．[]1,2 D ．[)0,+∞答案：A【考点】指数函数综合题． 【专题】函数的性质及应用．【分析】因对任意实数a 、b 、c ，都存在以()f a 、()f b 、()f c 为三边长的三角形，则()()()f a f b f c +>恒成立，将()f x 解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由1t -的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k 转化为()()f a f b +的最小值与()f c 的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围． 【解答】解：由题意可得()()()f a f b f c +>对于a ∀，b ，c ∈R 都恒成立，由于()()e 1111e 1e 1x x x t t f x ++--==+++，①当10t -=，()1f x =，此时，()f a ，()f b ，()f c 都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当10t ->，()f x 在R 上是减函数，()111f a t t <<+-=， 同理()1f b t <<，()1f c t <<，故()()2f a f b +>．再由()()()f a f b f c +>恒成立，可得2t ≥，结合大前提10t ->，解得12t <≤． ③当10t -<，()f x 在R 上是增函数，()1t f a <<， 同理()1t f b <<，()1t f c <<，由()()()f a f b f c +>，可得21t ≥，解得112t >≥． 综上可得，122t ≤≤， 故选：A ．【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题． 二、填空题13．已知随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P a ξ>=，a 为常数，则()10P ξ-=≤≤ ．答案：12a - 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【专题】计算题；概率与统计．【分析】随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，得到曲线关于0x =对称，根据曲线的对称性及概率的性质得到结果．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，∴曲线关于0x =对称， ∴()()11P P a ξξ<-=>=， ∴则()1102P a ξ-=-≤≤． 故答案为： 12a -．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题． 14．已知π30sin a xdx =⎰，则61x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 ．答案：160【考点】定积分．【专题】导数的综合应用；二项式定理．【分析】根据积分公式先求出a 的值，然后利用二项式定理的展开式即可得到结论． 【解答】解：ππ330011sin cos 122a xdx x ==-=-=⎰， 则6612x x ax x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则展开式的常数项为3333662C 8C 160x x ⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故答案为：160【点评】本题主要考查积分的应用，以及二项式定理的应用，要求熟练掌握相应的计算公式． 15．三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面内，其中ABC △是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 ．答案：【考点】球的体积和表面积． 【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据已知结合棱锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的体积． 【解答】解：由已知PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，ABC △是正三角形，故平面ABC 截球所得圆的半径r AB == 球心到平面ABC 距离132d PA ==，故球的半径R ==故球的体积34π3V R ==；故答案为：【点评】本题考查的知识点是球的体积，其中根据已知求出半径是解答的关键．16．将a ，b ，c 三个字母填写到33⨯方格中，要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有 _______种．（用数值作答） 答案：12【考点】排列、组合及简单计数问题． 【专题】计算题．【分析】先从方格的最左上角填起，这个表格有3种填法，它右边的一个格子有2种结果，右边的第三个格子的数字在前两个数字确定以后是一个确定的数字，在最左边一列里也是这种情况，根据分步计数原理得到结果．【解答】解： 由题意知要求每行、每列都没有重复数字，∴先从方格的最左上角填起，这个表格有3种填法，它右边的一个格子有2种结果，右边的第三个格子的数字在前两个数字确定以后是一个确定的数字，同理最左上方的格子下面的格子有2种结果，再下面的只有一种结果，根据分步计数原理知共有32212⨯⨯=种结果， 故答案为：12【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏，属于中档题． 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{}n a 是公差大于0的等差数列，且12a =，23210a a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 是以函数()24sin πf x x =的最小正周期为首项，以13f ⎛⎫⎪⎝⎭为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S ．【考点】数列的求和；等差数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用等差数列的定义联立方程组求得d ，即得通项公式；（2）利用三角函数的周期定义求得n b 首项及q ，写出n b 通项公式，利用等差数列及等比数列的求和公式求出n S ．【解答】解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则()12112210a a d a d =⎧⎪⎨+=+-⎪⎩， 解得2d =，或4d =-（舍去）． 所以2n a n =．（Ⅱ）因为()24sin π2cos2π2f x x x ==-+，最小正周期2π12πT ==，所以11b =，又133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故3q =，13n n b -=，123n n n a b n --=-．故()()012124623333n n S n -=++++-++++211322nn n =++-⋅． 【点评】本题主要考查学生对等差数列、等比数列的定义及通项公式，前n 项和公式的掌握运用情况，属基础题．18．在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分，即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率为0.25，在B 处的命中率为q ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投（2）求随机变量ξ的数学期望()E ξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】综合题． 【分析】（1）设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，0ξ=时，对应事件ABB ，根据分布列，即可求得2q 的值；（2）明确2ξ=、3、4、5，对应的事件，求出相应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．【解答】解：（1）设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且()0.25P A =，()0.75P A =()2P B q =，()21P B q =-．根据分布列知：0ξ=时，()()()()()220.7510.03P ABB P A P B P B q ==⨯-=， 所以210.2q -=，20.8q =．（2）当2ξ=时，()()()122220.7512 1.510.24P P ABB ABB q q q q =+=-⨯=-=当3ξ=时，()()2220.2510.01P P ABB q ==-= 当4ξ=时，()2220.750.48P P ABB q ===当5ξ=时，()()42220.2510.250.24P P ABB AB q q q=+=-+=所以随机变量ξ的分布列为50.24 3.63⨯=．【点评】本题考查随机变量的分布列与数学期望，明确变量的含义，求出概率是解题的关键．19．如图，在几何体ABCDEF 中，AB CD ∥，1AD DC CB ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1CF =． （Ⅰ）求证：平面FBC ⊥平面ACFE ；（Ⅱ）若M 为线段EF 的中点，设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角的余弦值．CABFME D【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定． 【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离． 【分析】（1）证明BC AC ⊥，从而证明BC ⊥平面ACFE ，可证平面ACFE ⊥平面FBC ；（2）以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量完成． 【解答】解：（Ⅰ）证明：在四边形ABCD 中， AB CD ∥，1AD DC CB ===，60ABC ∠=︒，2AB ∴=，2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=， 222AB AC BC∴=+，BC AC ∴⊥．平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCD AC=，BC ⊂平面ABCD ， BC ∴⊥平面ACFE ． 又BC ⊂ 平面FBC ，∴平面ACFE ⊥平面FBC ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，)0,0A，()0,1,0B ，,0,1M ⎫⎪⎪⎝⎭，()1,0AB ∴=，,1,1BM ⎫=-⎪⎪⎝⎭， 设()1,,n x y z = 为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得，00y y z ⎧+=-+= 取1x =，则11,n ⎛= ⎝⎭，()21,0,0n = 是平面FCB 的一个法向量，1212cos n n n n θ⋅∴==. 所以平面MAB 与平面FCB【点评】本题第（1）小题要注意图形分解，找到突破口，第2问用空间直角坐标系求解，注意空间向量．属于中档题．20．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 为椭圆上一点，当12AF F △的面积最大时， 12AF F △为等边三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点()1,0M ，使得0PM QM ⋅=，求椭圆的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由椭圆性质可知当点A 为椭圆短轴端点时12AF F △的面试最大，得到a ，c 的关系，则答案可求；（Ⅱ）由椭圆离心率设出椭圆方程2234120x y t +-=，和直线方程联立得到关于x 的一元二次方程，由判别式等于0得到m ，k ，t 的关系，用m ，k 表示P 的坐标，结合x 轴上存在一定点()1,0M ，使得0PM QM ⋅=求得t 的值，则椭圆方程可求．【解答】解：（Ⅰ）当点A 为椭圆短轴端点时12AF F △的面试最大．此时2a c =，离心率1e 2=；（Ⅱ）1e 2c a == ，2222214c a b a a -∴==,2234b a =，可设2234b ta t ==，∴椭圆的方程为2234120x y t +-=．由2234120x y t y kx m⎧+-=⎨=+⎩，得()223484120k x kmx m t 2+++-=． 动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ， 0∴∆=，即()()2222644344120k m m m t -+-=．整理得2234m t k t =+．设()11,P x y ，则有()1228434234km km x k k =-=-++，112334m y kx m k =+=+， 2243,3434km m P kk ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭． 又()1,0M ，()4,4Q k m +，若x 轴上存在一定点()1,0M ，使得PM QM ⊥，()()22431,3,403434km m k m kk ⎛⎫∴+-⋅--+= ⎪++⎝⎭恒成立． 整理得2234k m +=，223434k t k t ∴+=+恒成立，故1t =， 所求椭圆方程为22143x y +=． 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．21．已知函数()()ln f x x a x =+的图象在点()()e ,e f （e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若k 为整数时，()()1k x f x -<对任意1x >恒成立，求k 的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3，可得()'e 3f =，从而可求实数a 的值；（Ⅱ）构造()()ln 11f x x x xg x x x +==--，求导函数，令()()ln 21h x x x x =-->，确定()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈，进而可得()()ln 11f x x x xg x x x +==--在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，求出最小值，即可得解． 【解答】解：（Ⅰ）求导数可得()'ln 1f x a x =++，函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3，()'e 3f ∴=，ln e 13a ∴++=，1a ∴=（Ⅱ）()()1k x f x -<对任意1x >恒成立，()1f x k x ∴<-对任意1x >恒成立， 由（1）知， ()ln f x x x x =+，令()()ln 11f x x x x g x x x +==--，则()()2ln 2'1x x g x x --=-， 令()()ln 21h x x x x =-->，则()1'0x h x x-=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()31ln30h =-<，()422ln 20h =->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01x x <<时，()0h x <，即()'0g x <，当0x x >时，()0h x >，即()'0g x >，所以函数()()ln 11f x x x xg x x x +==--在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增． 所以()()00ming x g x x ==． 因为03x >，所以1x >时，3k <恒成立故整数k 的最大值是3．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时构造函数是关键．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

长葛市第三实验高中2013-2014学年高二下学期第三次考试数学〔理〕试题须知事项：1．本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕两局部。

总分为150分，考试时间120分钟。

2．答卷前考生务必将自己的班级、姓名、考号和考试科目用钢笔分别填在答题卷密封线内。

3．第1卷和第2卷的答案务必答在答题卷中，否如此不得分；答题卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在上面每题对应的答题区域内，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

4．考试完毕后，只把答题卷交回〔试题卷自己保存好，以备评讲．．．．．．．．．．．．．〕。

一、选择题〔每一小题5分〕 1．复数 ,1i z -=如此=+z z1〔 〕 A.i 2321+ B.i 2321-C.i 2323-D.i 2123- 2．投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是〔 〕A. 一枚是3点，一枚是1点B. 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点C. 两枚都是4点D. 两枚都是2点3．一个口袋内有带标号的7个白球，3个黑球，作有放回抽样，连摸2次，每次任意摸出1球，如此2次摸出的球为一白一黑的概率是〔 〕 A. 732()()1010⨯⨯ B.1111()()()()7337⨯+⨯ C. 112()()73⨯⨯ D.7337()()()()10101010⨯+⨯ 4．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形，如此第七个三角形数是()A. 21B.28C.32D.365.假设(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，如此实数m 的值为( ) A ．1或－3B ．－3C ．1 D ．1或36．设离散型随机变量的概率分布如下，如此的值为〔 〕X1 2 3 4 PA ．B ．C ．D ．7．假设x x f x f x f ln 4)1(')2(2)(-+-=，如此)1(f 等于〔 〕 A.2- B.4- C.2 D. 08．如果函数()y f x =的图象如左图，那么导函数()y f x '=的图象可能是〔 〕9．设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直，如此a 等于〔〕 A.2 B.12 C.12- D.2- 10．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有〔 〕 A ．10种B ．种C ．种D ．种11．抛掷甲、乙两颗骰子，假设事件A ：“甲骰子的点数大于4〞；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7〞，如此(|)P B A 的值等于〔 〕Ａ．13Ｂ．118Ｃ．16Ｄ．1912．将5名志愿者分配到3个不同的世博会展览馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( ) A ．540 B ．300 C ．150 D ．180 选择题答题表： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题〔本大题共4小题，共20分〕 13．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有种．14.假设二项式nx x )2(2-的展开式中二项式系数的和是64，如此展开式中的常数项为 ．15．三人独立地破译一个密码，它们能译出的概率分别为、、，如此能够将此密码译出的概率为 ．16．设()()201()212x x f x xx ⎧≤<⎪=⎨-<≤⎪⎩， 如此2()f x dx =⎰．三、解答题〔本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕．17．〔本小题总分为10分〕从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，分别按如下要求，各有多少种不同选法？(1)男、女同学各2名； (2)男、女同学分别至少有1名；18．〔本小题总分为12分〕假设321nx x ⎫⎪⎭的展开式的二项式系数和为128.(1)求n 的值;(2)求展开式中的常数项(3)求展开式中二项式系数的最大项19．3个同学分别从a ，b ，c ，d 四门校本课程中任选其中一门，每个同学选哪一门互不影响； 〔1〕求3个同学选择3门不同课程的概率； 〔2〕求恰有2门课程没有被选择的概率；〔3〕求选择课程a 的同学个数的分布列与数学期望. 20．〔本小题总分为12分〕函数32()f x ax bx cx =++在点x 0处取得极小值5，其导函数的图象经过(1,0)，(2,0)，如下列图，求： (1)x 0的值； (2)a ，b ，c 的值； (3)f (x )的极大值．21．(本小题总分为12分) 函数f(x)＝x ln x.(1)求f(x)的最小值；(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0 (m∈R)的解的个数．22．〔本小题总分为12分〕为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进展处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进展调查，得到如下数据：〔Ⅰ〕假设用表中数据所得频率代替概率，如此处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少?〔Ⅱ〕假设从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进展处罚，在两个路口进展试验．①求这两种金额之和不低于20元的概率；②假设用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望．长葛市第三实验高中2013—2014学年下学期第三次考试试卷高二数学〔理科〕参考答案与评分建议20．21．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f (x )单调递减且f (x )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f (x )单调递增且f (x )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，＋∞， 下面讨论f (x )－m ＝0的解，当m <－1e时，原方程无解；当m ＝－1e 或m ≥0，原方程有唯一解；当－1e<m <0时，原方程有两解．22．解：〔Ⅰ〕由条件可知,处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是:4010320020020-=.………………………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕①设“两种金额之和不低于20元〞的事件为A ,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有25C 10=种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率为63()105P A ==.………〔8分〕②根据条件,X 的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为510152025303510105551010EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=20.………〔12分〕 解：〔Ⅰ〕设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》〞为事件A ，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》〞为事件B .由于事 件A 、B 相互独立， 且25262()3C p A C ==, 24262()5C P B C ==. 所以选出的4人均考《数学解题思想与方法》的概率为224()()()3515P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=…… 6分〔2〕设ξ可能的取值为0,1,2,3.得 4(0)15P ξ==,21112552442222666622(1)45C C C C C P C C C C ξ===+=,15226611(3).45c p c c ξ===2(2)1(0)(1)(3)9p p p p ξξξξ==-=-=-==…………… 9分ξ的分布列为∴ξ的数学期望 012311545945E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=…………12分。