三角函数中的“错中悟”
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历概念。难点‘题根 ２０１５年第４期
中 掌 生 效 理 丫匕 高 使 用 ●一 ●一 ●—＿一 角函数巾的６６锚巾悟 ■湖北 廖庆伟 三角函数是高中数学的重要内容，虽然难度不 大，但概念多、公式多，解题时容易出错。下面举例 分析，供大家学习与参考。 一、角所在的象限判断错误 侧， 已知ｓｉｎ ９一 ３，ｃ。ｓ 一一 ４，试确定 ０ ０ 所在的象限。 错解：由ｓｉｎ ａ— ３＞。，ｃ。 ａ一一ｉ４＜０，可知 号为第二象限角，即２ｋ ＋詈＜号＜２志丁ｃ＋ ，ｋ∈ｚ， ４ ７【＋７ｃ＜ａ＜４是 ＋２７ｃ，ｋ∈ｚ，所以ａ是第三、四象限 角或终边在Ｙ轴负半轴上的角。 感悟：上述解法忽视了函数值的制约，扩大了角 的范围。 正解：由ｓｉ“ ａ— ３＞ｏ，ｃ。ｓ导一一 ＜ｏ，可知 ０ ０ 号为第二象限角，而ｓｉｎ号一＿詈＿＜ 一ｓｉｎ ，所以 ２是丌＋ ＜号＜２是７ｃ＋ ∈ｚ，４ｋ兀十 ＜ ＜４忌兀＋ ２丌，ｋ∈Ｚ，可知 是第四象限角。 二、三角函数的定义理解错误 侧２已知角０的顶点为坐标原点，始边为 轴的正半轴。若Ｐ（４，Ｙ）是角０终边上的一点，且 ｓｉｎ 一一 ，则 一 。 错解：因为Ｐ（４，Ｙ）是角０终边上的一点，且 ｉ 一一 ，所以 ｉｎ 一 一一 。 感悟：本题ｑ－的点Ｐ不在单位圆上，不能直接用 三角函数的定义表示ｓｉｎ ０。 正解：Ｐ（４，Ｙ）是角０终边上的一点，由三角函数 的定义知 ｉｎ 一＿＿＝二兰一。因为 ｉｎ 一一弩呈，所 √１６＋ ‘ ０ 以志＝＝一一 ｙ＝－－８（ｙ＝８ 。 三、同角三角函数的关系应用错误 倒了 已知ｓｉｎ ｄ＋ｃ。ｓ ｄ一＿＝Ｉ１，Ｏ＜ｄ＜７ｃ，求 ｓｉｎ ｄ—ＣＯＳ ａ的值。 错解：由条件可得（ｓｉｎ ＋ｃｏｓ）ｚ一去，所以 ｓｉｎ ａｃｏｓ一一 １２。由（ｓｉｎ ａ—ｃ。ｓ ａ）。一１—２ｓｉｎ ａ・ ｃ。ｓ ａ一 ４９，可得ｓｉｎ —ｃ。ｓ ａ＝＝＝±ｉ７。 感悟：上述解法忽视了ａ的取值汜ａ４－围。由０＜ ａ＜７ｃ，可确定ｓｉｎ ｄ—ＣＯＳ ａ的取值范围。 正解：因为。＜ａ＜７ｃ，且ｓｉｎ ａｃｏｓ ａ一一 １２，所以 ｓｉｎ ａ＞０，ＣＯＳ口＜０，可知ｓｉｎａ—ＣＯＳ ＞Ｏ。由（ｓｉｎａ— ｃ。ｓ ａ）。＝１－－２ｓｉｎ ａｃｏｓ ａ一 ４９，得ｓｉｎ ａ－－ｃｏｓ ａ—ｉ７。 四、忽视隐含条件出现错误 侧 若ｓｉｎ０，ＣＯＳ ０是关于ｚ的方程５ｘ 一ｚ＋ ａ一０（ｎ是常数）的两根，０∈（Ｏ，７［），求ＣＯＳ ２０的值。 错解：由题意知ｓｉｎ ＋ｃ。ｓ 一＿＝Ｉ１，所以（ｓｉｎ ＋ ｃ。ｓ臼）。一 ，可得ｓｉｎ ２０一一 ２４。由０∈（ｏ，兀），得 ０ ０ ２ ∈（ｏ，２丌），所以ｃ。ｓ ２０一±￣／ 二 ＝＝＝±去。 感悟：上述解法忽视了隐含条件，扩大了角０的 取值范围。 正解：由题意知ｓｉｎ ＋ｃ。ｓ 一 １，所以（ｓｉｎ ＋ ｃ。ｓ ）。一去，可得２ｓｉｎ ｃ。ｓ 一一筹＜ｏ，则ｓｉｎ 与 ｃ。ｓ 异号，即 ∈（号，兀）。又ｓｉｎ ＋ｃ。ｓ 一ｉ１＞０， 所以号＜ ＜ ， ＜２ ＜ 。 所以ｃ。ｓ ２０一一￣／丁二 而一一去。 五、三角函数单调性中的错误 侧 若函数 —ｓｉｎ∞ （ ＞０）在１一詈，詈ｌ上 是单调增函数，则∞的取值范围是。 错解：因为函数Ｙ—ｓｉｎ ｃｕｚ（ｃＵ＞０）在 ｌ一 ， ｌ上是单调增函数，即函数Ｙ—ｓｉｎ ｚ（∞＞ Ｉ Ｏ Ｏ １ ０）的单调增区间是ｌ一詈，詈ｌ，所以其最小正周期为 Ｔ一２［詈一（一詈）］一警。由 一 ，解得∞一３，即 的取信范围县｛３｝ 酿酒行业专业人士认为白酒中添加佥箔“没有任何意义和技术必要性”，营养学家也表示，目前已确定人体必要的元 素有２Ｏ多种，但肯定不包括金。
２０１５年第４期 －予，Ｂｉｎ概念・难点・题 感悟：函数 —ｓｉｎ￣ｏｘ（ ＞。）在［一詈，詈］上是 单调增函数与函数 —ｓｉｎ ｚ（ｃｏ＞０）的单调增区间 为［一詈，詈］不是等价概念。 ｉＥ解：因为函数Ｙ—ｓｉｎ ｚ（叫＞０）在 厂 兀 ７ｃ］ ｌ一百’百Ｊ 上是单调增函数， 所以 １ ２ ７ｒ＞￣２￣［詈一（一詈）］，解得。＜ｃＵ≤３ 实数∞的 取值范围是（０，３］。 六、求三角函数的单调区间出现错误 倒６求函数 —ｓｉｎ（詈一ｚ）的单调增区间。 错解：因为函数Ｙ—ｓｉｎ ２Ｅ＂的单调增区间是 ［２忌丌一￣丌－，２ｋ ｒｒ十号］（忌∈ｚ），所以２ｋｕ－詈≤号一 ｚ≤２忌７（十号（是∈ｚ），解得一２ｋ ７ｃ一詈≤ ≤一２ｋ ７ｃ＋ （ ∈ｚ）。所以函数 —ｓｉｎ（詈一ｚ）的单调增区间 是［ 一詈，－２ｋ ｒ￣＋ Ｊ ∈Ｚ）ｏ 感悟：上述解法没有注意到ｚ的系数是负数，实 际上求的是单调减区间。 正解：因为 —ｓｉｎ（詈一 ）一一ｓｉｎ（ｚ一号），又 函数 ｙ—ｓｉｎ ｚ 的单调减区间是 ［２志 ＋号，２是丌＋萼］ｃ是∈ｚ），所以２是丌＋号≤ 一 号≤２是丌＋萼（是∈ｚ），可得函数 ＝＝＝ｓｉｎ（詈一 ）的单 调增区间是 ＋ 丌＋ ］（是∈Ｚ）。 ｌ ｂ Ｏ Ｉ 七、三角函数图像中的错误 倒７ 函数ｖ＝＝＝Ａ ｓｉｎ（ ＋∞）（ ＞０，０＜ ＜７ｃ） 的图像如图１所示，则该函数的 表达式为 。 错解：由图像知Ａ一２。因为 图像过点（０，√３），所以２ｓｉｎ 一 ，／ｇ，可得 一 ／１．。又图像过点 （ ，ｏ），所以２ｓｉｎ（ ∞＋詈）一 ｆ ０＼／， 一ｌ ．．．．Ｖ 一２ 图１ 式为 一２ｓｉｎ（．ｚ＋詈）。 感悟：上述解法没有弄清三角函数图像的特征。 由“五点法’’可知，点（ｏ， ）在第２个点与第３个点 之间，点（警，。）是第５个点。 正解：由图像知Ａ＝２。由点（。， ），（警，。）的 坐标及“五点法”可得 ×。＋ 一 ， × ＋ 一 ２丌，解得 一２， ＝ 。所以该函数的表达式为 一 ２ｓｉｎ ２ｚ＋警）。 八、不理解平移规律出现错误 侧 函数ｙ＝ｓｉｎ ５ 一号）的图像向右平移｛ 个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为 原来的专，所得函数的解析式为（ ）。 Ａ．ｙ ｎ １０ｘ－－ ） Ｂ．ｙ＝ｓｉｎ １０ｃｃ－ ） Ｃ．ｙ＿ｓｉｎ １ｏ 一 ）Ｄ．ｙ＝ｓｉｎ １。ｚ一 ） 错解：将原函数图像向右平移 个单位长度得 到函数 ＝ｓｉｎ［ｓ（ｚ一｛）一号 ｎ［ｓ（ｚ一 ）］， 再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的丢得到 函数 —ｓｉｎ［１ｏ（ｚ一 ）］一ｓｉｎ（１Ｏｘ－￣），选Ａ。 感悟：上述解法没有抓住变换的对象。对于函 数Ｙ—ｆ（ｚ），若将图像平移口（口＞Ｏ）个单位长度，当 向左平移时，则把 换成 ４－ａ，当向右平移时，则把 ｚ换成ｚ一口，其他任何数值和符号不变；若将图像上 各点的横坐标伸长到原来的ｃｃ，（ ＞１）倍，则只需将ｚ 换成 ｚ；若将图像上各点的横坐标缩短到原来的一１ （∞＞１），则只需将ｚ换成∞ｚ。 正解：将原函数图像向右平移｛个单位长度得 到函数 ＝ｓｉｎ［ｓ（ｚ一手）一号］一ｓｉｎ（ｓ 一 ），再 把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的 得到函 。，可得 ＋号一兀，解得 一１。所以该函数的表达 数 —ｓｉｎ（１。ｚ一 ），选Ｄ。 （责任编辑郭正华） 中 掌 生 数 理 丫匕 高 使 用
原来添加了金箔的白酒，身价可以大增，恐怕才是“金箔酒”厂商的如意算盘。
