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立体几何中的易错点剖析

作者：吴雅琴

来源：《中学课程辅导·高考版》2019年第12期 龙源期刊网 龙源期刊网 龙源期刊网

立体几何是高中数學的主要知识模块，也是高考考查的重点知识之一，在求解立体几何问题时，部分同学常因概念不清晰，理解不透彻，盲目地套用性质定理等导致错解.在高三复习中，如能在这些易错点上强化正误辨析意识，就能加强训练的针对性，提高复习效率.本文意在剖析立体几何的常见错误，为同学们在今后的立体几何复习中能防微杜渐起抛砖引玉之用.

易错点一：概念不清导致错解

例1 以下四个命题：

①不共面的四点中，其中任意三点不共线;

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面;

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面;

④依次首尾相接的四条线段必共面.

其中正确命题的序号是 .

错解：①②

错因分析：①中，假设存在三点共线，则这四点必共面，与题设矛盾，故①正确;②中，若A，B，C三点共线，则点A，B，C，D，E有可能不共面，故②错误;③中，如图所示正方龙源期刊网

体的棱中，a，b共面，a，c共面，而b，c异面，故③错误;④中，空间四边形的四条线段不共面，故④错误.

正解：①

例2 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若mα，n∥α，则m∥n;

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ;

③若α∩β=n，m∥n，m∥α，则m∥β;

④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.

其中是真命题的是 （填序号）.

错解：①②

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质

第一课时 余弦函数的图象与性质

基础知识 基本能力

1．掌握“五点法”作余弦函数的图象．(重点)

2．理解余弦函数的性质．(重点、难点) 1．会求余弦函数的周期、单调区间及最值．(重点、难点)

2．能正确使用“图象变换法”作出余弦函数y＝cos x和y＝Acos(ωx＋φ)的图象．(重点、易错点)

1．余弦函数的图象

(1)把正弦曲线向左平移π2个单位就可以得到余弦函数的图象．余弦函数y＝cos x的图象叫做余弦曲线．

(2)余弦曲线．

除了上述的平移法得到余弦曲线，还可以用：

①描点法：按照列表，描点，连线顺序可作出余弦函数图象的方法．

②五点法：观察余弦函数的图象可以看出，(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)这五点描出后，余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．

【自主测试1】画出函数y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图．

分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线．

解：列表：

x 0 π2 π 3π2 2π

cos x 1 0 －1 0 1

－cos x －1 0

1 0 －1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来即得y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．

2．余弦函数的性质

函数 y＝cos x

定义域 R

值域 [－1,1]

奇偶性 偶函数 周期 2π

单调性 在每一个闭区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上都是减函数；在每一个闭区间[(2k＋1)π，2(k＋1)π](k∈Z)上都是增函数

最大值与

最小值 当x＝2kπ(k∈Z)时，y＝cos x取得最大值1；

当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y＝cos x取得最小值－1

名师点拨一般地，函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为T＝2πω.今后，可以使用这个公式直接求这类函数的周期．

《数学之友）　２０１０年第ｌ２期　

三角函数的几类易错题型　

顾能　

（江苏省灌云县杨集高级中学，２２２２２１）　

三角函数问题是高考中的重要考点，知识体系　

严密，解题方法独特且实际应用广泛，但是由于内容　

繁杂、公式众多、变换复杂，不易发觉的隐含内容较　

多，学生稍有不慎就会进入题设的误区且不易觉察．　

下面就考试中学生常出错的几个问题予以分析，仅　

供参考．　

１　三角函数值值域限制问题　

例ｌ函数　）＝ｓｉｎｘ＋　（　Ｅ（０，订）），则　

下列命题正确的是　（　）　

（Ａ）厂（　）是奇函数　（Ｂ）ｆ（ｘ）＞４　

（Ｃ）　）的最大值是４　（Ｄ）ｆ（ｘ）有最大值　

误解：学生甲因为　一　）＝－ｆ（　）而选（Ａ）；学　

生乙因为ｓｉｎｘ＋　Ｉ＞２　＝４而选（ｃ）．　

剖析：判断函数的奇偶性，首先要看它的定义域　

是否关于原点对称，而题中所给定义域为　∈（０，　

盯），不关于原点对称，所以不具有奇偶性．而学生乙　

忽视应用均值不等式时要注意“一正，二定，三相　

等”的取等号的条件．即当ｓｉｎｘ＝２时，ｆ（　）＝４．这　

里ｓｉｎｘ取不到２，因此错误．　

正解为：令￡＝ｓｉｎｘ，０＜￡≤１　）＝￡＋÷在（ｏ，　

…１］上单调减的函数，　

所以　）　Ｉ）＝１＋－　ｉ－＝５＞４，从而选（Ｂ）．　

例２设ｓｉｎａ＋ｓｉｎｆｌ＝　１，则ｓｉｎａ—ｃｏｓ　／３的最　

大值为　．　

误解：因为ｓｉｎａ＋ｓｉｎｆｌ＝Ｚ　－，　

所以ｓｉｎａ＝　１一ｓｉｎ／３．令Ｙ＝ｓｉｎａ—ｅｏｓ２／３，　

则Ｙ：了１一ｓｉｎｆｌ一（１一ｓｉｎ　）　

＝ｓｉｎ２／３＿ｓｉ￣一了２＝（ｓｉ　一号）　一１１＿２１．　义一１≤ｓｉ　≤ｌ，　

所以当ｓｉｎｆｌ：一１时，），　＝　一１）＝＿．４　

剖析：该题表面上看，解题过程很完整，实际不　

然，误解中只注意一１￣＜ｓｉｎｆｌ≤１的范围，而忽视题中　

ｓｉｎａ对ｓｉｎｆｌ的制约．　

由ｓｉｎａ＝了１一ｓｉ　，及一１≤ｓｉｎ　≤ｌ，　

有一１≤　一ｓｉｎ／３￣＜１，即得一　≤ｓｉｎｆｌ￣＜ｌ，　

专题12解三角形重难点、易错点打破 1 / 13

专题 1-2 解三角形重难点、易错点打破

(建议用时： 60 分钟 )

三角形定“形”记

依照边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转变已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转变一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用．

1．经过角之间的关系定 “形”

例 1 在 △ ABC中，已知 2sin Acos B＝ sin C，那么 △ ABC必然是 ( )

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．正三角形

2．经过边之间的关系定 “形”

sin A＋sin C b＋ c

例 2 在 △ ABC中，若 sin B ＝ a ，则 △ ABC是()

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形

细说三角形中解的个数

解三角形时， 办理 “已知两边及其一边的对角， 求第三边和其他两角 ”问题需判断解的个数， 这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入商议．

1．出现问题的根源

我们作图来直观地观察一下．不如设已知 △ ABC的两边 a， b 和角 A，作图步骤以下： ① 先做出已知角 A， 专题12解三角形重难点、易错点打破 2 / 13

把未知边 c 画为水平的，角 A 的另一条边为已知边 b； ② 以边 b 的不是 A 点的别的一个端点为圆心，边 a

为半径作圆 C；③ 观察圆 C 与边 c 交点的个数，即可得此三角形解的个数．

显然，当 A 为锐角时，有以下列图的四种情况：

当 A 为钝角或直角时，有以下列图的两种情况：

依照上面的剖析可知，由于 a，b 长度关系的不相同，以致了问题有不相同个数的解．若 A 为锐角，只有当 a 不

小于 bsin A 时才有解，随着 a 的增大获取的解的个数也是不相同的．当 A 为钝角时，只有当 a 大于 b 时才